浅析莱布尼兹公式在求高阶导数中的应用

浅析莱布尼兹公式在求高阶导数中的应用

导数的计算在我们整个考研数学是一个比较简单的考点了，只需灵活运用函数求导法则、导数四则运算、复合函数求导、反函数求导以及隐函数求导都可以解决。然而在考研过程中还涉及一些题型，即求某函数的高阶导数，通常为n 阶等。对于高阶导数的计算，核心思路在于找规律以及运用莱布尼兹公式进行求解，而莱布尼兹公式为导数计算考点中的一个核心考点，但很多同学往往把握不到位。因此，本文介绍一下莱布尼兹公式在求高阶导数中的应用。

一、莱布尼兹公式

莱布尼兹公式主要用来计算两个函数乘积的高阶导数。

设u(x),v(x)均有n 阶导数，则有

∑=-=n

k k n k k n n x v x u C x v x 0)()()()

()()]()(u [这个公式为莱布尼兹公式抽象形式，从这个公式中可以看到，我们在应用莱布尼茨公式时会求函数n 阶导数，因此对于常用的函数高阶导数公式需非常熟悉，具体总结如下：

()()()()()()1()11.,2.,(ln )(0,1)

3.y sinx,sin()2

4.cos ,cos()2

5.,(1).......1)1

6.,(1)!

7.ln ,(1)(1)!x n x

x n x n n n a n a n n n n

n n n

y e y e y a y a a a a n y x n y x y x y x y a a a n x y y n x x

y x y n x ππ-----====>≠==+

==+==--+==-==--（有了这些公式，我们应用莱布尼茨公式就比较方便了。

二、公式应用

例1.设2

),1(,ln )()(2≥=n f

x x x f n 其中求代入由莱布尼兹公式得：

()2()02()12'(1)12''(2)2()(1)-2(2)-1(3)-()(1)()(ln )ln ()ln ()ln 04()-1n-1)!2-1n-2)!n-1)-1n-3)!(1)2-1n n n n n n n n n n n n n n n

n n f x x x C x x C x x C x x x f x x n x x n x f ---+-+--==++=+⨯+=因为的三阶导数已经为了，所以莱布尼茨公式的第项开始我们就不用写了

所以，（）（（）（（（）（（）n-3)!

（分析与提炼

由例1可知，莱布尼兹公式运用过程中通常题型为幂函数与上述常用可求高阶导数函数结合求高阶导数，其原因在于幂函数在求有限次导数之后会变为0，使得高阶导数便于计算。除了记忆莱布尼茨公式，常用函数高阶导数公式外，求两个函数乘积的高阶导数时，我们还要注意最后一步组合数的计算和整个式子的化简，不要再这里出错。

中公祝全体考生考试成功！