柯西积分公式 解析函数的高阶导数公式
第三章柯西积分公式3-5
L = 2 ∆z
ML d3
1 f (z) f ′( z ) = ∫C ( z − z ) 2 dz 2πi 0
即n = 1时，结论成立.对于任意的正整数n都是成立的.
例4.1 求下列积分的值，其中C为正向圆周： = r > 1. z
(1)∫ cosπz ( z − 1)
C
dz,. 5
( 2) ∫
且满足拉普拉斯（Laplace )方程 ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + 2 =0 2 ∂x ∂y
则称ϕ ( x , y )为区域D内的调和函数 .
定理5.1 如果f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y )在区域D内解析，
函数u( x , y ), v ( x , y )均为区域D内的调和函数 .
?
C
δ
z0
B
f (z) f (z) dz ∫C z − z0 dz = ∫Cδ z − z0 dz = f ( z0 )∫Cδ z − z0 = 2πif ( z0 )
定理3.1 （柯西积分公式）
如果f ( z )在区域D内解析，C为D内任意一条正向简单闭曲线， 它的内部全部含于D内, z 0为C任意一点，则 f (z) 1 f ( z0 ) = ∫C z − z0 dz 2πi f (z) f ( z ) − f ( z 0 )dz ( z ) f 证明 ∫C z − z 0= K dz dz K z−z z−z
2 2
∂ ∂u ∂ ∂v ∂ 2u ∂ 2v [ ] = − [ ]⇒ =− 2 ∂x ∂y ∂x ∂x ∂x∂y ∂x ∂ 2u ∂ 2v ∂ ∂u ∂ ∂v [ ] = − [ ]⇒ 2 = − ∂y ∂ y ∂ y ∂x ∂x∂y ∂y
3-4柯西积分公式及推论
哈 尔 滨 工 程 大 学
§3.4 柯西积分公式及其推论
学习要点
复 变 函 数 与 积 分 变 换
掌握柯西积分公式 掌握高阶导数公式
一、柯西积分公式
哈 尔 滨 工 程 大 学
1. 问题的提出
设 f ( z ) 在 以 圆 C :| z z 0 | r0 ( 0 r0 )为 边 界 的 闭 圆 盘 上 解 析 ， f ( z )沿 C 的 积 分 为 零 。 考虑积分
哈 尔 滨 工 程 大 学
( 缩 小 )
C
复 变 函 数 与 积 分 变 换
f ( z0 ) z z0
C
d z f ( z0 )
C
d z 2 if ( z 0 ).
2. 柯西积分公式
哈 尔 滨 工 程 大 学
定理3.9 (柯西积分公式)
设 D是 以 有 限 条 简 单 闭 曲 线 C为 边 界 的 有 界 区 域 , 设 f ( z )在 D 及 C 所 组 成 的 闭 区 域 D 上 解 析 ， 那 么 在 D内 任 一 点 z， 有
4 dz 2 z 1
sin
z1 1 2
2 sin z 4 z1
z1
dz
z
2 i
4 z1
z 1
2 2
i;
哈 尔 滨 工 程 大 学
sin 2)
sin z
z dz
z 1 1 2
4 dz 2 z 1
z 1 1 2
4 z1 z1
复 变 函 数 与 积 分 变 换
I
柯西积分公式与高阶导数公式
dz
(n 1,2,3, ),
高阶导数公式
C z0
D
说明: 1) 解析函数具有任意阶导数；
2) f (n)(z0 ) 可用函数 f(z)在边界上的值通过积分唯一 确定。
说明:
3)
高阶导数公式的应用: 可求积分
C
f (z) (z z0 )n1 d z
要注意: a) f(z)在简单闭曲线C及其内部解析,
进行, f (z0
则
)f2(1πzi 0C
)f (z)
z z0
1
dz.
2
i
C
f (z) (z z0 )2
dz,
(1) 解析函数是否存 在各阶导数?
f (z0 )
21
2 i C
f (z) (z z0 )3 dz,
(2) 导数运算可否在 积分号下进行?
f
(n)(z0 )
C
(
z
f
(z0z))nC1是d定Dz内,理分2.6段设光函滑数(或f可(z)求在长单)
z
z3 1 2 (z 1)4
dz
2i [z3 3!
1]
z1
C的2内i部. 区域,
则f (z)在z0处
f(n)(z0 )n!2 i
f (z) C (z z0 )n1
二、高阶导数公式
由 Cauchy积分公式 , 解析函数的积分表达式为
z0
是定D内理的2.5一个设点f (,z)C是是单任连意f通一(区z条域0含)D上z0 的在2解内1析部i函区C数域,zf(
z) z0
dz.
的分段光如滑(或果可求各长阶) Jor导dan数曲线存, 则在, 并且导数运算可在积分号下
第三讲 柯西积分公式与解析函数的高阶导数
工程数学II 课程教案授课时间：第 周 周 第 节 课时安排 课次__ 授课方式（请打√）：理论课□ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 综合课□ 其他□ 授课题目（教学章、节或主题）：§3.5 柯西积分公式；§3.6 解析函数的高阶导数．教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：1．熟练掌握柯西积分公式；2．熟练掌握高阶导数公式．教学重点及难点：重点： 柯西积分公式；高阶导数公式．难点： 柯西积分公式．教学基本内容（要体现出教学方法及手段）：§3.5 柯西积分公式一、问题的提出0 , .B z B 设为一单连通域为中一点 () , f z B 如果在内解析那末()f z z z -在0.z 不解析0() d ,Cf z z z z -⎰所以一般不为零0.C B z 为内围绕的闭曲线根据闭路变形原理知, 该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变, 求这个值. C 积分曲线取作以 00 , ,z z z δδ-=为中心半径为很小的的正向圆周 () ,f z 由的连续性 C 在上0 () ,f z z δ函数的值将随着的缩小而逐渐接近于它在圆心处的值0()d Cf z z z z -⎰00() d .()Cf z z z z δ-⎰将接近于缩小，00()d Cf z z z z -⎰0001()d 2().Cf z z if z z z π==-⎰二、柯西积分公式定理 () , f z D C D 如果函数在区域内处处解析为内的任何一条正向简单闭 0, , , D z C 曲线它的内部完全含于为内任一点那末001()()d .2πCf z f z z iz z =-⎰证 0 () , f z z 因为在连续0,ε∀>则()0,δε∃>0,z z δ-<当时 0()() .f z f z ε-<0 , ():z R R K δ<设以为中心半径为的正向圆周 0 ,z z R C -=全在的内部则()d Cf z z z z -⎰()d Kf z z z z =-⎰000()()()d d KKf z f z f z z z z z z z -=+--⎰⎰000()()2()d Kf z f z if z z z z π-=+-⎰00()()d Kf z f z z z z --⎰00()()d Kf z f z s z z -≤-⎰d 2π.Ks Rεε<=⎰上不等式表明, 只要 R 足够小, 左端积分的模就可以任意小,根据闭路变形原理知, 左端积分的值与 R 无关, 所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能.[证毕]柯西积分公式：001()()d 2Cf z f z z iz z π=-⎰关于柯西积分公式的说明:(1) 把函数在C 内部任一点的值用它在边界上的值表示.(2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积分表达式.(3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.2π0001()()d .2πi f z f z R e θθ=+⋅⎰三、典型例题例1 441sin 12 (1)d ;(2)d .213z z z z z izz z π==⎛⎫+⎪+-⎝⎭⎰⎰ 求下列积分 解 41s i n (1)d 2z z z izπ=⎰()s i n f z z =因为在复平面内解析 ()s i n f z z =因为在,复平面内解析由柯西积分公式41sin d 2z z z iz π=⎰12sin 2z i ziππ==⋅⋅0;=412(2)d .13z z z z =⎛⎫+⎪+-⎝⎭⎰ 4412d d 13z z z z z z ===++-⎰⎰2122i i ππ=⋅+⋅6.i π=例2 2d .1zz ez z =-⎰计算积分 解 () , zf z e =因为在复平面内解析12 , z z =<位于内由柯西积分公式12d 21zz z z ez i ez π===⋅-⎰2.e i π=例3 2121d .(1)z i z z z -=+⎰计算积分 解21(1)z z =+1()()z z i zi +-1()z z i z i+=-()f z =，1 () , 2f z z i -≤因为在内解析由柯西积分公式2121d (1)z i z z z -=+⎰121()d z i z z i z z i-=+=-⎰12()z ii z z i π==⋅+2122i iπ=⋅.i π=-例4 2223713, ()d , (1)CC x y f z f i zξξξξ++'+==+-⎰设表示正向圆周求解 根据柯西积分公式知, ,z C 当在内时2()2π(371)zf z i ξξξ==⋅++22(371),i z z π=++ ()2(67),f z i z π'=+故 1 , i C +而在内所以(1)2(613).f i i π'+=-+例5 2sin14 d , :(1) 1;12Czz C z z π+=-⎰计算积分其中1(2) 1;2z -=(3) 2.z =解 2112s i n 4(1)d 1z zz z π+=-⎰112s i n 41d 1z zz z z π+=-=+⎰1s i n 421z z i z ππ=-=⋅-;2i =(2)2112sin4d 1z zz z π-=-⎰112sin41d 1z zz z z π-=+=-⎰1sin 421z zi z ππ==⋅+;2i =(3) 由闭路复合定理, 得22sin4d 1z z z z π==-⎰2112sin4d 1z z z z π+=-⎰2112πsin4d 1z zz z -=+-⎰22i i =+.i =课堂练习 23d .(1)zz ez z z =-⎰计算积分 答案 0,1,1z z z ===-有三个奇点 123d (2).(1)zz ez i e ez z π-==+--⎰§3.6 解析函数的高阶导数．一、问题的提出问题: (1) 解析函数是否有高阶导数?(2) 若有高阶导数, 其定义和求法是否与实变函数相同?回答:(1) 解析函数有各高阶导数.(2) 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示, 这与实变函数完全不同. 解析函数高阶导数的定义是什么? 二、主要定理定理 () , f z n 解析函数的导数仍为解析函数它的阶:导数为()01!()()d (1,2,)2π()n n Cn f z fz z n i z z+==-⎰0 () C f z D z 其中为在函数的解析区域内围绕的任何一条正向简, 单闭曲线D 而且它的内部全含于证 0 ,z D 设为内任一点根据导数的定义, 0000()()()limz f z z f z f z z∆→+∆-'=∆从柯西积分公式得 001()()d ,2Cf z f z z iz z π=-⎰ 001()()d ,2Cf z f z z z iz z zπ+∆=--∆⎰ 00()()f z z f z z+∆-∆001()()d d ,2C Cf z f z z z zi z z zz z π⎡⎤=-⎢⎥∆--∆-⎣⎦⎰⎰001()d 2()()Cf z z i z z z z z π=---∆⎰220001()1()d d 2()2()()CCf z zf z z z iz z iz z z z z ππ∆=+----∆⎰⎰2001()d 2()()Czf z I z z z z z z π∆=---∆⎰20()1d 2Cz f z s z z z z zπ∆≤---∆⎰() , f z C 因为在上解析,C 所以在上连续 () , f z C 故在上有界 0,M ∃>于是(),f z M ≤使得0 ,d z C 设为从到曲线上各点的最短距离 ,z ∆并取适当地小1 , 2z d ∆<满足0 ,z z d -≥则011 , z z d≤-00z z z z z z --∆≥--∆，012,z z zd≤--∆3,M LI zdπ<∆3,M LI zdπ<∆ .L C 这里为的长度 0,z ∆→如果0,I →那末0000()()()limz f z z f z f z z∆→+∆-'=∆201()d ,2()Cf z z iz z π=-⎰再利用以上方法求极限 000()()lim z f z z f z z∆→''+∆-∆可得0302!()()d .2()Cf z f z z iz z π''=-⎰至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数.依次类推, 利用数学归纳法可证()010!()()d .2()n n Cn f z fz z iz z π+=-⎰ [证毕]高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分.三、典型例题例1 , : 1. C z r =>计算下列积分其中为正向圆周522cos (1)d ;(2)d .(1)(1)zCCz ez z z z π-+⎰⎰解 5c o s (1) 1 ,(1)zC z z π=-函数在内处不解析 c o s z C π但在内处处解析 ()010!() ()d 2()n n Cn f z fz z iz z π+=-⎰根据公式5cos d (1)Cz z z π-⎰(4)12(cos )(51)!z i z ππ==-5;12i π=-22(2),(1)zeC z i z =±+函数在内的处不解析 C i 在内以为中心作一个1 ,C 正向圆周2 ,i C -以为中心作一个正向圆周1222,,(1)zeC C C z +则函数在由根据复合闭路定理22d (1)zCez z +⎰122222d d (1)(1)zzC C eez z z z =+++⎰⎰122d (1)zC ez z +⎰122()d ()zC ez i z z i +=-⎰22(21)!()z z iie z i π='⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦(1),2ii e π-=同理可得 222d (1)zC ez z +⎰ (1),2ii e π--+=于是22d (1)zCez z +⎰(1)2ii e π-=(1)2ii eπ--++(1)()2i ii e ie π-=--2(1)(cos1sin 1)2i π=--1.4i ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭例2 342211cos (1)d ;(2)d (1)zz z z ez z z z z-==++⎰⎰求积分解 3(1) 1 ,z +函数在复平面内解析01 2 ,z z =-≤在内3,n =()010!() ()d 2()n n Cn f z fz z iz z π+=-⎰根据公式3421d (1)z z z z =++⎰312[1]3!z i z π=-'''=+2;i π=21cos (2)d zz ez z z-=⎰cos ,zez -函数在复平面内解析00 1 ,z z =≤在内1,n =21cos d zz ez z z-=⎰2(cos )1!zz i ez π-='=2[cos sin ]zzz i ez ez π--==--2.i π=-∙例3 1d .( )z nz e z n z=⎰求积分为整数 解 (1)0,n ≤1 , z n ez z ≤在上解析由柯西－古萨基本定理得1d 0;zn z e z z ==⎰ (2)1,n =由柯西积分公式得1d z nz e z z==⎰2()zz i e π=⋅2;i π=(3)1,n >()010!() ()d 2()n n Cn f z fz z iz z π+=-⎰根据公式1d z nz e z z=⎰(1)2()(1)!z n z i e n π-==-2.(1)!i n π=-例4 231 d .(2)Cz z z-⎰求积分:(1)32;(2)13.C z z -=-=其中 解 2312 0,(2)z z z z==-函数有两个奇点和(1)32,z -= 2, z =仅包含奇点31 (),f z z=取231d (2)C z z z -⎰ 321d (2)Cz z z =-⎰ 32211!z i z π='⎛⎫= ⎪⎝⎭3;8i π=-(2)13z -= 2 0 ,z z C ==两个奇点和都含在内12 0 2,C C 作简单闭曲线和分别包含和12 ,C C 和互不包含且互不相交根据复合闭路定理和高阶导数公式,231d (2)Cz z z-⎰ 12232311d d (2)(2)C C z z z zz z=+--⎰⎰12233211(2) d d (2)C Cz zz z zz -=+-⎰⎰ 2322121 2!(2)1!z z i i z z ππ=="'⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦3388i i ππ=-0.=作业和思考题：第三章习题 82),4) ,6)；92),4) ,5)．课后小结：（1）柯西积分公式是复积分计算中的重要公式,它的证明基于柯西–古萨基本定理, 它的重要性在于: 一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示, 所以它是研究解析函数的重要工具.柯西积分公式:001()()d .2Cf z f z z iz z π=-⎰（2）高阶导数公式是复积分的重要公式. 它表明了解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重要的结论, 同时表明了解析函数与实变函数的本质区别.高阶导数公式()010!()()d 2()n n Cn f z fz z iz z π+=-⎰。
§3.4 柯西积分公式与高阶导数公式
1 f z z z0 f z 0 dz 2 2 i C z z0
2 i z z0 C
f z 解析 f z0
f z f z0 z z0
C D， f z dz 0 z, z0 D, F z f z dz
z C z0
F z f z ,即F z 解析
f z 解析.
证毕.
作业
C0
f z f z0 z z0
ds .
f z 在z0解析
f z f z0 z z0
局部有界,
f z f z0 M 0,当充分小时， M, z z0
1 2 i
Cf z 1 d Nhomakorabea f z0 z z0 2
下面证明n 1 的情形
1 2 i
dz
C
f z 1 dz f z0 dz 2 if z0 2 2 2 i C z z0 z z0
f z
f z z z0 f z0 1 dz 2 C0： z z0 int C 2 i z z0 C0
C
f z dz 柯西积分公式 z z0
1 2 i
C
f z 1 dz f z0 2 i z z0
C
f z 2 i dz f z0 z z0 2 i
C
f z0 1 f z dz dz dz z z0 C 2 i 2 i C z z0
-柯西积分公式
一、 柯西积分公式
定理 若 f (z) 在区域 D内处处解析, 在 C D 连续, C 为正向简单闭曲线, 对z0 D, 则有
1 f (z)
f (z0 ) 2i
dz C z z0
称之为柯西积分公式。
说明: (1) 通过柯西积分公式, 可以把函数在C 内部任 一点z 的值用它在边界C 上的值通过积分来表示;
2
例 设 C 是不通过z0 的简单正向闭曲线,
求 g(z0 )
z4 z2 C (z z0 )3 dz
的值。
解:
当
z0
在C
的 外 部 时,
z4 z2 (z z0 )3
在 C 内解析
由柯西积分定理, 有 g(z0 ) 0
当 z0 在 C 的内部时, 设 f (z) z4 z2 ,由高阶导数
二、 高阶求导公式
定理 设 f (z) 在 D内解析, 在 C D 连续, C 为简单 正向闭曲线, 则 f (n)(z) 在 D内仍解析, 且f(n)(z0 )
n!
2i
f (z) C (z z0 )n1 dz,
z0 D,
n 1,2,...
说明 : (1 ) C 可以是含于 D 内任何包含 z0 的简单正向闭曲线;
2i
2 0
f
(z0 re i re i
)
re i
id
1
2
2 0
f (z0 re i )d
------ 一个解析函数在圆心处的值等于 它在圆周上的平均值.
例 计算下列积分( 沿圆周正向 ) 值 :
1 cos z
3z 1
(1)
33柯西积分公式和解析函数的高阶导数
解：由高阶导数公式
z1
1 (z
z4 1) 3
dz
2π i [(z 4 )] 2!
z 1
12π i
23
例7 计算积分
解 首先，识别积分的类型．它是具有（*）式左端积分的
特征的那类积分． 其次，将所求积分与（*）式左端的积分比较后，知道
所求积分在形式上与（*）式左端的积分相同．由此想到 用（*）式计算积分．
c2 z 2 1
c2 z 1
z 1 z1
故
z
2
z
z
2
dz 1
2π
i
13
观察下列等式
问题： 解析函数的导函数一定为解析函数？ 若是，则其导函数可否用一公式来表示呢？
14
二、解析函数的高阶导数定理
定理2 设函数 f (z)的在单连通区域 D内解析，C 为 D内 围绕 z0 的一条可求长的正向Jordan曲线，而且它 的内部全含于D，则f (z) 在z0处的 n 阶导数为 :
一、解析函数的Cauchy积分公式
1.问题的提出
设 D 为一单连通区域, z0 为 D 中一点.
如果
f (z) 在 D内解析,
那末
f (z) z z0
在
z0
不解析.
所以
C
f (z) dz 一般不为零, z z0
C 为 D内围绕 z0 的闭曲线.
根据闭路变形原理知, 该积分值不随闭曲线
C的变化而改变, 求这个值.
| z 1上| 1解析，由定理2 可得：
dz
|z1|1 (z3 1)2
| z 1| 1
f1(z)dz (z 1)2
2if
'1
(1)
第三讲 柯西积分公式与解析函数的高阶导数.
00
( d C
f z z z z -⎰
000
1( d 2(. C
f z z if z z z π==-⎰
二、柯西积分公式
定理( , f z D C D如果函数
在区域内处处解析为内的任何一条正向简单闭0, , , D z C曲线它的内部完全含于为内任一点那末
00
1( ( d . 2πC
f z f z z i
课程教案
授课时间：第周周第节课时安排课次__授课方式（请打√）：理论课□讨论课□实验课□习题课□综合课□其他□授课题目（教学章、节或主题）：
§3.5柯西积分公式；§3.6解析函数的高阶导数．
教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：
1．熟练掌握柯西积分公式；
2．熟练掌握高阶导数公式．
教学重点及难点：
f z e =因为在复平面内解析1
2 , z z =<位于内由柯西积分公式
1
2
d 21
zzΒιβλιοθήκη z z ez i ez π===⋅-2. e i π=
例3 2
12
1
d .
(1
z i z z z -=
+⎰
计算积分解
2
1
(1 z z =+1
( (
z z i z
i +-1
( z z i z i
+=
-( f z =，1 ( , 2
-⎰
000
( ( (
d d K
K
f z f z f z z z z z z z -=
+
--⎰
⎰
000
( (
2( d K
3.4解析函数的高阶导数
∫C
π5i cos πz 2πi dz = (cos πz )( 4 ) z == − ; 12 ( z − 1)5 (5 − 1)!
ez ( 2) 函数 2 内有两个奇点： 在 C 内有两个奇点： z = ± i ． y 2 ( z + 1) 1 C i 在 C 内作正向圆周 C1 : z − i = , 2 1 o C 2 : z + i = . 根据复合闭路定理 −i C 2 z z e e z e ( z + i )2 ( z − i )2 ∫C ( z 2 + 1)2 dz = ∫C1 ( z − i )2 dz + ∫C dz 2 (z + i) ′ ′ z z 2πi e 2πi e = ( z + i )2 + ( 2 − 1)! ( z − i )2 ( 2 − 1)!
z0 在C 内, g ( z0 ) = 2(6 z0 + 1)π i .
2
小结与思考
高阶导数公式是复积分的重要公式. 高阶导数公式是复积分的重要公式 它表明了 解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重要的 解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重要的 结论, 同时表明了解析函数与实变函数的本质区别. 结论 同时表明了解析函数与实变函数的本质区别 高阶导数公式
2! f (ζ ) dζ , 再继续一次得 f ′′(z) = 2π i ∫C 3 (ζ − z)
( n)
依次下去可推测 f
或改写为 f
( n)
n! f (ζ ) (z) = ∫C (ζ − z)n+1 dζ , 2π i
n! f (z) (z0 ) = ∫C (z − z )n+1 dz (z0在C内部) 2π i 0 (n = 1,2,L ).
第二讲、原函数、柯西积分公式及其推论
作为柯西积分公式的特殊情形，我们有如下 的平均值公式。
定理五：如果函数 f ( z ) 在圆| z z0 | R 上解析，则
1 2 i f ( z0 ) f ( z Re )d 0 0 2 即 f ( z ) 在圆心z0 的值等于它在圆周上的值的平均数。
3、解析函数的高阶导数公式 1 f ( ) d 形式地在等号两 对柯西积分公式 f ( z ) C 2i z 边对 z 求导(右边对积分号内的被积函数关于 z 求导)，得
Cr 所以， 存在正向闭曲线C r :| z z0 | r ， 使得
D 内。 含在C 内，以C , C r 为边界的区域含在
D z0
Cr 且 z :| z z0 | r ， | f ( z ) f ( z0 ) | C 1 dz 2i 得 又由闭路变形原理及 C r z z 0 f ( z0 ) f (z) f (z) dz dz C dz, 2if ( z0 ) C r C r z z0 z z0 z z0
1 i ln z 0 内，计算 1 dz 。
1 i ln z dz 1
z
1 2 1 i 1 2 ( ln 2 i ) 2 2 2 2 4
1 2 2 ln 2 i ln 2 8 32 8
2、柯西积分公式
1! f ( ) f ( z ) d C 2 2i ( z ) n! f ( ) ( n) f (z) d 重复n 次可得 C n 1 2i ( z ) 事实上，我们对解析函数确有如下定理 定理六(高阶导数公式)： 解析函数 f ( z ) 的导数仍为解析函数，
1 2
2i z iz dz [( )] 2i | 0 C1 2 2 zi 3 zi 1! ( z i ) (z i) (z i)
柯西积分公式及高阶导数公式
sin z 4 z 是D内的一个点, C是任意一条含 z 在内部区域
0
定理2.5 设f (z)是单连通区域D上的解析函数 ,
sin
z
0
1 f (z) 2 f ( z0 ) dz . C 2πi z z0
z 1
sin z 2 4 i. 2i 2 z 1
f
(n)
n! f (z) ( z0 ) dz n 1 2πi C ( z z0 )
( n 1,2,3,),
z0
高阶导数公式
C
D
说明: 1) 解析函数具有任意阶导数；
2) f ( n ) ( z0 ) 可用函数 f(z)在边界上的值通过积分唯一
确定。
说明:
f (z) dz 3) 高阶导数公式的应用: 可求积分 n 1 ( z z0 ) C
柯西-古萨(Cauchy－Goursat)基本定理 设B为单连通域，则 f (z)在B内解析 Morera定理
C
C
f ( z )dz 0, C为 B内任何一条闭曲线。
则 f (z)在B内解析 。
设B为单连通域， 如f (z)在B内连续， 且对 B内任
何一条简单闭曲线C, 有
f ( z )dz 0,
典型例题
例4. 计算积分
zi
1 1 z z 2 1 dz. ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
解 由 Cauchy积分公式 ,
1 f (z) 1 , C是任意一条含 1 z( z i ) z0 是D内的一个点 z0 在内部区域 2 z0 i , z ( z(或可求长 1) ) Jordan z ( z曲线 ,i则 )( z i ) zi 的分段光滑
Cauchy积分公式和高阶导数公式
14
e C1 ( z 2 1)2 dz C1 z i 2i e ( 1 i ) e , 2 ( 2 1)! ( z i ) 2
z i z
z
e ( z i )2 2 dz (z i)
z
y
C1 i
C
x
o
C2
i
e (1 i )e i 同理可得 dz , 于是 2 2 C 2 ( z 1) 2 z i i e (1 i )e (1 i )e C ( z 2 1)2 dz 2 2 i i (1 i )( e ie ) (1 i )2 (cos 1 sin1) 2 2 i (sin 1 cos 1). 15
如果f(z)在简单闭曲线C所围成的区域内 解析，在C上连续，那么柯西积分公式仍 然成立.
6
用柯西积分公式计算积分：
z0
C
C
f (z) dz 2πif ( z0 ) （） z z0
需注意： (1) 识别积分类型(是否具有（*）式左端特征). (2) 所求积分是否满足定理的条件.
7
例
关于Cauchy积分公式的意义: (1) 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的 值表示. （这是解析函数的一个重要特征） (2) 公式给出了一种表示解析函数的方法,而且给 出了解析函数的一个积分表达式.
(这是研究解析函数各种局部性质的有力工具)
(3) 公式提供了一种计算积分的方法.
5
z0
C
注：
在 C 内以 i 为中心作一个正向圆周 C1 , 以 i 为中心作一个正向圆周 C2 , z e 则函数 2 2 在由 C , C1 , C 2 ( z 1)
复变函数(3.4.1)--柯西积分公式与高阶导数公式
dz
,
f
( z )
2 2p
1 i
C(zf
(z ) z)3
Hale Waihona Puke dz,LLL
f
(n)(z)
n! 2p i
C
(z
f (z ) z)n+1
dz
.
(1) 解析函数是否存在各阶导数 ? (2) 导数运算可否在积分号下进 行?
数学学院
定理 3.11 （高阶导数公式） 解析函数 f (z) 的导 数仍为解析函数，它的 n 阶导数可表示为
go
x
F
(
z)
C
3z
3 + 7z 2 (z z)2
+
1
dz
,求
F ( 1+
i)
.
8
数学学院
例 7 求积分 例 8 求积分
z
1
e
z
cos z2
z
dz
.
z
2
z3 + 1 (z + 1)4
dz.
例 9 计算下列积分 , 其中 C 是正向圆z r > 1 :
周
( ) � � (1)
2
4 1
dz
其中
C:
（z1+ 1）
1 2
;
（
2
）z 1
1 2
.
（ 3 ）z 2
数学学院
4.2 高阶导数与解析函数的无限可微性
如
果各阶导数
f (z)
存在
,
1 2p i
并
且Czf导(z z)数dz运.
-柯西积分公式
一、 柯西积分公式
定理 若 f (z) 在区域 D内处处解析, 在 C D 连续, C 为正向简单闭曲线, 对z0 D, 则有
f
(z0 )
1
2i
f (z) dz
C z z0
称之为柯西积分公式。
说明: (1) 通过柯西积分公式, 可以把函数在C 内部任 一点z 的值用它在边界C 上的值通过积分来表示;
(2) 给出了解析函数的一个积分表达式:
C
f (z) z z0
dz
2if
(z0 )
( 3 ) 积分曲线C 可以是解析区域D内部的包含z0的任意曲线
特别地, 若定理中区域D 为圆周C : z z0 rei围成, 则
1
f (z0 ) 2i
f (z)
1
dz
C z z0
2i
2 0
f
(z0 re i re i
C
C1
C2
C（1 z
3z 1 1)( z
3)
dz
3z 1 dz
C2 (z 1)( z 3)
3z 1
3z 1
z 3 dz z 1 dz
C1 z 1
C2 z 3
3z 1 2i 2i 3z 1
z 3 z1
z 1 z3
2i 4i 6i
C1
C2
1
34
例 设 f ( z ) 3 2 7 1 d , C 为正向圆周x2 y2 3
)
re i
id
1
2
2 0
f (z0 re i )d
------ 一个解析函数在圆心处的值等于 它在圆周上的平均值.
例 计算下列积分( 沿圆周正向 ) 值 :
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分可化为定积分来计算； 3）对于解析函数的积分，可通过牛顿—莱布尼兹公式计
算； 4）对于沿封闭曲线的积分，往往以柯西积分定理，复合
闭路定理、闭路变形公式、柯西积分公式、高阶导数公式等 为工具。
3.5柯西积分公式 3.6解析函数的高阶导数公式
一、柯西积分公式
定理 1：(柯西积分公式)如果 f (z) 在区域 E 内解析，C 为
E 内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于 E ，z 为
C 内的任一点，则
fБайду номын сангаас
(z)
1
2 i
C
f
( )d
z
。
证明：z C
，令 F( )
f ( ) z
1
1） 2i
sin z
z 4 z dz ，2）
z
2
ez dz z 1
。
例 4：计算 I
zi 1 2
1 dz z(z2 1)
。
sin z
例 5：计算 I C
z
2
4 1
dz
,其中：
1） C
:
z
1
1 2
，2） C
:
z
1
1 2
，3） C :
z
2.
二、高阶导数公式
d
注 1.解析函数的导数仍是解析函数。
注 2. 析不在于通过积分求导，而是通过
求导来求积分，即
C
(
z
f
(z z0
) )
n1
dz
2 i n!
f
(n) (z0 )
例 6：计算下列积分，其中 C 为正向圆周 z r 1，
1）
C
cos z (z 1)5
dz
，2）
C
(
z
ez 2
1)2
z z0
2 if
(z0 )
例
1：计算积分
C
(z
1 1)( z
dz 2)
，其中：
1）
C
是正向圆周 |
z
|
1 2
；
2）
C
是正向圆周
|
z
1|
1 4
；
3） C 是正向圆周| z | 3 。
例
2：设
f
(z)
| |2
(
2 1) sin z
d
，求
f
(i)
。
例 3：求下列积分
dz
。
例
7：计算积分
C
sin2 z dz z2 (z 1)
，其中曲线
C
为正向圆周
| z | 2 。 (2 i sin2 1)
例 8：计算积分 C z3c(ozsz1)dz ，其中曲线 C 为一条不经过点
z 0 ， z 1的正向简单闭曲线。 i(2cos11) 。 小结复变函数积分的计算： 1）复变函数的积分可通过两个实的二元函数关于坐标的
z 0 | z|
由 f ( )的连续性，即可证明。
注 1．定理证明中关键性一步，是把函数沿任意闭曲线 C
的积分，化为沿以 z 为圆心， 为半径的圆周的积分。
注 2．上公式表明从解析函数在边界曲线 C 上的值可以推
知它在 C 内一切值。
注 3．一般用来求积分值：
C
f (z) dz
，故 F(
)在C
内除
z
点外均解
析。今以 z 点为心，充分小的 0 为半径作圆周 ，使 完
全含于 C 内。利用闭路变形公式，有
C
f
(
)d z
f ( )d
| z| z
（该积分与
无关）。
因此只要证
lim
f ( )d 2 if (z)
将柯西积分公式形式地在积分号下对 z 求导后得
f
( z )
1 2 i
C
f (
( ) z)2
d
，
f (n) (z) n!
f ( ) d
2 i C ( z)n1
定理 2：在定理 1 的条件下，具有各阶导数，且
f (n) (z) n!
2 i
C
(
f ( ) z)n1