48高阶导数与高阶微分讲解
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第八节 高阶导数与高阶微分
一、高阶导数的定义
二、高阶导数求法举例
三、高阶微分
2018/10/24
1
一、高阶导数的定义
问题:变速直线运动的加速度.
设 s f ( t ), 则瞬时速度为v( t ) f ( t )
加速度a是速度v对时间t的变化率
a( t ) v ( t ) [ f ( t )] .
y
(n) 2
2018/10/24
(a b ) e sin(bx n )
ax
n 2 2
b ( arctan ) a
9
2. 高阶导数的运算法则:
设函数u和v具有n阶导数, 则
(1) (u v )
( n)
u
( n)
v
( n)百度文库
(2) (Cu)( n) Cu( n)
( 3) ( u v )
定义 如果函数f ( x )的导数f ( x )在点x处可导, 即 f ( x x ) f ( x ) ( f ( x )) lim x 0 x 存在, 则称( f ( x ))为函数f ( x )在点x处的二阶导数.
记作
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d2 y d2 f ( x ) f ( x ), y, 2 或 . 2 dx dx
b e a b sin(bx ) ( arctan ) a
ax 2 2
y a 2 b 2 [ae ax sin(bx ) be ax cos(bx )]
a 2 b 2 e ax a 2 b 2 sin(bx 2 )
解
2 2x 2 ( 3 x 1) y ( ) (1 x 2 ) 2 (1 x 2 ) 3 2 2x 2 ( 3 x 1) f (0) 2 2 x 0 0; f ( 0) (1 x ) (1 x 2 ) 3
x0
2.
5
例3
设 y sin x, 求y ( n) . 解 y cos x sin( x 2 ) y cos( x ) sin( x ) sin( x 2 ) 2 2 2 2 y cos( x 2 ) sin( x 3 ) 2 2 (n) y sin( x n ) 2 同理可得 (cos x ) ( n ) cos( x n ) 2
6
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例4
设 y x ( R), 求y( n) .
y (x 1 ) ( 1) x 2 y (( 1) x 2 ) ( 1)( 2) x 3
解 y x 1
y ( n) ( 1)( n 1) x n
4
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例2 解
设 y e x , 求y( n) .
y e x ,
x y e , y e x ,
y ( n ) (e x )( n ) e x
同理可得
y
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( n)
(a )
x ( n)
a (ln a )
x
n
(a 0且a 1)
(ln x )
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( n)
( 1)
n 1
( n 1)! xn
( n 1, 0! 1)
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例6 设 y e ax sin bx (a, b为常数), 求y ( n ) . 解
y ae ax sin bx be ax cos bx e ax (a sin bx b cos bx)
7
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注意 求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并, 分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)
例5 设 y ln(1 x ), 求y ( n) . 1 1 y 解 y 1 x (1 x ) 2 2! 3! (4) y y 3 (1 x ) (1 x ) 4 (n) n 1 ( n 1)! y ( 1) ( n 1, 0! 1) n (1 x )
2
d3y . 二阶导数的导数称为三阶导数, f ( x ), y, 3 dx 4 d y (4) (4) 三阶导数的导数称为四阶导数, f ( x ), y , . 4 dx
一般地, 函数f ( x )的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x )的n阶导数, 记作
n n d y d f ( x) (n) (n) f ( x ), y , 或 . n n dx dx 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
(n 1)
特别地 (1) 若 为自然数 n , 则
y ( n ) ( x n )( n ) n! , y( m ) ( x n )( m ) 0. ( m n)
1 ( 2) 当 1 时 , x
( n)
( x 1 ) ( n )
( 1)n n! x n 1
(n)
u v nu
(n)
( n 1 )
n( n 1) ( n 2 ) v u v 2!
n( n 1) ( n k 1) ( n k ) ( k ) (n) u v uv k! C u
k 0 k n
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n
( n k )
相应地, f ( x )称为零阶导数 ; f ( x )称为一阶导数 .
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二、高阶导数求法举例
1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.
例1 设 y arctan x , 求f (0), f (0).
1 y 1 x2 1 2x y ( ) 2 1 x (1 x 2 ) 2
一、高阶导数的定义
二、高阶导数求法举例
三、高阶微分
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一、高阶导数的定义
问题:变速直线运动的加速度.
设 s f ( t ), 则瞬时速度为v( t ) f ( t )
加速度a是速度v对时间t的变化率
a( t ) v ( t ) [ f ( t )] .
y
(n) 2
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(a b ) e sin(bx n )
ax
n 2 2
b ( arctan ) a
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2. 高阶导数的运算法则:
设函数u和v具有n阶导数, 则
(1) (u v )
( n)
u
( n)
v
( n)百度文库
(2) (Cu)( n) Cu( n)
( 3) ( u v )
定义 如果函数f ( x )的导数f ( x )在点x处可导, 即 f ( x x ) f ( x ) ( f ( x )) lim x 0 x 存在, 则称( f ( x ))为函数f ( x )在点x处的二阶导数.
记作
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d2 y d2 f ( x ) f ( x ), y, 2 或 . 2 dx dx
b e a b sin(bx ) ( arctan ) a
ax 2 2
y a 2 b 2 [ae ax sin(bx ) be ax cos(bx )]
a 2 b 2 e ax a 2 b 2 sin(bx 2 )
解
2 2x 2 ( 3 x 1) y ( ) (1 x 2 ) 2 (1 x 2 ) 3 2 2x 2 ( 3 x 1) f (0) 2 2 x 0 0; f ( 0) (1 x ) (1 x 2 ) 3
x0
2.
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例3
设 y sin x, 求y ( n) . 解 y cos x sin( x 2 ) y cos( x ) sin( x ) sin( x 2 ) 2 2 2 2 y cos( x 2 ) sin( x 3 ) 2 2 (n) y sin( x n ) 2 同理可得 (cos x ) ( n ) cos( x n ) 2
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例4
设 y x ( R), 求y( n) .
y (x 1 ) ( 1) x 2 y (( 1) x 2 ) ( 1)( 2) x 3
解 y x 1
y ( n) ( 1)( n 1) x n
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例2 解
设 y e x , 求y( n) .
y e x ,
x y e , y e x ,
y ( n ) (e x )( n ) e x
同理可得
y
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( n)
(a )
x ( n)
a (ln a )
x
n
(a 0且a 1)
(ln x )
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( 1)
n 1
( n 1)! xn
( n 1, 0! 1)
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例6 设 y e ax sin bx (a, b为常数), 求y ( n ) . 解
y ae ax sin bx be ax cos bx e ax (a sin bx b cos bx)
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注意 求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并, 分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)
例5 设 y ln(1 x ), 求y ( n) . 1 1 y 解 y 1 x (1 x ) 2 2! 3! (4) y y 3 (1 x ) (1 x ) 4 (n) n 1 ( n 1)! y ( 1) ( n 1, 0! 1) n (1 x )
2
d3y . 二阶导数的导数称为三阶导数, f ( x ), y, 3 dx 4 d y (4) (4) 三阶导数的导数称为四阶导数, f ( x ), y , . 4 dx
一般地, 函数f ( x )的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x )的n阶导数, 记作
n n d y d f ( x) (n) (n) f ( x ), y , 或 . n n dx dx 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
(n 1)
特别地 (1) 若 为自然数 n , 则
y ( n ) ( x n )( n ) n! , y( m ) ( x n )( m ) 0. ( m n)
1 ( 2) 当 1 时 , x
( n)
( x 1 ) ( n )
( 1)n n! x n 1
(n)
u v nu
(n)
( n 1 )
n( n 1) ( n 2 ) v u v 2!
n( n 1) ( n k 1) ( n k ) ( k ) (n) u v uv k! C u
k 0 k n
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n
( n k )
相应地, f ( x )称为零阶导数 ; f ( x )称为一阶导数 .
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二、高阶导数求法举例
1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.
例1 设 y arctan x , 求f (0), f (0).
1 y 1 x2 1 2x y ( ) 2 1 x (1 x 2 ) 2