高阶导数和高阶微分 泰勒公式
泰勒展开的公式
泰勒展开的公式摘要：1.泰勒公式的定义2.泰勒公式的用途3.泰勒公式的证明方法4.泰勒公式的实际应用正文：1.泰勒公式的定义泰勒公式，又称泰勒级数，是由英国数学家布鲁克·泰勒在18 世纪初提出的一种数学公式。
泰勒公式可以将一个可微函数在某一点附近的值表示为该点的函数值、导数值和高阶导数值的有限和。
具体来说，设函数f(x) 在点a 附近可微，则泰勒公式可以表示为：f(x) ≈ f(a) + f"(a)(x-a) + f""(a)(x-a)^2 / 2! + f"""(a)(x-a)^3 / 3! +...+ f^n(a)(x-a)^n / n! + Rn(x)其中，f"(a)、f""(a)、f"""(a) 等分别表示函数f(x) 在点a 处的一阶导数、二阶导数、三阶导数等，n! 表示n 的阶乘，Rn(x) 表示泰勒公式的余项。
2.泰勒公式的用途泰勒公式在数学和实际应用中有着广泛的用途，主要包括以下几点：（1）求函数的近似值：通过泰勒公式，可以将复杂的函数在某一点附近近似为多项式，从而简化问题。
（2）证明其他数学定理：泰勒公式可以作为证明其他数学定理的工具，例如证明函数的凹凸性、极限等。
（3）数值计算：在数值计算中，泰勒公式可以用于求解微分方程、插值和逼近等问题。
3.泰勒公式的证明方法泰勒公式的证明方法有多种，其中较为常见的是利用洛必达法则进行证明。
具体证明过程较为繁琐，这里不再赘述。
4.泰勒公式的实际应用泰勒公式在实际应用中有很多例子，下面举一个简单的例子来说明。
例如，我们要求函数f(x) = sin(x) 在点x=π/2 附近的值。
首先，我们知道sin(x) 在x=π/2 处的值为1，其次，我们可以求出sin(x) 在x=π/2 处的一阶导数为cos(π/2)=0，二阶导数为-sin(π/2)=-1，以此类推。
一类函数的高阶导数公式
一类函数的高阶导数公式常见的一类函数的高阶导数公式如下：注：下图中a,k为任意实数(k≠0),n、m为任意正整数导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f （x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df （x0）/dx。
导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。
若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。
然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。
对于可导的函数f(x)，x↦f'(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数（简称导数）。
寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。
实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。
反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。
微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。
求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。
设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x 在x0处有增量Δx，（x0+Δx）也在该邻域内时，相应地函数取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）；如果Δy与Δx之比当Δx→0时极限存在，则称函数y=f（x）在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f（x）在点x0处的导数记作①；②；③，即需要指出的是：两者在数学上是等价的。
莱布尼兹公式好比二项式定理，它是用来求f(x)*g(x)的高阶导数的。
多元函数泰勒公式
的一阶偏导数为仍存在偏导数则称它们为函数的二阶偏导数连续都在点例如对三元函数u说明
4 泰勒公式与极值
高阶导数 中值定理和泰勒公式
问题
一、高阶偏导数
函数z f ( x, y)的一阶偏导数为 fx ( x, y) , f y ( x, y) 仍存在偏导数，则称它们为函数 z f ( x, y) 的二阶
其中记号
h
x
k
y
f
(
x0
,
y0
)
表示 hf x ( x0 , y0 ) kf y ( x0 , y0 ),
2
h k x y
f ( x0 , y0 )
表示 h2 f x x ( x0 , y0 ) 2hkfxy ( x0 , y0 ) k 2 f yy ( x0 , y0 ),
f xy ( x0 1x, y0 2y)xy, 0 1,2 1
F(x, y) f ( x0 x, y0 y) f ( x0, y0 y) f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) ( x0 ) (x0 x)
( y0 x) ( y0 ) ( y0 3y)y
内为一常数.
在泰勒公式(1) 中, 如果取 x0 0, y0 0 , 则(1)式成为n阶麦克劳林公式.
f ( x, y) f (0,0) x y f (0,0) x y
1 x
y
2
f (0,0)
1 x
y
n
f (0,0)
2! x y
n! x y
n1
1 x y f (x,y),
(n 1)! x y
(0 1) (5)
例 6 求函数 f ( x, y) ln(1 x y) 的三阶麦
高阶导数与泰勒公式
高阶导数与泰勒公式首先，我们来介绍高阶导数的概念。
对于函数y=f(x)，它的导数即表示函数曲线在其中一点的变化率。
一阶导数表示曲线的斜率，即切线的斜率；二阶导数表示曲线的曲率，即切线的斜率的变化率。
以此类推，高阶导数表示曲线的其中一种性质的变化率。
高阶导数的计算可以通过多次对函数进行求导得到。
设函数y=f(x)，那么它的一阶导数$f'(x)$可以表示为：$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$同样地，二阶导数$f''(x)$可以表示为：$f''(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f'(x+h) - f'(x)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+2h) - 2f(x+h) + f(x)}{h^2}$以此类推，我们可以计算出函数的任意高阶导数。
高阶导数的应用非常广泛。
在数学中，高阶导数被用于研究函数的性质，比如凹凸性、极值点等。
在物理学中，高阶导数可以用于描述物体的运动和力学性质。
在工程学中，高阶导数可以用于优化问题的求解，比如最速降落问题等。
接下来，我们来介绍泰勒公式。
泰勒公式是一种将函数在其中一点附近展开成无穷级数的方法，它可以用于近似计算函数的值或研究函数的性质。
设函数y=f(x)，在其中一点a处有$f(a)$、$f'(a)$、$f''(a)$等高阶导数。
那么函数在点a附近的泰勒公式展开可以表示为：$f(x) = f(a) + (x-a)f'(a) + \frac{(x-a)^2}{2!}f''(a) +\frac{(x-a)^3}{3!}f'''(a) + ...$其中，$(x-a)$表示函数在点a处的偏移量，$(x-a)^n$表示函数在点a处的$n$阶偏移量。
通常情况下，我们只考虑泰勒公式展开的有限项，即到其中一项为止。
泰勒公式原理
泰勒公式原理泰勒公式是数学中的一个重要定理，它描述了一个函数在某一点附近的局部近似。
这个公式由苏格兰数学家布鲁克·泰勒在18世纪提出，被广泛应用于数学、物理、工程等领域。
泰勒公式的原理是基于函数在某一点的导数值和高阶导数值来进行近似展开，从而可以用多项式来近似表示函数的值。
在实际应用中，泰勒公式可以帮助我们更好地理解函数的性质，进行数值计算和物理建模等工作。
首先，我们来看一下泰勒公式的基本形式。
对于一个充分光滑的函数f(x)，在点a处展开的泰勒公式可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! +f'''(a)(x-a)^3/3! + ...其中，f(a)代表函数在点a处的值，f'(a)代表函数在点a处的一阶导数的值，f''(a)代表函数在点a处的二阶导数的值，以此类推。
展开的项数可以是有限的，也可以是无限的，取决于我们需要多精确的近似。
泰勒公式的原理是通过利用函数在某一点的导数值和高阶导数值来构造一个多项式，使得这个多项式在该点的函数值和函数的各阶导数值都与原函数在该点的值相近。
这样，我们就可以用这个多项式来近似表示原函数在该点附近的取值，从而更方便地进行计算和分析。
泰勒公式的应用非常广泛。
在数学中，它常常被用来证明函数的性质，计算函数的极限、导数和积分等。
在物理学和工程学中，泰勒公式可以被用来建立物理模型，进行数值计算和仿真分析。
在计算机科学中，泰勒公式也被广泛应用于数值计算和优化算法中。
总之，泰勒公式是一个非常重要的数学工具，它可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质，进行数值计算和物理建模等工作。
通过对泰勒公式的深入理解和应用，我们可以更好地解决实际问题，推动科学技术的发展。
希望本文对泰勒公式的原理有所帮助，也希望读者能够在实际工作中灵活应用这一重要的数学工具。
考研泰勒公式大全
考研泰勒公式大全泰勒公式是指对于可导函数在一些点附近进行近似展开的一种方法，泰勒公式包括一阶泰勒公式、二阶泰勒公式、高阶泰勒公式等。
下面将详细介绍泰勒公式的各种形式以及应用。
1.一阶泰勒公式：一阶泰勒公式也称为线性近似公式，其形式如下：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)其中，f(x)表示可导函数在点x处的函数值，f(a)表示可导函数在点a处的函数值，f'(a)表示可导函数在点a处的导数的值。
一阶泰勒公式的应用：一阶泰勒公式可以用来进行函数曲线的直线近似，特别是在计算中的一些复杂函数值时，可以通过一阶泰勒公式进行近似计算。
同时，一阶泰勒公式也可以用来求函数在一些点处的导数值。
2.二阶泰勒公式：二阶泰勒公式也称为二次近似公式，其形式如下：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(x-a)^2/2!*f''(a)其中，f(x)表示可导函数在点x处的函数值，f(a)表示可导函数在点a处的函数值，f'(a)表示可导函数在点a处的导数的值，f''(a)表示可导函数在点a处的二阶导数的值。
二阶泰勒公式的应用：二阶泰勒公式可以用来进行函数曲线的二次近似，尤其是在计算中的一些复杂函数值时，可以通过二阶泰勒公式进行近似计算。
二阶泰勒公式还可以用来求函数在一些点处的导数值和二阶导数值。
3.高阶泰勒公式：高阶泰勒公式是指泰勒公式的更一般形式，其表达式为：f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+(x-a)^2/2!*f''(a)+...+(x-a)^n/n!*f^n(a)其中，n为正整数，f^n(a)表示可导函数在点a处的n阶导数，n!表示n的阶乘。
高阶泰勒公式的应用：高阶泰勒公式可以用来进行函数曲线的更高阶近似，特别是在计算中的一些复杂函数值时，可以通过高阶泰勒公式进行近似计算。
高阶泰勒公式还可以用来求函数在一些点处的导数值和各阶导数值。
求高阶导数的方法
求高阶导数的方法求高阶导数是微积分中的一个重要内容，它在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍几种求高阶导数的方法。
一、使用公式法求高阶导数对于一个函数f(x)，它的n阶导数可以使用公式法求解。
具体来说，我们可以使用以下公式：f^(n)(x) = [f^(n-1)(x)]'其中，f^(n)(x)表示f(x)的n阶导数，f^(n-1)(x)表示f(x)的(n-1)阶导数，'表示求导符号。
通过这个公式，我们可以递归地求出f(x)的任意阶导数。
二、使用泰勒公式求高阶导数泰勒公式是一种将一个函数表示为无限阶导数的和的公式。
具体来说，对于一个函数f(x)，它在x=a处的泰勒展开式为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + f^(n)(a)(x-a)^n/n! + ...其中，f'(a)表示f(x)在x=a处的一阶导数，f''(a)表示f(x)在x=a处的二阶导数，f^(n)(a)表示f(x)在x=a处的n阶导数。
通过这个公式，我们可以求出f(x)的任意阶导数。
三、使用微分方程求高阶导数微分方程是描述自然现象中变化规律的数学工具。
对于一个函数f(x)，它的n阶导数可以表示为一个微分方程的解。
具体来说，我们可以将f(x)的n阶导数表示为：f^(n)(x) = g(x, f(x), f'(x), ..., f^(n-1)(x))其中，g(x, f(x), f'(x), ..., f^(n-1)(x))是一个关于x和f(x)及其前n-1阶导数的函数。
通过求解这个微分方程，我们可以得到f(x)的n阶导数。
求高阶导数有多种方法，包括使用公式法、泰勒公式和微分方程。
在实际应用中，我们可以根据具体问题的特点选择合适的方法来求解高阶导数。
泰勒公式4种形式
泰勒公式4种形式泰勒公式是数学中一种重要的算法，它可以把函数的高阶导数表示为函数的低阶导数的级数展开。
它是由18世纪英国数学家威廉·泰勒提出的，被称为“泰勒公式”。
泰勒公式有四种形式，分别是中心差分法、前向差分法、后向差分法和梯形法。
中心差分法是用函数的中心差分来计算函数的高阶导数，其公式为：f^(n)(x)=1/(2h)^n*[f(x+h)-f(x-h)]+O(h^n)。
其中，h是函数值变化的步长，f(x)表示函数值，f^(n)(x)表示函数的n阶导数，O(h^n)表示一个忽略项，它随着h的增大而减小。
前向差分法是用函数的前向差分来计算函数的高阶导数，其公式为：f^(n)(x)=1/h^n*[f(x+nh)-f(x)]+O(h^n)。
其中，h是函数值变化的步长，f(x)表示函数值，f^(n)(x)表示函数的n阶导数，O(h^n)表示一个忽略项，它随着h的增大而减小。
后向差分法是用函数的后向差分来计算函数的高阶导数，其公式为：f^(n)(x)=1/h^n*[f(x)-f(x-nh)]+O(h^n)。
其中，h是函数值变化的步长，f(x)表示函数值，f^(n)(x)表示函数的n阶导数，O(h^n)表示一个忽略项，它随着h的增大而减小。
梯形法是用函数的梯形来计算函数的高阶导数，其公式为：f^(n)(x)=1/h^n*[f(x+nh)-f(x-nh)]+O(h^n)。
其中，h是函数值变化的步长，f(x)表示函数值，f^(n)(x)表示函数的n阶导数，O(h^n)表示一个忽略项，它随着h的增大而减小。
泰勒公式的运用非常广泛，在数学建模、物理学、科学计算、数值分析等领域都有着重要的作用。
它可以用来近似计算函数的高阶导数，也可以用来解决微积分中的积分问题。
由于泰勒公式的重要性，它已经成为计算机科学中最基本的一种算法。
同时，它也被广泛应用于科学研究和工程实践中，用来求解复杂的数学问题。
由此可见，泰勒公式在工程实践和科学研究中发挥着重要的作用。
高阶导数和高阶微分泰勒公式
§2-9 高阶导数和高阶微分·泰勒公式1.高阶导数和高阶微分 在§2-3中，我们讲了函数的二阶导数和二阶微分。
一般地，函数)(x y y =的n 阶导数就是hx y h x y x yx yn n h n n )()(lim ])([)()1()1(0)1()(--→--+='= (0)()()y x y x =⎡⎤⎣⎦ 而n 阶微分就是n n n n n n n n x x y x x x y x x y y y d )(d ]d )([]d )(d[]d[d d )(1)(1)1(1-====--- (x 是自变量；x d 被看成与x 无关的有限量)因此，按照莱布尼茨的记法，函数)(x y y =的n 阶导数)()(x y n 也可记成nn x x y d )(d 或简记成 n n xyd d (注意．．n 的位置．．．) 这样，导数与微分之间的那种“乘或除”的转换关系被保留到n 阶导数与n 阶微分的关系中.例33 因为指数函数e x 的导数(e )e x x '=，所以(e )(e )e x x x '''==. 依次类推，则有()()(e )e ,d (e )(e )d e d (1,2,)x n x n x x n n x n x x n ====L例34 对于函数x y sin =，则cos sin ,sin sin 2,222y x x y x x '⎡⎤πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''==+=+=⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L一般地，()sin 2n n y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； ()d d sin d 2n n n n n y y x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭),2,1(Λ=n . 同理，对于函数cos y x =，有()cos 2n n y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； ()d d cos d 2n n n n n y y x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭),2,1(Λ=n . 例35 对于函数ln(1)y x =+，则223112,,(1),1(1)(1)y y y x x x ''''''==-=-+++L 一般地，（n 阶导数）()1(1)!(1)(1,2,)(1)n n nn yn x --=-=+L（n 阶微分）()1(1)!d d (1)d (1,2,)(1)n n n n nnn y y x x n x --==-=+L 例36 设函数21()e (0),(0)0x f x x f -=≠=.证明：),2,1(0)0()(Λ==n f n .证 一方面，函数)(x f 在点0是连续的，因为2211001lim ()lim e lim 0(0)e u x x ux x u f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭-→→→∞=======另一方面，22221132300226lim ()lim e lim lim 3lim e 2e e u x x u u u x x u u u u u u f x x u ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦-→→→∞→∞→∞⎛⎫∞∞⎛⎫⎛⎫⎪'=⋅======= ⎪ ⎪⎪∞∞⎝⎭⎝⎭⎝⎭213lim02eu u u →∞==)0(f '= [点0的导数等于点0近旁导数的极限]因此，一阶导数)(x f '在点0是连续的. 一般地，当0≠x 时，2211364246()e ,()e ,x x f x f x xxx --⎛⎫'''==- ⎪⎝⎭L L容易看出，对于任何正整数n ，21()1()en x f x P x -⎛⎫= ⎪⎝⎭[其中)(u P 为关于u 的多项式] 且根据洛必达法则，(※) 2221()0()()lim ()lim ()e limlim 0e (e )u x n u u u x u u u P u P u f x P u ⎛⎫= ⎪⎝⎭-→→∞→∞→∞'∞⎛⎫======== ⎪∞'⎝⎭L L 于是，因为一阶导数)(x f '在点0是连续的，根据式(※)，所以0)(lim )0(0=''=''→x f f x 且)(x f ''在点0也是连续的.依次类推(或用数学归纳法)，可得()()0(0)lim ()0n n x f f x →==2.泰勒公式 一个n 次多项式230123()()()()()n n P x b b x a b x a b x a b x a =+-+-+-++-L中，它的系数(0,1,2,,)k b k n =L 与()P x 有什么关系呢？显然，0()b P a =；又因为21123()2()3()()n n P x b b x a b x a nb x a -'=+-+-++-L 223()232()(1)()n n P x b b x a n n b x a -''=+⋅-++--L33()32(1)(2)()n n P x b n n n b x a -'''=⋅++---LM()()(1)(2)321n n P x n n n b =--⋅⋅⋅L所以，1()b P a '=， 2()2!P a b ''=， 3()3!P a b '''=，L ， ()()!n n P a b n =因此，()23()()()()()()()()()()1!2!3!!n n P a P a P a P a P x P a x a x a x a x a n ''''''=+-+-+-++-L⑴带皮亚诺余项的泰勒公式 对于一般的函数()f x ，若它在某点a 有一阶导数()f a '(即可微分)，根据定义，则有()()()()f a x f a f a x o x '+∆-=∆+∆即()x x a ∆=-()()()()[()]f x f a f a x a o x a '=+-+-若函数()f x 在点a 有二阶导数()f a ''，令2()()(,)()()()()1!2!f a f a R a x f x f a x a x a '''⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎣⎦则有222()()()()()()(,)01!2!lim lim ()()0x a x a f a f a f x f a x a x a R a x x a x a →→'''⎡⎤-+-+-⎢⎥⎛⎫⎣⎦= ⎪--⎝⎭ [()()]()()01()()limlim ()02()02x a x a f x f a f a x a f x f a f a x a x a →→''''''----⎛⎫⎡⎤''==-= ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦即2(,)[()]R a x o x a =-. 因此，22()()()()()()[()]1!2!f a f a f x f a x a x a o x a '''=+-+-+- 一般地，用相同的方法可以证明下面的结论(请你完成它的证明).泰勒定理1 若函数)(x f 在点a 有n 阶导数()()n f a ，则函数)(x f 在点a 有展开式()2()()()()()()()()[()]1!2!!n n n f a f a f a f x f a x a x a x a o x a n '''=+-+-++-+-L与上面多项式的情形不同，这里多出最后的“余项”[()]n o x a -，称它为皮亚诺(G.Peano)余项.上面的展开式就称为函数()f x 在点a 带皮亚诺余项的n 阶泰勒公式.需要指出，习惯上把函数()f x 在点0的泰勒公式()(0)(0)()(0)()1!!n nn f f f x f x x o x n '=++++L称为麦克劳林(Maclaurin)公式（*）.特别，根据例33、例34和例35中的高阶导数公式，则有23e 1()2!3!!nxn x x x x o x n =++++++L ，3521121sin (1)()3!5!(21)!n n n x x x x x o x n ---=-+-+-+-L ，2422cos 1(1)()2!4!(2)!nn n x x x x o x n =-+-+-+L ， 231ln(1)(1)()23nn n x x x x x o x n-+=-+-+-+L . ⑵带拉格朗日余项的泰勒公式 假若函数)(x f 在含点a 的某区间内有一阶导数()f x '，根（*）《微积分学教程》([俄]菲赫金哥尔茨著)中说, 这是没有根据的。
高等数学二高阶偏导数及泰勒公式
y2z2fyy(x,y)y fy, y2zxfyx(x,y)x fy 称为 z = f (x, y)的二阶偏导数.
称fxy(x,y),fyx(x,y)为二阶混合 . 偏导
类似, 可得三阶, 四阶, …, n 阶偏导数.
如, 若x2z2可偏,则 导记
令 x 0 , y 0 .因 f x ,f y y 在 x ( x 0 ,y 0 ) 连 ,有 , 续
fx (y x 0 ,y 0 ) fy (x x 0 ,y 0 )
注
1.定理1的结果可推广到更高阶的混合偏 导的情形. 同时可推广到二元以上的函数情形.
即,若混合偏导数连续, 则混合偏导相等(即 求混合偏导与求导顺序无关).
A = ' (x0 +1x) x [ f x ( x 0 1 x , y 0 y ) f x ( x 0 1 x , y 0 ) x , ] 其,0中 11.
A [ f x ( x 0 1 x , y 0 y ) f x ( x 0 1 x , y 0 ) x ]
本题 :由 u x也 x2 a 可 ,y 积 (以 分 x为积 ),分 得u1x3axy c(y).
3 从u 而 y a x c (y ). 与 u y x y b six 比 n 较 a 1 ,b 可 0 . 得
例3. 设 w f(x y z,x)yf, zC 2 ,求 2 w .
x z
lx i0fm (x x ,y y x )f(x ,y y )
lx i0m f(x x, yx )f(x,y)
lilm i1 m 1 f(x x ,y y ) f(x ,y y )
y 0 x 0 y x
考研高数知识点总结
考研高数知识点总结高等数学是考研数学中的重要一部分，对于考研学生来说，掌握高等数学的知识点是非常重要的。
下面是对高等数学知识点的总结，希望对考研学生有所帮助。
一、函数与极限1. 函数的概念：函数的定义域、值域和图像2. 函数的性质：奇偶性、周期性等3. 极限的概念：数列极限和函数极限4. 极限的性质：极限的四则运算、夹逼定理等5. 单调性与有界性：单调递增、单调递减、有界二、导数与微分1. 导数的概念：导数的定义、几何意义、物理意义2. 导数的运算法则：加法减法法则、乘法法则、复合函数法则等3. 高阶导数与隐函数求导4. 微分与微分近似三、高阶导数与泰勒公式1. 高阶导数的定义与运算法则2. 泰勒展开式与泰勒公式四、不定积分与定积分1. 不定积分的概念与运算法则2. 反常积分：可积性、柯西准则、比较判别法等3. 定积分的概念与性质：函数积分的线性性、可加性、区间可加性等4. 牛顿-莱布尼茨公式与定积分的应用五、多元函数与偏导数1. 多元函数的定义与性质：定义域、值域、图像等2. 偏导数的概念：一阶偏导数、高阶偏导数3. 隐函数求导与全微分的概念4. 多元函数的极值与条件极值六、重积分与曲线曲面积分1. 二重积分的概念与计算方法：极坐标法、换元法、直角坐标系下的积分法2. 三重积分的概念与计算方法：柱面坐标法、球面坐标法、直角坐标系下的积分法3. 曲线积分与曲面积分的概念与计算方法七、常微分方程1. 常微分方程的基本概念：初值问题、解的存在唯一性2. 高阶线性常微分方程与常系数齐次线性方程3. 常微分方程的解法：分离变量法、齐次方程法、一阶线性非齐次方程法等4. 常微分方程的应用：动力学模型、电路网络分析等八、级数1. 级数的概念与基本性质：收敛、发散、极限、级数的四则运算等2. 正项级数与比较判别法、比值判别法、根值判别法等3. 幂级数与泰勒级数展开高等数学知识点总结完毕，以上知识点对考研的高等数学考试来说是基础中的基础。
泰勒公式及其应用
如果函数在闭区间上有阶导数,在开区间内有阶导数，那么
， （1）
当时，又有 （2）
其中,都称为泰勒公式的柯西型余项[3].
3.4 带有积分型余项的令,则对该邻域内异于的任意点,在和之间至少存在一个使得：
若函数ƒ在点有直至阶的导数，则有
，
(是某个无穷小量），其中叫皮亚诺型余项[1].
它仅仅适用于“自变量充分接近于点”的情形，也就是说，只是“在小范围里”刻画了函数；我们希望：“在大范围里”也可以这样做.误差应有明确的表达式.从这些方面的研究，便可以得到拉格朗日余项的泰勒公式.
3.2 带有拉格朗日余项的泰勒公式
4.1 利用泰勒公式求极限
应用泰勒公式求极限，可以使问题化繁为简.
例1 计算的极限.
分析：此题为型极限，若用洛必达法则比较麻烦，在这里可将和分别用泰勒展开式代替，则可简化此式子.
解:利用展开式:，,
由此可得:
，
所以:
。
2.2研究现状评价
泰勒公式应用广泛，且一直以来对它的研究持续不断，虽然它在求极限、极值、证明不等式、求高阶导数、研究函数图像等方面已有人研究，但在它的应用上还有继续研究的空间.
2.3提出问题
对于泰勒公式前面有许多的学者对它都有一定的研究，但大部分都是个人对某一方面的研究，因此这里对泰勒公式常见的几项应用及余项进行了研究，及其对应用做了一定的分析和总结，以便于后者对泰勒公式的应用和学习.
2.文献综述
2.1研究现状
对于泰勒公式，很多研究者喜欢研究它的证明和应用，特别是在2002年后的10年左右，研究泰勒公式和泰勒公式的应用的研究者颇多，并且在这些方面好大一部分研究者都取得了显著成果，例如湖南的唐仁献，洛阳的王素芳，陶容的张永胜，湖北的蔡泽林、陈琴等都发表了有关泰勒公式的文献.特别是泰勒公式的应用，它的定理和性质在不等式的证明和计算中得到了充分的利用，且方法多种多样，做法新颖，因为应用广泛，现如今研究它的人也不少.
常用的泰勒公式
常用的泰勒公式泰勒公式（Taylor Series）是数学分析中的一个重要工具，用于近似地表示一个函数在其中一点附近的值。
其基本思想是使用函数在其中一点的各阶导数来逼近函数的值。
泰勒公式的完整推导可以用数学归纳法证明，展开为一般形式为：\[f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)\]其中，\(f(x)\)是要近似的函数，\(a\)是近似的中心点，\(n\)是近似的阶数，\(f'(x), f''(x), \ldots, f^{(n)}(x)\)是函数在\(a\)点的各阶导数，\(R_n(x)\)是余项。
以下是几种常用的泰勒公式：1.一阶泰勒公式：\[f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\]这是泰勒公式的最简单形式，将一阶导数乘以\(x-a\)，得到函数在近似点附近的一次线性逼近。
2.二阶泰勒公式：\[f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2\]在一阶泰勒公式的基础上，再加上二阶导数乘以\(\frac{(x-a)^2}{2!}\)，得到函数在近似点附近的二次二项式逼近。
3.三阶泰勒公式：\[f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 +\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3\]在二阶泰勒公式的基础上，再加上三阶导数乘以\(\frac{(x-a)^3}{3!}\)，得到函数在近似点附近的三次三项式逼近。
高阶偏导数与高阶全微分
2 f2 y2 f11 4xyf12 4x2 f22 ,
2z xy
f1
y
f11
u y
f
22
v y
2
x
fy[ xf11 2 yf12 ] 2x[ xf21 2 yf22]
f1 xyf11 2( x2 y2 ) f12 4xyf22 .
例3 设由方程 x 2 y z e x yz 确定的隐函数 为 z z(x, y), 求 2z .
2
,
x 1 x 2 y z 1 x 2 y z
z x 2 y z 2 1
1
.
y 1 x 2 y z
1 x2y z
从而
2z xy
(1
2 2 z y x2y
z)2
2( x 2 y z) (1 x 2 y z)3
.
二、高阶全微分
考虑 z f (x, y) 的全微分 dz f x( x, y)dx f y( x, y)dy
xy 解 方程 x 2 y z ex yz 两边求全微分, 得
dx 2dy dz ex yz (dx dy dz)
因此
( x 2 y z)(dx dy dz)
dz x 2 y z 1dx x 2 y z 2dy 1 x2y z 1 x2y z
由此可得
z x 2 y z 1 1
[1
2x3 y ( xy)2
]2
d2z zxxdx2 2zxydxdy zyydy2
[1
1 ( xy)2
]2
[2
xy 3dx 2
2(1
x2
y2
)dxdy
2
x3
ydy
2
].
三、二元函数的泰勒公式
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§2-9 高阶导数和高阶微分·泰勒公式1.高阶导数和高阶微分 在§2-3中，我们讲了函数的二阶导数和二阶微分。
一般地，函数)(x y y =的n 阶导数就是hx y h x y x yx yn n h n n )()(lim ])([)()1()1(0)1()(--→--+='= (0)()()y x y x =⎡⎤⎣⎦ 而n 阶微分就是n n n n n n n n x x y x x x y x x y y y d )(d ]d )([]d )(d[]d[d d )(1)(1)1(1-====--- (x 是自变量；x d 被看成与x 无关的有限量)因此，按照莱布尼茨的记法，函数)(x y y =的n 阶导数)()(x y n 也可记成nn x x y d )(d 或简记成 n n xyd d (注意．．n 的位置．．．) 这样，导数与微分之间的那种“乘或除”的转换关系被保留到n 阶导数与n 阶微分的关系中.例33 因为指数函数e x 的导数(e )e x x '=，所以(e )(e )e x x x '''==. 依次类推，则有()()(e )e ,d (e )(e )d e d (1,2,)x n x n x x n n x n x x n ====例34 对于函数x y sin =，则cos sin ,sin sin 2,222y x x y x x '⎡⎤πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''==+=+=⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦一般地，()sin 2n n y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； ()d d sin d 2n n n n n y y x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭),2,1( =n . 同理，对于函数cos y x =，有()cos 2n n y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； ()d d cos d 2n n n n n y y x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭),2,1( =n . 例35 对于函数ln(1)y x =+，则223112,,(1),1(1)(1)y y y x x x ''''''==-=-+++ 一般地，（n 阶导数）()1(1)!(1)(1,2,)(1)n n nn yn x --=-=+（n 阶微分）()1(1)!d d (1)d (1,2,)(1)n n n n nnn y y x x n x --==-=+ 例36 设函数1()e(0),(0)0x f x xf -=≠=.证明：),2,1(0)0()( ==n f n .证 一方面，函数)(x f 在点0是连续的，因为2211001lim ()lim e lim 0(0)e u x x ux x u f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭-→→→∞=======另一方面，22221132300226lim ()lim e lim lim 3lim e 2e e u x x u u u x x u u u u u u f x x u ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦-→→→∞→∞→∞⎛⎫∞∞⎛⎫⎛⎫⎪'=⋅======= ⎪ ⎪⎪∞∞⎝⎭⎝⎭⎝⎭213lim02eu u u →∞==)0(f '= [点0的导数等于点0近旁导数的极限]因此，一阶导数)(x f '在点0是连续的. 一般地，当0≠x 时，2211364246()e ,()e ,x x f x f x xxx --⎛⎫'''==- ⎪⎝⎭容易看出，对于任何正整数n ，1()1()en x f x P x -⎛⎫= ⎪⎝⎭[其中)(u P 为关于u 的多项式] 且根据洛必达法则，(※) 2221()0()()lim ()lim ()e limlim 0e (e )u x n u u u x u u u P u P u f x P u ⎛⎫= ⎪⎝⎭-→→∞→∞→∞'∞⎛⎫======== ⎪∞'⎝⎭于是，因为一阶导数)(x f '在点0是连续的，根据式(※)，所以0)(lim )0(0=''=''→x f f x 且)(x f ''在点0也是连续的.依次类推(或用数学归纳法)，可得()()0(0)lim ()0n n x f f x →==2.泰勒公式 一个n 次多项式230123()()()()()n n P x b b x a b x a b x a b x a =+-+-+-++-中，它的系数(0,1,2,,)k b k n = 与()P x 有什么关系呢？显然，0()b P a =；又因为21123()2()3()()n n P x b b x a b x a nb x a -'=+-+-++- 223()232()(1)()n n P x b b x a n n b x a -''=+⋅-++--33()32(1)(2)()n n P x b n n n b x a -'''=⋅++---()()(1)(2)321n n P x n n n b =--⋅⋅⋅所以，1()b P a '=， 2()2!P a b ''=， 3()3!P a b '''=， ， ()()!n n P a b n = 因此，()23()()()()()()()()()()1!2!3!!n n P a P a P a P a P x P a x a x a x a x a n ''''''=+-+-+-++-⑴带皮亚诺余项的泰勒公式 对于一般的函数()f x ，若它在某点a 有一阶导数()f a '(即可微分)，根据定义，则有()()()()f a x f a f a x o x '+∆-=∆+∆即()x x a ∆=-()()()()[()]f x f a f a x a o x a '=+-+-若函数()f x 在点a 有二阶导数()f a ''，令2()()(,)()()()()1!2!f a f a R a x f x f a x a x a '''⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎣⎦则有222()()()()()()(,)01!2!lim lim ()()0x a x a f a f a f x f a x a x a R a x x a x a →→'''⎡⎤-+-+-⎢⎥⎛⎫⎣⎦= ⎪--⎝⎭[()()]()()01()()limlim ()02()02x a x a f x f a f a x a f x f a f a x a x a →→''''''----⎛⎫⎡⎤''==-= ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦即2(,)[()]R a x o x a =-. 因此，22()()()()()()[()]1!2!f a f a f x f a x a x a o x a '''=+-+-+- 一般地，用相同的方法可以证明下面的结论(请你完成它的证明).泰勒定理1 若函数)(x f 在点a 有n 阶导数()()n f a ，则函数)(x f 在点a 有展开式()2()()()()()()()()[()]1!2!!n n n f a f a f a f x f a x a x a x a o x a n '''=+-+-++-+-与上面多项式的情形不同，这里多出最后的“余项”[()]n o x a -，称它为皮亚诺(G.Peano)余项.上面的展开式就称为函数()f x 在点a 带皮亚诺余项的n 阶泰勒公式.需要指出，习惯上把函数()f x 在点0的泰勒公式()(0)(0)()(0)()1!!n nn f f f x f x x o x n '=++++称为麦克劳林(Maclaurin)公式（*）.特别，根据例33、例34和例35中的高阶导数公式，则有23e 1()2!3!!nxn x x x x o x n =++++++ ，3521121sin (1)()3!5!(21)!n n n x x x x x o x n ---=-+-+-+- ，2422cos 1(1)()2!4!(2)!nn n x x x x o x n =-+-+-+ ， 231ln(1)(1)()23nn n x x x x x o x n-+=-+-+-+ . ⑵带拉格朗日余项的泰勒公式 假若函数)(x f 在含点a 的某区间内有一阶导数()f x '，根（*）《微积分学教程》([俄]菲赫金哥尔茨著)中说, 这是没有根据的。
据微分中值定理，当x ∆足够小时，则有()()()(01)f a x f a f a x x θθ'+∆-=+∆∆<<（拉格朗日公式）或()x x a ∆=-()()[()]()(01)f x f a f a x a x a θθ'=++--<<一般情形下，有下面的结论.泰勒定理2 若函数)(x f 在点a 及其近旁有)1(+n 阶导数)()1(x fn +，则在点a 及其近旁有 ()2()()()()()()()()(,)1!2!!n n n f a f a f a f x f a x a x a x a R a x n '''=+-+-++-+其中余项(1)1[()](,)()(01)(1)!n n n f a x a R a x x a n θθ+++-=-<<+称为拉格朗日余项，而称上面的展开式为带拉格朗日余项的n 阶泰勒公式.特别，当0=n 时，泰勒公式()()[()]()(01)f x f a f a x a x a θθ'=++--<<就是拉格朗日公式.证 为书写简单起见，以下记h x a =-，并考虑等式()21()()()()()1!2!!n nn f a f a f a f x f a h h h C h n +'''=+++++ （※）其中C 为待定数(当,,a h n 确定后，它是常数).作辅助函数()21()()()()()()()()()()1!2!!n n n f a f a f a g t f a th f a th th th C th n +'''⎡⎤=+-+++++⎢⎥⎣⎦)10(≤≤t它在区间]1,0[上满足罗尔定理的条件，所以有1t )10(1<<t 使0)(1='t g ；而()211()()()()()(1)1!(1)!n n nn n f a f a g t f a th h f a h th t h C n t h n -+''⎡⎤'''=+-+++++⎢⎥-⎣⎦所以0)0(='g .因此，)(t g '在区间],0[1t 上满足罗尔定理的条件，所以又有2t )0(12t t <<使0)(2=''t g .依次类推，就会有n t )10(11<<<<<-t t t n n 使0)()(=n n t g ，而()()()1()()()(1)!n n n n n n g t f a th h f a h C n th +=+-++⎡⎤⎣⎦且0)0()(=n g .最后，函数)()(t g n 在区间],0[n t 上满足罗尔定理的条件，所以有),0(1n n t t ∈+使0)(1)1(=++n n t g ，即0!)1()()(111)1(1)1(=+-+=++++++n n n n n n h n C h h t a f t g .因此， )10(!)1()(!)1()()1(1)1(<<++=++=+++θθn h a f n h t a f C n n n把它代入式(※)，则得()(1)21()()()()()()1!2!!(1)!n n n n f a f a f a f a h f x f a h h h h n n ++'''+=++++++ θ因为其中h x a =-，所以它就是泰勒公式()2()()()()()()()()(,)1!2!!n n n f a f a f a f x f a x a x a x a R a x n '''=+-+-++-+其中余项(1)1[()](,)()(01)(1)!n n n f a x a R a x x a n θθ+++-=-<<+需要指出，习惯上也把函数在点0的泰勒公式nn x n f x f f x f !)0(!1)0()0()()(++'+= +)(x R n称为麦克劳林公式.其中余项=)(x R n (1)1()(01)(1)!n n f x x n θθ++<<+ (拉格朗日余项) 总结：令h x a =-，则()2()()()()()()1!2!!n nn f a f a f a f a h f a h h h o h n '''+=+++++和()(1)21()()()()()()1!2!!(1)!n n n n f a f a f a f a h f a h f a h h h h n n θ++'''++=++++++都称为泰勒公式，但有下面的不同处：第一，前者只假设()f x 在点a 有n 阶导数，并且推广了()()()()f a h f a f a h o h '+=++；后者要假设()f x 在含点a 的某个区间内有(1)n +阶导数，并且推广了拉格朗日公式()()()(01)f a h f a f a h h θθ'+=++<<第二，前者的余项只给出极限形式，不能估计近似公式()2()()()()()1!2!!n nf a f a f a f a h f a h h h n '''+≈++++ （泰勒多项式）的误差，而后者的余项给出的是有限形式，能够用来估计上述近似公式的误差，即()2()()()()()1!2!!n n f a f a f a f a h f a h h h n '''⎡⎤+-++++⎢⎥⎣⎦(1)1()(1)!n n f a h h n θ+++=+ 譬如，近似计算函数()f x 在点a 近旁的函数值)(h a f +时，可由给出的精确度ε和h x a =-的变化范围(||)h δ≤，根据上面的估计式，确定多项式的次数n ；或者根据次数n 和h 的变化范围，确定一个近似公式的精确度ε.例37 设()e x f x =. 因为()(e )e (1,2,)x n x n == ，所以()(0)1(0,1,2,)n f n == .因此，函数x e 的麦克劳林公式为21e 1e (01)2!!(1)!n n xxx x x x n n θθ+=+++++<<+由此得近似公式2e 12!!nxx x x n ≈++++问：当1||≤x 时，取多么大的n ，才能使这个近似公式的精确度4101≤ε. 解 当1||≤x 时，1e 3()e (1)!(1)!(1)!n x n x R x n n n θ+=≤≤+++ 经过试算，只要取7=n ，近似公式!7!21e 72x x x x++++≈ (1||≤x ) 的误差不超过4110，因为 487101403203!83!8e e !8)(<=≤≤=x x x R θ例38 函数ln(1)y x =+的n 阶导数为()1(1)!(1)(1,2,)(1)n n nn y n x --=-=+ ，()1(0)(1)(1)!(1,2,)n n y n n -=--= 所以，函数)1ln(x +的麦克劳林公式为)()1(32)1ln(132x R nx x x x x n nn +-+-+-=+- 其中余项的拉格朗日形式为1111)1(11)1()1)(1()1()!1()()(+++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++-=+=n n n n n n n n x x n x x n x n x f x R θθθ(01)θ<<取9,1==n x ，则有近似公式9181312112ln +--+-≈ 而误差109111(1)10110R θ⎛⎫=< ⎪+⎝⎭ 习 题1.求)(n y ：其中⑴n n x x a x x a x x a a y )()()(0202010-++-+-+= ； ⑵μ)1(x y +=(μ为常数)； ⑶x a y =； ⑷x y =； ⑸x x y +-=11(提示：112-+=xy )；⑹(1)y x x =-(提示：1y x x =+-)； ⑺232+-=x x y ；⑻x y 2sin =(提示：22cos 1x y -=)； ⑼bxa bxa y -+=ln .答案：⑴n a n !；⑵n x n -++---μμμμμ)1)(1()2)(1( ；⑶n x a a )(ln ；⑷1211111222nn x -⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；⑸1)1(!)1(2++-n n x n ；⑹)1()1()1(!)1(!n n n x n x n +-+--+-； ⑺(1)(1)!(1)(2)(1)n n n n x x -+-+----⎡⎤⎣⎦；⑻12cos 22n n x -π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭； ⑼1222(1)!()(1)()()n n n nn n b a a bx a bx x a b x b --⎛⎫⎡++--⎤< ⎪⎣⎦-⎝⎭. 2.将多项式23()1352P x x x x =++-表示成(1)x +的正整指数幂的多项式.提示：选取1a =-. 答案：23()513(1)22(1)12(1)P x x x x =-+++-+. 3.设()P x 为n 次多项式.证明：a 是()P x 的(1)k k n ≤≤重根的充分必要条件为(1)()()()0k P a P a P a -'====4.求极限2230e e 2e 2e lim (e 1)x x x xx x x x →+-+- 提示：23e 1()2!3!!n xn x x x x o x n =++++++ . 答案：16. 5.求极限 230112lim 1ln 2x x xx x →+⎛⎫+- ⎪-⎝⎭. 答案：1112. 提示：首先作恒等变换122ln ln ln 1ln 122212xx x x x x ++⎛⎫⎛⎫==+-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-(2)x < 然后注意23311ln 1()222232x x x x o x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 23311ln 1()222232x x x x o x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.6.若函数()f x 在点a 有直到(2)n n ≥阶的导数，且(1)()()()()0,()0n n f a f a f a f a -'''====≠证明：⑴当n 为偶数且()()0n f a <时，()f a 是极大值； ⑵当n 为偶数且()()0n f a >时，()f a 是极小值；⑶当n 为奇数时，a 不是函数()f x 的极值点，而a 是函数()f x 的拐点.【注】函数1e ,0()0,0x x f x x -⎧⎪≠=⎨=⎪⎩在点0x =取到极小值(0)0f =(也是最小值)，而()(0)0(1,2,)n f n == .这说明题中的条件是函数取到极值的充分条件，不是必要条件！7.设函数()f x 在区间[,]a b 上有二阶导数()f x ''，且()()0f a f b ''==.证明：至少存在一点(,)c a b ∈，使24()()()()f c f b f a b a ''≥--提示：取区间[,]a b 的中点()2a b +，根据带拉格朗日余项的泰勒公式，则①2211()()()()222222a b a b f c a b f c b a f f a f a a a ''''+++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②2222()()()()222222a b a b f c a b f c a b f f b f b b b ''''+++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭8.设函数)(x f 在区间),0(+∞内有二阶导数)(x f ''.若)2,1,0()(lub )(0=+∞<=+∞<<n x f n x n β证明：20214βββ≤.提示：根据带拉格朗日的泰勒公式，对于任意正数t ，2()()()()(01)2t f x t f x f x t f x t θθ'''+=+++<<从而对任意正数t ，有022()2tf x t ββ'≤+9.设函数)(x f 在区间[0,2]上有二阶导数.证明：若()1,()1(02)f x f x x ''≤≤≤≤则()2(02)f x x '≤≤≤.【注】结论()2(02)f x x '≤≤≤是最好的估计式，因为有例子21()1(02)2f x x x =-≤≤ 说明不能再改进了.10.设函数)(x f 在点a 近旁有)2(+n 阶连续导数，且0)()2(≠+a f n ，而泰勒公式中的拉格朗日余项为(1)1[()](,)()(01)(1)!n n n f a x a R a x x a n θθ+++-=-<<+其中(,,)a n x θθ=.证明：1lim 2x a n θ→=+.提示：因为函数在点近旁有阶连续导数，所以(1)11()(,)()(,)(1)!n n n n f a R a x x a R a x n +++=-++其中(2)2111[()](,)()(01)(2)!n n n f a x a R a x x a n θθ++++-=-<<+11.证明莱布尼茨公式：若函数()u u x =和()v v x =都有n 阶导数，则它们的乘积uv 也有n 阶导数，而且n 阶导数为()()()()C i nn i n i i n i uv u v =-==∑(其中(0)(0)!,,C !()!i nn v v u u i n i ===-)而n 阶微分为()d ()()d C dd i nn n ni n ii ni uv uv x u v =-===⋅∑ (其中00d ,d u u v v ==)提示：根据v u v u v u '+'=')(v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u ''+''+''=''+''+''+''=''+'=''2)()()()( v u v u v u v u v u v u v u v u '''+'''+'''+'''='''+''+''='''33)2()( 我们看出，右端各项的系数就是牛顿二项式公式302203333)(b a ab b a b a b a +++=+中各项的系数。