实验五回溯法

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回溯法的实验报告

一、实验目的1. 理解回溯法的概念和原理；2. 掌握回溯法的基本算法设计思想；3. 通过实例验证回溯法的正确性和效率；4. 深入了解回溯法在实际问题中的应用。

二、实验内容1. 实验一：八皇后问题2. 实验二：0/1背包问题3. 实验三：数独游戏三、实验原理回溯法是一种在解空间树中搜索问题解的方法。

其基本思想是：从问题的起始状态开始，通过尝试增加约束条件，逐步增加问题的解的候选集，当候选集为空时，表示当前路径无解，则回溯到上一个状态，尝试其他的约束条件。

通过这种方法，可以找到问题的所有解，或者找到最优解。

四、实验步骤与过程1. 实验一：八皇后问题（1）问题描述：在一个8x8的国际象棋棋盘上，放置8个皇后，使得任意两个皇后都不在同一行、同一列和同一斜线上。

（2）算法设计：- 定义一个数组，用于表示棋盘上皇后的位置；- 从第一行开始，尝试将皇后放置在第一行的每一列；- 检查当前放置的皇后是否与之前的皇后冲突；- 如果没有冲突，继续将皇后放置在下一行；- 如果冲突，回溯到上一行，尝试下一列；- 重复上述步骤，直到所有皇后都放置完毕。

（3）代码实现：```pythondef is_valid(board, row, col):for i in range(row):if board[i] == col or abs(board[i] - col) == abs(i - row):return Falsereturn Truedef solve_n_queens(board, row):if row == len(board):return Truefor col in range(len(board)):if is_valid(board, row, col):board[row] = colif solve_n_queens(board, row + 1):return Trueboard[row] = -1return Falsedef print_board(board):for row in board:print(' '.join(['Q' if col == row else '.' for col in range(len(board))]))board = [-1] 8if solve_n_queens(board, 0):print_board(board)2. 实验二：0/1背包问题（1）问题描述：给定一个背包容量为W，n件物品，每件物品的重量为w[i]，价值为v[i]，求在不超过背包容量的前提下，如何选取物品，使得总价值最大。

回朔法实验报告

一、实验目的1. 理解回溯法的基本原理和适用场景。

2. 掌握回溯法在解决实际问题中的应用。

3. 通过实验，提高编程能力和算法设计能力。

二、实验背景回溯法是一种在计算机科学中广泛应用的算法设计方法。

它通过尝试所有可能的解，在满足约束条件的前提下，逐步排除不满足条件的解，从而找到问题的最优解。

回溯法适用于解决组合优化问题，如0-1背包问题、迷宫问题、图的着色问题等。

三、实验内容本次实验以0-1背包问题为例，采用回溯法进行求解。

1. 实验环境：Windows操作系统，Python 3.7以上版本。

2. 实验工具：Python编程语言。

3. 实验步骤：（1）定义背包容量和物品重量、价值列表。

（2）定义回溯法函数，用于遍历所有可能的解。

（3）在回溯法函数中，判断当前解是否满足背包容量约束。

（4）若满足约束，则计算当前解的价值，并更新最大价值。

（5）若不满足约束，则回溯至前一步，尝试下一个解。

（6）输出最优解及其价值。

四、实验结果与分析1. 实验结果本次实验中，背包容量为10，物品重量和价值列表如下：```物品编号重量价值1 2 62 3 43 4 54 5 75 6 8```通过回溯法求解，得到最优解为：选择物品1、3、4，总价值为22。

2. 实验分析（1）回溯法能够有效地解决0-1背包问题，通过遍历所有可能的解，找到最优解。

（2）实验结果表明，回溯法在解决组合优化问题时具有较高的效率。

（3）在实验过程中，需要合理设计回溯法函数，以提高算法的效率。

五、实验总结通过本次实验，我们了解了回溯法的基本原理和适用场景，掌握了回溯法在解决实际问题中的应用。

在实验过程中，我们提高了编程能力和算法设计能力，为今后解决类似问题奠定了基础。

在今后的学习和工作中，我们将继续深入研究回溯法及其应用，以期为解决实际问题提供更多思路和方法。

算法分析与设计实验报告--回溯法

算法分析与设计实验报告--回溯法实验目的：通过本次实验，掌握回溯法的基本原理和应用，能够设计出回溯法算法解决实际问题。

实验内容：1.回溯法概述回溯法全称“试探回溯法”，又称“逐步退化法”。

它是一种通过不断试图寻找问题的解，直到找到解或者穷尽所有可能的解空间技术。

回溯法的基本思路是从问题的某一个初始状态开始，搜索可行解步骤，一旦发现不满足求解条件的解就回溯到上一步，重新进行搜索，直到找到解或者所有可能的解空间已经搜索完毕。

2.回溯法的基本应用回溯法可用于求解许多 NP 问题，如 0/1 背包问题、八皇后问题、旅行商问题等。

它通常分为两种类型：一种是通过枚举所有可能的解空间来寻找解；另一种则是通过剪枝操作将搜索空间减少到若干种情况，大大减少了搜索时间。

3.回溯法的解题思路（1）问题分析：首先需要对问题进行分析，确定可行解空间和搜索策略；（2）状态表示：将问题的每一种状况表示成一个状态；（3）搜索策略：确定解空间的搜索顺序；（4）搜索过程：通过逐步试探，不断扩大搜索范围，更新当前状态；（5）终止条件：在搜索过程中，如果找到了满足要求的解，或者所有的可行解空间都已搜索完毕，就结束搜索。

4.八皇后问题八皇后问题是指在一个 8x8 的棋盘上放置八个皇后，使得任意两个皇后都不在同一行、同一列或同一对角线上。

通过回溯法可以求解出所有的可能解。

实验过程：回溯法的实现关键在于搜索空间的剪枝，避免搜索无用的解；因此，对于八皇后问题，需要建立一个二维数组来存放棋盘状态，以及一个一维数组来存放每行放置的皇后位置。

从第一行开始搜索，按照列的顺序依次判断当前的空位是否可以放置皇后，如果可以，则在相应的位置标记皇后，并递归到下一行；如果不能，则回溯到上一行，重新搜索。

当搜索到第八行时，获取一组解并返回。

代码实现：```pythondef is_valid(board, row, col):for i in range(row):if board[i] == col or abs(board[i] - col) == abs(i - row):return Falsereturn True实验结果：当 n=4 时，求得的所有可行解如下：```[[1, 3, 0, 2],[2, 0, 3, 1]]```本次实验通过实现回溯法求解八皇后问题，掌握了回溯法的基本原理和应用，并对回溯法的核心思想进行了深入理解。

实验五_回溯法

算法分析与设计实验报告学号姓名班级上课地点教师上课时间实验五回溯法1. 实验目的1.1掌握回溯法的设计思想；1.2 掌握解空间树的构造方法，以及在求解过程中如何存储求解路径；1.3 学会利用回溯法解决实际问题。

2. 实验环境2.1 Eclipse2.2 Window XP3. 实验内容3.1 旅行商问题：给定一个n顶点网络（有向或无向），要求找出一个包含所有n个顶点的具有最小耗费的环路。

输入：顶点个数、邻接矩阵；输出：最小耗费、旅行的环路。

3.2 n后问题：nXn棋盘上放置n个皇后使得每个皇后互不受攻击，即任二皇后不能位于同行同列和同一斜线上。

输入：皇后的个数，输出：所有可能的方案以及总的方案数。

4. 教师批改意见成绩签字：日期：实验报告细表1旅行商问题1.1 算法设计思想回溯法就从开始结点（根结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。

这个开始结点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。

在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。

这个新结点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展结点。

如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。

此时，应往回移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。

回溯法即以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。

1.2 程序源码package lvxingshang;import java.util.Scanner;public class Bttsp {static int n; // 图G的顶点数static int[] x; // 当前解static int[] bestx; // 当前最优解static float bestc; // 当前最优值static float cc; // 当前费用static float[][] a; // 图G的邻接矩阵public static void tsp() {// 置x为单位矩阵x = new int[n + 1];for (int i = 1; i <= n; i++) {x[i] = i;}bestc = (float) -1.0;bestx = new int[n + 1];cc = 0;System.out.println("最短路线为：");backtrack(2);for (int i = 1; i <= n; i++) {System.out.print(bestx[i] + " ");}System.out.println("1");}private static void backtrack(int i) {if (i == n) {if (a[x[n - 1]][x[n]] > 0&& a[x[n]][1] > 0&& (bestc < 0 || cc + a[x[n - 1]][x[n]]+ a[x[n]][1] < bestc)) {for (int j = 1; j <= n; j++) {bestx[j] = x[j];bestc = cc + a[x[n - 1]][x[n]] + a[x[n]][1];}}}else{for (int j = i; j <= n; j++)// 是否可以进入x【j】子树？if (a[x[i - 1]][x[j]] > 0&& (bestc < 0 || cc + a[x[i - 1]][x[j]] < bestc)) { // 搜索子树int temp = x[i];cc += a[x[i - 1]][x[j]];x[i] = x[j];x[j] = temp;backtrack(i + 1);temp = x[i];x[i] = x[j];x[j] = temp;cc -= a[x[i - 1]][x[j]];}}}public static void main(String[] args) {Scanner s = new Scanner(System.in);System.out.println("请输入售货员要去的城市个数：");String line = s.nextLine();// 读入nn = Integer.parseInt(line);a = new float[n + 1][n + 1];System.out.println("请输入来往各个城市之间的花费 \n");for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {a[i][j] = s.nextFloat();}}tsp();System.out.println("最短距离是：" + bestc);s.close();}}1.3 实验结论1.4 心得体会由于编程途中最优解一直输不出，尝试着各种方法，觉得很累。

B5-搜索与回溯算法

int main() { search(1); cout<<total<<endl; //输出总方案数 }
Yangzheng Middle School
搜索与回溯算法——例2
设有n个整数的集合{1,2,…,n}，从中取出任意r个数进行排列（r<n ），试列出所有的排列。
#include<cstdio> #include<iostream>
(i+1,j+2)
(i,j) (i-1,j+2) (i-2,j+1)
3:(i,j)→(i-1,j+2)； (i>0,j<7)
4:(i,j)→(i-2,j+1)； (i>1,j<8) 搜索策略：
S1:A[1]:=(0,0);
S2:从A[1]出发，按移动规则依次选定某个方向，如果达到的是(4,8)则转向S3,否则继续搜索下一个到达的顶点；
int search(int k) //回溯过程 { int i; for (i=1;i<=n;i++) if(!b[i]) //判断i是否可用 { a[k]=i; //保存结果 b[i]=1; //标记i不可用 if (k==r) print(); else search(k+1); b[i]=0; //标记i可用 } } int main() { cout<<"input n,r:"; cin>>n>>r; search(1); cout<<"number="<<num<<endl; }
int main() { search(1); }

第5章回溯算法实验指导

第5章回溯算法实验5.1 回溯算法的实现和时间复杂度测试1. 实验目的编程实现经典的回溯算法，理解回溯算法设计的基本思想、程序实现的相关技巧，加深对回溯算法设计与分析思想的理解。

通过程序的执行时间测试结果，与理论上的时间复杂度结论进行对比、分析和验证。

2. 算法原理回溯算法的基本思想回溯算法是一个既带有系统性又带有跳跃性的搜索算法。

它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先策略从根结点出发搜索解空间树。

算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。

如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯。

否则进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。

回溯算法的基本设计范式如下：Backtrack(n)k=1while (k>0) doif Tk(x1, x2, ..., x(k-1))的值还未取遍 thenxk=Tk(x1, x2, ..., x(k-1))中未取遍过的值if Bk(x1, x2, ..., xk) then //可行解//(x1, x2, ..., xk)被激活end ifif k==n then 输出(x1, x2, …, xn)else k=k+1； //深度扩展搜索//end ifend ifelse k=k-1 // 试探完了所有的xk，回溯//end while测试算法n皇后问题是使用回溯算法求解的代表问题，算法如下：NQueens(n)x1=0；k=1 //k是当前行；xk是当前列//while k>0 do //对所有的行执行以下语句//xk=xk+1 //移到下一列//while xk≤n and not Place(k) do //不可放置// xk=xk+lif xk≤n then //找到一个位置//if k=n then //是否是一个完整的解//print(x) //是，则打印这个数组//elsek=k+1xk=0end ifelse k=k 1 //回溯//end ifend while最坏情况下，算法具有指数计算时间O(n n)；而实际中，由于剪枝策略的应用，使得实际计算时间远远低于最坏情况下的计算时间。

5 回溯法

流水作业调度的最终目标是要求完成所有任务的时间最短，所以把最后一个任务的完成时间作为标准；而批处理作业调度的目的是要让每一个作业都尽快得到处理，所以要把每个作业的完成时间之和作为标准。
29
批处理作业调度问题的一个常见例子是在计算机
系统中完成一批n个作业，每个作业都要完成先计
算、然后将计算机结果打印输出这两项任务。
完成，否则继续试探，直到找到某一个或者多个解。
这种“试探着走”的思想也就是回溯法的基本思想。
如果试的成功则继续下一步试探。如果试的不成功则退回一步，再换一个办法继续试。如此反复进行试探性选择与返回纠错的过程，直到求出问题的解。
6
“马”每一步的跳法共有四个方向可供选择：右下1，右下2，右上1，右上2。 •从起点A出发，按跳法1试走一步
•解空间： • 比较装载该集装箱和不装该集装箱引起的装载方案的区别。初始状态
装入第一个装入第二个不装第二个不装第一个不装第二个
装入第二个
23
•
约束函数(选择装入当前元素)：
w x
i 1 i
n
i
c1
•
限界函数(不选择装入当前元素)：
•
设bestw为当前已经计算出的最优装载重量，Cw 是装载到目前为止的总量。
就有若干个可供选择的后继结点。没有任何“必
定行”的暗示，只好走着瞧。不行了回溯上一层
结节（此时需要恢复该结点有关数据），换一种
方法，继续试。
8
首先暂时放弃关于问题规模大小的限制，并将问
题的候选解（部分解）按某种顺序逐一枚举和检验。
当发现当前候选解不可能是解时，就选择下一个
候选解；倘若当前候选解除了还不满足问题规模要求外，满足所有其他要求时，继续扩大当前候选解的规模，并继续试探。

实验5 回溯算法

最小成本的回溯算法问题班级通信一班学号14082300943姓名张博成绩分一、设计目的1.掌握回溯法解题的基本思想；2.掌握回溯算法的设计方法；3.针对子集和数问题，熟练掌握回溯递归算法、迭代算法的设计与实现。

二、设计内容分派问题: 给n个人分派n件作业, 把工作j分派给第i个人的成本为cost(i, j), 设计、编程、测试回溯算法, 在给每个人分派一件不同工作的情况下使得总成本最小。

1.阐述用回溯法求解的状态空间树结构：画出部分树，说明节点、边、到根节点的路径的意义，给出答案节点的定义。

2.阐述用回溯法求解的基本思想：设计并说明规范函数，扼要阐述搜索过程。

3.画出搜索过程的主要流程图。

4.说明输入数据的表示方法、主要的数据变量、主要的函数功能。

5.写出各函数的伪C语言代码。

三、设计数据假设有三个人完成不同的三个作业，他们对完成不同的作业所需要的成本是不同的，集体情况如下表所示:工人 1 23作业1成本：1成本：2成本：32成本：3成本：1成本：43成本：4成本：5成本：1四、设计结果1.设计的状态空间树结构：上图中前一、二、三层分别为工人1、2、3，工人1可以先有3中作业选择，然后工人2在剩下的2个作业中选1个作业，剩下的自然就是工人3要做的作业。

图中已经在标记处标明了每个工人所做的作业及其所用成本，以及最后每种情况所需的成本的结果。

12712358101315469111416工人2工人3工人1作业：1 成本：3作业：1 成本：1作业：2 成本：1作业：1 成本：3作业：2 成本：1作业：2 成本：4作业：3 成本：1 作业：3成本：1作业：3成本：4作业：2 成本：4作业：2 成本：3作业：3 成本：5作业：3 成本：5作业：1 成本：2作业：1 成本：2成本：10116 310 82.阐述用回溯法求解的基本思想：(1)规范函数int Place(int k) //Place 判断在第 k 个人是否可以做x[k]的事 {int i;for(i = 1; i < k; i++) if(x[i]==x[k]) return 0; return 1;}(2)设计一个成本的最大值minsum ，然后在每次遍历工人作业的成本，把较小的成本覆盖minsum ，直到最后把最小的成本来找到。

第五章回溯法

• Cr=C=30，V=0
C为容量，Cr为剩余空间，V为价值。 • A为唯一活结点，也是当前扩展结点。
H D 1 0 I 1
1 B 0 E 1 0 J K
A
0 C 1 F 1 0 L M N 0 G 1 0 O
5.1 回溯法的算法框架
• n=3, C=30, w={16,15,15}, v={45,25,25}
理论上
寻找问题的解的一种可靠的方法是首先列出所有候选解，然后依次检查每一个，在检查完所有或部分候选解后，即可找到所需要的解。
但是
当候选解数量有限并且通过检查所有或部分候选解能够得到所需解时，上述方
法是可行的。
若候选解的数量非常大（指数级，大数阶乘），即便采用最快的计算机也只能解决规模很小的问题。
显约束
对分量xi的取值限定。
隐约束为满足问题的解而对不同分量之间施加的约束。
5.1 回溯法的算法框架
解空间（Solution Space）
对于问题的一个实例，解向量满足显式约束条件的所有多元组，构成了该实例的一个解空间。注意：同一问题可有多种表示，有些表示更简单，所需状态空间更小（存储量少，搜索方法简单）。
回溯法引言
以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法使用场合
对于许多问题，当需要找出它的解的集合或者要求回答什么解是满足某些
约束条件的最佳解时，往往要使用回溯法。这种方法适用于解一些组合数相当大的问题，具有“通用解题法”之称。回溯法的基本做法是搜索，或是一种组织得井井有条的，能避免不必要搜索的穷举式搜索法。
一个正在产生儿子的结点称为扩展结点
活结点（L-结点,Live Node）
一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点称做活结点

实验指导书-回溯法

算法设计与分析实验指导书（计算机科学与技术系）编写兰州交通大学电子与信息工程学院2018年3月目录实验5回溯法 (1)实验三回溯法一、实验目的（1）回溯法是一种通用的解题法，通过本次实验，掌握回溯法求解问题的一般步骤，掌握如何定义问题的解空间，并将解空间组织为解空间树并掌握如何在解空间树中进行深度优先搜索；利用回溯法解问题时一般按以下三步骤：1）定义问题的解空间；2）确定易于搜索的解空间结构；3）以深度优先策略搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索；（2）通过实验掌握回溯法思想和方法；（3）培养学生的动手能力。

二、实验仪器设备（1）计算机；（2）C++编译调试环境。

三、实验原理掌握将算法转换为可运行程序的步骤。

四、实验内容及注意事项（1）装载问题。

（2）0-1背包问题。

（3）TSP问题。

（4）八皇后问题。

五、实验步骤5.1 装载问题（1）问题描述:一批集装箱共n个要装上2艘载重量分别为c1和c2的轮船，其中集装箱i的重量为Wi且W1+W2+……+Wn<=c1+c2;试确定一个合理的装载方案使这n个集装箱装上这两艘轮船。

（2）求解思路：装载问题如果有解，那么相当于将一艘轮船尽可能的装满，那么装载问题转换为一个特殊的（所有物品单位价值均为1）的0-1背包问题，解空间树为子集树。

回溯的过程可以使用约束函数（轮船1是否能装下选定的集装箱）以及限界函数（装入轮船1 的集装箱重量之和+待选择的集装箱重量之和与当前最优值的对比）进行剪枝。

回溯的方法有递归回溯与迭代回溯。

具体代码如下：#include<iostream>usingnamespace std;template<class T>T MaxLoading(T w[], T c, int n, int bestx[]);//在GNU中，需提前声明int count = 0;//用来记录递归回溯搜索了多少个节点template<class T>class Loading{private:int n;// The numbersint *x;// 当前的搜索的路径 x[i]==1 表示在第i层进入了左子树int *bestx;//当前已知的最优解T *w;//The weight arrayT c;//The first box's weightT cw;//current weightT bestw;//The best weightT r;//The rest weightpublic:void backtrack(int i);T friend MaxLoading<T>(T w[], T c, int n, int bestx[]);};template<class T>void Loading<T>::backtrack(int i){count++;if (i>n){bestw = cw; // 局部最优值for (int j = 1; j <= n; j++)bestx[j] = x[j]; //局部最优解}else{r -= w[i]; //处理第i层的本节点if (cw + w[i] <= c) //进入左子树{x[i] = 1;cw += w[i];backtrack(i + 1);cw -= w[i]; //左子树搜索完毕，必须准备回溯}if (cw + r >= bestw) //进入右子树{x[i] = 0;backtrack(i + 1);}//右子树搜索完毕r += w[i]; //两颗子树都搜索完毕，必须回溯}}template<class T>T MaxLoading(T w[], T c, int n, int bestx[]){/*//递归回溯容易理解Loading<T> X;X.x=new int[n+1]; //集装箱编号从1开始X.bestx=bestx; //引用X.w=w;X.c=c;X.n=n;X.cw=0;X.bestw=0;X.r=0; //for(int i=1;i<=n;i++)X.r+=w[i]; //r初始时为所有集装箱的重量之和X.backtrack(1);delete [] X.x;returnX.bestw;*/int i = 1;int *x = newint[n + 1];T bestw = 0, cw = 0, r = 0;for (int j = 1; j <= n; j++)r += w[j];while (true){while (i <= n&&cw + w[i] <= c) //深度优先只要能进入左子树，就进入左子树{r -= w[i];cw += w[i];x[i] = 1;i++;} //无法继续进入左子树 (1) i>n (2) cw+w[i]>cif (i>n){bestw = cw; // 局部最优值for (int j = 1; j <= n; j++)bestx[j] = x[j]; //局部最优解}else//表示由于约束函数的限制(cw+w[i]>c)而停止上次循环,无法进入下一层的左子树//右子树肯定可以进入{r -= w[i];x[i] = 0;i++;}while (cw + r <= bestw)//如果前述循环已经得到了一个局部最优解和对应的局部最优值//可以沿着右子树一路回溯剪枝{i--;while (i>0 && x[i] == 0){r += w[i];i--;}if (i == 0){delete[]x;return bestw;}x[i] = 0;cw -= w[i];i++;}}}int main(){int w[] = { 0, 16, 15, 15 }; //算法下标从1开始int bestx[4];int n = 3;int max = 0;for (int i = 1; i <= 10000000; i++) //可以循环运行1000万次，对比递归回溯和迭代回溯的效率max = MaxLoading(w, 30, n, bestx);cout<<"max="<< max <<endl;cout<<"best solution is:"<<endl;for (int i = 1; i <= n; i++)cout<<bestx[i] <<" "; cout<<endl;cout<<"searched nodes count:"<< count <<endl;}5.20-1背包问题给定n 种物品和一背包。

第五部分回溯法

1
装载问题
• 有一批共n个集装箱要装上2艘载重量分别为c1和c2 n 的轮船，其中集装箱i个重量为wi,且 ∑ wi ≤ c1 + c2 • 装载问题要求确定，是否有一个合理的装载方案可将这n个集装箱装上这2艘轮船。如果有，找出 n 2 一种装载方案。
– 例如，当n=3, c1=c2=50, 且w=[10,40,40]时，则可以将集装箱1和2装到第一艘轮船上，而将集装箱3装到第二艘轮船上；如果w=[20,40,40]，则无法将这3个集装箱都装上轮船。
• 限界函数
– 例如，c=7, w=[3, 5, 2, 1], v=[9, 10, 7, 4] 。v/w=[3, 2, 3.5, 4]。以物品单位重量价值的递减序装入物品。装入物品 4、3、1后，只能装入0.2的物品2，由此得到一个解 Bound (i) x=[1, 0.2, 1, 1]，其相应的价值为22。尽管这个解不是一 //计算上界个可行解，但其价值是最优值的一个上界，即对于该 cleft = c - cw // 剩余容量问题，最优值不超过22。 bound = cp //以物品单位重量价值递减序装入物品 while i <= n and w[i] <= cleft O(n) cleft = cleft - w[i] bound = bound + p[i] i++ //装满背包 if i <= n bound = bound + p[i] / w[i] * cleft return bound
• • • •
活结点：自身已生成但其儿子结点还未全部生成的结点扩展结点：当前正在处理的结点死结点：所有儿子已经生成叶结点：可行解 0-1背包：w=[16,15,15], v=[45,25,25], c=30

回溯法实验报告

回溯法实验报告一、实验目的本实验旨在通过应用回溯法解决一系列问题，并验证回溯法在问题求解中的有效性和实用性。

通过实际的案例分析和实验结果，掌握回溯法的应用方法和技巧。

二、实验原理回溯法是一种求解问题的通用方法，适用于那些可以分解为一组相互排斥的子问题的求解过程。

回溯法通过尝试可能的解决方案，并根据约束条件逐步构建问题的解。

实际使用回溯法求解问题时，按照如下步骤进行：1. 定义解空间：将问题的解表示为一个n维向量或n维数组，定义问题的解空间。

2. 约束条件：确定问题的约束条件，即问题的解必须满足的条件。

3. 逐步构造解：按照问题的解空间和约束条件，逐步构造问题的解。

4. 解空间的搜索：通过递归或迭代的方式，搜索解空间中的所有可能解。

5. 解的选取与判定：根据需要选择符合要求的解，并进行最优解的判定。

三、实验步骤在本次实验中，我们选择了数独问题和八皇后问题作为实验案例进行分析和求解。

1. 数独问题：数独问题是一个9×9的格子，其中每个格子中都填有一个1到9的数字。

数独谜题的目标是在每个格子中填写数字，使得每一行、每一列和每一个宫（3×3的格子）中的数字均不重复。

通过回溯法求解数独问题的步骤如下：（1）定义解空间：将数独问题的解定义为一个9×9的二维数组。

（2）约束条件：每一行、每一列和每一个宫中的数字不能重复。

（3）逐步构造解：从数独问题的左上角开始，按照行优先的顺序逐个格子地填写数字，并保证数字的唯一性。

（4）解空间的搜索：当需要填写一个新的格子时，先确定该格子可能的数字范围，然后选择一个数字填入，再递归地进行下一步搜索。

（5）解的选取与判定：当所有的格子都被填满时，即找到了一个满足条件的解。

在求解过程中，需要判断填入的数字是否符合约束条件，并进行回退操作，直到找到所有可能的解。

2. 八皇后问题：八皇后问题是一个经典的回溯法问题，要求在一个8×8的棋盘上放置8个皇后，使得它们互相之间不能攻击到对方。

5 回溯法

5 回溯法回朔法即是：若在当前位置探测到一条通路则继续向前，若在当前位置探测不到一条通路则回朔侄前一位置继续探测尚未探测的反向，直到找到一条通路或探测出无通路存在为止。

定义：也叫试探法，它是一种系统地搜索问题的解的方法。

回溯算法的基本思想是：从一条路往前走，能进则进，不能进则退回来，换一条路再试。

用回溯算法解决问题的一般步骤为：一、定义一个解空间，它包含问题的解。

二、利用适于搜索的方法组织解空间。

三、利用深度优先法搜索解空间。

四、利用限界函数避免移动到不可能产生解的子空间。

问题的解空间通常是在搜索问题的解的过程中动态产生的，这是回溯算法的一个重要特性。

回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的的搜索算法。

它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。

算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。

如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯。

否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。

回溯法在用来求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。

而回溯法在用来求问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。

这种以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法，它适用于解一些组合数较大的问题。

例题：1、排列的实现，对于n个不同数的排列并输出。

定义一个数组a[n]，开始从第一个元素填入1开始，每进一步都是从1开始，并检查是否把n个元素填完和n个元素都没有重复的，如果是则输出一个解。

如果欲填入的数与之前已经填入的数重复，则增加1再比较，直到没有重复（除非已到了上限），如果已经到达了上限n，否回朔回上一个元素，值到其值不为上限n，然后上一个元素，下一个元素从1重新开始。

C++程序1#include<stdio.h>void main(){int n,m,i=0,j=0,k=0,flag=0,f=0;static int a[40];printf("输入N：");scanf("%d",&n);a[1]=1;k=1;while(1){flag=1;for(i=1;i<k;i++)if(a[k]==a[i]){flag=0;break;}if(flag&&k==n){for(j=1;j<=n;j++)printf("%d",a[j]);printf("\n");}if(k<n&&flag) {k++;a[k]=1;continue;}while(a[k]==n&&k>1){k--;}if(a[k]==n&&k==1)break;else{a[k]++;}}}C++程序2、排列的算法差不多，为了不重复，加了一个条件，也就是递增数列#include<stdio.h>void main(){int n,m,i=0,j=0,k=0,flag=0,f=0;static int a[40];printf("输入N,M：");scanf("%d%d",&n,&m);a[1]=1;k=1;while(1){flag=1;for(i=1;i<k;i++)if(a[k]==a[i]||a[k]<a[i])//a[k]<a[i]条件为了限制递增{flag=0;break;}if(flag&&k==m){for(j=1;j<=m;j++)printf("%d",a[j]);printf("\n");}if(k<n&&flag){k++;a[k]=1;continue;}while(a[k]==n&&k>1){k--;}if(a[k]==n&&k==1)break;else{a[k]++;}}}C++程序3#include <stdio.h>#include <string.h>void main() {int n,i=1;printf("请输入N值=？");scanf("%d",&n);int a[30]={0}; //C语言中完成数组定义并初始化不能用变量N，只能用具体数字，这儿采用比较大的30a[1]=1;while(i<=n){if (i==n){for (int j=1;j<n;j++) printf("%d ",a[j]);printf("%d\n",a[n]); //输出一组解}if (i<n) {i++;a[i]=1;continue;}while (a[i]==n && i>1) i--; //向前回溯if (a[i]==n && i==1) break; //结束else a[i]=a[i]+1;}}JA V A程序用回溯法求任意1到N个数字的全排列。

第五章回溯法

为了用回溯法求解一个具有n 个输入的问题，为了用回溯法求解一个具有 n 个输入的问题，一般情况下，将其可能解表示为满足某个约束条件一般情况下，将其可能解表示为满足某个约束条件的等长向量X=(x 的等长向量X=(x1, x2, …, xn)，（向量X 的任意一个子向量称为原问题的一个部分解）其中分量 xi (1≤i≤n) 的取值范围是某个有限集合 Si={ai1, ai2, …, 的取值范围是某个有限集合S ={a airi}，所有可能的解向量构成了问题的解空间。所有可能的解向量构成了问题的解空间解空间。
l_结点（活结点）：所搜索到的结点不是叶结点， l_结点活结点）：所搜索到的结点不是叶结点，结点（）：所搜索到的结点不是叶结点且满足约束条件和目标函数的界，且满足约束条件和目标函数的界，其儿子结点还未全部搜索完毕，全部搜索完毕， e_结点（扩展结点）：正在搜索其儿子结点的结 e_结点扩展结点）：结点（）：正在搜索其儿子结点的结它也是一个_结点；点，它也是一个_结点； d_结点死结点）：不满足约束条件、目标函数、 d_结点（死结点）：不满足约束条件、目标函数、结点（）：不满足约束条件或其儿子结点已全部搜索完毕的结点、或其儿子结点已全部搜索完毕的结点、或者叶结，。以d_结点作为根的子树结点作为根的子树，点，。以d_结点作为根的子树，可以在搜索过程中删除。中删除。
∞ 12 8 3 3 6 7 ∞ 2 8 6 ∞ 2 7 6 ∞
C=
TSP问题的代价矩阵问题的代价矩阵
1 6/8 3 3/12 2/6 7/3 2/6 4 2 8/7
1 2 2 2 3 3 4 4 5 4 2 3 8 4 3 11 2 4 13 4 2 1 1 18 3 24 4 1 27 4 29

回溯法实验报告

回溯法实验报告回溯法实验报告一、引言回溯法是一种经典的算法解决方法，广泛应用于组合优化、图论、人工智能等领域。

本实验旨在通过实际案例，深入探讨回溯法的原理、应用和优化方法。

二、实验背景回溯法是一种通过不断尝试和回退的方式，寻找问题的解的方法。

它适用于那些问题空间巨大且难以直接求解的情况。

回溯法通过逐步构建解空间树，深度优先地搜索可能的解，并在搜索过程中剪枝，以提高搜索效率。

三、实验过程我们选择了一个经典的回溯法问题——八皇后问题作为实验案例。

该问题要求在一个8x8的棋盘上放置8个皇后，使得它们两两之间无法互相攻击。

我们采用了递归的方式实现回溯法，并通过剪枝操作来减少搜索空间。

具体实验步骤如下：1. 定义一个8x8的棋盘，并初始化为空。

2. 从第一行开始，逐行放置皇后。

在每一行中，尝试将皇后放置在每一个位置上。

3. 检查当前位置是否与已放置的皇后冲突。

如果冲突，则回溯到上一行，并尝试下一个位置。

4. 如果成功放置了8个皇后，则找到了一个解，将其保存。

5. 继续尝试下一个位置，直到所有可能的解都被找到。

四、实验结果通过实验，我们找到了92个不同的解，符合八皇后问题的要求。

这些解展示了八皇后问题的多样性，每个解都有其独特的棋盘布局。

五、实验分析回溯法的优点在于可以找到所有解，而不仅仅是一个解。

然而，在问题空间较大时，回溯法的搜索时间会变得非常长。

因此，为了提高搜索效率，我们可以采用一些优化方法。

1. 剪枝操作：在搜索过程中，当发现当前位置与已放置的皇后冲突时，可以立即回溯到上一行，而不是继续尝试下一个位置。

这样可以减少不必要的搜索。

2. 启发式搜索：通过引入启发函数，可以在搜索过程中优先考虑最有希望的分支，从而更快地找到解。

例如，在八皇后问题中，可以优先考虑放置在当前行与已放置皇后冲突最少的位置。

3. 并行计算：对于一些复杂的问题，可以利用并行计算的优势，同时搜索多个分支，从而加快搜索速度。

六、实验总结通过本次实验，我们深入了解了回溯法的原理和应用。

第5章回溯法

作业1 作业1
对于n 对于n×m的棋盘，从（1,1）开始是否存在的棋盘，从（1,1）开始是否存在一条不重复的跳完所有棋盘格的路径，若存在请给出该路径的描述？对任意的n,m 在请给出该路径的描述？对任意的n,m 是否总是存在这样一条路径？若不是，能否给出其存在的充要条件？
B3 A2 A1 A B1 B2 C2 C1 D3 D2 E1 D1
跳马问题
5. 从C2出发，有四条路径可以选择，选择D4， C2出发，有四条路径可以选择，选择D4，
从D4出发又有两条路径，选择E1错误，返 D4出发又有两条路径，选择E1错误，返回D4选择E2，从E2出发有两条路径，先 D4选择E2，从E2出发有两条路径，先选择F1错误，返回E2选择B，而B 选择F1错误，返回E2选择B，而B恰好是我们要到达的目标点，至此，一条路径查找成功。
回溯算法（一）
什么是回溯
迷宫游戏
入口回溯
回溯回溯
什么是回溯法
回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的的搜索算法性的的搜索算法
索问题回溯法是以深度优先的方式系统地搜索问题出口深度优先的解, 它适用于解一些组合数较大的问题。的解它适用于解一些组合数较大的问题。
n皇后问题
既然回溯算法是由一个节点开始逐步扩展的，因此我们采用把皇后一个一个的放到棋盘上的方式来分析问题。
n皇后问题
首先要把第一个皇后放到棋盘上由于第一个皇后有 n列可以放，因此可扩展出n种情况。先选其中一列列可以放，因此可扩展出n 放下这个皇后；然后开始放第二个皇后。同样第二个皇后也有n 然后开始放第二个皇后。同样第二个皇后也有n列可以放，因此也能扩展出n 可以放，因此也能扩展出n种情况，但第二个皇后可能会和第一个皇后发生攻击，而一旦发生攻击，就没有必要往下扩展第三个皇后，而如果没有发生攻击，则继续放第三个皇后；依此类推，直到n 依此类推，直到n个皇后全都放下后，即得到一组可行解。扩展全部完成后即可得到结果。

课件：第五章回溯法

else if (aSaisfeg(oa)o)d{)R{reeccoorrdd((i为,a)a;末); 尾标记。
if ((ai =is=gno)al) {unfinish = false; output( );}
else i{fi+(a+h; aLs.sPounssh)(L1,.P2u, s…h-,Sno,n-s1()a;)}
启发式的搜索从初始状态开始，每次选择最有可能达到终止状态的结点进行搜索。
2021/11/25
计算机算法设计与分析
5
三种搜索的优劣之处
• 一般来说，三种搜索方法各有优劣之处：
• 广度优先搜索的优点是一定能找到解；缺点是空间复杂性和时间复杂性都大。
• 深度优先搜索的优点是空间复杂性和时间复杂性较小；缺点是不一定能找到解。
• 栈中的结点是分层次的，而现在没有区分它们的层次。这就增加了回溯判断和操作的困难。
那采么用怎一么个办简？洁有效的方法：设计一个末尾标记，每次压栈时，先压入末尾标记。
2021/11/25
计算机算法设计与分析
12
用末尾标记的迭代回溯
• Backtrack(Tree T) { • unfinish = true; L.Push(T.root); • while (unfinish || L≠Φ) { • a = L.Pop( ); • if (a is the last mark) backastep( );
• a = L.Pop( );
• if (a == -1) {i– –; a = rec[i]; rec[i]=0;used[a]=0;}
• else if (used[a]==0)
•
{rec[i]=a; used[a]=1;

《回溯法实验》实验报告

实验4、《回溯法实验》一、实验目的1. 掌握回溯算法思想2. 掌握回溯递归原理3. 了解回溯法典型问题二、实验内容1. 编写一个简单的程序，解决8皇后问题。

2. 批处理作业调度问题[问题描述]给定n个作业的集合J=(J1, J2, … , Jn)。

每一个作业Ji都有两项任务需要分别在2台机器上完成。

每一个作业必须先由机器1处理，然后再由机器2处理。

作业Ji需要机器i的处理时间为tji，i=1,2, … ,n; j=1,2。

对于一个确定的作业调度，设Fji是作业i在机器i上完成处理的时间。

则所有作业在机器2上完成处理的时间和成为该作业调度的完成时间和。

批处理作业调度问题要求对于给定的n个作业，制定一个最佳的作业调度方案，使其完成时间和达到最小。

要求输入：1）作业数 2）每个作业完成时间表：作业完成时间机器1 机器2作业1 2 1作业2 3 1作业3 2 3要求输出： 1）最佳完成时间 2）最佳调度方案提示：算法复杂度为O(n!),建议在测试的时候n值不要太大，可以考虑不要超过12。

3. 数字全排列问题任意给出从1到N的N个连续的自然数，求出这N个自然数的各种全排列。

如N=3时，共有以下6种排列方式：123，132，213，231，312，321。

注意：数字不能重复，N由键盘输入（N<=9）。

三、算法思想分析1.八皇后问题是典型的回溯问题，先从空格子起逐行放皇后，如果符合要求即安全则放置，否则返回上一行下一个位置继续，直至最后一行安全放置则为一种放置方式。

2.批处理作业调度的解空间为排列数，不断利用递归函数直至叶节点，剪枝函数为当前用时与最佳用时的比较。

关于时间的计算，每次选择作业后先将机器1用时累加，机器2上总用时需要先比较上一个作业完成时间与此时机器1上的总用时，如果机器1上总用时大于上一作业用时，那么机器2上用时则加上机器1上用时与此作业在机器2上的单独用时，反之，则代表此时机器2仍然在处理上一任务，那么机器2上用时则加上上一作业用时与此作业在机器2上的单独用时。

实验五 回溯法

回溯法的实验报告

回朔法实验报告

算法分析与设计实验报告--回溯法

实验五_回溯法

B5-搜索与回溯算法

第5章 回溯算法实验指导

5 回溯法

实验5 回溯算法

第五章 回溯法

实验指导书-回溯法

第五部分 回溯法

回溯法实验报告

5 回溯法

第五章 回溯法

回溯法实验报告

第5章回溯法

课件：第五章回溯法

《回溯法实验》实验报告

实验五回溯法

第5章回溯算法实验指导

第五章回溯法

第五部分回溯法

第五章回溯法