第九章 欧氏空间

第八章 欧氏空间练习题
1．证明:在一个欧氏空间里,对于任意向量ηξ,,以下等式成立:
(1)2222||2||2||||ηξηξηξ+=-++； (2).||4
1
||41,22ηξηξηξ--+=
在解析几何里,等式(1)的几何意义是什么? 2．在区氏空间n R 里,求向量)1,,1,1( =α与每一向量
)0,,0,1,0,,0()
( i i =ε,n i ,,2,1 =
的夹角.
3．在欧氏空间4R 里找出两个单位向量,使它们同时与向量
)
4,5,2,3()2,2,1,1()
0,4,1,2(=--=-=γβα 中每一个正交.
4．利用内积的性质证明,一个三角形如果有一边是它的外接圆的直径,那么这个三角形一定是直角三角形．
5．设ηξ,是一个欧氏空间里彼此正交的向量.证明:
222||||||ηξηξ+=+(勾股定理)
6．设βααα,,,,21n 都是一个欧氏空间的向量,且β是n ααα,,,21 的线性组合.证明：如果β与i α正交,n i ,,2,1 =,那么0=β. 7．设n ααα,,,21 是欧氏空间的n 个向量. 行列式
>
<><><>
<><><>
<><>
<=
n n n n n n n G ααααααααααααααααααααα,,,,,,,,,),,,(21222121211121
叫做n ααα,,,21 的格拉姆(Gram)行列式.证明),,,(21n G ααα =0,必要且只要
n ααα,,,21 线性相关.
8．设βα,是欧氏空间两个线性无关的向量,满足以下条件:
><><ααβα,,2和>
<>
<βββα,,2都是0≤的整数.
证明: βα,的夹角只可能是
6
54
3,32,2π
π
ππ或
. 9.证明:对于任意实数n a a a ,,,21 ,
2
3322211
(||n
n
i i
a a a a n a
++++≤∑= ). 10．已知
)0,1,2,0(1=α,)0,0,1,1(2-=α,
)1,0,2,1(3-=α,)1,0,0,1(4=α
是4R 的一个基.对这个基施行正交化方法,求出4R 的一个规范正交基．
11．在欧氏空间]1,1[-C 里,对于线性无关的向量级{1,x ,2x ,3x }施行正交化方法,求出一个规范正交组．
12．令},,,{21n ααα 是欧氏空间V 的一组线性无关的向量,},,,{21n βββ 是由这组向量通过正交化方法所得的正交组.证明,这两个向量组的格拉姆行列式相等,即
><>><=<=n n n n G G βββββββββααα,,,),,,(),,,(22112121 13．令n γγγ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一个规范正交基,又令
},2,1,10,|{1n i x x V K n
i i i i =≤≤=∈=∑=γξξ
K 叫做一个n -方体.如果每一i x 都等于0或1,ξ就叫做K 的一个项点.K 的顶点间一切可能的距离是多少?
14．设},,,{21m ααα 是欧氏空间V 的一个规范正交组.证明,对于任意V ∈ξ,以下等式成立:
∑=≤m
i i
1
22||,ξα
.
15．设V 是一个n 维欧氏空间.证明
)(i 如果W 是V 的一个子空间,那么W W =⊥⊥)(.
)(ii 如果21,W W 都是V 的子空间,且21W W ⊆,那么⊥⊥⊆12W W )(iii 如果21,W W 都是V 的子空间,那么⊥⊥⊥+=+2121)(W W W W
16．证明,3R 中向量),,(000z y x 到平面
}0|),,{(3=++∈=cz by ax R z y x W
的最短距离等于
2
2
2
000||c
b a cz by ax ++++．
17．证明,实系数线性方程组
∑===n
j i j ij
n i b x a
1
,,2,1,
有解的充分且必要条件是向量n n R b b b ∈=),,,(21 β与齐次线性方程组
∑===n
j j ji
n i x a
1
,,2,1,0
的解空间正交.
18．令α是n 维欧氏空间V 的一个非零向量．令
}0,|{
>=<∈=αξξαV P ． αP 称为垂直于α的超平面,它是V 的一个1-n 维子空间.V 中有两个向量ξ,η说是位于αP 的同侧,如果><><αηαξ,,与同时为正或同时为负.证明,V 中一组位于超平面αP 同侧,且两两夹角都2
π
≥
的非零向量一定线性无关．
[提示:设},,,{21r βββ 是满足题设条件的一组向量.则)(0,j i j i ≠>≤<ββ,并且不妨设)1(0,r i i ≤≤>><αβ.如果∑==r
i i i c 10β,那么适当编号,可设
0,,,0,,,121≤≥+r s s c c c c c ,)1(r s ≤≤,令∑∑+==-==r
s j j j s i i i c c 1
1
ββγ,证明0=γ.由
此推出0=i c )1(r i ≤≤.] 19．设U 是一个正交矩阵.证明:
)(i U 的行列式等于1或-1; )(ii U 的特征根的模等于1; )(iii 如果λ是U 的一个特征根,那么
λ
1
也是U 的一个特征根;
)(iv U 的伴随矩阵*U 也是正交矩阵.
20.设02
cos
≠θ
,且
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=θθθθ
cos sin 0sin cos 00
01U . 证明,U I +可逆,并且
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=+--010*******tan ))((1
θU I U I
21.证明:如果一个上三角形矩阵
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝
⎛=nn n n n a a a a a a a a a a A 00
000
033322322113
1211
是正交矩阵,那么A 一定是对角形矩阵,且主对角线上元素ij a 是1或-1.
22．证明:n 维欧氏空间的两个正交变换的乘积是一个正交变换;一个正交变换的逆变换还是一个正交变换.
23．设σ是n 维欧氏空间V 的一个正交变换.证明:如果V 的一个子空间W 在σ之下不变,那么W 的正交补⊥W 也在σ下不变.
24．设σ是欧氏空间V 到自身的一个映射,对ηξ,有,)(),(ηησξσ=证明σ是
V 的一个线性变换,因而是一个正交变换. 25．设U 是一个三阶正交矩阵,且1det =U .证明:
)(i U 有一个特征根等于1; )(ii U 的特征多项式有形状
1)(23-+-=tx tx x x f
这里31≤≤-t .
26．设},,,{21n ααα 和},,,{21n βββ 是n 维欧氏空间V 的两个规范正交基.
)(i 证明:存在V 的一个正交变换σ,使n i i i ,,2,1,)( ==βασ.
)(ii 如果V 的一个正交变换τ使得11)(βατ=,那么)(,),(2n ατατ 所生成的子空
间与由n ββ,,2 所生成的子空间重合.
27．设σ是n 维欧氏空间V 的一个线性变换.证明,如果σ满足下列三个条件的任意两个,那么它必然满足第三个:)(i σ是正交变换;)(ii σ是对称变换;)(iii ισ=2是单位变换.
28．设σ是n 维欧氏空间V 的一个对称变换,且σσ=2.证明,存在V 的一个规范正交基,使得σ关于这个基的矩阵有形状
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛000101
29．证明:两个对称变换的和还是一个对称变换.两个对称变换的乘积是不是对称变换?找出两个对称变换的乘积是对称变换的一个充要条件.
30．n 维欧氏空间V 的一个线性变换σ说是斜对称的,如果对于任意向量V ∈βα,,
)(,),(βσβασ-=.
证明:
)(i 斜对称变换关于V 的任意规范正交基的矩阵都是斜对称的实矩阵(满足条
件A A -='的矩阵叫做斜对称矩阵)
)(ii 反之,如果线性变换σ关于V 的某一规范正交基的矩阵是斜对称的,那么
σ一定是斜对称线性变换.
)(iii 斜对称实矩阵的特征根或者是零,或者是纯虚数.
31．令A 是一个斜对称实矩阵.证明,A I +可逆,并且1))((-+-=A I A I U 是一个正交矩阵.
32．对于下列对称矩阵A,各求出一个正交矩阵U,使得AU U '是对角形式:
)(i ⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=51081022
8211A ; )(ii ⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛----=114441784817A。