微积分课后题答案习题详解

第二章

习题2-1

1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞

x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞

x n +k =a .

证：由lim n n x a →∞

=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有

取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞

=.

2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞

x n =a ,则lim n →∞

∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上

述结论反之不成立. 证：

而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>

n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<

由数列极限的定义得 lim n n x a →∞

=

考察数列 (1)n

n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞

=，

所以前面所证结论反之不成立。

3. 利用夹逼定理证明：

(1) lim n →∞

2221

11(1)

(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭

=0； (2) lim n →∞2!n

n =0.

证：（1）因为

222

222111

112

(1)(2)n n n n n n n n n n

++≤+++

≤≤=+ 而且 21lim

0n n →∞=，2

lim 0n n

→∞=，

所以由夹逼定理，得

22211

1lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫

+++

= ⎪+⎝

⎭

. （2）因为22222240!123

1n n n n n

<

=<-，而且4

lim 0n n →∞=，

所以，由夹逼定理得

4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x n =

1

1

n e +，n =1,2,…；

(2) x 1x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。

（2）因为12x <，不妨设2k x <，则

故有对于任意正整数n ，有2n x <，即数列{}n x 有上界，

又 1n n x x +-=

，而0n x >,2n x <，

所以 10n n x x +-> 即 1n n x x +>， 即数列是单调递增数列。

综上所述，数列{}n x 是单调递增有上界的数列，故其极限存在。

习题2-2

1※

. 证明：0

lim x x →f (x )=a 的充要条件是f (x )在x 0处的左、右极限均存在且都等于a .

证：先证充分性：即证若0

lim ()lim ()x x x x f x f x a -+

→→==，则0

lim ()x x f x a →=. 由0

lim ()x x f x a -→=及0

lim ()x x f x a +

→=知： 10,0εδ∀>∃>,当010x x δ<-<时，有()f x a ε-<，

20δ∃>当020x x δ<-<时，有()f x a ε-<。

取{}12min ,δδδ=，则当00x x δ<-<或00x x δ<-<时，有()f x a ε-<， 而00x x δ<-<或00x x δ<-<就是00x x δ<-<， 于是0,0εδ∀>∃>，当00x x δ<-<时，有()f x a ε-<， 所以 0

lim ()x x f x a →=.

再证必要性：即若0

lim ()x x f x a →=，则0

lim ()lim ()x x x x f x f x a -+

→→==, 由0

lim ()x x f x a →=知，0,0εδ∀>∃>，当00x x δ<-<时，有()f x a ε-<，

由00x x δ<-<就是 00x x δ<-<或00x x δ<-<，于是0,0εδ∀>∃>，当00x x δ<-<或

00x x δ<-<时，有()f x a ε-<.

所以 0

lim ()lim ()x x x x f x f x a -+

→→== 综上所述，0

lim x x →f (x )=a 的充要条件是f (x )在x 0处的左、右极限均存在且都等于a .

2. (1) 利用极限的几何意义确定0

lim x → (x 2+a ),和0

lim x -

→1

e x

； (2) 设f (x )= 1

2

e ,0,,0,

x

x x a x ⎧⎪<⎨⎪+≥⎩，问常数a 为何值时，0lim x →f (x )存在.

解：（1）因为x 无限接近于0时，2x a +的值无限接近于a ，故2

0lim()x x a a →+=.

当x 从小于0的方向无限接近于0时，1

e x

的值无限接近于0，故1

lim e 0x

x -

→=. （2）若0

lim ()x f x →存在，则0

0lim ()lim ()x x f x f x +-

→→=， 由（1）知 2

2

lim ()lim()lim()x x x f x x a x a a +--

→→→=+=+=， 所以，当0a =时，0

lim ()x f x →存在。

3. 利用极限的几何意义说明lim x →+∞

sin x 不存在.

解：因为当x →+∞时，sin x 的值在-1与1之间来回振摆动，即sin x 不无限接近某一定直线

y A =，亦即()y f x =不以直线y A =为渐近线，所以lim sin x x →+∞

不存在。

习题2-3

1. 举例说明：在某极限过程中，两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定是无穷小量，也不一定是无穷大量.

解：例1：当0x →时，tan ,sin x x 都是无穷小量，但由sin cos tan x

x x

=（当0x →时，cos 1x →）不是无穷大量，也不是无穷小量。

例2：当x →∞时，2x 与x 都是无穷大量，但

22x

x

=不是无穷大量，也不是无穷小量。 例3：当0x +

→时，tan x 是无穷小量，而cot x 是无穷大量，但tan cot 1x x =不是无穷大量，也不是无穷小量。

2. 判断下列命题是否正确：

(1) 无穷小量与无穷小量的商一定是无穷小量； (2) 有界函数与无穷小量之积为无穷小量； (3) 有界函数与无穷大量之积为无穷大量； (4) 有限个无穷小量之和为无穷小量； (5) 有限个无穷大量之和为无穷大量；

(6) y =x sin x 在(-∞，+∞)内无界，但lim x →∞

x sin x ≠∞；

(7) 无穷大量的倒数都是无穷小量； (8) 无穷小量的倒数都是无穷大量.