微积分课后题答案习题详解

第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立. 证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。

3. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； (2) lim n →∞2!nn =0.证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+ 而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=，所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. （2）因为22222240!1231n n n n n<=<-，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x n =11n e +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。

（2）因为12x <，不妨设2k x <，则故有对于任意正整数n ，有2n x <，即数列{}n x 有上界，又 1n n x x +-=，而0n x >,2n x <，所以 10n n x x +-> 即 1n n x x +>， 即数列是单调递增数列。

综上所述，数列{}n x 是单调递增有上界的数列，故其极限存在。

习题2-21※. 证明：0lim x x →f (x )=a 的充要条件是f (x )在x 0处的左、右极限均存在且都等于a .证：先证充分性：即证若0lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→==，则0lim ()x x f x a →=. 由0lim ()x x f x a -→=及0lim ()x x f x a +→=知： 10,0εδ∀>∃>,当010x x δ<-<时，有()f x a ε-<，20δ∃>当020x x δ<-<时，有()f x a ε-<。

取{}12min ,δδδ=，则当00x x δ<-<或00x x δ<-<时，有()f x a ε-<， 而00x x δ<-<或00x x δ<-<就是00x x δ<-<， 于是0,0εδ∀>∃>，当00x x δ<-<时，有()f x a ε-<， 所以 0lim ()x x f x a →=.再证必要性：即若0lim ()x x f x a →=，则0lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→==, 由0lim ()x x f x a →=知，0,0εδ∀>∃>，当00x x δ<-<时，有()f x a ε-<，由00x x δ<-<就是 00x x δ<-<或00x x δ<-<，于是0,0εδ∀>∃>，当00x x δ<-<或00x x δ<-<时，有()f x a ε-<.所以 0lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→== 综上所述，0lim x x →f (x )=a 的充要条件是f (x )在x 0处的左、右极限均存在且都等于a .2. (1) 利用极限的几何意义确定0lim x → (x 2+a ),和0lim x -→1e x； (2) 设f (x )= 12e ,0,,0,xx x a x ⎧⎪<⎨⎪+≥⎩，问常数a 为何值时，0lim x →f (x )存在.解：（1）因为x 无限接近于0时，2x a +的值无限接近于a ，故20lim()x x a a →+=.当x 从小于0的方向无限接近于0时，1e x的值无限接近于0，故1lim e 0xx -→=. （2）若0lim ()x f x →存在，则00lim ()lim ()x x f x f x +-→→=， 由（1）知 22lim ()lim()lim()x x x f x x a x a a +--→→→=+=+=， 所以，当0a =时，0lim ()x f x →存在。

3. 利用极限的几何意义说明lim x →+∞sin x 不存在.解：因为当x →+∞时，sin x 的值在-1与1之间来回振摆动，即sin x 不无限接近某一定直线y A =，亦即()y f x =不以直线y A =为渐近线，所以lim sin x x →+∞不存在。

习题2-31. 举例说明：在某极限过程中，两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定是无穷小量，也不一定是无穷大量.解：例1：当0x →时，tan ,sin x x 都是无穷小量，但由sin cos tan xx x=（当0x →时，cos 1x →）不是无穷大量，也不是无穷小量。

例2：当x →∞时，2x 与x 都是无穷大量，但22xx=不是无穷大量，也不是无穷小量。

例3：当0x +→时，tan x 是无穷小量，而cot x 是无穷大量，但tan cot 1x x =不是无穷大量，也不是无穷小量。

2. 判断下列命题是否正确：(1) 无穷小量与无穷小量的商一定是无穷小量； (2) 有界函数与无穷小量之积为无穷小量； (3) 有界函数与无穷大量之积为无穷大量； (4) 有限个无穷小量之和为无穷小量； (5) 有限个无穷大量之和为无穷大量；(6) y =x sin x 在(-∞，+∞)内无界，但lim x →∞x sin x ≠∞；(7) 无穷大量的倒数都是无穷小量； (8) 无穷小量的倒数都是无穷大量.解：（1）错误，如第1题例1； （2）正确，见教材§定理3；（3）错误，例当0x →时，cot x 为无穷大量，sin x 是有界函数，cot sin cos x x x =不是无穷大量；（4）正确，见教材§定理2；（5）错误，例如当0x →时，1x 与1x -都是无穷大量，但它们之和11()0x x+-=不是无穷大量；（6）正确，因为0M ∀>，∃正整数k ，使π2π+2k M >，从而ππππ(2π+)(2π+)sin(2π+)2π+2222f k k k k M ==>，即sin y x x =在(,)-∞+∞内无界，又0M ∀>，无论X 多么大，总存在正整数k ，使π>k X ，使(2π)πsin(π)0f k k k M ==<，即x →+∞时，sin x x 不无限增大，即lim sin x x x →+∞≠∞；（7）正确，见教材§定理5；（8）错误，只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量。

零是无穷小量，但其倒数无意义。

3. 指出下列函数哪些是该极限过程中的无穷小量，哪些是该极限过程中的无穷大量. (1) f (x )=234x -,x →2; (2) f (x )=ln x ，x →0+，x →1,x →+∞； (3) f (x )= 1e x,x →0+，x →0-； (4) f (x )=2π-arctan x ,x →+∞;(5) f (x )=1x sin x ,x →∞; (6) f (x )= 21xx →∞. 解：（1）22lim(4)0x x →-=因为，即2x →时，24x -是无穷小量，所以214x -是无穷小量，因而234x -也是无穷大量。

（2）从()ln f x x =的图像可以看出，1lim ln ,limln 0,lim ln x x x x x x +→→+∞→=-∞==+∞，所以，当0x +→时，x →+∞时，()ln f x x =是无穷大量；当1x →时，()ln f x x =是无穷小量。

（3）从1()e x f x =的图可以看出，110lim e ,lim e 0x xx x +-→→=+∞=， 所以，当0x +→时，1()e xf x =是无穷大量； 当0x -→时，1()e xf x =是无穷小量。

（4）πlim (arctan )02x x →+∞-=，∴当x →+∞时，π()arctan 2f x x =-是无穷小量。

（5）当x →∞时，1x是无穷小量，sin x 是有界函数， ∴1sin x x是无穷小量。

（6）当x →∞时，21x∴是无穷小量。

习题2-41.若0lim x x →f (x )存在，0lim x x →g (x )不存在，问0lim x x →［f (x )±g (x )］, 0lim x x →［f (x )·g (x )］是否存在，为什么?解：若0lim x x →f (x )存在，0lim x x →g (x )不存在，则（1）0lim x x →［f (x )±g (x )］不存在。

因为若0lim x x →［f (x )±g (x )］存在，则由()()[()()]g x f x f x g x =--或()[()()]()g x f x g x f x =+-以及极限的运算法则可得0lim x x →g (x )，与题设矛盾。

（2）0lim x x →［f (x )·g (x )］可能存在，也可能不存在，如：()sin f x x =，1()g x x=，则0limsin 0x x →=，01lim x x →不存在，但0lim x x →［f (x )·g (x )］=01lim sin 0x x x →=存在。