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2021华东师大数学九年级上册考点

2021华东师大数学九年级上册考点数学逻辑专注在将数学置于一坚固的公理架构上，并研究此一架构的成果。

就其本身而言，其为哥德尔第二不完备定理的产地，而这或许是逻辑中最广为流传的成果。

今天小编在这给大家整理了一些华东师大数学九年级上册考点，我们一起来看看吧!华东师大数学九年级上册考点一、锐角三角函数正弦等于对边比斜边余弦等于邻边比斜边正切等于对边比邻边余切等于邻边比对边正割等于斜边比邻边二、三角函数的计算幂级数c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn(n=0..∞)c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n(n=0..∞)它们的各项都是正整数幂的幂函数,其中c0,c1,c2,...及a都是常数,这种级数称为幂级数.泰勒展开式(幂级数展开法)f(x)=f(a)+f'(a)/1!_(x-a)+f''(a)/2!_(x-a)2+...f(n)(a)/n!_(x-a)n+...三、解直角三角形1.直角三角形两个锐角互余。

2.直角三角形的三条高交点在一个顶点上。

3.勾股定理：两直角边平方和等于斜边平方四、利用三角函数测高1、解直角三角形的应用(1)通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问.如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度.(2)解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题).②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案.数学九年级上册考点(一)平行四边形的定义、性质及判定.1.两组对边平行的四边形是平行四边形.2.性质：(1)平行四边形的对边相等且平行;(2)平行四边形的对角相等，邻角互补;(3)平行四边形的对角线互相平分.3.判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形：(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形：(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.4·对称性：平行四边形是中心对称图形.(二)矩形的定义、性质及判定.1-定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2·性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等3.判定：(1)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形;(2)有三个角是直角的四边形是矩形：(3)两条对角线相等的平行四边形是矩形.4·对称性：矩形是轴对称图形也是中心对称图形.(三)菱形的定义、性质及判定.1·定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.(1)菱形的四条边都相等;。

九年级上册数学《圆》点、线和圆的位置关系-知识点整理

圆知识要点圆的定义：（1）在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫圆心，线段OA叫做半径；（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

1、点和圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d＜r ＜====＞点P在⊙O内；d＝r ＜====＞点P在⊙O上；d＞r ＜====＞点P在⊙O外。

2、直线与圆的位置关系（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与⊙O相交＜====＞d<r；直线l与⊙O相切＜====＞d=r；直线l与⊙O相离＜====＞d>r；3、切线的判定和性质（1）、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

（2）、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径。

如右图中，OD垂直于切线。

4、切线长定理（1）、切线长在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

（2）、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

如右图中：圆外一点P与圆O相切与D，E两点，所以有PD=PE，可以通过连接OP来证明。

5、过三点的圆（1）、不在同一直线上的三个点确定一个圆。

（2）、三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

如图圆O是△ABC的外接圆（3）、三角形的外心三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。

（4）、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）圆内接四边形对角互补。

(5)、三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

如图圆O是△A＇B＇C＇的内切圆。

2020华东师大版初中数学9年级全册知识点汇总

九年级上第二十一章二次根式1．二次根式)0(≥a a 表示非负数a 的算术平方根，也就是说，)0(≥a a 是一个非负数，它的平方等于a ，即有：（1）)0(0≥≥a a （2）())0(2≥=a a a形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式。

二次根式的性质：⎩⎨⎧<-≥=)0()0(2a a a a a2．二次根式的乘法两个二次根式相乘，将它们的被开方数相乘。

)0,0(≥≥=⋅b a ab b a3．积的算术平方根积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积。

主要用于二次根式的化简。

)0,0(≥≥⋅=b a b a ab4．二次根式的除法两个二次根式相除，将它们的被开方数相除。

)0,0(>≥=b a baba 1．商的算术平方根商的算术平方根，等于各因式算术平方根的商。

主要用于分母有理化，就是使分母中不含有二次根式，并且二次根式中不含有分母。

)0,0(>≥=b a ba ba7．最简二次根式被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于2，这样的二次根式称为最简二次根式。

8．二次根式化简主要包括两方面（1）如果被开方数中含有分母，通常可利用分式的基本性质将分母配成完全平方，再“开方”出来。

（2）如果被开方数中含有完全平方的因式（或因数），可利用积的算术平方根的性质，将它“开方”出来。

9．同类二次根式像33与32-， a 3、 a 2-与 a 4这样的几个二次根式，称为同类二次根式。

二次根式的加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并。

第二十二章一元二次方程1．一元二次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程。

一般形式：c b a c bx ax ,,(02=++是已知数，)0≠a 。

其中c b a ,,分别叫做二次项的系数，一次项的系数，常数项。

2．一元二次方程的解法（1）直接开平方法（2）因式分解法（3）配方法（4）公式法 ()042422≥--±-=ac b aacb b x 3．一元二次方程的判别式，ac b 42-=∆当0>∆时，方程有两个不等的实根。

九年级数学华东师版知识点

九年级数学华东师版知识点数学是一门抽象而又具有实际应用的学科，它在我们的日常生活中无处不在。

作为九年级数学学科教材的华东师版，它涵盖了许多重要的知识点。

本文将就其中的一些重要知识点展开讨论，以期帮助同学们更好地理解和掌握这些内容。

九年级数学华东师版教材中，代数是一个非常重要的章节。

在这个章节中，我们学习了关于代数式和方程的基本概念和性质。

通过学习代数式的展开和因式分解，我们可以将复杂的表达式简化为简单的形式，从而更方便地进行计算和分析。

代数方程则是数学中的重要工具，通过解方程，我们可以找到未知数的取值，从而解决实际问题。

解一元二次方程、一次不等式等内容，都是九年级数学中的重点。

几何是数学中的另一个重要分支，九年级数学华东师版教材中也有专门的章节来介绍几何知识。

在这个章节中，我们学习了平面几何和空间几何的基本概念和性质。

平面几何研究的是二维图形，例如点、线、面等；空间几何则研究的是三维图形，例如点、线、面、体等。

通过学习平行线与垂直线的性质、三角形的性质等内容，我们可以更好地理解和掌握几何形状之间的关系，进而解决实际问题。

例如，通过学习三角形的相似性质，我们可以利用三角形相似的特点解决许多实际应用问题，如测量高楼的高度等。

除了代数和几何外，概率和统计也是九年级数学中的重要内容。

概率是研究随机事件发生可能性的数学分支，统计则是研究数据收集、整理和分析的数学分支。

通过学习概率和统计的知识，我们可以更好地理解事件发生的规律，从而做出合理的预测和决策。

概率与统计的应用非常广泛，例如在购彩中我们可以根据概率来选择号码，在社会调查中我们可以根据统计数据来分析事态发展趋势等。

另外，九年级数学华东师版教材还涵盖了函数与图像、消费与税收等内容。

函数是一种重要的数学工具，它描述了输入和输出之间的关系。

通过学习函数与图像的知识，我们可以更好地理解和分析实际问题。

消费与税收则是财务管理中的重要内容，通过学习这些知识，我们可以更好地理解和应用金融知识，做出明智的消费和财务决策。

九年级上册复习数学知识点 Microsoft Word 文档

九年级数学上册知识点襄阳南漳李庙中学熊越红第一单元二次根式1、二次根式:式子﹍﹍﹍( )叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。

2、最简二次根式:若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。

3、化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。

（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。

4、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。

5、二次根式的性质：（1）（2）（3）（4）6、二次根式混合运算：二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。

第二单元一元二次方程1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式：它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。

3、一元二次方程的解法（1）直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。

根据平方根的定义可知是b的平方根，当0≥b时，，当b<0时，方程没有实数根。

(2)配方法：配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。

配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。

(3)公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0)的求根公式：(4)因式分解法:因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

华师大版数学九年级上华师大九上数学知识点总结

第21章二次根式知识点1 二次根式（重点）知识解读1)0a ≥a 称为被开方数（式）．要点精析：（1）二次根式的定义是从代数式的结构形式．．．．上界定的，必须含有二次根号的根指数为22”一般省略不写．（2）被开方数a 可以是一个数．．．，也可以是一个含有字母的式子．．；但前提是．．．a 必须大于或等于0．（3）形如)0a ≥的式子也是二次根式．2．易错警示：（1（2()10a ≥这样的式子只能称为含有二次根式的式子，不能称为二次根式．知识点2 二次根式有意义的条件（重点）知识解读1．二次根式有意义．．．的条件是被开方数（式）为非负数．．．；反之也成立，0a ⇔≥． 2．二次根式无意义．．．的条件是被开方数（式）为负数．．；反之也成立，0a ⇔<．要点精析：（1）如果一个式子含有多个二次根式，那么它有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．．．．．．．．．．．；（2）如果一个式子中既含有二次根式又含有分式，那么它有意义的条件是：二次根式中的．．．．．．被开方数是非负数．．．．．．．．；分式的分母不等于．．．．．．．．0．；（3）如果一个式子中含有零指数或责整数指数，那么它有意义的条件是：底数不为．．．．0．．方法规律（1）本例通过式子有意义的隐含条件，求出点的横、纵坐标的符号，从而确定点在平面直角坐标系中所处的象限；这种由“数”确定符号到“形”确定位置的过程，体现了“数形结合思想”．（2）当题中指出式子有意义或说式子是什么式子时，都表示这个式子一定具备定义中的条件，解这类题一般都是先根据定义建立关于未知数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定未知数的值或范围．知识点3 二次根式的性质（重难点）知识解读1．二次根式的性质：（1a≥≥即一个非负数的算术平方根是一个非负数；（2）()2a a=≥，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；（3()()0,0,a aaa a≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩即一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值．要点精析：（1．．．．．：①0a≥≥．（22的区别与联系：区别：a为全体实数，2中0a≥；先平方后开方，2是先开方后平方；③运算结果不同：()()0,0,a aaa a≥⎧⎪==⎨-<⎪⎩2a=．联系2均为非负数，且当0a≥2=．2．易错警示a=化简时，易忽略字母a的取值范围．方法规律本例与前面的例3都属于“数形结合思想”的经典例题，它们的不同点：例3是由“数”的符号确定“形”的位置；而本例则由“形”的位置来确定“数”（式）的符号；它充分体现了“数”与“形”是一个互相依存、不可分割的有机结合体；解答利用二次根式的性质化简题的关键是确．保去掉根号后的结果是非负数．．．．．．．．．．．．．．方法规律常见的非负数的类型有三种：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根）．当它们的和．为．0．时，必须满足其中的每一项．．．都等于．．．0．．方法规律形如（4）这类题目应充分运用分类讨论思想．另外，此类题中并不是所有的非负数都得写成二次根式的平方（不一定带根号）的形式，如242=，2164=，()22211x x x++=+等．方法规律解这类题的依据是二次根式有意义的条件：被开方数是非负数．．．．．．．．，，它是限制字母取值范围的重要条件，也是易被忽略的隐含条件；b（其中被开方数x a-与a x-互为相反数）的式子的值是b．方法规律此题运用转化思想，把二次根式问题转化为绝对值问题，去绝对值符号时运用了分类讨论思想．当绝对值符号内的代数式大于或等于0时去掉绝对值符号后是它本身，当绝对值符号内的代数式小于o 时去掉绝对值符号后是它的相反数．此题有两处绝对值，故要分三种情况讨论，即：两个都小于0；一个大于0，另一个小于0；两个都大于0．等于0和这三种情况中任何一种合并都可以，只不过分段讨论时，同一个数不重复讨论，在一处出现即可．方法规律先通过二次根式的定义求自然数n 的范围，再由二次根式的性质确定12n -是一个完全平方数，最后通过分类讨论思想求出自然数n 的值．方法规律a =进行化简时，其关键步骤是去绝对值符号．．．．．．，而去绝对值符号的关键是判．断绝对值符号内的代数式的符号．．．．．．．．．．．．．．；因此一定要结合具体问题：如数轴、几何图形特征等，先确定其符号，然后进行化简．21.2 二次根式的乘除知识点1 二次根式的乘法（重点）知识解读1)0,0a b =≥≥．这就是说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根．要点精析：（1）法则中被开方数a 、b 既可以是数．，也可以是代数式．．．，但都必须是非负数．．．；（2）当二次根式根号外有因数（式）时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即根号外因数（式）之积作为根号外因数（式），被开方数之积作为被开方数；（3）二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个有理式；（4）如果没有特别说明，本章中的所有字母都表示正数．．．．．．．．．．拓展：（1）几个二次根式相乘，把被开方数相乘，)0,0,0a b c =≥≥≥；（2）几个二次根式相乘，可利用交换律、结合律使运算简便．（3）易错警示：不要把字母表示正数误认为含该字母的式子就是正数．知识点2 积的算术平方根（难点）知识解读1)0,0a b ≥≥，这就是说，积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积．要点精析：（1）积的算术平方根的性质的实质是逆用．．．．．二次根式的乘法法则，它对两个以上的积的算术平方根同样适用；（2）应用积的算术平方根的性质的前提条件．．．．是乘积中的每个因数（式）必须是非负数；应用此性质的作用是化简二次根式；（3）在进行化简运算时，先将被开方数进行因数（式）分解，然后将能开得尽方的因数（式）开方后移到根号外．2．易错警示：积的算术平方根性质中的每个因式可以是数，也可以是代数式，但无论是数还是代数式都必须满足因数（式）都是非负数，才能运用性质进行化简或计算．知识点3 二次根式的除法（重点）知识解读1)0,0a b =≥>．这就是说，两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根．要点精析：（1）法则中的被开方数a 、b 既可以是数，也可以是代数式，但都必须是非负的．．．且．b ．不．为．0．；（2）当二次根式根号外有因数（式）时，可类比．．单项式除以单项式的法则进行运算；将根号外因数（式）之商作为根号外商的因数（式）；被开方数之商作为被开方数．2．易错警示：（1)0,0a b =≥>中，特别注意0b >，若0b =，则代数式无意义；（2）二次根式的运算结果要尽量化到最简；（3这样的错误；（4）如果是几个二次根式相除，应按除法法则依次计算；也可以把除法运算转化为乘法运算来计算．方法规律利用二次根式的除法法则进行计算，被开方数相除时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分、化简．知识解读1)0,0a b=≥>．这就是说，商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．要点精析：（1）商的算术平方根的性质的实质是逆用．．．．．二次根式的除法法则；（2）应用商的算术平方根的前提条件是商中被除式是非负数，除式是正数；（3）商的算术平方根的性质的作．用是化简二次根式．．．．．．．．，将分母中的根号化去． 2．分母有理化：（1）定义：要化去分母中的根号，只要将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式就可以了，通常这种化简过程称为分母有理化；（2）依据：分式的基本性质及()20a a =≥；（3）方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式．拓展：（1）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式；（2）常用的有理化因式a a ；3．易错警示：在二次根式的计算中，最后结果的被开方数应不含开得尽的因数（式），同时分母不含二次根式．方法规律分每有理化一般经历如下三步：“一移．．”，即将分子、分母中能尽方的因数（式）移到根号外；“二乘．．”，即将分子、分母同时乘以分母的有理化因数（式）；“三化．．”，即化简计算．知识点5 最简二次根式（重点）知识解读1．定义：二次根式被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因数（或因式）的幂的指数都小于2，像这样的二次根式称为最简二次根式．要点精析：最简二次根式必须满足：（1）被开方数不含分母，也就是被开方数必须是整数（式）；（2）被开方数中每个因数（式）的指数都小于根指数2；即每个因数（式）的指数都是1．2．将一个二次根式化简成最简二次根式的方法步骤：（1）“一分”，即利用因数（式）分解的方法把被开方数的分子、分母都化成质因数（式）的幂的乘积形式；（2）“二移”，即把能开得尽方的因数（式）用它的算术平方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意应写在分母的位置上；（3）“三化”，即将分母有理化一化去被开方数中的分母．3．易错警示：（1）分母中含有根式的式子不是最简二次根式；（2）去根号时，忽视隐含条件，误将负数移到根号外；（3）去根号后漏掉括号．方法规律二次根式乘除法的混合运算与整式乘除法的混合运算方法相同，整式乘除法的一些法则、公式在二次根式乘除法中同样适用．．．．，在运算中要注意符号和顺序；最后的结果要注意将所含的二次根式化为最简二次根式．．．．．．．．．．．．．．．．．，且分母中不含二次根式说明：对于二次根式的混合运算，也可先对每一个二次根式进行化简，再计算，能使计算简便，请读者试一试．方法规律本例利用探究规律法将蕴涵在数中内在的排列规律，猜想探究问题的结果用代数式表示．21.3 二次根式的加减知识点1 同类二次根式知识解读1．我们把像、-要点精析：（1）同类二次根式必须符合两个条件：①最简二次根式；②被开方数相同．（2）判断是否为同类二次根式时，先将二次根式都化为最简二次根式，然后比较被开方数，它与根号前面的系数无关．2．易错警示：判断两个二次根式是否为同类二次根式，不化简而直接判断易出错．方法规律判断几个二次根式是否为同类二次根式的步骤是：（1）将各二次根式化为最简二次根式；（2）看被开方数是否相同．知识点2 二次根式的加减知识解读1．法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并．=+即：(m n2．二次根式加减运算的步骤：（1）“化”：将每个二次根式化成．．最简二次根式；（2）“找”：找出．．同类二次根式；（3）“并”：将同类二次根式合．并．成一项．3．整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则在二次根式的运算中仍然适用．4．易错警示：（1）合并同类二次根式时，根号外的因数与因数合并，剩下的部分保持不变，一定不要丢掉；（2）不能合并的二次根式不能丢掉，因为它们也是结果的一部分；（3）二次根式根号外的因数是带分数的要化为假分数．方法规律二次根式的加减法运算的步骤：（1）将每个二次根式都化为最简二次根式．．．．．．，若被开方数中含有带分数，则要先化成假分数；若含有小数成分数，则要化成分数，进而化为最简二次根式；（2）原式中若有括号，要先去括号，再应用加法交换律、结合律将被开方数相同的二次根式进行合并．．．．．方法规律本例是一道集“数”与“形”为一体的经典题，解答本例经过由非负数之和为零得方程（组），从方程（组）得到三条线段的长；再由任意两线段之和大于第三条线段；任意两线段之差小于第三条线段；得出这三条线段符合组成三角形的条件；最后求三角形的周长．知识点3 二次根式的混合运算（难点）知识解读1．二次根式的混合运算：（1）运算种类：二次根式的加、减、乘、除、乘方（或开方）的混合运算．（2）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的．要点精析：（1）二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式（或整式）的形式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，并且分母中不含二次根式；（2）进行二次根式的开方运算时应使开出的因数（式）是非负数（式）．2．二次根式的运算律：（1）实数运算中的运算律（交换律、结合律、分配律）和整式乘法中的乘法公式（平方差公式和完全平方公式）在二次根式的运算中仍然适用．（2）在进行计算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，同时注意合理地运用运算律．3．易错警示：（1）对被开方数相同的二次根式理解不透彻导致合并不彻底．（2）在计算过程中，忽略隐含已知条件中的字母的取值范围，导致出现符号错误．方法规律二次根式的混合运算顺序与整式运算类似，先乘方．．．，再乘除．．．，最后再加减．．．．．，在二次根式混合运算中，每一个二次根式可看成一个“单项式”，多个非同类二次根式之和可以看成一个“多项式”，因此整式运算法则、运算律及乘法公式在二次根式运算中仍然适用．方法规律=，即它们是可以合并的二次根式，也就是说它们是被开方数相同的二次根式．．．．．．．．．．．，利用这一特征解决问题，如按思维习惯把已知等式两边平方，这样一个等式两个未知量是无法求出a 、b 的．方法规律由5x y +=-，6xy =解出x ，y 的值比较困难，因此可以考虑用整体思想求解．方法规律本题运用数形结合思想．先根据实数所对应的点在数轴上的位置，得出每个数的正负情况以及大小关系，再运用二次根式的性质和绝对值的性质来解决问题．方法规律本题运用了“．0．”点取值法．．．．．，即令要讨论的每个代数式等于0，求出字母的值，然后分情况化简．体现了分类讨论思想的运用．方法规律参数法的实质是．．．在解题过程中，适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系量（参数），以此作为媒介．．，再进行分析和综合，从而解决问题．例如本例中的y 就是一个参数．方法规律此例体现了从特殊到一般的思想，采用了归纳法来解题．仔细观察，找出规律是关键．方法规律此例运用了反向推理法，对于一些题目，当我们从正面．．不好解答时，不妨从它的反面．．来考虑，可能有意想不到的效果．第22章一元二次方程知识点1 一元二次方程的概念知识解读1．定义：整式方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程．要点精析：（1）理解定义：要掌握三个关键点：整式、未知数个数及最高次数；“一元”是指整个方程中只含有一个未知数；“二次”是指该未知数的最高次数是2．（2）一元二次方程的识别方法：整理前：①整式方程，②只含一个未知数；整理后：未知数的最高次数是2．2．易错警示：在判断一个式子是否是一元二次方程时常出现以下几种错误：（1）不整理合并直接判断；（2）不看是不是整式方程；（3）未知数的个数不是1或未知数的最高次数不是2．方法规律判断一个方程是否是一元二次方程，有两个关键点：（1）整理前足整式方程且只含一个未知数；（2）整理后未知数的最高次数是2；本例⑤()222322x x x -=-中易出现不整理就下结论，误认为是一元二次方程的错误．方法规律已知某方程为一元二次方程，则此方程必须符合一元二次方程的两个基本特征：只含一个未知数；未知数的最髙次数是2．当二次项系数是待定系数时还要考虑二次项系数不等于0．知识点2 一元二次方程的一般形式（重点）知识解读1．一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：()200ax bx c a ++=≠．这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中2ax 是二次项，a 是二次项系数，bx 是一次项，b 次项系数，c 是常数项．2．理解要点：（1）20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程才是一元二次方程，但b ，c 可以是0．（2）将一个一元二次方程化成一般形式，可以通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤．（3）指出一元二次方程的某项时，应连同未知数一起；指出某项系数时应连同它前面的符号一起．（4）二次项系数不等于零既是一元二次方程的必要条件，也是一个隐含条件．3．易错警示：（1）忽略一元二次方程20ax bx c ++=中二次项系数0a ≠的条件．（2）确定一元二次方程各项系数时，不要忽略各项前面的符号．方法规律1．化一般形式一般要经历一去（去分母去括号）二移三并这三步；2．当整理为一般形式后，如果二次项系数是负数，一般要把它转化为正数，若有关系数是分数，一般要把它转化为整数．方法规律在一元二次方程的一般形式：20ax bx c ++=中，0a ≠是确定该方程为一元二次方程的唯一标准，在应用一元二次方程的定义求待定字母的值时，既要考虑未知数的最高次数是2，又要考虑二次项系数不为零．方法规律在由一元二次方程的定义求有关待定字母的值时，先要把方程整理成一元二次方程的一般形式，再由题中给出的条件及二次项系数不为0列式求出．知识点3 建立一元二次方程的模型知识解读1．一元二次方程模型：一元二次方程是刻画现实世界的一个有效数学模型，它是把实际问题中语言叙述的数量关系通过设未知数用一元二次方程来表达．2．建立一元二次方程模型的一般步骤：（1）审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之间的关系；（2）设出合适的未知数，一般设为x ；（3）确定等量关系；（4）根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为一般形式．3．常用一元二次方程来建模的问题有：圆形的面积、增长（利润）率、行程问题、工程问题等．4．易错警示：一元二次方程求得实际问题的解要检验，看其是否符合实际意义．知识点4 一元二次方程的根（解）（难点）知识解读1．定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根（解）．要点精析：（1）判断方程的根的必要条件是：使方程左右两边相等．（2）根据方程的根的定义可以判断解出的方程的根是否正确．（3）一元二次方程的根不止一个，只要符合条件的都是方程的根．方法规律检验一个数是否为方程的根，只要把这个数分别代入方程的左右两边算出数值，看它们是否相等．在找根时注意使一元二次方程左右两边相等的未知数的值不一定只有一个．方法规律如果0x 是方程20ax bx c ++=的根，则有式子2000ax bx c ++=成立．当求含有0x 的代数式的值时，找出该代数式与2000ax bx c ++=相类似的结构进行整体代入求值．方法规律判断未知数的值是否为所给一元二次方程的根的方法是将这个数代入原方程，判断方程左右两边的值是否相等．22.2 一元二次方程的解法22.2.1 直接开平方法和因式分解法知识点1 用直接开平方法解一元一次方程（重点）知识解读1．定义：利用平方根的意义，直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法．2．直接开平方法求方程的解的方法：（1）()20x p p x =≥→=2）()()20x a p p x a +=≥→=；（3）()()20,0mx n p p m x +=≥≠→= 3．易错警示：直接开平方法是利用平方根的意义，所以要注意两点：（1）常常只取正的平方根而遗漏负的平方根；（2）只有非负数才有平方根，所以直接开平方法的前提条件是2x p =中0p ≥．方法规律用直接开方法解一元二次方程时，首先将方程化成左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，然后根据平方根的意义求解．当整理后右边为0时，方程有两个相等的实数根．知识点2 用因式分解法解一元二次方程知识解读1．定义：先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．2．因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）整理方程，使其右边为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的乘积；（3）令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．3．常用的因式分解的方法：（1）提取公因式法；（2）公式法；（3）()()()2x a b x ab x a x b +++=++．4．易错警示：（1）当方程没有化成一般形式时，不能把左边进行因式分解；（2）不是所有的一元二次方程都能用因式分解法求解．方法规律用因式分解法解一元二次方程时，不要急于将方程化为一般形式，要结合方程特点适当变形，发现并提取公因式或运用公式．方法规律采用因式分解法解一元二次方程的技巧为：右化零，左分解，两因式，各求解．方法规律用直接开平方的方法解一元二次方程，如果方程化成()20x p p =≥的形式，则方程的两根互为相反数．方法规律本题运用了换元法，运用换元法解方程时，要'注意还元．如本题最后是要解出未知数x ，而不是未知数t ，所以先换元然后再还元．方法规律元二次方程的两个根，就可以知道用因式分解法求解的过程，即()()120,x a x b x a x b --=⇔==．方法规律确定三角形的三边长时，要考虑三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．22.2.2 配方法知识点1 用配方法解一元二次方程知识解读1．定义：通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数，从而可以直接开平方求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．要点精析：（1）配方法是对二次项和一次项配方，所以一般先把常数项移到方程右边，再利用等式的性质将方程两边都加上一次项系数一半的平方（二次项_系数必须为1）．（2）用配方法解一元二次方程，实质就是对一元二次方程变形，转化成直接开平方法所需要的形式．配方是为了降次，利用平方根的定义把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．2．用配方法解一元二次方程的步骤：简言之：一化二移三配四开方，即（1）化：①将方程化成一般形式；②将二次项系数化为1．（2）移：将常数项移到方程的另一边．（3）配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使方程变为()2x m n ±=的形式．（4）开方：如果n 为非负数，直接开平方求根．3．易错警示：利用配方法解一元二次方程时：易忘记二次项系数化为1或方程的两边同时加上一次项系数一半的平方．方法规律（1）二次项系数为1时，已知一次项的系数，则常数项为一次项系数一半的平方；已知常数项，则一次项系数为常数项的平方根的两倍．注意有两个．（2）当二次项系数不为1时，则先化二次项系数为1，然后再配方．方法规律方程两边同时加上一次项系数一半的平方是配方法的关键，将二次项系数化成1是进行这一关键步骤的重要前提．方法规律当一个方程出现多个未知数，且方程中具备完全平方式的雏形时，可以考虑凑完全平方式，将方程化成几个非负数的和为零的情形，从而将一个方程化成多个方程来分别求解．22.2.3 公式法22.2.4 一元二次方程根的判别式知识点1 公式法解一元二次方程知识解读1．求根公式的定义：方程()200ax bx c a ++=≠的实数根可写为)240x b ac =-≥，这个式子叫做一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的求根公式．2．用求根公式解一元二次方程的一般步骤：（1）把一元二次方程化成一般形式；（2）确定公式中a 、b 、c 的值；（3）求出24b ac -的值；（4）若240b ac -≥，则把a 、b 及24b ac -的值代入求根公式求解，当240b ac -<时，方程无实数解．方法规律用公式法解一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式，然后确定二次项系数、一次项系数及常数项，在确定了a 、b 、c 后，先计算24b ac -的值，当240b ac -≥时，再用求根公式解．方法规律解含字母系数的一元二次方程时，与解一般的一元二次方程一，一，先将方程化成一般形式，然后利用公式法求出方程的解．方法规律利用公式法因式分解的理论依据：若一元二次方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，则方程可化成()()()1200a x x x x a --=≠的形式，因此()()()2120ax bx c a x x x x a ++=--≠，所以利用公式法进行代数式()20ax bx c a ++≠的因式分解时，可以先构造一元二次方程20ax bx c ++=，然后求出一元二次方程的两根，再代入()()()120a x x x x a --≠完成因式分解．知识点2 一元二次方程根的判别式知识解读1．式子24b ac -叫做方程()200ax bx c a ++=≠根的判别式，通常用符号∆表示，即24b ac ∆=-．2．一元二次方程根的个数的判断方法：（1）当0∆>时，方程()200ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根．（2）当0∆=时，方程()200ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根．（3）当0∆<时，方程没有实数根．要点精析：（1）利用根的判别式可以不解方程判断方程根的情况，反之，已知方程根的情况可以确定方程待定字母系数的取值范围；（2）计算根的判别式时，先将方程化成一般形式，确定a 、b 、c 后再计算；（3）一元二次方程有实数根包括有两个相等的实数根和两个不相等的实数根，即0∆≥．方法规律（1）关于一元二次方程根的情况的问题一般都与24b ac -有关，抓住24b ac -与零的大小关系推出一元二次方程根的三种不同情况是解题的关键．（2）判断方程根的情况的方。

九年级数学华师版重点知识点

九年级数学华师版重点知识点数学作为一门基础学科，被广大学生所学习和关注。

而九年级的数学内容尤为重要，它打下了学生数学思维发展的基础，并为高中数学学习做好准备。

本文将为大家介绍九年级数学华师版的重点知识点。

一、平面几何平面几何是数学中一个重要的分支，我们可以通过它来研究二维几何形状的性质和关系。

在九年级数学华师版中，平面几何的知识点主要包括图形的面积和体积计算、图形的旋转与翻转等。

通过对这些知识点的学习与应用，学生可以提高他们的几何思维能力，培养出良好的观察力和空间想象力。

二、函数与方程函数与方程是九年级数学华师版的另一个重点知识点。

函数是数学中一种重要的数值关系，它可以将一个数集映射到另一个数集。

在九年级的数学中，学生将学习到一些基本的函数形式，如线性函数、二次函数等，并学习到如何通过图像和方程来描述和分析函数。

另外，方程是数学中一种重要的算术工具，通过解方程可以求得未知数的取值。

因此，学生需要掌握方程的基本性质和一些解方程的方法。

三、统计与概率统计学是数学中一门应用广泛的学科，它研究数据的收集、整理、分析和解读。

在九年级数学华师版中，统计学的知识点主要包括数据的统计描述、频率分布和统计图表、概率的基本概念等。

通过对这些知识点的学习，学生可以了解如何有效地收集和处理数据，并通过统计方法进行问题的分析和解决。

四、数与量数与量是九年级数学华师版的另一个重点知识点。

数是自然与社会物质过程的抽象反映，量是数的种类。

在数与量的学习中，学生将学习到有理数和无理数的概念、实数的性质和运算法则等。

此外，学生还将学习到如何进行数的四则运算、整式与分式等基本数学运算。

五、立体几何立体几何是数学中另一个重要的分支，它研究三维几何形状的性质和关系。

在九年级数学华师版中，立体几何的知识点主要包括立体图形的面积和体积计算、平行线与平面的关系等。

通过对这些知识的学习和应用，学生可以提高他们的空间思维能力，并培养出良好的观察力和推理能力。

华师版九年级上册数学知识点总结(K12教育文档)

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二次根式1.二次根式的概念：形如的式子叫做二次根式．2.二次根式的性质:（1）=2)(a（a≥0）；（2（a≥0）；（3)⎪⎩⎪⎨⎧<=>==)0___()___()0___(____2aaaa3.二次根式的乘除：计算公式：___(0,0)___(0,0)a ba b⎧=≥≥⎪⎨=≥>⎪⎩4.概念： 1.2.⎧⎨⎩最简二次根式：(1) (2) (3)同类二次根式：5.二次根式的加减：(一化,二找，三合并）(1)将每个二次根式化为最简二次根式；（2）找出其中的同类二次根式；(3)合并同类二次根式．6.二次根式化简求值步骤：（1）“一分”:分解因数（因式)、平方数（式）；(2）“二移"：根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；(3）“三化”：化去被开方数中的分母．7.二次根式的混合运算：（1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．（2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用．（3)在二次根式混合运算中，如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．一元二次方程1.一元二次方程:1)一元二次方程:含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程．2)一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++acbxax．它的特征：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式,等式右边是零．2ax叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项,b叫做一次项系数；c叫做常数项．2.一元二次方程的解法：1)直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法．直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程．根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时,b a x ±=+，b a x ±-=,当b <0时，方程没有实数根．2) 配方法：配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±．配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边,再把二次项的系数化为1,再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式．3) 公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法．一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式:)04(2422≥--±-=ac b aac b b x 4) 因式分解法:因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法．分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式．3. 一元二次方程根的判别式：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆．1) 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； 2) 当△=0时,一元二次方程有2个相同的实数根； 3) 当△〈0时，一元二次方程没有实数根． 4. 韦达定理：如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么ab x x -=+21，ac x x =21．也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程,两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商．5. 一元二次方程的二次函数的关系：其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况,就是当y =0的时候就构成了一元二次方程了．那如果在平面直角坐标系中表示出来,一元二次方程就是二次函数中，图象与X 轴的交点,也就是该方程的解了．图形的相似知识点总结1．比例线段的有关概念==在比例式::中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a c(a b c d )a d b c a c b db 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b =c ,那么b 叫做a 、d 的比例中项．2．比例性质①基本性质：a b cdad bc =⇔= ②更比性质（交换比例的内项或外项)：()()()()⎧=⎪⎪⎪=⎪=⇒⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩交换内项交换外项同时交换内外项同时交换比的前项和后项a bc d d c a cb a d b b dc a b da c②合比性质：±±a b c d a b b c d d =⇒= ③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n ab===+++⇒++++++=()03．黄金分割在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC (AC ＞BC ），如果ACBCABAC =，即AC 2=AB ×BC ,那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC与AB 的比叫做黄金比．其中AB AC 215-=≈0.618AB ． 4．平行线分线段成比例定理①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3．则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF=== ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．③定理:如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．5．相似三角形的判定①两角对应相等,两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；③三边对应成比例，两三角形相似．6．相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等，对应边成比例；②相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； ③相似三角形周长的比等于相似比;面积的比等于相似比的平方．7．六种相似基本模型：C ABDCABDE E D BACDE ∥BC ∠B ∠AED ∠B ∠ACDADBCDOBACO DCBAX 型母子型AC ∥BD ∠B ∠C AD 是Rt △ABC 斜边上的高8．射影定理由_____________，得______________，即_______________；由_____________，得______________，即_______________；由_____________，得______________，即_______________．9．中位线1) 三角形的中位线:连结三角形两边中点的线段．三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的线段的长是对应中线长的31．2) 梯形的中位线:连结梯形两腰中点的线段．梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底边和的一半．10．位似ADBC①如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比．②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．解直角三角形考点一、直角三角形的性质1. 直角三角形的两个锐角互余．可表示如下：∠C =90°⇒∠A +∠B =90°2. 在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半．301902A BCD ABC ∠=︒⎫⇒=⎬∠=︒⎭ 3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．9012ACB CD AB BD AD D AB ∠=︒⎫⇒===⎬⎭为的中点 4. 勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方,即222c b a =+．5. 摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项,每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项．22290CD AD BD ACB AC AD ABCD AB BC BD AB⎧=•∠=︒⎫⎪⇒=•⎬⎨⊥⎭⎪=•⎩ 6. 常用关系式由三角形面积公式可得：AB •CD =AC •BC 考点二、直角三角形的判定1. 有一个角是直角的三角形是直角三角形．2. 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形．3. 勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ,b ，c 有关系222c b a =+,那么这个三角形是直角三角形．考点三、锐角三角函数的概念1. 如图,在△ABC 中,∠C =90°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记为sinA ，即A asin A c∠==的对边斜边②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cos A ，即A bcos A c ∠==的邻边斜边③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tan A ，即A atan A A b∠==∠的对边的邻边④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cot A ,即A bcot A A a∠==∠的邻边的对边2. 锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数．3. 各锐角三角函数之间的关系（1)互余关系：sin A =cos （90°-A ），cos A =sin （90°—A ）tan A =cot （90°—A )，cot A =tan(90°—A ）（2）平方关系：1cos sin 22=+A A （3）倒数关系：tan A •cot A =1 （4)弦切关系:tan A =A A cos sin ;cot A =cos sin AA4. 锐角三角函数的增减性：当角度在0°~90°之间变化时，（1)正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小) （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（3)正切值随着角度的增大(或减小)而增大（或减小) （4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小(或增大）5. 一些特殊角的三角函数值1. 解直角三角形的概念:在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．2. 解直角三角形的理论依据在Rt△ABC 中，∠C =90°,∠A ，∠B ,∠C 所对的边分别为a ,b ，c（1）三边之间的关系：222c b a =+（勾股定理）（2)锐角之间的关系：∠A +∠B =90° （3)边角之间的关系:sin ,cos ,tan ,cot sin ,cos ,tan ,cot a bab A A A Ac c b a b aba B B B B c c ab======== 随机事件的概率1. 概率（1）表示一个事件发生的可能性大小的这个数，叫做该事件的概率．P (所关注的事件）=所关注的结果/所有等可能的结果．2. 概率的预测（1）要清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果． (2)要清楚所有机会的结果．（1)、（2）两个结果个数之比就是关注的结果发生的概率．方法：画树状图、列表法．。

(完整word)九年级数学二次函数知识点总结及经典例题,推荐文档

二次函数知识点总结一、二次函数概念:21二次函数的概念：一般地，形如y ax bx c（ a,b ,c是常数，a 0 ）的函数，叫做二次函数。

里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0,而b，c可以为零•二次函数的定义域是全体实数.92. 二次函数y ax bx c的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.⑵a ,b, c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.二、二次函数的基本形式21.二次函数基本形式：y ax的性质:a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

22. y ax c的性质:上加下减。

23. y a x h的性质:左加右减。

24. y ax hk 的性质: a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上h , kX=hx h 时，y 随x 的增大而增大；x h 时，y 随 x 的增大而减小；x h 时，y 有最小值k •a 0向下 h , k X=hx h 时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 随 x 的增大而增大；x h 时，y 有最大值k •三、二次函数图象的平移1.平移步骤：2⑴将抛物线解析式转化成顶点式 y a x h k ，确定其顶点坐标 h , k ；⑵ 保持抛物线y ax 2的形状不变，将其顶点平移到 h ，k 处，具体平移方法如下:当x 2a 时，y 随x 的增大而减小; y=ax 2 A y=ax 2+k向右(h>0)【或左(*0)] 平移|k|个单位y=a(x h)2向右(h>0)【或左(h<0)] 平移|k|个单位2.平移规律在原有函数的基础上概括成八个字“左加右减,h 值正右移，负左移;上加下减” •k 值正上移，负下移”六、四、二次函数从解析式上看,b a x2a二次函数1. 4ac b 24a，其中 ax 2 bx c 的性质当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为2axax 2 bx c 的比较bx c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者,4ac b 2 4a盘，顶点坐标为b 4ac b 22a ' 4a向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k 个单位向右(h>0)【或左(h<0)] 平移|k|个单位2当x佥时，y随x的增大而增大;x2a 时，y有最小值4ac b 2 4a2•当a 0时，抛物线开口向下, 对称轴为 x —，顶点坐标为2a b 4ac b 2 、［/ b ”亠方，F .当x 茲时，y 随 x 的增大而增大；当x 2a 时,b 4ac b 2y 随x 的增大而减小；当x 亦时，y 有最大值 f 七、 1. 二次函数解析式的表示方法一般式：y ax 2bx c （ a , b , c 为常数，a 0）；2顶点式：y a （x h ） k （ a , h , k 为常数，a 0）; 两根式（交点式）：y a （x x i ）（x X 2）（ a 0,为,x ?是抛物线与x 轴两交点的横坐标） 2. 3. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即b 2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示. 二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、 1. ⑴ ⑵ 二次函数的图象与各项系数之间的关系二次项系数a当a 0时，抛物线开口向上，当a 0时，抛物线开口向下， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大; a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大.2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下, 3. 常数项c⑴当c ⑵当c ⑶当c总结起来， 0时, 0时, 0时, b 决定了抛物线的对称轴.（同左异右 b 为0对称轴为y 轴）抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与抛物线与抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与 c决定了抛物线与y 轴交点的位置.y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； y轴交点的纵坐标为0 ； y 轴交点的纵坐标为负.九、二次函数与一元二次方程:i.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与一二次方程ax 2 bx c 0是二次函数y x 轴的交点个数：兀图象与 ax 2 x 轴交点情况）： bx c 当函数值y 0时的特殊情况.2b 4ac 0时，图象与x 轴交于两点Ax 1 ,0 ，B x 2 ,0 (x 1X 2），其中的X i , x 是一元二次方2ax bx 0的两根.• 1' 2' 0时, 0时, 当a 当a x 轴只有一个交点;x 轴没有交点. 0时，图象落在 0时，图象落在图象与图象与 x 轴的上方，无论 x 轴的下方，无论 x 为任何实数, x 为任何实数, 都有都有2.抛物线y 2axbx c 的图象与y 轴一定相交，交点坐标为（0 , c)；二次函数对应练习试题、选择题1.二次函数y2x 4x 7的顶点坐标是A.(2, —11)B. (-2, 7)C. (2, 11)D. (2, - 3)2.把抛物线y2x2向上平移1个单位, 得到的抛物线是（2A. y 2(x 1)B. y 2(x 2 21) C. y 2x 1 D. 2x2 12k3.函数y kx k和y （k 0）在同一直角坐标系中图象可能是图中的0）的图象如图所示,则下列结论：①a,b同号；②当x 1和x 3时，函数值相等；③4a b 0④当y 确的个数是（）A.1个B.2 个C. 35.已知二次函数y ax2 bx c(a由图象可知关于兀二次方程axA. — 1 .6.已知二次函数A.第一象限C.第三象限7.方程2x x2A.0个8.已知抛物线过点A. y x2C. y x22时,x的值只能取0.其中正个个D. 4B.-2.3C.-0.3D.-3.32ax bx c的图象如图所示, 则点（ac,bc）在（B.第二象限D.第四象限-的正根的个数为xB.1A(2,0),B(-1,0), x 2 或y x2C.2与y轴交于点B.x 2 D.C,且0C=2.则这条抛物线的解析式为y x2 x 22 、2y x x 2 或y x x 2二、填空题9•二次函数y x2 bx 3的对称轴是x 2，则b ______________ 。

初中数学知识点总结word

初中数学知识点总结word一、数与代数1. 有理数- 整数与分数- 正数、负数和零- 有理数的加法、减法、乘法、除法- 有理数的比较大小- 绝对值的概念与性质2. 整数的性质- 素数与合数- 奇数与偶数- 整数的因数与倍数- 质因数分解3. 代数表达式- 单项式与多项式- 合并同类项- 代数式的简化与变形4. 一元一次方程与不等式- 方程与方程的解- 解一元一次方程- 解一元一次不等式- 用方程或不等式解决实际问题5. 二元一次方程组- 方程组的解法：代入法、消元法- 线性方程组的应用问题6. 函数的基本概念- 函数的定义与表示方法- 函数的图象与性质- 常见函数：一次函数、二次函数二、几何1. 平面图形- 点、线、面的基本性质- 角的概念与分类- 三角形的分类与性质- 四边形的分类与性质- 圆的基本性质与计算2. 几何图形的计算- 面积与周长的计算- 相似三角形的性质与应用- 勾股定理及其应用- 三角形的面积公式- 圆的周长与面积公式3. 空间几何- 立体图形的基本概念- 棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的结构与计算 - 体积与表面积的计算4. 变换几何- 平移、旋转、对称的概念- 坐标系中点的平移- 轴对称与中心对称三、统计与概率1. 统计- 数据的收集与整理- 频数与频率- 统计图表的绘制与解读：条形图、折线图、饼图- 平均数、中位数、众数的计算与意义2. 概率- 随机事件的概念- 概率的计算与表示- 等可能事件的概率- 通过树状图或列表法解决简单概率问题四、综合应用题1. 数列的基本概念与简单计算2. 解决实际问题的综合应用- 速度与时间问题- 货币与投资问题- 比例与相似问题- 最优化问题以上是初中数学的主要知识点总结，每个部分都包含了关键的概念、公式和解题方法。

在实际学习过程中，学生应该通过大量的练习来巩固和深化这些知识点，以便在解决各种数学问题时能够灵活运用。

同时，教师和家长应鼓励学生培养良好的学习习惯和思维方式，提高解题效率和准确率。

九年级上数学1.1菱形知识点总结及习题含答案 Word

菱形性质与判定练习题纯题部分一．选择题（共4小题）1．已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（）A、163B、16C、83D、82．菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）A．2 B．C．1 D．3．菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（） 4.5题图A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：14．如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（）A．15 B．C．7.5 D．5.如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为（）A．2 B． C．4 D．二．填空题（共15小题）6．已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是_________cm2．7．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=_________．8．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．7题图8题图9题图10题图9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_________．10．如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO= _________度．11．如图，活动菱形衣架的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1=度．11题图13题14题图15题图12．已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为_________．13．如图，两个全等菱形的边长为1米，一机器人由A点开始按A—B—C—D—E—F—C—G—A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在_____点．14．如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是_________cm．15．已知：菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为______．16．已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_________cm2．17．已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是_________cm2．18．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC 交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_________．18题图19题图20题图19．如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_________．20．如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE=度．三．解答题21．如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE．22．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．23．如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．24．如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E连接BE．（1）证明：∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？25．如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．菱形性质与判定练习题答案部分一．选择题（共4小题）1．已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（C）A、163B、16C、83D、82．菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（C）A．2 B．C．1 D．3．菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（C）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：14．如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（A）A．15 B．C．7.5 D．5.如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为（ C ） 4.5题图A．2 B． C．4 D．二．填空题（共15小题）6．已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是____3_____cm2．7．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=_2.4________．8．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD2．7题图8题图9题图10题图9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_60________．10．如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO=__65°_______度．11．如图，活动菱形衣架的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1= 120°度．11题图13题14题图15题图12．已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为2或6_________．13．如图，两个全等菱形的边长为1米，一机器人由A点开始按A—B—C—D—E—F—C—G—A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在_B____点．14．如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是____3_____cm．15．如图：菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为_16_____．16．已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_96________cm2．17．已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是__120_______cm2．18．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是__2.5_(示AP与EF交于Q.S厶FQP=S厶EQA_．18题图19题图20题图19．（2003•温州）如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB PE+PB=PE+PD=ED_______．20．如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE=45度．提示连接AC证厶ABE 厶ACF 得到AE=AF 得出∠AFE=60°三．解答题21．（2011•广安）如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE．22．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．60°作DF⊥AB则F是AB的中直E是BF的中点BE=123．（2010•宁洱县）如图，四边形ABCD 是菱形，BE ⊥AD 、BF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ．（1）求证：BE=BF ；（2）当菱形ABCD 的对角线AC=8，BD=6时，求BE 的长．（2）提示: 连接AC. BD 用勾3股4得AB=5再用等积法求BE11528622BE ⨯⋅⋅=⨯⨯24．如图，在菱形ABCD 中，P 是AB 上的一个动点（不与A 、B 重合），连接DP 交对角线AC 于E 连接BE ．（1）证明：∠APD=∠CBE ；（2）若∠DAB=60°，试问P 点运动到什么位置时，△ADP 的面积等于菱形ABCD 面积的，为什么？(1) ∆ ∴ ∠ DB 关于AC 对称 ∴∠EDC=∠CBE 而 ∠CDP=∠DPA ∴∠APD=∠CBE（2）当P 点运动到AB 的中点位置时，△ADP 的面积等于菱形ABCD 面积的，因为S ∆APD=APh= .AB h s 囗=ABh25．如图所示，在矩形ABCD 中，AB=4cm ，BC=8cm 、点P 从点D 出发向点A 运动，同时点Q 从点B 出发向点C 运动，点P 、Q 的速度都是1cm/s ．（1）在运动过程中，四边形AQCP 可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP 是菱形？（2）分别求出菱形AQCP 的周长、面积．解(1) 设运动了x 秒则得方程 8x =- 得x=3(2)C=4(8-3)=20cm s=(8-3)4=202cm解法二: 可以建立直角平面BA 为y 轴 BC 为x 轴, 在AC 的中点坐标(4.2) 和AC 的钭率, 求出直线QP, 从而可求出Q.P 的坐标, 找到PD 的长就能求出秒数。

(完整word版)九年级上册数学知识点总结

九年级上册数学知识点总结归纳1第二十一章一元二次方程第二十二章二次函数第二十三章旋转第二十四章圆第二十五章概率初步第二十一章一元二次方程知识点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0）。

注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。

知识点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a ）2=b （b ≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。

X+a=±b∴1x =-a+b 2x =-a-b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a ）2=b 的形式；⑤如果b ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b<0，则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是aac b b x 242-±-=(b 2－4ac ≥0)。

步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a ，b ，c 的值；③求出b 2－4ac 的值，当b 2－4ac ≥0时代入求根公式。

4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。

步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程乘积的形式，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。

5．一元二次方程的注意事项：⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a ≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程． ⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a ，b ，c 的值；②若b 2－4ac ＜0，则方程无解．⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2 =3（x ＋4）中，不能随便约去x ＋4。

(完整word版)九年级数学圆的知识点总结大全

第四章：《圆》一、知识回顾圆的周长：C=2πr或C=πd、圆的面积：S=πr²圆环面积计算方法：S=πR²-πr²或S=π（R²-r²）(R是大圆半径，r是小圆半径）二、知识要点一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；固定的端点O为圆心。

连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。

圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。

2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系A1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+；外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+；相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+；内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-；内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

图1图2图4图5推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

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华东师大版数学九年级上知识点小结第21章二次根式1、二次根式的意义形如)0(≥a a 的式子叫二次根式。

二次根式a 有意义，a 的取值范围是;0≥a 当a 0<时，a 在实数范围内没有意义。

2、最简二次根式满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： ①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（被开方数因数因式的次数为1）； ③分母不含根式。

3、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。

4、二次根式的主要性质（1）双重非负性：)0(0≥≥a a（2）还原性：（a 2)=a )0(≥a 。

＊（3）绝对性：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2a a a a a a a5、二次根式的运算（1）因式的外移和内移如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。

反之，也可以将根号外面的正因式，平方后移到根号里面去。

（2）有理化因式与分母有理化两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。

把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

（3）二次根式的加、减法先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。

步骤：一化二找三合并（4）二次根式的乘、除法二次根式相乘（除），就是把被开方数相乘（除），并将运算结果化为最简二次根式。

0,0).a b ⋅=≥≥=(0,0)b a ≥> （5）加法、乘法运算律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。

附：1、根式)0,0(>≥a b ab的化简方法（1）把a b 化为,a b然后分母有理化为.a ab （2）把a b 化为a a a b ⨯⨯，然后化为.aab2、分母有理化的关健是确定有理化因式，其基本方法为：(1)根据（a ）a =2)0(≥a 可知a(2)根据平方差公式，可知b ±a 的有理化因式为b a μ，y b x a ±的有理化因式是y b x a μ第22章一元二次方程：1、只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．。

2、把02=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。

3、解一元二次方程的方法：①直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，可用直接开平方的方法.②配方法：将一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠变为2()(0)+=≥x m n n 的形式。

配方法解一元二次方程的步骤：（1）移项；把常数项移到方程的右边；（2）化二次项系数为1：方程两边同除以二次项系数；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．③公式法：aac b b x 242-±-= （注意在找a 、b 、c 时须先把方程化为一般形式）④因式分解法：把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。

（主要包括“提公因式”和“十字相乘”） 4、根的判别式：24b ac ∆=- 当b 2-4ac>0时，方程有两个不等的实数根；当b 2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b 2-4ac<0时，方程无实数根。

5、根与系数的关系：如果一元二次方程02=++c bx ax （a ≠0）的两根分别为x 1、x 2，则有：ac x x ab x x =⋅-=+2121。

6、一元二次方程的根与系数的关系的作用：（1）已知方程的一根，求另一根；（2）不解方程，求二次方程的根x 1、x 2的对称式的值，特别注意以下公式：①2122122212)(x x x x x x -+=+ ②21212111x x x x x x +=+ ③212212214)()(x x x x x x -+=-④21221214)(||x x x x x x -+=- ⑤||22)(|)||(|2121221221x x x x x x x x +-+=+（3）已知方程的两根x 1、x 2，可以构造一元二次方程：0)(21221=++-x x x x x x（4）已知两数x 1、x 2的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程0)(21221=++-x x x x x x 的根7、一元二次方程实际应用问题归纳“连续变化”问题（平均增长率问题）特征:始量a 经过两次连续增加（或降低）且百分率是相同（x ）.（第一阶段）→ 开始量a（第二阶段）→ 变化第一次为：a ±a. x 或a(1±x )（第三阶段）→ 变化第二次为：a(1±x )+a(1±x ).x 或a(1±x )2. 如果告诉第三阶段的量b ,则得方程：a(1±x )2=b面积问题：在一个图形中切除另外一个图形注意平移思想的使用利润问题：每件的利润⨯数量=总利润，每件的利润=售价-进价注意：①有关涨价和降价应用问题方程一般根据变化情况设未知数；解这类方程先缩小倍数，再化一般式，用十字相乘法解方程。

②打x 折=原价10x⨯③求最大利润，用配方法，注意与用配方法解一元二次方程区别：方程两边是同除二次项系数；这里是对二次三项式把二次项系数提前。

8、一元二次方程实际应用问题解题步骤：（1）弄清哪些量是已知的、哪些量是未知的；（2）找出各量之间的等量关系，能作合理选择；（3）设好未知数，建立方程；（4）准确求解，最后合理（检验）作答。

第23章图形的相似比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dc b a =（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

若a:c =c:b ，即c 2=ab,则c 叫做a,b 的比例中项比例性质：①基本性质：a b cd ad bc =⇔= ②合比性质：±±a b c d a b b c dd =⇒=③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n ab ===+++⇒++++++=()0（K 值法）平行线分线段成比例定理定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. （简称“平行线分线段成比例”）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．相似的概念两个图形形状相同（大小可以不同）的平面图形叫做相似图形。

相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形对应边的比叫做这两个相似三角形的相似比。

相似三角形的判定方法:①平行于三角形一边的直线，和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似；（A 型和X 型）（这里相似是对应边成比例，注意与“平行线分线段成比例”对应线段成比例区别） ②两组角分别相等的两个三角形相似；（AA ） ③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；（SAS ） ④三边成比例的两个三角形相似；（SSS ）直角三角形相似判定定理:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

射影定理22290CD AD BDACB AC AD ABCD AB BC BD AB⎧=•∠=︒⎫⎪⇒=•⎬⎨⊥⎭⎪=•⎩ 一定相似的三角形（1）两个全等的三角形一定相似。

（全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1）（2）两个等腰直角三角形一定相似（3）两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。

两个等边三角形一定相似。

三角形中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

三角形的重心：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心；重心与一边中点的连线的长是对应中线长的31（如图G 是重心,则GF:GB:BF=1:2:3）. 相似三角形的性质（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例。

（2）相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线）的比等于相似比。

（3）相似三角形周长的比等于相似比。

（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

注意：不相似三角形的面积比：同高不同底，面积比等于底边的比；同底不同高，面积比等于高的比。

相似三角形基本模型：CABD CABDE E D BACA 型斜A 型有公共边的斜A 型条件： DE ∥BC∠B =∠AED∠B =∠ACDADBCDOBACO DCBAX 型母子型 K 型 (一线三等角) 条件： AC ∥BD ∠B =∠CAD 是Rt △ABC 斜边上的高 ∠B =∠EDF=∠C图形变换的性质：(1)平移：对应点移动的方向相同，距离相等； (2)轴对称：对应点的连线被对称轴垂直且平分；(3)中心对称：对应点的连线过对称中心，且被对称中心平分；(4)位似：对应点的连线过位似中心，对应点到位似中心的距离的比等于相似比。

(5)旋转：对应点到旋转中心的距离相等，每个顶点的旋转角相等。

图形变换与坐标的关系(1)左右平移，纵不变，上下平移，横不变；上加下减，右加左减。

(2)关于x 轴对称，横不变，纵相反；关于y 轴对称，纵不变，横相反。

（用翻折理解） (3)关于原点对称，横纵都相反。

(4)若以原点为位似中心，作位似变换，若位似比是k①当新图形与原图形分别在原点异侧时，新图形点的坐标等于原图形对应点坐标乘以—k; ②当新图形与原图形分别在原点同侧时，新图形点的坐标等于原图形对应点坐标乘以k ③相似比等于同名坐标绝对值之比.⑸以原点为旋转中心将图形旋转90°，横、纵坐标绝对值交换相等。

黄金分割：用一点P 将一条线段AB 分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比，则可得出这一比值等于5-=0.618…。

这种分割称为黄金分割，分割点P 叫做线段AB 的黄金分割点，较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。

位似图形概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。