第六届时代学习报数学文化节 第二轮(八年级)

主办单位：江苏教育出版社时代学习报

江苏省教育学会中学数学教学专业委员会

时代学习报第六届数学文化节

第二轮活动“能力素质挑战”书面问题(八年级)

(2010年12月l7日下午3：00～5：00)

数学之史

1．埃及乘法 古埃及入用加倍与减半的方法做乘法：两数

相乘时，把其中一数加倍而另一数减半．减半(即除以2)时如有

余数，则余数忽略不计．如计算25×37，则算式如表l ．

将表l 中第l 列中的奇数划圈，第二列中与划圈数对应的

数相加即得结果：25×37=37+296+592=925．

请按这种方法写出36 ×33的算式及结果：

(课余时间不妨想想这种算法的道理所在．)

2．父子数学家 我国南北朝数学家祖冲之计算出圆周率π的值在3．141 592 6与3．141 592 7之间．他儿子祖暅也是一位数学家，发现了著名的祖暅原理．其大意是夹在两平行平面间的几何体，被平行于这两个

面的任一平面相截，如果两个截

面面积相等，那么这两个几何体

的体积相等．在图1中根据祖暅

原理，利用圆柱、圆锥的体积公

式求出半球的体积

是 ．

数学之美

3．旋转对称 一个图形绕某点旋转180°后得到的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形。一般地，如果图形

绕某点旋转角)0(︒≠αα后得

到的图形与原图形重合，则称这

个图形为旋转对称图形。请填出

和图2中旋转对称图形相对应

α的最小值。

4．涂色对称 图3是相同的小正方形拼成的正方形已涂色，请你在图中再涂两小正方形，并满足：

（1）4个涂色的小正方形中，每个小正方形至少与其余3个小

正方形中的1个有公共点；

（2）连同空白小正方形一起构成轴对称图形，即阴影部分呈轴

对称，且共用一条对称轴。

则共有 种涂法，在下列正方形网格中画出你的涂

法．(8个图不一定全用到)

数学之思

5．等宽曲线 圆在任何方向上的宽度都相等(如图4①)．保持各个方向等宽的曲线，称为等宽曲线．等宽曲线在生活中有很多应用．英国的50便士硬币的外边缘就是等宽曲线（如图4②），它有七条“边”。

而将钻头做成三条“边”的

等宽曲线（如图4③），则可

以钻出方形的孔。你能在图

4④中利用圆规画出有五条

“边”的等宽曲线吗？（不

写作法和理由）

6．格点知多少 平面直角坐标系中，纵、横坐标均为整数的点称为格点，在函数x y 3=的图象上有 个格点。

7．周长最短 已知平面直角坐标系内有A ，B 两点，A （-2，-3），B （3，-1），x 轴上有一个动点P ，当△P AB 的周长最短时，求P 点的坐标 。

8．化零为整 如图5，等边△ABC 中，BD = BE = AF = FG = GH = HI = IC AB 5

1=．则∠1+∠2+∠3+∠4的度数是 。

9．千回百转 如图6，点D 从D 0出发沿与等边三角形ABC 一边平行的方向前进．碰“壁”(三角形的边)后则沿与另一边平行的方向反弹．D 1，D 2，D 3，D 4依次是前4次的反弹点．请在图6中标出第2010次的反弹点D 2010．

10．方方相接如图7，正方形ABCD内，有四个整数边长的正方形，它们的一条对角线都在A C上，若AB的长为2011，则这四个小正方形面积之和最小是，最大是．

11．正方形相嵌如图8，4个小正方形组成的图

形内嵌于大正方形ABCD，其中AB=9，求4个小正方形

的面积和= ．

12．全面覆盖将l，2，3，4，…按图9中的方式

排列，则每一个正整数对应一个坐标，如“1”对应的坐

标是(0,0)，“3”对应的坐标为(1，1)，则数2010对应

的坐标是．

数学之用

13．．包书纸用一张长方形的包装纸包一本长、宽、厚分别

为a，b，c的字典(单位：厘米)，如图10，若将封面、封底和书

脊每一边都包进去3厘米，则需长方形的包装纸平方

厘米．

14．最佳方案已知水厂A和工厂B，C正好构成一个等边

三角形，在A，B，C间铺设水管，由水厂A向工厂B，C供水．下列是四种设计方案(实线为水管)，其中铺设路线最短的是( )．

15．金花四溅程序员小张设计了一个小游戏：计算机屏幕上会

随机地出现一些图形，过定点P(0，3)，沿直线y =kx + 3向图形射

去，图形被击中时，就会“金花四溅”．如果某时刻屏幕上出现的图形

为长方形ABCD(如图11)，其中A(1，- l)，B(4，- l)，AD=2，那么

为了击中长方形ABCD，k的取值范围是。

16．索长有几中算史专家许莼舫有个“保留节目”，是一道歌谣体的题目．“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与入齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几?”大意是：秋千静止时，其踏板离地一尺，将秋千踏板往前推两步(一步合五尺)时，踏板与人同高，而此人身高五尺(当然此时秋千的绳索呈直线状态)，

则此绳索长 尺 ．

17．扭亏为盈 图l2是某市某公交线路的收支差额y(即票价

总收入减去运营成本)与每天乘客量x 间的函数图象．从图中可知，

目前这条线路略亏损，为了扭亏为盈，有关部门举行公交营运改

革方案的听证会．

会后，综合乘客和公交公司意见，最后决定公交公司采用适

当提高票价又减少成本的改革方案，实现扭亏为赢，请在图中画

出改革后的y 与x 大致的函数图象．

18．零件规格 图l3是某机器零件的设计图．其中，∠AOB =

90°，A0 = OB ，AC = 4，24=BC ，22=OC ．成品检验时，

∠ACB 必须与机器吻合，求∠ACB 的度数．

数学之语

19．醨、醇酒醉 我国明朝古算书《算法统宗》，列出了北宋至明初的数学书目，该书通俗、实用，对民间数学知识的普及发挥了重要的作用．该书作者程大位，根据唐代诗人杜牧的《清明》诗，创作了一首饮酒诗：

“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇．好酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人．共同饮了一十九，三十三客醉颜生．试问高明能算士，几多醨酒几多醇?”

如果设薄酒(醨酒)x 瓶，好酒(醇酒)y 瓶，根据题意可得方程 和 ，解得x= ,y= ．

20．图说勾股 勾股定理的证明方法很多，古希腊著名数学家欧几里得也给出了一个独特的证明，图l4是其证明示意图的一部分．

各图中阴影部分面积相等，这样S 正方形DEFG = S 矩形AKJD ．你能理解这个证明过程吗?

(1)写出从图14①～图l4④的道理．

Ⅰ．

Ⅱ． Ⅲ．

(2)同理，也可仿前通过图形说明“．S 正方形CHIE =S 矩形KBCJ ”，请在图14的各图中用阴影标出相应的图形．