主动声呐检测信息原理(10)

pm ≤ Pm = exp[ µ ( s ) + (1 − s ) µ ( s )]
和
*
（10.1.17）
p f ≤ PF = exp[ µ ( s ) − s µ ( s )]
*
（10.1.18）
式（10.1.17）和（10.1.18）就是切尔诺夫上限。若采用爱奇沃思（Edgeworth）级数展开法， 有上限
2
的高斯随机变量（ i =1 或者 0，分别表示有目标和无目标时的接收信号情况） ，两种假设下 的似然函数是
P(υ | H i ) =
1 1 exp[− (υ − mi ) 2 ] 2 2 σ 2πσ i i
i = 0,1
（10.1.3）
由式（10.1.1）和（10.1.3）得似然比为
Λ (υ ) =
pm = 1 − pd = ∫ P(l | H 1 )dl
0
η
（10.1.8）
和
pl = ∫ P(l | H 0 )dl
η
∞
（10.1.9）
如图 10.1.2 所示[与图 1.3.的 6 不同的是， 这里不限于高斯分布]， pn 是 pl 分别如图中的 两个影区 α 和 β 面积。式（10.1.8）中 pd 是检测概率： pd = 1 − pm 。
10.2 声呐检测的基本假设
为了便于声呐最佳波形和最佳接收机的数学分析， 有必要对有关的声呐声道做一些基本 假设， 以便进一步给出目标回波、 混响等水声信号的几种数学表达式方法和模型的物理意义。
m σ m 1 1 1 ln Λ (υ ) = ln( ) + ( − )υ + υ − σ σ 2 σ σ 2σ
1 2 1 2 2 2 0 0 1 0
2 2 1
1
（10.1.5）
式（10.1.5）右边第一项和最后一项是确定项，可作为常数处理，因此可改式（10.1.2）为
l (υ ) = (
def
1
是随机时空场。 因此从接收信号 υ (t , r ) 中检测目标回波信号 s (t , r ) 问题只能是假设检验的统 计问题：不同的判决准侧，所要求对接收信号的处理方法也可能不相同，甚至需要可能完全 不同的最佳接收机结构，而选择什么样的判决准则与信息检测本身的要求有关。再通信中， 要检测的发射信号是否存在时先验已知的， 因此， 除要求接收机能作出正确的目标有无判决 外，还要考虑由于可能判决错误产生的实际影响（造成的损失或承担的风险） ，因此，最佳 判准则是贝叶斯准侧。 但由于实际情况下很难估计这种由于判决错误所产生的损失大小， 因 而常采用在给定虚警条件下获得最大检测概率的诺依曼-皮阿松准则。 无论何种准则，在统计检测理论中都可用似然比判决准则，即
*
回波能量与输入噪声功率谱密度之比
d = λ0 = Es / N 0 Es 是回波信号能量， N 0 是噪声功率谱密度。在第三章中已经证明，匹配滤波器只是在回波
信号时确定性波形，且干扰时白色高斯噪声时才是最佳检测器。 据诺依曼-皮阿松准则，可以由 ROC 曲线获得给定虚警概率 p f 时，不同检测概率 pd 和 所要求的接收机输入信噪比 d 的关系——一般是递增关系。
d=
[ l | H 1 − l | H 0 ]2 | l |2 | H 0 − l | H 0
2
（10.1.21）
若 l / H0 = 0
| l |2 H l − | l |2 H 0 d= | l |2 H 0
（10.1.22）
以接收机输出信噪比 d 为参量，可以获得接收机的检测概率 pi 和虚警概率 p f ，相应的以 d 为参量的 pd 和 p f 关系构成了接收机的 ROC 曲线，曲线形状由接收机的充分统计量 l 的统 计特性决定。 当 h0 (τ , t ) = s (t0 − τ ) 时，接收机就是回波的匹配滤波器，其最大输出信噪比就是输入
lim ( pm n )1/ n = exp[− I ( H 0 : H 1 )] n→∞
式中
（10.1.13）
I ( H 0 | H 1 ) = − ln
def
P (l | H 1 ) P (l | H 0 )
H0
（10.1.14）
被称为库巴克-莱勃罗（Kullback Leibler）信息参数（简称 K-L 信息数） ，显然，最大检测效
第十章 主动声呐检测的最佳接收机
至此，我们讨论了主动声呐检测中的主要信息因素，详细说明了声呐波形、匹配滤波器 以及声呐信道--声传输、目标散射以及混响过程等对声呐信号信息的影响。这一章和下一章 将根据这些互相影响的信息因素在经典统计检测理论基础上进一步讨论时变空变随机干扰 信道中时变、 空变目标同波的最佳检测问题。 这一章主要讨论主动声呐检测的原理及最佳接 收机的涉及问题，有关达到最佳检测目标的所要求的最佳声呐波形以及波形-接收机联合最 佳的涉及问题将在下一章讨论。
µ ( s ) = ln(exp[l / H ])
0
def
0 ≤ s ≤1
（10.1.15）
它是随机变量 l | H 0 的矩母函数*的对数。而性能参量 s 与判决门限η 直接有关：
lnη = µ ( s ) = dµ ( s ) / ds
用 µ ( s ) 可以获得两类错误概率的上限值
*
（10.1.16）
H1 P(υ | H 1 ) > Λ (υ ) = Λ <0 0 P(υ | H 0 ) H
（10.1.1）
来表示，式中 P (υ | H 1 ) 和 P (υ | H 2 ) 分别是两类假设检验
H 1 : υ (t , r ) = s (t , r ) + r (t , r ) + n(t , r ) 目标存在 H 0 : υ (t , r ) = s (t , r ) + n(t , r ) 目标不存在
P(l | H 0 )
P(l | H 1 )
α
图 10.1.2
η
β
对于诺依曼-皮阿松准则，η 的设置是以在式（10.1.9）的虚警概率给定的条件下，使检 测概率 pd 达到最大为依据。 在声呐检测过程中，有事需要有对诺依曼-皮阿松准则下的接收机最大检测效率，即对 接收信号进行多次独立观察， 在给定虚警概率条件下， 达到漏检概率最小 （或检测概率最大） ， 面观察次数也最少的接收机检测效果，设 n 次观察的平均充分统计量是
源 号 信 d 阵 射 发
n(t , r )
u (t )
u (t , r )
目标回波 s(t , r ) 信道
H MT ( f , t , r )
υ (t , r )
阵 收 接
υ (t )
机 收 接
y (t )
信息 提取
s
U( f )
g u (t , r )
a R (t , r )
H( f )
混响散 射信道
H MR ( f , t , r )
r (t , r )
图 10.1.1 但正如前面各章所指出：时空信号 q (t , r ) 是由确定信号 u (t , r ) 触发确定性的发射基阵
au (t , r ) 形成的确定性时空源，而接收时空信号 υ (t , r ) 包括可能存在的目标回波时空信号
s (t , r ) ，介质中各种散射体散射所形成的混响 r (t , r ) 以及各种时空干扰信号 n(t , r ) ，它们都
σ
2 0
−
1
σ
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)υ 2 + 2
2m1
1
σ
2 0
υ >< η
H2
H1
（10.1.6）
的判决表达式，式中
σ m η = ln Λ − 2 ln( ) + σ σ
def 0 0 1
2 2
1
（10.1.7）
1
与所关心的信息无关， 而作为判决门限。l 是和接收信号 v 有关的随机量， 它包含了信号 υ 的 全部信息。因此，通过计算 l ，就可确定 υ (t ) 中回波 s (t ) 存在信息，其中包和一给定门限比 较。从这个意义上讲， l (υ ) 就是所要设计的接收机的检测统计量，然而，似然比 Λ 的计算 不一定要通过 l 的计算，因此， l (υ ) 只是接收机的充分统计量。正如我们在第 3.3 节所指出 的，若信号 υ ( s, t ) 用多维空间内的某一个点或矢量来表示，那么，似然比判决（10.1.2）只 是将这多维空间转换成一维空间，而检测统计量 l 只不过是这类变换的一种形式。 我们虽然是高斯统计特性的假设下导出（10.1.4）或（10.1.5） ，但似然比判决和充分统 计量的引入并不只限于或干扰是高斯特性的条件。 只是对不同特性的信号和干扰分布， 它们 的数学形式不一样。 由于接收信号 v 时随机过程，因此，充分统计量 l 是随机变量，对给定的判决门限 η ， 判决[式（10.1.6）]会产生两类错误：一是漏检——有目标判为无目标；一是虚警——无目 标判为有目标。两类错误概率与给定门限η 和两类假设条件下的变量 l 的统计分布有关，如 果记两类假设下的 l 的概率分布分别是 P (l | H 1 ) 和 P (l | H 0 ) ，则两类错误概率分别是
Ln =[∑ lk ] / n
def k =1
n
（10.1.10）
给定的 n 次观察的门限是η n ，则虚警概率是
p f n = P[ Ln ≥ η n ]
而漏检概率
（10.1.11）
pm n = P[ Ln < η n ]
可以证明， pm n 存在一个渐进表示式：对任何 p f ，有
（10.1.12）
（s 是回波，r 是混响，n 是噪声）

（10.1.2）
的似然函数（见第 1.2 节和 3.3 节） 。 Λ 0 是决定于所选用的判决准则的似然比阈值，因此所 谓最佳接收机就是一个能计算这个似然比的计算装置后接一个由判决准则决定的阈值比较 器。如果对输入信号 v(t , r ) 所计算的似然比超过这个阈值，就认为 H 1 是真的（目标存在） ， 否则， H 0 是真的（无目标） 。这种检测器称似然比检测器。 由于我们只看重概念，因此，为简单起见，假定接收信号 υ (t , r ) 是均值为 mi 方差为 σ i
1 (υ − m ) (υ − m ) σ exp{ [ ]} − σ 2 σ σ
2 2 1 0 1 2 2 2 0 1
（10.1.4）
在雷达和声呐问题中，常设 m0 = 0, m1 =< υ >=< s > ，而 σ 0 和 σ 1 是已知确定值，所要提取 的信息包含在 v 中。为此，取等式（10.1.4）的对数
10.1 有关最佳检测的基本概念
详细讨论信号检测的统计理论已经超出本书的范围， 实际上在一些专著中都有详细的介 绍， 但就主动声呐检测和最佳接受直接有关的一些统计检测概念或术语有必要在这里做一些 简单的解释或推导，以作为本章以后各节讨论的基础。 这里我们重新将图 1.3.1 图如图 10.1.1，图中 u (t , r ) 是声呐发射时空信号， υ (t , r ) 是按 收基阵空间形成的接收时空水声信号。 声呐检测的主要目的是通过声呐发射时空信号 u (t , r ) 和对于 u (t , r ) 相应的接收时空信号 υ (t , r ) 的时空处理，以获得在随机时空场中的所要检测 的时空目标回波 s (t , r ) 存在的信息。
PM ≈ exp[ µ ( s ) + (1 − s ) µ ( s )] / 2π (1 − s ) 2 µ ( s )
和
*
**
（10.1.19）
PF ≈ exp[ µ ( s ) − s µ ( s )] / 2πs 2 µ ( s )
*
**
（10.1.20）
。上述接收机 改变参量 s 可以确定 PM 和 PF 构成的接收机工作特性曲线（接收机 ROC 曲线） 的 K-L 信息数最大化就是使式（10.1.19）的 PM 固定条件下 PF （切尔诺夫限）最小化。 响应函数是 h0 (τ , t ) ]， 接收 如果将接收机看成是一个线性系统[其传递函数是 H 0 ( f , t ) 、 机的检测性能最佳化的另一种准则就是使其输出在有回波时的信号回波信号功率对无回波 时的干扰功率之比 （输出信/干） 达到最大。 如果输入时高斯过程， 似然比接收机[式 （10.1.6） ] 本身就是一个线性滤波器，输出信干比就是其检测指数
率的接收机具有最大的 K-L 信息数。可以证明，最大化接收机信息数本身也意味着对单次 检测在给定虚警概率 p f = p f 1 条件下，漏检概率 pm = pm1 最小。 和 l / H 1 的统计特性不易获得或者即使获得 由于两类假设条件下的充分统计量 （ l / H0 ） 也可能很复杂，因此，在作接收机检测性能分析时常引入接收机性能分析函数 µ ( s ) 其定义 为