数学期望与方差精品PPT课件
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引入
• 随机变量的分布函数能完整的描述随机变量的 统计规律性。
• 但在许多实际问题中，并不需要去全面考察随机 变量的变化情况。
• 如大致了解全班同学的身高情况，其实我们只要 知道全班同学的平均身高、大家身高对平均身高 的平均偏离程度就可以大致了解全班同学的身高 情况。
• 平均身高和平均偏离程度就是X的两个数字 特征，我们分别称之为数学期望、方差。
PX xk pk ,k 1,2,.
若级数 xk pk 绝对收敛, 即 xk pk , 则称
k 1
k 1
级数 xk pk 的和为随机变量 X 的数学期望,
k 1
wk.baidu.com 记为EX, 即 EX xk pk .
k 1
比如
X的分布律为
X
~
1
0 -p
1 p
E(X)= 0（1 - p) 1 p p
若设随机变量 X 为: 在 A 胜2局B 胜1局的前提 下, 继续赌下去 A 最终所得的赌金.
则X 所取可能值为: 200
0
其概率分别为:
3
1
4
4
因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值,
等于 200 3 0 1 150(元). 44
即为 X的可能值与其概率之积的累加.
引例2 加权平均成绩
第1种分法考虑到A、B两人赌技相同，就平均分配，没 有照顾到A 已经比B 多赢1局这一现实，显然对A是不公平
的。
第2种分法不但照顾到“A、B两人赌技相同”这一前
提，还尊重了已经进行的三局比赛结果，当然更公平一些 。但是，第2种分法还是没有考虑到如果继续比赛下去的 话会出现什么情形，即没有照顾到两人在现有基础上对比 赛结果的一种期待。
xf
xdx 绝对收敛
,
则
xf xdx
称为随机变量X 的数学期望, 记为EX, 即
E
X
xf
x
dx.
4. 常见连续型随机变量的数学期望
先胜三局者为胜, 取得全部 200元. 由于出现意外 情况, 在 A 胜 2 局、B 胜1局时, 不得不终止赌博, 如果要分赌金, 该如何分配才算公平?
事实上，很容易设想出以下两种分法：
(1) A得200*（1/2)元、B得200*（1/2)元; (2) A得200*（2/3)元、B得200*（1/3)元;
可能性大小之比为 3:1.
即A 应获得赌金的 3 , 而 B 只能获得赌金的 1 .
4
4
因此, A 能“期望”得到的数目应
为
200 3 0 1 150(元),
44
而B 能“期望”得到的数目, 则为 200 1 0 3 50(元). 44
这种分法自然比前两种方法都更为合理，使双方都 乐于接受。这就是“数学期望”这个名字的由来。
甲 : 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环), 乙 : 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环), 故甲射手的技术比较好.
甲乙射射手手
击击中中环环数数 88 99 1100
概概率率
00..32 00..15 00..63
例2 (泊松分布) 设随机变量 X P(), 求EX.
设某学生四年大学各门功课
成绩分别为
x1, x2 ,, xn ,
其学分分别为 ω1,ω2,,ωn , 则称
x
x1
x2
n
xn
n i1
xi
1 n
为该生各门课程的算术平均成绩.
这是 以频率为权的加权平均
而
x
x11 x2 2 xn n 1 2 n
n i 1
xi
i
n
j
n
xivi ,
0-1分布的期望为p
注1º EX是一个实数, 而非变量, 它是一种加 权平均, 它从本质上体现了随机变量 X 取可能 值的真正的平均值, 也称均值.
注2º 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随 级数各项次序的改变而改变, 之所以这样要求 是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值的 平均值, 它不因可能值的排列次序而改变.
赌徒约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若 在一赌徒胜a局 (a<c), 另一赌徒胜b局(b<c)时便 终止赌博, 问应如何分赌本” 为题求教于帕斯 卡, 帕斯卡与费马通信讨论这一问题, 于1654 年 共同建立了概率论的第一个基本概念 — 数学 期望
引例1 分赌本问题(产生背景)
A、B两人赌技相同, 各出赌金100元, 并约定
解 设X Pλ, 且其分布律为
PX k λk e-λ , k 0,1,2,, λ 0.
k!
则有
EX
k
k0
k e
k!
e-
λ
λk 1
k1k 1!
λ
λe λeλ λ .
因而泊松分布P的数学期望为 .
3. 连续型随机变量数学期望的定义
定义2 设连续型随机变量X 的概率密度为
fx,
若积分
分析 假设继续赌两局, 则结果有以下四种情况:
AA
AB
BA
BB
A胜B负 A胜B负 A胜B负 B胜A负
B胜A负 B胜A负 A胜B负 B胜A负
把已赌过的三局(A 胜2局、B 胜1局)与上述结果 相结合, 即A、B赌完五局:
前三局: A胜2局B胜1局
后二局: A A A B B A B B
A胜
B胜
故有, 在赌技相同的情况下, A、B最终获胜的
因此，在对随机变量的研究中，确定某些数 字特征是重要的 .在这些数字特征中，最常用的是
数学期望、方差、协方差和相关系数
第四章 随机变量的数字特征
第一节 随机变量的 数学期望
一、数学期望的概念
二、随机变量函数的数学期望
三、数学期望的性质 四、应用实例
回
停 下
一、数学期望的概念
1. 问题的提出 1654年, 一个名叫德.梅尔的贵族就“两个
例1 选拔运动员
设某教练员有甲、乙两名射击运动员, 现 需要选拔其中的一名参加运动会, 根据过去的 记录显示, 二人的技术水平如下:
击中环数 8 9 10
甲射手
概率
0.3 0.1 0.6
乙射手
击中环数 概率
试问哪个射手技术较好?
8 9 10 0.2 0.5 0.3
解 运动员的水平是通过其平均水平来衡量的, 因而甲、乙两射手的平均水平分别为
i 1
j 1
n
其中 vi i j , j 1
这是 以概率为权的加权平均
则称 xω为该生的加权平均成绩. 显然算术平均成绩是加权平均成绩的一种
特例,
即
vi
1 n
,
可见加权平均才充分的体现了
平均值的意义.
2. 离散型随机变量的数学期望
通过上述2个引例, 我们可以给出如下定义 定义1 设离散型随机变量 X 的分布律为
• 随机变量的分布函数能完整的描述随机变量的 统计规律性。
• 但在许多实际问题中，并不需要去全面考察随机 变量的变化情况。
• 如大致了解全班同学的身高情况，其实我们只要 知道全班同学的平均身高、大家身高对平均身高 的平均偏离程度就可以大致了解全班同学的身高 情况。
• 平均身高和平均偏离程度就是X的两个数字 特征，我们分别称之为数学期望、方差。
PX xk pk ,k 1,2,.
若级数 xk pk 绝对收敛, 即 xk pk , 则称
k 1
k 1
级数 xk pk 的和为随机变量 X 的数学期望,
k 1
wk.baidu.com 记为EX, 即 EX xk pk .
k 1
比如
X的分布律为
X
~
1
0 -p
1 p
E(X)= 0（1 - p) 1 p p
若设随机变量 X 为: 在 A 胜2局B 胜1局的前提 下, 继续赌下去 A 最终所得的赌金.
则X 所取可能值为: 200
0
其概率分别为:
3
1
4
4
因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值,
等于 200 3 0 1 150(元). 44
即为 X的可能值与其概率之积的累加.
引例2 加权平均成绩
第1种分法考虑到A、B两人赌技相同，就平均分配，没 有照顾到A 已经比B 多赢1局这一现实，显然对A是不公平
的。
第2种分法不但照顾到“A、B两人赌技相同”这一前
提，还尊重了已经进行的三局比赛结果，当然更公平一些 。但是，第2种分法还是没有考虑到如果继续比赛下去的 话会出现什么情形，即没有照顾到两人在现有基础上对比 赛结果的一种期待。
xf
xdx 绝对收敛
,
则
xf xdx
称为随机变量X 的数学期望, 记为EX, 即
E
X
xf
x
dx.
4. 常见连续型随机变量的数学期望
先胜三局者为胜, 取得全部 200元. 由于出现意外 情况, 在 A 胜 2 局、B 胜1局时, 不得不终止赌博, 如果要分赌金, 该如何分配才算公平?
事实上，很容易设想出以下两种分法：
(1) A得200*（1/2)元、B得200*（1/2)元; (2) A得200*（2/3)元、B得200*（1/3)元;
可能性大小之比为 3:1.
即A 应获得赌金的 3 , 而 B 只能获得赌金的 1 .
4
4
因此, A 能“期望”得到的数目应
为
200 3 0 1 150(元),
44
而B 能“期望”得到的数目, 则为 200 1 0 3 50(元). 44
这种分法自然比前两种方法都更为合理，使双方都 乐于接受。这就是“数学期望”这个名字的由来。
甲 : 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环), 乙 : 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环), 故甲射手的技术比较好.
甲乙射射手手
击击中中环环数数 88 99 1100
概概率率
00..32 00..15 00..63
例2 (泊松分布) 设随机变量 X P(), 求EX.
设某学生四年大学各门功课
成绩分别为
x1, x2 ,, xn ,
其学分分别为 ω1,ω2,,ωn , 则称
x
x1
x2
n
xn
n i1
xi
1 n
为该生各门课程的算术平均成绩.
这是 以频率为权的加权平均
而
x
x11 x2 2 xn n 1 2 n
n i 1
xi
i
n
j
n
xivi ,
0-1分布的期望为p
注1º EX是一个实数, 而非变量, 它是一种加 权平均, 它从本质上体现了随机变量 X 取可能 值的真正的平均值, 也称均值.
注2º 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随 级数各项次序的改变而改变, 之所以这样要求 是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值的 平均值, 它不因可能值的排列次序而改变.
赌徒约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若 在一赌徒胜a局 (a<c), 另一赌徒胜b局(b<c)时便 终止赌博, 问应如何分赌本” 为题求教于帕斯 卡, 帕斯卡与费马通信讨论这一问题, 于1654 年 共同建立了概率论的第一个基本概念 — 数学 期望
引例1 分赌本问题(产生背景)
A、B两人赌技相同, 各出赌金100元, 并约定
解 设X Pλ, 且其分布律为
PX k λk e-λ , k 0,1,2,, λ 0.
k!
则有
EX
k
k0
k e
k!
e-
λ
λk 1
k1k 1!
λ
λe λeλ λ .
因而泊松分布P的数学期望为 .
3. 连续型随机变量数学期望的定义
定义2 设连续型随机变量X 的概率密度为
fx,
若积分
分析 假设继续赌两局, 则结果有以下四种情况:
AA
AB
BA
BB
A胜B负 A胜B负 A胜B负 B胜A负
B胜A负 B胜A负 A胜B负 B胜A负
把已赌过的三局(A 胜2局、B 胜1局)与上述结果 相结合, 即A、B赌完五局:
前三局: A胜2局B胜1局
后二局: A A A B B A B B
A胜
B胜
故有, 在赌技相同的情况下, A、B最终获胜的
因此，在对随机变量的研究中，确定某些数 字特征是重要的 .在这些数字特征中，最常用的是
数学期望、方差、协方差和相关系数
第四章 随机变量的数字特征
第一节 随机变量的 数学期望
一、数学期望的概念
二、随机变量函数的数学期望
三、数学期望的性质 四、应用实例
回
停 下
一、数学期望的概念
1. 问题的提出 1654年, 一个名叫德.梅尔的贵族就“两个
例1 选拔运动员
设某教练员有甲、乙两名射击运动员, 现 需要选拔其中的一名参加运动会, 根据过去的 记录显示, 二人的技术水平如下:
击中环数 8 9 10
甲射手
概率
0.3 0.1 0.6
乙射手
击中环数 概率
试问哪个射手技术较好?
8 9 10 0.2 0.5 0.3
解 运动员的水平是通过其平均水平来衡量的, 因而甲、乙两射手的平均水平分别为
i 1
j 1
n
其中 vi i j , j 1
这是 以概率为权的加权平均
则称 xω为该生的加权平均成绩. 显然算术平均成绩是加权平均成绩的一种
特例,
即
vi
1 n
,
可见加权平均才充分的体现了
平均值的意义.
2. 离散型随机变量的数学期望
通过上述2个引例, 我们可以给出如下定义 定义1 设离散型随机变量 X 的分布律为