数学期望与方差精品PPT课件
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《数学期望与方差》课件
相关系数的计算公式
相关系数在统计学、金融等领域有广泛应用，如股票价格与市场指数的相关性分析、回归分析等。
相关系数的应用
数学期望的性质
数学期望具有线性性质、可加性质、可乘性质等，这些性质在概率论和统计学中有重要应用。
05
数学期望与方差的实例分析
总结词
数学期望和方差在投资组合的风险与回报分析中具有重要应用。
总结词
利用数学期望和方差可以对赌博游戏的概率进行分析。
详细描述
在赌博游戏中，玩家需要根据游戏规则和概率计算每种可能结果的数学期望和方差，以评估游戏的风险和潜在收益。通过比较不同赌博游戏的数学期望和方差，玩家可以做出更明智的决策。
数学期望
对于赌博游戏而言，数学期望计算的是长期玩家的平均收益。如果数学期望为正数，则表示长期玩家将获得正收益；如果数学期望为负数，则表示长期玩家将面临亏损。
方差
在赌博游戏中，方差反映了玩家实际收益与预期收益之间的波动范围。较小的方差表示实际收益相对稳定，而较大的方差则表示实际收益可能存在较大的波动。
01
02
03
04
总结词：数学期望和方差可用于预测市场的表现。
THANK YOU
数学期望和方差在某些情况下可以相互转化，如当随机变量服从正态分布时。
变量同时变动的情况，即一个变量增加或减少时，另一个变量也相应地增加或减少的概率。
协方差的概念
协方差 = E[(X-E[X])(Y-E[Y])]，其中E[X]和E[Y]分别是X和Y的数学期望，X和Y是随机变量。
协方差的计算公式
协方差可以用于分析投资组合的风险，如果两个资产的收益率呈正相关，则它们的协方差为正；如果呈负相关，则协方差为负。
协方差的应用
1
相关系数在统计学、金融等领域有广泛应用，如股票价格与市场指数的相关性分析、回归分析等。
相关系数的应用
数学期望的性质
数学期望具有线性性质、可加性质、可乘性质等，这些性质在概率论和统计学中有重要应用。
05
数学期望与方差的实例分析
总结词
数学期望和方差在投资组合的风险与回报分析中具有重要应用。
总结词
利用数学期望和方差可以对赌博游戏的概率进行分析。
详细描述
在赌博游戏中，玩家需要根据游戏规则和概率计算每种可能结果的数学期望和方差，以评估游戏的风险和潜在收益。通过比较不同赌博游戏的数学期望和方差，玩家可以做出更明智的决策。
数学期望
对于赌博游戏而言，数学期望计算的是长期玩家的平均收益。如果数学期望为正数，则表示长期玩家将获得正收益；如果数学期望为负数，则表示长期玩家将面临亏损。
方差
在赌博游戏中，方差反映了玩家实际收益与预期收益之间的波动范围。较小的方差表示实际收益相对稳定，而较大的方差则表示实际收益可能存在较大的波动。
01
02
03
04
总结词：数学期望和方差可用于预测市场的表现。
THANK YOU
数学期望和方差在某些情况下可以相互转化，如当随机变量服从正态分布时。
变量同时变动的情况，即一个变量增加或减少时，另一个变量也相应地增加或减少的概率。
协方差的概念
协方差 = E[(X-E[X])(Y-E[Y])]，其中E[X]和E[Y]分别是X和Y的数学期望，X和Y是随机变量。
协方差的计算公式
协方差可以用于分析投资组合的风险，如果两个资产的收益率呈正相关，则它们的协方差为正；如果呈负相关，则协方差为负。
协方差的应用
1
第一讲 期望方差的定义精品PPT课件
从偏差平方的平均值看：甲优于乙
二 离散型随机变量的数学期望和方差定义 P89 P98 设随机变量X概率分布表为
X
x1
x2
...
xk
...
P
p1
p2
...
pk
...
X数学期望(或均值)定义为:
EX= x1 p1 x2 p2 +... xk pk +...
X方差定义为:
DX= E(x EX )2 (x1 EX )2 p1 (x2 EX )2 p2 +... (xk EX )2 pk+...
0.05
0.05
0
偏差平方的平均值为:
DX= (10 8.85)2 0.5 (9 8.85)2 0.2 (8 8.85)2 0.1
(7 8.85)2 0.1 (6 8.85)2 0.05 (5 8.85)2 0.05 (5 8.85)2 0
=2.23 同理 DY=10.24
旅客8:20到站,求他候车时间的数学期望 解 X-候车时间 X 10 30 50 70 90
3 P6
2 6
11 13 12 66 6666
EX 10 3 30 2 50 1 70 3 90 2 27.22
6
6
36
36
36
例4 设有10个同种电子元件，其中2个废品。装配仪 器时，从这10个中任取1个，若是废品，扔掉后重取
谢谢你的到来
学习并没有结束，希望大家继续努力
X的方差定义为:
DX (x-EX)2 (x) dx
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
二 离散型随机变量的数学期望和方差定义 P89 P98 设随机变量X概率分布表为
X
x1
x2
...
xk
...
P
p1
p2
...
pk
...
X数学期望(或均值)定义为:
EX= x1 p1 x2 p2 +... xk pk +...
X方差定义为:
DX= E(x EX )2 (x1 EX )2 p1 (x2 EX )2 p2 +... (xk EX )2 pk+...
0.05
0.05
0
偏差平方的平均值为:
DX= (10 8.85)2 0.5 (9 8.85)2 0.2 (8 8.85)2 0.1
(7 8.85)2 0.1 (6 8.85)2 0.05 (5 8.85)2 0.05 (5 8.85)2 0
=2.23 同理 DY=10.24
旅客8:20到站,求他候车时间的数学期望 解 X-候车时间 X 10 30 50 70 90
3 P6
2 6
11 13 12 66 6666
EX 10 3 30 2 50 1 70 3 90 2 27.22
6
6
36
36
36
例4 设有10个同种电子元件，其中2个废品。装配仪 器时，从这10个中任取1个，若是废品，扔掉后重取
谢谢你的到来
学习并没有结束，希望大家继续努力
X的方差定义为:
DX (x-EX)2 (x) dx
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
10-9 期望与方差(共60张PPT)
2个 白 球 和
4个 黑 球 ， 每 次
1 ( ) 采取有放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜 色 不 同 的 概 率 ； 2 ( ) 采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的 个 数 的 均 值 和 方 差 ．
课前自助餐
授人以渔
自助餐
课时作业
高考调研
新课标版 · 高三数学（理）
【解析】 1 ( ) “有放回摸取”可看作独立重复试验，每次 摸 出 一 球 是 白 球 的 概 率 为 记“有 放 回 摸 两 次 ， 颜 色 不 同 4 ＝ . 9 2 ( ) 设 摸 得 白 球 的 个 数 为 X， 则 X的 取 值 为 4 3 2 P(X＝0)＝ × ＝ ， 6 5 5 4 2 2 4 8 P(X＝1)＝ × ＋ × ＝ ， 6 5 6 5 15 2 1 1 P(X＝2)＝ × ＝ . 6 5 15
2
1 1 －3) × ＝ (4＋1＋0＋1＋4)＝2. 5 5
2
∴D(2ξ－1)＝4D(ξ)＝8， σ(ξ－1)＝ Dξ－1＝ Dξ＝ 2.
【答案】 11 8 2
课前自助餐
授人以渔
自助餐
课时作业
高考调研
新课标版 · 高三数学（理）
探究 1 若 ξ 是 随 机 变 量 ， 则
η＝f(ξ)一 般 仍 是 随 机 变 量 ， 在
课前自助餐
授人以渔
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课时作业
高考调研
新课标版 · 高三数学（理）
3．常 见 离 散 型 随 机 变 量 1 ( ) 两 点 分 布 ： 若 随 机 变 量
ξ的 期 望 与 方 差 ξ 满足 P(ξ＝1)＝p，P(ξ＝0)＝1－
p，则 E(ξ)＝p，D(ξ)＝ p(1－p) ． 2 ( ) 二 项 分 布 ： 若 随 机 变 量 ＝np(1－p) ． 3 ( ) 几 何 分 布 ： 若 随 机 变 量
数学期望和方差共95页PPT
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
EN。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
EN。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
数学期望与方差ppt课件
频率 nk n
2 13 15 10 20 30 90 90 90 90 90 90
试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?
2
解
平均射中环数
射中靶的总环数 射击次数
0 2 113 2 15 3 10 4 20 5 30 90
0 2 1 13 2 15 3 10 4 20 90 90 90 90 90
P{ X xk } pk , k 1,2, .
若级数 xk pk 绝对收敛, 则称级数 xk pk
k 1
k 1
为随机变量 X 的数学期望, 记为 E( X ). 即
E( X ) xk pk .
k 1
5
2.连续型随机变量数学期望的定义
设连续型随机变量 X 的概率密度为 f ( x),
若积分
第一节 数学期望
一、数学期望的概念 二、数学期望的性质 三、随机变量函数的数学期望 四、小结
1
一、数学期望的概念
ห้องสมุดไป่ตู้
引例 射击问题
设某射击手在同样的条
件下,瞄准靶子相继射击90次, (命中的环数是一个随机变量). 射中次数记录如下
命中环数 k 0 1 2 3 4 5
命中次数 nk 2 13 15 10 20 30
k
k
4. 设 X, Y 是相互独立的随机变量, 则有
E( XY ) E( X )E(Y ).
说明 连续型随机变量 X 的数学期望与离散型随 机变量数学期望的性质类似.
14
数学期望在医学上的一个应用
An application of Expected Value in Medicine 考虑用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每 10个人一组，把这10个人的血液样本混合起来进行化验。如果 结果为阴性，则10个人只需化验1次；若结果为阳性，则需对 10个人在逐个化验，总计化验11次。假定人群中这种病的患病 率是10%，且每人患病与否是相互独立的。试问：这种分组化 验的方法与通常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数？
概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差
回归分析
在回归分析中，数学期望和方差 等统计指标用于描述因变量和自 变量之间的关系，以及预测未来
的趋势。
假设检验
在假设检验中，数学期望和方差等 统计指标用于比较两组数据或样本 的差异，判断是否具有显著性。
方差分析
方差分析利用数学期望和方差等统 计指标，分析不同组别或处理之间 的差异，确定哪些因素对数据变化 有显著影响。
质量控制
统计分析
在统计分析中，方差分析是一种常用 的统计方法，通过比较不同组数据的 方差，可以判断它们是否存在显著差 异。
在生产过程中，方差用于度量产品质 量波动的程度，通过控制产品质量指 标的方差，可以提高产品质量稳定性。
03
期望与方差的关系
期望与方差的关系式
期望值是随机变量取值的平均数 ，表示随机变量的“中心趋势”
方差的性质
方差具有可加性
当两个随机变量相互独立时，它们组 合而成的随机变量的方差等于它们各 自方差的线性组合。
方差与期望值的关系
方差与期望值之间存在一定的关系， 如方差等于期望值减去偏差的平方和 再求平均值。
方差的应用
风险评估
在金融和经济学中，方差被用来度量 投资组合的风险，通过计算投资组合 中各个资产的方差和相关系数，可以 评估投资组合的整体风险。
期望与方差的拓展
期望与方差在金融中的应用
金融风险评估
利用数学期望和方差计算 金融资产的风险，评估投 资组合的风险和回报。
资产定价
利用数学期望和方差等统 计指标，对金融资产进行 定价，确定其内在价值。
保险精算
通过数学期望和方差等统 计方法，评估保险产品的 风险和回报，制定合理的 保费和赔付方案。
期望与方差在统计学中
期望与方差在其他领域的应用
在回归分析中，数学期望和方差 等统计指标用于描述因变量和自 变量之间的关系，以及预测未来
的趋势。
假设检验
在假设检验中，数学期望和方差等 统计指标用于比较两组数据或样本 的差异，判断是否具有显著性。
方差分析
方差分析利用数学期望和方差等统 计指标，分析不同组别或处理之间 的差异，确定哪些因素对数据变化 有显著影响。
质量控制
统计分析
在统计分析中，方差分析是一种常用 的统计方法，通过比较不同组数据的 方差，可以判断它们是否存在显著差 异。
在生产过程中，方差用于度量产品质 量波动的程度，通过控制产品质量指 标的方差，可以提高产品质量稳定性。
03
期望与方差的关系
期望与方差的关系式
期望值是随机变量取值的平均数 ，表示随机变量的“中心趋势”
方差的性质
方差具有可加性
当两个随机变量相互独立时，它们组 合而成的随机变量的方差等于它们各 自方差的线性组合。
方差与期望值的关系
方差与期望值之间存在一定的关系， 如方差等于期望值减去偏差的平方和 再求平均值。
方差的应用
风险评估
在金融和经济学中，方差被用来度量 投资组合的风险，通过计算投资组合 中各个资产的方差和相关系数，可以 评估投资组合的整体风险。
期望与方差的拓展
期望与方差在金融中的应用
金融风险评估
利用数学期望和方差计算 金融资产的风险，评估投 资组合的风险和回报。
资产定价
利用数学期望和方差等统 计指标，对金融资产进行 定价，确定其内在价值。
保险精算
通过数学期望和方差等统 计方法，评估保险产品的 风险和回报，制定合理的 保费和赔付方案。
期望与方差在统计学中
期望与方差在其他领域的应用
数学期望与方差47页PPT
足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
高三数学总体期望与方差PPT优秀课件
2 关于“总体期望值的估计”
总体期望值的计算，在其个体较少时，易 算；但在其个体较多或无限时，难以计算. 这时常通过抽取样本，用样本的算术平均数 来推断总体期望值(总体的算术平均数)，这 种方法称为对“总体期望值的估计”.
3 平均数公式 (1)x=(x1+x2+…+xn) ／n
(2)x=(x1f1+x2f2+…+xkfk) ／n (f1+f2+…+fk=n)
二 基础探究：
1 总体期望值
总体中所有观察值的总和除以个体总数 所得的商称为总体期望值. 即“总体期望值”为“总体的算术平均值”
总体期望值能反映总体分布中大量数 据向某一方向集中的情况，利用总体期望值 可以对两个总体的差异进行比较.
如：平行班级某一学科的测试分数的 总体期望值的比较，能较好地反映平行 班级这一学科之间的差异.
一 复习回顾
1 统计的基本思想方法是什么？ 用样本去估计总体
2 如何对样本进行分析？ 用样本估计总体大体分为两类：
一类是用样本的平均数、方差等数字特征去估计总体 的相应数字特征； 一类是用样本的频率分布去估计总体分布
3 总体分布的估计的解题步题 (1).计算最大值与最小值的差(极差) (2).决定组距与组数 （组距=极差/组数） (3).决定分点 (4).列出频率分布表 (5).画频率分布直方图
4 平均数： 总体平均数：总体中所有个体的平均数. 它表示总体取值的平均水平 样本平均数：样本中所有个体的平均数 加权平均数：
公式： x=(x1+x2+…+xn) ／n x=(x1f1+x2f2+…+xkfk) ／n (f1+f2+…+fk=n)
数学期望和方差.ppt
第四章 数学期望和方差
(2) 二项分布
X的取值为0,1,…,n. 且
P(X=k)=
n
Cnk
pk
(1-p)n-k,
k= 0, 1, …, n.
E(X) kC n kpk(1p)nk
k0
n
k
n!
pk(1p)nk
k1 k!(nk)!
nn p(n 1 )!p k 1 (1 p )(n 1 ) (k 1 )
k 1 e
k 1 ( k 1)!
k e k0 k!
(4)几何分布
第四章 数学期望和方差
X的可能取值为1,2,…, 且 P(X=k)= qk-1 p, k= 1,2,…. p+q=1.
第四章 数学期望和方差
E (X ) kkp kpk q 1p kq k 1
第四章 数学期望和方差
解：设X为停止检查时，抽样的件数，则X 的可能取值为1,2,…,n，且
P{Xk} q qn k 1 1,p,
k1,2,,n1; kn.
其中 q1p，于是
n1
E(X) kqk1pnqn1
k1
第四章 数学期望和方差
n1
E(X) kqk1(1q)nqn1
k 1 (k 1 )(n ! k )!
n1
npCn k1pk(1p)(n1)k np
k0
第四章 数学期望和方差
(3)泊松分布
X的可能取值为0,1,2,…，且
P(Xk)ke,k0,1,2,,
k!
k
E(X) kk p k
k0
《数学期望与方差》课件
二项分布期望
对于二项分布，可以直接使用公式计算期望 值。
方差的计算技巧
定义法
根据方差的定义，利用概率和数学公 式进行计算。
性质法
利用方差的非负性、方差的加法性质 和方差的常数性质简化计算。
随机变量函数的方差
通过随机变量函数的概率分布计算方 差。
二项分布方差
对于二项分布，可以直接使用公式计 算方差值。
Excel计算
在Excel中，可以使用"DEVSQ"函数来计算方差，该函数会自动处理数据点的数 量和每个数据点与均值之差的平方。
方差的应用
数据分析
方差可以用来分析数据的分散程度，从而了解数据的稳定 性、可靠性等方面的情况。
质量控制
在生产过程中，方差可以用来衡量产品质量的一致性和稳 定性，通过控制生产过程中各种因素的影响，降低产品质 量的波动。
风险评估
在金融和投资领域，方差被用来评估投资组合的风险，通 过计算投资组合收益率的方差和标准差等指标，投资者可 以了解投资组合的风险情况。
社会科学研究
在社会学、心理学、经济学等社会科学研究中，方差可以 用来分析调查数据的分散程度，从而了解群体内部的差异 和分布情况。
数学期望与方差的
03
关系
数学期望与方差的联系
方差的期望值性质
Var(E(X|Y))=E(Var(X|Y))。
方差的非负性质
Var(X)≥0，当且仅当X是常数 时等号成立。
期望与方差的性质和定理在实际问题中的应用
在金融领域，期望和方差用于评估投资 组合的风险和预期收益。通过计算期望 收益和方差，投资者可以了解投资组合
的预期表现和风险水平。
在统计学中，期望和方差用于描述数据 的集中趋势和离散程度。例如，在计算 平均数和标准差时，期望和方差是重要
对于二项分布，可以直接使用公式计算期望 值。
方差的计算技巧
定义法
根据方差的定义，利用概率和数学公 式进行计算。
性质法
利用方差的非负性、方差的加法性质 和方差的常数性质简化计算。
随机变量函数的方差
通过随机变量函数的概率分布计算方 差。
二项分布方差
对于二项分布，可以直接使用公式计 算方差值。
Excel计算
在Excel中，可以使用"DEVSQ"函数来计算方差，该函数会自动处理数据点的数 量和每个数据点与均值之差的平方。
方差的应用
数据分析
方差可以用来分析数据的分散程度，从而了解数据的稳定 性、可靠性等方面的情况。
质量控制
在生产过程中，方差可以用来衡量产品质量的一致性和稳 定性，通过控制生产过程中各种因素的影响，降低产品质 量的波动。
风险评估
在金融和投资领域，方差被用来评估投资组合的风险，通 过计算投资组合收益率的方差和标准差等指标，投资者可 以了解投资组合的风险情况。
社会科学研究
在社会学、心理学、经济学等社会科学研究中，方差可以 用来分析调查数据的分散程度，从而了解群体内部的差异 和分布情况。
数学期望与方差的
03
关系
数学期望与方差的联系
方差的期望值性质
Var(E(X|Y))=E(Var(X|Y))。
方差的非负性质
Var(X)≥0，当且仅当X是常数 时等号成立。
期望与方差的性质和定理在实际问题中的应用
在金融领域，期望和方差用于评估投资 组合的风险和预期收益。通过计算期望 收益和方差，投资者可以了解投资组合
的预期表现和风险水平。
在统计学中，期望和方差用于描述数据 的集中趋势和离散程度。例如，在计算 平均数和标准差时，期望和方差是重要
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可能性大小之比为 3:1.
即A 应获得赌金的 3 , 而 B 只能获得赌金的 1 .
4
4
因此, A 能“期望”得到的数目应
为
200 3 0 1 150(元),
44
而B 能“期望”得到的数目, 则为 200 1 0 3 50(元). 44
这种分法自然比前两种方法都更为合理，使双方都 乐于接受。这就是“数学期望”这个名字的由来。
先胜三局者为胜, 取得全部 200元. 由于出现意外 情况, 在 A 胜 2 局、B 胜1局时, 不得不终止赌博, 如果要分赌金, 该如何分配才算公平?
事实上，很容易设想出以下两种分法：
(1) A得200*（1/2)元、B得200*（1/2)元; (2) A得200*（2/3)元、B得200*（1/3)元;
设某学生四年大学各门功课
成绩分别为
x1, x2 ,, xn ,
其学分分别为 ω1,ω2,,ωn , 则称
x
x1
x2
n
xn
n i1
xi
1 n
为该生各门课程的算术平均成绩.
这是 以频率为权的加权平均
而
x
x11 x2 2 xn n 1 2 n
n i 1
xi
i
n
j
n
xivi ,
例1 选拔运动员
设某教练员有甲、乙两名射击运动员, 现 需要选拔其中的一名参加运动会, 根据过去的 记录显示, 二人的技术水平如下:
击中环数 8 9 10
甲射手
概率
0.3 0.1 0.6
乙射手
击中环数 概率
试问哪个射手技术较好?
8 9 10 0.2 0.5 0.3
解 运动员的水平是通过其平均水平来衡量的, 因而甲、乙两射手的平均水平分别为
甲 : 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环), 乙 : 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环), 故甲射手的技术比较好.
甲乙射射手手
击击中中环环数数 88 99 1100
概概率率
00..32 00..15 00..63
例2 (泊松分布) 设随机变量 X P(), 求EX.
PX xk pk ,k 1,2,.
若级数 xk pk 绝对收敛, 即 xk pk , 则称
k 1Βιβλιοθήκη k 1级数 xk pk 的和为随机变量 X 的数学期望,
k 1
记为EX, 即 EX xk pk .
k 1
比如
X的分布律为
X
~
1
0 -p
1 p
E(X)= 0（1 - p) 1 p p
第1种分法考虑到A、B两人赌技相同，就平均分配，没 有照顾到A 已经比B 多赢1局这一现实，显然对A是不公平
的。
第2种分法不但照顾到“A、B两人赌技相同”这一前
提，还尊重了已经进行的三局比赛结果，当然更公平一些 。但是，第2种分法还是没有考虑到如果继续比赛下去的 话会出现什么情形，即没有照顾到两人在现有基础上对比 赛结果的一种期待。
i 1
j 1
n
其中 vi i j , j 1
这是 以概率为权的加权平均
则称 xω为该生的加权平均成绩. 显然算术平均成绩是加权平均成绩的一种
特例,
即
vi
1 n
,
可见加权平均才充分的体现了
平均值的意义.
2. 离散型随机变量的数学期望
通过上述2个引例, 我们可以给出如下定义 定义1 设离散型随机变量 X 的分布律为
因此，在对随机变量的研究中，确定某些数 字特征是重要的 .在这些数字特征中，最常用的是
数学期望、方差、协方差和相关系数
第四章 随机变量的数字特征
第一节 随机变量的 数学期望
一、数学期望的概念
二、随机变量函数的数学期望
三、数学期望的性质 四、应用实例
回
停 下
一、数学期望的概念
1. 问题的提出 1654年, 一个名叫德.梅尔的贵族就“两个
引入
• 随机变量的分布函数能完整的描述随机变量的 统计规律性。
• 但在许多实际问题中，并不需要去全面考察随机 变量的变化情况。
• 如大致了解全班同学的身高情况，其实我们只要 知道全班同学的平均身高、大家身高对平均身高 的平均偏离程度就可以大致了解全班同学的身高 情况。
• 平均身高和平均偏离程度就是X的两个数字 特征，我们分别称之为数学期望、方差。
若设随机变量 X 为: 在 A 胜2局B 胜1局的前提 下, 继续赌下去 A 最终所得的赌金.
则X 所取可能值为: 200
0
其概率分别为:
3
1
4
4
因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值,
等于 200 3 0 1 150(元). 44
即为 X的可能值与其概率之积的累加.
引例2 加权平均成绩
xf
xdx 绝对收敛
,
则
xf xdx
称为随机变量X 的数学期望, 记为EX, 即
E
X
xf
x
dx.
4. 常见连续型随机变量的数学期望
解 设X Pλ, 且其分布律为
PX k λk e-λ , k 0,1,2,, λ 0.
k!
则有
EX
k
k0
k e
k!
e-
λ
λk 1
k1k 1!
λ
λe λeλ λ .
因而泊松分布P的数学期望为 .
3. 连续型随机变量数学期望的定义
定义2 设连续型随机变量X 的概率密度为
fx,
若积分
赌徒约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若 在一赌徒胜a局 (a<c), 另一赌徒胜b局(b<c)时便 终止赌博, 问应如何分赌本” 为题求教于帕斯 卡, 帕斯卡与费马通信讨论这一问题, 于1654 年 共同建立了概率论的第一个基本概念 — 数学 期望
引例1 分赌本问题(产生背景)
A、B两人赌技相同, 各出赌金100元, 并约定
分析 假设继续赌两局, 则结果有以下四种情况:
AA
AB
BA
BB
A胜B负 A胜B负 A胜B负 B胜A负
B胜A负 B胜A负 A胜B负 B胜A负
把已赌过的三局(A 胜2局、B 胜1局)与上述结果 相结合, 即A、B赌完五局:
前三局: A胜2局B胜1局
后二局: A A A B B A B B
A胜
B胜
故有, 在赌技相同的情况下, A、B最终获胜的
0-1分布的期望为p
注1º EX是一个实数, 而非变量, 它是一种加 权平均, 它从本质上体现了随机变量 X 取可能 值的真正的平均值, 也称均值.
注2º 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随 级数各项次序的改变而改变, 之所以这样要求 是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值的 平均值, 它不因可能值的排列次序而改变.