量子力学中的维里定理
5维里定理
φn )
=
En (φn ,
∂ ∂λ
φn )
再按假设 (φn ,φn ) = 1，所以有
(φn
,
( ∂H
∂λ
)φn
)
=
∂En
∂λ
定理得证。
（二）维里定理：
当体系在定态时，粒子处于势场V (r) 中。
设哈密顿算符为
H
=
1 2µ
P2
+V (r) ，
设φn 未归一化的束缚态波函数，则有：
< φn
|
1
2µ
P2
2m
∂p 2m
⒁
H 和 H0 的区别，除常数项外，无非是 p 换成 P
点对能级没有影响。由此可知
，后面这一
En
=
E(0) n
−
λ2
2m
⒂
例题 5:粒子在对数函数势场中运动，
V (r) = C ln( r ), r0
C， r0 >0
r C， 0 为与质量无关之常数，试证明：（a）各束缚态动能平
均值相等。（b）能量间距与粒子质量无关。
>
上述是维里定理得两种不同的证明方法，现在我们来讨论一下
维里定理的一种特例
当V (r) 是 x,y,z 的 n 次齐次函数 （即V (cx, cy, cz) = cnV (x, y, z) ，c 是常数）时，求势能与动
能平均值的关系。
有已知条件，我们知道
r.∇V (r) = nV (r)
由维里定理得
维里定理
一：定理证明
（一）Hellman—Feynman 定理：
设体系的哈密顿量 H 中含有某参量 λ ， En 为 H 的本征值。相
原子核外电子排布的几个问题
原子核外电子排布的几个问题一、核外电子排布所遵守的规则多电子原子的核外电子排布是有规律的，首先是电子按层排布，而且每层最多容纳的电子数为2n2个;其次，最外层电子数不得超过8个，而次外层的电子数则不能超过18个。
这些规律是从实验和周期律总结出来的，核外电子的排布服从如下的三个规则:1,能量最低原理:核外电子的排布将尽可能使体系的能量最低。
因此，电子首先排布在能量最低的轨道上，最低轨道排满后，电子再进入能量较高的轨道。
2、保里原理:在同一个原子中，最多只能有两个电子处在同一状态(这里指的是由三个量子数n,1,n规定的状态或称为轨道)，但这两个电子的自旋方句必须相反。
这就是说，在同一原子中不可能有二个戈更多个电子有完全相同的四个量子数。
这个原理是呆里根据实验总结出来的，保里原理是自旋量子数为'K}整数的一类粒子(如电子、质子和中子等)所遵从钩统计规律的反映。
从几率的观点来看，两个电子在某一瞬间同时在空间某点出现的几率等于零，这说明电子有相互回避的特性，这种特性就反映在保里原理3、洪特规则:在不违背能量最低原理和保里原理的前提下，在由相同的主量子数n和角量子数1规定的等价轨道上排布电子时，电子总是先单独而且自旋平行地占据尽量多的轨道，当各等价轨道上都占有一个电子后，电子继续填充时才逐一填充在已有一个电子的轨道上。
这一规则是洪特根据光谱实验总结出来的，又称为尽量不成对原理。
作为洪特规则的特例，全充满、半充满和全空的状态较为稳定。
这里我们对洪特规则作些说明。
二、屏蔽效应和钻穿效应在确定原子轨道能级高低时，徐光宪教授曾从光谱实验总结出一个规则，即对原子而言，外层轨道能级大小由n十0,71决定，对离子而言，外层轨道能级大小由，十。
.^1决定，对原子和离子的内层执道，墓洪特规则的实质还是能量最低原理。
电子在等价轨道上分占不同轨道并且自旋平行的排布，比其他的排布方式具有较低的能量，特别是在全充满、半充满及全空的情况下，原子体系的总能量是各种可能排布y能星最低的h1s种排布方式。
费曼-海尔曼定理
,
T n lT ˆmnld m rE n
论文的结构和主要内容
上面的具体计算十分复杂，但是如
果用维里定理，问题就十分容易了。根
据题意我们可以知道势能是的 n 1齐次
函数，所以
2T U
,
又因为总能量 EnTUT,
因此
U2T2En .
即平均势能为负值，并且为总能量
的两倍，由于平均动能一定是负值，这
论文的结构和主要内容
3.1.2示例对比分析
在求解一维谐振子问题中的 x 2 、p 2 ，
n
n
以及 xp 时，如果利用量子力学中求期
望值的方法，那么，我们就要将已知的
哈密顿量带入到线性谐振子的本征函数，
即
1
nx1 22nn!2e1 22x2Hnx,
m
令 ，Hˆ mx2 ，此处利用费曼海尔曼定
理，就可以得到
E nn1 2mx2 n
对上式化简得
x2 n n12m
论文的结构和主要内容
3.2费曼-海尔曼定理解氢原子中一些问 题 3.2.1典型示例的选取
在量子力学中，由于氢原子问题有 解析解，更简单、更实用，因此它的应 用十分广泛、重要。所以，在此选择它 作为示例。
费曼-海尔曼定理和维里定理 的应用
提纲
一 选题的目的、意义和要完成的任务 二 论文的基本框架和主要内容 三 完成论文写作存在的问题及收获
一、选题的目的、意义和要完成的任务
费曼-海尔曼定理和维里定理的应用极 其广泛, 在量子力学中，处理问题也十分 简便，可惜在各种教材中, 只是轻轻带过, 很少充分论述。
论文的结构和主要内容
4.2库仑场问题
若库仑场势能为 ，如 Ures2
§2.8维里定理
1 T V 2
第二章 质点组力学
1. 内力的重要性质:
i 1 i j j 1
n
n
f ij 0
(i ) ri Fi ri fij 0
i j i
质点组内力的元功之和一般不能相消 一对内力元功之和与参照系无关.
2. 三个定理及其守恒律 1）对固定点O (e ) dp Fi dt (e) 若 Fi 0, 则
i
(e) 则 若 ri Fi M 0 dJ 0 i (e) (i ) dT Fi dri Fi dri
i i
1 2 1 T mvc mi v 'i2 柯尼希定理 2 i 2
变质量物体的运动微分方程： d (mv ) dm uF dt dt
二、若为保守力
1 T Vi ri 2 i 若单质点受有心力作用： V V (r ) ar n1
1 dV 1 1 n T r (n 1)r r (n 1)V 2 dr 2 2 1 n 2 T V 2 mv 2 k 2 m 如：圆周运动: F r r
i i
dJ M dt
(e) d rc m 2 Fi dt i mivi mvc 常矢
2
i
J 恒量
若
dW dV
(i )
(i )
dW (e) dV (e)
(i )
则T VVFra bibliotek(e)
E
2）对知心C mivi 常矢
i
(e) (e) d J ' ri Fi M ' 若 M ri Fi 0 J ' 常矢 dt i i (e) (i ) dT ' Fi dri ' Fi dri '
量子力学最全名词解释及知识点整理
是三重简并的，对应于这些能级的态称为三重态（ | 1,1⟩, | 1, − 1⟩, | 1,0⟩）
29. 正氦与仲氦p206
处于三重态的氦称为正氦，处于单态的氦称为仲氦，或者说基态的氦是仲氦
一些结论
1. 谐振子能量本征函数及其性质


为动量，λ为波⻓。
4. 态叠加原理（Superposition principle）：p17
对 于 一 般 的 情 况 ， 如 果 ψ1 和 ψ2 是 体 系 的 可 能 状 态 ， 那 么 它 们 的 线 性 叠 加
ψ = c1ψ1 + c2ψ2也是这个体系的一个可能状态，其中c1和c2为复常数。
20. 偶极跃迁、偶极近似（Electric Dipole Approximation）： p146
由于电磁波中电场对电子能量的影响远大于磁场，忽略光波中的磁场作用和原子的尺
寸，把电场近似地用Ex = E0 cos ωt（沿z轴传播的平面单色偏振光的电场）表示后得到的
结果，这样讨论的跃迁称为偶极跃迁，这种近似叫做偶极近似。
22. 简单塞曼效应、复杂塞曼效应（Zeeman e ect）：p181
在外磁场较强的情况下，没有外磁场时的一条谱线在外磁场中将分裂为三条，这就是 简单塞曼效应。
在外磁场较弱时，电子自旋与轨道相互作用不能够忽略，光谱线分裂成偶数条，这称 为复杂塞曼效应。
23. 好量子数：p187
守恒量的特点：测量值的几率分布不随时间变化，守恒量的量子数称为好量子数。
•
谐振子能量的本征函数为：ψn(x)
=
Nne−
1 2
α2 x2Hn(α
维里定理
维里定理 赫尔曼—费恩曼定理(H-F定理） 维里定理和H-F定理的应用（化学成键、静电定 理）[略]
数学知识简介
引
ห้องสมุดไป่ตู้
推 得
维里定理
Virial Theorem（维里定理）：
对势能服从rn规律的体系，其平均势能<V> 与平均动能<T>的关系为： <T>=n<V>/2
●H原子势能服从r-1规律，所以<T>=-<V>/2
E1=-13.6eV=<T>+<V>=<V>/2, <V>=-27.2eV, <T>=-<V>/2=13.6eV,即为零点能。
• 维里定理的应用范围
一、当我们所求得的波函数是正确的。这里 所说的正确是指不含微扰态。此时可直接应 用维里定理。 二、但实际情况往往求得的是一些近似波函 数，此时是不能直接应用维里定理的。因此 需采用定标法使任一尝试变分函数满足维里 定理。
• 定标法简介
插入一个作为每个笛卡尔坐标乘数的变分 参数，所选择的参数必须使变分积分极小。
• 定标因子
定标法中每个坐标所乘的变分参数叫做定 标因子 因此，用于分子的尝试函数必须在核的笛卡 尔坐标前面以及电子坐标前面引入定标参数
• 举例说明（1/2不满足|3/4满足）维里定理： 1.类氦原子的零级微扰波函数（9.60）
2.氢气的海特勒-伦敦尝试函数（13.107）
3.海特勒-伦敦-王守竞函数 4.哈特利-福克波函数
赫尔曼-费恩定理
量子力学典型例题分析解答
量子力学例题第二章一．求解一位定态薛定谔方程1．试求在不对称势井中的粒子能级和波函数[解] 薛定谔方程:当, 故有利用波函数在处的连续条件由处连续条件:由处连续条件:给定一个n 值,可解一个, 为分离能级.2．粒子在一维势井中的运动求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数[解]体系的定态薛定谔方程为当时对束缚态解为在处连续性要求将代入得又相应归一化波函数为:归一化波函数为:3分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为求束缚态的能级所满足的方程[解]束缚态下粒子能量的取值范围为当时当时薛定谔方程为令解为当时令解为当时薛定谔方程为令薛定谔方程为解为由波函数满足的连续性要求,有要使有非零解不能同时为零则其系数组成的行列式必须为零计算行列式,得方程例题主要类型: 1.算符运算; 2.力学量的平均值; 3.力学量几率分布.一. 有关算符的运算1.证明如下对易关系(1)(2)(3)(4)(5)[证](1)(2)(3)一般地,若算符是任一标量算符,有(4)一般地,若算符是任一矢量算符,可证明有(5)=0同理：。
2.证明哈密顿算符为厄密算符[解]考虑一维情况为厄密算符, 为厄密算符,为实数为厄密算符为厄密算符3已知轨道角动量的两个算符和共同的正交归一化本征函数完备集为,取: 试证明: 也是和共同本征函数, 对应本征值分别为: 。
[证]。
是的对应本征值为的本征函数是的对应本征值为的本征函数又:可求出:二.有关力学量平均值与几率分布方面1.(1)证明是的一个本征函数并求出相应的本征值；(2)求x在态中的平均值[解]即是的本征函数。
本征值2.设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，如粒子的状态由波函数描写。
求粒子能量的可能值相应的概率及平均值【解】宽度为a的一维无限深势井的能量本征函数注意:是否归一化波函数能量本征值出现的几率 , 出现的几率能量平均值另一做法3 .一维谐振子在时的归一化波函数为所描写的态中式中，式中是谐振子的能量本征函数，求（1）的数值；2）在态中能量的可能值，相应的概率及平均值；（3）时系统的波函数；（4）时能量的可能值相应的概率及平均值[解](1) , 归一化，，，（2），，；，；，；（3）时，所以：时，能量的可能值、相应的概率、平均值同（2）。
量子力学中要用到的数学知识大汇总
量子力学中要用到的数学知识大汇总第一章矩阵1.1矩阵的由来、定义和运算方法1.矩阵的由来2.矩阵的定义3.矩阵的相等4.矩阵的加减法5.矩阵和数的乘法6.矩阵和矩阵的乘法7.转置矩阵8.零矩阵9.矩阵的分块1.2行矩阵和列矩阵1.行矩阵和列矩阵2.行矢和列矢3.Dirac符号4.矢量的标积和矢量的正交5.矢量的长度或模6.右矢与左矢的乘积1.3方阵1.方阵和对角阵2.三对角阵3.单位矩阵和纯量矩阵4.Hermite矩阵5.方阵的行列式，奇异和非奇异方阵6.方阵的迹7.方阵之逆8.酉阵和正交阵9.酉阵的性质10.准对角方阵11.下三角阵和上三角阵12.对称方阵的平方根13.正定方阵14.Jordan块和Jordan标准型1.4行列式求值和矩阵求逆1.行列式的展开/doc/4b14802796.html,place展开定理3.三角阵的行列式4.行列式的初等变换及其性质5.利用三角化求行列式的值6.对称正定方阵的平方根7.平方根法求对称正定方阵的行列之值8.平方根法求方阵之逆9.解方程组法求方阵之逆10.伴随矩阵11.伴随矩阵法求方阵之逆1.5线性代数方程组求解1.线性代数方程组的矩阵表示2.用Cramer法则求解线性代数方程组3.Gauss消元法解线性代数方程组4.平方根法解线性代数方程组1.6本征值和本征矢量的计算1.主阵的本征方程、本征值和本征矢量2.GayleyHamilton定理及其应用3.本征矢量的主定理4.Hermite方阵的对角化——计算本征值和本征矢量的Jacobi法1.7线性变换1.线性变换的矩阵表示2.矢量的酉变换3.相似变换4.等价矩阵5.二次型6.标准型7.方阵的对角化参考文献习题第二章量子力学基础2.1波动和微粒的矛盾统一1.从经典力学到量子力学2.光的波粒二象性3.驻波的波动方程4.电子和其它实物的波动性——de Broglie关系式5.de Broglie波的实验根据6.de Broglie波的统计意义7.态叠加原理8.动量的几率——以动量为自变量的波函数2.2量子力学基本方程——Schrdinger方程1.Schrdinger方程第一式2.Schrdinger方程第一式的算符表示3.Schrdinger方程第二式4.波函数的物理意义5.力学量的平均值(由坐标波函数计算)6.力学量的平均值(由动量波函数计算)2.3算符1.算符的加法和乘法2.算符的对易3.算符的平方4.线性算符5.本征函数、本征值和本征方程6.Hermite算符7.Hermite算符本征函数的正交性——非简并态8.简并本征函数的正交化9.Hermite算符本征函数的完全性10.波函数展开为本征函数的叠加11.连续谱的本征函数12.Dirac δ函数13.动量的本征函数的归一化14.Heaviside阶梯函数和δ函数2.4量子力学的基本假设1.公理方法2.基本概念3.假设Ⅰ——状态函数和几率4.假设Ⅱ——力学量与线性Hermite算符5.假设Ⅲ——力学量的本征状态和本征值6.假设Ⅳ——态随时间变化的Schrdinger方程7.假设Ⅴ——Pauli互不相容原理2.5关于定态的一些重要推论1.定态的Schrdinger方程2.力学量具有确定值的条件3.不同力学量同时具有确定值的条件4.动量和坐标算符的对易规律5.Hesienberg测不准关系式2.6运动方程1.Heisenberg运动方程——力学量随时间的变化2.量子Poisson括号3.力学量守恒的条件4.几率流密度和粒子数守恒定律5.质量和电荷守恒定律6.Ehrenfest定理2.7维里定理和HellmannFeynman定理1.超维里定理2.维里定理3.Euler齐次函数定理4.维里定理的某些简化形式5.HellmannFeynman定理2.8表示论1.态的表示2.算符的表示3.另一套量子力学的基本假设参考文献习题第三章简单体系的精确解3.1自由粒子1.一维自由粒子2.三维自由粒子3.2势阱中的粒子1.一维无限深的势阱2.多烯烃的自由电子模型3.三维长方势阱4.圆柱体自由电子模型3.3隧道效应——方形势垒1.隧道效应2.Schrdinger方程3.波函数中系数的确定(E＞V0)4.贯穿系数与反射系数(E＞V0)5.能量小于势垒的粒子(E＜V0)3.4二阶线性常微分方程的级数解法1.二阶线性常微分方程2.级数解法3.正则奇点邻域的级数解法4.若干二阶线性微分方程3.5线性谐振子和Hermite多项式1.线性谐振子2.幂级数法解U方程3.谐振子能量的量子化4.Hermite微分方程与Hermite多项式5.Hermite多项式的递推公式6.Hermite多项式的微分式定义——Rodrigues公式7.Hermite多项式的母函数展开式定义8.谐振子的波函数——Hermite正交函数9.矩阵元的计算参考文献习题第四章氢原子和类氢离子4.1Schrdinger方程1.氢原子质心的平移运动2.氢原子中电子对核的相对运动3.氢原子作为两个质点的体系4.坐标的变换5.变量分离6.球坐标系7.球坐标系中的变量分离8.Φ方程之解9.θ方程之解10.R方程之解11.能级4.2Legendre多项式1.微分式定义2.幂级数定义3.母函数展开式定义和递推公式4.母函数的展开5.正交性6.归一化4.3连带Legendre函数1.微分式定义2.递推公式3.正交性4.归一化4.4laguerre多项式和连带Laguerre函数1.母函数展开式定义2.微分式定义3.级数定义4.积分性质5.连带Laguerre多项式和连带Laguerre函数6.连带Laguerre多项式的母函数展开式定义7.连带Laguerre多项式的级数定义8.连带Laguerre函数的积分性质4.5类氢原子的波函数1.类氢原子的波函数2.氢原子的基态3.径向分布4.角度分布5.电子云的空间分布6.波函数的等值线图和立体表示图参考文献习题第五章角动量和自旋5.1角动量算符1.经典力学中的角动量2.角动量算符3.对易规则4.Hamilton算符与角动量算符的对易规则5.三??算符具有相同本征函数的条件6.角动量的本征函数5.2阶梯算符法求角动量的本征值1.角动量算符的对易规则2.阶梯算符的性质3.阶梯算符的作用4.角动量的本征值5.3多质点体系的角动量算符1.经典力学中多质点体系的角动量2.总角动量算符及其对易规则3.多电子原子的Hamilton算符的对易规则5.4电子自旋1.电子自旋2.假设Ⅰ——自旋角动量算符的对易规则3.假设Ⅱ——单电子自旋算符的本征态和本征值4.电子自旋的阶梯算符5.自旋算符的矩阵表示6.假设Ⅲ——自由电子的g因子参考文献习题第六章变分法和微扰理论6.1多电子体系的Schrdinger方程1.原子单位2.多电子分子的Schrdinger方程3.BornOppenheimer原理4.多电子体系的Schrdinger方程举例5.多电子体系的Schrdinger方程的近似解法6.2变分法1.最低能量原理2.变分法3.氦原子和类氦离子的变分处理(一)4.氦原子和类氦离子的变分处理(二)5.激发态的变分原理6.线性变分法7.变分法的推广6.3定态微扰理论1.非简并能级的一级微扰理论2.基态氦原子或类氦离子3.简并能级的一级微扰理论4.微扰法在氢原子中的应用5.二级微扰理论6.4含时微扰理论与量子跃迁1.含时微扰理论2.光的吸收与发射3.激发态的平均寿命4.光谱选律5.偶极强度与吸收系数的关系参考文献习题第七章群论基础知识7.1群的定义和实例1.群的定义2.群的几个例子3.乘法表和重排定理4.同构和同态7.2子群、生成元和直积1.子群2.生成元3.直积7.3陪集、共轭元素和类1.陪集/doc/4b14802796.html,grange定理3.共轭元素和类4.置换群的类7.4共轭子群、正规子群和商群1.共轭子群2.正规子群(自轭子群)3.商群和同态定理7.5对称操作群1.对称操作2.操作的乘积3.对称操作群4.共轭对称元素系，同轭对称操作类和两个操作可对易的条件5.生成元、子群和直积7.6分子所属对称群的确定1.单轴群2.双面群3.立方体群4.分子对称群的生成元和生成关系5.晶体学点群6.分子所属对称群的确定参考文献习题第八章群表示理论8.1对称操作的矩阵表示1.基矢变换和坐标变换2.物体绕任意轴的旋转，Euler角3.对称操作的矩阵表示4.函数的变换8.2群的表示1.群表示的定义2.等价表示和特征标3.可约表示和不可约表示，不变子空间4.Schur引理5.正交关系6.正交关系示例7.投影算符和表示空间的约化8.直积群的表示9.实表示和复表示8.3表示的直积及其分解1.表示的直积2.对称积和反对称积3.直积表示的分解4.ClebschGordan系数8.4某些群的不可约表示1.循环群2.互换群3.点群4.回转群5.旋转群6.双值表示8.5群论在量子化学中的应用1.态的分类和谱项2.能级的分裂3.时间反演对称性和Kramers简并4.零矩阵元的鉴别和光谱选律5.矩阵元的计算，不可约张量方法6.久期行列式的劈因子7.不可约表示基的构成8.杂化轨道的构成9.轨道对称性守恒原理这些可是爱考的专业课老师（如果俺考研成功她可就是俺滴学姐啦）珍藏不外漏的当年的笔记啊。
量子力学典型例题解答讲解
量子力学例题第二章一．求解一位定态薛定谔方程1．试求在不对称势井中的粒子能级和波函数[解] 薛定谔方程:当, 故有利用波函数在处的连续条件由处连续条件:由处连续条件:给定一个n 值,可解一个, 为分离能级.2．粒子在一维势井中的运动求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数[解]体系的定态薛定谔方程为当时对束缚态解为在处连续性要求将代入得又相应归一化波函数为:归一化波函数为:3分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为求束缚态的能级所满足的方程[解]束缚态下粒子能量的取值范围为当时当时薛定谔方程为令解为当时令解为当时薛定谔方程为令薛定谔方程为解为由波函数满足的连续性要求,有要使有非零解不能同时为零则其系数组成的行列式必须为零计算行列式,得方程例题主要类型: 1.算符运算; 2.力学量的平均值; 3.力学量几率分布.一. 有关算符的运算1.证明如下对易关系(1)(2)(3)(4)(5)[证](1)(2)(3)一般地,若算符是任一标量算符,有(4)一般地,若算符是任一矢量算符,可证明有(5)=0同理：。
2.证明哈密顿算符为厄密算符[解]考虑一维情况为厄密算符, 为厄密算符,为实数为厄密算符为厄密算符3已知轨道角动量的两个算符和共同的正交归一化本征函数完备集为,取: 试证明: 也是和共同本征函数, 对应本征值分别为: 。
[证]。
是的对应本征值为的本征函数是的对应本征值为的本征函数又:可求出:二.有关力学量平均值与几率分布方面1.(1)证明是的一个本征函数并求出相应的本征值；(2)求x在态中的平均值[解]即是的本征函数。
本征值2.设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，如粒子的状态由波函数描写。
求粒子能量的可能值相应的概率及平均值【解】宽度为a的一维无限深势井的能量本征函数注意:是否归一化波函数能量本征值出现的几率 , 出现的几率能量平均值另一做法3 .一维谐振子在时的归一化波函数为所描写的态中式中，式中是谐振子的能量本征函数，求（1）的数值；2）在态中能量的可能值，相应的概率及平均值；（3）时系统的波函数；（4）时能量的可能值相应的概率及平均值[解](1) , 归一化，，，（2），，；，；，；（3）时，所以：时，能量的可能值、相应的概率、平均值同（2）。
第16讲H-F定理、
1
（3）用算符a, a+ 表示振子Hamilton量
由 a, a+ 定义式 将算符 x, p 用新算符 a, a+ 表示出来 1 1 ˆ ˆ i1 ˆ ] (1) a [x p x [( 2 ) ( 1 )] [ a a] 2 2 2 ˆ p i [( 2 ) ( 1 )] i [ a a] 1 ˆ 2 2 ˆ ˆ a [ x i p] ( 2) 2 代入振子 Hamilton 量
En ( n 1 2 )
1
n 0,1,2,
1 2
ˆ H 2 d 2 2 2 1 2 x 2 2 2 dx
2 d 2 [( ) 2 dx2 p2 [ V ( x )] 2 1
2 x 2 ]
由HF 定理
ˆ E n H n n
p2 V 2
方法 III
2 2 2 2 2 2 2 d 2 p ˆ d H d 2 2 [ ] [ ] [ 1 2 2 2 x ] 2 2 dx 2 dx 2 dx
取λ =
由HF 定理
ˆ E n H n n
n1 2
n 1 2
1 n 1
n1 ] 1 2 [
同理：
n 1
n1 ]
n n 1
2 2
2=/
2 ˆ p 1 ˆ 1 2 x 2 1 i [a ˆ ˆ a ˆ ] 1 2 [a ˆ a ˆ] H ˆ ˆ ˆ 2 1 2 [a a ] i [ a a ] 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ a a a a a a a a ] ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ a a a a a a a a ] 2 4 4 1 ˆ a ˆ a ˆa ˆa ˆ a ˆ a ˆa ˆ ] [a ˆ a ˆ a ˆa ˆa ˆ a ˆa ˆa ˆ] [a
高等量子力学习题和答案
高等量子力学习题和解答† 量子力学中的对称性1、 试证明：若体系在线性变换Qˆ下保持不变，则必有0]ˆ,ˆ[=Q H 。
这里H ˆ为体系的哈密顿算符，变换Qˆ不显含时间，且存在逆变换1ˆ-Q 。
进一步证明，若Q ˆ为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。
解：设有线性变换Qˆ，与时间无关；存在逆变换1ˆ-Q 。
在变换 ˆ(,)'(,)(,)r t r t Qr t ψ→ψ=ψ 若体系在此变换下不变，即变换前后波函数满足同一运动方程 ˆ''ˆt ti Hi H ∂ψ=ψ∂ψ=ψ进而有11[,]0t t i Q HQ i Q HQ Q HQ H H Q --∂ψ=ψ⇒∂ψ=ψ⇒=⇒=2、 令坐标系xyz O -绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R ze的矩阵表示。
解：'cos sin 'sin cos 'O xyz z d x x d y d y x d y d z zθθθθθ-=+=-+=考虑坐标系绕轴转角'1''x x yd d y xd y z z θθθ=+⎧⎪<<⇒=-+⎨⎪=⎩若用矩阵表示 '10'10'001x d x y d y z z θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭还可表示为 '()z e r R d r θ=10()10001z e d R d d θθθ⎛⎫⎪=-⎪ ⎪⎝⎭3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n转θd 角，在此转动下，态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψ =。
试导出转动算符),(θd n U的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。
解：从波函数在坐标系旋转变换下的变化规律，可导出旋转变换算符()z e U d θ利用 (')()()z e r U d r θψ=ψ 及 (')()r Rr ψ=ψ 可得 ()1z e z iU d d L θθ=-通过连续作无穷多次无穷小转动可得到有限大小的转动算符()lim(1)z z i L n e z n i U L e nθθθ-→∞=-=绕任意轴n 转θ角的转动算符为()in Ln U eθθ-⋅=1U U U -+=⇒ 为幺正算符若(')()()z e r U d r θψ=ψ则必有1(')()()()()[,]z z e e z H r U d H r U d iH r d H L θθθ-==+若哈密顿量具有旋转对称性，就有[,]0z H L =→角动量守恒4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋1=S 。
量子力学-第四版-卷一-(曾谨言-著)习题答案第5章-1
第五章： 对称性及守恒定律P248设粒子的哈密顿量为 )(2ˆˆ2r V p H+=μ。
（１） 证明V r p p r dtd ∀⋅-=⋅μ/)(2。
（２） 证明：对于定态 V r T ∀⋅=2（证明）（１）z y x p z p y p xp r ˆˆˆˆˆˆ++=⋅，运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律：]ˆ,ˆˆ[1)ˆˆ(H p r i p rdt d⋅=⋅]ˆ,ˆˆ[H p r =⋅=)],z y （２） ˆ[r⋅ x x x x p x p p x p p xˆˆˆˆˆ]ˆ,ˆˆ[232-= x x x x x x p x p p x p p x p p xˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ2223-+-= x x x x x p p x p p p xˆ]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[2+= 222ˆ2ˆˆx x x p i p i p i =+= （４）],ˆ[ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ],ˆˆ[V p x p V x V p x p x V V p x V p xx x x x x x =-=-=xV x i ∂∂=ˆˆ （５） 将（４）（５）代入（３），得：}{)ˆˆˆ(]ˆ,ˆˆ[222zV z y V y x V x i p p p i H p rz y x ∂∂+∂∂+∂∂+++=⋅ μ }ˆ{2V r pi ∀⋅+=μ代入（１），证得题给公式：V r pp r dt d ∀⋅-=⋅ μ2ˆ)( （６） 的平均值，按前述习题２的结论，其 则=⋅p r dt d 由前式P249 ） （２）库仑场 T V 2-= （３）T V n Cr V n2,==（解）先证明维里定理：假设粒子所在的势场是直角坐标),,(z y x 的n 次齐次式，则不论n 是正、负数，势场用直角坐标表示的函数，可以表示为以下形式，式中Ｖ假定是有理函数（若是无理式，也可展开成级数）：∑=ijkkj i ijk z y x C z y x V ),,( （１）此处的k j i ,,暂设是正或负的整数，它们满足：n k j i =++ （定数）ijk C 是展开式系数，该求和式可设为有限项，即多项式。
量子力学第五章 对称性及守恒定律
第五章： 对称性及守恒定律［１］证明力学量Aˆ（不显含t ）的平均值对时间的二次微商为： ]ˆ],ˆ,ˆ[[222H H A A dtd -= （H ˆ是哈密顿量） （解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学量Aˆ 不显含t ，有]ˆ,ˆ[1H A i dt A d= （１） 将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量]ˆ,ˆ[1H A i的平均值，则有： ]ˆ],ˆ,ˆ[[1]ˆ],ˆ,ˆ[1[1222H H A H H A i i dt A d -== （２） 此式遍乘2即得待证式。
［２］证明，在不连续谱的能量本征态（束缚定态）下，不显含t 的物理量对时间t 的导数的平均值等于零。
（证明）设Aˆ是个不含t 的物理量，ψ是能量H ˆ的公立的本征态之一，求A ˆ在ψ态中的平均值，有：⎰⎰⎰=ττψψd AA ˆ*将此平均值求时间导数，可得以下式（推导见课本§5.1）（１） 今ψ代表Hˆ的本征态，故ψ满足本征方程式 ψψE H=ˆ （E 为本征值） （２） 又因为Hˆ是厄密算符，按定义有下式（ψ需要是束缚态，这样下述积公存在） τψψτψψτd AHd A H ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=)ˆ(*)ˆ()~(ˆ* （３）（题中说力学量导数的平均值，与平均值的导数指同一量）（２）（３）代入（１）得：τψψτψψd A H id H A i dt A d )ˆ(*)ˆ(1)ˆ(ˆ*1⎰⎰⎰⎰⎰⎰-= ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=τψψτψψd A iE d A i E ˆ**ˆ* 因*E E =，而0=dtAd［３］设粒子的哈密顿量为 )(2ˆˆ2r V p H +=μ。
（１） 证明V r p p r dtd ∀⋅-=⋅μ/)(2。
（２） 证明：对于定态 V r T ∀⋅=2（证明）（１）z y x p z p y p xp r ˆˆˆˆˆˆ++=⋅，运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律： ]ˆ,ˆˆ[1)ˆˆ(H p r i p rdt d⋅=⋅)],,(ˆ21,ˆˆˆˆˆˆ[]ˆ,ˆˆ[2z y x V pp z p y p x H p r z y x +++=⋅μ)],,()ˆˆˆ(21,ˆˆˆˆˆˆ[222z y x V p p p p z p y p xz y x z y x +++++=μ)],,(,[21],ˆˆˆˆˆˆ[222z y x V zp yp xp p p p p z p y p xz y x z y x z y x +++++++=μ（２） 分动量算符仅与一个座标有关，例如xi p x ∂∂= ，而不同座标的算符相对易，因此（２）式可简化成：]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[222z z y y x x p p z p p y p p x H p rμμμ++=⋅ )],,(,ˆˆˆˆˆˆ[z y x V p z p y p xz y x +++ ],ˆˆ[],ˆˆ[],ˆˆ[]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21222V p z V p y V p xp p z p p y p p x z y x z z y y x x +++++=μμμ （３）前式是轮换对称式，其中对易算符可展开如下：x x x x p x pp x p p x ˆˆˆˆˆ]ˆ,ˆˆ[232-= x x x x x x p x p p x p p x p p x ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ2223-+-= x x x x x p p x pp p x ˆ]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[2+= 222ˆ2ˆˆx x x pi p i p i =+= （４） ],ˆ[ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ],ˆˆ[V p x p V x V p x p x V V p x V p xx x x x x x =-=-= xV x i ∂∂=ˆˆ （５） 将（４）（５）代入（３），得：}{)ˆˆˆ(]ˆ,ˆˆ[222zV z y V y x V x i p p p i H p rz y x ∂∂+∂∂+∂∂+++=⋅ μ }ˆ{2V r pi ∀⋅+=μ代入（１），证得题给公式：V r pp r dt d ∀⋅-=⋅ μ2ˆ)( （６）（２）在定态ψ之下求不显含时间t 的力学量Aˆ的平均值，按前述习题２的结论，其 结果是零，令p r Aˆˆˆ ⋅= 则0)ˆˆ(*2=∀⋅-=⋅=⋅⎰⎰⎰V r p d p r p r dt d τμτψψ （７） 但动能平均值 μτψμψτ22ˆ*22p d p T =≡⎰⎰⎰由前式 V r T ∀⋅⋅=21［４］设粒子的势场),,(z y x V 是z y x ,,的n 次齐次式证明维里定理（Ｖirial theorem ）式中Ｖ是势能，Ｔ是动能，并应用于特例：（１）谐振子 T V = （２）库仑场 T V 2-=（３）T V n Cr V n 2,==（解）先证明维里定理：假设粒子所在的势场是直角坐标),,(z y x 的n 次齐次式，则不论n 是正、负数，势场用直角痤标表示的函数，可以表示为以下形式，式中Ｖ假定是有理函数（若是无理式，也可展开成级数）：∑=ijkkj i ijk z y x C z y x V ),,( （１）此处的k j i ,,暂设是正或负的整数，它们满足：n k j i =++ （定数）ijk C 是展开式系数，该求和式可设为有限项，即多项式。
量子力学考试知识点
《量子力学》考试知识点第一章：绪论―经典物理学的困难考核知识点：（一）、经典物理学困难的实例（二）、微观粒子波－粒二象性考核要求：（一）、经典物理困难的实例1.识记：紫外灾难、能量子、光电效应、康普顿效应。
2.领会：微观粒子的波－粒二象性、德布罗意波。
第二章：波函数和薛定谔方程考核知识点：（一）、波函数及波函数的统计解释（二）、含时薛定谔方程（三）、不含时薛定谔方程考核要求：（一）、波函数及波函数的统计解释1.识记：波函数、波函数的自然条件、自由粒子平面波2.领会：微观粒子状态的描述、Born几率解释、几率波、态叠加原理（二）、含时薛定谔方程1.领会：薛定谔方程的建立、几率流密度，粒子数守恒定理2.简明应用：量子力学的初值问题（三）、不含时薛定谔方程1. 领会：定态、定态性质2.简明应用：定态薛定谔方程3.fdfgfdgdfg第三章：一维定态问题一、考核知识点：（一）、一维定态的一般性质（二）、实例二、考核要求：1.领会：一维定态问题的一般性质、束缚态、波函数的连续性条件、反射系数、透射系数、完全透射、势垒贯穿、共振2.简明应用：定态薛定谔方程的求解、无限深方势阱、线性谐振子第四章量子力学中的力学量一、考核知识点：（一）、表示力学量算符的性质（二）、厄密算符的本征值和本征函数（三）、连续谱本征函数“归一化”（四）、算符的共同本征函数（五）、力学量的平均值随时间的变化二、考核要求：（一）、表示力学量算符的性质1.识记：算符、力学量算符、对易关系2.领会：算符的运算规则、算符的厄密共厄、厄密算符、厄密算符的性质、基本力学量算符的对易关系（二）、厄密算符的本征值和本征函数1.识记：本征方程、本征值、本征函数、正交归一完备性2.领会：厄密算符的本征值和本征函数性质、坐标算符和动量算符的本征值问题、力学量可取值及测量几率、几率振幅。
（三）、连续谱本征函数“归一化”1.领会：连续谱的归一化、箱归一化、本征函数的封闭性关系（四）、力学量的平均值随时间的变化1.识记：好量子数、能量－时间测不准关系2.简明应用：力学量平均值随时间变化第五章态和力学量的表象一、考核知识点：（一）、表象变换，幺正变换（二）、平均值，本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式（三）、量子态的不同描述二、考核要求：（一）、表象变换，幺正变换1.领会：幺正变换及其性质2.简明应用：表象变换（二）、平均值，本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式1.简明应用：平均值、本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式2.综合应用：利用算符矩阵表示求本征值和本征函数（三）、量子态的不同描述第六章：微扰理论一、考核知识点:（一）、定态微扰论（二）、变分法（三）、量子跃迁二、考核要求:（一）、定态微扰论1.识记：微扰2.领会：微扰论的思想3.简明应用：简并态能级的一级，二级修正及零级近似波函数4.综合应用：非简并定态能级的一级，二级修正、波函数的一级修正。
量子力学考研2021配套考研真题集
量子力学考研2021配套考研真题集一、典型真题解析设氢原子处在R21Y1—1态，（1）求势能的平均值；（2）求轨道角动量的平均值。
[复旦大学2004研]【解题思路】①氢原子电子所受到的是中心力场，能量只和主量子数n有关，这和氢原子势场的对称性相关；②对于r指数的力学量平均值直接计算运算较为复杂，可以运用维里定理；③轨道角动量力学量的本征方程。
【解析】（1）对于中心力场，由维里定理可得因为所以（2）令所以因此所以【知识储备】①氢原子本征方程本征能量为其中本征波函数为ψnlm（r，θ，φ）＝R nl（r）Y lm（θ，φ）②维里定理如果势场是r的n次函数，则在此势场的束缚定态中动能平均值和势能平均值满足关系为③（L2，L z）有共同的本征函数——球谐函数Y lm（θ，φ）角动量的平方及其z分量在球坐标中可表示为相应的本征方程分别为【拓展发散】假定氢原子的波函数为，可以求出势能平均值的通式和轨道角动量的平均值的通式。
7质量为μ的粒子被限制在半径为R的平面圆周上运动（转子）。
已知开始时系统处于状态，A为常数。
（1）写出t时刻系统的波函数；（2）求出t时刻系统的平均能量。
[中国科学技术大学2012研] 【解题思路】根据含时薛定谔方程，从已知的初始时刻的状态求解t时刻粒子的状态，对于哈密顿量的平均值，可以直接使用力学量的平均值求解。
【解析】（1）以所在平面为XOY平面，则系统的哈密顿量可以写为：其中，为转子的转动惯量。
从而定态薛定谔方程为：容易解得相应的能量本征值为：可见，对于，能级是二重简并的；当时，能级非简并。
对于态，先归一化。
利用，可得，从而我们已经将按哈密顿量的本征矢展开，则t时刻系统的波函数可以直接写出：（2）t时刻系统的平均能量为：其中。
【知识储备】 ①薛定谔方程波函数随时间的变化规律由含时薛定谔方程给出当U （r →，t ）与t 无关时，可以利用分离变量法，将时间部分的函数和空间部分的函数分开考虑，y （r →）满足定态薛定谔方程此方程即是能量算符的本征方程。
维里定理
压 强
1 2
V
例：推导理想气体压强公式. 压力的维里：
1
2
1
n
1 F i ri 2
( pd s ) r
ds
p
压强方向 与 d s 方向相反.
由高斯定理: r d s r dV 3V
1
n
1 2
第二章小结
作业：13, 15, 17
决不要把学习看成是任务，而应看成是一个令人羡慕 的机会。为了你们自己的欢乐和今后你们工作所属社会的 利益，去学习…… ——爱因斯坦
mivi
2
nLeabharlann 1 22 p r dV
3 2
pV
由能均分定理:
1
1
m i v i ( kT ) n 2 2
n’ 为总原子数 目
3
（单原子分子只有平动动能） 比较两式得：
pV n kT p
n V
kT nkT
（与原子种类无关 道尔顿分压定理）
nkT ( n 1 n 2 n n ) kT p 1 p 2 p n
平均动能等于均位力的负值
力
讨论：1. 系统中的耗散力对 <T> 无贡献.（反证法）
2. 对有心力系统（属保守力系），质点势能：
V ar
n 1
, F r - V r ( n 1) a r n r ( n 1)V
n 1时 , T V
或为一周期涨落周期28维里位力定理位力定理亦称维里定理virialtheorem平均动能等于均位力的负值讨论
量子力学中的维里定理
量子力学中的维里定理
梁如鑫
【期刊名称】《大学物理》
【年(卷),期】1986(000)001
【摘要】本文首先给出经典力学的维里定理，然后用三种方法证明在量子力学中维里定理同样成立，最后应用于几个特例．这些例子告诉我们若是应用量子力学的普遍公式来计算将是十分繁复的，而应用维里定理却十分简单．
【总页数】4页(P8-11)
【作者】梁如鑫
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】O413.1
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