容斥原理习题集

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完整版容斥原理习题加答案

1. 现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有（）【答案】B【解析】直接代入公式为：50=31+40+4- A H B得A H B=25,所以答案为B。

2. 某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。

其中25%是白色的, 75%是蓝色的。

如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？（）A 、15B、25C 、35D40【答案】C【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A H B,本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B,小号占50%蓝色占75%直接代入公式为：100=50+75+10- A H B，得：A H B=353. 某高校对一些学生进行问卷调查。

在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人,【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字 24,再推其他部分数字：根据每个区域含义应用公式得到：总数=各集合数之和-两两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数=63+89+47— {(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15=199— { (x+z+y ) +24+24+24}+24+15根据上述含义分析得到：x+z+y 只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数，所以 x+z+y 的值为46人；得本题答案为120.4. 对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。

其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有 12人，则只喜欢看电影的有多少人( )A.22 人B.28 人C.30 人D.36 人【答案】A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字 12,再推其他部分数字：根据各区域含义及应用公式得到：总数=各集合数之和-两两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数100= 58+38+52- {18+16+ (12+ x ) }+12+0,因为该题中，没有三种都不喜欢的人，所以三集合之外数为 0,解方程得到：x = 14。

容斥原理习题

容斥原理习题小学奥数容斥原理专题训练1.现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有多少人？2.某服装厂生产的一批衬衫大号和小号各占一半。

其中25％是白色的，75％是蓝色的。

如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？3、一些学生接受调查，这些学生中准备参加会计师考试的有63人，准备参加英语考4.六一班参加无线电小组和航模小组的共26人，其中参加无线电小组的比参加航模小组的多3人，两组都参加的有5人，请问参加航模小组的有几人？6.7.某车间有工人100人，其中有5个人只能干电工工作，有77人能干车工工作，86人能干焊工工作，既能干车工工作又能干焊工工作的有多少人?9、某次语文竞赛共有五道题(满分不是100分)，丁一只做对了(1)、(3)、(4)三题得了25分;于山只做对了(2)、(4)三题，得了16分;王水只做对了(2)、(3)、(5)三题，得了28分，张灿只做对了(1)、(5)三题，得了21分，李明五个题都对了他得了多少分?10.某大学有外语教师120名，其中教英语的有50名，教日语的有45名，教法语的有40名，有15名既教英语又教日语，有10名既教英语又教法语，有8名既教日语又教法语，有4名教英语、日语和法语三门课，则不教三门课的外语教师有多少名?小学奥数容斥原理专题训练（答案）1.现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有多少人？40+31+4-50=25（人）2.某服装厂生产的一批衬衫大号和小号各占一半。

其中25％是白色的，75％是蓝色的。

如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？100×25%-10=15（件）100×50%-15=35（件）3.一些学生接受调查，这些学生中准备参加会计师考试的有63人，准备参加英语考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种都准备参加的有24人，只准备参加两种考试的有46人，不参加其中任何一种考试的有15人。

容斥原理小学数学习题集

一、选择题1. 五年级有95名同学去春游，每人至少带矿泉水和水果中的一种，由图可知带水果的有( )人．A．22 B．34 C．562. 红星小学三一班有25位同学报了合唱兴趣班，有32位同学报了美术兴趣班，其中有10位同学同时报了这两个兴趣班，三一班至少有（）位同学报了兴趣班．A．47 B．57 C．673. 学校音乐小组中会唱歌的有28人，会乐器的有22人，两项都会的有16人，音乐小组一共有（）人。

A．50 B．34 C．184. 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( ) A．150种B．180种C．300种D．345种5. 三（1）班有45人，每人都参加了跳绳比赛或跑步比赛．跳绳比赛的有28人，跑步比赛的有24人，两种活动都参加的有（）人．A．17 B．7 C．24二、填空题6. 求1到100内有____个数不能被2、3、7中的任何一个整除。

7. 三（1）班进行体育达标测试，参加的40人中每人至少有一项达标，立定跳远达标的有28人，50米跑达标的有32人。

立定跳远和50米跑都达标的有( )人。

8. 奶奶要来我家，我得准备准备，煮开水要10分钟，洗茶杯要2分钟，找茶叶1分钟，泡茶要1分钟，洗水果要2分钟，整理客厅要3分钟，最短需要_____分钟做完这些事情．9. 养牛场有2007头黄牛和水牛，其中母牛1105头，黄牛1506头，公水牛200头，那么母黄牛有____头。

10. 一个人用140元买了一件外衣、一顶帽子和一双鞋．外衣比帽子贵90元，外衣和帽子共比鞋贵120元．一双鞋( )元．三、解答题11. 甲、乙、丙同时给100盆花浇水．已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花最少有多少盆？12. 在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，请问恰好被3个人浇过的花最少有多少盆？13. 三年级有92个小朋友参加文艺会演,其中参加大合唱的有68人,参加舞蹈演出的有64人,每人至少参加一项表演,三年级既参加大合唱又参加舞蹈演出的有几人?14. 王强和李辉两人合租一套房子，客厅、厨房和厕所是两家合用的，在登记住房面积时，两家在登记表上填了如下数字（单位：平方米）：姓名客厅居室厨房厕所总面积王强18 18 10 6 52李辉18 20 10 6 54那么，他们租的这套房子共有______平方米．。

(完整版)容斥原理习题加答案

1.现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有( )A、27人B、25人C、19人D、10人【答案】B【解析】直接代入公式为：50=31+40+4－A∩B得A∩B=25，所以答案为B。

2.某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。

其中25％是白色的，75％是蓝色的。

如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？（）A、15B、25C、35D、40【答案】C【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A∩B，本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B，小号占50%，蓝色占75%，直接代入公式为：100=50+75+10－A∩B，得：A∩B=35。

3.某高校对一些学生进行问卷调查。

在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人，不参加其中任何一种考试的都15人。

问接受调查的学生共有多少人？（）A．120B．144C．177D．192【答案】A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字24，再推其他部分数字：根据每个区域含义应用公式得到：总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数＝63+89+47－{(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15＝199－{（x+z+y）+24+24+24}+24+15根据上述含义分析得到：x+z+y只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数，所以x+z+y的值为46人；得本题答案为120.4.对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。

其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有多少人（）A.22人B.28人C.30人D.36人【答案】A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字12，再推其他部分数字：根据各区域含义及应用公式得到：总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数100＝58+38+52－{18+16+（12+ x）}+12+0,因为该题中，没有三种都不喜欢的人，所以三集合之外数为0，解方程得到：x＝14。

容斥原理练习

容斥原理1.一个俱乐部，会下象棋的有69人，会下围棋的有58人，两种棋都不会下的人有12人，两种棋都会下的有30人，问这个俱乐部一共有多少人？2.一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手.又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手.最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手.求这个班语文、数学作业都完成的人数.3.调查一群小朋友最喜欢吃的水果中，有三种水果最喜欢（苹果、香蕉、草莓），每人都有自己喜欢吃的。

其中喜欢吃苹果的有20人，喜欢吃香蕉的有25人，喜欢吃草莓的有30人，既喜欢苹果又喜欢香蕉的有8人，既喜欢苹果又喜欢草莓的有7人，既喜欢香蕉又喜欢草莓的有6人，三种都喜欢的有4人，请问一共有多少个小朋友？4.对39种食物中是否含有甲、乙、丙三种维生素进行调查，结果如下：含甲的有17种，含乙的有18种，含丙的含有15种，含甲、乙的有7种，含甲、丙的有6种，含乙、丙的有9种，三种维生素都不含的有7种，则三种维生素都含的有多少种？5.一次考试共有两题，第一题做对有20人，其中5人第二题错了；第二题总共30人做对，有3人一道题都没做对，请问一共有多少人报名参加？6.光明小学举办学生书法展览.学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？7.在某个风和日丽的日子，10个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中6个人带了汉堡，6个人带了鸡腿，4个人带了芝士蛋糕，有3个人既带了汉堡又带了鸡腿，1个人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕。

2个人既带了汉堡又带了芝士蛋糕.问：（1）三种都带了的有几人？（2）只带了一种的有几个？8.有100名学生，按照1-100编号，面对老师站成一排，第一次让编号是2的倍数的学生向后转，第二次让编号为5的学生向后转，那么最后面对老师的学生有多少名？9.某学校五年二班参加语文、数学、英语三科考试，语文90分以上的有21人，数学有19人，英语有20人，语文数学都在90分以上的有9人，数学英语在90分以上的有7人，语文英语都在90分以上的有8人，另外有5人三科都在90分以下，这个班最多有多少人？10.一小偷藏匿于某商场，三名警察甲、乙、丙分头行动搜查商场的100家商铺.已知甲检查过80家，乙检查过70家，丙检查过60家，则三人都检查过的商铺至少有多少家？。

容斥原理题目

容斥原理题目
一场网球比赛中有10名选手参加。

每个选手都与其他9名选
手分别进行比赛，共进行了45场比赛。

求共有多少个场次的
比赛中至少有一名选手获胜。

解法：
设A为至少有一名选手获胜的场次数目，Ai为选手i获胜的
场次数目。

根据容斥原理，有：
A = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ A10
根据容斥原理公式，可得：
A = (A1 + A2 + ... + A10) - (A1 ∩ A2 + A1 ∩ A3 + ... + A9 ∩
A10) + (A1 ∩ A2 ∩ A3 + A1 ∩ A2 ∩ A4 + ... + A8 ∩ A9 ∩ A10) - ... + (-1)^9 * (A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ A10)
根据条件可知A1 + A2 + ... + A10 = 45，即第一个括号内的内
容为45。

然后计算两两交集，由于每个选手都与其他9名选手进行比赛，所以两两交集的结果为10 * 9。

然后计算三个选手的交集，由于每个选手都与其他9名选手进行比赛，所以三个选手的交集的结果为10 * 9 * 8。

依次类推，最后计算十个选手的交集，结果为10!（即10的
阶乘）。

将以上结果带入容斥原理公式中，可得：
A = 45 - (10 * 9) + (10 * 9 * 8) - ... + (-1)^9 * (10!) ≈ 3,628,800 - 3,628,800 + 1 - 0 + 0 - 0 + 0 - 0 + 0 - 0 = 1
所以共有1个场次的比赛中至少有一名选手获胜。

奥数容斥原理练习题

奥数容斥原理练习题1、六（1）班54名学生都订了报纸，其中订阅《儿童报》的有34人，订阅《少年的》的有30人，有多少订阅了两种报纸？2、1～200中，能被3和5整除的数共有多少个？3、1～1000中不能被5和7整除的数共有多少个？4、五（1）班有58人参与三项课外活动小组，其中32人参与文学组，24人参与美术组，30人参与音乐组，既参与文学组又参与美术组的有13人，既参与美术组又参与音乐组的有12人，既参与文学组又参与音乐组的有11人，三项活动小组都参与的有几人？5、康大六校五年二班学生参与语文、数学、英语三科考试，90分以上的语文有21人，数学有19人，英语有20人，语文、数学都在90分以上的有9人，数学、英语在90分以上的有7人，语文、英语都在90分以上的有8人，另有5人三科都在90分以下，这个班最多能有多少人？6、两辆汽车从A、B两地同时动身相向而行，客车每小时行32千米，货车每小时行30千米，两车相遇后又离去。

已知动身5小时后两车相距93千米，求AB两地相距多少千米？7、100个学生中，每人至少懂一种外语，其中75人懂法语，83人懂英语，65人懂日语，懂三种语言的有50人，懂得两种外语的有几人？8、100个青年中，会骑自行车的83人，会游泳的75人，两样都不会的有10人，两样都会的有几人？9、康大学校第14届秋季运动会中，参与100米短跑的共156人，比参与200米短跑的少40人，比参与50米短跑的多26人，同时参与100米和50米短跑的有74人，同时参与200米和100米的有80人，是同时参与50米和200米人数的2倍，同时参与50米、100米和200米的有30人，求这届运动会中参与50、100米和200米的共有多少人？10、五（6）班有54人参与秋游活动其中35人喜爱玩“捉特务”，45人喜爱玩“老鹰捉小鸡”，40人喜爱踢足球，50人喜爱跳牛皮筋，你是否可以确定这个班至少有多少学生对这四项活动都喜爱。

容斥原理习题集

1.一个班有45个小学生,统计借课外书的情况是:全班学生都借有语文或数学课外书.借语文课外书的有39人,借数学课外书的有32人.语文、数学两种课外书都借的有人.3.在1~100的自然数中,是5的倍数或是7的倍数的数有个.4.某区100个外语教师懂英语或俄语,其中懂英语的75人,既懂英语又懂俄语的20人,那么懂俄语的教师为人.5.六一班有学生46人,其中会骑自行车的17人,会游泳的14人,既会骑车又会游泳的4人,问两样都不会的有人.6.在1至10000中不能被5或7整除的数共有个.7.在1至10000之间既不是完全平方数,也不是完全立方数的整数有个.8.某班共有30名男生,其中20人参加足球队,12人参加蓝球队,10人参加排球队.已知没一个人同时参加3个队,且每人至少参加一个队,有6人既参加足球队又参加蓝球队,有2人既参加蓝球队又参加排球队,那么既参加足球队又参加排球队的有人.9.分母是1001的最简真分数有个.10.在100个学生中,音乐爱好者有56人,体育爱好者有75人,那么既爱好音乐,又爱好体育的人最少有人,最多有人.1．某班有40名学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加．那么有多少人两个小组都不参加?2．某班45个学生参加期末考试，成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文均得满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人．那么语文成绩得满分的有多少人?3．50名同学面向老师站成一行．老师先让大家从左至右按1，2，3，…，49，50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转．问：现在面向老师的同学还有多少名?4．在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券．按奖券标签号发放奖品的规则如下：①标签号为2的倍数，奖2支铅笔；②标签号为3的倍数，奖3支铅笔；③标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖；④其他标签号均奖1支铅笔．那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支?5. 有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一记号，每隔4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断．问绳子共被剪成了多少段?6. 东河小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的．现知道五、六年级共有25幅画，那么其他年级的画共有多少幅?7．有若干卡片，每张卡片上写着一个数，它是3的倍数或4的倍数，其中标有3的倍数的卡片占，标有4的倍数的卡片占，标有12的倍数的卡片有15张．那么，这些卡片一共有多少张?8．在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?9．五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人．求这个班的学生人数．10．甲、乙、丙都在读同-一本故事书，书中有100个故事．每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读．已知甲读了7.5个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事．那么甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有多少个?11．四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3．5倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．求参加文艺小组的人数．12．图书室有100本书，借阅图书者需在图书上签名．已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有33，44和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本．问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过?13．甲、乙、丙同时给100盆花浇水．已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花最少有多少盆?某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文小组有10人。

容斥原理(试题)六年级上册数学人教版

容斥原理容斥原理，也称为重叠原理或包含与排除原理。

原理一：两个集合A,B 相交合并成一个集合C,C 的元素个数等于A ，B 的个数和减去A 、B 的公共元素的个数，如下图所示：即：C=A+B-AB 或 AB=A+B-C原理二：三个集合A.B,C 两两都交合并点一个集合D.D 的元素个数等于A,B.C 的个数减去A.B.C 两两公共元素加上A.B.C 公共元素的个数。

如下图所示：即D=A+B+C-AB-BC-AC+ABC 或ABC=D+AB+BC+AC-A-B-C 。

1. 某校五年级举行语文和数学竞赛,参加人数占全年级人数的25，参加语文占竞赛人数的25，参加数学竞赛的占竞赛人数的34,两项都参加的有12人，全年级共有多少人？2.36名学生参加数学竞赛,答对第一题的有25人,答对第二题的有23人,两题都答对的有15人,两题都没答对的有多少人?3.50名同学面向老师站成一行,老师先让大家从左到右按1,2,3,......依次报数,再让报数是4的倍数的同学向后转,接着又让报数是6的倍数的同学向后转.问:现在面向老师的同学还有多少名?4.有一栋居民楼,每家都订不同的两份报纸,该居民楼共订了三种报纸,其中《楚天都市报》34份,《武汉晚报》30份,《武汉晨报》22份,那么订《武汉晚报》和《武汉晨报》的共有多少家？5、胜一小学六年级课外活动分体育、音乐、书法三个小组，分别有54人,46人.36人同时参加体育.音乐的有4人,同时参加体育书法的有7人.同时参加着乐,书法的有10人。

三个组都参加的有2人,参加课外活动一共多少人？6、桌子上放有甲,乙,西三个正方形;甲、丙重叠部分占甲正方面积的14,乙丙重叠都分占乙正方形面积的25,丙正方形与甲.乙正方形重叠部分占丙正方形面积的19,甲正方形和乙正方形面积的和是丙正方形面积的13,求甲正方形与乙正方形面积的最简整数比？7、某校五年级共有110人,参加语文、数学、英语三科活动小组,每人至少参加一组，已知参加语文小组的有52人,只参加语文小组的有16人;参加英语小组的有61人,只参加英语小组的有15人，参加数学小组的有63人,只参加数学小组的有21人.那么三组都参加的有多少人?8、一次数学竞赛,小王做对的题目占题目总数的23.小李做错5题,两人都做错的题数占题目总数的14,小王做对了多少题?9、某班有60人,其中42人会游泳，46人会骑车,50人会溜冰,55人会打乒乓球,可以肯定至少有多少人这四项都会?10、40名同学在做3道数学题时,有25人做对第一题,有28人做对第二题,有31人做对第三题,那么至少有多少人做对了三道题?11.某班有50名学生,在一次测验中有26人满分,在第二次测验中有21人满分。

竞赛辅导：容斥原理

竞赛辅导：容斥原理一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．（4分）在1到40这四十个自然数中选一些数组成数集，使其中任何一个数不是另一个数的2倍，则这个数集最多有（）个数．A． 20 B． 26 C． 30 D． 402．（4分）甲、乙、丙、丁四人排成一排照相，甲不排在首位，丁不排在末位，有（）种不同的排法．A． 14 B． 13 C． 12 D． 113．（4分）从1到1000中，能被2，3，5之一整除的整数有（）个．A． 767 B． 734 C． 701 D． 6984．（4分）从1到200中，能被7整除但不能被14整除的整数有（）个．A． 12 B． 13 C． 14 D． 155．（4分）A、B、C是面积分别为150、170、230的三张不同形状的纸片，它们重叠放在一起的覆盖面积是350，且A与B、B与C、A与C的公共部分面积分别是100、70、90．则A、B、C的公共部分面积是（）A． 12 B． 13 C． 60 D． 156．（4分）50束鲜花中，有16束插放着月季花，有15束插放着马蹄莲，有21束插放着白兰花，有7束中既有月季花又有马蹄莲，有8束中既有马蹄莲又有白兰花，有10束中既有月季花又有白兰花，还有5束鲜花中，月季花、马蹄莲、白兰花都有．则50束鲜花中，这三种花都没有的花束有（）A． 17 B． 18 C． 19 D． 20二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）7．（3分）一张正方形的纸片面积是50平方厘米，一张圆形的纸片面积是40平方厘米．两张纸片覆盖在桌面上的面积是60平方厘米，则这两张纸片重合部分的面积是_________ 平方厘米．8．（3分）某班有学生45人，已知某次考试数学30人优秀，物理28人优秀，数理两科都优秀的有20人．则数理两科至少有一科优秀的有_________ 人，一科都未达到优秀的有_________ 人．9．（3分）某班有学生50人，参加数学兴趣小组的有35人，参加语文兴趣小组的有30人，每人至少参加一个组，则两个组都参加的有_________ 人．10．（3分）一个数除以3余2，除以4余1，则这个数除以12的余数是 _________ ．11．（3分）每边长是10厘米的正方形纸片，正中间挖一个正方形的洞，成为一个边宽是1厘米的方框．把5个这样的方框放在桌上，成为如图这样的图形．则桌面上被这些方框盖住的部分面积是 _________ 平方厘米．12．（3分）200以内的正偶数中与5互质的数有 _________ 个．三、解答题（共17小题，满分0分）13．在线段AB上取两个点以C、D，已知AB=25，AD=19，CB=17，求CD长．16．求前500个正整数中非5、非7、非11的倍数的数的个数．17．某校初一年级有120名学生，参加体育、文学、数学兴趣小组的人数之和为135，其中，既参加了体育兴趣小组又参加了文学兴趣小组有15人，既参加了体育兴趣小组又参加了数学兴趣小组有10人，既参加了文学兴趣小组又参加了数学兴趣小组有8人，三个兴趣小组都参加的有4人，求三个兴趣小组都没有参加的人数．18．某班语文、数学、外语三门考试成绩统计结果如下：课程语文数学外语语、数数、外语、外至少一门得满分人数 9 11 8 5 3 4 18问：语文、数学、外语三门考试都得满分的人数是多少？19．求出分母是111的最简真分数的和．20．有1997盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着．现将其顺序编号为1，2，3，…，1997．将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，拉完后还有几盏灯是亮的？21．在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数有多少个？22．求1到100的自然数中，所有既不是2的倍数又不是3的倍数的整数之和S．23．求不大于500而至少能被2、3、5中一个整除的自然数的个数．24．求前200个正整数中，所有非2、非3、非5的倍数的数之和．25．某班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目、人数如下表求这个班的学生数．26．从1到1000000这一百万个自然数中，能被11整除而不能被13整除的数多还是能被13整除而不能被11整除的数多？27．50名学生面向老师站成一行，老师先让大家从左到右按1，2，3，…依次报数，再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数同学向后转，问此时还有多少同学面向老师？28．已知某校共有学生900名，其中男生528人，高中学生312人，团员670人，高中男生192人，男团员336人，高中团员247人，高中男团员175人，试问这些数据统计有无错误？29．从自然数序列：1，2，3，4，…中依次划去3的倍数和4的倍数，但其中5的倍数均保留．划完后剩下的数依次组成一个新的序列：1，2，5，7，…求该序列中第2002个数．竞赛辅导：容斥原理参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．（4分）在1到40这四十个自然数中选一些数组成数集，使其中任何一个数不是另一个数的2倍，则这个数集最多有（）个数．A． 20 B． 26 C． 30 D． 40考点：容斥原理．专题：推理填空题．分析： 1到40中所有的奇数有20个可以入选，在1到40所有的偶数中，奇数的2倍的数不能放进去，如2，6，10，14，18，22，26，30，34，38，40，然后可看出偶数4，12，16，20，28，36可以放进去即可．解答：解：∵1到40中所有的奇数有20个符合条件，而偶数4，12，16，20，28，36也符合条件， ∴这个数集最多有26个数，故选B．点评：本题考查了容斥原理，这些奇数比较容易找出，而偶数4，12，16，20，28，36较难找到．2．（4分）甲、乙、丙、丁四人排成一排照相，甲不排在首位，丁不排在末位，有（）种不同的排法． A． 14 B． 13 C． 12 D． 11考点：容斥原理．专题：应用题．分析：首先计算出甲、乙、丙、丁四人排成一排照相，则所有的排列方法和甲排在首位的排列方法，丁排在末位的排列方法，即可求解．解答：解：甲、乙、丙、丁四人排成一排照相，则所有的排列方法有：4×3×2×1=24种；甲排在首位的排列方法有：3×2×1=6种；丁排在末位的排列方法有：3×2×1=6种．则甲不排在首位，丁不排在末位，的排法有：24﹣6﹣6+2=14种．故选A点评：本题主要考查了排列的问题，容易出现的问题是忽视甲排在首位的排列方法，丁排在末位的排列方法，两种情况下有两个重复的情况，而错误的选C．3．（4分）从1到1000中，能被2，3，5之一整除的整数有（）个．A． 767 B． 734 C． 701 D． 698考点：容斥原理．专题：规律型．分析：找到能被2，3，5之一整除的所有整数求和，再减去能被2×3，2×5，3×5，整除的所有整数的和即可．解答：解：能被2整除的整数2×1，2×2，••，2×500；能被3整除的整数3×1，3×2，••，3×333；能被5整除的整数5×1，5×2，••，5×200；能被2×3整除的整数2×3×1，2×3×2，••，2×3×166；能被2×5整除的整数2×5×1，2×5×2，••，2×5×100；能被3×5整除的整数3×5×1，3×5×2，••，3×5×66；能被2×3×5整除的数有33个∴能被2，3，5之一整除的整数有500+333+200﹣166﹣100﹣66+33=734．故选B．点评：本题考查了有理数的除法运算，找规律是此题的难点．4．（4分）从1到200中，能被7整除但不能被14整除的整数有（）个．A． 12 B． 13 C． 14 D． 15考点：容斥原理．专题：计算题；数字问题．分析：首先找出从1到200中能被7整除的个数，再从里面去掉偶数，剩下的数不能被14整除，由此解决问题．解答：解：从1到200中能被7整除的数有7、14、21、28、…196（196=7×28）共28个数，因不能被14整除，去掉里面的偶数即可，正好有14个；故选C．点评：此题主要利用7的倍数找出从1到200中能被7整除的数，去掉里面包含被14整除的数即可解答．5．（4分）A、B、C是面积分别为150、170、230的三张不同形状的纸片，它们重叠放在一起的覆盖面积是350，且A与B、B与C、A与C的公共部分面积分别是100、70、90．则A、B、C的公共部分面积是（）A． 12 B． 13 C． 60 D． 15考点：容斥原理．专题：计算题．分析：首先根据题目说明，令A=150，B=170，C=230．根据容斥定理A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A﹣A∩B∩C 代入计算，即可求得A∩B∩C，也就是A、B、C的公共部分面积．解答：解：根据容斥定理：A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A﹣A∩B∩C∴A∩B∩C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A﹣（A+B+C）=350+100+70+90﹣（150+170+230）=60故选C．点评：本题考查了容斥定理．解决本题的关键是熟练掌握容斥定理的公式运算，及其含义．6．（4分）50束鲜花中，有16束插放着月季花，有15束插放着马蹄莲，有21束插放着白兰花，有7束中既有月季花又有马蹄莲，有8束中既有马蹄莲又有白兰花，有10束中既有月季花又有白兰花，还有5束鲜花中，月季花、马蹄莲、白兰花都有．则50束鲜花中，这三种花都没有的花束有（）A． 17 B． 18 C． 19 D． 20考点：容斥原理；推理与论证．专题：应用题．分析： 5束鲜花中月季花、马蹄莲、白兰花都有，那么只含有月季花和马蹄莲的有7﹣5=2束，那么只含有马蹄莲和白兰花的有3束，只含有月季花和白兰花的有5束，只含有月季花的为16﹣2﹣5﹣5=4束，只含有马蹄莲的有15﹣2﹣3﹣5=5束，只含有白兰花的有21﹣3﹣5﹣5=8束，50束去掉这些含有三种的，两种的，一种的就是不含有．解答：解：只含有月季花和马蹄莲的有7﹣5=2束只含有马蹄莲和白兰花的有8﹣5=3束只含有月季花和白兰花的有10﹣5=5束只含有月季花的为16﹣2﹣5﹣5=4束只含有马蹄莲的有15﹣2﹣3﹣5=5束只含有白兰花的有21﹣3﹣5﹣5=8束鲜花中月季花、马蹄莲、白兰花都含有的为5束50﹣2﹣3﹣5﹣4﹣5﹣8﹣5=18故选B．点评：本题考查理解题意的能力，找出所有含有月季花或马蹄莲或白兰花的花，剩下的就这三种花都没有．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）7．（3分）一张正方形的纸片面积是50平方厘米，一张圆形的纸片面积是40平方厘米．两张纸片覆盖在桌面上的面积是60平方厘米，则这两张纸片重合部分的面积是30 平方厘米．考点：容斥原理．专题：计算题．分析：两张纸片覆盖桌面，设覆盖区域内的面积包括A、B、C三部分，重叠部分为B，正方形包括A+B，圆部分包括B+C，则有A+B=50，B+C=40，A+B+C=60，求B，前两个式子相加，减去第3个式子即可．解答：解：设覆盖区域内的面积包括A、B、C三部分，重叠部分为B，∵正方形包括A+B，圆部分包括B+C，∴A+B=50，B+C=40，A+B+C=60，∴（A+B）+（B+C）﹣（A+B+C）=50+40﹣60=30（平方厘米），故答案为30．点评：本题考查了容斥原理，用正方形包括A+B，圆部分包括B+C表示出阴影部分的面积是解此题的关键．8．（3分）某班有学生45人，已知某次考试数学30人优秀，物理28人优秀，数理两科都优秀的有20人．则数理两科至少有一科优秀的有38 人，一科都未达到优秀的有7 人．考点：容斥原理．专题：计算题．分析：数理两科至少有一科优秀的人数等于数学优秀的人数加上物理优秀的人数，减去两科都优秀的人数，而一科都未达到的人数是总人数减去数理两科至少有一科优秀的人数．解答：解：数理两科至少有一科优秀的人数是：30+28﹣20=38人；一科都未达到优秀的有：45﹣38=7人．故答案是：38和7．点评：本题主要考查了对于容斥原理的应用，对于定理的认识是解决本题的关键．9．（3分）某班有学生50人，参加数学兴趣小组的有35人，参加语文兴趣小组的有30人，每人至少参加一个组，则两个组都参加的有15 人．考点：容斥原理．专题：应用题．分析：由于每人至少参加一个组，参加数学兴趣小组的人数与参加语文兴趣小组的人数和，把两个组都参加的人数算了两次，因此用它们的和去掉班内的学生人数即可解决问题．解答：解：参加数学兴趣小组的有35人，里面包含参加语文兴趣小组的人数，参加语文兴趣小组的有30人，里面包含参加数学兴趣小组的人数，因此35+30=65人，就把两个组都参加的人数算了两次，由此可知两个组都参加的人数为65﹣50=15人．故答案为15．点评：此题重在理解参加数学兴趣小组的人数里面包含参加语文兴趣小组的人数，参加语文兴趣小组的人数里面包含参加数学兴趣小组的人数，算出两个总人数，再利用容斥原理解答即可．10．（3分）一个数除以3余2，除以4余1，则这个数除以12的余数是 5 ．考点：带余除法；容斥原理．分析：利用带余数的除法运算性质，将这个数看成A+B，A为可以被12整除的部分，B则为除以12的余数，得出A可以被3或4整除，再结合已知这个数除以3余2，除以4余1，得出B也相同，归纳出符合要求的只有5．解答：解：将这个数看成A+B，A为可以被12整除的部分，B则为除以12的余数．A可以被12整除，则也可以被3或4整除．因为这个数“除以3余2，除以4余1”，所以B也是“除以3余2，除以4余1”，又因为B是大于等于1而小于等于11，在这个区间内，只有5是符合的．故答案是：5．点评：此题主要考查了带余数的除法运算，假设出这个数，分析得出符合要求的数据．11．（3分）每边长是10厘米的正方形纸片，正中间挖一个正方形的洞，成为一个边宽是1厘米的方框．把5个这样的方框放在桌上，成为如图这样的图形．则桌面上被这些方框盖住的部分面积是 172 平方厘米．考点：容斥原理．专题：计算题．分析：首先求得一个方框的面积，5个方框的面积的和减去重合部分的面积即为所求，重合部分的面积等于8个边长是1的正方形的面积的和．解答：解：一个方框的面积是：102﹣（10﹣2）2=100﹣64=36五个方框的重合部分的面积=8．则方框盖住的部分面积是：36×5﹣8=172cm2．故答案是：172．点评：本题主要考查了图形面积的计算，正确计算一个方框的面积和重合部分的面积是解决本题的关键．12．（3分）200以内的正偶数中与5互质的数有 80 个．考点：容斥原理．专题：计算题．分析：首先找出200以内的偶数有100个，去掉能被5整除的偶数（即末尾为0的偶数）有20个，由此解决问题．解答：解：200以内的偶数很显然有100个，被5整除的偶数（即末尾为0的偶数）有10、20、30、…200共20个，剩下的100﹣20=80个正偶数都与5互质；故答案为80．点评：此题主要利用偶数的性质以及被5整除数的特征来进行分析，再进一步利用容斥原理解决问题．三、解答题（共17小题，满分0分）13．在线段AB上取两个点以C、D，已知AB=25，AD=19，CB=17，求CD长．考点：比较线段的长短；容斥原理．专题：计算题；数形结合．分析：先由BD=AB﹣AD求出BD的长度，然后BC减去BD即可得出答案．解答：解：由题意得：BD=AB﹣AD=6，∴DC=BC﹣BD=17﹣6=11．点评：本题考查求线段长度的知识，比较简单，注意利用已知线段表示出未知线段从而得出答案．16．求前500个正整数中非5、非7、非11的倍数的数的个数．考点：容斥原理．专题：计算题．分析：利用总个数500减去，是5的倍数，7的倍数，11的倍数的数即可求解．解答：解：前500个正整数中是5的倍数的数有500÷5=100个；∵500÷7=71，∴前500个正整数中是7的倍数的数有71个；∵500÷11=45，∴前500个正整数中是11的倍数的数有45个；既是5的倍数又是7的倍数的数一定是35的倍数，500÷35=14=14，则是35的倍数的有14个；既是5的倍数又是11的倍数的数一定是35的倍数，500÷55=9，则是55的倍数的有9个；既是7的倍数又是11的倍数的数一定是77的倍数，500÷77=6，则是77的倍数的有6个；同时是5，7，11的倍数的数，一定是385的倍数，只有1个．则前500个正整数中非5、非7、非11的倍数的数的个数是：500﹣100﹣71﹣45+14+9+6﹣1=312个．点评：本题主要考查了数的容斥性，正确确定是5的倍数，7的倍数，11的倍数的总个数是解题的关键．17．某校初一年级有120名学生，参加体育、文学、数学兴趣小组的人数之和为135，其中，既参加了体育兴趣小组又参加了文学兴趣小组有15人，既参加了体育兴趣小组又参加了数学兴趣小组有10人，既参加了文学兴趣小组又参加了数学兴趣小组有8人，三个兴趣小组都参加的有4人，求三个兴趣小组都没有参加的人数．考点：容斥原理．分析：利用，参加体育、文学、数学兴趣小组的人数之和为135，去掉参加了两项的人数，加上三个兴趣小组都参加的人数，最后再加上三个兴趣小组都没有参加的人数即为全班人数即可解答．解答：解：参加体育、文学、数学兴趣小组的人数总和为135，里面包含参加了两项的人数，这是总人数为135﹣15﹣10﹣8=102，又因参加两项的人数的里面包含了三个兴趣小组都参加的人数，上面的算式相当于把个兴趣小组都参加的人数减去了两次，这时人数应加上，人数为102+4=106人，要再加上三个兴趣小组都没有参加的人数即为全班人数，由此可知三个兴趣小组都没有参加的人数为120﹣106=14．答：三个兴趣小组都没有参加的人为14人．点评：本题利用容斥原理解决问题，关键是理清参加体育、文学、数学兴趣小组的人数之和为135，即包含了参加了两项的人数，又包含三个兴趣小组都参加的人数．18．某班语文、数学、外语三门考试成绩统计结果如下：课程语文数学外语语、数数、外语、外至少一门得满分人数 9 11 8 5 3 4 18问：语文、数学、外语三门考试都得满分的人数是多少？考点：容斥原理．专题：应用题．分析：令语文、数学、外语得满分的人集合为A、B、C．根据表及题目说明，则原题可改写为A∪B∪C=18，A=9，B=11，C=8，A∩B=5，B∩C=3，A∩C=4，求A∩B∩C．再利用容斥定理求解．解答：解：令语文、数学、外语得满分的人集合为A、B、C．根据容斥原理有 A∪B∪C=（A+B+C）﹣（A∩B+B∩C+A∩C）+A∩B∩C 得：A∩B∩C=A∪B∪C﹣（A+B+C）+（A∩B+B∩C+A∩C）=18﹣（9+11+8）+（5+3+4）=2人．答：语文、数学、外语三门考试都得满分的人数是2人．点评：本题考查容斥定理的应用．解决本题的关键是首先理清题意，将原题用交并集改写，再利用容斥定理来加以解决．19．求出分母是111的最简真分数的和．考点：容斥原理．分析：根据111的因数的3和37，则不是最简分数，且分母是111的真分数，分子一定是3或37的整数倍，求出分子是3的倍数的，分母是111的所有真分数的和，分子是37的倍数的，分母是111的所有真分数的和以及分母是111的所有真分数的和即可求解．解答：解：∵111=3×37分子是3的倍数的，分母是111的所有真分数的和是：++…+=3×（）=18；分子是37的倍数的，分母是111的所有真分数的和是：+==1分母是111的所有真分数的和是：++…+==55．则分母是111的最简真分数的和是：55﹣18﹣1=36．点评：本题主要考查了容斥原理，正确理解不是最简分数，且分母是111的真分数，分子一定是3或37的整数倍是解决本题的关键．20．有1997盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着．现将其顺序编号为1，2，3，…，1997．将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，拉完后还有几盏灯是亮的？考点：容斥原理．专题：计算题．分析：先求出2的倍数的灯数，为998，再求出3的倍数的灯数，为665，求出5的倍数的灯数，为399；以上相加，然后再减去6倍的灯数，10的倍数的灯数，15的倍数的灯数，再加上30的倍数的灯数，最后列式计算即可．解答：解：①．被拉了三次的灯，为2、3、5的最小公倍数，也就是=66②．被拉了两次的灯，也就是求2和3、3和5、2和5的最小公倍数的和，这里注意要扣除被重复拉的灯（也就是2、3、5三个数的最小公倍数）：++﹣3×66=466③．被拉了一次的灯，++﹣2×466﹣3×66=932那么最后亮着的灯的数量：1997﹣66﹣932=999点评：本题考查了容斥原理，在1至1997这些连续整数中求得2，3，5，6，10，15，30的倍数的个数是解此题的关键．21．在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数有多少个？考点：容斥原理．专题：计算题；数字问题．分析：分析：根据容斥原理，应是200减去能被2整除的整数个数，减去能被3整除的整数个数，还要加上既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数．解答：解：在1到200的整数中，能被2整除的整数个数为：2×1，2×2，…，2×100，共100个；在1到200的整数中，能被3整除的整数个数为：3×1，3×2，…，3×66，共66个；在1到200的整数中，既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数为：6×1，6×2，…，6×33，共33个；所以，在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数个数为：200﹣100﹣66+33=67（个）答：在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数个数为67个．点评：本题考查容斥定理．解决本题的关键是分清在1到200的整数中，仅能被2整除的数个数，仅能被3整除的数个数，既能被2整除又能被3整除（即能被6整除的整数个数，公共部分）．22．求1到100的自然数中，所有既不是2的倍数又不是3的倍数的整数之和S．考点：容斥原理；数的整除性．专题：计算题．分析：先分别计算出所有自然数的和、所有2的倍数的自然数和、所有3的倍数的自然数和、所有6的倍数的自然数和，然后根据容斥定理即可得出答案．解答：解：1到100的自然数中，所有自然数的和是：1+2+3+…+100=5050，1到100的自然数中，所有2的倍数的自然数和是：2×1+22+…+2×50=2×（1+2+3+…+50）=2×1275=2550，1到100的自然数中，所有3的倍数的自然数和是：3×1+3×2+…+3×33=3×（1+2+3+…+33）=3×561=1683，1到100的自然数中，所有既是2的倍数又是3的倍数，即是所有6的倍数的自然数和是：6×1+6×2+…+6×16=6×（1+2+3+…+16）=6×136=816，∴1到100的自然数中，所有既不是2的倍数又不是3的倍数的整数之和S=5050﹣2550﹣1683+816=1633．点评：本题考查了数的整除性的知识，难度不算太大，注意分别求出各类数之和，运用容斥定理进行解答．23．求不大于500而至少能被2、3、5中一个整除的自然数的个数．考点：容斥原理．专题：计算题．分析：如图，用3个圆A、B、C分别表示不大于500而能被2、3、5整除的自然数，A∩B表示既能被2整除又能被3整除的自然数，A∩C表示既能被2整除又能被5整除的自然数，B∩C表示既能被3整除又能被5整除的自然数，A∩B∩C表示既能被2整除又能被3整除，还能被5整除的自然数由图可看出：属于A、B、C之一的数的﹣（|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|）+|A∩B∩C|个数为：|A|+|B|+|C|解答：解：不大于500且能被2整除的自然数的个数是：250不大于500且能被3整除的自然数的个数是：166不大于500且能被5整除的自然数的个数是：100不大于500既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的自然数的个数是：83不大于500既能被2整除又能被5整除，即能被10整除的自然数的个数是：50不大于500既能被3整除又能被5整除，即能被15整除的自然数的个数是：33不大于500既能被2整除又能被3整除，还能被5整除，即能被30整除的自然数的个数是：16由容斥原理得：不大于500而至少能被2、3、5中一个整除的自然数的个数是：250+166+100﹣（83+50+33）+16=366．点评：本题考查数的整除性问题，解决本题的关键是运用交并集来解决．24．求前200个正整数中，所有非2、非3、非5的倍数的数之和．考点：容斥原理．专题：应用题．分析：首先求得前200个正整数的和；前200个正整数中，所有2的倍数的正整数和；前200个正整数中，所有3的倍数的正整数和；前200个正整数中，所有5的倍数的正整数和；前200个正整数中，所有既是2的倍数又是3的倍数，即是6的倍数的正整数和；前200个正整数中，所有既是2的倍数又是5的倍数，即是10的倍数的正整数和；前200个正整数中，所有既是3的倍数又是5的倍数，即是15的倍数的正整数和；前200个正整数中，所有既是2的倍数又是3的倍数还是5的倍数，即是30的倍数的正整数和．再利用容斥定理，计算符合条件的结果．解答：解：前200个正整数的和是：1+2+3+…+200=20100前200个正整数中，所有2的倍数的正整数和是：2×1+2×2+…+2×100=2×（1+2+3+…+100）=2×5050=10100前200个正整数中，所有3的倍数的正整数和是：3×1+3×2+…+3×66=3×（1+2+3+…+66）=6633前200个正整数中，所有5的倍数的正整数和是：5×1+5×2+…+5×40=5×（1+2+3+…+40）=4100前200个正整数中，所有既是2的倍数又是3的倍数，即是6的倍数的正整数和是：6×1+6×2…+6×33=6×（1+2+3+…+33）=3366前200个正整数中，所有既是2的倍数又是5的倍数，即是10的倍数的正整数和是：10×1+10×2+…+10×33=10×（1+2+3+…+20）=2100前200个正整数中，所有既是3的倍数又是5的倍数，即是15的倍数的正整数和是：15×1+15×2+…+15×13=15×（1+2+3+…+13）=1365前200个正整数中，所有既是2的倍数又是3的倍数还是5的倍数，即是30的倍数的正整数和是：30×1+30×2+…+30×6=30×（1+2+3+4+5+6）=630所以，前200个正整数中，所有非2、非3、非5的倍数的数之和是S=20100﹣（10100+6633+4100）+（3366+2100+1365）﹣630=630点评：本题考查了数的整除性的知识，难度不算太大，注意分别求出各类数之和，运用容斥定理进行解答．25．某班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目、人数如下表求这个班的学生数．考点：容斥原理．专题：应用题．分析：首先令短跑测试人数为A、游泳测试人数为B、篮球测试人数为C．根据题目说明及表将原题改写为： A=17，B=18，C=15，A∪B=6，B∪C=6，A∪C=5，A∩B∩C=2，求A∪B∪C的值．再利用容斥定理加以解决．解答：解：有4名学生在这三个项目都没有达到优秀，在每个单项上达到优秀的人数分别是17，18，15，因而，总人数是17+18+15+4=54，但其中有人获得两项优秀，所以上面的计数产生了重复，重复人数应当减去，即总人数变为：54﹣6﹣6﹣5=37，又考虑到获得三项优秀的人，他们一开始被重复计算了三次，但在后来又被重复减去了三次，所以最后还要将他们加进去．即这个班学生数为：37+2=39．点评：本题考查容斥定理，如用常规的方法作合并运算时会把重复的部分多算，需要减去；作排除运算时会把重复部分多减，采用容斥原理加以解决就避免了这些问题，因而同学们一定要灵活掌握容斥定理的定义及公式．26．从1到1000000这一百万个自然数中，能被11整除而不能被13整除的数多还是能被13整除而不能被11整除的数多？考点：容斥原理；数的整除性．分析：设1到1000000这一百万个自然数中，能被11整除而不能被13整除的数有m个，能被13整除而不能被11整除的数有n个，既能被11又能被13整除的数有p个．先求得，能被11整除数有90909个，则m+p=90909；再求得能被13整除数有76923个，则n+p=76923，由m+p＞n+p 得m＞n，从而得出结论．解答：解：设1到1000000这一百万个自然数中，能被11整除而不能被13整除的数有m个，能被13整除而不能被11整除的数有n个，既能被11又能被13整除的数有p个．而在1到1000000这一百万个自然数中，能被11整除数有90909个，∴m+p=90909在1到1000000这一百万个自然数中，能被13整除数有76923个，∴n+p=76923∵m+p=90909＞n+p=76923，∴m+p＞n+p，即m＞n，即能被11整除而不能被13整除的数比能被13整除而不能被11整除的数多．点评：本题考查了容斥原理和数的整除性问题，求得能被11整除而不能被13整除的数的个数，能被13整除而不能被11整除的数的个数，既能被11又能被13整除的数的个数，是解此题的关键．27．50名学生面向老师站成一行，老师先让大家从左到右按1，2，3，…依次报数，再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数同学向后转，问此时还有多少同学面向老师？。

组合数学第二章《容斥原理》习题

第二章容斥原理习题
1，求出110000
之间不能被4，5，和6 整除的整数个数。

2，求出110000
之间不能被4，6，7，10整除的整数个数。

3，求出110000
之间既不是完全平方数，也不是完全立方数的整数个数。

4，求出1250
之间能被2，3，5，7中任一个整除的整数个数。

5，求出1500
之间，有多少个不能被7整除，但能被3和5整除的整数个数。

6，某校足球队有38人，篮球队有15人，棒球队20人。

3个队队员总数为58人，且其中只有3人同时参加3个队，试求同时参加两队的队员有多少人？
7，确定多重集{4,3,4,5}
= 的12－组合数。

S a b c d
8，面包店出售巧克力的、肉桂的与素的面包圈，并在一特定时刻有6个巧克力的、6个肉桂的和3个素的面包圈。

如果一个盒子装12个面包圈，那么在这一特定时刻可能有多少种不同的盒装面包圈组合？
9，确定{1,2,3,4,5,6,7,8}
S=的没有偶数在它的自然位置上的排列数。

10，确定{1,2,,8}
的恰有4个整数在它们的自然位置上的排列数。

11，确定{1,2,,9}
的至少有一个奇数在它们的自然位置上的排列数。

12，求多重集{3,4,2}
= 的排列数，其中同一种字母的全体不得连续出现（例如，
S a b c
abbbbcaac是不允许的，abbbcaacb而是允许的）。

容斥原理练习题小升初课外专题练习题

容斥原理练习题一、内容讲解：（一）先计算所有的数目，再把重复的数目排斥出去，这样的方法叫容斥原理。

（二）容斥原理的基础公式：A＋B－C=总数/ A＋B－C＋D=总数例1、五年级学生喜欢打篮球的有24人，喜欢踢足球的有30人，两种都喜欢的有15人，两种都不喜欢的有10人，五年级一共有多少人？例2、一个班有45个小学生，统计借课外书的情况是：全班学生都借有语文或数学课外书，借语文课外书的有39人，借数学课外书的有32人语文、数学两种课外书都借的有多少人？例3、某区100个外语教师懂英语或俄语，其中懂英语的75人，既懂英语又懂俄语的20人，那么懂俄语的教师为多少人？例4、六一班有学生46人，其中会骑自行车的17人，会游泳的14人，既会骑车又会游泳的4人，问两样都不会的有多少人？例5、有两块一样长的木板，各长130厘米，中间钉在一起后成了一块长木板，中间钉在一起的重叠部分时10厘米，长木板的长度是多少？练习：1、有两块一样长的木板，各长130厘米，中间钉在一起后成了一块长木板，中间钉在一起的重叠部分时10厘米，长木板的长度是多少？2、老师出了两道数学题，在40人中，做对第一题的有31人，做对第二题的有28人，每人至少做对一道，两道题都做对的有几人？3、三（1）班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种，已知参加赛跑的有36人，参加跳绳的有38人。

问两项比赛都参加的有几人？4、某班共有42人，参加美术小组的有11人，参加陶艺小组的有15人，有6人两个小组都参加。

这个班既没参加美术小组也没参加陶艺小组的有多少人？5、学校组织语文、数学两门学科的竞赛，一个班有30人参加数学竞赛，35人参加语文竞赛，有18人参加了这两门学科竞赛，没有参加竞赛的有3人。

这个班有多少人？（三）有三个量时，一般公式为：A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC＋D=总数。

例6、全班学生40人，爱好音乐的有18人，爱好舞蹈的有21人，爱好美术的有9人，既爱好音乐又爱好舞蹈的有3人，既爱好音乐又爱好美术的有1人，但没有人这三种都爱好，也没有人这三种都不爱好。

容斥原理习题

容斥原理1、全班同学每人至少买一种课外书，有25人买语文课外书，31人买数学课外书，8人既买语文课外书又买数学课外书，这个班级有多少同学?2、从1到100的自然数中，既不是3的倍数又不是7的倍数的数有多少个？3、50名学生面向老师站成一行，按老师口令从左至右顺序报数：1,2,3…报完后，老师让所报的数是4的倍数的同学向后转，接着又让所报的数是6的倍数的同，学向后转。

问：现在仍面对老师的有多少名同学?4、光明小学举办学生书法展览。

学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？5、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。

其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。

语文、数学都优秀的有多少人？6、某年级的课外小组分为美术、音乐、手工三个小组，参加美术小组有20人，参加音乐小组有24人，参加手工小组有31人，同时参加美术和音乐两个小组有5人，同时参加音乐和手工两个小组有6人，同时参加美术和手工两个小组的有7人，三个小组都参加的有3人，这个年级参加课外小组的同学共有多少人？7、有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。

第一次达到优秀的有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀的有15人，三次都达到优秀的只有1人。

只有两次达到优秀的有多少人？8、某个班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名同学在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目，人数有91%的人第四季度全勤，该企业全年全勤者至少占职工的百分之几？10、文艺演出队中会唱歌的28人，会跳舞的19人，既会唱歌又会跳舞的15人，这个队共有多少人能参加演出？11、某班共30人，其中15人喜欢篮球运动，10人喜欢乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的有多少人？12、小明家养了白鸡和芦花鸡共30只，其中有18只母鸡，已知白公鸡有9只，芦花鸡有19只。

六年级容斥原理练习题

六年级容斥原理练习题
容斥原理是概率论中的一个重要原理，可以用于解决涉及多个事件的概率计算问题。

在六年级数学中，我们也可以运用容斥原理来解决一些错排、组合问题等。

以下是一些关于容斥原理的练习题，供同学们进行练习。

练习题1：
某班有30位学生，其中15人喜欢音乐，20人喜欢体育，10人既喜欢音乐又喜欢体育。

请问至少有多少位学生既不喜欢音乐也不喜欢体育？
练习题2：
甲、乙、丙三位同学是某班的值日生，每周值日一天。

如果要求甲同学在星期一值日，乙同学在星期三值日，丙同学在星期五值日，那么这样的安排共有多少种？
练习题3：
某班有30位学生，其中15人喜欢英语，18人喜欢数学，12人喜欢音乐。

其中恰好3人即喜欢英语又喜欢数学，4人既喜欢英语又喜欢音乐，5人既喜欢数学又喜欢音乐。

请问这个班级有多少人？
练习题4：
在一个小说比赛中，参赛者需要选择一个主题，主题共有A、B、C 三个选项。

每个参赛者必须选择一个主题进行创作，并且选定主题后
不能更换。

如果有10位参赛者，其中有4位选择了A主题，3位选择
了B主题，2位选择了C主题，1位参赛者选择了两个主题。

那么最终
有多少位参赛者选择了至少一个主题？
练习题5：
小明有5个相同的红球，4个相同的绿球，3个相同的蓝球。

他希
望从中选择4个球放入一个盒子里，要求盒子中至少有一种颜色的球。

那么小明一共有多少种不同的放球方法？
通过以上几道练习题，我们可以较好地掌握容斥原理在解决数学问
题中的运用。

希望同学们能够认真思考并正确解答，提高数学问题解
决能力。

容斥原理50经典例题

容斥原理50经典例题容斥原理是组合数学中的一种重要方法，用于解决包含重叠部分的计数问题。

它在解决排列组合问题时有着广泛的应用，能够帮助我们更快速、更准确地求解问题。

接下来，我们将通过50个经典例题来深入理解容斥原理的应用。

1. 有一个集合包含了1至100的整数，求这个集合中既不是3的倍数，也不是5的倍数的整数个数。

解析，首先，我们可以分别求出是3的倍数和是5的倍数的整数个数。

然后利用容斥原理求出既不是3的倍数，也不是5的倍数的整数个数。

2. 在1至100的整数中，有多少个整数的个位和十位数字都不是7？解析，我们可以利用容斥原理来求出个位是7的整数个数，十位是7的整数个数，然后再利用容斥原理求出个位和十位都是7的整数个数，最后用总数减去这个数就是答案。

3. 有A、B、C三个班，A班有50个学生，B班有60个学生，C班有70个学生，求至少有一个班有学生参加了篮球比赛的方案数。

解析，我们可以利用容斥原理来求出每个班都没有学生参加篮球比赛的方案数，然后用总数减去这个数就是答案。

4. 在1至100的整数中，有多少个整数的各位数字和为偶数？解析，我们可以利用容斥原理来求出各位数字和为奇数的整数个数，然后用总数减去这个数就是答案。

5. 有一个集合包含了1至100的整数，求这个集合中既不是2的倍数，也不是3的倍数的整数个数。

解析，首先，我们可以分别求出是2的倍数和是3的倍数的整数个数。

然后利用容斥原理求出既不是2的倍数，也不是3的倍数的整数个数。

6. 有A、B、C三个班，A班有50个学生，B班有60个学生，C班有70个学生，求至少有一个班有学生参加了足球比赛但没有参加篮球比赛的方案数。

解析，我们可以利用容斥原理来求出每个班都没有学生参加足球比赛但没有参加篮球比赛的方案数，然后用总数减去这个数就是答案。

7. 在1至100的整数中，有多少个整数的各位数字和为7的倍数？解析，我们可以利用容斥原理来求出各位数字和不是7的倍数的整数个数，然后用总数减去这个数就是答案。

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2.某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。

其中25％是白色的，75％是蓝色的。

3.某高校对一些学生进行问卷调查。

公务员行测考试容斥问题速解宝典题集

公务员行测考试容斥问题速解宝典题集IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】公务员行测考试容斥问题速解宝典题集一、两集合类型1.解题技巧题目中所涉及事物属于两集合时，容斥原理适用于条件与问题都可以直接带入公式题目，如下：A∪B=A+B-A∩B快速解题：总数=两集合之和+两集合之外数-两集合公共数。

2.真题示例【例1】现有50名学生都做物理，化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对有：A27人B25人C19人D10人【解析】B。

50=31+40+4-A∩B，得A∩B=25。

二、三集合类型1.解题步骤解题步骤分三步：①画文氏图；②弄清图形中每一部分所代表含义；③代入公式(A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C)进行求解。

2.解题技巧解题技巧主要包括一个计算公式和文氏图。

总数=各集合数之和-两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数3.真题示例【例2】某高校对一些学生进行问卷调查。

在接受调查的学生中，准备参加会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人，不参加任何一种考试的有15人。

问接受调查问卷的学生共有多少人？【解析】A。

填充三个集合公共部分数字24；根据每个区域含义应用公式：总数=各集合之和-两两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数=63+89+47-{(x+24)+(z+24)+(y+24)｝+24+15=199-{(x+y+z)+24+24+24｝+24+15。

x+y+z只属于两集合数之和，该题所讲只选择两种考试参加人数，所以x+y+z值为46人；得本题答案为120。

【例3】对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。

其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有多少人?人人人人【解析】A。

容斥原理练习题

容斥原理练习题
1、有两块一样长的木板，各长130厘米，中间钉在一起后成了一块长木板，中间钉在一起的重叠部分时10厘米，长木板的长度是多少？
2、把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板。

中间重叠部分长11厘米。

这两块木板各长多少厘米？
3、老师出了两道数学题，在40人中，做对第一题的有31人，做对第二题的有28人，每人至少做对一道，两道题都做对的有几人？
4、三（1）班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种，已知参加赛跑的有36人，参加跳绳的有38人。

问两项比赛都参加的有几人？
5、某班共有42人，参加美术小组的有11人，参加陶艺小组的有15人，有6人两个小组都参加。

这个班既没参加美术小组也没参加陶艺小组的有多少人？
6、盛夏，有10个同学去冷饮店，向服务员交出需要的冷饮数统计表：有6个人要可可，有5个人要咖啡，有5个人要果汁，有3人既要可可又要咖啡；有2人既要咖啡又要果汁；有3人既要可可又要果汁；有一人三样都要，问几人没有吃冷饮？
7、五年级有54人参加三项课外活动，每人至少参加一项，有32人参加科技组，27人参加书法组，20人参加体育组，其中参加科技又参加体育的有10人，而参加科技又参加书法的有14人，既参加体育又参加书法的有4人，问三项都参加的有几人？
8、.某班学生参加语文、数学、英语三科考试，语文、数学、英语优秀的学生分别有302 825人，语文数学、语文英语、数学英语都优秀的学生分别有201617
优秀的有10人。

问语文、数学、英语？。

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