5 容斥原理与鸽笼原理
武大计院组合数学PPT第3章容斥原理和鸽巢原理
设 Ai 为不超过120,但被i整除的数的集合, i=2,3,5,7
A2
120 2
60
A3
120 3
40
A5
120 5
24
A7
120 7
17
A2 A3
120 6
20
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容斥原理
2 3 5
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容斥原理
例3.10 错排问题 设 Ai (i 1,2,, n) 表示i在第i位排列的集合，则有
Ai (n 1)!, i 1,2,, n
Ai Aj (n 2)!, i, j 1,2,, n, i j ，…
A2 A5
120 10
12
A3 A5
120 15
8
A2 A7
120 14
8
A3 A7
120 21
5
A5 A7
120 35
3
A2 A3 A5
120 30
4
(1)n | A1 A2 An |
证 任取S中的一个元素a，
(1) 若a不具有这n个性质中的任何一个，则a对方 程左端的贡献为1，而对方程右端的贡献为
1 0 0 0 (1)n 0 1
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容斥原理
(2) 若a具有这n个性质中的m个，则a对方程左端 的贡献为0，而对方程右端的贡献为
容斥原理
令U为全体非负整数解，A1为其中x1>5的整数解， A2为其中x2>6的整数解，A3为其中x3>7的整数解。 则|U|=C(17,2)。A1相当于求线性方程 (x1+6)+x2+x3=15
的非负整数解，其个数为|A1|=C(9+3-1,9)=C(11,2)。 类似有：|A2|=C(8+3-1,8)=C(10,2)， |A3|=C(7+3-1,8)=C(9,2)。
A B C U A BC A A C A B B B C C 871.
例6 求由abcd这4个字符构成的n位符号串中，a、b、 c都至少出现一次的数目。 令A、B、C分别表示不出现a、b、c的符号串的集合。 A中不出现a，即符号串的每一位只能取bcd之一， 有三种选择，因此|A|=3n。 类似有|B|=|C|= 3n ， |A∩B|=|B∩C|=|A∩C|= 2n，|A∩B ∩C |= 1n=1，|U|= 4n。 因此满足条件的符号串的数目为：
例10 第二类Stirling数，是指m个不同的球放到n个 相同的盒子里，且无一空盒的方案数。 先考虑盒子都不相同的情形。 令Ai (i=1,2,…,n)表示第i个盒子为空的放法的集合。 则显然有|U|=nm，|Ai|=(n-1)m。 类似有：|Ai∩Aj|=(n-2)m， |Ai∩Aj∩Ak|=(n-3)m，… 因此第二类Stirling数为： n ! S ( m, m ) A1 A2 ... An
例如60=22×3×5，所以
y( n) = 60(1 1 / 2)(1 1 / 3)(1 1 / 5) 16,
即比60小且与60互素的数有16个： 1，7，11，13， 17, 19, 23，29，31，37，41，43，47，49，53，59。
证明鸽笼原理
证明鸽笼原理鸽笼原理（简称鸽原）是一种经济学理论，指的是只要某个行业中的主要竞争者把竞争力投入到抢占市场份额，就会陷入一种“鸽笼”状态，使得参与者在不断地投入资源和精力，而却无法获得更多的利润和份额。
本文将要介绍的是鸽笼原理的历史背景、发展过程、定义、机制和证明方法。
一、历史背景鸽笼原理最初由美国经济学家劳伦斯·米勒（Lawrence es）提出，他把这个理论命名为“鸽笼效应”，也叫“米勒效应”。
其实，这个概念的起源要追溯到古希腊哲学家亚里士多德（Aristotle），他曾提出“把鸽子放进笼子里，它们会相互竞争，但最终都会被困住”。
然而，米勒是第一个把这个概念应用于经济学的人。
二、发展过程在米勒的著作《竞争市场的结构》中，他研究了在竞争市场中，企业间竞争的动态演变，发现，当一个行业的主要竞争者都试图把竞争力投入到抢占市场份额时，企业会形成一种“鸽笼”状态，使参与者在不断地投入资源和精力，而却无法获得更多的利润和份额。
到了20世纪80年代，这一理论又得到了经济学家米勒和沃尔特·福特（Walter Ford）的进一步阐释，他们把这种状态称为“鸽笼原理”。
他们认为，参与者通过短期成本权衡和投入竞争力，在长期将会被困在一个“鸽笼”状态中，从而失去更多的利润。
三、定义鸽笼原理是指，当企业之间存在竞争关系时，只要有企业试图把竞争力投入到抢占市场份额，就会陷入一种“鸽笼”状态，使参与者在不断投入资源和精力，而却无法获得更多的利润和份额。
四、机制鸽笼原理的机制主要有两个方面：（1）竞争关系。
鸽笼原理的发生是由竞争关系所引起的。
这种竞争关系可以是价格竞争、产品竞争、技术竞争等。
企业之间竞争，会导致企业必须不断投入资源和精力，以抢占市场份额。
（2）成本权衡。
参与竞争的企业，都会考虑短期的成本权衡，也就是说，企业会考虑眼下的成本投入，而忽略长期的成本投入。
这种短期成本权衡，会导致企业在长期将会被困在一个“鸽笼”状态中，从而失去更多的利润。
第2章组合2
mk1 = mk2 = ⋅ ⋅ ⋅ = mkn+1
其中, 其中 1≤k1<k2<…kn+1≤n2+1。 。
(2.3)
下证子序列
a k1 , ak 2 ,⋅ ⋅ ⋅, a k n+1
(2.4)
是递减的。 若不然， 是递减的 。 若不然 ， 则存在 i, j ∈{1, 2…, n+1}， i<j ， 有 aki < ak j 。 为首位的最长递增子序列之前， a ki 放在以 a k 为首位的最长递增子序列之前，则 为首位的递增子序列， 可得到一个以 a k i 为首位的递增子序列，这表明 m k > m k ， 此时若把
设有2个红球 个白球 个蓝球和 个黑球, 个红球, 个白球, 个蓝球和5个黑球 例 8 设有 个红球 3个白球 4个蓝球和 个黑球 同色球 均相同, 求从这些球中取出10个球的组合数 个球的组合数。 均相同 求从这些球中取出 个球的组合数。 为从给定的四类球（假定都有足够多的数量） 解 令 S 为从给定的四类球（假定都有足够多的数量） 中取出10个球的组合所构成的集合， 中取出 个球的组合所构成的集合，则 个球的组合所构成的集合
令 mi 为以 ai 为首项的最长递增子序列的 长度， 长度， i =1,2,…, n2+1。由假设 。 mi<n+1 （mi≤n） ）
同时 mi≥1，所以 ， 1≤mi≤n 而 mi 有 n2+1 = n [(n+1)-1]+1 个， 由推论4， 个相同的数。 由推论 ，在 m1, m2,…, m n 2 +1 中必存在 n+1个相同的数。 个相同的数 不妨设
(1.2)
(2.2)
容斥原理和鸽巢原理的应用
容斥原理和鸽巢原理的应用容斥原理的基本概念容斥原理是组合数学中一种重要的计数原理，用于解决涉及多个集合的问题。
它的核心思想是通过排除掉重复计数的部分，得到不重复计数的结果。
容斥原理通常用于解决集合交、并、差等操作的计数问题。
容斥原理的表述设A₁，A₂，…，Aₙ为n个集合，容斥原理可以表述为：| A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ Aₙ | = ∑ | Ai | - ∑ | Aᵢ⋂ Aₙ | + ∑ | Ai ⋂ Aₙ ⋂ Ak | - ... + (-1)ⁿ₋₁ | A₁ ⋂ A₂ ⋂ ... ⋂ Aₙ |其中，| · |表示集合的元素个数，∪表示集合的交集，⋂表示集合的并集，⋂表示集合的交集，(-1)ⁿ₋₁表示取负号。
容斥原理的应用解决排列组合问题容斥原理在解决排列组合问题时非常有用。
例如，考虑一个由A、B、C三个字母组成的长度为4的字符串，要求字符串中至少包含两个字母相同的个数。
使用容斥原理可以很方便地解决这个问题。
设集合A为满足至少包含两个A的字符串，集合B为满足至少包含两个B的字符串，集合C为满足至少包含两个C的字符串。
根据容斥原理，可以得到满足条件的字符串个数为：| A ∪ B ∪ C | = | A | + | B | + | C | - | A ⋂ B | - | A ⋂ C | - | B ⋂ C | + | A ⋂ B ⋂ C |其中，| A |表示满足至少包含两个A的字符串个数，| A ⋂ B |表示满足至少包含两个A和两个B的字符串个数，以此类推。
解决整数划分问题整数划分问题是指将一个正整数n划分成若干个正整数之和的问题。
使用容斥原理可以很好地解决这个问题。
设集合Aᵢ表示正整数划分中至少出现i个特定数（例如2）的划分集合。
根据容斥原理，可以得到正整数划分的个数为：| A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ Ak | = ∑ | Ai |其中，Ai表示正整数划分中至少出现i个特定数的划分个数。
容斥原理与鸽巢原理的应用
容斥原理与鸽巢原理的应用1. 容斥原理容斥原理是组合数学中一种重要的计数技巧，常用于解决计数问题。
它利用集合的互斥与包含关系，将复杂的计数问题转化为简单的计数问题。
下面是容斥原理的应用方式：1.基本容斥原理：对于给定的一组事件A1, A2, …, An，它们的概率分别为P(A1), P(A2), …, P(An)，则这些事件的并集的概率P(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An)可以通过容斥原理计算得到。
2.二项式系数的应用：容斥原理还可以应用于计算二项式系数的求和，通过利用二项式系数性质和容斥原理的结合，可以简化求和式，加快计算速度。
3.容斥原理在组合数学中的应用：容斥原理在组合数学中经常用于计算排列组合问题，例如求解某些集合的大小、某些集合的交集、某些集合的并集等问题。
2. 鸽巢原理鸽巢原理，也称为抽屉原理，是组合数学中一个基本原理。
它的核心思想是：如果有n个物体要分配到m个容器中，且n>m，则至少有一个容器中会有两个或更多的物体。
下面是鸽巢原理的应用方式：1.分配问题：鸽巢原理可以应用于分配问题，例如某考试有n个学生和m个座位，如果n>m，则根据鸽巢原理可以得出至少有一个座位会被两个或者更多的学生占据。
2.概率问题：鸽巢原理可以用于解决概率问题，例如抛掷两个骰子，如果将两个骰子的点数总和视为一个数，那么总有两个骰子的点数总和相等，这是由鸽巢原理保证的。
3.鸽巢原理在密码学中的应用：鸽巢原理在密码学中也有广泛的应用，例如在哈希函数中，将大量的输入映射到有限的输出空间中，根据鸽巢原理，总会存在多个输入被映射到同一个输出。
3. 容斥原理与鸽巢原理的应用案例下面是容斥原理与鸽巢原理的具体应用案例：1.求解集合的大小：假设有两个集合A和B，分别包含n个元素和m个元素，求解它们的并集A ∪ B的大小。
根据容斥原理，可以通过计算A和B的大小以及它们的交集A ∩ B的大小，来求解并集的大小。
具体计算公式为：|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|。
第04讲-计数问题-容斥原理与鸽笼原理_图文
解（续）
利用容斥原理，并代入已知条件得 24＝13＋5＋10＋9－2－4－4－4－0－0
＋0＋0＋0＋|A∩C∩D|－0。 得：|A∩C∩D|＝1，即同时会英、德、法语的只有 1人。
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例2.4.3 解（续）
设只会英、日、德、法语的人数分别为x1,x2,x3,x4 ，则
x1＝|A|－|(B∪C∪D)∩A| ＝|A|－|(B∩A)∪(C∩A)∪(D∩A)|
的基本概念，它们之间关系和相应的计算公式 ； 3. 容斥原理和鸽笼原理的基本概念及正确使用；
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习题类型
（1）基本概念题：涉及离散概率的基本概念； （2）计算题：涉及排列数与组合数的计算，利用 容斥原理的计算，离散概率的计算和递归关系的建 立与求解； （3）证明题：涉及对鸽笼原理的应用。
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习题
第44-45页
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定理2.4.1
设A和B是任意有限集合，有 A-B
|A∪B| = |A|＋|B|－|A∩B|。
U
分析 由图容易看出，
A B
A∪B = (A - B)∪(A∩B)∪(B - A)，
B-A
|A∪B| = |A-B|+|A∩B|+|B-A|
A = ( A - B)∪(A∩B)
|A| = |A-B|+|A∩B|
= 41， 即结论得证。
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2.5 离散概率简介
概率(Probability)是17世纪为分析博弈游戏 而发展起来的学科，最初计算概率仅有计数一种方 法。
本节主要介绍离散概率的基本概率、基本性质 和概率计算的简单例子。
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2.8 本章总结
1. 乘法原理和加法原理的基本含义； 2. r-排列，全排列，环形r排列，环排列，r-组合
鸽笼原理及其应用
鸽笼原理及其应用鸽笼原理是组合数学中最基本的计数原理之一，它是解决许多涉及存在性问题的有用工具.十九世纪德国数学家Dirichlet 曾用该原理证明过数学命题，因此也称为Dirichlet 原理.许多关于组合数学方面的教材给出了鸽笼原理的简单形式，一般形式以及加强形式.下面我们就这三个不同层次分别展开来看其等价形式，并对解决同一问题加以比较以取得最优方法.(为对比方便，以下不论是定理还是推论均以形式命名)1鸽笼原理的种种形式1.1 鸽笼原理的简单形式形式1[]()1711P (通俗表述) 如果n ＋1只鸽子飞进n 个鸽笼，则必有一个鸽笼，该鸽笼里至少有2只鸽子.形式2[]()1711P 设A 是有限集，A ≥1+n ，i A ⊆A (i ＝1，2，… ，n )且1nii A =U ＝A ，则必有正整数k (1≤k ≤n )，使得|k A |≥2.证明 用反证法.设i A ≤1(i ＝1，2，… ，n )，有A ＝Y n i i A1=≤∑=n i i A 1≤n ，这与A ≥1+n 的假设矛盾，所以必有正整数k (1≤k ≤n )，使得|k A |≥2.证毕.[]()1711P 形式3[]()P715 若R 是从A 到B 的关系，则有(1)存在a ∈A ，使)(a R ≥R /A ；(2)存在a ∈A ，使)(a R ≤R /A ；(3)存在b ∈B ，使)(1b R -≥R /B ；(4)存在b ∈B ，使)(1b R -≤R /B .说明 一组数不可能都大于(或小于)其平均数.形式4[]()P715 若f :A →B 是一函数且A ＝B ＋1，则存在b ∈B ，使|1-f (b )|≥2.形式5 设n 个元素按任一确定的方式分成m 个集合，如果m ＜n ，那么必有一个集合至少含有两个元素.形式6[]()P2123 设A 、B 为两个有限集合，若A ＞B ，则从A 到B 的任意函数f :A →B ，必有1a ，2a ∈A ，且1a ≠2a ，使得f (1a ) ＝f (2a ).结合以上几种形式，我们通过例题来看一下具体应用.例1 任给n （n ＞1）个自然数，其中必有两个数的差是 n －1的倍数. []()P96证明一（通俗证明） 任意一个自然数被 n －1除的余数只能是0，1，2，… ，n －2共 n －1种，根据所得余数，可以把所有自然数分为 n －1类:{余数为0的自然数}，{余数为1的自然数}，… ，{余数为n －2的自然数}，把它们看作 n －1个鸽笼，余数相同的自然数在同一笼里.任取n 个数则必有两个数出自同一鸽笼中，也就是这两个数除以n －1所得余数相同，所以用大数减去小数，它们的差就是 n －1的倍数.证毕. []()P96证明二（用形式2） 设A ＝{1a ，2a ，… ，n a }，(i a 为任给的n 个自然数)，i A ＝{被 n －1除余数为i 的自然数j a ，i ＝0，1，… ，n －2}，因为 A ＝n ，∑-20n i ＝i A ＝ n －1，所以由形式2，则必有正整数k (1≤k ≤ n －1)，使得|k A |≥2.即至少存在2个自然数，不妨设为k a ，l a ，被 n －1除余数为k ，则 n －1整除k a －l a .证毕.证明三（用形式4） 设A ＝{1a ，2a ，… ，n a }，(i a 为任给的n 个自然数)，B ＝{0b ，1b ，… ，2-n b }，（j b 为i a 被 n －1除余数为j 的自然数），f :A →B 是一函数且A ＝B ＋1， 则由形式4，则存在b ∈B ，使|1-f (b )|≥2.不妨设f (1a )＝f (2a )＝b （见形式6），则 n －1整除1a －2a .证毕.从这道例题的证明中可看出证明一有些烦琐，没有证明二，三那么简洁明了，另外我们可以看到证明三综合了两种形式，这就使得该题的解决更加简单且容易理解和掌握.1.2鸽笼原理的一般形式形式7[]()P1741 如果m （m ≥2）只鸽子飞进n 个笼子，则必有一个笼子，该笼子里至少有11+⎥⎦⎥⎢⎣⎢-n m 只鸽子. 形式8[]()P1741 设A 是m （m ≥2）元集，i A ⊆A (i ＝1，2，… ，n )且1nii A =U = A ，则必有正整数k (1≤k ≤n )，使得|k A |≥11+⎥⎦⎥⎢⎣⎢-n m .证明 用反证法.设i A ≤⎥⎦⎥⎢⎣⎢-n m 1 (i ＝1，2，… ，n )，则i A ≤nm 1-(i ＝1，2，… ，n )，从而A ＝Y n i i A 1=≤∑=n i i A 1≤n ·n m 1-＝1-m ，这与A ＝m 的假设矛盾.所以必有正整数k (1≤k ≤n )，使得|k A |≥11+⎥⎦⎥⎢⎣⎢-n m .证毕. []()P1741例2 一写着 “马（H ）”，“兵（S ）”，“炮（C ）”的牌，一套牌是指三马，三兵，三炮，或马兵炮，试证:任意5张牌中必存在一套牌. []()P715证明 ①若5张牌不缺花式，则存在一套马兵炮牌，结论得证.②证明一（用形式8）:若缺一种花式，比如H ，设A ＝{1a ，2a ，3a ，4a ，5a }代表5张牌之集，B ＝{S ，C}代表两种花式之集.由于A ＝5，i A ⊆A (i ＝1，2)且Y 21=i iA ＝A ，所以由形式8 ，必有正整数k (1≤k ≤5)，使得|k A |≥1215+⎥⎦⎥⎢⎣⎢-＝3.证毕. 若用形式1证明②，可看作5只鸽子飞进2个鸽笼，则必有一个鸽笼里至少有两只鸽子，很明显，这样得不出要证的结论，所以用形式1证明该题不可行.同理，用形式2，形式5和形式6均得不出结论，可见选择形式对解问题还是很重要的.那么②的证明方法就此一种吗？不是的，下面介绍它的其他证明形式.形式9 把多于m ×n 只鸽子，按任意确定的方式分放在n 个鸽笼里，那么至少有一个鸽笼有m ＋1或多于m ＋1只鸽子.我们用形式9来证明例2②证明二（用形式9） 把两种花式作为两个鸽笼，n ＝2，而5＞2×2，所以由形式9，m ＝2，则至少有一个鸽笼有3或多于3只鸽子，即5张牌中必存在一套牌.证毕.在第三部分将介绍它的加强证明形式.形式10 设有无穷多只鸽子按任一确定方式分成有限个鸽笼，那么至少有一个鸽笼含有无穷多只鸽子.形式11[]()P725 设f :A →B 是可列无穷集A 到有限非空集B 的函数，则必存在b ∈B ，使|1-f (b )|为可列无穷集.形式12 n 只鸽子飞回m 个互不相干的笼里（n ＞m ），则总存在一个最大鸽笼至少有⎥⎥⎤⎢⎢⎡m n 只鸽子，一个最小笼里至多有⎥⎦⎥⎢⎣⎢m n .其中当n ＝q m ＋r (0≤r ＜m )时，⎥⎥⎤⎢⎢⎡m n =⎩⎨⎧≠+=时当时当0,10,r q r q ；⎥⎦⎥⎢⎣⎢m n ＝q .（⎡⎤x 是上整数，指不小于x 的最小整数；⎣⎦x 是下整数，指不大于x 的最大整数）. 例3 11个人进入4个房间，人数最多的房间里至少有几个人，人数最少的房间里至多有几个人？ 解（由形式12） 人数最多房间至少有⎥⎥⎤⎢⎢⎡411＝3个人，人数最少的房间里至多有⎥⎦⎥⎢⎣⎢411＝2个人.像这种类型的题目只能用形式12，其他形式无法解决.1.3鸽笼原理的加强形式形式13[]()P1761 设A 是有限集，1q ，2q ，… ，n q 都是正整数，如果A ≥1q ＋2q ＋…＋n q －n ＋1，i A ⊆A (i ＝1，2，… ，n )且1n i i A =U =A ，则必有正整数k (1≤k ≤n )，使得|k A |≥k q .证明 若不然，i A ≤i q －1(i ＝1，2，… ，n )，此时A ＝Y n i i A1=≤∑=n i i A 1≤∑=-n i i q 1)1(＝1q ＋2q ＋…＋n q －n ，这与A ≥1q ＋2q ＋…＋n q －1+n 矛盾.所以必有正整数k (1≤k ≤n )，使得|k A |≥k q .证毕.[]()P1761 形式14[]()P715 若f :A →B 是一函数，且B ＝{1b ，2b ，…，k b }，则有(1)若A ＝1a ＋2a ＋…＋k a －k ＋1，则存在i b ∈B ，使|1-f(i b )|≥i a ； (2)若A ＝1a ＋2a ＋…＋k a ＋k －1，则存在i b ∈B ，使|1-f(i b )|≤i a . 现在我们用形式14来证明例2②. 证明三（用形式14） 若缺一种花式，比如H ，定义函数f :A →B ，其中A ＝{1a ，2a ，3a ，4a ，5a }代表5张牌之集，B ＝{S ，C}代表两种花式之集. 由于A ＝5＝3＋3－2＋1，利用形式14（1），k ＝2，1a ＝2a ＝3，必存在|1-f (S)|≥3或|1-f (C)|≥3，即存在一套三兵或三炮的牌.证毕.综合例2②的三个证明方法可见证明二最通俗且容易让人理解.形式15[]()P1761 设A 是有限集，A ≥（m －1）n ＋1，i A ⊆A (i ＝1，2，… ，n )且1nii A =U =A ，则必有正整数k (1≤k ≤n )，使得|k A |≥m .形式16[]()P1771 设1q ，2q ，… ，n q 都是正整数，如果1q ＋2q ＋…＋n q ≥（m －1）n ＋1，则必有正整数k (1≤k ≤n )，使得k q ≥m .例4 随意地给正十二边形的12个顶点，编上号码1，2，… ，12，求证:必有一个顶点，该顶点及与之相邻的两个顶点的号码之和不小于20.证明一 (用形式16 ) 以1A ，2A ，… ，12A 表示正十二边形的12个顶点，以i q （i=1， 2，… ，12）表示顶点i A 及与i A 相邻的两个顶点的号码之和，则1q ＋2q ＋…＋12q ＝（1＋2＋…＋12）×3＝234＞(20－1) ×12＋1，由形式16，必有正整数k (1≤k ≤12)，使得k q ≥20. 这表示必有一顶点，该顶点及与之相邻的两个顶点的号码之和不小于20.证毕.证明二 (用形式15) 因为i A ＝i 且Y 121=i iA ＝A ， A ＝234＞(20－1) ×12＋1所以存在正整数k (1≤k ≤12)，使得k A ≥20.证毕.通过以上几个例子利用不同形式的证明，我们可以看到形式对题，思路清晰，题目迎刃而解，如果知识片面，只知一种形式，而不知其他形式，对解题不仅无益，而且可能以为用鸽笼原理解决不了此问题.另外，在具体解决问题时并不是死板地用一种形式，几种形式混用可以使解题更容易，步骤更简捷，这就需要我们牢固的掌握知识，达到灵活运用的程度.故将鸽笼原理各种形式整理，归纳，以供学习者参考和学习.以下让我们看几个鸽笼原理在现实生活中的实际应用.2鸽笼原理在现实生活中的应用2.1电脑算命现在不少人（包括一些大学生在内）在各种心理驱使下在电脑前算自己的命运，他们相信电脑算“命”准确率更高，并且乐此不疲，深信不疑.殊不知电脑算命充其量不过是一种电脑游戏而已，只要应用鸽笼原理就能揭穿它.分析 我们都知道“电脑算命”就是要你报出自己出生的年月日和性别，一按按键，屏幕上就会出现有关你自己性格，前途，命运，家庭，爱情，疾病等所谓的“命”.若以70年计算，按出生年月日和性别不同组合数应为70×365×2＝51100，我们把它作为鸽笼数，再以我国现有人口数12.6亿，我们把它作为鸽子.由于1.26×910＝24657×51100＋27300根据鸽笼原理的形式15，存在24657个以上的人，尽管他们的出身，经历，天资，机遇各不相同，但他们的“命”是完全相同的，这显然是站不住脚的.比如，这里面有一个人被推断将来会做联合国秘书长或国家主席，那么应该还同时有24657个联合国秘书长或国家主席，这可能吗？2.2三个陌生人和三个朋友(Ramsey 原理)任意六个人当中必存在三个人互相认识或三个人互相不认识.分析 若将6人编号1p ，2p ，3p ，4p ，5p ，6p ，除1p 以外5人可分为两个集合，A 和B ，A ＝{与1p 认识的人}，B ＝{与1p 不认识的人}.由形式7得:11+⎥⎦⎥⎢⎣⎢-n m ＝1215+⎥⎦⎥⎢⎣⎢-＝3，即A 和B 中有一集合至少有3个人，不妨设此3人为2p ，3p ，4p ，若2p ，3p ，4p 在A 中，则2p ，3p ，4p 或者彼此不认识，此时命题为真；或者至少有2人互相认识，不妨设2p ，3p ，则1p ，2p ，3p 三人彼此相识.同理，若2p ，3p ，4p 在B 中命题亦成立.2.3得分相同若301人的150分制总分为22651分，则至少有3人得分相同.分析 把此题翻译成鸽笼原理的语言，则为:301只鸽子飞回所设计的151只笼子（视0分，1分，… ，150分为笼子）利用反证法，若无3人以上得分相同（即不能有3鸽以上共笼）由形式12至少有⎥⎦⎥⎢⎣⎢151301＝2人得分相同，不难得知，必存在一个满射，使得150只笼内为双鸽共笼，余下一只单鸽进入单笼，这样，最大总分为2∑=1501i i ＋0＝22650＜22651，此为不可能，从而命题必真. 2.4小魔术 一袋多于四只的大小相同的球，只有红，蓝，黄三种颜色，只要任意取出四只球，其中至少有两只是同色的，乍一看很出奇，其实原理很简单.分析 若将红，蓝，黄三种颜色作为三个鸽笼，把任意取出的四只球作为鸽子，则根据形式7，必有⎥⎦⎥⎢⎣⎢-314＋1＝2只球是同色的. 2.5姓名的幸运指数前不久看见校门外围好多同学，说是只要花一元在那个机器里输入自己的姓名、出生年月日和时辰就会输出一张纸，写着姓名的幸运指数及评语，有的同学姓名的幸运指数高，欢呼雀跃，喜溢于面；有的同学则相反，很懊恼，抱怨父母起的名字不好.如果他们早知道这是一种游戏，也许就不会有那么大的情绪波动.分析中华五千年，炎黄子孙无数，人名亦无数，这些姓名与出生年月日，时辰的不同组合数可视为无数，我们将这个数字看成鸽子数，把1分到100分这100个数字看成鸽笼数，则由形式10或11可得肯定存在一些不同姓名，出生年月日和时辰都不相同的人姓名幸运指数相同，但他们一生的运气却不一定完全相同.所以我们同学要端正态度，破除迷信，崇尚科学.最后，请读者根据鸽笼原理的合适形式自己来证明其荒谬性，从而树立科学的价值观，人生观，爱情观和世界观.2.6食指显露你的爱情观一个人的爱情观，可以从其右手食指指纹看得出来.日本富士通电公司在互联网利用指纹辨认装置作出一项性格调查，并且利用指纹将人们的爱情观分为了八类.准确率很高哦!大家去看看，自己属于哪一类吧.提示:【男女一样看右手】A.【弓状纹】——表示你对恋人极为忠诚，温柔体贴，唯一的缺点是有欠热情.B.【突起弓状纹】——则显示就算你已有固定的恋人，但只要看见出色的异性出现便会双眼发光，理由是你不断需要新鲜感.C.【左流蹄状纹】——爱情方面十分被动，只会静待对方表态，将对方想得太理想化.D.【右流蹄状纹】——会长时间观察对方，如发现性格不合便分手，可是又不能忘记过去，甚至难开始新的一页.E.【袋形蹄状纹】——天生是个浪漫主义者，一旦有了对象，便会在脑里想得天花乱坠，完全欠冷静.【注:请注意与涡状纹的区分】F.【二重蹄状纹】——代表你头脑清醒，不爱被人穷追不舍，却向往天长地久的爱情.G.【涡状纹】——证明你经常憧憬着罗曼蒂克的爱情，可是却不懂表达自己的感觉，往往让机会溜走.【注:圆一点也算涡状纹，请注意与袋状纹的区分】H.【不规则纹】——恋爱际遇较为波折，这可能与你意气用事有关，要谅解对方的心情才行.2.7发短信测你在他人心中位置我在你心中如用物来形容:天空、海洋、森林、小溪、跑车、小屋子、田园、水果、白云、微风答案:天空:难忘的人；海洋:讨厌的人；森林:托付终身的人；小溪:普通朋友；跑车:憎恨的人；小屋子:容易忘却的人；田园:初恋；水果:最爱的人；白云:知己；微风:师长.。
离散数学复习资料试卷习题与答案
离散数学总复习资料一、鸽笼原理与容斥原理1．求证边长为1的正方形中放9个点，由这些点构成的三角形中，必有一个三角形面积小于18。
证：把该正方形均分成四个相同的小正方形，则由鸽笼原理知，必有一个小正方形内存在三个点，且这三个点构成的三角形面积小于18。
# 2．对一列21n +个不同整数，任意排列，证明一定存在长为1n +的上升子序列或下降子序列。
证：设此序列为：2121,,,,,k n a a a a +，从k a 开始上升子序列最长的长度为k x ，下降子序列最长的长度为k y ，每一个k a 2(1,2,,1)k n =+都对应了(,)k k x y 。
若不存在长为1n +的上升子序列或下降子序列，那么,k k x n y n ≤≤，形如(,)k k x y 的不同点对至多有2n 个，而k a 有21n +个，则由鸽笼原理知，必有,i j a a 2(11)i j n ≤<≤+同时对应(,)i i x y =(,)j j x y ，由于i j a a ≠，若i j a a <，则i x 至少比j x 大1，若i j a a >，则i y 至少比j y 大1，这均与(,)i i x y =(,)j j x y 矛盾。
故原命题成立。
#3．求}100,,2,1{ 中不被3、4、5整除的个数。
解： 设A 表示}100,,2,1{ 中被3整除的数的集合，B 表示}100,,2,1{ 中被4整除的数的集合，C 表示}100,,2,1{ 中被5整除的数的集合，则20,25,33===C B A6,5,8=⋂=⋂=⋂A C C B B A ， 1=⋂⋂C B A ，进而有C B A A C C B B A C B A C B A ⋂⋂+⋂-⋂-⋂-++=⋃⋃601658202533=+---++= 故有4060100=-=⋃⋃-=⋃⋃C B A U C B A即}100,,2,1{ 中不被3、4、5整除的个数为40。
第3章 容斥原理与鸽巢原理
(1) n A1 A2 ... An 1
16
3.2 容斥原理
A1 A2 ... An 1 An ( A1 A2 ... An 1 ) An A1 A2 ... An 1 An ( A1 A2 ... An 1 ) An
Ai Aj (n 2)!, i 1, 2,..., n, i j
25
3.3 容斥原理举例
每个元素都不在原来位置的排列数为
A1 A2 ... An n ! C (n,1)(n 1)! C (n, 2)(n 2)! (1) n C (n, n)1! 1 1 n 1 n !(1 (1) ) 1! 2! n!
两个集合并集的元素个数：
A B A B A B
U A
A B
B
9
3.2 容斥原理
定理： A B C A B C A B
| AC | B C A B C
证明：
根据
A B C ( A B) C A B C ( A B) C
定理：设 A1, A2 ,..., An 是有限集合，则
A1 A2 ... An Ai Ai Aj + Ai Aj Ak ...
i 1 i 1 j i i=1 j>i k>j n n n
(1) n 1 A1 A2 ... An
B
A B C
C
11
3.2 容斥原理
• 【例】一个学校只有三门课程：数学、物理、化学。已 知修这三门课的学生分别有170、130、120人；同时修 数学、物理两门课的学生45人；同时修数学、化学的20 人；同时修物理化学的22人。同时修三门的3人。问这 学校共有多少学生？ • （解）令：M为修数学的学生集合； • • P 为修物理的学生集合； C 为修化学的学生集合；
容斥原理和鸽巢原理
故 有 | A ||B || C | 3n , | A B || B C || A C | 2n , | A B C | 1
容斥原理：容斥原理和鸽巢原理
最简单的计数问题是求有限集合A和B的并的元素数目。显然有
定理：
A A B B
U
定理：容斥原理和鸽巢原理
A B
U
A B C
A C B C
C
容斥原理和鸽巢原理 例：一个学校只有三门课程：数学、物理、化学。已知修这三门课的学生分别有
170、130、120人；同时修数学、物理两门课的学生45人；同时修数学、化学的20人；同 时修物理化学的22人。同时修三门的3人。问这学校共有多少学生？
解：令，M为修数学的学生集合； P 为修物理的学生集合； C 为修化学的学生集合；所以有
| M | 170,| P | 130,| C | 120,| M P | 45, | M C | 20,| P C | 22,| M P C | 3
容斥原理和鸽巢原理
即学校学生数为336人。
一般地，我容们斥可原得理定理和：鸽巢原理
容斥原理和鸽巢原理 a，b，c至少出现一次的n位符号串集合即为
所以有 | A B C | 4n | A B C | 4n (| A | |B | | C |) (| A B | | B C |
| A C |) | A B C | 4n 3 3n 3 2n 1
全体减去属于A的元素的个数。一般有：
| A1 Am | N | A1 | | Ai Aj |
组合数学第三章容斥原理和鸽巢原理
§3.3 例
A 4!, B 5!, A B 3!.
根据容斥原理，不出现ace和df的排列数 为：
A B
=6!- (5!+4!)+3!=582
§3.3 例 例2 求从1到500的整数中能被3或5
除尽的数的个数。 解： 令A为从1到500的整数中被3除 尽的数的集合，B为被5除尽的数的集合
§3.2 容斥原理
3的倍数是：3，6，9，12，15， 18。 6个 但答案不是10+6=16 个，因为6， 12，18在两类中重复计数，应减 去。故答案是：16-3=13
§3.2 容斥原理
容斥原理研究有限集合的交或并 的计数。 [DeMorgan定理] 论域U，补集 A
A {x | x U 且x A} ,有
n 1 k 1
( Ai
i 1
(1)
k 1
k 1
I∈￠(n-1,k) i∈I
Ai An (1)
k 1
( Ai
iI
An )
I∈￠(n-1,k)
§3.2
容斥原理
n 1 k 1
A
i 1 n k 2
n 1
i
( 1)
k 2
I∈￠(n-1,k)
例
§3.2 容斥原理
令：M为修数学的学生集合； P 为修物理的学生集合； C 为修化学的学生集合；
M 170, P 130, C 120, M P 45 M C 20, P C 22, M P C 3
§3.2 容斥原理
M P C MPCM PM M CP CM P C 170 130 120 45 20 22 3 336
鸽巢原理+容斥原理
组合数学初步
计算机及信息工程学院
鸽巢原理
23
组合数学初步
计算机及信息工程学院
鸽巢原理
鸽巢原理是组合数学中最简单也是最基本的原理， 也叫抽屉原理。 原理描述：若有n个鸽子巢，n+1只鸽子，则至 少有一个鸽子巢里住着两只鸽子。 定理（鸽巢原理） 如果把n+1个物体放入n个盒 子，那么至少有一个盒子中有两个或更多的物品。
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组合数学初步
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容斥原理
由|A∩B∩C|=8 |A∩B|=33 |A∩C|=25 |B∩C|=41 |A|=200 |B|=166 |C|=125 所以由容斥原理，不能被5，6和8整除的整数的个数为 |~A∩~B∩~C| =|E|-（|A|+|B|+|C|）+（|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|）-|A∩B∩C| =600
⋯⋯⋯ | Ai1 ∩ Ai2 ∩ ... ∩ Aik |= (n − k )! ⋯⋯⋯ | A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An |= 0!
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组合数学初步
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错排问题
定理 用Dn表示{1, 2, …, n}的全部错排个数，则
Dn =| A 1 ∩ A 2 ∩ ... ∩ A n | n n n n = n !− (n − 1)!+ (n − 2)!− ... + (−1) 0! 1 2 n 1 1 n 1 = n !(1 − + − ... + (−1) ) 1! 2! n!
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组合数学初步
计算机及信息工程学院
错排问题
例 在8个字母ABCDEFGH的全排列中，求 （1）仅ACEG四个字母不在原来位置上的排列数 （2）只有4个字母不在原来位置的排列数 （3）ACEG四个字母不在原来上的排列数 解 （1）8个字母中仅ACEG四个字母不在原来位置 上，其余4个字母保持不动，相当于4个元素的错排
抽屉原理（又名：鸽笼原理）
抽屉原理（又名：鸽笼原理）编辑本段常见形式第一抽屉原理原理1：把多于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。
证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，故不可能。
原理2 ：把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体。
证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能。
原理3 ：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。
原理1 、2 、3都是第一抽屉原理的表述。
第二抽屉原理把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。
证明（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能。
编辑本段应用基本介绍应用抽屉原理解题抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。
许多有关存在性的证明都可用它来解决。
例1：同年出生的400人中至少有2个人的生日相同。
解：将一年中的365天视为365个抽屉，400个人看作400个物体，由抽屉原理1可以得知：至少有2人的生日相同. 400/365=1…35,1+1=2又如：我们从街上随便找来13人，就可断定他们中至少有两个人属相相同。
“从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。
” “从数1，2，...，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。
” 例2：幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理. 解：从三种玩具中挑选两件，搭配方式只能是下面六种：（兔、兔），（兔、熊猫），（兔、长颈鹿），（熊猫、熊猫），（熊猫、长颈鹿），（长颈鹿、长颈鹿）。
把每种搭配方式看作一个抽屉，把7个小朋友看作物体，那么根据原理1，至少有两个物体要放进同一个抽屉里，也就是说，至少两人挑选玩具采用同一搭配方式，选的玩具相同. 上面数例论证的似乎都是“存在”、“总有”、“至少有”的问题，不错，这正是抽屉原则的主要作用.（需要说明的是，运用抽屉原则只是肯定了“存在”、“总有”、“至少有”，却不能确切地指出哪个抽屉里存在多少. 抽屉原理虽然简单，但应用却很广泛，它可以解答很多有趣的问题，其中有些问题还具有相当的难度。
离散数学鸽笼原理的应用
离散数学鸽笼原理的应用1. 介绍离散数学是计算机科学中的一门重要学科，它涉及到逻辑、集合论、图论等多个分支。
离散数学中的鸽笼原理是一项基本定理，常常在概率论、组合数学等领域得到应用。
本文将介绍鸽笼原理的基本概念，以及它在实际问题中的应用。
2. 鸽笼原理的基本概念鸽笼原理，也称为抽屉原理，是一种基本的计数原理。
简而言之，鸽笼原理指的是：如果有n个物体要放入m个盒子中，且n > m，则至少有一个盒子中会放入多于一个物体。
3. 鸽笼原理的证明鸽笼原理可以通过反证法来证明。
假设每一个盒子最多只能放一个物体，如果有n个物体要放入m个盒子中，且n > m，那么至少有一个盒子是空的。
这样，剩下的n-m个物体就无法放入盒子中，与规定相悖，因此原假设不成立，鸽笼原理得证。
4. 应用案例一：抽屉中的袜子在某个抽屉中放有11双袜子，其中部分袜子是黑色的，部分是白色的。
如果要保证至少找到两只颜色一样的袜子，那么最多需要取出几只袜子？•假设最多取出10只袜子，每次都能找到两只颜色相同的袜子。
这种情况下，最多能找到10双袜子，都是不同颜色的。
但是，当取出第11只袜子时，根据鸽笼原理，至少会有一双颜色相同的袜子。
因此，最多需要取出11只袜子就可以保证找到两只颜色相同的袜子。
5. 应用案例二：生日相同的概率在一个房间里，有n个人，那么至少存在两个人生日相同的概率是多少？•假设每个人的生日是在一年之中的任意一天，且每天的生日分布均匀。
我们可以通过计算概率来推导鸽笼原理的应用。
•当n超过365时，根据鸽笼原理，至少存在两个人生日相同的概率是100%。
这是因为一年中只有365天，超过365个人必然会有两个人的生日相同。
•当n为1时，不存在两个人生日相同的情况。
•当n为2时，第一个人的生日有365种可能，第二个人的生日也有365种可能。
因此，至少存在两个人生日相同的概率是(365/365) * (1/365) = 1/365。
鸽笼原理的应用
鸽笼原理的应用鸽笼原理又称抽屉原理，是一个重要的数学原理。
它的基本思想是，如果将n+1 个鸽子放入n 个笼子中，那么至少有一个笼子中会有至少两只鸽子。
鸽笼原理的应用非常广泛，涉及到各个领域，例如计算机科学、概率论、数论、图论等。
下面，我将结合不同领域，介绍一些鸽笼原理的应用。
首先，在计算机科学领域，鸽笼原理可以用来解决哈希冲突问题。
哈希冲突是指将不同的键映射到同一个散列地址的情况。
当散列表中的键的数量超过散列表的大小时，就有可能发生哈希冲突。
此时，我们可以利用鸽笼原理来保证在散列表中至少存在一个地址发生冲突。
通过合理选择散列表的大小和哈希函数，可以降低冲突的概率。
其次，在概率论中，鸽笼原理可以用来证明生日悖论。
生日悖论是指在一个有限的集合中，随机选择元素的数量达到一定程度时，出现重复元素的概率变得异常高。
具体来说，当随机选择的元素个数达到大约1.2 根号下集合大小时，出现重复元素的概率将超过50%。
这个现象可以用鸽笼原理来解释：将元素看作鸽子，将选择的元素个数看作笼子，当鸽子的数量超过笼子的数量时，至少有一只笼子中会有两只以上的鸽子。
另外，在数论中，鸽笼原理可以用来证明了一个非常重要的定理，即Dirichlet 定理。
Dirichlet 定理是指对于任意两个互质的正整数a 和b，数列a, 2a, 3a, ...中至少存在一个项与b 同余。
这个定理可以用鸽笼原理来证明：将数列中的项看作鸽子，将模b 的余数看作笼子，由于互质的性质，余数的数量不超过b，而数列的项的数量大于b，所以至少存在一个余数对应了两个以上的项，即存在两个项与b 同余。
此外，在图论中，鸽笼原理可以用来证明完全图中一定存在哈密顿回路。
哈密顿回路是指一个无向图中通过每个顶点，且只通过一次的回路。
鸽笼原理的应用是这样的：考虑一个n 个顶点的完全图，将每个顶点看作一个鸽子，将每条边看作一个笼子，由于完全图中的边数为C(n, 2) = n(n-1)/2，而每个顶点都有n-1 条边，所以至少有一个顶点有两条及以上的边与其相连，即存在一个哈密顿回路。
鸽笼原理在生活中的应用
鸽笼原理在生活中的应用
1. 什么是鸽笼原理？
鸽笼原理，也叫抽屉原理，是一种离散数学中的概念，指的是将m个物体放进n个容器，当m > n时，至少会有一个容器中有多于一个物体。
这个原理源自于鸽笼中有鸽子，而鸽笼数目有限，所以必然会有至少一个鸽笼中有多个鸽子的情况。
2. 鸽笼原理在生活中的应用
2.1. 布置生日桌面
在生日派对上，人们通常会准备一个蛋糕和一定数量的蜡烛，按照寿星的年龄一一点亮。
根据鸽笼原理，若寿星的年龄大于蜡烛的数量，那么至少会有一个蜡烛上有多根火焰。
2.2. 学校宿舍的床位
在大学宿舍中，通常会有限数量的房间和床位。
由于人数通常会超过床位的数量，所以在分配床位时，可能会出现一些房间有多个住户的情况。
2.3. 交通事故中的交通灯信号灯
在道路上，交通信号灯起到规范交通流量的作用。
根据鸽笼原理，即使道路上的车辆数量过多，交通灯也能通过合理地分配信号时间，确保交通流畅，避免交通事故发生。
2.4. 化工厂的化学品储存
在化工厂中，需要存储大量不同种类的化学品。
鸽笼原理告诉我们，当化学品的种类超过储存容器的数量时，至少会有一个容器中存放多种化学品。
2.5. 手机号码的分配
在移动通信领域，每个人都需要一个唯一的手机号码。
由于人口数量众多，根据鸽笼原理，手机号码的数量肯定少于人口数量，因此不可避免地会有多个人使用相同的手机号码。
3. 总结
鸽笼原理在生活中的应用十分广泛，无论是生日派对、学校宿舍还是交通信号灯，都能够用到鸽笼原理的思想。
理解了鸽笼原理的概念，我们可以更好地设计和管理生活中的各种场景，以确保事物的合理分配和安排。
离散数学(第19讲)鸽巢原理
( 1) m A1 A2 Am
2016年4月26日 7
Chapter 6
鸽巢原理
有限集A中具有性质 个数为
P 1, P 2 , , P m中至少一个性质的元素
m m
A1 A2 Am Ai Ai A j
i 1 i , j 1 i j
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Chapter 6
鸽巢原理
容斥原理
A1 A2 A3 A4 A5 A Ai Ai Aj
i 1 i , j 1 i j 5 5 i , j , k 1 i j k
5
Ai Aj Ak
i , j , k ,l 1 i k j l
Chapter 6
鸽巢原理
容斥原理 鸽巢原理
2016年4月26日
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Chapter 6
鸽巢原理
容斥原理
在根据条件对某类对象计数时，有时直接计算会遇到很大的 困难，但是利用间接方法却可能收到良好的效果。容斥原 理就是采用多退少补的思想，逐步求精以达到计数目的的 一种有效方法。
2016年4月26日
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Chapter 6
鸽巢原理
容斥原理
A B C | A | | B | | C | A B B C A C A B C .
A 1000/ 3 333 ,
B 1000/ 5 200 ,
A B 1000/ 15 66,
C 1000/ 7 142 ,
514/ 9 1 58
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Chapter 6
鸽巢原理
在任意6个人的集体中，要么有3个人互相认识，要么有3个 人互不认识。 以这6个人中任一个特定人，比如张三作为目标构造两个子 集合S1和S2，其中： S1：由与张三互相认识的人组成， S2：由与张三不认识的人组成， S1和S2中至少有一个集合不少于
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DeMorgan定理的推广: 设A1,A2,,An为 U的子集, 则
(a) A1 A2 An A1 A2 An (b) A1 A2 An A1 A2 An
7
1. 两个集合的容斥原理
设A和B是分别具有性质P1和P2的元素 的集合, 则
A B A B A B
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|A1∩A2|=4! ( A1∩A2为 , , b, g的全部排列). 由容斥原理, 模式ace和模式df都不出现 的排列个数为:
A1 A2 7! A1 A2 A1 A2 7!5!6!4! 4224
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3. 相对禁位排列 在错排问题中,每个元素不许出现在原 来的位置, 这是一种绝对的禁位排列. 还有一类是相对禁位排, 每个学生前面都有 一个学生. 每天都是同一个人在自己前 面走显得单调,第2天他们决定改变排队 次序, 使得每个同学前面的人与第1天 不同. 问有多少种不同的排队方式?
2
●设U为该单位所有人集合, A,B分别为
学英语, 法语人的集合, 如图所示.
●学两门外语的人数为|A∩B|, 只学一门 外语的人数为|A∪B|-|A∩B|, 没参加学习 的人数为|U|-|A∪B|.
3
在一些计数问题中, 经常遇到间接计算 一个集合中具有某种性质的元素个数 比起直接计算来得简单. 例: 计算1到700之间不能被7整除的整数 个数. 直接计算相当麻烦,间接计算非常容易. 先计算1到700之间能被7整除的整数个 数=700/ 7=100, 所以1到700之间不能被 7整除的整数个数=700-100=600.
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2. 有限制的排列 所谓有限制的排列, 顾名思义, 就是对 排列加上某种或某些限制. 例6.2 求字母a,b,c,d,e,f和g具有下列性质 的排列个数：在这些排列中, 模式ace 和df都不出现. 解 设A1, A2分别为出现模式ace和模式df 的排列的集合, 则有
|A1|=5! (=ace, A1为, b,d,f,g的排列); |A2|=6! (= df, A2为, a,b,c,e,g的排列);
其中A表示A在S中的补集或余集 .
5
● 我们的目的并不仅仅是讨论这样
一个简单的原理, 而是讨论这个原 理的一个重要推广, 称之为容斥原 理,并且将它运用到若干问题上去, 其中包括： 错位排列、有限制的排列、禁 位排列和棋阵多项式等.
6
二. 容斥原理
DeMorgan定理: 设A, B为全集U的任意 两个子集, 则 (a) A B A B (b) A B A B
10000 10000 | A4 | 2500 , | A4 A5 | 500 4 45 10000 10000 | A4 A6 | 833, | A4 A5 A6 | 166 [4,6] [4,5,6] | A5 | 2000 , | A6 | 1666 , | A5 A6 | 333
A1 A2 An
14
|Aj|=(n-1)!, j=1,2,3,…,n. |Ai∩Aj|=(n-2)!, i,j=1,2,3,…,n, 但i≠j. 对于任意整数k且1≤k≤n, 则有
| Ai1 Ai2 Aik | (n k )!
因为{1,2,3,…,n}的k组合为C(n,k)个, 应用容斥原理得到:
i 1 i 1 j i n n
Ai A j Ak
i 1 j i k j n
n
( 1) A1 A2 An
11
例求在1到10000的整数中不能被4,5,6整除的数的个数. 解：令Ai(i=4,5,6)表示1到10000的整数中能被i整 除的数的全体，则
21
Q5 | A1 A2 A3 A4 |
5! | A1 | | A2 | | A3 | | A4 | | Ai A j | | Ai A j Ak | | A1 A2 A3 A4 |
容易计算出: |Ai|=4!, i=1,2,3,4. |A1∩A2|中排列含有模式123, 其中排列的 总数={123,4,5}排列总数. 所以, |A1∩A2| =(5-2)!=3! 类似有: |Ai∩Ai+1|=(5-2)=3!, i=2,3.
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4. 欧拉函数 ) 欧拉函数 j (n 表示小于 n且与n互素的正 整数的个数. 可利用容斥原理给出其计 算公式. 可设n可分解为不同的素数p1,p2,…,pk之 积： ak a1 a2
n p1 p2 pk
令Ai表示N={1,2, …,n}中能被pi整除的 数的集合, i=1,2,…,k. 则|Ai|=n/pi, i=1,2,…,k. 由于当i≠j 时pi≠pj, 故
| A4 ∩ A5 ∩ A6 |= 10000 - (| A4 | + | A5 | + | A6 |) + | A4 ∩ A5 | + | A4 ∩ A6 | + | A5 ∩ A6 | - | A4 ∩ A5 ∩ A6 | = 5334
12
三. 容斥原理的应用实例
1. 错排问题 上一讲利用递归关系讨论了错排问题. 现在利用容斥原理再次讨论这个问题. 可以看出容斥原理解决这个问题更容 易, 而且利用容斥原理很容易理解错 排数列通项公式的组合意义. 我们再重申一下, 排列i1i2…in是排列 12…n的一个错排当且仅当i1≠1, i2≠2, …, in≠n.
例6.1 求1到500之间能被5或7整除的正 整数个数. 解 设A为被5整除的整数集合, B为被7 整除的整数集合, 用[x]表示x的整数 部分, 则有
8
500 500 | A | 100, | B | 71, 5 7 同时被5和7整除的整数个数 500 | A B | 14. 5 7 故能被5或7整除的整数个数
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(2) 需要注意的问题: 棋盘C不一定是规则的, 如果C有m行, n列, 则C可以看作是m×n标准棋盘的 一个残棋盘. rk(C)=0当且仅当C不存在k-布局. 比如 当k>min{m, n}时候, rk(C)=0. 由于棋盘的布局数关于棋盘的转置是 不变的, 从理论上来讲, 可以假定所讨 论的棋盘恒满足m≥n. 约定r0(C)=1.
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分析: 如果把第1天排队的同学按次序编 号为1,2,3,4,5. 我们所要求的排列为其 中不出现模式12, 23, 34, 45的全部排列. 31425是一个符合要求的排列, 而25341 不符合要求. 因为出现的34模式. 这个问题可以利用容斥原理来解决. 设Ai表示出现i(i+1)模式的全体排列, i=1,2,3,4. 符合要求的排列是这些模式 都不出现. 用Q5来表示符合要求的排列 总数.
《图论与组合优化》
第五讲
容斥原理与鸽笼原理
1
一. 引言
●容斥原理是组合数学中的一个重要 原理,它在计数问题中占有很重要地位. ●容斥原理所研究的问题是与若干有 限集的交、并或差有关的计数. ●在实际工作中, 有时要计算具有某种 性质的元素个数. 例: 某单位举办一个外语培训班, 开设 英语, 法语两门课.
| A B || A | | B | | A B | 100 71 14 157.
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2. 三个集合上的容斥原理 设A, B, C为任意三个集合, 则有
A B C A B C A B AC B C A B C
3. n个集合上的容斥原理: 设A1,A2,…,An是有限集合, 则有
13
我们曾把12…n全部不同错排的数目 记为Dn. 当时得到的结论如下.
1 1 1 n 1 Dn n! 1 1 n! 1! 2! 3!
可以用容斥原理证明: 设S={1,2,3,…,n}, S0为S的所有n!个排列 的集合. 令Aj表示排列12…n中使j位置上 的元素恰好是j的排列的集合, j=1,2,…,n. 则排列12…n的所有错位排列组成集合:
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Dn A1 A2 An n!C ( n,1)(n 1)! C ( n,2)(n 2)! C ( n,3)(n 3)! ( 1) C ( n, n)0!
n
n! n! n! n n! n! ( 1) 1! 2! 3! n! 1 1 1 n 1 n! 1 ( 1) . n! 1! 2! 3!
n n p p p p k 1 k 1 2
n p p p 1 2 k
1 1 1 n 1 1 1 p p p 1 2 k
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5. 棋盘多项式* (1) 棋盘布局问题: 设有一个棋盘C, 如果能把k个棋子布 在棋盘上 , 使得每行每列至多有一个 棋子 , 也就是说当一个棋子置于棋盘 的某一格时, 这一格子所在的行和列 都不能再布其他任何棋子 . 这样的一 个布局则称为棋盘C的一个k-布局, 用 rk(C)表示棋盘C不同k-布局的总数.
A1 A2 An Ai Ai A j
i 1 i 1 j i n n
Ai A j Ak ( 1) n1 A1 A2 An
i 1 j i k j
10
n
4. 容斥原理的余集形式
| A1 A2 An | N A1 A2 An N Ai Ai A j
25
n | Ai A j | , i , j 1,2, , k , i j . pi p j n | Ai A j Ah | , 1 i j h k. pi p j ph n n ( n) | A1 A2 Ak | n p p k 1