第3章 期权定价(3)

• 期权的价格就可以利用无套利原理从这有 限个确定的股票价格(期权的收益)来进行估 计. • 时间区间分得越小, 在到期日确定的股票价 格状态越多, 计算越复杂,所得期权价格估计 越接近于真实的价格.
2). 二项式定价的基本过程
设有这样一个以某股票为标的资产的3月期 欧式买入期权，股票现行的市场价格为30 元，期权确定的执行价格为31元。设已知3 个月后股票价格要么上升10%，要么下降 10%，市场的无风险利率为10%(年利率)， 试确定该期权的价格。
0.33 qu max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d ) 2 S X ,0} q d max{ S 0 (1 u )(1 d ) 3 S X ,0}
0 qu max{ S 0 (1 u ) 3 (1 d ) S X ,0} q d max{ S 0 (1 d ) 4 S X ,0}
欧式卖出期权的二项式定价公式
n n i i n i i P qu qd max{S X S0 (1 u ) (1 d ) , 0} i 0 i
3 2 3.08 qu 4.69 q d 0.22 qu max{ S 0 (1 u ) 3 (1 d ) S X ,0} 3qu qd max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d )
2 3 S X ,0} 3qu q d max{ S 0 (1 u )(1 d ) 3 S X ,0 q d max{ S 0 (1 d ) 4 S X ,0}
根据期权确定的执行价格以及股票在最后 阶段不同状态的价格，计算期权在最后阶 段各状态的价值 .
计算期权在不同状 态的价值
13.79 10.3 7.57 4.69
22.846
18.03 10.867 7.14 0.5215
3.08
0.22
0.33
0 0.0
0
期权价格树
4). 二项式定价公式推导
对于第3阶段各状态的期权价值有
4 S X ,0} q d max{ S 0 (1 d ) 4 S X ,0}
4 4 i i qu q d max{ S 0 (1 u ) 4i (1 d ) i S X ,0} i 0 i
4
4 4! , i 0,1, 2,3, 4 i (4 i)!i !
2
qu
C
Ru
1.22
0.61111
qd
Rd
0.3642
0
计算期权价格的价格树(二叉树)
四个时段的情形 考虑以某一股票为标的资产、执行期限为T 的买入期权，设股票的现行价格为S 0 60 元， S X 65元 期权确定的执行价格为 。设把期权 的有效期分为时间相同的4个阶段，预计股 票价格在每阶段要么上升10%，要么下降 5%，每阶段内无风险收益率为5%, 确定期 权的价格.
生成股票价格树
79.86 72.6
87.846
75.867
66
60
68.97
62.7 65.5215
57
54.15
59.565
56.5868 51.4425 48.8704
股票价格树 到第四阶段末，即期权的到期日，股票价格已经有 5个状态。如果我们把整个有效期分成n个阶段，那 么到期权的到期日(最后一个阶段末)，股票价格将 有n+1个可能的状态。
对于第2阶段各状态期权价值有
2 13.7 qu 18.03 qd 7.14 qu max{ S 0 (1 u ) 4 S X ,0}
2 2qu q d max{ S 0 (1 u ) 3 (1 d ) S X ,0} q d max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d ) 2 S X ,0}
0! 1
把持有期分成n个相同时段的情形 假定每阶段内股票价格上升或下降的因子 相同 ,无风险收益率相同.
n n i i n i i C qu q d max{ S 0 (1 u ) (1 d ) S X ,0} i i 0
n
n n! n (n 1) (n i 1) , n 0,1,, n i (i 1) 1 i (n i)!i !
期初的价值(期权的价格)
4 3 C 7.57 qu 10.3 q d 3.08 qu max{ S 0 (1 u ) 4 S X ,0} 4qu q d max{ S 0 (1 u ) 3 (1 d )
2 2 3 S X ,0} 6qu q d max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d ) 2 S X ,0} 4qu q d max{ S 0 (1 u )(1 d ) 3
首先确定应买入的股票数A使得组合在期末的 收益在两种状态(价升或价降)下都相同。 如果股票价格上升至33元，组合在到期日 的价值为 33 A 2 ， 其中2是期权被执行后投资者的付出； 如果股票价格下降至27元，期权不被执行， 组合的价值为 27A 。 在到期日这两个值应相等，且应等于无风 险投资的收益。
令
33A 2 27 A ， 解之得 A 1/ 3 ， 即该组合应由买入1/3股该股票和卖出一份 该股票的买入期权组成。无论股票的价格 是升还是降，组合在期末的价值 1 1 33 2 27 9 3 3
根据无套利原理，这就要求无风险投资在 期末的收益同为9元，因而期初用于无风险 投资的资金应为
计算相关数据

u (e rT 1) u d 0.1 (e 0.05 1) 0.1 0.05 0.324859
qu e rT (1 ) e 0.05 (1 0.324859) 0.642214
qd e
rT
0.309016
qu e rT (1 ) e 0.025 0.62658 0.611111
qd e
rT
e
0.025
0.37342 0.36420
Ru 2, Rd 0
C qu Ru qd Rd 0.611111 2 1.22.
在期权价值树上进行计算
18.03 qu max{ S 0 (1 u ) 4 S X ,0} q d max{ S 0 (1 u ) 3 (1 d ) S X ,0}
7.14 qu max{ S 0 (1 u ) 3 (1 d ) S X ,0} qd max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d ) 2 S X ,0}
9 e
0.10.25
8.78
这也应该是期初用于投资组合的资金，由 此得
1 30 C 8.78, C 10 8.78 1.22 3
买入期权的价格应该定为1.22元
3). 期权定价的二项式公式
符号: S 0 股票在期初的价格, S X 期权确定的执行价格, u 股票价格在单个时间阶段内的上升因子 d 股票价格在单个时间阶段内的下降因子(-) Ru 期权在股票价格上升状态下的收益 Rd 期权在股票价格下降状态下的收益 r 年无风险收益率 T 期权的期限
2 4.69 qu 7.14 qd 0.33 qu max{ S 0 (1 u ) 3 (1 d ) S X ,0}
2 2qu q d max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d ) 2 S X ,0} q d max{ S 0 (1 u )(1 d ) 3 S X ,0}
对于第1阶段各状态的期权价值有
3 2 10.3 qu 13.7 qd 4.69 qu max{S0 (1 u) 4 S X ,0} 3qu qd max{S0 (1 u)3 (1 d ) S X ,0}
2 3 3qu q d max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d ) 2 S X ,0} qd max{ S 0 (1 u )(1 d ) 3 S X ,0}
上升状态价格因子和下降状态价格因子仅同股 票价格在每个阶段的上升因子、下降因子、期 权有效期(每个时段)的长短以及期权有效期内 的无风险收益率有关，而同股票价格和期权确 定的执行价格无关。

对上述例子的应用
u (e rT 1) 0.1 (e 0.025 1) 0.37342 ud 0.2
2 0.22 qu 0.33 qd 0 qu max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d ) 2 S X ,0}
2 2qu qd max{ S 0 (1 u )(1 d ) 3 S X ,0} qd max{ S 0 (1 d ) 4 S X ,0}
Ru max{ S 0 (1 u ) S X ,0}
期权在股票价格上升状态下的收益 Ru max{ S 0 (1 u) S X ,0}
期权在股票价格下降状态下的收益 Rd max{S0 (1 d ) S X ,0} 构建一个组合，由买入A股股票，卖出一份 买入期权组成，要求在期权到期日无论何 种情况出现，组合的价值相同

e
rT
(1 u ) u (e 1) ud ud
rT
qu e rT (` ) 市场的上升状态价格因子 1
q d e rT
市场的下降状态价格因子
C qu Ru qd Rd
qu max{ S 0 (1 u) S X ,0} qd max{ S 0 (1 d ) S X ,0}
33
30 27 ?
2
1 0
1.025
1.025
(a)股票价格树
(b)期权价值树
(c)无风险收益树