期权定价数值方法

,i
1 u 由于 d ，使得许多结点是重合的，从而大大简化了树图。
20.1.4 通过树形倒推计算
得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价 法，从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。 如果是欧式期权，可通过将 T 时刻的期权价值的预期值在 t 时间长 度内以无风险利率
基本数值方法
第20章
第20章 基本数值方法
20.1 二叉树 20.2 采用二叉树对股指、货币与期货期权定价 20.3 对于支付股息股票的二叉树模型
20.4 构造树形的其他方法
20.5 参数依赖于时间的情形 20.6 蒙特卡罗模拟法 20.7 方差缩减程序 20.8 有限差分法
20.1 二叉树
Su p S 1-p Sd
Su S
Su2-D
S-D Sd Sd2-D 除权日
将股票价格分为两个部分：一部分是不确定的；另一部分是期 权有效期内所有未来股息的贴现值。假设在期权有效期内只有一个 除息日，则在时刻
i t
不确定部分的价值为：
当
i t
S * (it ) S (it )
时
S * (it ) S (it ) Der ( it ) 当 it 时（D为股息）
S (1 )u j d i j
j 0,1,
,i
若在期权有效期内有多个已知红利率，则 为：S (1 i )u j d i j
i t 时刻结点的相应的证券价格
（ i 为0时刻到 it 时刻之间所有除权日的总红利支付率）
20.3.2 已知股息数量的情形
在某些情形下，尤其是当期权的期限很短时，最符合现实的做法是假设已 知股息支付的数量而不是股息收益率。假设股票波动率 为常数，二叉树的 形状如下图所示。

S (t t ) S (t ) S (t )t S (t ) t
实际中，对lns进行模拟结果更准确。由伊藤引理，

2 2 ln S (t t ) ln S (t ) ( )t t 22 等价形式 S (t t ) S (t ) exp[( )t t ]
r q
2
t 2
2
t
该方法优点在于无论
和 t 如何变化，概率总是不变的
缺点在于二叉树图中的中心线上的标的资产价格不会再和初
始中心值相等。
三叉树图 每一个时间间隔 t 内证券价格有三种运动的可能： 1、从开始的 S 上升到原先的 u 倍，即到达 Su 2、保持不变，仍为 S ； 3、下降到原先的 ；
基本原理：期权A和期权B的性质相似，我们可以得到期权B的解
析定价公式，而只能得到期权A的数值方法解。 假设：
ˆ 和 于期权A的较优估计值， f A
则期权A 的更优估计值为：
ˆ （ f 代表期权B的真实价值， f A 表示关 ˆ fA f fB f B A B
ˆ f B
表示用同一个二叉树、相同的
20.6.3 模拟次数
如果对衍生产品价格的估计值要求95％的置信度，则期权价值应

1.96 1.96 f M M
为均值， （ M 是进行运算的个数， 是标准差）
20.6.4 通过树形取样
在每个节点，取0~1随机数，随机数<P,选择上升分支，否则，选择下降分支。 到达下个节点后，重复上述过程直到到达树图末端。（例20-9）
基本思路： 由于大部分期权价值实际上都可以归结为期权到期回报(payoff)的期望值 的贴现；因此，尽可能地模拟风险中性世界中标的资产价格的多种运动路 径，计算每种路径结果下的期权回报均值，之后贴现就可以得到期权价值。
假定在风险世界中，标的市场变量服从 ds Sdt Sdz ，为了模拟变量S的 路径，将期权期限分割成N个长度为 t 的小区间，其近似方程为：
u e f t t 1 p ud
这一假设并不会改变二叉树图的几何形状，改变的是上升和下降的概
率，所以我们仍然可以象以前一样构造出二叉树图，不同的是贴现时
用
f (t )
2、波动率依赖于时间
20.6 蒙特卡罗模拟法
Monte Carlo: Based On Probability & Chance
蒙特卡罗模拟或是同样的有限差分过程得到的估计值）
ˆ f f ˆ fA f A B B
20.4 构造树形的其他方法
CRR方法并不是构造二叉树的唯一方法，在确定参数 时，不再假设 u
1 ，而令 p 0.5 ，可得： d
2
p 、u
和d
ue
r q
2

t 2 t
d e
20.6.5 计算希腊值
f f x ^
* ^ ^
S (T ) S (0) exp[(

2
2
)T T ]
2、当回报依赖于多个市场变量时
每次模拟运算中对每个变量的路径都必须进行抽样，从样本路径进行的每
次模拟运算可以得出期权的终值。 i 的离散过程可以写为：
ˆ ii t t sii t i t i t t i t m
把期权的有效期分为很多很小的时间间 隔 ，并假设在每一个时间间隔 t 内证 t
券价格只有两种运动的可能： 1、从开始的 S 上升到原先的 2、下降到原先的 d 倍，即 Sd
u 倍，即到达 Su
。
；
t Biblioteka Baidu间内资产价格的变动
d 1 .如图所示。价格上升的概率假设为 其中 u 1， 1 p 。
2 pm 3
t pd 12 2 2 1 r q 2 6
20.5 参数依赖于时间的情形
1、利率是时间依赖的情形 假设 r f t ，即在时刻 t 的结点上，其应用的利率等于 t 到 t 时间内的远期利率，则：
t
e f t t d p ud
表示结点 (i, j ) 处的证券价格可得（以看涨期权为例）：
f N , j max(S0u j d N j K ,0)
假定期权不被提前执行，则：
其中
j 0,1,
,N
fij ert [ pfi1, j 1 (1 p) fi1, j ] (0 i N ,0 j i)
20.1.2 确定p,u,d
在风险中性的条件下, 参数值满足条件：
Se
rt
pSu (1 p)Sd
e rt pu (1 p)d
假设证券价格遵循几何布朗运动，则：
2 t pu2 (1 p)d 2 pu (1 p)d 2
u 1/ d 再设定：
S 2 2t pS 2u 2 (1 p)S 2d 2 S 2 [ pu (1 p)d ]2
（第三个条件的设定则可以有所不同， 这是Cox、Ross和 Rubinstein所用的条件）
e rt d p 由以上三式可得，当 t 很小时： ud
u e
t
从而
f e r t pf u 1 p f d
（期权依赖于 n 个变量 ˆi 为 m i 1 i n ，si 为 i 的波动率，
i 在风险中性世界中的期望增长率， ik 为 i 和 k 之间
的瞬间相关系数）
20.6.2 由正态分布中抽样

的产生：是服从标准正态分布的一个随机数。 如果只有一个单变量，EXCEL中的指令=NORMSINV(RAND())用来产生一元 标准正态分布的随机样本。如果要产生n元联合正态分布的随机抽样，用 乔里斯基分解。
p ，下降的概率假设为
相应地，期权价值也会有所不同，分别为 fu
和 fd 。
无套利定价法：
份股票多头和1份看涨期权空头 当 Su u Sd fd 。则组合为无风险组合
构造投资组合包括 此时

fu f d Su Sd
因为是无风险组合，可用无风险利率贴现，得
S f Su fu ert
对于原股票价格S的二叉树，在 it 时刻： 当 it 时，股票价格为：S0*u j d i j 当 it 时，股票价格为： S *u j d i j 0
* （ S0 为零时刻的 S 值）
De r ( it )
j 0,1, ,i
*
例20-5
20.3.3 控制变量技术


[( f 2, 2 f 2,1 ) /(S0u 2 S0 )] [( f 2,1 f 2,0 ) /(S0 S0 d 2 )] 0.5 (S0u 2 S0 d 2 )
f 2,1 f 0, 0 2 t
f* f
20.2 采用二叉树对股指、货币与期货期权进行定 价
当对股指、货币和期货上的期权定价时，可以将这些标的资产看作是提供已 知收益率的资产。对于股指而言，收益率就是股指中股票组合的股息收益率；对 于货币而言，收益率等于外币无风险利率；对于期货合约而言，收益率等于无风 险利率。
e
( r q ) t
pu (1 p)d
t
e ( r q ) t d p ud
u e
d e
t
Derivagem求解例20-3，20-4
20.3 对于支付股息股票的二叉树模型
20.3.1 股息收益率是已知的情形
假设股息离散支付，股息收益率已知
可通过调整在各个结点上的股票价格，算出期权价格；
如果时刻 it 在除权日之前，则结点处股票价格仍为： Su j d i j , j 0,1, , i 如果时刻 it 在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：
（表示在时间 it 时第j个结点处的欧式看涨期权的价值）
若有提前执行的可能性，则：
fi, j max{ S0u j d N j K , ert [ pfi !, j 1 (1 p) fi 1, j ]}
20.1.6 估计Delta与其他希腊值
f1,1 f1, 0 S 0u S 0 d
因此， （
d ln s (

2
)dt dz

2
是从标准正态分布中抽取的一个随机样本）
重复以上的模拟至足够大的次数，计算回报值的平均值， 折现后就得到了期权的期望值
20.6.1 多个标的变量的情形
1、当回报仅仅取决于到期时 S 的最终价值时，可直接用一个大步（ T 0 ）
（假设初始时刻为零时刻）来多次模拟最终的资产价格，得到期权价值：
d
倍，即 Sd
Su3 Su2 Su2 Su S Sd Sd2 Sd3
Su S S Sd
Su S Sd
Sd2
假定股票支付股息收益率q，以下参数可保证树形的均值和标准差与股票价 格的均值和标准差相吻合
ue
3t
1 d u
2 1 r q 2 6
t pu 12 2
将
f e r t pf u 1 p f d
其中
fu f d Su Sd 代入上式就可得到：
e rt d p ud
20.1.1 风险中性定价
在对衍生产品定价时，可以假定世界是风险中性的。
在风险中性世界里：
（1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率； （2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。
d e
t
以上可知，无套利定价法和风险中性定价法具有内在一致性。
20.1.3 资产价格的树形
Su4 Su3 Su2 Su S Sd Sd2 Sd3 Sd4 S S Sd Sd2 Su Su2
一般而言，在 it 时刻，证券价格有 i 1 种可能，它们可用符号表示为：
S0u j d i j 其中 j 0,1,
r
贴现求出每一结点上的期权价值；
如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻提 前执行期权和继续再持有 t 时间，到下一个时刻再执行期权，选择其中
较大者作为本结点的期权价值。
例20-1
DerivaGem示范
20.1.5 代数表达式
j i j 假设把一期权有效期划分成N个长度为 t 的小区间，同时用 S0u d