期权定价数值方法

20.1.5 代数表达式
假设把一期权有效期划分成N个长度为 t 的小区间，同时用 S0u jd i j
表示结点 (i, j) 处的证券价格可得（以看涨期权为例）：
f N , j max(S0u dj N j K ,0) 其中 j 0,1, , N
假定期权不被提前执行，则：
fij ert [ pfi1, j1 (1 p) fi1, j ] (0 i N ,0 j i) （表示在时间 it 时第j个结点处的欧式看涨期权的价值）
如果时刻 it 在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：
S (1 )u jd i j
ห้องสมุดไป่ตู้
j 0,1, ,i
若在期权有效期内有多个已知红利率，则 it 时刻结点的相应的证券价格
为：S (1 i )u j d i j
（ i 为0时刻到 it 时刻之间所有除权日的总红利支付率）
20.3.2 已知股息数量的情形
第20章
基本数值方法
第20章 基本数值方法
20.1 二叉树 20.2 采用二叉树对股指、货币与期货期权定价 20.3 对于支付股息股票的二叉树模型 20.4 构造树形的其他方法 20.5 参数依赖于时间的情形 20.6 蒙特卡罗模拟法 20.7 方差缩减程序 20.8 有限差分法
20.1 二叉树
1 p 。
相应地，期权价值也会有所不同，分别为 fu 和 fd 。
无套利定价法：
构造投资组合包括 份股票多头和1份看涨期权空头 当 Su u Sd fd 。则组合为无风险组合
此时
因为是无风险组合，可用无风险利率贴现，得
S f Su fu ert
将
fu Su
fd Sd
代入上式就可得到：
在某些情形下，尤其是当期权的期限很短时，最符合现实的做法是假设已
知股息支付的数量而不是股息收益率。假设股票波动率 为常数，二叉树的
形状如下图所示。
Su S
Sd
Su2-D S-D
除权日
Sd2-D
将股票价格分为两个部分：一部分是不确定的；另一部分是期 权有效期内所有未来股息的贴现值。假设在期权有效期内只有一个 除息日，则在时刻 不确定部分的价值为：
Rubinstein所用的条件）
由以上三式可得，当 t
很小时：p
e rt d ud
u e
t
d e
t
从而 f ert pfu 1 p fd
以上可知，无套利定价法和风险中性定价法具有内在一致性。
20.1.3 资产价格的树形
Su4 Su3
Su2
Su2
Su
Su
S
S
S
Sd
Sd
Sd2 Sd2
Sd3
f ert pfu 1 p fd
其中
e rt d p
ud
20.1.1 风险中性定价
在对衍生产品定价时，可以假定世界是风险中性的。 在风险中性世界里： （1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率； （2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。
20.1.2 确定p,u,d
在风险中性的条件下, 参数值满足条件：
e (rq)t pu (1 p)d
e (r q)t d p
ud
u e t
d e t
Derivagem求解例20-3，20-4
20.3 对于支付股息股票的二叉树模型
20.3.1 股息收益率是已知的情形
假设股息离散支付，股息收益率已知
可通过调整在各个结点上的股票价格，算出期权价格；
如果时刻 it 在除权日之前，则结点处股票价格仍为：Su j d i j , j 0,1,, i
Su p
把期权的有效期分为很多很小的时间间
S 1-p Sd
隔 ，t 并假设在每一个时间间隔 t 内证
券价格只有两种运动的可能：
1、从开始的 S 上升到原先的 u 倍，即到达 Su ；
t 时间内资产价格的变动 2、下降到原先的 d 倍，即 Sd 。
其中 u 1，d 1 .如图所示。价格上升的概率假设为 p ，下降的概率假设为
Sd4
一般而言，在 it 时刻，证券价格有 i 1 种可能，它们可用符号表示为：
S0u j d i j 其中 j 0,1,
,i
由于
u 1 d
，使得许多结点是重合的，从而大大简化了树图。
20.1.4 通过树形倒推计算
得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价法， 从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。
若有提前执行的可能性，则：
fi, j max{S0u j d N j K , ert [ pfi!, j1 (1 p) fi1, j ]}
20.1.6 估计Delta与其他希腊值
f2,1 f0,0 2t
f* f
20.2 采用二叉树对股指、货币与期货期权进行定 价
当对股指、货币和期货上的期权定价时，可以将这些标的资产看作是提供已 知收益率的资产。对于股指而言，收益率就是股指中股票组合的股息收益率；对 于货币而言，收益率等于外币无风险利率；对于期货合约而言，收益率等于无风 险利率。
Se rt pSu (1 p)Sd e rt pu (1 p)d
假设证券价格遵循几何布朗运动，则：
S 2 2t pS 2u2 (1 p)S 2d 2 S 2[ pu (1 p)d ]2
2 t pu 2 (1 p)d 2 pu (1 p)d 2
再设定：u 1/ d（第三个条件的设定则可以有所不同， 这是Cox、Ross和
j 0,1, ,i
（ S0* 为零时刻的 S * 值）
例20-5
20.3.3 控制变量技术
基本原理：期权A和期权B的性质相似，我们可以得到期权B的解析 定价公式，而只能得到期权A的数值方法解。
S*(it) S (it) 当 it 时 S*(it) S (it) Der( it) 当 it 时（D为股息）
对于原股票价格S的二叉树，在 it 时刻：
当 it 时，股票价格为：S0*u j d i j Der ( it )
当 it 时，股票价格为： S0*u jd i j
如果是欧式期权，可通过将 T时刻的期权价值的预期值在 t时间长度
内以无风险利率 r贴现求出每一结点上的期权价值；
如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻提前 执行期权和继续再持有 时t 间，到下一个时刻再执行期权，选择其中较 大者作为本结点的期权价值。
例20-1 DerivaGem示范