整数规划

试建立这个问题的整数规划模型
解：设xj（j=1,…,10）为钻井队在第i个井位探油
minZ=
背包问题：一个登山队员，他需要携带的物品有：食品、氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相器材、通信器材等。每种物品的重量合重要性系数如表所示。设登山队员可携带的最大重量为25kg,试选择该队员所应携带的物品。
序号
1
2
3
解：
5.4 某钻井队要从以下10个可供选择的井位中确定5个钻井探油，使总的钻探费用最小。若10个井位的代号为s1，s2,…s10,相应的钻探费用为c1，c2,…,c10,并且井位选择上要满足下列限制条件：
（1）或选择s1和s7，或选择钻探s8；
（2）选择了s3或s4就不能选择s5，或反过来也一样；
某公司现有5个项目被列入投资计划，各项目的投资额和期望的投资收益如下表所示：
项目编号
投资额（万元）
投资收益（万元）
1
2
3
4
5
210
300
100
130
260
150
210
60
80
180
该公司只有600万元资金可用于投资，由于技术上的原因，投资受到以下条件的约束：（1）在项目1、2和3中必须有一项被选中，（2）项目3和项目4只能选中一项，（3）项目5被选中的前提是项目1必须被选中。试就这一问题建立运筹学研究模型。
整数规划
若某钻井队要从以下10个可供选择的井位中确定5个钻井探油。使总的钻探费用为最小。若10个井位的代号为S1,S2．…，S10相应的钻探费用为C1,C2,…C10，并且井位选择要满足下列限制条件：
(1)在s1，s2，S4中至多只能选择两个；
（2）在S5，s6中至少选择一个；（3）在s3，s6，S7，S8中至少选择两个。
5.3 某科学实验卫星拟从下列仪器装置中选若干件装上。有关数据资料见表5-1
表 5-1
仪器装置代号
体积
重量
实验中的价值
A1
A2
A3
A4
A5
A6
v1
v2
v3
v4
v5
v6
w1
w2
w3
w4
w5
w6
c1
c2
c3
c4
c5
c6
要求：（1）装入卫星的仪器装置总体积不超过V，总质量不超过W；（2）A1与A3中最多安装一件；（3）A2与A4中至少安装一件；（4）A5同A6或者都安上，或者都不安。总的目的是装上取的仪器装置使该科学卫星发挥最大的实验价值。试建立这个问题的数学模型。
工程
费用
期望收益
第1年
第2年
第3年
1
5 1 8
4 7 10
3 9 2
8 6 10
20
40
20
30
2
3
4
可用资金
18
22
24
为解决污水对河流的污染问题，某城市拟建污水处理站，备选的站址有A、B、C三个，其投资等技术经济参数如下表：
投资（万元）
处理能力（万吨∕年）
水处理成本（元∕万吨）
水处理指标（吨∕万吨）
第五章 整数规划习题
5.1 考虑下列数学模型
且满足约束条件
（1）或 ，或 ；
（2）下列各不等式至少有一个成立：
（3） 或5或10
（4） ，
其中
=
将此问题归结为混合整数规划的模型。
解：
5.2 试将下述非线性的0-1规划问题转换成线性的0-1规划问题
解：令
故有 ，又 ， 分别与 ， 等价，因此题中模型可转换为
5.2某市为方便学生上学，拟在新建的居民小区增设若干所小学。已知备选校址代号及其能覆盖的居民小区编号如表5–2所示，问为覆盖所有小区至少应建多少所小学，要求建模并求解。
表5–12
备选校址代号
覆盖的居民小区编号
A
1，5，7
B
1，2，5
C
1，3，5
D
2，4，5
E
3，6，
F
4，6，
5.3一货船，有效载重量为24吨，可运输货物重量及运费收入如表5-13所示，现货物2、4中优先运2，货物1、5不能混装，试建立运费收入最多的运输方案。
污染物1
污染物2
A
500
800
500
80
60
B
400
500
800
50
40
C
300
400
1000
40
50
按环保部门的要求，每年至少要从污水中清除8万吨的污染物1和6万吨的污染物2，构建一个整数规划模型，在满足环保要求的前提下使投资和运行费用最少。
为解决污水对河流的污染问题，某城市拟建污水处理站，备选的站址有A、B、C三个，其投资等技术经济参数如下表：
地区1
地区2
地区3
地区4
地区5
地区6
地区1
地区2
地区3
地区4
地区5
地区6
0
10
16
28
27
20
10
0
24
32
17
10
16
24
0
12
27
21
28
32
12
0
15
25
27
17
27
15
0
14
20
10
21
25
14
0
解：引入0—1变量xi,xi=1表示在该区设消防站，,xi=0表示不设
解得：X*=(0,1,0,1,0,0)’ Z*=2
表5-13
货物
1
2
3
4
5
6
重量（吨）
5
9
8
7
10
23
收入（万元）
1
4
4
3
5
7
5.11 运筹学中著名的旅行商贩（货朗担）问题可以叙述如下：某旅行商贩从某一城市出发，到其他几个城市推销商品，规定每个城市均需到达且只到达一次，然后回到原出发城市。已知城市i和城市j之间的距离为dij问商贩应选择一条什么样的路线顺序旅行，使总的旅程最短。试对此问题建立整数规划模型。
投资（万元）
处理能力（万吨∕年）
水处理成本（元∕万吨）
水处理指标（吨∕万吨）
污染物1
污染物2
A
500
800
500
80
60
B
400
500
800
50
40
C
300
400
1000
40
50
按环保部门的要求，每年至少要从污水中清除8万吨的污染物1和6万吨的污染物2，构建一个整数规划模型，在满足环保要求的前提下使投资和运行费用最少。
有一组物品S，共有9件，其中第i件重 ，价值 ，从S中取出一些物品出来装背包，使总价值最大，而不超过总重量的给定上限30kg。
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
(kg)
2
1
1
2.5
10
6
5
4
3
(元)
10
45
30
100
150
90
200
180
300
工程上马的决策问题
某部门三年内有四项工程可以考虑上马，每项工程的期望收益和年度费用（千元）如下表所示：假定每一项已选定的工程要在三年内完成，是确定应该上马哪些工程，方能使该部门可能的期望收益最大。
4
5
6
7
物品
食品
氧气
冰镐
绳索
帐篷
照相器材
通信设备
重量/Kg
5
5
2
6wk.baidu.com
12
2
4
重要性系数
20
15
18
14
8
4
10
解：引入0—1变量xi,xi=1表示应携带物品i，,xi=0表示不应携带物品I
集合覆盖和布点问题
某市消防队布点问题。该市共有6个区，每个区都可以建消防站，市政府希望设置的消防站最少，但必须满足在城市任何地区发生火警时，消防车要在15min内赶到现场。据实地测定，各区之间消防车行驶的时间见表，请制定一个布点最少的计划。