B-Spline(B-样条线)

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贝塞尔曲线B样条NURBS样条学习总结

Bezier曲线、B样条曲线和NURBS曲线0.概述1. 贝塞尔曲线（Bezier Curve）：贝塞尔曲线由一组控制点和控制点上的权重组成。

贝塞尔曲线的阶数由控制点的数量决定，阶数为n的贝塞尔曲线需要n+1个控制点。

贝塞尔曲线具有局部控制的特性，即曲线上的一段由相邻的几个控制点决定，不受其他控制点的影响。

贝塞尔曲线的计算相对简单，但在变形过程中可能会出现形状扭曲的问题。

2. B样条（B-Spline）： B样条曲线是一种基于分段多项式的曲线表示方法。

与贝塞尔曲线不同，B样条曲线的每个控制点都有一个关联的基函数。

这些基函数决定了曲线上每一点的形状。

B样条曲线的阶数可以是任意的，较高阶的B样条曲线能够更灵活地描述复杂的曲线形状。

B样条曲线具有良好的局部控制性和平滑性，可以很好地避免贝塞尔曲线的形状扭曲问题。

3. NURBS曲线（Non-Uniform Rational B-Spline Curve）：NURBS曲线是对B样条曲线的扩展，它引入了有理权重的概念。

NURBS曲线的每个控制点都有一个关联的权重，这些权重可以调节曲线上各个点的影响程度。

NURBS曲线能够表示更复杂的曲线形状，如圆弧和椭圆等。

总的来说Bezier曲线中的每个控制点都会影响整个曲线的形状，而B样条中的控制点只会影响整个曲线的一部分，显然B样条提供了更多的灵活性；Bezier和B样条都是多项式参数曲线，不能表示一些基本的曲线，比如圆，所以引入了NURBS，即非均匀有理B样条来解决这个问题；贝塞尔曲线适用于简单的曲线形状设计，B样条曲线具有更好的局部控制和平滑性，适用于复杂曲线的建模而NURBS曲线在B样条的基础上引入了有理权重，可以更准确地描述各种曲线形状Bezier曲线是B样条的一个特例，而B样条又是NURBS的一个特例1.Bezier曲线1.1 贝塞尔曲线的历史:贝塞尔曲线于 1962 年，由法国工程师皮埃尔·贝济埃（PierreBézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计,贝塞尔曲线最初由保尔·德·卡斯特里奥于1959年运用德卡斯特里奥算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。

中望3D的曲面介绍（3）——NURBS-工程

中望3D的曲面介绍（3）——NURBS-工程中望3D生成的曲线和曲面都是NURBS，即非统一有理B样条，。

具体解释是：是用数学方式描述包含在物体表面上的曲线或样条。

我们来了解一下这个NURBS是个什么东东。

1）NURBS的基本概念：Non-Uniform(非统一）：是指一个控制顶点的影响力的范围能够改变。

当创建一个不规则曲面的时候这一点非常有用。

同样，统一的曲线和曲面在透视投影下也不是无变化的，对于交互的3D建模来说这是一个严重的缺陷。

Rational(有理）：是指每个NURBS物体都可以用数学表达式来定义。

B-Spline(B样条）：是指用路线来构建一条曲线，在一个或更多的点之间以内插值替换的。

简单地说，NURBS就是专门做曲面物体的一种造型方法。

NURBS造型总是由曲线和曲面来定义的，所以要在NURBS表面里生成一条有棱角的边是很困难的。

就是因为这一特点，我们可以用它做出各种复杂的曲面造型和表现特殊的效果，如人的皮肤，面貌或流线型的跑车等。

2）NURBS度数和连续性所有的曲线都有Degree(度数）。

一条曲线的度数在表现所使用的等式里面是最主要的指数，工程《中望3D的曲面介绍（3）——NURBS》(https://www.)。

一个直线的等式度数是1，一个二次的等式度数是2.NURBS曲线表现是立方等式，度数是3.可以把度数设得很高，但通常不必要这样做。

虽然度数越高曲线越圆滑，但计算时间也越长。

一般只要记住Degree(度数）值越高曲线越圆滑就可以了。

曲线也都有Continuity(连续性）。

一条连续的曲线是不间断的。

连续性有不同的级别，一条曲线有一个角度或尖端，它的连续是是C0。

一条曲线如果没有尖端但曲率有改变，连续性是C1。

如果一条曲线是连续的，曲率不改变，连续性是C2。

一条曲线可以有较高的连续性，但对于计算机建模来说这三个级别已经够了。

通常眼睛不能区别C2连续性和更高的连续性之间的差别。

b样条的支撑区间

b样条的支撑区间
B样条（B-spline）是一种用于曲线和曲面建模的数学工具。

B样条的支撑区间是指定义B样条形状的一组局部支撑区间，每个支撑区间对应一个基函数，多个基函数的叠加构成整个B样条曲线或曲面。

以下是B样条的支撑区间的详细介绍：
参数化表示：B样条是通过一组参数化的基函数的线性组合来表示的。

这组基函数对应于一组有序的节点，而每个节点定义了一个支撑区间。

节点矢量：节点矢量是一个非递减的实数序列，表示B样条的参数空间被划分成一系列不相交的支撑区间。

每个节点都对应一个支撑区间。

支撑区间长度：每个支撑区间的长度由相邻节点的差值决定。

节点矢量的递增性保证了支撑区间的有序性。

局部性质：B样条的局部性质指的是在整个参数空间内，只有一小部分支撑区间对某个参数值有非零的贡献。

这使得B样条能够在局部区域内灵活调整曲线形状。

节点多重性：每个节点在节点矢量中可能具有多重性，表示该节点作为支撑区间边界的次数。

多重性决定了相邻支撑区间之间的曲线平滑性。

开放和闭合B样条：开放B样条的第一个和最后一个节点只有一个支撑区间，而闭合B样条的第一个和最后一个节点有多个相同的支撑区间，使得曲线形成一个闭合环。

总体而言，B样条的支撑区间在参数空间内确定了曲线的局部结构和形状，而节点矢量的选择影响了这些支撑区间的位置和宽度。

这使得B样条能够灵活地适应不同的曲线要求，同时保持局部调整的便
利性。

连续微小线段 nurbs 曲线拟合及插补技术研究

连续微小线段nurbs 曲线拟合及插补技术研究全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：连续微小线段NURBS 曲线拟合及插补技术研究近年来，随着计算机技术和数学建模的不断发展，曲线拟合及插补技术在工程领域中扮演着越来越重要的角色。

尤其是在数字化制造和三维建模领域，对于曲线的精确拟合和插补需求日益增加。

本文将重点探讨连续微小线段NURBS 曲线拟合及插补技术的研究现状和发展趋势。

首先我们需要了解什么是NURBS 曲线。

NURBS 是Non-Uniform Rational B-Spline 的缩写，即非均匀有理B-样条曲线。

它是一种被广泛应用于计算机图形学和CAD/CAM领域的数学曲线表示方法。

NURBS 曲线具有很好的数学性质，能够高效地描述各种形状的曲线，因此在曲线拟合和插补中得到了广泛应用。

在实际应用中，通常我们需要对一组给定的离散点进行曲线拟合，以便得到一个光滑的曲线。

而在拟合过程中，经常会遇到连续微小线段的情况，即曲线需要通过一系列微小的线段来描述。

这时候就需要借助NURBS 曲线来实现连续的拟合。

对于连续微小线段的NURBS 曲线拟合，需要考虑以下几个关键问题。

首先是数据点的采集和处理，即如何从离散的数据点中提取出连续的线段。

其次是曲线的拟合算法，即如何通过数据点来拟合出最优的曲线。

最后是曲线的插补技术，即如何在曲线上插入新的点以实现更细致的描述。

在数据点的采集和处理方面，通常可以采用最小二乘法或最小二乘逼近法来实现。

这些方法能够有效地从离散的数据点中提取出连续的线段，为后续的曲线拟合打下基础。

而对于曲线的拟合算法，常见的方法包括最小二乘法、Bezier 曲线拟合和样条曲线拟合等。

这些算法能够根据数据点的特征来拟合出最符合实际情况的曲线。

在曲线的插补技术方面，可以利用NURBS 曲线的数学性质来实现。

可以通过调整曲线的控制点和权重来实现曲线的插值。

还可以采用分段插值的方法，将曲线分割成多个片段进行插值。

一种三次均匀B样条曲线快速反算的方法

一种三次均匀B样条曲线快速反算的方法李道军;邬向伟【摘要】提出了均匀三次B-apline曲线反算的快速算法.在Matlab中编程实现,大大降低了程序的复杂性,提高了运算效率,并使重构所得曲线的两个端点处曲率不为零,满足了一阶连续,并给出了应用实例.【期刊名称】《微型机与应用》【年(卷),期】2011(030)011【总页数】2页(P87-88)【关键词】逆向工程;B-spline;反算算法;Matlab【作者】李道军;邬向伟【作者单位】郑州职业技术学院,河南郑州450121;中州大学,河南郑州450044【正文语种】中文【中图分类】TP391在计算机辅助几何设计(CAGD)实践中，常遇到设计者事先并不知道控制多边形顶点的位置，而只知道曲线上的某些型值点的情况。

从设计角度上来说，通常考虑的是曲线的大致形状，而非控制多边形的大致形状。

为了构造B-spline曲线，就需要由已知的型值点反算出控制多边形的顶点。

在实际工程应用中，B-spline曲线的反算过程所涉及到的计算量很大，因此讨论B-spline曲线的快速反算算法有着很重要的意义[1]。

对于三次均匀B-spline曲线的反算，朱心雄[2]给出了一种计算速度快且易于编程的反算控制顶点的迭代方法，可以得到在允许误差范围内的C2连续曲线。

而参考文献[3]通过A-1的研究对三对角矩阵提出了一种优于追赶法和LU分解法的求解方法。

但是它们都是以两端曲率为零作为边界条件，可能出现人们所不希望看到的曲线在端点处不连续的现象。

针对B-spline曲线的反算过程计算量大，重构曲线端点处曲率不连续的问题，本文提出了一个有效的解决办法，并在Matlab[4]中予以编程实现，大大降低了程序的复杂性，提高了运算效率，并使重构所得曲线的两个端点处曲率不为零，至少满足了一阶连续。

1 反求B-spline曲线为了使一条k次B-spline曲线通过一组数据点qi(i=0，1，…，m)，反算曲线时，一般使曲线的首末端点分别与首末数据点一致，将内数据点依次作为样条曲线的分段连接点，则数据点qi将依次与B-spline曲线定义域内的节点一一对应，即数据点qi有节点值uk+i(i=0，1，…，m)。

UG术语中英对照表

A2 Curve Fillet 两曲线倒圆角2-D Distance 平面距离2D Exchange 二维交换3-D Distance 空间距离A Single Symbol 单个符号Above Plane 在平面上面Above Text 在文本上面Absolute coordinate system （ACS ）绝对坐标系Accept Result 接受产生的结果Active view 激活视图Actual 实际的Add a components 加一个组件Add Attribute Search to Filter 给过滤器加属性搜索特性Add Exclude Filter 加排除过滤器Add Proximity Filter 加接近的过滤器Add Tangent Edges 加相切边Add to Filter 加到过滤器Add View to Drawing 加视图到图纸Add View 加视图Add Zone to Filter 加区域到过滤器Adding a view distance 加一个视图的距离Adding an orthographic view 加一个正投影视图Adding entries 加记录Adding members to assembly 加成员到装配体中Adding poles 加极点Additional GD&T symbols 增加的形位公差符号Adjacency Tolerance 邻接公差Adjacent Edges Deviation 邻接边偏差Advantages over interpart expressions 超过部件间表达式的优点 After Text 在文本后面Align 对齐Align curve 曲线对齐Align View 对齐视图Aligning drawing views 视图对齐Alignment Method 对齐方法Alignment options 对齐选项All But Selected 除被选择之外的所有对象All Components 所有组件All Objects 所有对象Allow Duplicate Values 允许相同的值Allow substitution 允许替换Along curve 沿曲线Along direction 沿某一方向Along driver normals 沿驱动的法向Along face normals 沿表面的法向Along fixed vector 沿定固定矢量方向Along vector 沿矢量方向Alternate Solution 替换方法Alternate Thickness 改变的厚度Alternates 替换Always Confirm 一直确认Analysis and Reporting Functions 分析和报告功能Analysis Data Set Functions 分析数据集功能Analysis Functions 分析功能Analysis type 分析类型Analyze Angle 分析角度Analyze Distance 分析距离Analyzing 分析Anchor and orientation point 锚点和方位点Anchor point 锚点Angle 角度Angle tolerance 角度公差Angle 角度Angled extensions 角度延伸Angular 角度的Angular dimensions 角度尺寸Angular Format 角度的格式Angular law 角度规律Angular 角度的Angularity 角状Animation 动画Anisotropic material 各向异性材料Annotation Editor 注释编辑器Annotation Preferences 注释设置ANSI Diameter Symbol ANSI直径符号ANSI Spherical Diameter Symbol ANSI球形直径符号ANSI Standard Section Line Display ANSI标准截面线显示 Ansys solver Ansys 求解器ANT 装配导航工具Apex string 顶点线Apparent intersection point 表观交叉点Appended 附加的Appended Text 附加的文本Appended text controls 附加文本控制Application context 应用上下文Applications 应用Applications of WA VE WA VE的应用Apply Filter 使用过滤器Approximate Rho 近似的Rho 值Aquamarine 碧绿色Arc 弧Arc Center 弧中心Arc Length 弧长Arc/Circle 圆弧/圆周Arc/ellipse center 弧/椭圆的中心Architectural Feet/Inches 建筑上的英寸/英尺Arclength 弧长Area Fill 区域填充Area law 面积规律Arow segment 箭头段Arrow line display 箭头线显示Arrow Lines 箭头线Arrow Position 箭头位置Arrowhead 箭头ASCII 美国信息交换标准码Aspect Ratio 纵横比Assemblies Clearance 装配间隙Assembly 装配Assembly analysis 装配体分析Assembly Crosshatching 装配剖面线Assembly Filtering 装配过虑Assembly Hidden Line Removal 装配隐藏线去除Assembly Modeling 装配建模Assembly Navigator 装配导航器Assembly Navigator Tool 装配导航工具Assembly part 装配部件Assembly preferences 装配参数预设置Assembly views 装配视图Assembly Zone 装配区域Associate Note 相关注释Associated Objects 关联对象Associative direction 关联方向Associative offsets 相关偏置Associative taper plane reference point 相关的拔模面参考点 Associative View Scale 相关视图比例Associative 关联的Associativity 相关性Associativity Manager 关联性管理器Associativity of utility symbols 实用符号的相关性At angle to vector 与矢量方向成角度Attached Target 附着的目标体Attachment methods 附着方式Attribute editor 属性编辑器Attribute Filter 属性过滤器Attribute Name 属性名Attribute Type 属性类型Attributes 属性Attributes From All Objects 从所有对象得到的属性Attributes From One Object 从一个对象的属性Attributes hierarchy 属性级别Auto dimension 自动尺寸标注Auto Ordinate Dimensions 自动坐标尺寸标注Automatic 自动的Automatic Placement 自动放置Automatic Preview 自动预览Automatic Rectangle 自动生成矩形Automatic Update 自动更新Auto-size Cells 自动大小的单元Auxiliary 辅助的Auxiliary View 辅助视图Axis 轴Axisymmetric analysis 轴对称分析Axisymmetric loading 轴对称加载BBackground 背景Ball 球形Ball End Groove 球端槽Bandwidth 带宽Base Angle 基本角Base Diameter 基本直径Base part 基础部件Base point 基点Base View 基本视图Baseline 基线Basic concepts of Geometric Tolerancing 几何公差的基本概念Basic Curves 基本曲线Batch Check 批量检查Bead 小球垫圈Before Text 在文本前Below Plane 在平面下Below Text 在文本下Bend Allowance Formula 弯边许用公式Bend Position 弯边位置Bend Report 弯边报告Bend segment 弯边段Bend sequence table 弯边顺序表Bezier spline 贝塞尔样条Bi-directional Associativity 双向相关性 Bilateral 双面的Bill of Material (BOM) 材料明细表Binormal 副法线Blank 隐藏Blank Component 隐藏组件Blank Node 隐藏节点Blanking 隐藏Blend 倒圆Blend All Instances 给所有的引用倒圆角 Blend solid edge 实体边缘倒圆Blend types 倒圆类型Blending function 倒圆功能Block 块Blue 蓝色Body extents (物)体范围Body of revolution 旋转体Body 体Boolean operation 布尔运算Boss 凸台Bottom 俯视图Bottom-up modeling 自底向上建模Bound by objects 由物体确定边界Boundary 边界Boundary point 边界点Boundary types 边界类型Bounded Plane 具有边界的平面Bounded Planes 边界平面Box 最小盒子方法Break Line/Detail 截断线/局部放大图Break-Out Section View 截除的剖视图 Bridge 桥接Bridge Curve 桥接曲线Bridge Depth 桥接深度Bridge Sheet 桥接片体Bridge Skew 桥接扭曲Bridge Surface 桥接面Broken Links 打断的链接Brown 褐色B-spline B-样条线B-surface B-曲面Built-in 内置的Bundle 捆Bundle_id 捆的标识符By corners 按拐角分段By equal segments 按等长分段By Equation 按方程式By Face Normals 通过面法向By input arc length segments 按输入的弧长分段By knotpoint segments 按节点分段By law curve 按规律曲线By points 通过点By poles 通过极点By segments 按段数By tolerance 按公差CCalculator capabilities 计算器功能Callouts 插图的编号Callouts and Symbols 插图的编号和符号CAM Objects CAM 对象CAM Views CAM 视图Cancel 取消Cancel Chain 取消链Canned layout 储存的布局Canned view 储存的视图Cartesian 笛卡尔（直角坐标系）Categorise 分类Category 目录Center 中心Center Justify 中心对齐Center Line with Extension 有延伸线的中心线Center Line 中心线Center Point 中心点Centerline Component 中心线元件Centerline Projection 中心线投影Centerline Projection Definition 中心线投影定义Centerline Projection Definition 中心线投影定义Centerline Projection V ector 中心线投影矢量CGM CGM格式文件Chain 链Chain Curves 链状曲线Chaining 链接Chaining Tolerance 链公差Chamfer 倒角Chamfer edges 边缘倒角Chamfer Offset 倒角偏移Change Degree 改变阶数Change Edge 改变边Change Margin 改变边缘Change Reference Set 改变引用集Change stiffness 改变刚度Change weights 改变权值Character 字符Character Size 字符大小Character Spacing 字符空间Characteristic 特性Check for overlaps 重叠部分检查Check Geometry 检查几何体Check Overlapping 检查重叠Check-In 签到Checking the format 检查格式Child Components 子组件Choose alignment options 选择对齐选项Choose an option 选择一个选项Choose Attributes 选择属性Choose edit option 选择编辑选项Choose Expressions 选择表达式Choose method 选择方法Choose Named Object 选择命名的对象Choose Part File 选择UG文件Choose view display options 选择视图显示选项 Chordal Deviation 弦长偏差Chordal Tolerance 弦长公差Circle 圆Circle array 圆形阵列Circular boundary 圆形边界Circular extension 圆形延伸CL file 刀位文件CL Point 刀位点Clamp 装夹Class Selection 分类选择Class selection subfuction 分类选择子功能Class selection tools 分类选择工具Clear 清除Clearance analysis 间隙分析Clearance zone 间隙区域Cliff Edges 悬崖边Cliff Edge Overflows 悬崖边溢流Clock Instance 顺时针引用分布Clone assembly 克隆装配Cloning 克隆Close Part 关闭部件Close 关闭Closed Arrowhead 封闭箭头Closed bodies 封闭体Closed defining points 封闭的定义点Closed in U U 向封闭Closed in V V 向封闭Code set 代码集Coincident 共点Collapse 装配树合并Collapse All 使所有装配树合并Color 颜色Color legend 颜色图标Color，font and width option 颜色、线型和宽度选项 Color/Font/Width Preferences 颜色、线型和宽度预设置 Column 列Column degree 列的阶数Combined curve projections 组合曲线的投影Combined Projection 组合投影Common Fraction 公共片断Common tools 公共工具Comp Name 部件名Component 组件Component members 组件成员Component object 组件对象Components add existing part 向组件中加入已存的部件 Components Arrays 组件阵列Components Filters 组件过滤器Components Operations 组件操作Components Sets 组件集Composite FCF 组合的FCFComposite Feature control Frame 组合特征控制框架Computed curves 计算的曲线Concentric 同心的Concentric Circles 同心圆Concentricity 同心Concrete 具体的Concurrent Engineering 并行工程Conditional annotation 条件注释Conduit 导管Conduit Tools 导管工具Cone 圆锥Cone Depth 圆锥深度Cone direction 圆锥方向Cone origin 圆锥底面圆心Confirm with Ctrl-MB1 用Ctrl加鼠标左键确认Confirmation 确认Conic 二次曲线Conic Rho 二次曲线Rho 值Conical Taper 二次方拔模Connection 连接Constant 常量Constant Offsets 常量偏移CONSTANT PARAMETER CURVE 等参曲线CONSTANT X-OFFSET 常X向偏移Constrain options 约束选项Constraint Direction 约束方向Constraints 约束Constructed curves 构造的曲线Construction Points 构造点Contact mesh 接触网格Containment Interference 包容干涉Contiguous 邻近的Continuity Checks 连续性检查Continuity method 连续性方式Continuity type 连续性类型Contour 轮廓Contour Curve 轮廓曲线Contour Length 轮廓长度Contour lines 轮廓线Contour plot 轮廓图Control Point 控制点Control Polygon 控制多边形Control structure 控制结构Control vertex 控制顶点Convert 转换Convert dependency 转换相关性Convert Non-Associative GD&T 转换非关联的GD&T Coordinate system 坐标系统Coordinate System Axis 坐标系统轴Copy 拷贝Copy component 拷贝组件Copy Filter 拷贝过滤器Copy geometry 拷贝几何体Copy method 拷贝方法Copy Object 拷贝对象Copy Path 拷贝路径Copy To Filter 拷贝到过滤器Copy Views 拷贝视图Copying drawing views 拷贝图纸视图Counterbore 台阶孔Counterclockwise 逆时针Countersink 埋头孔Course objectives 课程目的Create 建立, 生成, 创建Create a Components Arrays 建立组件阵列Create a cylindrical centerline 建立圆柱体的中心线Create a half section view 建立一个半剖视图Create a Helical Spline 建立一个螺旋样条线Create a linear centerline 建立一条线型中心线Create a new drawing 建立一个新的图纸Create a revolved section view 建立一个旋转剖视图Create a simple section view 建立一个简单剖视图Create a Tabular Note 建立一个表格说明Create an offset center point 建立一个偏置的中心点Create an unfolded section cut 建立一个展开的剖视图Create and Editing Assemblies 建立和编辑装配Create animation 建立动画Create Assembly Diagram 建立装配图表Create Auto Ordinate Dimension 建立自动坐标尺寸Create Auxiliary View 建立辅助视图Create Breakout Section View 建立截除的剖视图Create Crosshatching 生成剖面线Create Detail View 生成详细视图Create Dimension 标注尺寸Create Drawing 建立图纸Create explode views 建立爆炸视图Create family members 建立族的成员Create Filter 生成过滤器Create GD&T Symbols 建立形位公差符号Create GD&T symbols with a leader 建立带引导线的形位公差符号 Create GDT Symbol 建立(标注)GDT符号Create Geometric Expression 建立几何表达式Create ID Symbol 建立(标注)ID符号Create Inferred Dimension 建立(标注)推测尺寸Create Kanji 生成Kanji汉字Create Label 建立(标注)标记Create Leader 建立(标注)引导线Create linked part 建立链接部件Create Named Filter 建立命名的过滤器Create new level 建立新的一级Create New Multiple Datum Reference 建立新的多基准面参考 Create New Part 建立新部件Create Note 建立注释Create on Dimension 在尺寸上建立Create on Edge 在边上建立Create on Extension 在延伸线上建立Create on Point 在点上建立Create or Edit Datums 建立或编辑基准面Create or Select symbol to edit 建立或选择符号来编辑Create Ordinate Dimension 生成坐标尺寸Create Ordinate Margin 生成坐标尺寸标注边界Create Ordinate Set 建立坐标组Create Path 建立路径Create pattern data 建立模式数据Create Proximity Filter 建立相近的过滤器Create Section Line 生成截面线Create Section View 生成界面视图Create Section Views 建立剖视图Create text with a leader 建立带引导线的文本Create Tolerance Feature 生成公差特征Create Tolerance View Orientation 生成公差视图方向Create Utility Symblos 建立实用符号Create Utility Symbol 生成ID符号Create with Leader 建立带箭头标注Create without Leader 建立不带箭头标注Create/Edit Datum 建立/编辑基准面Created in an assembly 在一个装配中建立Cross section 横截面Cross Splines 交叉样条线Cross strings 交叉线串Crosshairs 光标十字交叉线Crosshatch and Area Fill Tolerance 剖面线和区域填充公差Crosshatching 剖面线Crosshatching adjacency tolerance 剖面线邻近公差CSYS 坐标系CSYS Method 坐标系方法Cubic 三次的Cubic fit surface 三次拟合曲面Current Crosshatch File 当前剖面线文件Current Directory 当前目录Current Layout 当前布局Current parameters 当前参数Current Part 当前部件Current Set 当前组Current view 当前视图Cursor 光标Cursor location 光标定位Curvature 曲率Curvature analysis 曲率分析Curvature comb 曲率梳Curvature method 曲率方法Curve 曲线Curve analysis 曲线分析Curve analysis display 曲线分析显示Curve Chamfer 曲线倒直角Curve creation 曲线建立Curve divide curve 用曲线分割曲线Curve extension 曲线延伸Curve fit creation methods 曲线拟合的建立方式Curve fit with template 使用模板来拟合曲线Curve mesh 曲线网格Curve to face option 曲线到表面的选项Custom menubar 客户化菜单条Cut Angle 剖切角Cut Filter 剖切过滤器Cut line 剖切线Cut Object 剖切对象Cut Position 剖切位置Cut segment 剖切段Cut Through Model 通过模型剖切Cyan 蓝绿色Cycle 周期，循环Cylinder 圆柱体Cylindrical 圆柱的Cylindrical Centerline 圆柱中心线CYLINDRICAL CROSS SECTION 圆柱剖切Cylindrical Face 圆柱面CYLINDRICAL ORIENTATION 圆柱方位Cylindrical target area end point 圆柱目标区域端点Cylindrical target area start point 圆柱目标区域起点DDark Red 暗红色Dashed 虚线Dashed Hidden Edges 虚线隐藏边Data Base 数据基础（库）Data Model 数据模型Data Points 数据点集Date/Time 日期和时间Datum 基准Datum axis 基准轴Datum Editor 基准编辑器DATUM IDENTIFIER 基准标识器Datum plane 基准平面Datum Plane-Dual Constraints 基准平面－双约束Datum Plane-Single Constraints 基准平面－单约束DEBUG CONTROL 调试控制Default 缺省Default Radius 缺省半径Define 定义Define Torus 定义圆环Define Arrow Direction 定义箭头方向Define Component Set 定义组件集Define Cut Direction 定义切削方向Define Direction 定义方向Define Filter 定义过滤器Define Hinge Line 定义铰链线Define offset position 定义偏移位置Define reference line 定义参考线Define Section Line 定义截面线Define Symbol 定义符号Define View Boundary 定义视图边界Defining a UG Expression table 定义一个UG 表达式表Defining Face 定义表面Defining Holes,within bounded plane 在边界平面内定义孔 Defining points 定义点集Defining the Assembly Structure 定义装配结构Defining the datum origin 定义基准原点Defining the plotter 定义绘图仪Defining the section view display 定义剖视图显示Deform Sheet 变形片体Degree 阶数Degree greater than maximum 阶数大于最大值Degree less than minimum 阶数小于最小值Degree-of-Freedom arrows 自由度箭头Degree-of-Freedom indicators 自由度指示器Delay interpart updates 延迟部件间更新Delayed update 延迟更新Delete 删除Delete all edits 删除所有编辑Delete Drawing 删除图纸Delete Feature 删除特征Delete Filter 删除过滤器Delete Object 删除对象Delete Path 删除路径Delete positioning dimention 删除定位尺寸Delete selected edits 删除选择的编辑Delete selected erasures 删除选择的擦除Delete Toolpath 删除刀轨Deleteing parent geometry 删除父几何体Deleting a utility symbol 删除一个实用符号Delta 增量Delta Offset 增量偏置Dependent 相关Depth 深度Derivative V ector 派生矢量Description 描述Descriptor 描述符Deselect isoclines 取消选择等参线Deselection 取消选择Design in Context 按上下文设计Design rule 设计法则Design Template 设计模板Destination coordinate system 目标坐标系统Destination Layer 目标层Destination Point 目标点Detail 详图Detail center in parent view 在父视图中的详图中心 Detail Design 详细设计Detail Filtering 细节过滤Detail of Section 剖面详图Detail View 详细视图Deviation 偏差Deviation Analysis 偏差分析Deviation check 偏差检查Diagram 图表Dialog 对话框Dialog Bar 对话工具条Dialog Bar Fields 对话工具条区域Dialog Manager 对话管理Dialog Preferences 对话框参数预设置Diameter Symbol 直径符号Diameter 直径Die Engineering 冲模工程Die_punch_radius 模具冲压半径Digital Pre-Assembly (DPA) 数字预装配Dimension Constraints 尺寸约束Dimension Filter 尺寸过滤器Dimension Local Settings 尺寸局部设置Dimension Precision 尺寸精度Dimensions 尺寸Direction 方向Direction Method 定向方式Direction point 定向点Directory 目录Directory Entry Section 目录登录区Discard 放弃Discontinuity in Curve 曲线不连续Display Dimensions 显示尺寸Display Drawing 显示图纸Display File 显示文件Display Instance Editor 显示引用特征编辑器 Display label 显示标记Display Object 显示对象Display Options 显示选项Display Parent 显示父Display Prefrences 显示参数预设置Display Selected Part 显示所选部件Display Type 显示类型Displayed Part 显示部件Distance and Angle 距离及角度Distance Normal to Curve 垂直于曲线的距离 Distance Tolerance 距离公差Distance V alue 距离值Distance 距离Distortion Method 变形方法Distortion 变形Divide Curve 分割曲线Divided Circle 分割圆周Divided Hexagon 分割了的六边形Divided Square 分割了的正方形Divided Symbols 分割符号Document Tag 文件标签Dotted Dashed 点划线Double offset chamfer 双边偏置倒角Double-Arc-Blend 双圆弧倒圆Dove Tail Slot 燕尾槽Draft Angle 拔模角度Draft Height 拔模高度Drafting 制图Drafting Annotation 制图标注Drafting Application 制图应用Drafting Associativity 制图相关性Drafting Object Alignment 制图对象对齐Drafting Object Alignment Preferences 制图对象对齐预设置Drafting Object Color/Font/Width 制图对象颜色/字体、宽度Drafting Preferences 制图预设置Drafting Symbol Filter 制图符号过滤器Drafting Symbols 制图符号Drag 拖曳Drawing 图纸Drawing Borders 图纸边框Drawing Layout 图纸布置Drawing Member View Display Settings 图纸成员视图显示设置Drawing Member View Render Sets 图纸成员视图着色集Drawing Operations 制图操作Drawing Sheet 图页Drawing View Boundaries 图纸视图边界Drawing Views 图纸视图Drive Curves 驱动曲线Driver Type 驱动类型Dual Constraints 双重约束Dual Dimension Format and Units 双尺寸格式和单位DXF to Unigraphics 从DXF转换到UGDynamic Deviation Analysis 动态偏差分析EEdge and Cross Tangents 边缘与相交切线Edge and Normals 边缘与法线Edge Blend 边倒圆角Edge Chamfer 边倒直角Edge Curvature 边缘曲率Edge deviation 边缘偏差Edge Hiding Edge 边缘隐藏边缘Edge Only 仅边缘Edge to Face 边缘到表面Edit 编辑Edit a Tabular Note 编辑表格注释Edit Alignment 对齐编辑Edit Angle Feature 编辑角度特征Edit Annotation 编辑注释Edit Arc Length 编辑弧长Edit Boolean 编辑布尔运算Edit Breakout Section View 编辑剖切视图Edit Centerline 编辑中心线Edit Characteristics 编辑特性Edit Crosshatch Boundary 编辑剖面线边界Edit Current Drawing 编辑当前图纸Edit Curve 编辑曲线Edit Curve Parameters 编辑曲线参数Edit Dimension Associativity 编辑尺寸相关性Edit Dimensions 编辑尺寸Edit Drafting Object Associativity 编辑绘图对象的相关性 Edit Drawing 编辑图纸Edit During Update 更新期间编辑Edit Entire Segments 编辑整段Edit Extract Region 编辑抽取的区域Edit Feature 编辑特征Edit Feature Parameters 编辑特征参数Edit Fillet 编辑倒角Edit Free Form Feature 编辑自由特征Edit ID Symbol 编辑ID符号Edit Linked Region 编辑链接区域Edit Margin 编辑坐标尺寸定位边缘Edit object preferences 编辑对象预设置Edit Object Segments 编辑对象段Edit Ordinate (Set) Origin 编辑坐标尺寸原点Edit Ordinate Dim Doglegs 编辑坐标尺寸拐线Edit Ordinate Dimension 编辑坐标尺寸Edit Positioning 编辑位置Edit Scale 编辑比例Edit Search Filter 编辑搜索过滤器Edit Section Line 编辑剖切线Edit Sheet Boundary 编辑片体边界Edit Sketch Dimension 编辑草图尺寸Edit Solid Density 编辑实体密度Edit Spline by Adding a Point 通过添加点来编辑样条Edit Structure 编辑结构Edit V Degree 编辑V向阶次Edit View Display Preferences 编辑视图显示预设置Editing ,Moving Poles 编辑，移动极点Editing Dimension Text 编辑尺寸文本Editing Drafting Objects 编辑草图对象Editing GD&T Symbols 编辑形位公差符号Editing ID Symbols 编辑ID符号Editing Ordinate Dimensions 编辑坐标尺寸Editing Text 编辑文本Editing the Display of Drawing Views 编辑图纸视图的显示 Editing the Section Line Segments 编辑剖面线段Editing Utility Symbols 编辑实用符号Element Size 元素尺寸Ellipse 椭圆Emphasize Work Part 强调工作部件Empty List 空的列表Empty Reference set 空的引用集End Curvatures 端点曲率End Point 终点End Slopes 端点斜率End Tangent Overflow 溢流至切线结束Ends-apex-rho 端点－顶点－RHOEnds-apex-shoulder 端点－顶点－肩点Ends-slope-cubic 端点－斜率－三次曲线Ends-slopes-hilite 端点－斜率－高亮Ends-slopes-rho 端点－斜率－RHOEnds-slopes-shoulder 端点－斜率－肩点Engineering Feet/Inches 工程英尺/英寸Enter Radius 键入半径Entering dimension edit mode 进入尺寸编辑模式Entire Part 整个部件Entire Part Condition 整个部件条件Entity Origin 实体原点Entries Options 记录选项Environment V ariable 环境变量Equal Arc Length Segments 等弧长分段Equal Arclength 等弧长Equal Length 等长度Equal Radius 等半径Erase Objects 擦除对象Error Messages 错误信息Evaluating Concepts 评估概念Existing Line 存在线Existing Part 存在的部件Existing Point 存在点Exit Unigraphics 退出UGExpand 扩展Expand All 扩展所有的Exploded Views 爆破视图Exporting a Drawing 输出一张图纸Expression 表达式Expression Editior 表达式编辑器Expression Name 表达式名Extend Factor 扩展因子Extended Tangents 延伸相切Extension Line 1 延伸线1Extension Line 2 延伸线2Extension Line Display 延伸线的显示Extension Lines 延伸线Extension Sheet 延伸片体Extension Surface 延伸曲面Extensions 延伸External 外部的Extract 抽取Extract Attributes 抽取属性Extract Curve 抽取曲线Extract Expressions 抽取表达式Extract Geometry 抽取几何体Extract Isoline 抽取等参线Extracted Edges 抽取边Extracted Sketch 抽取的草图Extruded Body 抽取的实体FFabrication 制作,构成Face 表面Face Analysis 表面分析Face Analysis Display 面分析显示Face Blend 面倒圆Face Edges 面的边Face Normals 表面法线Face Pair Feature 成对面特征Face to Face 表面到表面Facepair_DEF 成对面_定义特征Facepair_SEL 成对面_选择特征Facet 小平面Facet Edge 小平面的边Faceted Body 用小平面表示的体Factor 因素Family Member 族成员Family of Parts 部件族Family Table 族表Fast Font 快速生成字体FEA有限元分析Feature 特征Feature Dependency 特征依付Feature Edit 特征编辑Feature Name 特征名Feature Operation 特征操作Feature Playback 特征回放Feature Selection 特征选择Feature Sets 特征集Feature Type 特征类型Feedrates 进给率FEM 有限元建模File 文件File Extensions 文件扩展名File Pull Dwon Menu 文件选项下拉菜单Fillet 圆角Fillet Sheet 圆角片体Fillet-Bridge 圆角-桥接Fillet-Rho 圆角－RhoFillet-Shoulder 圆角－肩点Filter 过滤器Filter Box 过滤器输入框Filter by choosing curve types 通过选择曲线类型过滤 Filter by choosing face types 通过选择面的类型过滤 Filter Methods 过滤方法Filtering 过滤Filtering and Filtering Mode 过滤和过滤模式Filters 过滤器Find Component 找部件Find Object 找对象Find Selected Components 找所选择的组件Find Work Part 找工作部件First Cross String 第一交叉线串First Offset 第一偏置First Primary String 第一主线串First Section String 第一截面线串First Set 第一组First Side String 第一侧边线Fit Methods 拟合方法Fit Splines 拟合样条Fit to Preview Window 拟合倒预览窗口Five-points-slope 五点－斜率Fixed 固定Fixed Length Method 固定长度方法Fixture 夹具Flag Section 标志区Flange 凸缘Flange Type 凸缘类型Flange Width 法兰宽度FLEXlm User Guide FLEXlm 用户指南Folded Radius Dimension 折线半径标注Font 字体Font Character 字符Font line 字行Font Object Library 字体库Font Table 字体表Forced Direction 受力方向FOREIGN CURVE 外来曲线Foreign expression 外来表达式Form Feature 成型特征Form Feature Boss Creation 成型特征：凸台建立Form Feature Pad Creation 成型特征：凸垫建立Form/Unform 成型/不成型Formatting Options 格式选项Forming Table 成型表Frame Height Factor 框架高度因子Free Form Feature 自由形状特征Free State 自由状态Freeze Parts 冻结部件Freeze Parts in Session 冻结进程中的部件Freezing Entries 冻结记录Freezing parts 冻结部件Fringes 边缘，条纹From Point Cloud 从点云From Poles 从极点Front 前视图Full Circle 整圆Full Circular Centerline 整圆中心线Fully loaded 全部加载Fully-constrained 全约束Functions 功能GGateway 入门Gaussian Radius 高斯半径GD&T Exercises 形位公差练习GD&T Symbol Placement 形位公差符号放置GD&T Symbols 形位公差符号General Concepts 通用概念General Conic 一般二次曲线General Function Specifics 通用功能General Pocket 通用腔General Spline 通用样条线Geometric Constraint 几何约束Geometric Tolerancing 几何公差Geometry Linker 几何体链接器Geometry Navigator 几何体导航器Geometry View 几何视图Global Layer Mask 全局层屏蔽Graph view 图形视图Graphics window 图形窗口Graphics Window Colors 图示窗口颜色Gray 灰色Green 绿色Grid 栅格Grid Lines 栅格线Groove 槽GSM （Graphics Schematics Module）原理图模块Guide Curve 引导曲线Guide String 引导线HH-Adapative Meshing H－自适应网格生成Half Angle 半角Half Section Cut 半剖Hard copy 硬拷贝Hard Interference 硬干涉Harness 电路设计模块Harness List 电路列表Header position 标题位置Hedgehog 刺猬状Helix 螺旋线Hexagon 六边形Hicken Sheet 增厚的片体Hidden Line 隐藏线hidden line removal 隐藏线去除High quality image 高质量图像Hinge Line 铰链线Hole 孔Hole Depth 孔深Hole Diameter 孔直径Hollow 挖空Hollow Enhancements 挖空增强功能Hollow feature 挖空特征Hollow Solid 挖空实体Horizontal Dimension 水平尺寸Horizontal Margin 水平坐标尺寸标注边界Horizontal Reference 水平参考Horizontal 水平的Horz and V ert Dim 水平和垂直尺寸Hyperbola 双曲线IID Symbol ID符号ID Symbol Size ID符号大小IGES IGES 标准Import Family Table Spreadsheet 输入部件族电子表格Imported Features/Datums 输入的特征/基准面Imported Tolerances 输入的公差Imported View 输入视图In group 成组Inactive 不激活的Include Tangent Faces 包括相切面Inconsistently constrained 约束不一致Increment Size 增量大小Indicate polygon vertex 标记多边形顶点Individual Layer Mask 单独层的屏蔽Infer Dimensions 推测尺寸Infer from Edge 从边推测Inferred Dimension 推断尺寸Inflection 变形Information 信息Information to be displayed 显示的信息Information Window 信息窗口Inherit 继承Inner Tangent Line 内切线Inset Flange 插入凸缘Inside Radius 内接半径Inside/Crossing 内部/相交Instance 引用特征Instance Array Dialog 引用排列对话框Instance Feature 引用特征Instance Type 引用类型Instance view 引用视图Interactive Check 交互检查Interactive Function 交互功能Interactive Step 交互步骤Interactive techniques 交互技术Interferes 干涉Internal error 内部错误Interpart Dependencies 部件间的相关性Interpart Expressions 部件间表达式Interpart Modeling 部件间建模Interpolate 插补Interpolation methods 插补方法Intersect 相交Intersect 相交，交叉Intersect Angle at Target 在相切点的交角Intersect Angle 交角Intersection curve 相交曲线Intersection point 交点Intersection tolerance 相交公差Intersects with Plane 与平面相交Invalid face code 无效的面代码Invalid Last Date V alue 无效的最后数据值Invalid name 无效的名称Invalid or unsupported system attribute name 无效的或不支持的系统属性名Invalid Part 无效的部件Invalid reference set name 无效的引用集名Invalid selection 无效的选择Invisible Hidden Edges 无效的隐藏边Invisible 不可见Invlaid edge code 无效的边代码Isolate Component 隔离组件Isolate Filtered Components 隔离过滤后的组件Isometric 正轴侧的Isometric View 正轴侧视图Isoparametric Trim/Divide 等参数修剪/分割Isoparmetric Element 等参元Isotropic Material 各向同性材料KKeywords 关键词Knot point 结点MMachine Tool View 加工刀具视图Machining Allowance 加工余量Machining Method View 加工方法视图Macro 宏Magenta 洋红Maintain View Orientation 维持视图方位Make Component Invisible 使组件不可见 Make Component Visible 使组件可见Make Displayed Part 使部件成为显示部件 Make Work Part 使部件成为工作部件Manager Roles 管理器任务Manual Rectangle 手工矩形Manufacturing 加工Manximum length 最大长度Margin Distance 边界距离Mass Analysis Results 质量分析结果Master Model 主模型Master Model Tolerancing 主模型公差Matching Edges 匹配边缘Mate 配对Mate Conditions 配对条件Mate Conditions Dialog 配对条件对话框 Mate Types 配对类型Mated Component 配对组件Material Condition Dialog 材料条件对话框 Materials/Textures 材料/纹理Mating Constraint 配对约束Maximum radius 最大半径MB1 鼠标左键MB2 鼠标中键MB3 鼠标右键Mean Radius 平均半径Menu 菜单Menu bar components 菜单条组件Menu reference 菜单参考Menu script 菜单描述Mesh 网格Mesh Density 网格密度Mesh of curves 曲线网格Message 信息Method 方法Micro positioning 微定位Micrometers 微米Mid point of Curve 曲线中点Mid Point 中点Mid value 中值Midside Nodes 中间节点Midsurface 中间面Midsurface feature 中间面特征Millimeters 毫米Minimum Radius 最小半径Minimum Radius Points 最小半径点Minimum radius value 最小半径值Minimum/maximum radius of curvature 曲率的最大或最小半径Minus Tolerance 负公差Minus/Plus Limit - One Line 负/正极限－一行Minus/Plus Limit - Two Lines 负/正极限－两行Mirror 镜像Mirror through line 通过线镜像Mirror Feature 镜像特征Miter Angle 斜接角度Modal 模态Model Check 模型检查Model Idealization 模型理想化Model Navigation Tool 模型导航工具Model Navigator 模型导航器Model Simplification 模型简化Model Space 模型空间Model Units 模型单位Model view 模型视图Modeling operation 建模操作Modeling spreadsheet 建模电子表格Model Navigator 模型导航器Mold/Die Design 注射模具/冲压模具设计Move Component 移动组件Move Defining Point 移动定义点Move Down 向下移动Move drafting entity origin 移动制图实体原点Move Drafting Object Origin 移动图纸对象原点Move Feature 移动特征Move Path 移动路径Move Pole 移动极点Move Up 向上移动Move/Copy View 移动/拷贝视图Moving a single point 移动单个点Moving Drawing Views 移动图纸视图Moving multiple points 移动多个点MSC/NASTRAN MSC/NASTRAN 有限元分析软件Multi-Patch Sheet 多补片片体Multiple Centerlines 多中心线LLast Cross String 最后的交叉线串Last Data V alue 最后的数据值。

图像放大算法

一、图像放大算法图像放大有许多算法，其关键在于对未知像素使用何种插值方式。

以下我们将具体分析几种常见的算法，然后从放大后的图像是否存在色彩失真，图像的细节是否得到较好的保存，放大过程所需时间是否分配合理等多方面来比较它们的优劣。

当把一个小图像放大的时候，比如放大400%，我们可以首先依据原来的相邻4个像素点的色彩值，按照放大倍数找到新的ABCD像素点的位置并进行对应的填充，但是它们之间存在的大量的像素点，比如p点的色彩值却是不可知的，需要进行估算。

图1-原始图像的相邻4个像素点分布图图2-图像放大4倍后已知像素分布图1、最临近点插值算法(Nearest Neighbor)最邻近点插值算法是最简单也是速度最快的一种算法，其做法是將放大后未知的像素点P，將其位置换算到原始影像上，与原始的邻近的4周像素点A,B,C,D做比较，令P点的像素值等于最靠近的邻近点像素值即可。

如上图中的P点，由于最接近D点，所以就直接取P=D。

这种方法会带来明显的失真。

在A,B中点处的像素值会突然出现一个跳跃，这就是出现马赛克和锯齿等明显走样的原因。

最临近插值法唯一的优点就是速度快。

2、双线性插值算法(Bilinear Interpolation)其做法是將放大后未知的像素点P，將其位置换算到原始影像上，计算的四個像素点A,B,C,D对P点的影响(越靠近P点取值越大，表明影响也越大)，其示意图如下。

图3-双线性插值算法示意图其具体的算法分三步：第一步插值计算出AB两点对P点的影响得到e点的值。

图4-线性插值算法求值示意图对线性插值的理解是这样的，对于AB两像素点之间的其它像素点的色彩值，认定为直线变化的，要求e点处的值，只需要找到对应位置直线上的点即可。

换句话说，A,B间任意一点的值只跟A,B有关。

第二步，插值计算出CD两点对P点的影响得到f点的值。

第三步，插值计算出ef两点对P点的影响值。

双线性插值算法由于插值的结果是连续的，所以视觉上会比最邻近点插值算法要好一些，不过运算速度稍微要慢一点，如果讲究速度，是一个不错的折衷。

NURBS曲线理论

第三章 NURBS 曲线理论基础NURBS 方法的提出是基于描述自由曲面曲线的B 样条方法。

B 样条基函数和B 样条曲线是UURBS 曲线的基础，UURBS 是非均匀有理B 样条的英文缩写。

因此在给出UURBS 曲线定义之前，先介绍一下B 样条基函数和B 样条曲线的相关知识。

3.1 B 样条基函数定义和性质B-Spline Function （简称B 样条）就是B 样条基函数，是样条函数的一种。

B 样条不但具有一般样条函数所具有的分段光滑又在各段交接处具有一定光滑性等特点，而且具有许多其他优良性质，如连续阶数可调、局部支撑性、递推性等。

有很多种方法可以用来定义B 样条基函数，我们这里采用de Boor-Cox 递推定义方法，是由这种递推法很容易和有效地在计算机上实现。

而且de Boor-Cox 递推定义很好地揭示了B 样条基函数的性质。

B 样条基函数的de Boor-Cox 递推定义如下：1,01,,11,1i 111[,N 0()()000i i i i i k i k i k i k i k i k i u u u u u u u N N u N u u u u u +++-+-++++⎧∈⎧=⎨⎪⎩⎪⎪--⎪=+⎨--⎪⎪=⎪⎪⎩）其他规定： (3. 1) 上式(3．1)中k 为B 样条的次数(k+1阶)；令U={u 0，u 1，…，u m }是一个单调不减的实数序列，u i 称为节点序列，U 称为节点矢量，若存在ui-1,<u i =u i+1=…=u i+r-1<u i+r 则称节点u i 的重复度为r ，其中，r 、n 均为整数；N i,k (u )表示参数为u 时，k 次B 样条序号为i 的基函数值。

B 样条具有良好的性质，简单概括主要有【18,20】： ● 递推性：定义式(3．1)很好的说明了这个性质。

● 规范性：对于定义域内任意参数u ，所有的k 次B 样条基函数之和恒为1，即1)(0,=∑=u N mi k i 。

bezier bezier曲线、b-样条生成原理

贝塞尔曲线（Bezier Curve）和B样条（B-Spline）是计算机图形学中常用的两种曲线生成方法，它们在图形设计、动画制作、CAD软件等领域被广泛应用。

本文将从贝塞尔曲线和B样条的生成原理入手，深入探讨它们的内在机制和应用。

一、贝塞尔曲线的生成原理贝塞尔曲线是一种由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）于1962年在汽车工业中首次引入的曲线生成方法。

其生成原理基于一组控制点来描述曲线的形状，这组控制点通过线性插值的方式来确定曲线的路径。

贝塞尔曲线的生成过程可以简要描述如下：1. 定义控制点：从给定的控制点集合中选择若干个点作为曲线的控制点。

2. 插值计算：根据控制点的位置和权重，通过插值计算得到曲线上的点。

3. 曲线绘制：利用插值计算得到的曲线上的点，进行绘制来呈现出贝塞尔曲线的形状。

在具体应用中，贝塞尔曲线的生成可以通过线性插值、二次插值和三次插值等不同插值方式来实现，其中三次插值的贝塞尔曲线应用最为广泛，其生成原理更为复杂，但也更为灵活。

二、B样条的生成原理B样条（B-Spline）是另一种常用的曲线生成方法，在实际应用中具有一定的优势。

B样条的生成原理与贝塞尔曲线不同，它是基于多项式函数的分段插值来描述曲线的形状。

B样条的生成过程可以简要描述如下：1. 定义控制点和节点向量：B样条需要定义一组控制点和一组节点向量（Knot Vector）来描述曲线的形状。

2. 基函数计算：根据节点向量和控制点，计算出关联的基函数（Basis Function）。

3. 曲线计算：利用基函数和控制点的权重，通过计算得到曲线上的点。

相比于贝塞尔曲线，B样条更为灵活，可以更精细地描述曲线的形状，并且能够进行局部编辑，使得曲线的变形更加方便。

三、应用比较与总结贝塞尔曲线和B样条是两种常用的曲线生成方法，它们各自具有一些优势和劣势，在实际应用中需要根据具体情况做出选择。

1. 灵活性比较：B样条相对于贝塞尔曲线更加灵活，能够更精细地描述曲线的形状，并且能够进行局部编辑，使得曲线的变形更加方便。

数学曲线类型

数学曲线类型
数学中常见的曲线类型有很多，以下是一些常见的数学曲线类型：直线（Line）：由一阶多项式方程定义，具有恒定的斜率。

1.抛物线（Parabola）：由二次多项式方程定义，呈现对称性。

2.椭圆（Ellipse）：由二次多项式方程定义，具有封闭形状的曲线。

3.双曲线（Hyperbola）：由二次多项式方程定义，具有两个分离的
支线。

4.长度函数曲线（Sine and Cosine Curve）：由三角函数方程定义，用
于描述周期性变化。

5.指数曲线（Exponential Curve）：由指数函数方程定义，定义了快
速增长或衰减的曲线。

6.对数曲线（Logarithmic Curve）：由对数函数方程定义，定义了逐
渐放缓的曲线。

7.Bézier 曲线（Bezier Curve）：由贝塞尔曲线方程定义，用于平滑曲
线拟合和图形设计。

8. B 样条曲线（B-spline Curve）：由B样条曲线方程定义，用于光滑
曲线建模和计算机图形学等领域。

9.螺旋线（Spiral）：由参数方程定义，呈现盘旋形状。

这里只是列举了一些常见的数学曲线类型，还有许多其他曲线类型和变种存在。

每种曲线都有其特定的性质和用途，适用于不同的数学和科学领域。

ANSYS中创建样条曲线的BSPLINE命令的例子

关于 ANSYS 中创建样条曲线的 BSPLINE 命令的一个例子有网友问到创建样条曲线的BSPLINE 命令中，最后 6 个参数的用法。

简单地说，这 6 个参数分为两组，用来指定样条曲线两个端点处，曲线的切线的斜率。

下面通过一个例子略做一些说明。

首先，在WorkPlane 上任意生成7 个KP 点，然后采用不同方式，通过这7 个KP 点生成Spline 曲线。

1 不指定后6 个参数：所生成的样条曲线：不指定两端斜率时，两端点附近的样条曲线为直线(零曲率)。

2 指定后6 个参数，第一种情况：为了指定后6 个参数，使用菜单项：Preprocessor > Modeling > Create > Lines > Splines > With Options > Spline Thru KP在弹出的对话框中，设置 6 个参数：前三个表示样条曲线起点处的斜率；后3 个表示样条曲线终点处的斜率。

首先设置为：即要求两端的斜率都是45 度，点击OK 后生成如下样条曲线：与第一条曲线比较，可以看到，第一个端点处为了满足45度斜率的要求，曲线被迫做了明显的改变；第二个端点处，由于KP 点 6 和7 的连线接近45度，因此看起来变化不大。

3 指定后6 个参数，第二种情况：操作过程同上，仍使用菜单项Preprocessor > Modeling > Create > Lines > Splines > With Options > Spline Thru KP但是将两端的斜率改为135度：所生成的样条曲线如下：如果同时绘制这 3 条曲线，可以看到指定两端的 6 个参数将强迫样条曲线端点处的斜率与由 6 个参数分别指定的斜率一致：这里需要注意的是：所指定的斜率矢量是从当前坐标系的原点开始计算的，与端点处的KP 点坐标无关，只是该KP 点处样条曲线的切线平行于所定义的斜率矢量。

origin b样条拟合原理

origin b样条拟合原理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：原始B 样条拟合原理是数字图像处理和计算几何学中常用的一种拟合方法。

B 样条是一种具有局部控制性质的函数，它通过一组控制点来定义曲线或曲面，能够很好地逼近给定的数据点集。

在B 样条拟合中，通常会使用一种称为“最小二乘法”的数学方法来优化曲线或曲面的拟合效果，使其尽可能地接近原始数据。

B 样条曲线的拟合过程一般可以分为以下几个步骤：1. 数据准备：首先需要准备原始数据点，通常是一组二维或三维的点集。

这些数据点可以是离散的采样点，也可以是由实际测量或模拟生成的点集。

2. 参数选择：确定B 样条的阶数和节点位置。

B 样条曲线的阶数决定了其拟合的平滑程度，而节点位置则影响了拟合曲线的形状。

3. 构建基函数矩阵：根据已知的节点位置和阶数，构建B 样条基函数矩阵。

B 样条基函数通常是局部支持的函数，其形式取决于B 样条的阶数和节点位置。

4. 求解线性方程组：将原始数据点表示为矩阵形式，拟合曲线表示为基函数矩阵与系数矩阵的乘积。

通过最小二乘法求解线性方程组，得到拟合曲线的系数。

5. 拟合曲线：利用求解得到的系数，计算拟合曲线的参数值，从而实现对原始数据点的拟合。

通过调整参数，可以改变拟合曲线的形状和平滑程度，进而优化拟合效果。

原始B 样条拟合原理具有很好的灵活性和鲁棒性，适用于处理各种类型的数据点。

它不仅可以用于曲线拟合，还可以拓展到曲面拟合和体积拟合等更复杂的问题上。

在实际应用中，B 样条拟合被广泛应用于计算机辅助设计、机器视觉、医学图像处理等领域，为数据分析和模型建立提供了重要的工具和技术支持。

原始B 样条拟合是一种强大而有效的拟合方法，通过优化参数和调整基函数，可以实现对不同类型数据的准确拟合，为数据处理和分析带来了很大的便利。

随着计算机技术的不断发展，B 样条拟合在科学研究和工程实践中将发挥越来越重要的作用，为实现更精确、更高效的数据分析和建模提供了有力支持。

无序B样条曲线的曲面拟合算法

无序B样条曲线的曲面拟合算法1.引言-简要介绍无序B样条曲线-论述无序B样条曲线的曲面拟合问题-描述研究的主要问题和目标2. 相关研究-介绍曲面拟合算法的发展历程-论述其他曲面拟合算法的优缺点-简单介绍无序B样条曲线拟合算法的前置知识3.算法设计-描述无序B样条曲线的定义和性质-详细阐述无序B样条曲线的曲面拟合算法-主要包括控制点的选择、权重函数的设计和优化策略的实现4.实验与结果-利用自己实现的算法，对高维数据集进行实验-对比不同算法的效果，分析无序B样条曲线曲面拟合算法的优点和局限性-通过实例来展示算法的应用5.结论和展望-对论文进行总结，强调无序B样条曲线曲面拟合算法在实际应用中的重要性-提出进一步研究无序B样条曲线算法的方向和可能的改进方案第一章：引言无序B样条曲线是一种广泛应用于计算机图形学和计算几何领域中的数学工具。

与传统Bezier曲线相比，B样条曲线的控制点可以增删、移动，具有更强的灵活性和变形能力。

因此，B样条曲线被广泛应用于CAD设计、工程制图、物理仿真等领域。

曲面拟合是B样条曲线的一个重要应用，也是本文研究的主题。

曲面拟合的目标是根据给定的数据点集，构建一个能够尽可能地代表原始数据点的曲面模型。

通常，数据点集是从真实物体的点云数据中获得的，因此它们往往是不规则、噪声较大的。

曲面拟合算法的目标是以尽可能少的控制点构建合适的曲面模型，以逼近给定的点云数据。

B样条曲线的曲面拟合算法也分为有序B样条曲线拟合和无序B样条曲线拟合两种。

有序B样条曲线是指曲线上的控制点以固定顺序连接，控制点的顺序和其位置决定了曲线的形状和拟合精度。

而无序B样条曲线对控制点的顺序和位置没有限制，因此拟合出的曲线可以更好地与原始点云数据相匹配。

本文主要研究无序B样条曲线的曲面拟合算法，旨在解决无序B样条曲线拟合算法复杂性高、精度难以控制等问题，提升曲面拟合的效率和精度。

本论文内容包括5个章节。

第一章是引言，对无序B样条曲线的曲面拟合做了简要介绍。

犀牛的点点深入

关于NURBS曲线NURBS曲线是Non-Uniform Rational B-Spline的缩写。

直译为不等距有理化B样条曲线，即B样条曲线的一种，是由构成曲线的节点间距不等，并用有理式表达的曲线。

B-Spline 曲线由I.J.Schoerleig和美国犹他大学的R.F.Riesenfeld提出，它具有Spline曲线和Bziez 曲线的优点，由Basis Spline函数构成曲线上的点叫做控制点，这个控制点的指定与变化可以控制曲线的形状。

B-Spline曲线叫做节点(Knot)，n次B-Spline曲线P(t)表达式如下式中k次NURBS曲线的基函数Nik(t)由下述递推公式确定(i=0,1,……n, k>0)上式中约定0/0=0由此，n次B-Spline曲线由n-1次曲线联结而形成Spline曲线，B—Spline曲线改善了Spline 的连续性。

节点间距相等的叫Uniform Rational B-Spline，而节点间距不相等的叫Non-Uniform Rational B-Spline。

严密地讲，前者只能近似表达圆柱、圆锥及球等，而后者改进了这一点。

其它曲线的基本表达式是多项式，而NURBS曲线则是以有理式为特征的，在作为CAD数据传输交换标准的IGES中采用，主要是作为自由曲线的表达形式。

除了容易描述曲线的局部变形以外，对圆柱、圆锥、球以至B-Spline曲线，Bzier所不能处理的双曲线也可以统一标准地表达出来，这是它的一大特征。

2 直线插补在加工中存在的问题以往将曲线用微小直线逼近直线插补的指令方法，在以下几方面存在着问题。

1) 程序过大加工精度越高，程序指令条也就越多，精度提高1/2，则程序指令条增大2½倍。

2) 必须大量、高速输入程序。

3) 加工面起棱加工面直接反映加工误差，当误差大时，曲面上可以看到近似直线加工所带来的表面不平滑的现象。

4) 延长加工时间根据程序指令加工时，为减小运行冲击需要减速，其结果延长加工时间。

第3章 NURBS基本概念

3.3.2 连续性的检测
Rhino提供多种工具链检测物件的连续性，包括：曲率图形、两条曲线的几何连续性、斑马纹分析（曲面连续性检测工具）。
3.3.3 曲率图形
Rhino提供的【开启曲率图形】工具以曲率梳的形式显示曲线内部或曲线间的连续性。用户可以通过观察曲率图形在曲线端点处的方向和高度来判断曲线之间的连续性。由于直线曲率为0 ，所以看不到曲率图形。
一、Non-Uniform：非均匀分布（包含均匀分布）
Uniform（均匀）与Non-Uniform（非均匀）是NURBS曲线节点赋值的方式，图 3-1所示，以两条相同的曲线为例，第一条曲线是Uniform（均匀）曲线，它是以每一个节点（Knot）或每一跨距（span）为曲线的参数铺设的依据，故第一条曲线每一节点的参数刚好是1，2，3…的整数,而不论其节点之间距离的长短。第二条曲线则是Non-Uniform（非均匀）曲线，它是以节点与节点之间的弦长（Chord length）为曲线的参数铺设的依据，故其曲线上每一节点的参数值是随距离而改变。
3.2 NURBS的属性
伴随着数字技术手段的成熟，能够应用于工业设计的相关软件也越来越多，按其在设计环节中的应用可以划分为数字草绘软件、二维图形图像软件、三维造型、渲染和动画软件、CAD/CAM软件和设计评估演示软件5大类。下面就常用的相关软件做简要介绍。
1.3.1 数字草绘软件
此类软件的最大特点是完全以数字模拟的手段将纸上作业的传统过程转移到电脑屏幕上来，通过模拟各种传统绘画工具的特性和图层的叠加来达到表现目的，在过程和效果上更加自由、出色，但前提是必须配备专门的数字输入设备，如数位手绘板（屏）等。
(2)相切连续（G1）。 G1连续在满足G0连续的基础上，还满足两条曲线在相接端点的切线方

B-Spline(B-样条线)精品PPT课件

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第4章自由曲线曲面
4.1 概述 4.2 参数曲线基础 4.3 曲线曲面拟合方法 4.4 参数多项式曲线 4.5 三次Hermite曲线 4.6 Bezier曲线 4.7 B样条曲线
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4.2参数曲线基础
曲线的表示形式
非参数表示
显式表示
y f (x)
z
g(x)
隐式表示 f (x, y, z) 0
称为调和函数
曲线可将简化为：
P(t)
G•
M
•T
H0 P0
H1P1
H
2
P' 0
H
3
P' 1
t [0,1]
33
4.5三次Hermite曲线
其矩阵表示形式为：
2 2 1 1 P0
P(t) t3 t2 t 1 3
3
2
1
P1
0 0 1 0 P0'
1
0
0
0
P1'
t [0,1]
34
4.5三次Hermite曲线
对形状数学描述的要求？从计算机对形状处理的角度来看（1）唯一性（2）几何不变性
对在不同测量坐标系测得的同一组数据点进行拟合，用同样的数学方法得到的拟合曲线形状不变。
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4.1概述
（3）易于定界（4）统一性：
统一的数学表示，便于建立统一的数据库标量函数：平面曲线 y = f(x)
空间曲线 y = f(x) z = g(x)
生成方法
插值
点点通过型值点插值算法：线性插值、抛物样条插值、Hermite插值
逼近
提供的是存在误差的实验数据
最小二乘法、回归分析
拟合
提供的是构造曲线的轮廓线用的控制点

基于PIA的B-Spline曲面实时交互修改方法

基于PIA的B-Spline曲面实时交互修改方法1. 引言- 研究背景和重要性- 相关工作综述- 研究目的和方法2. B-Spline曲面的基本原理- B-Spline曲线的定义和性质- B-Spline曲面的定义和性质- B-Spline曲面的表达方式3. PIA的实时交互修改方法- 数据结构的设计和实现- 点、线、面的实时修改算法- 边界控制方法- 曲面重构算法4. 算法的有效性和优越性- 实验结果分析- 与其他算法的比较- 算法的优势和局限性5. 结论- 研究总结和进一步工作的展望1. 引言B-Spline曲面是一种广泛应用于计算机图形学和计算机辅助设计领域的曲线表达方法，具有高度的灵活性和可控性。

B-Spline曲面的基本思想是将曲面分解为小块，用B-Spline函数来拟合每个小块，并通过不同的权值分配来控制曲面的形状。

因此，B-Spline曲面在许多应用场景中能够提供出色的曲面描述表现力和控制能力。

在实际应用中，B-Spline曲面的精确控制和实时交互修改是非常必要的。

基于传统的Bezier或B样条方法进行曲面修改时，需要重构整个曲面，在交互修改场景中，这样的操作代价很高且处理时间较慢，因此不适合实时交互修改。

为了解决这个问题，提出了一种基于PIA的B-Spline曲面实时交互修改方法，该方法利用了PIA数据结构的优点，可以在满足用户操作的同时，保持曲面与原始曲面的相对位置转移，从而实现了实时的曲面修改和交互。

本文的主要贡献如下：首先，对B-Spline曲面的基本原理进行了详细的阐述，包括B-Spline曲线和曲面的定义和性质，曲面的表达方式等；其次，介绍了基于PIA的实时交互修改方法的详细数据结构和算法设计；接着，通过实验结果分析和算法比较，说明了该算法的有效性和优越性；最后，总结了本文的工作，并展望了未来的研究方向。

本文的结构如下：Chapter 2介绍了B-Spline曲面的基本原理，其中包含了B-Spline曲线的定义和性质、B-Spline曲面的定义和性质以及B-Spline曲面的表达方式。