概率试题卷答案

广州大学2009---2010 学年第一学期考试卷

课程《概率论与数理统计》考试形式（闭卷，考试）

一.填空题（每小题3分，共计15分）

1．设A与B为两事件, P(A)=P(B)=, 且P(A∪B)=, 则P(AB)=

2．设A与B为两事件, P(A)=1-P(B)=, 且P(A∪B)=, 则P(A|B)=

3．口袋中有4个白球3个黑球, 从中任取两个, 则取到同颜色球的概率为37 4．设X服从正态分布, P(X 0)=, P(X≤2)=,则P(|X|≤2)=

5．设X与Y相互独立, D(X)=1, D(Y)=2，则协方差cov(2X+Y, X-2Y)= 2

二．单项选择题（每小题3分，共计15分）

1．设A表示事件“明天和后天都下雨”，则其对立事件A表示【 B 】

(A)“明天和后天都不下雨”(B)“明天或者后天不下雨”(C)“明天和后天正好有一天不下雨”(D)“明天或者后天下雨”

2．设事件A与B独立且0P(A)≤P(B)1，则下列等式中有可能成立的是【 C 】(A) P(A)+P(B)=P(A∪B) (B) P(A)=P(A∩B)

(C) P(A)+P(B)=1 (D) P(B)=P(A∪B)

3．设连续随机变量X 的分布函数为F (x ), a 为正数, 则P (|X | a ) 等于【 D 】 (A) F (a ) + F (-a ) (B) F (a ) + F (-a ) -1 (C) F (a ) - F (-a ) (D) 1- F (a ) + F (-a )

4．设X 与Y 为两个随机变量，则下列选项中能说明X 与Y 独立的是【 D 】

(A) E (X+Y ) = E (X ) + E (Y ) (B) E (XY ) = E (X ) E (Y )

(C) D (X+Y ) =D (X ) + D (Y ) (D) 对a , b 有P (X ≤a ,Y ≤b )=P (X ≤a ) P (Y ≤b ) 5. 设二维随机变量(X , Y ) 服从某个圆形区域上的均匀分布, 则一定有【 A 】

(A) X 与Y 不相关 (B) X 与Y 相互独立 (C) X 与Y 同分布 (D) X 与Y 都服从均匀分布 三．解答下列各题（每小题8分，共计32分）

1. 学生在做一道单项选择题时，若他知道正确答案则一定答对，否则就从4个选项

中随机选择一项作答. 设学生知道正确答案的概率是, 求他答对题目的概率. 解: 设A 表示学生答对题目, B 表示学生知道正确答案.

)|()()|()()(B A P B P B A P B P A P += 4分

= 1+ = 8分

2. 某人投篮的命中率为. 求他投篮3次当中至少投中2次的概率. 解: 以X 表示3次投篮投中的次数, 则X ~ b (3, . P (X 2) = P (X =2) + P (X = 3)

4分

= 8分

3．设有200台机器同时独立工作, 每台机器出现故障的概率为, 求至少有2台机器

3

2237.03.07.0+⨯=C

⎪⎩⎪⎨⎧<≥=1

,01,1)

(2

x x x x f 出现故障的概率.

解: 以X 表示出现故障的机器台数, 则X ~ b (200, .

则 X 近似服从泊松分布, 参数 =200=2. 2分 P (X 2) = 1 P (X =0) P (X = 1) 1 e 2 2e 2 4分

= 1 3e 2 8分

4．设随机变量X 的密度函数为 , 求Y =1/X 的数学期望. 解: 4分 8分 四.(本题12分) 有4个外观完全相同的盒子, 其中2个装有气球. 随机打开一个盒子,

若没有气球则从其余的盒子中随机选择一个打开, 如此继续, 直到发现气球为止. (1) 求打开第3个盒子才找到气球的概率.

(2) 以X 表示找到气球时打开的盒子数, 写出X 的分布律. (3) 计算X 的数学期望和方差.

解: (1) 设A 1, A 2分别表示第1次和第2次打开空盒子. 所求概率为

6

1

3121)|()()(12121=

⨯==A A P A P A A P 4分

8分

(3) E (X ) =1 12+2 13+3 16 =53 10分

E (X 2) =12 12+22 13+32 16 =103

D (X ) =

E (X 2) E (X ) 2 =103 (53) 2=59 12分

五．(本题14分) 已知 (X ,Y )服从平面区域D ={(x ,y ): x +y 1, x >0, y >0} 上的均匀分布. (1) 写出(X ,Y )的联合密度函数f (x ,y ). (2)分别求1X 和Z =X +Y 的分布函数.

dx x f

x Y E ⎰∞⋅⋅=1)(1

)(2

1113=⋅=⎰∞dx x

(3) 计算X 与Y 的相关系数.【提示: 2cov(X , Y ) =D (X +Y )D (X )D (Y )】

解: (1)⎩⎨⎧≤+>>=其它,0;

1,0,0,2),(y x y x y x f 3分

(2) F 1X (t ) = P (1X t ) = P (X 1 t ) =区域D ∩{(x ,y ): x 1 t }的面积2. 当0 t 1时, D ∩{(x ,y ): x 1 t }的面积= t 22, 故

⎪⎩

⎪

⎨⎧>≤<≤=-.1,1;

10,;0,

0)(21t t t t t F X 6分

F Z (t ) = P (X +Y t ) =D {(x ,y ): x + y t }的面积2. 即

⎪⎩

⎪

⎨⎧>≤<≤=.1,1;

10,;0,0)(2t t t t t F Z 9分

(3) 由前面知1X 与Z =X +Y 同分布, 且易知X 与Y 同分布, 故

D (X +Y ) =D (1X ) =D (X ) =D (Y ), 2cov(X , Y ) =D (X +Y )D (X )D (Y ) = D (X )

21

)(),(cov )

()(),(cov -===X D Y X Y D X D Y X XY ρ 14分

六．(本题12分) 某种型号元件的寿命X (单位:年)服从指数分布, 其参数 =ln2. (1) 求单个元件在使用1年后仍然有效的概率.