大学物理课件 §10-8 静电场的能量

两极板分别带电为+q和-q，断开电源，再把两极板
拉至2d ，试求：1、外力克服电力所做的功。
2、两极板间的相互作用力？
q q
解： 1) 根据功能原理可知，外力 的功等于系统能量的增量；
d 初态
电容器两个状态下所存贮的能量差 等于外力的功：
E W q2 q2 2C2 2C1
q q
末态
q2 C1 C2 q2 d
解: 由高斯定理知：
E e 2π 0r
R1 r R2
不击穿时：
Eb
m a x 2π 0R1
R1
R2
L
U
R2
E
dr
R2
e dr e ln R2
R1
R1 2π 0r
2π 0 R1
We
1 2
eU
2e ln R2 4π0 R1
7
电场能量也可写成：
We
π 0 E 2 R12 ln
R2 R1
We
A
Q2 2C
1 CU 2 2
1 QU 2
2
因为电容器中的电量、场强和电压分别为
Q = S = E S , E=E/εr=σ/ε, UAB = E d
由此可以求得电容器 中静电能量
We
1 E 2 (Sd )
2
电容器中静电能的 能量密度
we
We Sd
1E2
2
1 2
DE
1 2
0
E
2
对于非匀电能就是该体系所具有 的电势能，它等于把各电荷元从无限远离的状态聚 集成该带电体系的过程中，外界所作的功。
带电体系所具有的静电能是由电荷所携带呢，还 是由电荷激发的电场所携带？能量定域于电荷还是 定域于电场？在静电场中没有充分的理由，但在电 磁波的传播中能充分说明场才是能量的携带者。
能量是定域于场的，静电能是定域于静电场的。
1
在电容器充电过程中,设某时刻两极板间的电压 为UAB , 在外力作用下持续地将 dq 电量从负极板移 到正极板时，外力因克服静电场力作的功为：
dA
U
AB
dq
1 C
qdq
A Q q dq 1 Q2 1 CU 2 0C 2C 2
C+ R
所以在电容器中储存的能量为：
sin d
2
d
0
0
0
4
例1.一个半径为R，带电荷为q的金属球浸没在电容率
为 的无限大均匀电介质中，求空间的电场能量。
解: 因为球内没有电场，电场能
为零， 由高斯定理求得球外的
电场强度为
S D dS q
r
qR
即 4 r2 D = q
S
解得电感应强度为
q D 4 πr 2
Dq
E 4πr 2
该处的能量密度为
we
1 2
E2
q2
32 2
r4
5
在半径为 r 与 r + dr 之间的球壳的能量为
d We
we 4 r 2d r
q2
8 r 2
dr
空间的总能量为
We
dWe
q2
8
R
dr r2
q2
8 R
6
例2. 圆柱形电容器（同轴电缆），中间是空气， 其击穿电场 E 3106V / m 外半径R2=0.01m。 求空气不被击穿时内半径 R1 取多大值可使电容器 存储的能量最多。
元d 内的电场能量为
dWe
we d
1 2
E 2d
整个电场的能量可以表示为
We
dWe
1 E 2d
2
1 DE d
2
3
在各向异性电介质中，一般说来D与E的方向 不同，这时电场能量密度应表示为
we
1 2
D
E
We
1 2
D
E
d
z
球坐标的体元
d dr r sind rd
y
x
d
R r 2dr
要使电容器储能最多，可对上式求导：
dWe dR1
π 0 E 2 R12 (2 ln
R2 R1
1)
0
电容器的内半径：
R1
R2 e
6.07 10 3 m
电容器不被击穿时的最大电势差：
Umax
ER1 ln
R2 R1
ER2 2e
9.10 103V
8
例3.一平板电容器面积为S，间距d，用电源充电后，
2 C1C2
2 0 r S
2d
9
W q2 C1 C2 q2 d
2 C1C2
2 0 r S
W q2 2C1
若把电容器极板拉开一倍的距离，所需外力的功
等于电容器原来具有的能量。
2 ) 外力反抗极板间的电场力作功
W F d
F W q2d q2
d 20 r Sd 20 r S
极板间的力
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