大学物理 静电场(高斯定理)课件.ppt

qi
E dS Ei dS
S
Si
i
0
。
讨论
1.闭合面内、外电荷的贡献

对 E 都有贡献
对电通量 E dS 的贡献有差别
只有闭合面S 内的电量对电通量有贡献
2.静电场性质的基本方程 有源场
3.源于库仑定律 高于库仑定律
4.微分形式
1
E 0

qi内
E dS i
S
0
。
补充：立体角的概念
平面角：

r 由一点发出的两条射线之间的夹角
取 r1为半径的弧长 dl1 d r1
dlr1 0dl0
dl
当然 也
dl0 r0
r 射线长为
r1
d
dl1
一般的定义：线段元dl 对某点所张的平面角
d

dl0

dl
cos
rr
在闭合面上任取面元 dS1
q
dS
r2
2
S
r1 r^1
E2
E1
dS1
该面元对点电荷张的
d
1
立体角 d
也对应面元dS2
两d面元E处1 对ds1应的E2点 d电s2 荷的4电q0r场12 ^强r1 度ds1分 别4为q0r22Er^21， dsE2 2
d
E dS
d Eds
若面积元不垂直电场强度，
匀强电场
E ds
E
dS dS
电场强度与电力线条数、面积元的

关系怎样？
由图可知

通过
ds和 ds
电力线条数相同
ds dsn^

d Eds Edscos
d E dS
。
2.电力线的性质 1)电力线起始于正电荷(或无穷远处)， 终止于负电荷，不会在没有电荷处中断； 2)两条电场线不会相交； 3)电力线不会形成闭合曲线。

4
q
0r 2
r
dS

qds cos 4 0r 2
q d
4 0

E dS
q d q
d q
S
S 4 0
4 0 S
0
在所设的情况下得证

E

ds

S
。
q内i
i
0
2)源电荷仍是点电荷
取一闭合面不包围点电荷(如图示)
然后推广至一般电荷分布的场
1) 源电荷是点电荷
在该场中取一包围点电荷的闭合面(如图示)
在闭合面S上任取面元
ds
q
E

该面元对点电荷所张
的立体角 d
S d

dS
点电荷在面元处的场强为 E
。
点电荷在面元处的场强为
E

q
4 0r 2
r^
qr S d
r^
E

dS

d

E
dS
Q
Ro
r
P E
S
dS
取过场点的 以球心 o 为心的球面
先从高Байду номын сангаас定理等式的左方入手
先计算高斯面的电通量

E dS
EdS E dS E4 r 2
S
S
。S

E dS E4 r 2
S
再根据高斯定理解方程
qi
E4r i 0
Q
Ro
r
P E
S
dS
qi
E

i
4 0r 2
过场点的高斯面内电量代数和?
r<R qi 0
i
r>R qi Q
i
r< R E 0
r> R
。
E

Q
4 0r 2
如何理解面内场强为0 ?
P
过P点作圆锥
dq1
则在球面上截出两电荷元
。
四. 高斯定理在解场方面的应用
对 Q 的分布具有某种对称性的情况下 利用高斯定理解 E 较为方便
常见的电量分布的对称性：
球对称
均
匀 带
球体
电 球面
的 (点电荷)
柱对称 无限长 柱体 柱面 带电线
。
面对称 无限大 平板 平面
例1 均匀带电球面 总电量为 Q 半径为 R 求：电场强度分布
解: 根据电荷分布的对称性， 选取合适的高斯面(闭合面)
。
单位：弧度

r 平面角
d

dl0

dl
cos
rr
立体角
d
面元dS 对某点所张的立体角：
r1
drlr1 0dl0
dl
dS
锥体的“顶角”
d
dS1 dS0
对比平面角，取半径为 r1 r1
r0
球面面元 ds1
定义式
d
dS1 r12

dS0 r02
dS
d r 2 cos
单位 球面度
qds1 cos1 qds2 cos2 0
4 0r12
4
0
r 2。 2
d1 d2 0
SE ds 0
此种情况下 仍得证 3) 源和面均 任意

q
dS
r2
2
S
r1
r^1
E2
E1
dS1
d
1

E

ds

i
qi
S
0
根据叠加原理可得
。
规定：面元方向
由闭合面内指向面外

E dS 确定的值 S
E

ds
<0
电力线穿入
E
E

ds>0
电力线穿出

dS
。
S
dS
三.静电场的高斯定理 Gauss theorem 1.表述 在真空中的静电场内，任一闭合面的电通量
等于这闭合面所包围的电量的代数和除以 0 。
。
计算闭合平面曲线对曲线内一点所张的平面角
d dl cos dl0 2 弧度
l
lr
r l0 0
平面
r0 r
l0
l
计算闭合曲面对面内一点所张的立体角
d dS0 4
S
r2
S
0 。
球面度
2.高斯定理的证明 库仑定律 + 叠加原理
思路：先证明点电荷的场
§3 高斯定理
一.电力线
用一族空间曲线形象描述场强分布
通常把这些曲线称为电场线(electric field line)或电力线 (electric line of force)
1.规定
方向：力线上每一点的切线方向；
大小：在电场中任一点，取一垂直于该点场强 方向的面积元，使通过单位面积的电力线数目， 等于该点场强的量值。 。
把曲面分成许多个面积元
每一面元处视为匀强电场

d E dS
S
S
。
E dS
S
讨论
正与负
E dS

d E dS
取决于面元的法 线方向的选取
S
如前图 知 E
若如红箭头所示

ds>0
则E

ds
<0
通过闭合面的电通量

S
SE dS
之所以具有这些基本性质， 由静电场的基本性质和场的单值性决定的。 可用静电场的基本性质方程加以证明。
。
匀强电场
二.电通量 (electric flux)
藉助电力线认识电通量 通过任一面的电力线条数
dS



E

dsE
dS

通过任意面积元的电通量 d E dS
通过任意曲面的电通量怎么计算？