九年级数学下册知识点总结知识讲解

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人教版九年级下册数学知识点总结

人教版九年级下册数学知识点总结一、反比例函数的概念反比例函数是指函数y=k/x（k≠0）的形式，其中自变量x 的指数为-1.在解决有关自变量指数问题时，应特别注意系数这一限制条件。

另外，反比例函数也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式。

反比例函数的自变量不能为0，故函数图像与x轴、y轴无交点。

二、反比例函数的图像画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称。

由于反比例函数中自变量x≠0，函数值y≠0，所以它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

反比例函数的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。

在作反比例函数的图像时，应注意以下几点：①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。

三、反比例函数及其图像的性质1．函数解析式：y=k/x（k≠0）2．自变量的取值范围：x≠03．图像：1）图像的形状：双曲线，曲度越大。

2）图像的位置和性质：当k>0时，图像的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图像的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大。

3）对称性：图像关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在另一支上。

图像关于直线y=x和y=-x对称。

4．k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线y=k/x的一点，在双曲线的另一支上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是|k|（三角形PAO和三角形PBO的面积都是1/2|k|）。

如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥XXX的延长线于C，则有三角形PQC的面积为2|k|。

第28章+锐角三角函数知识点总结及思维导图+2023—2024学年人教版数学九年级下册

第28章锐角三角函数【思维导图】28.1锐角三角函数【知识点】1.Rt△ABC中，∠C=90°.（1）∠A的对边与斜边比，叫做∠A的正弦，记为sinA，即sinA=∠A的对边斜边=aa（2）∠A的邻边与斜边比，叫做∠A的余弦，记为cosA，即cosA=∠A的邻边斜边=aa（3）∠A的对边与邻边比，叫做∠A的正切，记为tanA，即tanA=∠A的对边∠A的邻边=aa∠A的正弦、余弦、正切统称为∠A的锐角三角函数.提示：sin A 不是sin与A的乘积，而是一个整体，cosA和tanA同理；锐角三角函数的三种表示方法：sin A，sin 56°，sin∠DEF.2.一个锐角的三角函数值是一个比值，它与三角形的大小无关，它没有单位.在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的锐角三角函数值为定值.锐角三角函数锐角α30°45°60°sin α12√22√32cos α√32√2212tan α√331√3（1）正弦值、正切值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小.（2）sin α=cos（90°-α）cos α=sin（90°-α）tan α·tan（90°-α）=1（3）锐角A 的正弦、余弦的取值范围分别为：0<sin A<1,0<cos A<1, （4）cos 2A+sin 2A=1 sin 2A+sin 2（90°-α）=1（5）tan A=sin A cos A4.锐角三角函数值是个常数值，它只与角的度数有关，将来离开了直角三角形也存在.5.若α=45°，则sin α=cos α；若α<45°，则sin α<cos α；若α>45°，则sin α>cos α；28.2解直角三角形及其应用 28.2.1 解直角三角形【知识点】1.在直角三角形中，由已知元素求出其余未知元素的过程就是解直角三角形.2.在直角三角形中，三边之间的关系是a 2+b 2=c 2（勾股定理）；两锐角之间的关系是∠A+∠B=90° 边角之间的关系有sinA=∠A 的对边斜边，cosA=∠A 的邻边斜边，tanA=∠A 的对边∠A 的邻边3.在直角三角形的六个元素中，除直角外的五个元素只要知道其中的两个元素，就可以求出其余三个元素，其中至少有一个是边.4.在Rt △ABC 中，∠C=90°，若已知∠A=α，AB=c ，较简便的方法是用正弦求出BC ，用余弦求出AC ，也可用勾股定理求出AC ，根据直角三角形的两锐角互余求出∠B.单元练习一、选择题1.已知∠α为锐角，且sin a=12,则∠α=( )A.30°B.45°C.60°D.90°2.sin 60°的相反数是( )A.-12B.−√33C.−√32D.−√223.如图，在∠ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则cosA的值为( )A．52B．12C．255D．554.如图，在4×5 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，∠ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB 的值为( )A.3√55B.√175C. 35D. 455.在∠ABC中,∠A,∠B均为锐角,且|2sin A-1|与(cos a-√22)2互为相反数,则∠C的度数是( )A.45°B.75°C.105°D.120°6.如图，在∠ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sinB＝35，则AC的长为( )A．3 B．9 C．4 D．127.如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α,测倾仪的高A D为1.5米,则铁塔的高BC为( )A.(1.5+150tanα)米a.(1.5+150tan a)米C.(1.5+150sinα)米a.(1.5+150sin a)米8.在Rt∠ABC 中,∠C=90°,AB=2BC,则cos A 的值为 ( ) A.√32 B .12 C .√33 D .√229.如图，在∠ABC 中，CA ＝CB ＝4，cosC ＝14 ，则sinB 的值为( )A.102 B ．153 C ．64 D ．10410.如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线 AC 与BC 相互垂直，∠CAB=α,则拉线 BC 的长度为(点 A,D,B 在同一条直线上)( ) a .asin a a .acos a a .atan a D. h·cosα11.定义一种运算:cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.例如:当α=60°,β=45°时,cos(60°-45°)=12×√22+√32×√22=√2+√64,则cos 75°的值为 ( )A.√6+√24 B .√6-√24C.√6-√22 D .√6+√2212.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A ，B ，C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C ，D ，则cos∠ADC 的值为( )A ．21313B ．31313C ．23D ．53 二、填空题,则cos B=_______.13.在∠ABC中, aa=90°,tan a=√3314.已知α为锐角,当无意义时,cos α的值是_______.√3tan a-115.如图，在Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，CD∠AB，垂足为D，若AC＝ 5 ，BC ＝2，则sin∠ACD的值为_________．16.某物体沿着坡比为4：3的坡面上升了8米，那么在坡面上移动了_______米.17.如图,已知正方形ABCD和正方形BEFG,点G在AD上,GF与CD交于点,正方形ABCD的边长为8,则BH的长为_______.H,tan∠ABG=1218．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC＝2，设tan∠BOC＝m，则m的取值范围是_________．三、解答题19.图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成.当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下)，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位.图2是其示意图，经测量，钢条AB=AC=50 cm,∠AB C=47°.(1)求车位锁的底盒BC的长；(2)若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位? (参考数据：aaa47°≈0.73,aaa47°≈0.68,aaa47°≈1.07)20.某景区为给游客提供更好的游览体验,拟在如图∠所示的景区内修建观光索道.其设计示意图如图∠所示,以山脚A为起点,沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道,最终到达山顶D处,中途设计了一段与AF平行的观光平台BC,BC长为50 m.索道AB与AF的夹角为15°,CD与水平线的夹角为45°,A、B两处的水平距离AE为576 m,DF∠AF,垂足为点F.(图∠中所有点都在同一平面内,点A、E、F 在同一水平线上)(1)求索道AB的长(结果精确到1 m);(2)求AF的长(结果精确到1 m).(参考数据:sin 15°≈0.25,cos 15°≈0.96,tan 15°≈0.26,√2≈1.41)21.八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了450米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上，求菜园与果园之间的距离．(结果保留整数．参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)。

九年级数学下册知识点

九年级数学下册知识点九年级下册数学知识点归纳圆★重点★①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④与圆有关的比例线段定理。

☆内容提要☆一、圆的基本性质1.圆的定义(两种)2.有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。

3.“三点定圆”定理4.垂径定理及其推论5.“等对等”定理及其推论6.与圆有关的角：⑴圆心角定义(等对等定理)⑵圆周角定义(圆周角定理，与圆心角的关系)⑶弦切角定义(弦切角定理)二、直线和圆的位置关系1.切线的性质(重点)2.切线的判定定理(重点)3.切线长定理三、圆换圆的位置关系1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切)2.相切(交)两圆连心线的性质定理3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质四、与圆有关的比例线段1.相交弦定理2.切割线定理五、与和正多边形1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形)2.三角形的外接圆、内切圆及性质3.圆的外切四边形、内接四边形的性质4.正多边形及计算中心角：初中数学复习提纲内角的一半：初中数学复习提纲(右图)(解Rt△OAM可求出相关元素,初中数学复习提纲、初中数学复习提纲等)六、一组计算公式1.圆周长公式2.圆面积公式3.扇形面积公式4.弧长公式5.弓形面积的计算方法6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算初三下册数学知识点总结一、锐角三角函数正弦等于对边比斜边余弦等于邻边比斜边正切等于对边比邻边余切等于邻边比对边正割等于斜边比邻边二、三角函数的计算幂级数c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn(n=0..∞)c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n(n=0..∞)它们的各项都是正整数幂的幂函数,其中c0,c1,c2,.....及a 都是常数,这种级数称为幂级数.泰勒展开式(幂级数展开法)f(x)=f(a)+f'(a)/1!.(x-a)+f''(a)/2!.(x-a)2+...f(n)(a)/n!.(x-a)n+...三、解直角三角形1.直角三角形两个锐角互余。

九年级数学下册等腰、等边及直角三角形知识点总结

第16讲等腰、等边及直角三角形知识点一：等腰和等边三角形关键点拨与对应举例1.等腰三角形（1）性质①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC ∠B＝∠C；②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.（2）判定①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.（1）三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立. 如：如左图，已知AD⊥BC,D为BC的中点，则三角形的形状是等腰三角形.失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论. 如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.2.等边三角形（1）性质①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.（2）判定①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.例：△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为9.知识点二：角平分线和垂直平分线3.角平分线（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上．例：如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=6.4.垂直平分线图形（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．知识点三：直角三角形的判定与性质5.直角三角形的性质(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝12AB；(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝12AB.(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即a2＋b2＝c2 .（1）直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.（2）已知两边，利用勾股定理求21P COBAPCO BADABC abccD。

九年级下册数学全部知识点

九年级下册数学全部知识点一、有理数和小数1. 有理数的概念和分类2. 有理数的加法、减法、乘法和除法操作3. 小数的概念和表示方法4. 有限小数和循环小数的转换和运算5. 乘方和开方的计算二、代数式和方程式1. 代数式的概念和基本性质2. 一元一次方程的解法和实际应用3. 一元二次方程的解法和实际应用4. 不等式的解集和图像表示5. 平方差公式和完全平方公式的应用三、函数和图像1. 函数的定义和性质2. 一次函数的表达式、图像和性质3. 二次函数的表达式、图像和性质4. 绝对值函数的表达式、图像和性质5. 渐近线和奇偶性的判断四、几何图形与变换1. 平行线和垂直线的性质及判定2. 三角形的分类、性质和判定3. 四边形的分类、性质和判定4. 圆的性质和常见定理5. 平移、旋转、翻转和投影变换五、统计与概率1. 统计图表的制作和分析2. 中心、离散和形状的度量3. 概率的基本概念和计算方法4. 事件的独立性和互斥性以上列举了九年级下册数学的全部知识点，从有理数和小数的基础概念，到代数式和方程式的解法，再到函数和图像的性质和变换，以及几何图形和统计概率的应用，包含了数学学科的主要内容。

在学习这些知识点时，需要掌握基本的计算方法和推理能力，以及运用数学知识解决实际问题的能力。

数学作为一门学科，不仅有自己严谨的逻辑和推理规律，还有广泛的应用领域。

通过学习九年级下册数学知识，不仅可以提高我们的数学素养，还能培养我们的分析问题和解决问题的能力。

希望同学们能够认真学习，掌握这些知识，为将来更高层次的数学学习打下坚实的基础。

九年级下册数学知识点汇总(人教版)

九年级下册（人教版数学）知识点汇总目录反比例函数 (1)26.1反比例函数 (1)● 反比例函数的定义 (1)● 反比例函数的图像 (1)● 反比例函数图像的对称性 (1)● 反比例函数的性质 (2)● 反比例函数系数k的几何意义 (2)● 反比例函数图像上点的坐标特征 (2)● 待定系数法求反比例函数解析式 (2)● 反比例函数与一次函数的交点问题 (3)26.2实际问题与反比例函数 (3)● 根据实际问题列反比例函数关系式 (3)● 反比例函数的应用 (4)相似 (5)27.1图形的相似 (5)● 相似图形 (5)27.2相似三角形 (5)● 相似三角形的判定 (5)● 相似三角形的应用 (5)● 相似多边形的性质 (5)● 相似三角形的性质 (6)● 相似三角形的判定与性质 (6)● 作图--相似变换 (6)● 射影定理 (6)27.3位似 (7)● 位似变换 (7)● 作图-位似变换 (7)锐角三角函数 (8)28.1锐角三角函数 (8)● 锐角三角函数的定义 (8)● 锐角三角函数的增减性 (8)● 同角三角函数的关系 (8)● 互余两角三角函数的关系 (9)● 特殊角的三角函数值 (9)28.2解直角三角形及其应用 (9)● 解直角三角形 (9)● 解直角三角形的应用 (10)● 解直角三角形的应用--坡度坡角问题 (10)● 解直角三角形的应用--仰角俯角问题 (10)● 解直角三角形的应用--方向角问题 (10)投影与视图 (11)29.1投影 (11)● 平行投影 (11)● 中心投影 (11)● 视点、视角和盲区 (11)29.2三视图 (11)● 简单几何体的三视图 (11)● 简单组合体的三视图 (12)● 由三视图判定几何体 (12)● 作图--三视图 (12)29.3课题学习、制作立体模型 (12)● 课题学习制作立体模型 (12)反比例函数26.1反比例函数●反比例函数的定义【反比例函数的概念】形如的函数称为反比例函数．其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于的一切实数．【反比例函数的判断】判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为或.●反比例函数的图像【反比例函数的图象】反比例函数的图象是由两条曲线组成的，这两条曲线通常称为双曲线当k>0时，两个分支分别位于第一、三象限内；当k<0时，两个分支分别位于第二、四象限①k>0②K<0●反比例函数图像的对称性【反比例函数图象的对称性】1、反比例函数图象本身既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线y=-x ；一、三象限的角平分线y=x ；对称中心是：坐标原点．2、若经过原点的直线与反比例函数交于两点，则这两点关于原点对称；3、反比例函数与的图象关于x轴，y轴对称.●反比例函数的性质●反比例函数系数k的几何意义【反比例系数的几何意义】1.在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．2.在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．●反比例函数图像上点的坐标特征【反比例函数图象上的点的坐标特征】1. 若点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足反比例函数解析式2. 若点在反比例函数图象上，则也一定在反比例函数图象上3. 若点A（x,y）在反比例函数的图像上，则xy=k●待定系数法求反比例函数解析式【待定系数求反比例函数解析式的一般步骤】(1)设出含有待定系数的反比例函数解析式；(2)把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；(3)解方程，求出待定系数；(4)写出解析式．●反比例函数与一次函数的交点问题【反比例函数与一次函数的交点】1.(1)求反比例函数与一次函数的交点坐标时，先把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解，则两者有交点，方程组无解，则两者无交点；(2)已知反比例函数与一次函数的交点坐标，把点的坐标带入函数解析式可求得函数关系式或系数间的等量关系.2.判断正比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：(1)当k1与k2同号时，正比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中有2个交点；(2)当k1与k2异号时，正比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中有0个交点．26.2实际问题与反比例函数●根据实际问题列反比例函数关系式【列反比例函数关系式的一般解题思路】根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式．根据图象去求反比例函数的解析式，或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的．注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围．【根据实际问题列反比例函数的步骤】步骤1：审：审清题意,找出题目中的常量、变量,并理清常量与变量之间的关系。

九年级数学下册各章知识点

九年级数学下册各章知识点第一章：有理数1. 有理数的概念：有理数是整数和分数的统称，包括正数、零和负数。

2. 整数的加减法：同号两数相加、异号两数相减。

3. 分数的加减法：通分后相加减。

4. 有理数的乘除法：同号异号相乘、除法转化为乘法求解。

5. 有理数的乘方：正数与负数的幂的性质。

第二章：代数式与方程1. 代数式的概念：包含有常数和变量，并且包含加减乘除等运算符号的式子。

2. 代数式的运算：常数与变量的运算、代数式的合并与展开。

3. 简单方程的解法：等式的转化与解方程。

4. 一元一次方程：含有一个未知数的一次方程的解法与应用。

5. 实际问题中的应用：运用方程进行实际问题的解答。

第三章：函数与图像1. 函数的概念：函数是自变量与因变量之间的关系，每个自变量对应唯一一个因变量。

2. 函数的表示：函数关系可以通过表格、图像、公式等形式表示。

3. 线性函数：函数图像为直线的函数。

4. 平方函数：函数图像为抛物线的函数。

5. 函数的最值：函数图像的最大值和最小值。

第四章：全等与相似1. 图形的基本概念：点、线、面及其性质。

2. 直线、射线、线段的比较：长度比较和角度比较。

3. 全等三角形：全等三角形的判定条件与性质。

4. 相似三角形：相似三角形的判定条件与性质。

5. 相似三角形的应用：运用相似三角形进行实际问题的解答。

第五章：平面图形的性质1. 四边形的性质：平行四边形、矩形、正方形、菱形等四边形的特殊性质。

2. 三角形的性质：等腰三角形、等边三角形等三角形的特殊性质。

3. 圆的性质：圆心角、圆内外切等与圆相关的性质。

4. 圆的应用：运用圆的性质解答实际问题。

5. 长方体与棱柱：长方体、正方体、棱柱的性质及计算表面积和体积。

第六章：统计与概率1. 统计调查：设计统计调查方案、收集数据、整理数据等。

2. 统计图表：直方图、折线图、饼图等图表的绘制与分析。

3. 概率的概念：事件发生的可能性。

4. 事件与概率：事件的概率计算、相互独立事件的概率计算等。

人教版九年级下册数学知识点汇总

一、二次函数1.二次函数定义o二次函数(quadratic function)是指未知数的次数为二次的多项式函数，可以表示为f(x)=ax²+bx+c（a不为0）。

2.基本形式o一般式：y=ax²+bx+c (a≠0)o顶点式：y=a(x-h)²+k 或y=a(x+m)²+k（h, k为常数，a≠0）o交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)3.重要概念o顶点坐标：(-b/2a, (4ac-b²)/4a)o开口方向：由a决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。

o开口大小：由|a|决定，|a|越大开口越小，|a|越小开口越大。

4.函数变化o当a>0时，x>0时y随x增大而增大；x<0时y随x增大而减小。

o当a<0时，x>0时y随x增大而减小；x<0时y随x增大而增大。

二、相似三角形1.相似三角形的定义o三条边对应成比例，三个角对应相等的两个三角形叫相似三角形。

2.相似比o相似三角形的对应边的比叫作这两个三角形的相似比。

3.判定定理o如果两个三角形的两个角对应相等，则这两个三角形相似。

o如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，则这两个三角形相似。

o如果两个三角形的三组对应边的比相等，则这两个三角形相似。

o平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

4.特殊情况o两个等边三角形一定相似。

o两个等腰直角三角形一定相似。

5.相似三角形的性质o相似三角形的一切对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。

o相似三角形周长的比等于相似比。

o相似三角形面积的比等于相似比的平方。

三、锐角三角函数1.基本概念o在直角三角形中，锐角的正弦(sin)、余弦(cos)和正切(tan)等称为锐角三角函数。

2.定义o正弦(sin)：对边/斜边o余弦(cos)：邻边/斜边o正切(tan)：对边/邻边o余切(cot)：邻边/对边3.特殊角的三角函数值o需要记忆如30°、45°、60°等特殊角的三角函数值。

九年级数学下册知识点总结

图1九年级数学下册知识点总结第一章直角三角形边的关系一．锐角三角函数 1.正切：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ;①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”；④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切；⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。

2.正弦．．：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin ;3.余弦：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A ∠=cos ;锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。

二．特殊角的三角函数值三．三角函数的计算1. 仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．．2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．．3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。

(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。

4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度．．．．．．．．．．． (或坡比．．)。

用字母i 表示，即A lhi tan ==5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。

如图3，OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。

九年级下册数学知识点归纳

九年级下册数学知识点归纳一、实数与代数表达式1. 实数的概念与性质- 有理数与无理数的定义- 实数的四则运算规则- 绝对值的性质与计算- 实数的大小比较与不等式2. 代数表达式的运算- 单项式与多项式的概念- 多项式的加法、减法、乘法- 多项式的因式分解- 乘法公式的应用（平方差、完全平方等）3. 代数方程与不等式- 一元一次方程与一元二次方程的解法- 不等式的性质与解集表示- 线性不等式的图解法- 二元一次方程组的解法（代入法、消元法）二、平面几何1. 平行线与角- 平行线的判定与性质- 角的基本性质- 同位角、内错角、同旁内角的定义与性质2. 三角形的性质- 三角形的基本概念（边、角、高、中线等）- 等腰三角形与等边三角形的性质- 三角形的内角和外角性质- 三角形的面积计算公式3. 四边形的性质- 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质- 四边形的面积计算公式- 四边形的对角线性质4. 圆的性质- 圆的基本性质（圆心、半径、直径、弦、弧等）- 圆周角与圆心角的关系- 切线的性质与判定- 圆的面积与周长计算公式三、空间几何1. 立体图形的认识- 常见立体图形（棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球）的特征 - 立体图形的表面积与体积计算公式2. 空间图形的位置关系- 点、线、面在空间中的位置关系- 空间直线与平面的平行与垂直关系- 空间图形的相交与相切四、数列与数学归纳法1. 序列的概念与表示- 数列的定义与分类（等差数列、等比数列等）- 数列的通项公式与前n项和公式2. 数学归纳法的原理与应用- 数学归纳法的基本步骤- 利用数学归纳法证明等式、不等式- 数列的性质证明五、概率与统计1. 概率的基本概念- 随机事件的概率定义- 概率的加法原理与乘法原理- 条件概率与独立事件的概念2. 统计的基础知识- 数据的收集与整理- 频数分布表与直方图的绘制- 算术平均数、中位数、众数的计算以上是九年级下册数学的主要知识点归纳。

九年级下册数学每章知识点

九年级下册数学每章知识点第一章：多边形和三角形1. 多边形的定义和性质- 多边形是由线段组成的封闭图形，通常有三条或三条以上的边。

- 不同种类的多边形包括三角形、四边形、五边形等。

- 多边形的性质包括外角和内角的关系、对角线的数量等。

2. 三角形的分类和性质- 三角形按边长可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。

- 三角形按角度可以分为直角三角形、钝角三角形和锐角三角形。

- 三角形的性质包括角的和为180度、边的关系等。

3. 三角形的相似性与全等性- 相似三角形的定义是对应角相等，对应边成比例。

- 全等三角形的定义是三边和三角形的对应角均相等。

第二章：相似与全等1. 两个角相等的条件- 如果两个角的度数相等，那么它们是相等的。

2. 判定两个三角形相似的条件- 如果两个三角形的对应角相等，且对应边成比例，那么它们是相似的。

3. 利用相似三角形的性质解题- 根据相似三角形的性质，可以推导出边比例、高比例等相关信息，从而解决与长度有关的问题。

4. 判定两个三角形全等的条件- 如果两个三角形的对应边和对应角均相等，那么它们是全等的。

第三章：平面直角坐标系和图形的位置关系1. 平面直角坐标系的建立- 平面直角坐标系由横坐标x和纵坐标y组成，以原点为起点。

- 坐标点表示为（x，y），表示在横轴和纵轴上的位置。

2. 图形的位置关系- 图形之间的位置关系包括重合、相交、相离等。

- 可以通过坐标系中的点的位置关系来确定图形的位置。

第四章：一次函数与方程1. 函数的定义与表示- 函数是两个集合之间的对应关系，常表示为y=f(x)。

- 函数的定义域为x的取值范围，值域为y的取值范围。

2. 一次函数的概念与性质- 一次函数是表示为y=kx+b的函数形式，其中k为斜率，b为截距。

- 一次函数的图像为直线，斜率决定了直线的倾斜程度。

3. 解一次方程- 解一次方程指找到使方程成立的未知数的值。

- 可以通过移项、消元等方法来解一元一次方程。

九年级数学下册各单元知识点归纳

九年级数学下册各单元知识点归纳第一章：有理数与整式本章主要围绕有理数和整式展开，以下是各单元的知识点归纳。

1.1 有理数- 有理数的概念与性质- 有理数的相加、相减、相乘、相除- 有理数的比较大小和绝对值1.2 整式的加减- 整式的概念与性质- 整式的加减法则- 整式的乘法运算1.3 整式的除法- 整式的除法运算- 整式除法中的因式分解- 分子多项式与分母多项式的最高公因式第二章：平方根与实数本章主要介绍平方根和实数的相关知识点。

2.1 平方根的概念- 平方根的定义和性质- 平方根与平方的关系- 平方根的运算规律2.2 实数- 实数的概念与性质- 实数的运算性质- 实数的分类与表示第三章：一次函数与一元一次方程本章重点讲解一次函数和一元一次方程的内容。

3.1 一次函数- 一次函数的概念与性质- 一次函数的图象与性质- 一次函数的解析式与应用3.2 一元一次方程- 一元一次方程的概念与性质- 一元一次方程的解的判定- 一元一次方程的应用问题第四章：平面图形的认识本章着重介绍平面图形的认识和性质。

4.1 点、线、面- 平面几何基本概念：点、线、面- 线段、射线、角的概念和性质- 角的分类、角的计量和角的平分线4.2 三角形- 三角形的分类- 三角形的性质与判定- 三角形的周长和面积计算4.3 四边形与多边形- 四边形的分类与性质- 多边形的分类与性质- 多边形的内角和外角第五章：函数与一元二次方程本章讲解函数和一元二次方程的相关知识点。

5.1 函数的概念与性质- 函数的定义和性质- 函数的图象与性质- 函数的运算与复合函数5.2 一元二次方程- 一元二次方程的概念与性质- 一元二次方程的解的判定- 一元二次方程的应用问题第六章：统计与概率本章重点介绍统计和概率的相关知识。

6.1 统计- 统计调查的设计与数据的收集方法- 数据的整理与分析- 数据的图表表示和数据的统计指标6.2 概率- 概率的基本概念与性质- 随机事件与样本空间- 概率的计算方法与应用以上是九年级数学下册各单元的知识点归纳，希望对你的学习有所帮助。

九年级数学下册知识点总结(最新最全)

九年级下册知识点第一章直角三角形边的关系1、正切：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tanA=∠A 的对边/∠A 的邻边。

①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan ”乘以“A ”；④tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。

（P1-6,11、P3-6、P4-12）2、正弦：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sinA=∠A 的对边/斜边；3、余弦：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA=∠A 的邻边/斜边；4、余切：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即cotA=∠A 的邻边/∠A 的对边；5、一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。

（通常我们称正弦、余弦互为余函数。

同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠A 为锐角，则①sin A = cos(90°−∠A ）等等。

6、记住特殊角的三角函数值表0°，30°，45°，60°，90°。

（P4-13、P5-15,16、P10-11、P12-3）7、当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。

0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。

同角的三角函数间的关系：t αn α·cot α=1，tan α=sin α/cos α，cot α=cos α/sin α，sin 2α+cos 2α=18、在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则有：（1）三边之间的关系：a 2+b 2=c 2；（2)两锐角的关系：∠A ＋∠B=90°；（3)边与角之间的关系：sin α等；（4）面积公式；（5）直角三角形△ABC 内接圆⊙O 的半径为(a+b-c)/2；（6）直角三角形△ABC 外接圆⊙O 的半径为c/2。

九年级下册数学相似-知识点总结

九年级下册数学相似-知识点总结数学是一门让人们头疼的学科，尤其是在九年级下册的数学中，相似这个概念可能是让学生犯迷糊的一个知识点。

相似是几何学中一个非常重要的概念，它在解决几何问题时经常被运用。

在本文中，我将对九年级下册数学中与相似有关的知识进行总结和归纳，希望能够为同学们带来一些帮助。

1. 相似的基本概念相似指的是两个或多个图形在形状上相同，但是大小不同的情况。

当两个图形相似时，它们的对应边长之比相等，而对应的角度也相等。

这就是相似的基本概念。

在解决相似问题时，我们通常会用到比例和比例的性质。

2. 相似三角形相似三角形是相似的一个重要例子。

在解决相似三角形的问题时，我们可以利用三角形内角、相似三角形边长的比例关系，运用相似三角形的性质解题。

此外，还可以运用相似三角形的性质证明一些结论，如直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

3. 相似的判定条件在判断两个图形是否相似的情况下，我们有一些判定条件可以依据。

其中一个常见的判定条件是AA相似判定法，也就是两个图形的对应角相等。

另一个常见的判定条件是三边比例相等判定法，也就是两个图形的三条边对应的比值相等。

这些判定条件可以帮助我们在解决相似问题时迅速确定是否相似。

4. 相似比例的运用相似比例是解决相似问题的关键。

当我们确定了两个相似图形之间的比例关系后，我们可以利用相似比例计算未知边长或角度，并解决与相似有关的各种几何问题。

在运用相似比例时，我们需要注意单位的转换和计算的准确性。

5. 长方体与正方体的相似在相似的概念中，长方体与正方体的相似问题也是常见的。

当两个立体图形相似时，它们的对应面的积之比等于对应边长的比值的平方。

我们可以运用这一性质解决立体几何中的相似问题，例如求解一个长方体与正方体的边长比例。

总结起来，在九年级下册的数学学习中，相似是一个重要的几何概念，掌握相似的基本概念、判定条件和相似比例的运用是解决相似问题的关键。

要注意运用相似比例时的单位转换和计算准确性。

初三(九年级)下册数学知识点归纳

初三（九年级）下册数学知识点归纳九年级下册知识点归纳包括二次函数、相似、锐角三角形、投影与视图共四章内容，主要总结了这几个单元的重点和难点的内容，是初三同学们和中考考生的必备资料!第二十六章二次函数26.1 二次函数及其图像二次函数(quadratic function)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。

二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。

其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式y=ax+bx+c(a0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b2)/4a) ;顶点式y=a(x+m)2+k(a0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)2+k(a0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为x=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式;交点式y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1，0)和 B(x2，0)的抛物线] ;重要概念：a，b，c为常数，a0，且a决定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下。

a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。

牛顿插值公式(已知三点求函数解析式)y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3)) /((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3) 。

由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1*x2) (y1为截距)求根公式二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

求根公式x是自变量，y是x的二次函数x1,x2=[-b((b^2-4ac))]/2a(即一元二次方程求根公式)(如右图)求根的方法还有因式分解法和配方法在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。

九年级下册旋转知识点总结

九年级下册旋转知识点总结在九年级下册的学习中，旋转是一个重要的数学概念和技巧。

通过旋转，我们可以改变平面图形的位置和方向，进而解决一些几何问题。

下面是对九年级下册旋转知识点的总结。

一、旋转的基本概念和性质旋转是指围绕一定中心点旋转一个平面图形，使其保持形状不变。

旋转固定点称为旋转中心，旋转的角度叫做旋转角度。

对于旋转，我们需要了解以下基本性质：1. 旋转有顺时针和逆时针两个方向。

顺时针旋转表示为负旋转角度，逆时针旋转表示为正旋转角度。

2. 旋转90度、180度和270度等于逆时针旋转一个直角、两个直角和三个直角。

3. 旋转不改变图形的面积和内角和，但可能改变图形的位置和顺序。

二、图形的旋转变换旋转变换可以应用于不同的图形，包括点、线段、直线、角度和图形等。

以下是对不同图形旋转的方法和特点：1. 点的旋转：点的旋转不改变其位置，旋转前后点的坐标保持不变。

2. 线段和直线的旋转：线段和直线旋转后，仍然保持直线性质。

旋转后的线段或直线与原始线段或直线平行或重合。

3. 角度的旋转：角度的旋转主要通过旋转角度来改变。

旋转前后的角度大小保持不变，但角度的顶点可能会发生变化。

4. 图形的旋转：对于不规则图形的旋转，通常围绕一定的中心点旋转。

旋转可以使图形对称，也可以改变图形的位置和方向。

三、旋转的运用旋转在几何问题和实际生活中都有广泛的应用。

以下是旋转运用的几个常见示例：1. 定位和寻找图形：通过旋转，我们可以将一个图形与另一个图形进行比较，判断它们是否相似或相等。

2. 解决几何问题：旋转可以帮助我们解决与形状和位置有关的几何问题，如求面积、周长等。

3. 设计和绘图：在设计和绘图中，旋转可以帮助我们创建对称美观的图案，以及修饰和调整原始图形。

4. 机器人和航天器控制：旋转被广泛应用于机器人和航天器的控制中，以改变其位置、方向和运动轨迹。

四、习题练习为了加强对旋转知识的理解和应用，以下是几道习题供大家练习：1. 旋转正方形ABCD，使得AB与原始位置的BC重合，请问旋转的角度是多少？2. 旋转直线l，使得其与x轴平行，请问旋转的角度是多少？3. 图形PQRS绕点O顺时针旋转90度，变为图形P'Q'R'S'，请问旋转后的坐标是多少？4. 旋转角度为180度的图形与原始图形之间有什么关系？通过以上习题的练习，相信大家对九年级下册的旋转知识有了更深入的理解和掌握。

人教版九年级数学下册详细知识点

人教版九年级数学下册详细知识点1. 整式的加减运算- 同类项的加减法- 不同类项的加减法- 图形法- 代数法- 消元法2. 二次根式的运算- 二次根式的化简- 二次根式的加减法- 二次根式的乘法- 二次根式的除法- 二次根式的混合运算3. 平面向量- 平面向量的概念- 平面向量的加法- 平面向量的数乘- 平面向量的线性运算- 平面向量的模- 平面向量的数量积- 平面向量的投影4. 一次函数与一元一次方程- 一次函数的概念- 一次函数的图象- 一次函数的性质- 一次函数的表示方法- 一元一次方程的概念- 一元一次方程的解- 一元一次方程的应用5. 特殊三角函数值的计算- 30°、45°、60°特殊角的三角函数值- 任意角的正弦、余弦、正切值的计算6. 相似三角形与三角比- 相似三角形的条件- 相似三角形的性质- 三角比的定义- 三角比的性质和应用- 相似三角形和三角比的综合应用7. 幂的乘法与除法- 幂的乘法- 幂的除法- 科学计数法- 根式及其运算8. 多边形的面积- 任意多边形的面积- 三角形的面积- 正多边形的面积- 扇形和梯形的面积9. 数据的收集、整理和分析- 数据的收集和整理- 数据的图形表示- 数据的分析与解释- 统计指标的运算以上是人教版九年级数学下册的详细知识点。

不同章节涵盖了整式的运算、二次根式的处理、平面向量的操作、一次函数与一元一次方程、特殊三角函数值的计算、相似三角形与三角比、幂的乘除法、多边形的面积以及数据的收集、整理和分析等内容。

通过学习这些知识，学生将能够更好地掌握九年级数学下册的重点内容。

初中九年级下册数学知识点

初中九年级下册数学知识点一、代数与函数1.一次函数1.1 函数的定义1.2 函数的图象和性质1.3 函数表达式及其应用2.二次函数2.1 二次函数的图象和性质2.2 一般的二次函数2.3 二次函数的应用3.指数与对数函数3.1 指数函数的概念与性质3.2 指数函数的图象与应用3.3 对数函数的概念与性质3.4 对数函数的图象与应用4.分式函数4.1 分式函数的定义与性质4.2 分式函数的图象与应用5.根式与整式5.1 平方根与立方根的概念5.2 根式的化简与运算6.方程与不等式6.1 一元一次方程组及其解法6.2 一元二次方程的解法6.3 一元一次不等式及其解法6.4 一元二次不等式及其解法7.二元一次方程组与一元二次不等式系统 7.1 二元一次方程组的解法7.2 一元二次不等式系统的解法二、几何与图形1.平面图形1.1 三角形的性质及分类1.2 四边形的性质及分类1.3 正多边形的性质2.空间图形2.1 空间几何体的投影与视图2.2 空间几何体的表面积与体积3.相似与全等3.1 相似图形的判定与性质3.2 相似三角形的性质与判定3.3 全等图形的判定与性质4.三角比4.1 正弦定理与余弦定理的应用 4.2 解直角三角形4.3 解一般三角形5.向量与坐标5.1 向量及其运算5.2 二维坐标系与平面直角坐标系三、数据统计与概率1.数据的收集与整理1.1 数据的收集方法1.2 数据的整理与概述2.统计指标与图表2.1 统计指标的计算2.2 统计图表的制作与分析3.概率与统计3.1 事件与概率3.2 随机事件的概率计算3.3 概率分布与统计这是初中九年级下册数学知识点的简要概述。

对于每个知识点，都有更详细的内容和例题。

希望这份知识点的整理能够帮助你更好地学习和理解数学知识。

祝你学业进步！。

九年级数学下册重要知识点总结

初三数学下册重要知识点总结第 25章概率1、必然事件、不可能事件、随机事件的区别2、概率注意：（ 1）概率是随机事件发生的可能性的大小的数量反映.（ 2）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同.3、求概率的方法（1）用列举法求概率（列表法、画树形图法）（2）用频率估计概率：一方面，可用大量重复试验中事件发生频率来估计事件发生的概率. 另一方面 , 大量重复试验中事件发生的频率稳定在某个常数 ( 事件发生的概率 ) 附近，说明概率是个定值 , 而频率随不同试验次数而有所不同 , 是概率的近似值 , 二者不能简单地等同 .第 26 章二次函数1.二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c.(a ≠ 0)4．求二次函数的解析式：已知二次函数图象上三点的坐标，可设解析式y=ax2+bx+c ，并把这三点的坐标代入，解关于a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c 的值 ,从而求出解析式 -------待定系数法.5．二次函数的顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠ 0) ；由顶点式可直接得出二次函数的顶点坐标（h, k），对称轴方程x=h和函数的最值y最值= k.6．求二次函数的解析式：已知二次函数的顶点坐标（h,k）和图象上的另一点的坐标，可设2解析式为y=a(x -h) + k ，再代入另一点的坐标求a，从而求出解析式.8.二次函数 y=ax 2+bx+c (a ≠ 0) 的图象及几个重要点的公式：9. 二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠ 0) 中， a、b、 c 与的符号与图象的关系：(1)a＞ 0<=>抛物线开口向上； a ＜ 0 <=>抛物线开口向下；(2)c＞ 0<=>抛物线从原点上方通过；c=0 <=> 抛物线从原点通过；c＜ 0<=>抛物线从原点下方通过；(3)a, b异号 <=> 对称轴在 y 轴的右侧； a, b 同号 <=> 对称轴在 y 轴的左侧；b=0 <=>对称轴是 y 轴；(4)b2－ 4ac ＞ 0<=> 抛物线与 x 轴有两个交点；b2－ 4ac =0 <=>抛物线与x轴有一个交点（即相切）； b 2－4ac ＜ 0 <=>抛物线与 x 轴无交点 .10．二次函数图象的对称性：已知二次函数图象上的点与对称轴，可利用图象的对称性求出已知点的对称点，这个对称点也一定在图象上.第 27章相似形1“平行出比例”定理及逆定理：几何表达式举例：（ 1）平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段(1) ∵DE∥BC ∴ADAE成比例；DB EC AD E(2) ∵DE∥BC∴AD AEDE（ 1）（ 3）A（2）AC AB ∵ AD AEB C(3)∴DE∥BCB C DB EC2．比例的基本性质：a:b=c:d a c；ad=bcb d3．定理：“平行”出相似平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.4．定理：“ AA”出相似如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.5．定理：“ SAS”出相似如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似 .AE几何表达式举例：DADE∽ ABC∵ DE∥BC∴DAEB CCB A几何表达式举例：E∵∠ A=∠A又∵∠ AED=∠ACB∴Δ ADE∽ABCDB C几何表达式举例：AE∵AD AB又∵∠ A=∠ADAE AC∴Δ ADE∽ABCB C6．“双垂”出相似及射影定理：几何表达式举例：（ 1）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角A(1) ∵AC⊥CB形和原三角形相似；D又∵ CD⊥AB ∴ACD∽Δ CBD∽Δ ABC（ 2）双垂图形中，两条直角边是它在斜边上的射影(2)2∵AC⊥CB CD⊥AB ∴ AC=AD· AB和斜边的比例中项，斜边上的高是它分斜边所成BBC2 =BD· BA DC2 =DA·DB 两条线段的比例中项 .C7．相似三角形性质：A（ 1）相似三角形对应角相等，对应边成比例；E （ 2）相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线、周长的比都等于相似比；（ 3）相似三角形面积的比，等于相似比的平方.B DC FHG(1) ∵ ABC∽ΔEFG(2) ∵Δ ABC∽ EFG S∴AB BC AC又∵ AD、EH是对应中线(3) ∵Δ ABC∽ EFG ∴∠BAC=∠FEG S2ABCABEFGEFEF FG EG∴AD ABEH EF四、位似1、利用位似，可以将一个图形放大或缩小．作图时要注意: ①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择； ②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小； ④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形．第 28 章解三角形1. 三角函数的定义：在 Rt ABC 中 , 如∠ C=90°，那么sinA=对a；cosA=对 b； tanA=对a；cotA=邻b .斜c斜c邻b对aBac2．余角三角函数关系 ------“正余互化公式”如∠ A+∠ B=90° , 那么： sinA=cosB ； cosA=sinB；tanA=cotB；cotA=tanB.3. 同角三角函数关系：22；tanA ·co tA =1. tanA=sin Asin A+cos A =1 cos A4. 函数的增减性：在锐角的条件下，正弦，正切函数随角的增大，函数值增大；余弦，余CbA切函数随角的增大，函数值反而减小.Ak, 它可以推出特殊5．特殊角的三角函数值：如图：这是两个特殊的直角三角形，通过设角的直角三角函数值，要熟练记忆它们.60 °2KK∠ A30°45°60°30°sinA1 2 3 C3KB22 2AcosA3 2 12K22 2 KtanA3 1345 °3 CK BcotA31336. 解直角三角形：对于直角三角形中的五个元素，可以“知二可求三”，但“知二”中至少应该有一个是边 .7．坡度： i = 1:m = h/l = tanα ；坡角 : α .8. 方位角：h北偏西30i=1:m北a东 l南偏东709．仰角与俯角：铅垂线仰角俯角水平线。