勾股定理证明方法(图)

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勾股定理的十六种的证明方法

勾股定理的十六种的证明方法【证法1】（课本的证明）做g 个全等的宜角三角形，设它们的两条直角边长分别为注、b ,斜边长为6再做三牛边长分别为已、氐C 的正方形，把它们®上图那样拼成两个正方形*从图上可以看到，这两个正方形的边长都是& + b-所以面枳相筹•即整理得/+护二口f 证法21 （邹元治证明）以包、b 为直角边，以亡为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2 •把这四个宜角三角形拼成如图所示形状，使乩E. B 三点在一条直线上，B. F 、 C 三点在一条直线上，C 、S D 三点在一条直线上.二ZAHE 二 ZBEF. T ZAEH - ZAHE 二 90° , 二 ZAEH 」 -ZBEF 二 90\ :• ZHEF = 180=90〃二 9' 0\ 二四边形EFGH 是一个边长为亡的正方形. 它的面积等于 T Rt i GDH 空 Rt 2 HAE, 二 ZHGD ZEHA. T ZHGD ZGHD - 9(r 二 ZEHA ZGHD 二 90\ 又丁 ZGHE二 ZDHA QO° 亠％『二T RtMJAE 空抵扣澱,-ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于W-(fl +i) ' = 4x—di■ a ♦2【证法3】（赵爽证明〉以弘b为直角边Cb>a），以C为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角图所示形状-T RMDAH■wr*AMjn*4UU.二ZHDA 二■ / ZHAD +/. ZEAB +二ABCD是一个边长为C的正方形，它的面积等于c\ ■ / EF = FG =GH =HE 二b—a ,ZHEF = 90° —A EFGH是一个边长为b—自的正方形，它的面积等于0•由）1 ” 4x jait证法4] （1876年美国JS统Carfield证明）以窝、b为直角边，以C为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的使g. B三点在一条直线上.积尊于2 ,把这两个直角三角形拼成如图亦示形状,T RtAEAD 丝Rt A CBE.:、ZADE 二ZBEL■ : ZAED + ZADE 二90° ,:.ZAED + ZBEC 二90\/. ZDEC 二180° 一90〃二90〃・ /・卫§£提一个等©直角三角形，三角形的面积等于2 •把这H个直角三角形拼成如丝Rt A ABE,ZEAB.ZRAD =90〃，DB它的而积等于2.又丁ZDAE 二90% ZEBC 二:・ AD/ZBC・L &1+护二2 X —abA ABCD是一个直角梯形，它的面积等于朮口 +疔-:2 2 2,d十b'八t 证法5】(梅文鼎证明)做四个全等的直角三角形，段它们的两条直角边长分别为罕b ，斜边长为s 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E. F 在一条亘线上•过C 作AC 的延长銭交DF 于点P.■ / D. E 、F 在一条直线上，且 RtAGEF 全 Rt A EBD, ■ HV—VWWVWMW-V.:・ ZEGF = ZBED,*/ ZEGF 亠 ZGEF 二，：* ZBED + ZGEF 二 9tr ,:.ZBEG 二 1SO 〃—90〃二 9(r ・又 T ・ 4B 二 BE 二 EG 二 GA 二c, g -ABEG 是一个边长为c 的正方形「 ;> ZABC + ZCBE 二 90\* 二 BxAXBOz :・ ZABC = ZEBD.:.ZEBD 十 ZCBE 二 90\即 ZCBD 二 9(r ・又 T ZBDE 二 90〃，ZBCP 二 9(7 , BC 二BD 二比二 a *BDPC 是一亍边长为a 的正方形.同理，HPFG 是一伞边长为b 的正方形〃设多边形GHCBE 的面积为&则L ■! ■时二5 斗 2 X i 血* r*设它们的两条直角边长分别为旦、b (b>a),斜边长为把它们拼成如图所示的多边形，使臥A. C 三点在一条过点Q 作QP//BC,兗代匚于点F. 过点B 作册丄PQ,垂足为地再过点F 作FX 丄P0垂足为工T ZBCA - 9(r, QpyzBC,二 Z«PC 二 9 化T 创丄F0二 ZBMP 二 90\-BCP 订是一个矩形，即ZMBC 二■ / ZQBM + ZMBA = ZQBA 二 9『, ZMBA 二 ZN1BC 二 9(r,化 ZQBM 二 ZABC,又丁 Z5MP 二 90\ ZBCA 二迅 BQ 二 BA 二 c>二 Rt A B 订Q 旦 Et A BCA.同理可证S1295E -肚虫睡：从而箱问题转化为f 応落疔7梅文灿证明).，/+止_【证法6】(项明达证明〉做两个全等的直角三角形，再做硏个边长为C 的正方形.直线上. ZABC +FC BE在一条直线上，连结 °的?F 肯形护立们拼咸如團斫示形状，使乐C. BF. CD •过 C 作 CL±DE,交;m 于点此交DE 于点L,T AF 二 AC,・AB 二 AD,虫ZFAB 二 ZCAD,代・A 復&望T iFAB 的面积等于空“・乂吐的面积等于矩形ADLM 的面积的一半, 二矩形ADUI 的面积同理可证，矩形MLEB 的面积二戸.T 正方形ADEB 的面积二葩形ADUI 的面积+矩形MLEB 的面积/,护，即护+占V/*E 证法町（利用相似三竟形性质证明）如图，在肚丄A 匹中，设直角边AS 反的长度分别为点C a. b ・斜边AB 的长为Ga 作CD1AB,垂足是D*在i ADC 和iACE 中, V ZADC - ZACB 二 90〃， ZC.AD 二 ZB AC,二 AASC s A A®*AD : AC H AC : AB,艮卩HC ： =4D •一毎- 同理可证FASflS s二 HC*=（川 D + D£）・川占二討$1,即 o'+i ） i 二匚I 【证法9】（畅作玫证明）做两个全等的直角三角形•设它们的两条直角边长分别为吐、b Cb>a\斜边长为亡.再做一个边长为U 的正方形•把它们拼成如图所示的多边形-过丄作AF 丄AG AF 交GT 于F ・・・IF 交 DT 于R.过B 作肝丄左F, 垂足为巴过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为 E, DE 交AF 于乩T ZBAD 二 90〃，ZPAC 二 W,二 ZDAH 二 ZEAC.又■/ ZDHA 二 90〃，ZBCA 二 9「，AD 二 AB 二 C ；二 Rt 业 DHA ◎ Rt 也 BCA.二 DH 二 BC 二 a, AH 二 AC 二 b・由作法可知，PECA 是一个矩形，所以 R T A AFB 丝 RtAgCA.即 PB 二 CA二 b, AP 二 a,从而卩 H 二 b 一au*； Rt i DGT 瓷 Rt i BCA , g 卫與•奉廳2瞬二 Dtr^T?G 二 a™2S5?二 ZHDA ・又 T ZDGT 二 90° , ZDHF 二 W fB 三点C二愍空•匹I竺雛屯哪，二DGFH是一亍边故为a的止万形.二GF 二FH 二 a ・TF±AF. TF = GT-GF = b—a ・二TFPB是一个直角梯形，上底TF二b-E下底SP= b,高FP P +(b-G・用数字表示面积的编号(如图九则以C为边长的正方形的面积为G 二S] + Sj + Sj + S 耳 + S 了①** 场+ 昂 + Sq 二挣 + 0-口)」讥+0-13 ) ^--ab―* S, + S, = b*―ab—S,护-S] f 把②代入①，得=5 + 5] + F - S] F S J +S J +Sp-时+男+男-酹+/,-盼+沪二八【证法10] t李钱ffi明)设直角三角形两直角边的长分别为a・b (b>a)，斜边的长为二做三个边长分别为包、b. C 的正方形，把它忙I拼成如S所示形状，使爪E・G三点在一条直线上•用数字表示面积的编号（如图）.T ZTBE 二ZABH 二9tr :・ZTBH 二r 乙ABE.又T ZBTH 二BZBEABE - 人RtAHBT ^ORt, AHBBj 人HT二AE二比:、GH 二GT-HT 二b-a.又T ZGHF + ZBEI 二90\ZDBC + ZBHT 二ZTBH + 二ZGHF 二ZDBC J DB 二ER —ED二b-a>ZHGF 二ZBX 二9 呼，・•、gt A HGF 丝RtA. jBgC 即工二$2.过Q作Q蛆丄AL垂足是乩由ZBAQ二ZBEA二二ZQAM T而AB 二AQ 二0 9Cn 可知ZABER貯避•所以陆Ajj甲.公'Rt •斷以驰玉賤旦陆29迪••又5x2JSSI —細SE百屁卫滋又得QM二A£二a, ZAQM二ZBAE.ZHGF 二 ZBDC 二 90%二Rt A HGF 竺Rt A BDC.即思产h ・过Q 作QNLLAG,垂足是底由ZBAQ 二ZBEA 二9化可知ZABE =ZQAM,而壷B 二AQ 二C.所以Rt AABE 竺肚綁M -又RMHET 空Rt A ABE.所以Rt A HBT 竺班色QM .即况二匹.由 Rt A ABE 竺 Rt A Q. W,又得 QM = AE = a, ZAQM 二 ZEAE.T ZAQM + ZFQM 二 90% ZBAE + ZCAR 二 90% ZAQM = NBAE,二 ZFQM 二ZCAR.又丁 ZQitF 二 ZARC 二 90% QM = AR = a ,二 Rt A q"fF 竺 Rt A ARC.即 $严耳-丁亡 2=$1 +昂 + 爲+ S 斗+ 5； , /二S] + Ssj 二S ・ +S- + S,V ' *二A 易二壬乌二斗二宀 7/ =S\ +S5 + Sm + 斗 + 禺二 S] + rS 斗 + $2 + S j—r在d 磁中「设直珀边BC 二a, AC 二b,斜边AB 二c,如图 C, 径作圆，交AB 及AB 的延长线分别于Ik E,则ED 二BE 二BC 二 C 在©B 上，所以扛是©B 的切线，由切割线是理，得t 证法12】（利用雾列米定理证明｝在R2ABC 中，设直角边BC 二a. AC 二b,斜边AB 二c （如图）*过点〃&作AD//CB,过点B 作BD>ZCA,则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆，根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有=JD*5C5£Z?,T AB 二 DC 二 c, AD - BC =乩AC 二 BD 二 b,二且0’二占c'+」c',即/吕口： +盼,「以0为圆心a 为半孔比因为ZE 仙二90\点屁;二毘£〉3二｛AS+SE’AS -SD ）-(c + d) (c 一d)二£?+, =/【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在吐黒照中，设直角边EC = a, AC二b,斜边託二切点C. 分W?D7E> F （如圏人设©0的半径为r.T AE 二AF, BF 二BD, CD = CE,二MC+ BC-AB二{AE+CE}+[SD +CD)—(討戸+EF)二CE + CD 二工 + 工=2丫,即a +二2r,r* a + b 二2F + f ・A ~ (2r + c) \gp ■”2aif = 4 (r* +rc) +c*又T Sg 厂匚沪Sae+Sse 二2 2 -（4 + 0 + 亡）严—{2r + C + c丿r/, 4 (宀n： )=4£sr,*・》4卜’+临）=2胡'「■ /+ 即+2 口& 二2e 占+（；'』【证法14】（利用反证法证明）如图，在§1卫匸中「设直角边AG阮的长度分别为已、点C作CD丄AE.垂足是D.假设/十护乂蔦即假设也'+證2厂护「则由二AJ*.』5 二M （a + AD）二A B• A D + AB• BDb・斜边啊的长为G过可知-心5扭-M,或者在AAK和1ACB中,肋・ED•即AD： AC^AC： AB•或者BD： BC?^BC：AB.丁ZA 二ZA,二若AD： AC^AC： AB,则ZADCH ZACE.在・AC咀和・A他中，T ZB 二ZE>二若BD： BC T^BC：AB X贝JZCDB^ZACB.C又T ZACB 二9Cr ,二Z： ADCH9 （r, ZCDEHgcr这与作法CD丄AB矛盾•所以「e +恥' *曲谢假设不能成立作吐丄Age的内切圆00,设直角三角形两直角边的长分别为已*，斜边的长为⑺作边长是a 吒的正方形ABCD*把正方形ABB 划分咸上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的积为（》疔二/+护+滋•把正方形.〈BCD 划分成上方右图所示的几个部分「则正方形ABCD 的 (a + 4 X —ab + T 面积为， 2 二2如i ・小十护十2aij = 2ab 十F, ［证法祐】（陈杰证明）设直甬三角形两直角边的长分别为a. b b 的正方形<b>a ）.把它们拼成如图所示形状，图）. 在EH - b 上截取ED - a,连结加、DC,. 则 AD 二 B T EH = EH + HM = b 十 a , ED = 二 DM 二 EM-ED 二（b + 切一 a 二 ZAED 三 9 少，CM 二 a. :・R t A A 鲍\ AE 二 b, A ZEAD V ZADE ZADE :.ZAX 二作AB/7DC, CB?/DA,则期5是一个边长为c 的正方激 '：ZBAF + ZFAD 二 ZDAE + ZFAD 二 9（r, ZMDC T D T= AD = c. ZAX+ ZMDC 二1SO\ ZMDC 二 ZADE - ZEAD A ZBAF 二ZD. \E, 连结FB,在厶ABF 和i ADE 中,（b>aX 斜边的长为B 做两亍边长分别为包、砌积的縄用傲点在一条宜线上•用数字表 E 、 B b b E —b a, J MD G 1 二 90J 90\gs)+T 十 £十占 ■ os+ls 十 34 ■ • 8 •心 + •JS+GSHFSH—SHTSf EK 扌s+r s *+=・£:•叶・• ・「r i> ・law :抵八・u II % + qb aa ab a b方2 ab bb aA C Bb E。

勾股定理的十六种证明方式

勾股定理的十六种证明方式【证法1】此主题相关图片如下：做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长别离为a、b，斜边长为c，再做三个边长别离为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上能够看到，这两个正方形的边长都是a + b，因此面积相等. 即a^2+b^2+4*(ab/2)=c^2+4*(ab/2)整理取得：a^2+b^2=c^2。

【证法2】以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，那么每一个直角三角形的面积等于 ab/2.把这四个直角三角形拼成如下图形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.∵RtΔHAE ≌ RtΔEBF,∴∠AHE = ∠BEF.∵∠AEH + ∠AHE = 90º,∴∠AEH + ∠BEF = 90º.∴∠HEF = 180º―90º= 90º.∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c^2.∵RtΔGDH ≌ RtΔHAE,∴∠HGD = ∠EHA.∵∠HGD + ∠GHD = 90º,∴∠EHA + ∠GHD = 90º.又∵∠GHE = 90º,∴∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于(a+b)^2.∴(a+b)^2=c^2+4*(ab/2)，∴ a^2+b^2=c^2。

此主题相关图片如下：【证法3】以a、b 为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，那么每一个直角三角形的面积等于ab/2. 把这四个直角三角形拼成如下图形状.∵RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴∠HDA = ∠EAB.∵∠HAD + ∠HAD = 90º，∴∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c^2.∵EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º.∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于(b-a)^2.∴(b-a)^2+4*(ab/2)=c^2，∴ a^2+b^2=c^2。

勾股定理证明(7种方法)

图七
在多种「无字证明」中，我最喜欢的有两个。图七是其中之一。做法是将一条垂直线和一条水平线，将较大直角边的正方形边的正方形填入斜边正方形之中，便可完成定理的证明。
事实上，以类似的「拼图」方式所做的证明非常之多，但在这裏就未有打算将它们一一尽录了。
另一个「无字证明」，可以算是最巧妙和最简单的，方法如下：
(a) (b)
图十
证明六
图十一
图十一中，我们将中间的直角三角形 ABC 以 CD 分成两部分，其中 Ð C 为直角，D 位於 AB 之上并且 CD ^ AB。设 a = CB，b = AC，c = AB，x = BD，y = AD。留意图中的三个三角形都是互相相似的，并且 D DBC ~ D CBA ~ D DCA，所以
2007-10-14 15:08 回复 221.223.96.* 2楼又，如果从一个老师的角度来看，证明二和证明三都有一个共同的缺点，它就是需要到恒等式 (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 了。虽然这个恒等式一般都包括在中二的课程之中，但有很多学生都未能完全掌握，由於以上两个证明都使用了它，往往在教学上会出现学生不明白和跟不上等问题。证明四
由此得知勾股定理成立。
证明二可以算是一个非常直接了当的证明。最有趣的是，如果我们将图中的直角三角形翻转，拼成以下的图三，我们依然可以利用相类似的手法去证明勾股定理，方法如下：
图三
由面积计算可得 c2 = 4(1/2 ab) + (b - a)2 展开得 = 2ab + b2 - 2ab + a2 化简得 c2 = a2 + b2（定理得证）图三的另一个重要意义是，这证明最先是由一个中国人提出的！据记载，这是出自三国时代（即约公元 3 世纪的时候）吴国的赵爽。赵爽为《周髀算经》作注释时，在书中加入了一幅他称为「勾股圆方图」（或「弦图」）的插图，亦即是上面图三的图形了。证明三

关于“勾股定理”的60种证法

关于“勾股定理”的60种证法1.（面积法证明）1 证法1.1：证明：在直角三角形ABC 中，分别作以AB 、AC 、BC 为边的正方形ABED,正方形ACJI 和正方形BCHG ，连接线段IB 、CD 、AG 、CE 。

过点C 作DE 的垂线CK ，交DE 于点K ，交AB 于点L 。

90,,CAI BAD CAB CADCAB CAD AC AI AD AB ACD AIB∠=∠=∴∠=∠∠=∠==∴∆≅∆线段AI 平行于线段BJ ∴AIB ∆的面积等于AIC ∆ACD AIB ∆≅∆AIC ∴∆的面积等于ACD ∆ 线段AD 平行于线段CK∴矩形ADKL 的面积等于ACD ∆面积的两倍正方形ACJI 的面积等于AIC ∆的两倍，AIC ∆的面积等于ACD ∆ ∴矩形ADKL 的面积等于正方形ACJI 的面积同理，有：矩形BEKL 的面积等于正方形BCHG 的面积。

正方形ABED 的面积等于矩形ADKL 的面积加上矩形BEKL 的面积∴正方形ABED 的面积等于正方形ACJI 的面积与正方形BCHG 的面积之和即222AC BC AB +=.Remark ：此为欧几里得（Euclid,约公元前330年-公元前275年）在几何原本中的证明方法。

2 证法1.2:证明：在上图中，整个正方形的面积为2()a b +，又等于四个直角三角形的面积加上里面的小正方形的面积，等于22ab c +。

因此，22()2a b ab c +=+，此即：222a b c +=。

Remark :此证法据Bretschneider 和Hankel 的推测，为毕达哥拉斯（Pythagoras ，约公元前580～约前500）的证法。

3 证法1.3（总统证明法）如图，三角形ABC 与三角形BDE 完全相等，易证三角形ABE 为等腰直角三角形。

整个直角梯形ACDE 的面积为21()2a b +，又等于两个直角三角形的面积加上等腰直角三角形ABE 的面积，等于212ab c +，故2211()22a b ab c +=+。

勾股定理几种证明方法

勾股定理几种证明方法勾股定理的证明【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b，所以面积相等.即11a2+b2+4×ab=c2+4×ab22，整理得a2+b2=c2.【证法2】（邹元治证明）以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积1ab2等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.∵RtΔHAE≌RtΔEBF,∴∠AHE=∠BEF.∵∠AEH+∠AHE=90º,∴∠AEH+∠BEF=90º.∴∠HEF=180º―90º=90º.∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c2.∵RtΔGDH≌RtΔHAE,∴∠HGD=∠EHA.∵∠HGD+∠GHD=90º,∴∠EHA+∠GHD=90º.又∵∠GHE=90º,∴∠DHA=90º+90º=180º.2∴.∴a+b=c.【证法3】（赵爽证明）以a、b为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角(a+∴ABCD是一个边长为a+b的正方形，它的面积等于(a+b)2=4×1ab+c22221ab2三角形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴∠HDA=∠EAB.∵∠HAD+∠HAD=90º，∴∠EAB+∠HAD=90º，2∴ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c.∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90º. 2(b−a)∴EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于.14×ab+(b−a)2=c22∴.222∴a+b=c.【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面1ab2积等于.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵∴∵∴∴∴RtΔEAD≌RtΔCBE,∠ADE=∠BEC.∠AED+∠ADE=90º,∠AED+∠BEC=90º.∠DEC=180º―90º=90º.ΔDEC是一个等腰直角三角形，12c2它的面积等于.又∵∠DAE=90º,∠EBC=90º,∴AD∥BC.1(a+b)2∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于2.1(a+b)2=2×1ab+1c222.∴2∴a+b=c.【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,∴∠EGF=∠BED，∵∠EGF+∠GEF=90°，222∴∴又∵∴∴∵∴∴即又∵∠BED+∠GEF=90°，∠BEG=180º―90º=90º.AB=BE=EG=GA=c，ABEG是一个边长为c的正方形.∠ABC+∠CBE=90º.RtΔABC≌RtΔEBD,∠ABC=∠EBD.∠EBD+∠CBE=90º.∠CBD=90º.∠BDE=90º，∠BCP=90º，BC=BD=a.∴BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则1a2+b2=S+2×ab,21c2=S+2×ab2,∴a2+b2=c2.【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP∥BC，交AC于点P.过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N.∵∠BCA=90º，QP∥BC，∴∠MPC=90º，∵BM⊥PQ，∴∠BMP=90º，∴BCPM是一个矩形，即∠MBC=∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90º，∠ABC+∠MBA=∠MBC=90º，∴∠QBM=∠ABC，又∵∠BMP=90º，∠BCA=90º，BQ=BA=c，∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD.过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L.∵AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠GAD，∴ΔFAB≌ΔGAD，12a∵ΔFAB的面积等于2ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，2∴矩形ADLM的面积=a.2b同理可证，矩形MLEB的面积=.∵正方形ADEB的面积=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积222222∴c=a+b，即a+b=c.【证法8】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R.过B作BP⊥AF，垂足为P.过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.∵∠BAD=90º，∠PAC=90º，∴∠DAH=∠BAC.又∵∠DHA=90º，∠BCA=90º，AD=AB=c，∴RtΔDHA≌RtΔBCA.∴DH=BC=a，AH=AC=b.由作法可知，PBCA是一个矩形，所以RtΔAPB≌RtΔBCA.即PB=CA=b，AP=a，从而PH=b―a.∵RtΔDGT≌RtΔBCA,RtΔDHA≌RtΔBCA.∴RtΔDGT≌RtΔDHA.∴DH=DG=a，∠GDT=∠HDA.又∵∠DGT=90º，∠DHF=90º，∠GDH=∠GDT+∠TDH=∠HDA+∠TDH=90º，∴DGFH是一个边长为a的正方形.∴GF=FH=a.TF⊥AF，TF=GT―GF=b―a.∴TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP=b，高FP=a+（b―a）.用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为c2=S1+S2+S3+S4+S5①∵S8+S3+S4=1[b+(b−a)]•[a+(b−a)]b2−1ab22，=S5=S8+S9，1S3+S4=b2−ab−S8b2−S−S18.2∴=②把②代入①，得c2=S1+S2+b2−S1−S8+S8+S92b+S2+S9=b2+a2.=222∴a+b=c.【证法9】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c.做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.∵∠TBE=∠ABH=90º，∴∠TBH=∠ABE.又∵∠BTH=∠BEA=90º，BT=BE=b，∴RtΔHBT≌RtΔABE.∴HT=AE=a.∴GH=GT―HT=b―a.又∵∠GHF+∠BHT=90º，∠DBC+∠BHT=∠TBH+∴∠GHF=∠DBC.∵DB=EB―ED=b―a，∠HGF=∠BDC=90º，∴RtΔHGF≌RtΔBDC.即S7=S2.过Q作QM⊥AG，垂足是M.由∠BAQ=∠BEA=90º，可知∠ABE=∠QAM，而AB=AQ=c，所以RtΔABE≌RtΔQAM.又RtΔHBT≌RtΔABE.所以RtΔHBT≌RtΔQAM.即S8=S5.由RtΔABE≌RtΔQAM，又得QM=AE=a，∠AQM=∠BAE.∵∠AQM+∠FQM=90º，∠BAE+∠CAR=90º，∠AQM=∠BAE，∴∠FQM=∠CAR.又∵∠QMF=∠ARC=90º，QM=AR=a，∴RtΔQMF≌RtΔARC.即S4=S6.222c=S+S+S+S+Sa=S+Sb1234516∵，，=S3+S7+S8，又∵S7=S2，S8=S5，S4=S6，22a+b=S1+S6+S3+S7+S8∴=S1+S4+S3+S2+S5=c，222即a+b=c.【证法10】（利用反证法证明）如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.222222假设a+b≠c，即假设AC+BC≠AB，则由AB2=AB•AB=AB(AD+BD)=AB•AD+AB•BD22可知AC≠AB•AD，或者BC≠AB•BD.即AD：AC≠AC：AB，或者BD：BC≠BC：AB.在ΔADC和ΔACB中，∵∠A=∠A，∴若AD：AC≠A C：AB，则∠ADC≠∠ACB.在ΔCDB和ΔACB中，∵∠B=∠B，∴若BD：BC≠BC：AB，则∠CDB≠∠ACB.又∵∠ACB=90º，∴∠ADC≠90º，∠CDB≠90º.222AC+BC≠AB这与作法CD⊥AB矛盾.所以，的假设不能成立.222∴a+b=c.【证法15】（辛卜松证明）DD2设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为(a+b)2=a2+b2+2ab；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为∴∴(a+b)21=4×ab+c222=2ab+c.a2+b2+2ab=2ab+c2,【证法11】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c.做两个边长分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.在EH=b上截取ED=a，连结则AD=c.∵EM=EH+HM=b+a,ED=∴DM=EM―ED=(b+a)―a=b.又∵∠CMD=90º，CM=a，∠AED=90º，AE=b，∴RtΔAED≌RtΔDMC.∴∠EAD=∠MDC，DC=AD=c.∵∠ADE+∠ADC+∠MDC=180º，∠ADE+∠MDC=∠ADE+∠EAD=90º，∴∠ADC=90º.∴作AB∥DC，CB∥DA，则ABCD是一个边长为c的正方形.∵∠BAF+∠FAD=∠DAE+∠FAD=90º，∴∠BAF=∠DAE.连结FB，在ΔABF和ΔADE中，∵AB=AD=c，AE=AF=b，∠BAF=∠DAE，∴ΔABF≌ΔADE.∴∠AFB=∠AED=90º，BF=DE=a.∴点B、F、G、H在一条直线上.在RtΔABF和RtΔBCG 中，∵AB=BC=c，BF=CG=a，∴RtΔABF≌RtΔBCG.2c=S2+S3+S4+S5，∵S1=S5=S4=S6+S7，b2=S1+S2+S6，a2=S3+S7，22a+b=S3+S7+S1+S2+S6∴=S2+S3+S1+(S6+S7)∴=S2+S3+S4+S52=c。

勾股定理十六种证明方法

勾股定理的十六种证明方法【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即abc ab b a 214214222⨯+=⨯++，整理得 222c b a =+.【证法2】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF .∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形. 它的面积等于c 2.∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA .∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +.∴ 222c b a =+. 【证法3】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ），以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB .∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90º.∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2a b -.∴ ()22214c a b ab =-+⨯.∴ 222c b a =+. 【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC .∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于221c .又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴ AD ∥BC .∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()221b a +. ∴ ()222121221c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c . 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P .∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED ，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c ，∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º. ∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD .∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º.又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a .∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S ，则,21222ab S b a ⨯+=+ abS c 2122⨯+=,∴ 222c b a =+.【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上.过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P . 过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点 F 作FN ⊥PQ ，垂足为N . ∵ ∠BCA = 90º，QP ∥BC ， ∴ ∠MPC = 90º， ∵ BM ⊥PQ ，∴ ∠BMP = 90º， ∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º， ∴ ∠QBM = ∠ABC ，又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c ， ∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA .同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF . 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结BF 、CD . 过C 作CL ⊥DE ，交AB 于点M ，交DE 于点L . ∵ AF = AC ，AB = AD ， ∠FAB = ∠GAD ， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ， ∵ ΔFAB 的面积等于221aΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，∴ 矩形ADLM 的面积 =2a 同理可证，矩形MLEB 的面积 =2b .∵ 正方形ADEB 的面积= 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积 ∴ 222b a c += ，即 222c b a =+. 【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .在ΔADC 和ΔACB 中，∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º，∠CAD = ∠BAC ， ∴ ΔADC ∽ ΔACB .AD ∶AC = AC ∶AB ，即 AB AD AC •=2.同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB ，从而有 AB BD BC •=2. ∴ ()222AB AB DB AD BC AC =•+=+，即 222c b a =+. 【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R . 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P . 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H .∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º，∴ ∠DAH = ∠BAC .又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º， AD = AB = c ， ∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA .∴ DH = BC = a ，AH = AC = b . 由作法可知， PBCA 是一个矩形，所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA . 即PB = CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a .∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA , Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . TF ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为543212S S S S S c ++++= ①∵()[]()[]a b a a b b S S S -+•-+=++21438 =ab b 212-， 985S S S +=，∴ 824321S ab b S S --=+= 812S S b -- . ②把②代入①，得98812212S S S S b S S c ++--++== 922S S b ++ = 22a b +.∴ 222c b a =+.【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴ ∠TBH = ∠ABE . 又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º， BT = BE = b ， ∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . ∴ HT = AE = a . ∴ GH = GT ―HT = b ―a .又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠∴ ∠GHF = ∠DBC .∵ DB = EB ―ED = b ―a ， ∠HGF = ∠BDC = 90º，∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC . 即 27S S =.过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M . 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE = ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 58S S =.由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE .∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE ， ∴ ∠FQM = ∠CAR .又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a ，∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC . 即64S S =.∵ 543212S S S S S c ++++=，612S S a +=，8732S S S b ++=，又∵ 27S S =，58S S =，64S S =，∴8736122S S S S S b a ++++=+ =52341S S S S S ++++=2c ，即 222c b a =+.【证法11】（利用切割线定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 如图，以B 为圆心a 为半径作圆，交AB 及AB 的延长线分别于D 、E ，则BD = BE = BC = a . 因为∠BCA = 90º，点C 在⊙B 上，所以AC 是⊙B 的切线. 由切割线定理，得AD AE AC •=2=()()BD AB BE AB -+=()()a c a c -+= 22a c -，即222a c b -=，∴ 222c b a =+.【证法12】在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c （如图）. 过点A 作AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有BD AC BC AD DC AB •+•=•，∵ AB = DC = c ，AD = BC = a ， AC = BD = b ，∴ 222AC BC AB +=，即 222b a c +=，∴ 222c b a =+.【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 作Rt ΔABC 的内切圆⊙O ，切点分别为D 、E 、F （如图），设⊙O 的半径为r .∵ AE = AF ，BF = BD ，CD = CE ，∴ ()()()BF AF CD BD CE AE AB BC AC +-+++=-+= CD CE += r + r = 2r,即 r c b a 2=-+， ∴ c r b a +=+2.∴ ()()222c r b a +=+，即 ()222242c rc r ab b a ++=++，∵ab S ABC 21=∆，∴ ABC S ab ∆=42，又∵ AOC BOCAOB ABC S S S S ∆∆∆∆++= = br ar cr 212121++ = ()r c b a ++21= ()r c c r ++221= rc r +2，∴()ABC S rc r ∆=+442， ∴ ()ab rc r242=+，∴ 22222c ab ab b a +=++， ∴ 222c b a =+.【证法14】（利用反证法证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .假设222c b a ≠+，即假设 222AB BC AC ≠+，则由AB AB AB •=2=()BD AD AB +=BD AB AD AB •+•可知 AD AB AC •≠2，或者 BD AB BC •≠2. 即 AD ：AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：BC ≠BC ：AB .在ΔADC 和ΔACB 中，∵ ∠A = ∠A ，∴ 若 AD ：AC ≠AC ：AB ，则∠ADC ≠∠ACB . 在ΔCDB 和ΔACB 中， ∵ ∠B = ∠B ， ∴ 若BD ：BC ≠BC ：AB ，则 ∠CDB ≠∠ACB . 又∵ ∠ACB = 90º，∴ ∠ADC ≠90º，∠CDB ≠90º.这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以，222AB BC AC ≠+的假设不能成立.∴ 222c b a =+.【证法15】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c . 作边长是a+b 的正方形ABCD . 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()ab b a ba 2222++=+；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 ()22214c ab b a +⨯=+ =22c ab +.∴ 22222c ab ab b a +=++,∴ 222c b a =+.【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做两个边长分别为a 、b 的正方形（b>a ），把它们拼成如图所示形状，使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）. 在EH = b 上截取ED = a ，连结DA 、则 AD = c .∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ∴ DM = EM ―ED = ()a b +―a = b . 又∵ ∠CMD = 90º，CM = a ， ∠AED = 90º， AE = b ， ∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC .∴ ∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c . ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º，∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º， ∴ ∠ADC = 90º.∴ 作AB ∥DC ，CB ∥DA ，则ABCD 是一个边长为c 的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º，D∴ ∠BAF=∠DAE .连结FB ，在ΔABF 和ΔADE 中，∵ AB =AD = c ，AE = AF = b ，∠BAF=∠DAE ， ∴ ΔABF ≌ ΔADE .∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a . ∴ 点B 、F 、G 、H 在一条直线上. 在Rt ΔABF 和Rt ΔBCG 中，∵ AB = BC = c ，BF = CG = a ， ∴ Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG .∵ 54322S S S S c +++=， 6212S S S b ++=， 732S S a +=，76451S S S S S +===，∴6217322S S S S S b a ++++=+ =()76132S S S S S ++++=5432S S S S +++=2c ∴ 222c b a =+.。

勾股定理的证明方法

勾股定理的证明方法勾股定理是数学中一个经典的定理，最早由中国古代数学家所发现并提出。

它描述了直角三角形的边长关系，具体表达为：直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。

本文将介绍勾股定理的三种常见证明方法。

方法一：几何证明法首先，我们假设有一个直角三角形，其两个直角边分别为a和b，斜边为c。

我们可以通过绘制图形来证明勾股定理。

（图1：绘制直角三角形ABC，角C为直角）在图中，我们可以看到三个三角形：△ABC、△ACD和△BCD。

根据正弦定理，我们可以得到以下等式：sinA = b/csinB = a/c由于直角三角形的两个锐角相加等于90°，即有A + B = 90°，我们可以得到sinA = cosBsinB = cosA综上所述，我们有以下等式：sinA/c = cosBsinB/c = cosA因此，我们可以得到以下关系：b =c × sinAa = c × sinB下面我们计算c², a²和b²之和：c² = (c × sinA)² + (c × sinB)²= c²(sinA)² + c²(sinB)²= c²(sin²A + sin²B)= c²(sin²A + cos²A) （由于sin²B = cos²A）= c²根据以上推导，我们可以得到c² = a² + b²，进而证明了勾股定理。

方法二：代数证明法我们可以通过代数运算来证明勾股定理。

假设有一个直角三角形，其斜边为c，两个直角边分别为a和b。

根据勾股定理，有c²= a²+ b²。

首先，我们可以根据直角三角形的定义得出一个重要关系：直角三角形中一个锐角的正弦值等于另一个锐角的余弦值，即sinA = cosBsinB = cosA我们可以利用三角恒等式来推导出上述关系：sin²A + cos²A = 1cos²B + sin²B = 1接下来，我们计算c²和a²+b²：c² = (a sinB + b cosB)²= a² sin²B + 2ab sinB cosB + b² cos²B= a² (1 - cos²B) + 2ab sinB cosB + b² cos²B= a² + b² - a² cos²B + 2ab sinB cosB + b² cos²B= a² + b² + 2ab sinB cosB （由于a² cos²B + b² cos²B = a² + b²）= a² + b² + 2ab sinA （由于sinA = cosB，sinB = cosA）根据上述推导，我们可以得到c² = a² + b²，证明了勾股定理。

勾股定理9种证明(有图)

勾股定理的9种证明（有图）【证法1】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2ab .把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、 C 三点在一条直线上，C G D 三点在一条直线上.v Rt △ HAE 坐 Rt △ EBF, ••• / AHE = / BEF.v / AEH + / AHE = 90o, • / AEH + / BEF = 90o.• / HEF = 180o — 90o= 90o.•四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形.它的面积等于c 2.v Rt △ GDH 坐 Rt △ HAE, • / HGD = / EHA. v / HGD + / GHD = 90o,• / EHA + / GHD = 90o. 又v / GHE = 90o, • / DHA = 90o+ 90o= 180o.2• ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于（a + b ）.21 2a b 4 ab c222•2. • a b = c .【证法2】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a 、b ，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使 D E 、F 在一条直线上.过C 作AC 的延长线交DF 于/ EGF + / GEF = 90°, / BED + / GEF = 90 ° , / BEG =18(b — 90o= 90 o. 又 v AB = BE = EG = GA = c• / ABC + / CBE = 90o.v Rt △ ABC 坐 Rt △ EBD, • / ABC = / EBD.• / EBD + / CBE = 90o. 即 / CBD= 9Gb. 又 v / BDE = 90o ,Z BCP = 90o ,D 、E 、F 在一条直线上，且Rt △ GEF 幻Rt △ EBD, ABEG 是一个边长为c 的正方形.a b HH匕DA FbaP bCBC = BD = a.••• BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCB 的面积为S,则21 b S2 ab, 2 1=S 2 ab2 ,a 2 +b 2 =c 2【证法3】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a 、b （b>a ）c.再做一个边长为c 的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使直线上. 过点Q 作QP// BC 交AC 于点P. 过点B 作BML PQ 垂足为M ；再过点 F 作FNL PQ 垂足为N.v / BCA = 90o , QP// BC • / MPC = 90o , v BM 丄 PQ• / BMP = 90o ,• BCPM 是一个矩形，即/ MBC = 90o.v / QBM + / MBA = / QBA = 90o , / ABC + / MBA = / MBC = 90o , • / QBM = / ABC又 v / BMP = 90o ,/ BCA = 90o , BQ = BA = c , • Rt △ BMQ 坐 Rt △ BCA.同理可证Rt △ QNF 幻Rt △ AEF.从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法4】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使在一条直线上，连结BF CD.过 C 作 CL L DE 交AB 于点M 交DE 于点L.v AF = AC , AB = AD,/ FAB = / GAD• △ FAB 坐△ GADE 、A ，斜边长为C 三点在一条 H 、C B 三点 v △ FAB 的面积等于K△ GAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，二矩形ADLM 的面积二同理可证，矩形 MLEE 的面积 v 正方形ADEB 勺面积 =矩形ADLM!勺面积+ /. c 2 a 2 b 2，即 a 2 -【证法5】(杨作玫证明) 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a 、b (b>a ),斜边长为c. 再做一个边长为c 的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A 作AF 丄AC AF 交GT 于F , AF 交DT 于 R.过B 作BP 丄AF,垂足为 E , DE 交 AF 于 H. v / BAD = 90o ,Z PAC = 90o , ••• / DAH = / BAC. 又 v / DHA = 90o ,Z BCA = 90o , AD = AB = c ,• Rt △ DHA 坐 Rt △ BCA. • DH = BC = a , AH = AC = b. 由作法可知，PBCA 是一个矩形，所以 Rt △ APB 坐 Rt △ BCA.即 PB = CA = b , AP= a ,从v Rt △ DGT 坐 RtRt △ DHA 坐 Rt• Rt △ DGT 坐 Rt • DH = DG = a , 又 v / DGT = 90o ,2 a . =b 2 矩形MLEB 勺面积 b 2 =c 2. PH = b — a. △ BCA , △ BCA. △ DHA . / GDT = / HDA . / DHF = 90o ,P.过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为 / GDH = / GDT + / TDH = / HDA+Z TDH = 90o ,• DGFH 是一个边长为a 的正方形.• GF = FH = a . TF 丄AF , TF = GT — GF = b — a .• TFPB 是一个直角梯形，上底 TF=b-a ,下底BP= b ,高FP=a + (b —a ).用数字表示面积的编号(如图)，则以c 为边长的正方形的面积为 c 2 = Si S 2 S 3 S 4 S 51S 8 +S 3 +S 4 =- b + (b - a )】• a + (b -a /v2S5 - S 8' S 9丄21 .S 3S 4-b 2 ab・・ 2把②代入①，得c^S iS 2b 2 -S^S 8S 8S 9①b 2 -1 ab2 ,2=bS2S 9 = b 2 川 a 2【证法6】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为 a 、b （b>a ）,斜边的长为c.做三个边长分别为a 、 b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 A 、E 、G 三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.v / TBE = / ABH = 900, ••• / TBH = / ABE. 又 v / BTH = / BEA = 900,BT = BE = b , • Rt △ HBT 坐 Rt △ ABE. • HT = AE = a. • GH = GT — HT = b — a. 又 v / GHF + / BHT = 900,/ DBC + / BHT = / TBH + • / GHF = / DBC.v DB = EB — ED = b — a , / HGF = / BDC = 90o , • Rt △ HGF 坐 Rt △ BDC.即 S ^ S 2.过 Q 作 QM L AG 垂足是 M.由/ BAQ = / BEA = 90o ,可知 / ABE =/ QAM 而 AB = AQ = c ，所以 Rt △ ABE 幻 Rt △ QAM .又 Rt △ HBT 幻Rt △ ABE.所以 Rt △ HBT 幻 Rt △ QAM .即 S 8 二 S 5.由 Rt △ ABE 坐 Rt △ QAM 又得 QM = AE = a ，/ AQM = / BAE.v / AQM + / FQM = 90o ,Z BAE + / CAR = 90o ,Z AQM = / BAE • / FQM = / CAR.【证法7】（利用多列米定理证明）• Rt △ QMF 坐 Rt △ ARC.即 S 4 =S6.• • c 2 =S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 a 2 S 6又v S 7 二 S 2 S g 二 S 5 S 4 二 S 6> > >• a 2 b 2 = S ! S 6 S 3 S 7 S 8=S iS 4 S 3 S 2 S 52=c ,即a 2 + b 2 =c 2.又 v / QMF = / ARC = 90o , QM = AR = a , b^ S 3 S 7 S 8R a A在Rt △ ABC 中，设直角边 BC= a , AC= b ,斜边AB = c (如图).过点A 作AD// CB, 过点B 作BD//CA 则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆.根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有AB ・DC 二 AD ・BC AC *BD ,AB = DC = c , AD = BC = a , AC = BD = b ,AB 2 =BC 2 +AC 2，即 c 2 =a 2 +b 2 a 2 +b 2 =c 2【证法8】（利用反证法证明）如图，在Rt △ ABC 中，设直角边 AG点C 作CDL AB 垂足是D.假设a 2 b 2=c 2，即假设AC 2 BC —AB 2，则由AB^AB *AB =AB AD BD =AB ・AD AB * BD可知 AC 2 式 AB ・AD ，或者 BC 2 式 AB ・BD .即 AD : AO AG AB 或者 BD : BO BC AB. 在厶ADC 和△ ACB 中, v / A = / A,.若 AD : AW AC AB 」 / AD 字/ ACB.在厶CDB 和△ ACB 中, v / B = / B ,.若 BD BW BC AB,贝S / CDB^Z ACB. 又v / ACB = 90o ,. / AD& 90o ,Z CD 字 90o. 这与作法CDLAB 矛盾.所以，/. a 2 b 2 = c 2.【证法9］（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为 a 、b,斜边的长为c.作边长是a+b 的正方形ABCD. 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 (a +bf =a +b +2ab ；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形 ABCD 勺21 2,.十.(a +b 『=4 乂一ab+c 2面积为 2= 2ab c .2 2 2.. a b 2ab 二 2ab c ,BC 的长度分别为a 、b ,斜边AB 的长为c ,过 AC 2 • BC 2 = AB 2的假设不能成立..a2+b2=c2.。

勾股定理的经典证明方法

使AH=BG，裁下△ADH，移至
F
D
C
△CDI，裁下△HGF，移至△IEF，
是为“出入相补，各从其类”，其
余不动，则形成弦方正方形
A
DHFI．勾股定理由此得证．
BH
G
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10
总统巧证勾股定理
C
D
c
a
cb
Ab
Ea B
美国第二十任总统伽菲尔德
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11
向常春的证明方法
S 梯形 A B C D 1 2 (a b b ) (a b ) 1 2 a 2 1 2 a b
S梯形ABCD S四边形AECD SEBC
Aa
D
1 c2 1 (a b)b 22
1 c2 1 ab 1 b2 22 2
b
c
E
c
a-b
1a21ab1c21ab1b2 22 222
Bb C
注:这一方法是向常春
从而得到 :a 2 b 2c2
于1994年3月20日构想发现的新法．
12
勾股定理的证明方法
佟雪莹
1
勾股定理:两直角边的平方和等于斜边的平方
a2+b2=c2
b2 b
c2
c
a
a2
2
勾股定理的证明
• 两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明．因此不断出现关于勾股定理的新证法．
可得: a2 + b2 = c2
a
a
b
想一想: (1)大正方形的面积该怎样表示?
(2)这四个直角三角形还能怎样拼？

勾股定理9种证明(有图)

勾股定理的9种证明（有图）【证法1】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形,lab等于2 .把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、 C 三点在一条直线上，C G D 三点在一条直线上. v Rt △ HAE 坐 Rt △ EBF, ••• / AHE = / BEF. v / AEH + / AHE = 90o,• / AEH + / BEF = 90o.• / HEF = 180o — 90o= 90o.•四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形.它的面积等于c 2.v Rt △ GDH 坐 Rt △ HAE, • / HGD = / EHA. v / HGD + / GHD = 90o, • / EHA + / GHD = 90o. 又v / GHE = 90o,• / DHA = 90o+ 90o= 180o. • ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于2 1 2（a +b f = 4 汉一ab +c 2• 2 .【证法2】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为们拼成如图那样的一个多边形，使D E 、F 在一条直线上. 占P 八、、■・ v D 、E 、F 在一条直线上，且Rt △ GEF 幻Rt △ EBD, • / EGF = / BED v / EGF + / GEF = 90°, / BED + / GEF = 90 ° , / BEG =18（b — 90o= 90 o.AB = BE = EG = GA = c , ABEG 是一个边长为c 的正方形. / ABC + / CBE = 90o.Rt △ ABC 坐 Rt △ EBD, / ABC = / EBD. / EBD + / CBE = 90o. 即 / CBD= 9Gb. 又 v / BDE = 90o ,Z BCP = 90o ,BC = BD = a.• BDPC 是一个边长为a 的正方形.a 2b 2 =c 2则每个直角三角形的面积B 三点在一条直线上, B 、F 、D b G ----------- ------------ yrC -D-\ c\ _________________A a E a\c\ 计Fca b 2. a 、b ，斜边长为c. 过C 作AC 的延长线交 a b H a 把它 DF 于 D F CAH E aE B P b b G同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCB 的面积为S,则2 21a b 二 S 2 ab, 2c 2 = S 2 -ab2 a 2 b 2c 2【证法3】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为c.再做一个边长为c 的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使直线上. 过点Q 作QP// BC 交AC 于点P. 过点B 作BM L PQ 垂足为M ；再过点 F 作FNL PQ 垂足为N. v / BCA = 90o , QP// BC ••• / MPC = 90o ,v BM 丄 PQ• / BMP = 90o ,• BCPM 是一个矩形，即/ MBC = 90o.v / QBM + / MBA = / QBA = 90o , / ABC + / MBA = / MBC = 90o , • / QBM = / ABC 又 v / BMP = 90o ,/ BCA = 90o , BQ = BA = c , • Rt △ BMQ 坐 Rt △ BCA. 同理可证Rt △ QNF 幻Rt △ AEF. 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法4】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使在一条直线上，连结BF CD.过 C 作 CL L DE交AB 于点M 交DE 于点 L.v AF = AC , AB = AD, / FAB = / GAD • △ FAB 坐△ GAD-a 2v △ FAB 的面积等于2△ GAD 勺面积等于矩形ADLM 的面积的一半， •矩形ADLM 的面积二a 2a 、b (b>a ) E 、A ，斜边长为 C 三点在一条 CH 、C B 三点KDL c E同理可证，矩形 MLEE 的面积 v 正方形ADEB 勺面积=矩形ADLM 勺面积+ /. c 2 a 2 b 2，即 a 2 - 【证法5】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a 、b （b>a ）,斜边长为c. 再做一个边长为c 的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A 作AF 丄AC AF 交GT 于F , AF 交DT 于 R.过B 作BP 丄AF,垂足为 E , DE 交 AF 于 H.v / BAD = 90o ,Z PAC = 90o ,••• / DAH = / BAC.又 v / DHA = 90o ,Z BCA = 90o ,AD = AB = c ,• Rt △ DHA 坐 Rt △ BCA. • DH = BC = a , AH = AC = b. 由作法可知，PBCA 是一个矩形，所以 Rt △ APB 坐 Rt △ BCA.即 PB = CA = b , AP= a ,从 v Rt △ DGT 坐 Rt Rt △ DHA 坐 Rt • Rt △ DGT 坐 Rt • DH = DG = a , 又 v / DGT = 90o , =b 2 矩形MLEB 勺面积 b 2 =c 2 P.过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为 PH = b — a. △ BCA , △ BCA. △ DHA . / GDT = / HDA . / DHF = 90o ,/ GDH = / GDT + / TDH = / HDA+Z TDH = 90o ,• DGFH 是一个边长为a 的正方形.• GF = FH = a . TF 丄AF , TF = GT — GF = b — a .• TFPB 是一个直角梯形，上底 TF=b-a ,下底BP= b ,咼 FP=a + (b —a ). 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为2c = S 1 S 2 S 3 S 4 S 5①S 8 • S 3 S 4 = 1 b 亠 ib 「a 丨・ a 亠 ib 「a 1 v 2S 5 =S 8 ' S 92 1 • S3 +2 二b—2ab —S 8 二 b^S^S 8 . 把②代入①，得c 2 =S 1 S 2 b 2 -S^S 8 S 8S 9=b 2 S 2 S 9 = b 2 a 2.• a 2+b 2=c 2b 2「^ab2,②【证法6】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为 a 、b （b>a ）,斜边的长为c.做三个边长分别为a 、 b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 A 、E 、G 三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.v / TBE = / ABH = 90o , ••• / TBH = / ABE.又 v / BTH = / BEA = 900, BT =BE = b ,• Rt △ HBT 坐 Rt △ ABE. • HT = AE = a.• GH = GT — HT = b — a. 又 v / GHF + / BHT = 900,/ DBC + / BHT = / TBH • / GHF = / DBC.v DB = EB — ED = b — a , / HGF = / BDC = 900, • Rt △ HGF 坐 Rt △ BDC.即 S ^ S 2.过 Q 作 QM L AG 垂足是 M.由/ BAQ = / BEA = 900,可知 / ABE =/ QAM 而 AB = AQ = c ，所以 Rt △ ABE 幻 Rt △ QAM .又 Rt △ HBT 幻Rt △ ABE.所以 Rt △ HBT 幻 Rt △ QAM .即 S ^ = S 5.由 Rt △ ABE 坐 Rt △ QAM 又得 QM = AE = a ，/ AQM = / BAE./ AQM + / FQM = 90o ,Z BAE + / CAR = 90o ,Z AQM = / BAE / FQM = / CAR.又 v / QMF = / ARC = 900, QM = AR = a ,=S 1 S 4 S 3 S 2 S 5 =c 22=c【证法7】（利用多列米定理证明）在Rt △ ABC 中 ,设直角边 BC= a , AC= b ,斜边AB = c （如图）.过点A 作AD// CB, 过点B 作BD//CA 则ACBE 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆.根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有AB ・DC =AD ・BC AC *BDAB = DC = c , AD = BC = a , AC = BD即 S 4 = & . 2 =S , S 2 S 3 S 4 S 5 a= S 1b 2Rt △ QMF 坐 Rt △ ARC. 2cS7 2aS 8 = S 5S 4 = §5> > > =SiS 6 S 3S 7S 8S 6 b 2 = S 3 S y S 8 a 2 b 2 AbC= b ,AB2=BC2+AC2，即c2=a2+b2, a2 +b2 =c2.【证法8】(利用反证法证明)如图，在Rt △ ABC中，设直角边AC BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过点C 作CDL AB垂足是D.假设a2 b2乂2，即假设AC2 BC2 = AB2，则由AB2=AB *AB = AB AD BD = AB *AD AB * BD可知AC2式AB・AD，或者BC2式AB・BD.即AD：AO AC AB 或者BD：BO BC AB.在厶ADC和△ ACB中,v / A = / A,•••若AD: AO AG AB」/ AD字/ ACB.在厶CDB和△ ACB中,v / B = / B,•若BD BO BC AB,贝S/ CDB^Z ACB.又v / ACB = 90o,•/ ADC^ 90o,Z CD字90o.AC2 BC^^AB2的假设不能成立这与作法CDLAB矛盾.所以,•a2+b2=c2.【证法9］（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b,斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD. 把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为(a+b 2 =a2 +b2 +2ab ；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD勺9 1 2(a +b『=4 汉一ab +c 2面积为 2 = 2ab c .a2+ b2 +2ab = 2ab +c22 2 2a +b =c .。

勾股定理16种证明方法

ABCD 是一个边长为 a + b 的正方形，它的面积等于 14 ab 2c 2【证法3】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）,以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a 、b ，斜边长为c ,再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形 .从图上可以看到，这两个正方形的边长都是1 2 14 ab c 4 ab222 2，整理得 a b 【证法2】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积1ab等于2 .把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、 C 三点在一条直线上，C G 、D 三点在一条直线上.Rt A HAE 坐 Rt A EBF, / AHE = / BEF/ AEH + / AHE = 90o, / AEH + / BEF = 90o / HEF = 180—90o= 90o.四边形EFGH 是一个边长为正方形.它的面积等于c 2. Rt A GDH 坐 Rt A HAE, / HGD = / EHA/ HGD + / GHD = 90o, / EHA + / GHD = 900 又 T / GHE = 90o,/ DHA = 90o+ 90o= 180o勾股定理的证明aa/ba + b,所以面积相等.即a 2b 2aabbaaccbabba2a ba 2b 2Cab三角形的面积等于2 .把这四个直角三角形拼成如图所示形状•v Rt A DAH 坐 Rt A ABE, ••• / HDA = / EABv / HAD + / HAD = 90o, • / EAB + / HAD = 90o• ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2.v EF : =FG =GH =HE =—a ,/ HEF = 90oEFGH 是一个边长为b —a 的正方形，它的面积等于b a4 i ab b a 2 c 2 '• 2 . \ a 2 b 2 c 2.【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面ab积等于2.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使 A 、E 、v Rt A EAD 坐 Rt A CBE, • / ADE = / BEC v / AED + / ADE = 90o, • / AED + / BEC = 90o • / DEC = 180—90o= 90o. • A DEC 是一个等腰直角三角形,1 2 c 它的面积等于2 .又 v / DAE = 90o, / EBC = 90o,• AD// BCABCD 是一个直角梯形，它的面积等于 1 「2 c 1「 1 2a b 2 ab c • 2 2 2 .• a 2 b 2 c 2.【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a 、b ，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使 D 、E 、F 在一条直线上.过C 作AC 的延长线交DF 于点P 八、、■・v D 、E 、F 在一条直线上，且Rt A GEF 幻 Rt A EBD,/ EGF = / BED,B 三点在一条直线上A b E a B/ EGF + / GEF = 90 , / BED + / GEF = 90 ,••• / BEG =180— 90o= 90o. 又T AB = BE = EG = GA = c• ABEG 是一个边长为c 的正方形. • / ABC + / CBE = 90o T Rt A ABC 刍 Rt A EBD, • / ABC = / EBD• / EBD + / CBE = 90o 即 / CBD= 900又 T / BDE = 90o / BCP = 90oBC = BD = a• BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S,则2a b 2 S 2】ab, 2 2c S2 lab 2J.a 2 b 2 c 2【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c.再做一个边长为c 的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使直线上. E过点Q 作QP// BC,交AC 于点P. b 过点B 作BM 丄PQ,垂足为M ;再过点F 作FN 丄PQ ,垂足为N. T / BCA = 90o QP / BC, • / MPC = 90o T BM 丄 PQ,• / BMP = 90o,• BCPM 是 T / QBM + / MBA = / QBA = 90o,/ ABC + / MBA = / MBC = 90o, • / QBM = / ABC,又 T / BMP = 90o, / BCA = 90o BQ = BA = c• Rt A BMQ 坐 Rt A BCA 同理可证Rt A QNF 幻Rt A AEF 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 H 、C B 三点在一条直线上，连结 G BF CD 过 C 作 CL ± DE, 口 / X.E 、A 、C 三点在一条 [A\Pb个矩形，即/ MBC = 90o交AB 于点M ，交DE 于点 L.v AF = AC AB = AD, / FAB = / GAD,••• △ FAB 刍 △ GAD,1 2 a v △ FAB 的面积等于2 ,△ GAD 的面积等于矩形 ADLM 的面积的一半，•矩形ADLM 的面积二. 同理可证，矩形MLEB 的面积=. v 正方形ADEB 的面积=矩形ADLM 的面积+矩形MLEB 的面积 • c 2 a 2 b 2，即 a 2 b 2 c 2.【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在Rt A ABC 中，设直角边点C 作CD 丄AB ,垂足是D.在厶ADC 禾口 △ ACB 中， v / ADC = / ACB = 90o / CAD = / BAG • △ ADC s △ ACBAD : AC = AC : AB , 即 AC 2 AD? AB .同理可证，△ CDB s △ ACB, 2 2AF 交DT 于R.过B 作BP 丄AF ,垂足为交AF 于H./ BAD = 90o / PAC = 900 / DAH = / BAC又 v / DHA = 90q / BCA = 900 AD =AB = c• Rt A DHA 坐 Rt A BCA • DH = BC = a AH = AC = b由作法可知，PBCA 是一个矩形, 所以 Rt △ APB 坐 Rt A BCA 即 PB = CA = b AP= a,从而 PH = b-a.v Rt A DGT 坐 Rt A BCA , Rt ADHA 坐 Rt A BCAAC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ,过从而有2，即 • AC BC AD DB ? AB AB 【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ）,斜边长为c.再做一个边长为c 的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A 作AF 丄AC,AF 交GT 于F , P.过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E, DEBC 2 BD?ABa 2b 2c 2AbRt A DGT 坐 Rt A DHA . ••• DH = DG = a 广 GDT = / HDA . 又••• / DGT = 90q / DHF = 90Q/ GDH = / GDT + / TDH = / HDA+ / TDH = 90（，• DGFH 是一个边长为a 的正方形. GF = FH = a TF 丄AF , TF = GT-GF = b —a . TF=b-a ，下底 BP=b 高 FP=a +（b —a ），则以c 为边长的正方形的面积为c 2 S iS 2 S 3 S 4 S 5①..S 8S 3S 4 1b b a ? a b ab 2 iab2二2S 5 S 8S 9• S 3S 4b 2丄ab 2S8= b 2 S iS 8②把②代入①, 得c 2 S i S 2 b 2 S i S 8 S 8S 9• TFPB是一个直角梯形，上底用数字表示面积的编号（如图） 2=b S 2S 9 = b 2 a 2a 2b 2c 2【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为 b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使面积的编号（如图）.v / TBE = / ABH = 90o, • / TBH = / ABE 又 v / BTH = / BEA = 90（ BT = BE = b • Rt A HBT 坐 Rt A ABE • HT = AE = a • GH = GT- HT = b- a. 又 v / GHF + / BHT = 90oa 、b （b>a ）,斜边的长为c.做三个边长分别为a 、A 、E 、G 三点在一条直线上.用数字表示/ DBC + / BHT = / TBH + / BHT = 90（ Qv DB = EB- ED = b- a ,/ HGF = / BDC = 90o • Rt A HGF 坐 Rt A BDC 即卩 S7 辺过Q 作QM 丄AG ,垂足是 M.由/ BAQ = / BEA = 90（可知 / ABE =/QAM ,而 AB = AQ = c 所以 Rt A ABE 幻 Rt A QAM .又 Rt A HBT 幻 Rt A ABE 所以 Rt A HBT 幻 Rt A QAM .即 S8 S5.由 Rt A ABE 坐 Rt A QAM ,又得 QM = AE = a / AQM = / BAEv / AQM + / FQM = 90o,/ BAE + / CAR = 90q / AQM = / BAE ••• / FQM = / CAR 又 v / QMF = / ARC = 90o QM = AR = a【证法11】（利用切割线定理证明）在Rt A ABC 中，设直角边 BC = a AC = b,斜边AB = c 如图，以B 为圆心a 为半径作圆，交AB 及AB 的延长线分别于D 、E,贝S BD = BE = BC 三a 因为/ BCA = 90q 点C 在 O B 上，所以AC 是。

勾股定理16种证明方法

勾股定理的证明【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即abc ab b a 214214222⨯+=⨯++，整理得 222c b a =+.【证法2】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF,∴ ∠AHE = ∠BEF .∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形. 它的面积等于c 2.∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA .∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +.∴()22214cab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法3】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ），以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB .∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90º.EB A ∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2a b -.∴()22214ca b ab =-+⨯.∴ 222c b a =+.【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC . ∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于221c.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD ∥BC .∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()221b a +.∴ ()222121221cab b a +⨯=+.∴ 222c b a =+. 【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c . 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P .∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED ，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180º―90º= 90º.又∵ AB = BE = EG = GA = c ，∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形.∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD,∴ ∠ABC = ∠EBD . ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º.又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º， BC = BD = a .∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S ，则,21222ab S b a ⨯+=+abS c2122⨯+=,∴ 222c b a =+.【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上.过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P .过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点 F 作FN ⊥PQ ，垂足为N . ∵ ∠BCA = 90º，QP ∥BC ， ∴ ∠MPC = 90º， ∵ BM ⊥PQ ， ∴ ∠BMP = 90º， ∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90º.∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º，∴ ∠QBM = ∠ABC ，又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c ，∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA .同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF . 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结 BF 、CD . 过C 作CL ⊥DE ，交AB 于点M ，交DE 于点 L .∵ AF = AC ，AB = AD ， ∠FAB = ∠GAD ， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ，∵ ΔFAB 的面积等于221a，ΔGAD 的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴ 矩形ADLM 的面积 =2a .同理可证，矩形MLEB 的面积 =2b .∵ 正方形ADEB 的面积= 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB∴ 222b ac += ，即 222c b a =+【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D . 在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º， ∠CAD = ∠BAC ，∴ ΔADC ∽ ΔACB . AD ∶AC = AC ∶AB ，即 AB AD AC ∙=2.同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB ，从而有 AB BD BC∙=2.∴ ()222AB AB DB AD BCAC=∙+=+，即 222c b a =+.【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形.B把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R . 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P . 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H .∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º， ∴ ∠DAH = ∠BAC .又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º， AD = AB = c ，∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ DH = BC = a ，AH = AC = b . 由作法可知， PBCA 是一个矩形，所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA . 即PB = CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a .∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA , Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA .又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º， ∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . TF ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为543212S S S S S c++++= ①∵()[]()[]a b a a b b S S S -+∙-+=++21438 = abb 212-，985S S S +=，∴824321S ab b S S --=+=812S S b -- . ②把②代入①，得98812212S S S S b S S c++--++==922S S b ++ = 22a b +.∴ 222c b a =+.【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴ ∠TBH = ∠ABE .又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º， BT = BE = b ，∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . ∴ HT = AE = a .∴ GH = GT ―HT = b ―a .又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º， ∴ ∠GHF = ∠DBC .∵ DB = EB ―ED = b ―a ，∠HGF = ∠BDC = 90º， ∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC . 即27S S =.TE BQ过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M . 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE = ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 58S S =.由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE .∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE ， ∴ ∠FQM = ∠CAR .又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a ，∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC . 即64S S =. ∵543212S S S S S c++++=，612S S a+=，8732S S S b++=，又∵ 27S S =，58S S =，64S S =， ∴8736122S S S S S ba ++++=+=52341S S S S S ++++ =2c ，即 222c b a =+.【证法11】（利用切割线定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 如图，以B 为圆心a 为半径作圆，交AB 及AB 的延长线分别于D 、E ，则BD = BE = BC = a . 因为∠BCA = 90º，点C 在⊙B 上，所以AC 是⊙B 的切线. 由切割线定理，得AD AE AC∙=2=()()BD AB BE AB -+=()()a c a c -+ = 22a c -，即22a cb -=，∴ 222c b a =+.【证法12】（利用多列米定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有BD AC BCAD DC AB ∙+∙=∙，∵ AB = DC = c ，AD = BC = a ， AC = BD = b ， ∴ 222AC BCAB+=，即 222b ac +=，∴ 222c b a =+.【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边O ，切点分别为D 、E 、F （如图），设⊙O 的半径为r .∵ AE = AF ，BF = BD ，CD = CE ， ∴ ()()()BF AF CD BD CE AE AB BC AC +-+++=-+= CD CE += r + r = 2r,即 r c b a 2=-+， ∴ c r b a +=+2.∴()()222c r b a +=+，即 ()222242c rc r ab b a ++=++，∵abS ABC 21=∆，∴ ABC S ab ∆=42，又∵AOCBOC AOB ABC S S S S ∆∆∆∆++= = brar cr 212121++= ()rc b a ++21= ()rc c r ++221= rc r +2，∴ ()ABCS rc r∆=+442， ∴ ()ab rc r242=+，∴ 22222c ab ab b a +=++， ∴ 222c b a =+. 【证法14】（利用反证法证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D . 假设222c b a ≠+，即假设 222AB BCAC≠+，则由AB AB AB∙=2=()BD AD AB +=BD AB AD AB ∙+∙可知 AD AB AC ∙≠2，或者 BD AB BC∙≠2. 即 AD ：AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：BC ≠BC ：AB .在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠A = ∠A ，∴ 若 AD ：AC ≠AC ：AB ，则 ∠ADC ≠∠ACB .在ΔCDB 和ΔACB 中， ∵ ∠B = ∠B ，∴ 若BD ：BC ≠BC ：AB ，则 ∠CDB ≠∠ACB . 又∵ ∠ACB = 90º，∴ ∠ADC ≠90º，∠CDB ≠90º.这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以，222AB BCAC≠+的假设不能成立.∴ 222c b a =+.【证法15】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c . 作边长是a+b 的正方形ABCD . 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()ab b a b a 2222++=+；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()22214cab b a +⨯=+ =22c ab +.∴ 22222c ab ab b a +=++, ∴ 222c b a =+.【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做两个边长分别为a 、b 的正方形（b>a ），把它们拼成如图所示形状，使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.在EH = b 上截取ED = a ，连结DA 、DC ，则 AD = c . ∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ，∴ DM = EM ―ED = ()a b +―a = b .又∵ ∠CMD = 90º，CM = a ， ∠AED = 90º， AE = b ， ∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC . ∴ ∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c .∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º， ∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º， ∴ ∠ADC = 90º.∴ 作AB ∥DC ，CB ∥DA ，则ABCD 是一个边长为c∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º， ∴ ∠BAF=∠DAE .连结FB ，在ΔABF 和ΔADE 中，∵ AB =AD = c ，AE = AF = b ，∠BAF=∠DAE ， ∴ ΔABF ≌ ΔADE .∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a . ∴ 点B 、F 、G 、H 在一条直线上. 在Rt ΔABF 和Rt ΔBCG 中，∵ AB = BC = c ，BF = CG = a ， ∴ Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG .∵ 54322S S S S c+++=， 6212S S S b++=，732S S a+=，76451S S S S S +===，∴6217322S S S S S ba ++++=+ =()76132S S S S S ++++=5432S S S S +++=2c∴ 222c b a =+.A。

勾股定理9种证明(有图)

勾股定理的9种证明（有图）【证法1】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.∵Rt ΔHAE ≌Rt ΔEBF, ∴∠AHE=∠BEF.∵∠AEH+∠AHE=90o,∴∠AEH+∠BEF=90o. ∴∠HEF=180o ―90o=90o.∴四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形.它的面积等于c2.∵Rt ΔGDH ≌Rt ΔHAE,∴∠HGD=∠EHA.∵∠HGD+∠GHD=90o, ∴∠EHA+∠GHD=90o. 又∵∠GHE=90o,∴∠DHA=90o+90o=180o.∴ABCD 是一个边长为a+b 的正方形，它的面积等于()2b a +.∴()22214c ab b a +⨯=+.∴222c b a =+.【证法2】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上.过C 作AC 的延长线交DF 于点P. ∵D 、E 、F 在一条直线上,且Rt ΔGEF ≌Rt ∴∠EGF=∠BED ， ∵∠EGF+∠GEF=90°，∴∠BED+∠GEF=90°，∴∠BEG=180o ―90o=90o. 又∵AB=BE=EG=GA=c ，∴ABEG 是一个边长为c 的正方形.∴∠ABC+∠CBE=90o.∵Rt ΔABC ≌Rt ΔEBD, ∴∠ABC=∠EBD.∴∠EBD+∠CBE=90o. 即∠CBD=90o.又∵∠BDE=90o ，∠BCP=90o ，BC=BD=a.∴BDPC 是一个边长为a 的正方形.同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S ，则abS c 2122⨯+=,∴222c b a =+.【证法3】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b（b>a ），斜边长为c.再做一个边长为c 的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上. 过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P.过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点F 作FN ⊥PQ ，垂足为N.∵∠BCA=90o ，QP ∥BC ，∴∠MPC=90o ，∵BM ⊥PQ ， ∴∠BMP=90o ，∴BCPM 是一个矩形，即∠MBC=90o.∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90o ，∠ABC+∠MBA=∠MBC=90o ， ∴∠QBM=∠ABC ，又∵∠BMP=90o ，∠BCA=90o ，BQ=BA=c ， ∴Rt ΔBMQ ≌Rt ΔBCA.同理可证Rt ΔQNF ≌Rt ΔAEF.从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法4】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结 BF 、CD.过C 作CL ⊥DE ，交AB 于点M ，交DE 于点L.∵AF=AC ，AB=AD ，∠FAB=∠GAD ， ∴ΔFAB ≌ΔGAD ，∵ΔFAB 的面积等于221a，ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，∴矩形ADLM 的面积=2a . 同理可证，矩形MLEB 的面积=2b .∵正方形ADEB 的面积=矩形ADLM 的面积+矩形MLEB 的面积 ∴222b a c +=，即222c b a =+. 【证法5】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b（b>a ），斜边长为c.再做一个边长为c 的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R.过B 作BP ⊥AF ，垂足为P.过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H.∵∠BAD=90o ，∠PAC=90o ，∴∠DAH=∠BAC.又∵∠DHA=90o ，∠BCA=90o ， AD=AB=c ， ∴Rt ΔDHA ≌Rt ΔBCA.∴DH=BC=a ，AH=AC=b.由作法可知，PBCA 是一个矩形，所以Rt ΔAPB ≌Rt ΔBCA.即PB= CA=b ，AP=a ，从而PH=b ―a.∵Rt ΔDGT ≌Rt ΔBCA, Rt ΔDHA ≌Rt ΔBCA.∴Rt ΔDGT ≌Rt ΔDHA.∴DH=DG=a ，∠GDT=∠HDA. 又∵∠DGT=90o ，∠DHF=90o ，∠GDH=∠GDT+∠TDH=∠HDA+∠TDH=90o ， ∴DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴GF=FH=a.TF ⊥AF ，TF=GT ―GF=b ―a.∴TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP=b ，高FP=a+（b ―a ）.用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为543212S S S S S c ++++=①∵()[]()[]a b a a b b S S S -+∙-+=++21438=ab b 212-， 985S S S +=，∴824321S ab b S S --=+=812SS b --.② 把②代入①，得=922S S b ++=22a b +.∴222c b a =+.【证法6】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c.做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.∵∠TBE=∠ABH=90o ， ∴∠TBH=∠ABE. 又∵∠BTH=∠BEA=90o ，BT=BE=b ， ∴Rt ΔHBT ≌Rt ΔABE. ∴HT=AE=a. ∴GH=GT ―HT=b ―a.又∵∠GHF+∠BHT=90o ，∠DBC+∠BHT=∠TBH+∠∴∠GHF=∠DBC.∵DB=EB ―ED=b ―a ，∠HGF=∠BDC=90o ， ∴Rt ΔHGF ≌Rt ΔBDC.即27S S =.过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M.由∠BAQ=∠BEA=90o ，可知∠ABE =∠QAM ，而AB=AQ=c ，所以Rt ΔABE ≌Rt ΔQAM.又Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE.所以Rt ΔHBT ≌Rt ΔQAM.即58S S =.由Rt ΔABE ≌Rt ΔQAM ，又得QM=AE=a ，∠AQM=∠BAE.∵∠AQM+∠FQM=90o ，∠BAE+∠CAR=90o ，∠AQM=∠BAE ， ∴∠FQM=∠CAR.又∵∠QMF=∠ARC=90o ，QM=AR=a ，∴Rt ΔQMF ≌Rt ΔARC.即64S S =.∵543212S S S S S c ++++=，612S S a +=，8732S S S b ++=，又∵27S S =，58S S =，64S S =，∴8736122S S S S S b a ++++=+=52341S S S S S ++++ =2c ，即222c b a =+.【证法7】（利用多列米定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC=a ，AC=b ，斜边AB=c （如图）.过点A 作AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆.根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有BD AC BC AD DC AB ∙+∙=∙， ∵AB=DC=c ，AD=BC=a ， AC=BD=b ，∴222AC BC AB +=，即222b a c +=， ∴222c b a =+.【证法8】（利用反证法证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D.假设222c b a ≠+，即假设222AB BC AC ≠+，则由AB AB AB ∙=2=()BD AD AB +=BD AB AD AB ∙+∙可知AD AB AC ∙≠2，或者BD AB BC ∙≠2.即AD ：AC ≠AC ：AB ，或者BD ：BC ≠BC ：AB.在ΔADC 和ΔACB 中，∵∠A=∠A ，∴若AD ：AC ≠AC ：AB ，则∠ADC ≠∠ACB. 在ΔCDB 和ΔACB 中， ∵∠B=∠B ， ∴若BD ：BC ≠BC ：AB ，则 ∠CDB ≠∠ACB. 又∵∠ACB=90o ，∴∠ADC ≠90o ，∠CDB ≠90o.这与作法CD ⊥AB 矛盾.所以，222AB BC AC ≠+的假设不能成立. ∴222c b a =+.【证法9】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c.作边长是a+b 的正方形ABCD.把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()ab b a b a 2222++=+；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()22214c ab b a +⨯=+=22c ab +.∴22222c ab ab b a +=++, ∴222c b a =+.。

勾股定理的证明(比较全的证明方法)课件

欧几里得证明：逻辑严密，易于理解，但需要一定的数学基础
海伦证明：简洁明了，易于理解，但需要一定的数学基础
卡尔丹证明：简洁明了，易于理解，但需要一定的数学基础
费马证明：简洁明了，易于理解，但需要一定的数学基础
牛顿证明：简洁明了，易于理解，但需要一定的数学基础
欧拉证明：简洁明了，易于理解，但需要一定的数学基础
诺特证明：简洁明了，易于理解，但需要一定的数学基础
冯 ·诺伊曼证明：简洁明了，易于理解，但需要一定的数学基础
希尔伯特证明：简洁明了，易于理解，但需要一定的数学基础
罗素证明：简洁明了，易于理解，但需要一定的数学基础
哥德尔证明：简洁明了，易于理解，但需要一定的数学基础
弦图：由两个直角三角形组成的图形证明过程：通过比较两个直角三角形的面积，得出勾股定理应用：适用于解决勾股定理相关的问题优点：直观易懂，易于理解
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折弦证明法的原理：通过将直角三角形的斜边和直角边分别折成两个直角三角形，从而证明勾股定理。
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折弦证明法的步骤：首先，将直角三角形的斜边和直角边分别折成两个直角三角形；然后，比较这两个直角三角形的斜边和直角边的长度，发现它们满足勾股定理。
未来展望：随着科技的发展，勾股定理的证明方法将更加多样化、智能化，为人类探索未知世界提供更多可能。
汇报人：PPT
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折弦证明法的优点：直观易懂，易于理解。
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折弦证明法的局限性：只适用于直角三角形，对于其他类型的三角形不适用。
原理：将直角三角形的两个直角边分别延长，形成两个全等三角形
步骤：将两个全等三角形的斜边分别延长，形成两个全等矩形

勾股定理的九种证明方法(附图)

勾股定理的九种证明方法(附图)勾股定理的证明方法一、传说中毕达哥拉斯的证法（图1）左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。

右边的正方形是由1个边长为的正方形和4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。

因为这两个正方形的面积相等(边长都是)，所以可以列出等式，化简得。

二、美国第20任总统茄菲尔德的证法（图3）这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为的直角三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成的。

因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式，化简得。

三、相似三角形的证法：4.相似三角形的方法：在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个三直角角形与原三角形相似。

CAD∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°.∵∠QBM + ∠MBA = ∠QBA =90 °，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，∴∠QBM = ∠ABC，又∵∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2六、欧几里德射影定理证法：如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AD是斜边BC上的高，通过证明三角形相似则有射影定理如下：1）（BD）^2;=AD·DC，（2）（AB）^2;=AD·AC ，（3）（BC）^2;=CD·AC 。

由公式（2）+（3）得：（AB）^2;+（BC）^2;=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=（AC）^2;，即（AB）^2;+（BC）^2;=（AC）^2七、杨作玫证法：做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥AF，垂足为P. 过D 作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.∵∠BAD = 90º，∠PAC = 90º，∴∠DAH = ∠BAC.又∵∠DHA = 90º，∠BCA = 90º，AD = AB = c，∴RtΔDHA ≌RtΔBCA.∴DH = BC = a，AH = AC = b.由作法可知，PBCA 是一个矩形，所以RtΔAPB ≌RtΔBCA. 即PB = CA = b，AP= a，从而PH = b―a.987654321PQR HG Dabcaccc∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA , Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA. ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . TF ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a . ∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为 543212S S S S S c ++++= ① ∵()[]()[]a b a a b b S S S -+•-+=++21438 =ab b 212-， 985S S S +=，∴ 824321S ab b S S --=+=812SS b -- . ② 把②代入①，得98812212S S S S b S S c ++--++== 922S S b ++ = 22a b +. ∴ 222c b a =+.八、陈杰证法：设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c. 做两个边长分别为a 、b 的正方形（b>a ），把它们拼成如图所示形状，使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.在EH = b 上截取ED = a ，连结DA 、DC ，则 AD = c. ∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ， ∴ DM = EM ―ED = ()a b +―a = b. 又∵ ∠CMD = 90º，CM = a ， ∠AED = 90º， AE = b ， ∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC. ∴ ∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c.∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º， ∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º， ∴ ∠ADC = 90º.∴ 作AB ∥DC ，CB ∥DA ，则ABCD 是一个边长为c 的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º， ∴ ∠BAF=∠DAE.连结FB ，在ΔABF 和ΔADE 中，∵ AB =AD = c ，AE = AF = b ，∠BAF=∠DAE ， ∴ ΔABF ≌ ΔADE.BD F Gab ca b cac a b c 1234567∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a. ∴ 点B 、F 、G 、H 在一条直线上. 在Rt ΔABF 和Rt ΔBCG 中， ∵ AB = BC = c ，BF = CG = a ， ∴ Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG.∵ 54322S S S S c +++=， 6212S S S b ++=， 732S S a +=， 76451S S S S S +===， ∴6217322S S S S S b a ++++=+ =()76132S S S S S ++++=5432S S S S +++=2c ∴ 222c b a =+.九、辛卜松证法：设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c. 作边长是a+b 的正方形ABCD. 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 ()ab b a b a 2222++=+；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 ()22214c ab b a +⨯=+ =22c ab +.∴ 22222c ab ab b a +=++,∴ 222c b a =+.ab 21ab 21ab 21ab 212c 2b 2aAD B Bab aba bb a ccccb a ab ab ba b a。

勾股定理的十六种证明方法

勾股定理的证明【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即abc ab b a 214214222⨯+=⨯++，整理得 222c b a =+.【证法2】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF ,∴ ∠AHE = ∠BEF .∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形. 它的面积等于c 2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE , ∴ ∠HGD = ∠EHA . ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +.∴()22214c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法3】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ），以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB .∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º， ∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90º.∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2a b -.∴ ()22214c a b ab =-+⨯.∴ 222c b a =+. 【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE ,∴ ∠ADE = ∠BEC .∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠D EC = 180º―90º= 90º. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于221c .又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD ∥BC .∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()221b a +.∴ ()222121221c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c . 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P .∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD , ∴ ∠EGF = ∠BED ，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c ，∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD , ∴ ∠ABC = ∠EBD . ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º. 又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a .∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S ，则,21222ab S b a ⨯+=+abS c 2122⨯+=, ∴ 222c b a =+.【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上. 过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P .过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点F 作FN ⊥PQ ，垂足为N . ∵ ∠BCA = 90º，QP ∥BC ， ∴ ∠MPC = 90º， ∵ BM ⊥PQ ， ∴ ∠BMP = 90º， ∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90º.∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º， ∴ ∠QBM = ∠ABC ，又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c ， ∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA .同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF . 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结 BF 、CD . 过C 作CL ⊥DE ，交AB 于点M ，交DE 于点L .∵ AF = AC ，AB = AD ， ∠FAB = ∠GAD ， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ，∵ ΔFAB 的面积等于221a ， ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，∴ 矩形ADLM 的面积 =2a . 同理可证，矩形MLEB 的面积 =2b .∵ 正方形ADEB 的面积 = 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积 ∴ 222b a c += ，即 222c b a =+.【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º， ∠CAD = ∠BAC ， ∴ ΔADC ∽ ΔACB .AD ∶AC = AC ∶AB ，即 AB AD AC •=2. 同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB ，从而有 AB BD BC •=2.∴ ()222AB AB DB AD BC AC =•+=+，即 222c b a =+.【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R . 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P . 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H .∵ ∠BAD = 90º，∠P AC = 90º， ∴ ∠DAH = ∠BAC . 又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º， AD = AB = c ，∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA .∴ DH = BC = a ，AH = AC = b .由作法可知， PBCA 是一个矩形，所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA . 即PB = CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a .∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA ,Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . T F ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为 543212S S S S S c ++++= ①∵()[]()[]a b a a b b S S S -+•-+=++21438 =ab b 212-， 985S S S +=，∴ 824321S ab b S S --=+=812SS b -- . ② 把②代入①，得98812212S S S S b S S c ++--++== 922S S b ++ = 22a b +. ∴ 222c b a =+.【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴ ∠TBH = ∠ABE .又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º，BT = BE = b ，∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . ∴ HT = AE = a . ∴ GH = GT ―HT = b ―a .又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠∴ ∠GHF = ∠DBC .∵ DB = EB ―ED = b ―a ，∠HGF = ∠BDC = 90º，∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC . 即 27S S =.过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M . 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE= ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 58S S =.由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE .∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE ， ∴ ∠FQM = ∠CAR .又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a ， ∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC . 即64S S =.∵ 543212S S S S S c ++++=，612S S a +=，8732S S S b ++=，又∵ 27S S =，58S S =，64S S =，∴8736122S S S S S b a ++++=+ =52341S S S S S ++++=2c ，即 222c b a =+.【证法11】（利用切割线定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 如图，以B 为圆心a 为半径作圆，交AB 及AB 的延长线分别于D 、E ，则BD = BE = BC = a . 因为∠BCA = 90º，点C 在⊙B 上，所以AC 是⊙B 的切线. 由切割线定理，得AD AE AC •=2=()()BD AB BE AB -+ =()()a c a c -+= 22a c -，即222a c b -=， ∴ 222c b a =+.【证法12】（利用多列米定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c （如图）. 过点A 作AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有BD AC BC AD DC AB •+•=•， ∵ AB = DC = c ，AD = BC = a ，AC = BD = b ，∴ 222AC BC AB +=，即 222b a c +=，∴ 222c b a =+.【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 作Rt ΔABC 的内切圆⊙O ，切点分别为D 、E 、F （如图），设⊙O 的半径为r .∵ AE = AF ，BF = BD ，CD = CE ，∴ ()()()BF AF CD BD CE AE AB BC AC +-+++=-+= CD CE += r + r = 2r,即 r c b a 2=-+， ∴ c r b a +=+2.∴ ()()222c r b a +=+，即 ()222242c rc r ab b a ++=++，∵ ab S ABC 21=∆，∴ ABC S ab ∆=42，又∵ AOC BOCAOB ABC S S S S ∆∆∆∆++= = br ar cr 212121++ = ()r c b a ++21= ()r c c r ++221= rc r +2，∴()ABC S rc r ∆=+442， ∴ ()ab rc r242=+，∴ 22222c ab ab b a +=++， ∴ 222c b a =+. 【证法14】（利用反证法证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .假设222c b a ≠+，即假设 222AB BC AC ≠+，则由AB AB AB •=2=()BD AD AB +=BD AB AD AB •+•可知 AD AB AC •≠2，或者 BD AB BC •≠2. 即 AD ：AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：BC ≠BC ：AB .在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠A = ∠A ， ∴ 若 AD ：AC ≠AC ：AB ，则 ∠ADC ≠∠ACB . 在ΔCDB 和ΔACB 中， ∵ ∠B = ∠B ，∴ 若BD ：BC ≠BC ：AB ，则 ∠CDB ≠∠ACB . 又∵ ∠ACB = 90º，∴ ∠ADC ≠90º，∠CDB ≠90º.这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以，222AB BC AC ≠+的假设不能成立.∴ 222c b a =+.【证法15】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c . 作边长是a+b 的正方形ABCD . 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为()ab b a b a 2222++=+；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()22214c ab b a +⨯=+ =22c ab +.∴ 22222c ab ab b a +=++,∴ 222c b a =+.【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做两个边长分别为a 、b 的正方形（b>a ），把它们拼成如图所示形状，使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.在EH = b 上截取ED = a ，连结DA 、DC ，则 AD = c .∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ，∴ DM = EM ―ED = ()a b +―a = b . 又∵ ∠CMD = 90º，CM = a ， ∠AED = 90º， AE = b ，∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC . ∴ ∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c . ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º， ∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º，∴ ∠ADC = 90º.∴ 作AB ∥DC ，CB ∥DA ，则ABCD 是一个边长为c 的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º， ∴ ∠BAF=∠DAE .连结FB ，在ΔABF 和ΔADE 中，∵ AB =AD = c ，AE = AF = b ，∠BAF=∠DAE ， ∴ ΔABF ≌ ΔADE .∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a . ∴ 点B 、F 、G 、H 在一条直线上. 在Rt ΔABF 和Rt ΔBCG 中， ∵ AB = BC = c ，BF = CG = a ， ∴ Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG .∵ 54322S S S S c +++=， 6212S S S b ++=， 732S S a +=，D D76451S S S S S +===， ∴6217322S S S S S b a ++++=+ =()76132S S S S S ++++=5432S S S S +++=2c ∴ 222c b a =+.。