表面等离激元

表面等离子体共振波长

1.共振波长的基本求解思路

表面等离激元(SP)是指在金属和电介质界面处电磁波与金属中的自由电子藕合产生的振动效应。它以振动电磁波的形式沿金属和电介质的界面传播，并且在垂直离开界面的方向，其振幅呈现指数衰减。表面等离激元的频率与波矢可以通过色散关系联系起来。其垂至于金属和电解介质界面方向电磁场

可表达为:

式中表示离开界面的垂直距离，当时取+，时取一。式中为虚数，引起电场的指数衰减。波矢平行于方向，，其中为表面等离子体的共振波长。由表达式可见，当时，电磁场完全消失，并在时为最大值。 函数，以及电介质的介电常数来求解表面等离激元的的色散关系，由公式: ，可得到等离激元色散关系式为: ，如果假设和都为实数，且

，则可获得一个较为复 杂的色散关系式 其中， (从实部可以计算SPPs 的波长

'2/x SPP K λπ=，SPPs 的传播距离SPP δ主要决定于虚部''2SPP SPPs k δ=

2. 金属表面等离体子频率的求解 当波矢较大或者时，的值趋向于21P SP ωωε=+ 对于自由电子气，，是金属体电子密度，是电子有效质 量，是电子电荷。因此，随增大而减小。 (1)具有理想平面的半无限金属

全空间内电势分布满足拉普拉斯方程：由于在方向上介质和金属都是均匀的，所以可令解的形式为得拉普拉斯方程的解

由以及边界条件：

可以得到介质与金属相对电容率之间的关系：

,假设介质的相对电容率为与

频率无关的常数，由金属相对电容率的表示式可知因此金属表面等离体子频率为当介质为真空时，得到金属表面等离体子频率为

(2)金属中存在着大量的价电子，它们可以在金属中自由地运动．由于价电子的自由移动性及电子间存在着库仑相互作用，所以在金属内部微观尺度上必然存在着电子密度的起伏．由于库仑作用的长程性，导致电子系统既存在集体激发(即等离体子振荡)，也存在个别激发(即准电子)．而在小波矢近似下只存在集体激发，故可以将电子密度的傅里叶分量作为集体坐标来描述这种关联，在k 一0的极限下，有式中为单位体积内的电子数．由此方程可以得到金属内等离体子振荡频率

从以上讨论及推导可以看出，金属等离体子振荡实际上是在库仑作用参与下的高粒子数密度系统中电子的集体运动，等离体子就是电子集体振荡的能量量子．由于库仑势场是纵场，因此等离体子是纵振动的量子．以上所讨论的情况没有考虑到金属边界的影响，即认为金属是无限大的，计算得到的频率为块状金属中的体相等离体子频率．

3.金属介电常数的求解

(1)另外，根据Drude 自由电子气模型，理想金属的介电方程可写为: 22()1p i ωεωωτω

=-- ,p ω是等离子体振荡频率,,τ是散射速率描述电子运动遭遇散射而引起的损耗， 161311.210/, 1.4510p rad s s ωτ-=⨯=⨯对于银,。

(2)球状金属的SP 介电常数可由以下公式给出:

式中为金属周围环境的介电常数。从公式可以得到无限多的模式，在

时得到最低阶介电模式。由于光子通过这些介电模式藕合进入SP ，

然后出现一个衰减的过程，所以这些模式都具有辐射的特征。

(3)利用Drude 模型可以得到块状金属中的相对电容率表达式：

式中，其中为金属内电子的平均自由程，

为电子的Fermi (费密〔长度单位，等于10-13厘米〕)速度，为金属电阻率．的数量级为，的数量级为，故的量级为．由于的量级为，远远小于，故当趋近于时，可以忽略不计，所以考虑等离体子振荡问题时，可忽略相对电容率的虚部，得到金属中相对电容率的经典表达式：

二维周期性结构排列，当入射光垂直照射时，其共振波长用

112222max ()()m d s m

d a i j εελεε-=++来表示，其中a 是晶格常数，i j 和是整数，m ε是金属的介电常数，d ε是和金属接触的介质的介电常数。

4.其它一些相关知识点

由以上公式可画出理想金属的表面等离激元色散曲线，如图1.2所示

因此，由上可知SP不能直接用光来激发。我们可以利用快速电子来激发波

矢较大的SP，但它无法激发波矢较小的SP。我们可以借助一些特殊的结构装置，可以利用光来激发SP下图就是其中一种装置。

表面结构衍射激发

(1)如果金属表面非常粗糙(粗糙度)，SP会受到强烈的散射，其波形

将偏离扩散波的形状，不能以波的形式沿界面传播，而是被局域在金属表面，我

们把此时的SP称之为局域表面等离激元。并且当光频率的入射光照

射到粗糙表面时，光就可以通过粗糙表面藕合进入SP。

(2)金属颗粒对光的散射截面和吸收截面由以下公式给出:

，其中

是颗粒的机化率。是颗粒的体积，和。，分别是颗粒和周围介质的介电函数。当

时，颗粒机化率将会变得很大，此时便呈现表面等离激元共振的特性。并且在发生表面等离激元共振时，散射截面会远远超过颗粒的几何截面。同时，由公式可以看出，颗粒的散射截面与体积的平方成正比，而吸收截面与体积成线性关系。由此可见，大尺寸的金属颗粒对光的散射更强。但在随着颗粒的增大，颗粒的机化出现不均匀性，其表面等离激元辐射衰减增加，颗粒的表面等离激元共振频率将出现四偶极子等高阶等离激元模式，这会导致表面等离激元共振峰发生红移。

(3)均匀介质中的纳米金属球

如图3所示，介质相对电容率为；金属球相对电容率为，半径为．对于球状的金属微粒，不再存在光波与等离体子振荡的波矢失配问题，利用频率可调的光波照射纳米金属球，可以观察到等离体子对入射光波的吸收．这是因为入射光波将纳米金属球极化，在金属球内激发了表面等离体子振荡．

当入射光波在可见光波段时，光波波长远大于纳米金属球直径，所以可以利用准静电近似求解金属球内外的电场分布．在准静电近似下，选择极轴方向为外场方向，使的解与无