北京四中初二因式分解周末练习
2021年度北师大版八年级数学下册《第4章因式分解》常考题型章末综合训练(附答案)
2021年度北师大版八年级数学下册《第4章因式分解》常考题型章末综合训练（附答案）1．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（）A．a2+b2B．2a﹣b2C．﹣a2+b2D．﹣a2﹣b22．下列因式分解正确的是（）A．2x2﹣2＝2（x2﹣1）B．﹣x2﹣y2＝﹣（x+y）（x﹣y）C．x2﹣2xy+4y2＝（x﹣2y）2D．﹣x2﹣2xy﹣y2＝﹣（x+y）23．下列因式分解正确的是（）A．x2﹣xy+y2＝（x﹣y）2B．x2﹣5x﹣6＝（x﹣2）（x﹣3）C．x3﹣4x＝x（x2﹣4）D．9m2﹣4n2＝（3m+2n）（3m﹣2n）4．多项式8a3b2+12a3bc﹣4a2b中，各项的公因式是（）A．a2b B．﹣4a2b2C．4a2b D．﹣a2b5．若实数x满足x2﹣2x﹣1＝0，则2x3﹣7x2+4x+2023的值为（）A．2020B．2021C．2022D．20236．若x2+5x+m＝（x+n）2，则m，n的值分别为（）A．m＝，n＝B．m＝，n＝5C．m＝25，n＝5D．m＝5，n＝7．若a2+2ab+b2﹣c2＝10，a+b+c＝5，则a+b﹣c的值是（）A．2B．5C．20D．98．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（）A．﹣1B．0C．3D．69．如图，大正方形ABCD和小正方形AEFG的周长和为20，且阴影部分的面积是10，则BE＝．10．分解因式：6xy2﹣8x2y3＝．11．因式分解：﹣3x2+27＝．12．已知x2﹣3x+1＝0，则＝．13．若2a﹣3b＝﹣1，则代数式4a2﹣6ab+3b的值为．14．如果x2+mx+6＝（x﹣2）（x﹣n），那么m+n的值为．15．因式分解：a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）＝．16．已知a+b＝3，ab＝2，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．17．若|x+y﹣5|+（x﹣y+1）2＝0，则x2﹣y2＝．18．若x2+2（3﹣m）x+25可以用完全平方式来分解因式，则m的值为．19．已知x﹣2y+2＝0，则x2+y2﹣xy﹣1的值为．20．已知P＝m2﹣m，Q＝m﹣1（m为任意实数），则P、Q的大小关系为．21．已知a、b、c分别是△ABC的三边．（1）分别将多项式ac﹣bc，﹣a2+2ab﹣b2进行因式分解；（2）若ac﹣bc＝﹣a2+2ab﹣b2，试判断△ABC的形状，并说明理由．22．阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只有上述方法就无法分解，如x2﹣4y2+2x﹣4y，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：x2﹣4y2+2x﹣4y＝（x2﹣4y2）+（2x﹣4y）＝（x+2y）（x﹣2y）+2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y+2）这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式：x2﹣6xy+9y2﹣3x+9y（2）△ABC的三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．23．分解因式：（1）3x2y﹣6xy+3y （2）（a2+1）2﹣4a2．24．因式分解（1）﹣2a3+12a2﹣18a （2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）25．阅读下面的问题，然后回答，分解因式：x2+2x﹣3，解：原式＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）上述因式分解的方法称为配方法．请体会配方法的特点，用配方法分解因式：（1）x2﹣4x+3 （2）4x2+12x﹣7．26．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求2x+y的值；（2）已知a﹣b＝4，ab+c2﹣6c+13＝0，求a+b+c的值．27．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x＝y，原式＝（y+2）（y+6）+4 （第一步）＝y2+8y+16 （第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的．A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．参考答案1．解：A、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；B、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；C、原式＝（b﹣a）（b+a），能利用平方差公式进行因式分解，符合题意；D、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意，故选：C．2．解：A、2x2﹣2＝2（x2﹣1）＝2（x+1)(x﹣1),故此选项错误；B、﹣x2﹣y2＝﹣（x2+y2），无法分解因式，故此选项错误；C、x2﹣2xy+4y2，无法直接利用公式法分解因式，故此选项错误；D、﹣x2﹣2xy﹣y2＝﹣（x+y）2，故此选项正确．故选：D．3．解：A、x2﹣xy+y2≠（x﹣y）2，因式分解错误，不符合题意．B、x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1），因式分解错误，不符合题意．C、x3﹣4x＝x（x2﹣4）＝x（x+2）（x﹣2），因式分解错误，不符合题意．D、9m2﹣4n2＝（3m+2n）（3m﹣2n），因式分解正确，符合题意．故选：D．4．解：多项式8a3b2+12a3bc﹣4a2b中各项的公因式是4a2b，故选：C．5．解：∵x2﹣2x﹣1＝0，∴2x3﹣7x2+4x+2023＝2x（x2﹣2x﹣1）﹣3（x2﹣2x﹣1）+2020＝2x×0﹣3×0+2020＝0+0+2020＝2020，故选：A．6．解：∵x2+5x+m＝（x+n）2＝x2+2nx+n2，∴2n＝5，m＝n2，解得m＝，n＝，故选：A．7．解：a2+2ab+b2﹣c2＝10，（a+b）2﹣c2＝10，（a+b+c）（a+b﹣c）＝10，∵a+b+c＝5，∴5（a+b﹣c）＝10，解得a+b﹣c＝2．故选：A．8．解：a2b+ab2﹣a﹣b＝（a2b﹣a）+（ab2﹣b）＝a（ab﹣1）+b（ab﹣1）＝（ab﹣1）（a+b）将a+b＝3，ab＝1代入，得原式＝0．故选：B．9．解：∵正方形的面积等于边长的平方，∴正方形ABCD的面积为AB2，正方形AEFG的面积为AE2．∴阴影部分的面积是AB2﹣AE2＝（AB+AE）（AB﹣AE）．∵大正方形ABCD和小正方形AEFG的周长和为20，∴AB+BEBAE＝20÷4＝5．∵阴影部分的面积是10，∴（AB+AE）（AB﹣AE）＝10．∴AB﹣AE＝2．即BE＝2．故答案为2．10．解：6xy2﹣8x2y3＝2xy2（3﹣4xy）．故答案为：2xy2（3﹣4xy）．11．解：原式＝﹣3（x2﹣9）＝﹣3（x+3）（x﹣3），故答案为：﹣3（x+3）（x﹣3）12．解：∵x2﹣3x+1＝0，∴x+＝3，∴＝＝＝，故答案为．13．解：∵2a﹣3b＝﹣1，∴4a2﹣6ab+3b＝2a（2a﹣3b）+3b＝2a×（﹣1）+3b＝﹣2a+3b＝﹣（2a﹣3b）＝﹣（﹣1）＝1故答案为114．解：∵（x﹣2）（x﹣n）＝x2﹣（2+n）x+2n，∴m＝﹣（2+n），2n＝6，∴n＝3，m＝﹣5，∴m+n＝﹣5+3＝﹣2．故答案为﹣2．15．解：a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）＝（x﹣y）（a2﹣4b2）＝（x﹣y）（a+2b）（a﹣2b）．故答案为：（x﹣y）（a+2b）（a﹣2b）．16．解：∵a+b＝3，ab＝2，∴a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2＝2×32＝18故答案为：18．17．解：∵|x+y﹣5|+（x﹣y+1）2＝0，∴，则原式＝（x+y）（x﹣y）＝﹣5，故答案为：﹣518．解：∵x2+2（3﹣m）x+25可以用完全平方式来分解因式，∴2（3﹣m）＝±10解得：m＝﹣2或8．故答案为：﹣2或8．19．解：∵x﹣2y+2＝0，∴x2+y2﹣xy﹣1，＝（x2﹣4xy+4y2）﹣1，＝（x﹣2y）2﹣1，＝×（﹣2）2﹣1，＝1﹣1，＝0，即x2+y2﹣xy﹣1＝0．故答案是：0．20．解：∵P＝m2﹣m，Q＝m﹣1（m为任意实数），∴P﹣Q＝m2﹣m﹣（m﹣1）＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2≥0，∴P≥Q．故答案为：P≥Q．21．解：（1）ac﹣bc＝c（a﹣b）﹣a2+2ab﹣b2＝﹣（a2﹣2ab+b2）＝﹣（a﹣b）2（2）∵ac﹣bc＝﹣a2+2ab﹣b2∴c（a﹣b）＝﹣（a﹣b）2c（a﹣b）+（a﹣b）2＝0（a﹣b）（c+a﹣b）＝0∵a、b、c分别是△ABC的三边，满足两边之和大于第三边，即c+a﹣b＞0∴a﹣b＝0即a＝b故△ABC的形状是等腰三角形．22．解：（1）x2﹣6xy+9y2﹣3x+9y＝（x2﹣6xy+9y2）﹣（3x﹣9y）＝（x﹣3y）2﹣3（x﹣3y）＝（x﹣3y）（x﹣3y﹣3）；（2）∵a2﹣b2﹣ac+bc＝0，∴（a2﹣b2）﹣（ac﹣bc）＝0，∴（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，∴（a﹣b）[（a+b）﹣c]＝0，∵a，b，c是△ABC的三边，∴（a+b）﹣c＞0，得a＝b，∴△ABC是等腰三角形．23．解：（1）原式＝3y（x2﹣2x+1）＝3y（x﹣1）2；（2）原式＝（a2+1+2a）（a2+1﹣2a）＝（a+1）2（a﹣1）2．24．解：（1）原式＝﹣2a（a2﹣6a+9）＝﹣2a（a﹣3）2；（2）原式＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．25．解：（1）x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1＝（x﹣2+1）（x﹣2﹣1）＝（x﹣1）（x﹣3）（2）4x2+12x﹣7＝4x2+12x+9﹣9﹣7＝（2x+3）2﹣16＝（2x+3+4）（2x+3﹣4）＝（2x+7）（2x﹣1）26．解：（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1＝0，∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）＝0，∴（x+y）2+（y+1）2＝0，∴x+y＝0，y+1＝0，解得，x＝1，y＝﹣1，∴2x+y＝2×1+（﹣1）＝1；（2）∵a﹣b＝4，∴a＝b+4，∴将a＝b+4代入ab+c2﹣6c+13＝0，得b2+4b+c2﹣6c+13＝0，∴（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）＝0，∴（b+2）2+（c﹣3）2＝0，∴b+2＝0，c﹣3＝0，解得，b＝﹣2，c＝3，∴a＝b+4＝﹣2+4＝2，∴a+b+c＝2﹣2+3＝3．27．解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；故选：C；（2）该同学因式分解的结果不彻底，原式＝（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4；故答案为：不彻底，（x﹣2）4；（3）（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1＝（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）+1＝（x2﹣2x+1）2＝（x﹣1）4。
初二八年级数学章节练习06因式分解之公式法
整式的乘除与因式分解章
因式分解之公式法
北京四中 龚剑钧
知识要点：
一、因式分解步骤：“一提二代三分组”
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以 后会学到）．
二、因式分解注意事项
（1）因式分解的对象是多项式；
（2）最终把多项式化成乘积形式；
（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
三、平方差公式：22
a b -=(a+b)(a-b)
完全平方公式：()2222a ab b a b ++=+ ()2
222a ab b a b -+=- （1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.
（2）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，
a 、
b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.
例题分析：
1. 把下列各式分解因式.
2.用简便方法计算下列各式：
4.分解因式：
5.若a 、b 、c 为三角形的三边边长，
试判断()2222224a b c
a b +--的正负状况．
6.若三角形的三边长是a 、b 、c ，且满足2222220a b c ab bc ++--=， 试判断三角形的形状.
7.（1）若a+b=3，求222426a ab b ++-的值.
（2）若44225a b a b ++=，ab=2，求22a b +的值.
（3）已知x 、y 满足22x y ++0.5=x+y ，求x+y 的值.。
北师大版八年级数学下册《因式分解》练习(含答案)
北师大版八年级数学下册《因式分解》练习(含答案)《分解因式》练习卷一、选择题1.下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的为（ ）A.23()33a a b a ab +=+B.2(2)(3)6a a a a +-=--C.221(2)1x x x x -+=-+D.22()()a b a b a b -=+-2.下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（ ）A.2x y -B.22x x +C.22x y +D.22x xy y -+3.把多项式(1)(1)(1)m m m +-+-提取公因式(1)m -后，余下的部分是（ ）A.1m +B.2mC.2D.2m +4.分解因式：24x -=（ ）A.2(4)x -B.2(2)x - C.(2)(2)x x +- D .(4)(4)x x +- 5.(3)(3)a y a y -+是下列哪一个多项式因式分解的结果（ ）.A.229a y +B. －229a y +C.229a y -D.－229a y -6.若 4a b +=，则222a ab b ++的值是（ ）A.8B.16C.2D.47.因式分解2a ab -，正确的结果是（ ）A.2(1)a b -B.(1)(1)a b b -+C.2()a b -D.2(1)a b -8.把多项式244x x -+分解因式的结果是（ ）A.2(2)x -B.(4)4x x -+C.(2)(2)x x +-D.2(2)x +9.若215(3)()x mx x x n +-=++，则m 的值为（ ）A.－5B.5C.－2D.210.下列因式分解中，错误的是（ ）A. 219(13)(13)x x x -=+-B.2211()42a a a -+=- C.()mx my m x y -+=-+ D.()()ax ay bx by ab x y --+=--二、填空题11.多项式2232128x xy xy ++各项的公因式是______________.12. 已知x ＋y=6，xy=4，则x 2y ＋xy 2的值为 . 13.一个长方形的面积是2(9)x -平方米，其长为(3)x +米，用含有x 的整式表示它的宽为________米.14. (1)x +（ ）21x =-．15.若多项式4a 2+M 能用平方差公式分解因式，则单项式M=____(写出一个即可).16. 在多项式241x +加上一个单项式后，能成为一个整式的完全平方式，那么所添加的单项式还可以是 ．17. 已知：x +y =1,则222121y xy x ++的值是___________. 18. 若512x 3,04422-+=-+x x x 则的值为_____________.20. 如图所示，边长为a 米的正方形广场，扩建后的正方形边长比原来的长2米，则扩建后的广场面积增加了_______米2．三、解答题21.分解因式：（1）222a ab -； （2）2x 2－18；（3）22242x xy y -+； （4）2242x x ++.22.请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解．2224()19a x y b +， ， ， ．23.设n为整数．求证：（2n+1）2－25能被4整除.24.在直径D1=1 8mm的圆形零件上挖出半径为D2=14mm的圆孔，则所得圆环形零件的底面积是多少?(结果保留整数).27. 先阅读下列材料，再分解因式：（1）要把多项式am an bm bn+++分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出a；把它的后两项分成一组，并提出b.从而得到()()a m nb m n+++.这时由于()a m n+与()b m n+又有公因式()m n+，于是可提出公因式()m n+，从而得到()()m n a b++.因此有()()am an bm bn am an bm bn+++=+++()()a m nb m n=+++()()m n a b=++.这种分解因式的方法叫做分组分解法.如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来分解因式了.（2）请用（1）中提供的方法分解因式：①2a ab ac bc+--.-+-；②255m n mn m(1)(1)x y x y =++--． =(2a+x+y)(2a －x －y)．23. 提示：判断（2n+1）2－25能否被4整除，主要看其因式分解后是否能写成4与另一个因式积的形式，因（2n+1）2－25=4（n+3）（n －2），由此可知该式能被4整除.24.解：环形面积就是大圆面积减去小圆面积，于是S 环=π21R 一π22R=π212D ⎛⎫ ⎪⎝⎭一π222D ⎛⎫ ⎪⎝⎭=π12122222D D D D ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ =π×(9+7)(9—7)=126π≈396(mm 2)故所得圆环形零件的底面积约为396mm 2．25. 用一张图①、5张图②、4张图③拼成下图矩形，由图形的面积可将多项式a 2＋5ab ＋4b 2分解为（a ＋b ）（a ＋4b ）.26. 解：（1）132－92=8⨯11，172－32=8⨯35．（2）规律：任意两个奇数的平方差是8的倍数．（3）证明：设m 、n 为整数，两个奇数可表示为2m+1和2n+1，则(2m+1)2－(2n+1)2=[(2m+1)+(2n+1)][(2m+1)－(2n －1)]=4(m －n)(m+n+1)．当m 、n 同是奇数或偶数时，m －n 一定为偶数，所以4(m －n)一定是8的倍数；当m 、n 一奇一偶时，m+n+1一定为偶数，所以4(m+n+1)一定是8的倍数．所以任意两个奇数的平方差是8的倍数．27. ①()()--.m m na b a c-+；②(5)()。
北师大版八年级数学下册《因式分解》练习(含答案)
《分解因式》练习卷一、选择题1.下列各式由左边到右边的变形中,是因式分解的为（ ）Ａ.23()33a a b a ab +=+ Ｂ.2(2)(3)6a a a a +-=--C.221(2)1x x x x -+=-+ Ｄ．22()()a b a b a b -=+-2.下列多项式中,能用提公因式法分解因式的是（ )A.2x y -B.22x x + C ．22x y + D.22x xy y -+3.把多项式(1)(1)(1)m m m +-+-提取公因式(1)m -后,余下的部分是（ ）A.1m +B.2m C ．2 D.2m + ４．分解因式:24x -=（ )Ａ.2(4)x -ﻩﻩ B.2(2)x - Ｃ.(2)(2)x x +- Ｄ.(4)(4)x x +-５.(3)(3)a y a y -+是下列哪一个多项式因式分解的结果( ）.Ａ．229a y + Ｂ. -229a y + Ｃ.229a y - D.－229a y -6.若 4a b +=，则222a ab b ++的值是（ ）A.8B.16 Ｃ.2 D ．4７．因式分解2a ab -，正确的结果是（ )A ．2(1)a b - B.(1)(1)a b b -+ C.2()a b - Ｄ.2(1)a b -8．把多项式244x x -+分解因式的结果是（ ）A ．2(2)x - B.(4)4x x -+ C.(2)(2)x x +-D ．2(2)x +9．若215(3)()x mx x x n +-=++，则m 的值为（ ）A.－5B.5C.－2 D ．210．下列因式分解中，错误的是( ）A. 219(13)(13)x x x -=+- B ．2211()42a a a -+=-C.()mx my m x y -+=-+D ．()()ax ay bx by a b x y --+=--二、填空题11.多项式2232128x xy xy ++各项的公因式是_____＿_＿_＿_＿__.１２. 已知x ＋y ＝6,xy ＝４，则x 2y ＋ｘy 2的值为 . １3.一个长方形的面积是2(9)x -平方米，其长为(3)x +米,用含有x 的整式表示它的宽为_____＿__米.１4． (1)x +( ）21x =-．15．若多项式4a 2+Ｍ能用平方差公式分解因式，则单项式Ｍ＝＿___(写出一个即可).16. 在多项式241x +加上一个单项式后，能成为一个整式的完全平方式，那么所添加的单项式还可以是 ．17. 已知:x +y =１,则222121y xy x ++的值是_＿＿_______＿. 18. 若512x 3,04422-+=-+x x x 则的值为___＿＿________．20. 如图所示，边长为a 米的正方形广场，扩建后的正方形边长比原来的长２米,则扩建后的广场面积增加了_______米2．三、解答题21.分解因式:(1）222a ab -； (2）2x 2－18；(3）22242x xy y -+; （４)2242x x ++．２２.请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解.2224()19a x y b+， ， ，．23.设n为整数.求证：（２n+１）2－25能被4整除．2４.在直径D1=１ 8mｍ的圆形零件上挖出半径为D２=14mm的圆孔，则所得圆环形零件的底面积是多少?(结果保留整数).2７. 先阅读下列材料,再分解因式:(1）要把多项式am an bm bn+++分解因式,可以先把它的前两项分成一组,并提出a；把它的后两项分成一组,并提出b.从而得到()()a m nb m n+++.这时由于()a m n+与()b m n+又有公因式()m n+，于是可提出公因式()m n+,从而得到()()m n a b++．因此有()()am an bm bn am an bm bn+++=+++()()a m nb m n=+++()()m n a b=++．这种分解因式的方法叫做分组分解法.如果把一个多项式的项分组并提出公因式后,它们的另一个因式正好相同,那么这个多项式就可以利用分组分解法来分解因式了．(2)请用(１）中提供的方法分解因式：①2a ab ac bc+--.-+-;②255m n mn m参考答案一、选择题１.D;2.B;3.D;4.C;５.Ｃ;6.B ；7．B;8.A;９.C ；1０．C二、填空题11.2x ；12.2４；13. 3x -;14．1x -；15． 本题是一道开放题，答案不唯一.M 为某个数或式的平方的相反数即可,如：－b ２,-1，－４……１6. 4x ±、44x 、－1,24x -中的一个即可;1７.12;提示：本题无法直接求出字母ｘ、y 的值，可首先将求值式进行因式分解，使求值式中含有已知条件式,再将其整体代入求解.因222121y xy x ++=21（x +ｙ)２,所以将x ＋y =1代入该式得:222121y xy x ++=21. １8.7；19.答案不唯一,如33()()a b ab ab a b a b -=+-等;２0. 4（ａ+１);三、解答题2１.(１)2()a a b -；（２)２（x ＋3)(ｘ-3)；(3)22()x y -;(4）22(1)x +．22. 本题是一道开放性试题,答案不唯一．解：作差如：2249a b - ， 2()1x y +-；22()4x y a +-;22()9x y b +-；21()x y -+;224()a x y -+；229()b x y -+ 等．分解因式如:1．2249a b - ３. 22()9x y b +-(23)(23)a b a b =+-. =(x+y+３b ）（x ＋y-3b)．2. 21()x y -+ 4. 224()a x y -+[][]1()1()x y x y =++-+ =[２ａ+(x+y)]［2a-(ｘ+ｙ)］(1)(1)x y x y =++--． ＝（2a ＋x+ｙ)(2ａ-x-y ）． ２3. 提示:判断(2ｎ＋1)2－2５能否被4整除，主要看其因式分解后是否能写成4与另一个因式积的形式,因(2n ＋1)2-２5＝4(n+3）(n-2），由此可知该式能被4整除.24．解：环形面积就是大圆面积减去小圆面积,于是S 环=π21R 一π22R=π212D ⎛⎫ ⎪⎝⎭一π222D ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝π12122222D D D D ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ =π×(9＋7)(9—7）＝126π≈3９6(ｍｍ2)故所得圆环形零件的底面积约为３９６mm 2.25． 用一张图①、5张图②、4张图③拼成下图矩形,由图形的面积可将多项式a 2+5ab+4b 2分解为(ａ+ｂ)(ａ+4ｂ）.２6. 解：（1）1３2-92＝8⨯1１，172-32=８⨯35.(2)规律：任意两个奇数的平方差是8的倍数．（3)证明：设m 、n 为整数，两个奇数可表示为２m+1和2n+1,则(2m+1)2-(２n+1)2＝[(2m ＋1)＋(2ｎ+1)][(2m+１）-(2n －1)］=4(ｍ-n)（ｍ+n+1). 当m 、n 同是奇数或偶数时，m －ｎ一定为偶数,所以4（ｍ－n ）一定是８的倍数；当m 、n 一奇一偶时,ｍ+n+1一定为偶数，所以４（ｍ＋n+1)一定是8的倍数.所以任意两个奇数的平方差是8的倍数．２７．①()()--.m m na b a c-+;②(5)()。
2021年北京四中初二数学周末考前练习(PDF版无答案)
15. 如图，在矩形 COED 中，点 D 的坐标是（1，2），则 CE 的长是
．
16. 在 Rt△ABC 中，a,b 均为直角边且其长度为相邻的两个整数，若 a 5 1 b ，
则该直角三角形斜边上的高为
．
17. 实 数 a 在 数 轴 上 的 位 置 如 图 所 示 ， 则 化 简 ： a 52 a 132
姓名：
班级：
学习是一件很有意思的事
一、选择题
初二数学周末练习 2—期中综合
1. 式子 x 1 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ）．
A． x 1
B． x 1
C． x 1
D． x 1
2. 以下列各组数为三边的三角形中不是直角三角形的是（
A．9、12、15 B．41、40、9 C．25、7、24
；
②若点 P(4,3) 为正方形 ABCD 的和睦点，求正方形边长的取值范围。
D．4 个
二、填空题
11. 计算： 3 27
．
12. 比较大小： 2 3
13 ．
13. 等腰三角形的腰长 13cm，底长 10cm，则底边上的高为
cm．
14. 如图，已知某菱形花坛 ABCD 的周长是 24m，∠BAD=120°，则花坛对角线
AC 的长是
m．
（第 14 题图）
（第 15 题图）
（第 17 题图）
3. 下列计算正确的是（ ）．
）． D．6、5、4
A． 5 3 3 5
B． 8 2=2
C． 4 1 =2 1 93
D．
2
3 2 5 6
4. 若 1 x 2 y 0 ，则 xy 的值为（ ）．
A．1
B． 1
2020年北师大版八年级下数学第4章《因式分解》练习题及答案 (12)
2020年北师大版八年级下数学第4章《因式分解》练习题12．阅读下列材料：数学中枚举法是一种重要归纳法也称为列举法、穷举法，是暴力策略的具体体现，又称为蛮力法．用枚举法解题时应该注意：（1）常常需要将对象进行恰当分类．（2）使其确定范围尽可能最小，逐个试验寻求答案．正整数N的末尾为5称为“威武数”，那么N的平方数为M称为“平武数”．例：152＝225（2＝1×2），252＝625（6＝2×3），352＝1225（12＝3×4），452＝2025（20＝4×5），552＝3025（30＝5×6），……由以上的枚举可以归纳得到的“平武数”特点是：①“平武数”的末两位数字是25；②去掉末两位数字25后，剩下部分组成的数字等于“威武数”去掉个位数字5后剩部分组成的数字与比此数大1的数之积．（如例中的括号内容）（1）根据以上特点我们能够很快的推出一个四位数的“平武数”M一共有7个．（2）同学们用学过的完全平方公式求证：当“威武数”N为任意二位数时，“平武数”M 都满足以上特点．（3）已知“平武数”M的首位数是2且小于六位，又满足N的各位数字之和与M的各位数字之和相等，求出“平武数”M的值．解：（1）∵352＝1225，452＝2025，552＝3025，652＝4225，752＝5625，852＝7225，952＝9025，再由“平武数”的特点，∴四位数的“平武数”共有7个，故答案为7；（2）设二位数的“威武数”N的十位数字是a，∴N＝10a+5，∴M＝（10a+5）2＝100a2+25+100a＝100a（a+1）+25，∴M的末尾两位数是25，∴当“威武数”N为任意二位数时，“平武数”M都满足以上特点；（3）当M是四位数时，设M的千位数是x，百位数是y，此时N是两位数，设N的十位数字是z，∴10x+y＝z（z+1），∵N的各位数字之和与M的各位数字之和相等，∴z+5＝x+y+2+5，∴z＝x+y+2，∴z2+2＝9x，∴当x＝2时，z＝4；当x＝5时，z＝3；∴M＝2025或M＝3025；当M是五位数时，设万位数字是x，千位数字是y，百位数字是z，∵3152＝99225，∴N的首位两个数字和最大是11，设N的十位数字是a，当N的首位是1时，∴1+a＝2+x+y+z，∴a﹣1＝x+y+z，又∵（10+a）（10+a+1）＝100x+10y+z，∴a2+20a+111＝9（9x+y），∴a2+20a+111＝（a+10）2+11＝9（9x+y），∴a＝4，∴1452＝21025，∴M＝21025；当N的首位是2时，∴2+a＝2+x+y+z，∴a＝x+y+z，又∵（20+a）（20+a+1）＝100x+10y+z，∴a2+40a+420＝（a+20）2+20＝9（9x+y），此时a不存在；∴M的值为2025或3025或21025．。
八年级数学下册 第4章《因式分解》训练题 北师大版(2021年整理)
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第4章《因式分解》一、选择题1．下列各式从左到右的变形，正确的是（ )A ．﹣x ﹣y=﹣（x ﹣y ）B ．﹣a+b=﹣(a+b)C ．（y ﹣x ）2=（x ﹣y ）2D ．(a ﹣b ）3=（b ﹣a ）32．下列因式分解正确的是（ ）A ．4322269(69)a b a b a b a b a a -+=-+B ．2211()42x x x -+=-C ．2224(2)x x x -+=-D ． 224(4)(4)x y x y x y -=+-3．多项式2mx m -与多项式221x x -+的公因式是（ )A ．1x -B ．1x +C ．21x -D ．()21x -4．将多项式a （b ﹣2）﹣a 2(2﹣b ）因式分解的结果是（ ）A ．（b ﹣2）(a+a 2）B ．（b ﹣2）（a ﹣a 2）C ．a(b ﹣2）（a+1）D ．a(b ﹣2）（a ﹣1) 5．下列等式不一定成立的是( ）A ．(0)aab b b =≠ B ．3521a a a -•=C ．224(2)(2)a b a b a b -=+-D ．326(2)4a a -=6．下列各式的变形中，正确的是( ）A ．22()()x y x y x y ---+=-B ．11xx x x --=C ．2243(2)1x x x -+=-+D ．21()1x x x x ÷+=+二、填空题7．﹣xy 2(x+y ）3+x （x+y ）2的公因式是 ；（2）4x （m ﹣n ）+8y （n ﹣m ）2的公因式是 ．8．（2015南京)分解因式()(4)a b a b ab --+的结果是 ．9．（2015内江）已知实数a ，b 满足:211a a +=,211b b +=，则2015a b -｜= ．10．已知(2x﹣21)（3x﹣7)﹣（3x﹣7）(x﹣13）可分解因式为（3x+a）(x+b），其中a、b均为整数，则a+3b= ．11.若a—b=3，ab=2，则a2b—ab2=三、解答题12．将下列各式因式分解：（1）5a3b(a﹣b）3﹣10a4b3（b﹣a）2；(2）(b﹣a）2+a（a﹣b）+b（b﹣a）;(3）（3a﹣4b）（7a﹣8b）+(11a﹣12b）（8b﹣7a）；(4）x（b+c﹣d）﹣y（d﹣b﹣c)﹣c﹣b+d．13．若x，y满足，求7y（x﹣3y）2﹣2（3y﹣x)3的值．14．先阅读下面的材料，再因式分解:要把多项式am+an+bm+bn因式分解,可以先把它的前两项分成一组,并提出a；把它的后两项分成一组，并提出b,从而得至a(m+n）+b（m+n)．这时，由于a(m+n)+b（m+n)，又有因式（m+n），于是可提公因式(m+n），从而得到（m+n）（a+b）．因此有am+an+bm+bn=（am+an）+(bm+bn）=a（m+n）+b（m+n）=（m+n)（a+b）．这种因式分解的方法叫做分组分解法．如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解了．请用上面材料中提供的方法因式分解：（1）ab﹣ac+bc﹣b2：(2）m2﹣mn+mx﹣nx;（3）xy2﹣2xy+2y﹣4．15．求使不等式成立的x的取值范围：（x﹣1）3﹣（x﹣1)（x2﹣2x+3）≥0．16．阅读题：因式分解：1+x+x(x+1）+x（x+1）2解：原式=（1+x）+x（x+1）+x（x+1)2=（1+x）［1+x+x（x+1）]=（1+x）[（1+x）+x（1+x)]=（1+x）2（1+x)=（1+x）3．（1）本题提取公因式几次？(2)若将题目改为1+x+x(x+1)+…+x(x+1）n，需提公因式多少次？结果是什么?《第4章因式分解》参考答案一、选择题1．C2．D3．D4．C5．A6. B二、填空题7．解：（1）﹣xy2（x+y)3+x（x+y）2的公因式是x（x+y）2；（2）4x（m﹣n）+8y（n﹣m）2的公因式是4（m﹣n）．故答案为：4（m﹣n）x（x+y）2．8．解:（x+3）2﹣（x+3），=(x+3）(x+3﹣1），=（x+2）（x+3）．9．解:n（m﹣n）（p﹣q）﹣n(n﹣m）（p﹣q）=n（m﹣n）（p﹣q）+n（m﹣n）(p﹣q)=2n（m﹣n)（p﹣q）．故答案为：2n（m﹣n）（p﹣q)．10．解:（2x﹣21）（3x﹣7)﹣（3x﹣7）（x﹣13)，=（3x﹣7)（2x﹣21﹣x+13），=（3x﹣7）(x﹣8）=（3x+a)(x+b），则a=﹣7，b=﹣8，故a+3b=﹣7﹣24=﹣31，故答案为:﹣31．三、解答题11．解：（1）5a3b（a﹣b)3﹣10a4b3(b﹣a)2=5a3b（a﹣b）2（a﹣b﹣2ab2）(2）(b﹣a）2+a（a﹣b）+b（b﹣a）=(a﹣b）（a﹣b+a﹣b）=2（a﹣b）2;(3)(3a﹣4b）（7a﹣8b）+（11a﹣12b)（8b﹣7a）=（7a﹣8b)（3a﹣4b﹣11a+12b)=8（7a﹣8b）(b﹣a）（4)x（b+c﹣d）﹣y(d﹣b﹣c）﹣c﹣b+d=（b+c﹣d）（x+y﹣1)．12．解：7y（x﹣3y）2﹣2(3y﹣x）3，=7y（x﹣3y)2+2（x﹣3y）3,=（x﹣3y）2[7y+2（x﹣3y）］，=（x﹣3y）2（2x+y),当时，原式=12×6=6．13．解：（1）ab﹣ac+bc﹣b2=a（b﹣c）+b（c﹣b)=(a﹣b)（b﹣c）;（2）m2﹣mn+mx﹣nx=m（m﹣n）+x（m﹣n)=（m﹣n）（m﹣x）;(3）xy2﹣2xy+2y﹣4=xy（y﹣2）+2（y﹣2）=（y﹣2）（xy+2)．14．解：（x﹣1）3﹣（x﹣1）（x2﹣2x+3）=（x﹣1)3﹣（x﹣1)2(x﹣2）=（x﹣1）2(x+1）；因（x﹣1）2是非负数，要使(x﹣1）3﹣（x﹣1）(x2﹣2x+3)≥0，只要x+1≥0即可，即x≥﹣1．15．解:（1）共提取了两次公因式；（2)将题目改为1+x+x（x+1）+…+x（x+1）n,需提公因式n次，结果是（x+1）n+1．16．解：x（x﹣y）﹣y（y﹣x）=（x﹣y）（x+y）；因为x，y都是自然数，又12=1×12=2×6=3×4;经验证（4﹣2）×（4+2）=2×6符合条件;所以x=4,y=2．。
北京四中初二 因式分解
因式分解编稿：白真审稿：范兴亚责编:邵剑英【内容综述】本讲主要介绍因式分解的概念，方法和技巧。
【要点讲解】一．因式分解的概念和基本要求把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，因式分解的基本方法有：提公因式法；运用公式法；分组分解法；十字相乘法，难点是如何灵活的运用这些基本方法。
在进行多项式的因式分解时，要注意以下几点：(1)如果多项式的各项含有公因式，那么要先提出这个公因式，再进一步分解因式。
(2)分解因式时，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
(3)因式分解过程的每一步必须都是恒等变形。
这一部分中，通过一系列的由易到难的题目的解决过程的讲解，同学们不但要体会因式分解的基本方法的灵活运用，而且还将学习到拆项法、添项法等其它的因式分解方法。
举出因式分解的例子。
结合举例让学生明白以下几个问题：这一概念的特点是：(1)多项式因式分解的结果一定是积的形式；(2)每个因式必须是整式(单项式或多项式)；(3)各因式要分解到不能再分为止(本章，只在有理数范围内研究因式分解)。
二．因式分解与整式乘法的区别和联系整式乘法是把几个整式相乘化为一个多项式，而因分解是把一个多项式化为几个整式相乘，也就是说，因式分解是整式乘法的逆变形，例如(1)明了因式分解的意义；(2)把整式乘法的过程反过来得到因式分解的一些基本方法；(3)利用整式乘法检验因式分解的结果是否正确。
练习：判断下例式子变形是否是因式分解?(1)(2)(3)(4)三．因式分解的基本方法(1)提公因式法：这是因式分解的基本方法，只要多项式各项有公因式，首先把它提出来(2)运用公式法：本章学习了三个公式。
平方差公式：完全平方公式：这里的a、b既可以是单项式，也可以是多项式。
(3)分组分解法：分组的原则是：分组后每组之间、组与组之间有公因式可提，或分组后可用公式。
四．手把手点拨：1．把下列各式分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)。
2021-2022学年最新北师大版八年级数学下册第四章因式分解专项训练试题(含答案解析)
北师大版八年级数学下册第四章因式分解专项训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，长与宽分别为a 、b 的长方形，它的周长为14，面积为10，则a 3b +2a 2b 2+ab 3的值为（ ）A ．2560B ．490C ．70D ．492、已知c ＜a ＜b ＜0，若M ＝|a （a ﹣c ）|，N ＝|b （a ﹣c ）|，则M 与N 的大小关系是（ ）A ．M ＜NB ．M ＝NC ．M ＞ND ．不能确定3、27327-可以被24和31之间某三个整数整除，这三个数是（ ）A ．25，26，27B ．26，27，28C ．27，28，29D ．28，29，304、下列运算错误的是（ ）A ．()23924b b =B ．235a a a ⋅=C ．()ax ay a x y +=+D ．32a a a ÷=（a ≠0）5、不论x ，y 取何实数，代数式x 2－4x ＋y 2－6y ＋13总是（ ）A ．非负数B ．正数C ．负数D ．非正数6、下列各因式分解正确的是（ ）A ．2221(1)x x x +-=-B ．22(2)(2)(2)x x x -+-=-+C ．22(1)21x x x +=++D ．34(2)(2)x x x x x -=+-7、下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）A ．x 2﹣x ﹣6＝（x ＋2）（x ﹣3）B ．x 2﹣2x ＋1＝x （x ﹣2）＋1C ．x 2＋y 2＝（x ＋y ）2D ．（x ＋1）（x ﹣1）＝x 2﹣18、下列因式分解正确的是（ ）A ．a 2+1＝a （a+1）B ．2(1)(1)1x x x +-=-C ．a 2+a ﹣5＝（a ﹣2）（a +3）+1D ．22()x y y y xy x x =++9、下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）A ．2161x +B ．221x x +-C ．2224a ab b ++D ．214x x -+ 10、因式分解m 2-m -6正确的是（ ）A ．(m +2)(m -3)B ．(m -2)(m +3)C ．(m -2)(m -3)D ．(m +2)(m +3) 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、分解因式：x 2﹣7xy ﹣18y 2＝___．2、因式分解：2a 2-4a -6=________．3、因式分解：23322212820x y x y x y -+=______．4、因式分解：42716a a ++=__．5、分解因式：﹣8a 3b +8a 2b 2﹣2ab 3＝_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、分解因式：x 3y ﹣6x 2y 2+9xy 32、因式分解：（1）23396ab a b ab +-（2）()()2m x y n x y +-+（3）221218x y xy y -+3、因式分解（1）ax 2＋8ax ＋16a ；（2）x 4－81x 2y 24、对于多项式x 3﹣5x 2+11x ﹣10，如果我们把x ＝2代入此多项式，发现多项式x 3﹣5x 2+11x ﹣10＝0，这时可以断定多项式中有因式（x ﹣2），于是我们可以把多项式写成：x 3﹣5x 2+11x ﹣10＝（x ﹣2）（x 2+mx +n ），以上这种因式分解的方法叫试根法．（1）求式子中m 、n 的值；（2）用试根法对多项式x 3﹣5x 2+3x +9进行因式分解．5、（1）运用乘法公式计算：()()3232x y x y +--+；（2）分解因式：()2101025a b a b --++．-参考答案-一、单选题【分析】利用面积公式得到ab＝10，由周长公式得到a+b＝7，所以将原式因式分解得出ab（a+b）2．将其代入求值即可．【详解】解：∵长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，∴ab＝10，a+b＝7，∴a3b+2a2b2+ab3＝ab（a+b）2＝10×72＝490．故选：B．【点睛】本题主要考查了因式分解和代数式求值，准确计算是解题的关键．2、C【分析】方法一：根据整式的乘法与绝对值化简，得到M-N=（a﹣c）（b﹣a）＞0，故可求解；方法二：根据题意可设c=-3，a=-2，b=-1，再求出M，N，故可比较求解．【详解】方法一：∵c＜a＜b＜0，∴a-c＞0，∴M＝|a（a﹣c）|=- a（a﹣c）N＝|b（a﹣c）|=- b（a﹣c）∴M-N=- a（a﹣c）-[- b（a﹣c）]= - a（a﹣c）+ b（a﹣c）=（a﹣c）（b﹣a）∵b-a＞0，∴（a﹣c）（b﹣a）＞0方法二：∵c＜a＜b＜0，∴可设c=-3，a=-2，b=-1，∴M＝|-2×（-2+3）|=2，N＝|-1×（-2+3）|=1∴M＞N故选C．【点睛】此题主要考查有理数的大小比较与因式分解得应用，解题的关键求出M-N=（a﹣c）（b﹣a）＞0，再进行判断．3、B【分析】先提取公因式27，再逐步利用平方差公式分解因式，即可得到答案.【详解】解：273243-=⨯-327333()()()241212=-=+-2731273131()()()1266=++-27313131()()()()12633=+++-2731313131()()126=⨯⨯⨯++2728263131所以27327-可以被26，27，28三个整数整除，故选B【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握平方差公式的特点并灵活应用是解本题的关键.4、A【分析】根据积的乘方法则，同底数幂的乘除法法则，提取公因式分解因式，即可判断．【详解】解：A. ()23624b b =，故该选项错误，符合题意； B. 235a a a ⋅=，故该选项正确，不符合题意；C. ()ax ay a x y +=+，故该选项正确，不符合题意；D. 32a a a ÷=（a ≠0），故该选项正确，不符合题意，故选A ．【点睛】本题主要考查积的乘方法则，同底数幂的乘除法法则，提取公因式分解因式，熟练掌握运算法则是解题的关键．5、A【分析】先把原式化为224469x x y y -++-+，结合完全平方公式可得原式可化为()()2223,x y -+-从而可得答案.【详解】解：x 2－4x ＋y 2－6y ＋13224469x x y y =-++-+ ()()22230,x y =-+-≥故选A【点睛】本题考查的是代数式的值，非负数的性质，利用完全平方公式分解因式，掌握“()2222a ab b a b -+=-”是解本题的关键.6、D【分析】利用提公因式法、公式法逐项进行因式分解即可．【详解】解：A 、2221(1)x x x +-≠-，所以该选项不符合题意；B 、22(2)(2)(2)x x x -+-=-+，所以该选项不符合题意；C 、22(1)21x x x +=++是整式的乘法，所以该选项不符合题意；D 、34(2)(2)x x x x x -=+-，所以该选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是解决问题的关键．7、A【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，根据概念逐一判断即可.【详解】解：x 2﹣x ﹣6＝（x ＋2）（x ﹣3）属于因式分解，故A 符合题意；x 2﹣2x ＋1＝x （x ﹣2）＋1，右边没有化为整式的积的形式，不是因式分解，故B 不符合题意； x 2＋y 2＝（x ＋y ）2的左右两边不相等，22x y +不能分解因式，不是因式分解，故C 不符合题意； （x ＋1）（x ﹣1）＝x 2﹣1是整式的乘法运算，不是因式分解，故D 不符合题意；故选A【点睛】本题考查的是因式分解的概念，掌握“利用因式分解的概念判断代数变形是否是因式分解”是解题的关键.8、D【分析】根据因式分解的定义严格判断即可．【详解】∵2a +1≠a （a+1）∴A 分解不正确；∵2(1)(1)1x x x +-=-，不是因式分解，∴B 不符合题意；∵（a ﹣2）（a +3）+1含有加法运算，∴C 不符合题意；∵22()x y y y xy x x =++，∴D 分解正确；故选D ．【点睛】本题考查了因式分解，即把一个多项式写成几个因式的积，熟练进行因式分解是解题的关键．9、D【分析】根据完全平方公式法分解因式，即可求解．【详解】解：A 、不能用完全平方公式因式分解，故本选项不符合题意；B 、不能用完全平方公式因式分解，故本选项不符合题意；C 、不能用完全平方公式因式分解，故本选项不符合题意；D 、221142x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭能用完全平方公式因式分解，故本选项符合题意； 故选：D【点睛】本题主要考查了完全平方公式法分解因式，熟练掌握()2222a ab b a b ±+=± 是解题的关键．10、A【分析】先把6-分解32, 再利用十字乘法分解因式，再逐一分析各选项，从而可得答案.【详解】 解： m 2-m -632m m 故选A【点睛】本题考查的是利用十字乘法分解因式，掌握“利用十字乘法分解因式”是解题的关键.二、填空题1、()()92x y x y -+【分析】根据十字相乘法因式分解即可．【详解】x 2﹣7xy ﹣18y 2()()92x y x y =-+，故答案为：()()92x y x y -+．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．2、2(a -3)(a +1)a +1)(a -3)【分析】提取公因式2，再用十字相乘法分解因式即可．【详解】解：2a 2－4a －6＝2（a 2－2a －3）＝2(a -3)(a +1)故答案为：2(a -3)(a +1)【点睛】本题考查了本题考查了提公因式法与十字相乘法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法或十字相乘法分解因式，分解因式要彻底是解题关键．3、()224325x y y x -+【分析】直接提取公因式224x y 整理即可．【详解】解：()23322222128204325x y x y x y x y y x -+=-+，故答案是：()224325x y y x -+．【点睛】本题考查了提取公因式因式分解，解题的关键是找准公因式．4、22(4)(4)a a a a +-++【分析】将2a 当作整体，对式子先进行配方，然后利用平方差公式求解即可．【详解】解：原式42222222816(4)(4)(4)a a a a a a a a a =++-=+-=+-++．故答案是：22(4)(4)a a a a +-++．【点睛】此题考查了因式分解，涉及了平方差公式，解题的关键是掌握因式分解的方法，并将2a 当作整体，得到平方差的形式．5、﹣2ab （2a ﹣b ）2【分析】先提取公因式-2ab ，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【详解】解：原式＝﹣2ab （4a 2﹣4ab +b 2）＝﹣2ab （2a ﹣b ）2，故答案为：﹣2ab （2a ﹣b ）2．【点睛】本题考查提公因式法，公式法分解因式，解题的关键在于提取公因式后要继续进行二次分解因式．三、解答题1、()23xy x y -【分析】先提取公因式xy ，再根据完全平方公式分解因式．【详解】解：322369x y x y xy +﹣ =22(69)xy x xy y +﹣ ()23xy x y - 【点睛】考查了因式分解-运用公式法，要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．2、（1）()2332ab b a +-；（2）()()2x y m n +-；（3）()223y x -【分析】（1）利用提取公式法因式分解即可；（2）利用提取公式法因式分解即可；（3）提取公因式2y ，在利用完全平方公式因式分解即可．【详解】解：（1）23396ab a b ab +-=()2332ab b a +-；（2）()()2m x y n x y +-+()()2x y m n =+-（3）()()2222121826923x y xy y y x x y x -+=-+=- 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．3、（1）a (x ＋4)2 ；（2）x 2(x ＋9y )(x －9y )【分析】（1）先提取公因式,a 再利用完全平方公式分解因式即可；（2）先提取公因式2,x 再利用平方差公式分解即可.【详解】解：（1）原式＝a (x 2＋8x ＋16)＝a (x ＋4)2（2）原式＝x 2(x 2－81y 2) ＝x 2(x ＋9y )(x －9y )【点睛】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，掌握“利用完全平方公式与平方差公式分解因式”是解本题的关键.4、（1）3,5m n =-=；（2）2(1)(3)x x +-【分析】（1）把2(2)()x x mx n -++由多项式乘以多项式展开，与3251110x x x -+-对应相等即可得出答案；（2）把1x =-代入32539x x x -++中得325390x x x -++=，故可把32539x x x -++写成322539(1)()x x x x x ax b -++=+++，同（1）解出a 、b 的值，代入即可进行因式分解．【详解】（1）2322(2)()222x x mx n x mx nx x mx n -++=++---，32(2)(2)2x m x n m x n =+-+--，3232(2)(2)251110x m x n m x n x x x ∴+-+--=-+-，25211210m n m n -=-⎧⎪∴-=⎨⎪-=-⎩， 解得：35m n =-⎧⎨=⎩； （2）把1x =-代入32539x x x -++中得：325390x x x -++=，322539(1)()x x x x x ax b ∴-++=+++，232(1)()(1)()x x ax b x a x a b x b +++=+++++，3232(1)()539x a x a b x b x x x ∴+++++=-++，1539a a b b +=-⎧⎪∴+=⎨⎪=⎩， 解得：69a b =-⎧⎨=⎩， 3222539(1)(69)(1)(3)x x x x x x x x ∴-++=+-+=+-．【点睛】本题考查因式分解，掌握试根法的定义是解题的关键．5、（1）229124x y y -+-；（2）()25a b --【分析】（1）把（3y -2）看作一个整体，然后利用平方差公式及完全平方公式进行求解即可；（2）先部分提公因式，然后再利用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解：（1）()()3232x y x y +--+=()2232x y -- =229124x y y -+-；（2）()2101025a b a b --++ =()()21025a b a b ---+ =()25a b --．【点睛】本题主要考查整式的混合运算及因式分解，熟练掌握乘法公式是解题的关键．。
北京第四中学数学整式的乘法与因式分解章末练习卷(Word版 含解析)
一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）1．利用我们学过的知识，可以导出下面这个等式：()()()12222222a b c ab bc ac a b b c c a ⎡⎤++---=-+-+-⎣⎦． 该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． （1）请你展开右边检验这个等式的正确性；（2）利用上面的式子计算：222201820192020201820192019202020182020++-⨯-⨯-⨯．【答案】（1）见解析；（2）3．【解析】【分析】（1）根据完全平方公式和合并同类项的方法可以将等式右边的式子进行化简，从而可以得出结论；（2）根据题目中的等式可以求得所求式子的值．【详解】解：（1）12[（a-b ）2+（b-c ）2+（c-a ）2] =12（a 2-2ab+b 2+b 2-2bc+c 2+a 2-2ac+c 2） =12×（2a 2+2b 2+2c 2-2ab-2bc-2ac ） =a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac ，故a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac=12[（a-b ）2+（b-c ）2+（c-a ）2]正确； （2）20182+20192+20202-2018×2019-2019×2020-2018×2020 =12×[（2018-2019）2+（2019-2020）2+（2020-2018）2] =12×（1+1+4） =12×6 =3．【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，熟练掌握完全平方公式并能灵活运用．2．阅读下列材料，然后解答问题：问题：分解因式：3245x x +-.解答：把1x =带入多项式3245x x +-，发现此多项式的值为0，由此确定多项式3245x x +-中有因式()1x -，于是可设()()322451x x x x mx n +-=-++，分别求出m ，n 的值.再代入()()322451x x x x mx n +-=-++，就容易分解多项式3245x x +-，这种分解因式的方法叫做“试根法”.（1）求上述式子中m ，n 的值；（2）请你用“试根法”分解因式：3299x x x +--.【答案】（1）5m =，5n =；（2）()()()133x x x ++-【解析】【分析】（1）先找出一个x 的值，进而找出一个因式，再将多项式设成分解因式的形式，即可得出结论；（2）先找出x=-1时，得出多项式的值，进而找出一个因式，再将多项式设成分解因式的形式，即可得出结论．【详解】解：（1）把1x =带入多项式3245x x +-，发现此多项式的值为0，∴多项式3245x x +-中有因式()1x -，于是可设322451xx x x mx n ， 得出：3232451x x x m x n m x n ，∴14m ，0n m，∴5m =，5n =， （2）把1x =-代入3299x x x +--，多项式的值为0，∴多项式3299x x x +--中有因式()1x +，于是可设322329911x x x x x mx n x m x n m x n ，∴11m +=，9n m，9n =- ∴0m =，9n =-，∴3229133991x x x x x x x x【点睛】此题是分解因式，主要考查了试根法分解因式的理解和掌握，解本题的关键是理解试根法分解因式．3．阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式2(0)ax bx c a ++≠变形为2()a x m n ++的形式，我们把这种变形方法，叫做配方法．运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如：22222111111251151151124112422242222x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++-+=+-=+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭根据以上材料，解答下列问题：（1）用配方法将281x x +-化成2()x m n ++的形式，则281=x x +- ________；（2）用配方法和平方差公式把多项式228x x --进行因式分解；（3）对于任意实数x ，y ，多项式222416x y x y +--+的值总为______（填序号）．①正数②非负数 ③ 0【答案】（1）2(4)17x +-；（2）(2)(4)x x +-；（3）①【解析】【分析】（1）根据材料所给方法解答即可；（2）材料所给方法进行解答即可；（3）局部进行因式分解，最后写成非负数的积的形式即可完成解答.【详解】解：（1）281x x +-=2816116x x ++--2(4)17x +-.（2）原式=22118x x -+--=2(1)9x --=(13)(13)x x -+--=(2)(4)x x +-．（3）222416x y x y +--+=()()22214411x x y y -++-++=()()221211x y -+-+＞11故答案为①.【点睛】本题考查了配方法，根据材料学会配方法并灵活运用配方法解题是解答本题的关键.4．（阅读材料）因式分解：()()221x y x y ++++．解：将“x y +”看成整体，令x y A +=，则原式()22211A A A =++=+．再将“A ”还原，原式()21x y =++．上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法.（问题解决）（1）因式分解：()()2154x y x y +-+-；（2）因式分解：()()44a b a b ++-+；（3）证明：若n 为正整数，则代数式()()()21231n n n n ++++的值一定是某个整数的平方．【答案】（1）()()144x y x y +-+-1．（2）()22a b +-；（3）见解析. 【解析】【分析】（1）把（x-y ）看作一个整体，直接利用十字相乘法因式分解即可；（2）把a+b 看作一个整体，去括号后利用完全平方公式即可将原式因式分解；（3）将原式转化为()()223231n n n n ++++，进一步整理为（n 2+3n+1）2，根据n 为正整数得到n 2+3n+1也为正整数，从而说明原式是整数的平方．【详解】（1）()()[][]21541()14()(1)(144)x y x y x y x y x y x y +-+-=+-+-=+-+-； （2）()()2244()4()4(2)a b a b a b a b a b ++-+=+-++=+-； （3）原式()()223231n n n n =++++()()2223231n n n n =++++ ()2231n n =++． ∵n 为正整数，∴231n n ++为正整数．∴代数()()()21231n n n n ++++的值一定是某个整数的平方． 【点睛】本题考查因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．5．阅读材料：若m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0，求m 、n 的值．解：∵m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0，∴（m 2﹣2mn+n 2）+（n 2﹣8n+16）=0∴（m ﹣n ）2+（n ﹣4）2=0，∴（m ﹣n ）2=0，（n ﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x 2﹣2xy+2y 2+6y+9=0，求xy 的值；（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足a 2+b 2﹣10a ﹣12b+61=0，求△ABC 的最大边c 的值；（3）已知a ﹣b=8，ab+c 2﹣16c+80=0，求a+b+c 的值．【答案】(1)9；（2）△ABC 的最大边c 的值可能是6、7、8、9、10；（3）8.【解析】试题分析：（1）直接利用配方法得出关于x ，y 的值即可求出答案；（2）直接利用配方法得出关于a ，b 的值即可求出答案；（3）利用已知将原式变形，进而配方得出答案．试题解析：（1）∵x 2﹣2xy+2y 2+6y+9=0，∴（x 2﹣2xy+y 2）+（y 2+6y+9）=0，∴（x ﹣y ）2+（y+3）2=0，∴x ﹣y=0，y+3=0，∴x=﹣3，y=﹣3，∴xy=（﹣3）×（﹣3）=9，即xy 的值是9．（2）∵a 2+b 2﹣10a ﹣12b+61=0，∴（a 2﹣10a+25）+（b 2﹣12b+36）=0，∴（a ﹣5）2+（b ﹣6）2=0，∴a ﹣5=0，b ﹣6=0，∴a=5，b=6，∵6﹣5＜c ＜6+5，c≥6，∴6≤c ＜11，∴△ABC 的最大边c 的值可能是6、7、8、9、10．（3）∵a ﹣b=8，ab+c 2﹣16c+80=0，∴a （a ﹣8）+16+（c ﹣8）2=0，∴（a ﹣4）2+（c ﹣8）2=0，∴a ﹣4=0，c ﹣8=0，∴a=4，c=8，b=a ﹣8=4﹣8=﹣4，∴a+b+c=4﹣4+8=8，即a+b+c 的值是8．6．阅读材料小明遇到这样一个问题：求计算()()()22334x x x +++所得多项式的一次项系数.小明想通过计算()()()22334x x x +++所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法.他决定从简单情况开始，先找()()223x x ++所得多项式中的一次项系数，通过观察发现：也就是说，只需用2x +中的一次项系数1乘以23x +中的常数项3，再用2x +中的常数项2乘以23x +中的一次项系数2，两个积相加13227⨯+⨯=，即可得到一次项系数. 延续上面的方法，求计算()()()22334x x x +++所得多项式的一次项系数，可以先用2x +的一次项系数1，23x +的常数项3，34+x 的常数项4，相乘得到12；再用23x +的一次项系数2，2x +的常数项2，34+x 的常数项4，相乘得到16；然后用34+x 的一次项系数3，2x +的常数项223x +的常数项3，相乘得到18.最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46.参考小明思考问题的方法，解决下列问题：(1)计算()()443x x ++所得多项式的一次项系数为____________________.(2)计算()()()13225x x x +-+所得多项式的一次项系数为_____________.(3)若231x x -+是422x ax bx +++的一个因式，求a 、b 的值.【答案】(1)19;(2)1;(3) a= -6，b= -3．【解析】【分析】（1）根据两多项式常数项与一次项系数乘积的和即为所得多项式一次项系数可得；（2）根据三个多项式中两个多项式的常数项与另一个多项式一次项系数的乘积即为所求可得；（3）由x 4+ax 2+bx+2中4次项系数为1、常数项为2可设另一个因式为x 2+mx+2，根据三次项系数为0、二次项系数为a 、一次项系数为b 列出方程组求出a 、b 的值，可得答案．【详解】解：（1）（x+4）（4x+3）所得多项式的一次项系数为1×3+4×4=19，故答案为：19；（2）()()()13225x x x +-+所得多项式的一次项系数为1×(-2)×5+1×3×5+1×(-2)×2=1， 故答案为：1；（3）由x 4+ax 2+bx+2中4次项系数为1、常数项为2可设另一个因式为x 2+mx+2，则（x 2-3x+1）（x 2+mx+2）=x 4+ax 2+bx+2，13101211(3)321m m a m b ⨯-⨯=⎧⎪∴⨯+⨯+-⨯=⎨⎪-⨯+⨯=⎩解得： 363m a b =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩故答案为：a= -6，b= -3．【点睛】本题考查多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．7．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x +x (x +1)+x (x +1)2=(1+x )[1+x +x (x +1)]=(1+x )2(1+x )=(1+x )3(1)上述分解因式的方法是 ，共应用了 次.(2)若分解1+x +x (x +1)+x (x +1)2+…+ x (x +1)2004，则需应用上述方法 次，结果是 .(3)分解因式：1+x +x (x +1)+x (x +1)2+…+ x (x +1)n (n 为正整数).【答案】（1）提公因式，两次；（2）2004次，（x ＋1）2005；(3) (x ＋1)1n +【解析】【分析】（1）根据已知材料直接回答即可；（2）利用已知材料进而提取公因式（1+x ），进而得出答案；（3）利用已知材料提取公因式进而得出答案．【详解】（1）上述分解因式的方法是：提公因式法，共应用了2次．故答案为提公因式法，2次；（2）1+x+x （x+1）+x （x+1）2+…+ x (x +1)2004，=（1+x ）[1+x+x （1+x ）+…+ x (x +1)2003]⋯=22003(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x +++++个=（1+x ）2005，故分解1+x+x （x+1）+x （x+1）2+…+ x (x +1)2004，，则需应用上述方法2004次，结果是：（x+1）2005．（3）分解因式：1+x+x （x+1）+x （x+1）2…+x （x+1）n （n 为正整数）的结果是：（x+1）n+1．故答案为（x+1）n+1．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．8．阅读理解：把两个相同的数连接在一起就得到一个新数，我们把它称为“连接数”，例如：234234，3939…等，都是连接数，其中，234234称为六位连接数，3939称为四位连接数．（1）请写出一个六位连接数 ，它 （填“能”或“不能”）被13整除．（2）是否任意六位连接数，都能被13整除，请说明理由．（3）若一个四位连接数记为M ，它的各位数字之和的3倍记为N ，M ﹣N 的结果能被13整除，这样的四位连接数有几个？【答案】（1）证明见解析（2）abcabc 能被13整除（3）这样的四位连接数有1919，2525，3131，一共3个【解析】分析：（1）根据六位连接数的定义可知123123为六位连接数，再将123123进行因数分解，判断得出它能被13整除；（2）设abcabc 为六位连接数，将abcabc 进行因数分解，判断得出它能被13整除； （3）设xyxy 为四位连接数，用含x 、y 的代数式表示M 与N ，再计算M ﹣N ，然后将13M N -表示为77x +7y +3413x y +，根据M ﹣N 的结果能被13整除以及M 与N 都是1～9之间的整数，求得x 与y 的值，即可求解．详解：（1）123123为六位连接数；∵123123=123×1001=123×13×77，∴123123能被13整除；（2）任意六位连接数都能被13整除，理由如下：设abcabc 为六位连接数．∵abcabc =abc ×1001=abc ×13×77，∴abcabc 能被13整除；（3）设xyxy 为四位连接数，则M =1000x +100y +10x +y =1010x +101y ，N =3（x +y +x +y ）=6x +6y ，∴M ﹣N =（1010x +101y ）﹣（6x +6y ）=1004x +95y ，∴13M N -=10049513x y +=77x +7y +3413x y +．∵M ﹣N 的结果能被13整除，∴3413x y +是整数．∵3x +4y 取值范围大于3小于63，所以能被13整除的数有13，26，39，52，∴x =1，y =9；x =2，y =5；x =3，y =1；x =8，y =7；x =9，y =3；x =5，y =6；x =6，y =2；满足条件的四位连接数的3131，2525，6262，9393，8787，5656，1919共7个． 点睛：本题考查了因式分解的应用，整式的运算，理解“连接数”的定义是解题的关键．9．探究阅读材料：“若x 满足()()806030x x --=，求()()228060x x -+-的值” 解：设()80x a -=，()60x b -=，则()()806030x x ab --==，()()806020a b x x +=-+-=，所以()()22228060x x a b -+-=+()22220230340a b ab =+-=-⨯=.解决问题：（1）若x 满足()()451520x x --=-，求()()224515x x -+-的值. （2）若x 满足()()22202020184040x x -+-=，求()()20202018x x --的值. （3）如图，正方形ABCD 的边长为x ，20AE =，30CG =，长方形EFGD 的面积是700，四边形NGDH 和MEDQ 都是正方形，PQDH 是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）.【答案】（1）940；（2）2018；（3）2900【解析】【分析】（1）根据材料提供的方法进探究，设（45-x ）=a ，（x-15）=b ，则有()()451520x x ab --==-，()()4515=30a b x x +=-+-，据此即可求出()()224515x x -+-的值； （2）（2020-x ）=m ，（ x-2018）=n ，则()()2222202020184040,2x x m n m n -+-=+=+=，则可求出()()20202018x x --的值； （3）根据题意知S 四EFGD =（x-20）（x-30）=700，知S 正MEDQ =（x-20）2，S 正DHNG =（x-30）2，S 四PQDN =（x-20）（x-30）=700,设x-20=a ，30-x=b ，则有-ab=700，据此即可求出阴影部分的面积.【详解】解：（1）设（45-x ）=a ，（x-15）=b ，则有()()451520x x ab --==-，()()4515=30a b x x +=-+-∴()()()()2222224515=230220940x x a b a b ab -+-+=+-=-⨯-=；（2）（2020-x ）=m ，（ x-2018）=n ，则()()2222202020184040,2x x m n m n -+-=+=+=∴()()20202018x x --=-()()20202018x x -- ()()222+-44040-201822m n m n mn +-=== ∴()()20202018x x --=-mn=2018；（3）根据题意知S 四EFGD =（x-20）（x-30）=700，S 正MEDQ =（x-20）2，S 正DHNG =（x-30）2，S 四PQDN =（x-20）（x-30）=700设x-20=a ，30-x=b ，∴-ab=700，∴()()()()222222302021027001500x x a b a b ab -+-=+=+-=-⨯-=∴S 阴影=1500+700+700=2900故答案为：（1）940；（2）2018；（3）2900【点睛】本题考查完全平方公式，换元法等知识，解题的关键是学会利用换元法解决问题，熟练掌握完全平方公式．10．（知识生成）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：（1）根据图2，写出一个代数恒等式：．（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝．（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形，则x+y+z＝．（知识迁移）（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：．【答案】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）30；（3）9；（4）x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x【解析】【分析】（1）依据正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可得等式；（2）依据a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，进行计算即可；（3）依据所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，而（2a+b）（a+2b）＝2a2+4ab+ab+2b2＝2a2+5b2+2ab，即可得到x，y，z的值．（4）根据原几何体的体积＝新几何体的体积，列式可得结论．【详解】（1）由图2得：正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∵a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，∴102＝a2+b2+c2+2×35，∴a2+b2+c2＝100﹣70＝30，故答案为：30；（3）由题意得：（2a+b）（a+2b）＝xa2+yb2+zab，∴2a2+5ab+2b2＝xa2+yb2+zab，∴225xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴x+y+z＝9，故答案为：9；（4）∵原几何体的体积＝x3﹣1×1•x＝x3﹣x，新几何体的体积＝（x+1）（x﹣1）x，∴x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．故答案为：x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．【点睛】本题主要考查的是整式的混合运算，利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积或面积，然后根据它们的体积或面积相等列出等式是解题的关键．。
北京良乡第四中学数学整式的乘法与因式分解单元复习练习(Word版 含答案)
一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）1．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求2x+y的值；（2）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，求a+b+c的值．【答案】(1)1；(2)3．【解析】【分析】（1）根据题意，可以将题目中的式子化为材料中的形式，从而可以得到x、y的值，从而可以得到2x+y的值；（2）根据a-b=4，ab+c2-6c+13=0，可以得到a、b、c的值，从而可以得到a+b+c的值．【详解】解：(1)∵x2+2xy+2y2+2y+1=0，∴(x2+2xy+y2)+(y2+2y+1)=0，∴(x+y)2+(y+1)2=0，∴x+y=0，y+1=0，解得，x=1，y=−1，∴2x+y=2×1+(−1)=1；(2)∵a−b=4，∴a=b+4，∴将a=b+4代入ab+c2−6c+13=0，得b2+4b+c2−6c+13=0，∴(b2+4b+4)+(c2−6c+9)=0，∴(b+2)2+(c−3)2=0，∴b+2=0，c−3=0，解得，b=−2，c=3，∴a=b+4=−2+4=2，∴a+b+c=2−2+3=3．【点睛】此题考查了因式分解方法的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题.此题解答的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分.2．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）（1）观察图2请你写出2()a b +、2()a b -、ab 之间的等量关系是______；（2）根据（1）中的结论，若5x y +=，94x y ⋅=，则x y -=______； （3）拓展应用：若22(2019)(2020)7m m -+-=，求(2019)(2020)m m --的值.【答案】（1）22()()4a b a b ab +=-+；（2）4，－4：（3）-3【解析】【分析】（1）观察图2，大正方形由4个矩形和一个小正方形组成，根据面积即可得到他们之间的关系.（2）由（1）的结论可得(x-y) ²=16,然后利用平方根的定义求解即可.（3）从已知等式的左边看，左边配成两数和的平方来求解.【详解】解：（1）由题可得，大正方形的面积2()a b =+，大正方形的面积2()4a b ab =-+，∴22()()4a b a b ab +=-+，（2）∵22()()4x y x y xy +=-+， ∴229()()4254164x y x y xy -=+-=-⨯=， ∴4x y -=或－4， （3）∵22(2019)(2020)7m m -+-=，又2(20192020)m m -+-22(2019)(2020)2(2019)(2020)m m m m =-+-+-- ∴172(2019)(2020)m m =+--∴(2019)(2020)3m m --=-故答案为：(1)22()()4a b a b ab +=-+；(2) 4，－4：(3)-3 【点睛】本题通过观察图形发现规律，并运用规律求值，使问题简单化是解题关键.3．阅读材料：若m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0，求m 、n 的值．解：∵m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0，∴（m 2﹣2mn+n 2）+（n 2﹣8n+16）=0∴（m ﹣n ）2+（n ﹣4）2=0，∴（m ﹣n ）2=0，（n ﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x 2﹣2xy+2y 2+6y+9=0，求xy 的值；（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足a 2+b 2﹣10a ﹣12b+61=0，求△ABC 的最大边c 的值；（3）已知a ﹣b=8，ab+c 2﹣16c+80=0，求a+b+c 的值．【答案】(1)9；（2）△ABC 的最大边c 的值可能是6、7、8、9、10；（3）8.【解析】试题分析：（1）直接利用配方法得出关于x ，y 的值即可求出答案；（2）直接利用配方法得出关于a ，b 的值即可求出答案；（3）利用已知将原式变形，进而配方得出答案．试题解析：（1）∵x 2﹣2xy+2y 2+6y+9=0，∴（x 2﹣2xy+y 2）+（y 2+6y+9）=0，∴（x ﹣y ）2+（y+3）2=0，∴x ﹣y=0，y+3=0，∴x=﹣3，y=﹣3，∴xy=（﹣3）×（﹣3）=9，即xy 的值是9．（2）∵a 2+b 2﹣10a ﹣12b+61=0，∴（a 2﹣10a+25）+（b 2﹣12b+36）=0，∴（a ﹣5）2+（b ﹣6）2=0，∴a ﹣5=0，b ﹣6=0，∴a=5，b=6，∵6﹣5＜c ＜6+5，c≥6，∴6≤c ＜11，∴△ABC 的最大边c 的值可能是6、7、8、9、10．（3）∵a ﹣b=8，ab+c 2﹣16c+80=0，∴a （a ﹣8）+16+（c ﹣8）2=0，∴（a ﹣4）2+（c ﹣8）2=0，∴a ﹣4=0，c ﹣8=0，∴a=4，c=8，b=a ﹣8=4﹣8=﹣4，∴a+b+c=4﹣4+8=8，即a+b+c 的值是8．4．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：()()()()()()()223111111111x x x x x x x x x x x x +++++=++++=++=⎤⎣+⎡⎦. （1）上述分解因式的方法是______________法.（2）分解220191(1)(1)(1)x x x x x x x ++++++++的结果应为___________.（3）分解因式：21(1)(1)(1)n x x x x x x x ++++++++.【答案】（1）提公因式 ; （2）()20201x + ；（3）()11n x ++【解析】【分析】（1）用的是提公因式法； （2）按照（1）中的方法再分解几个，找了其中的规律，即可推测出结果；.（3）由（2）中得到的规律即可推广到一般情况.【详解】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法．（2）()()()()()2333111111x x x x x x x x x x +++++++=+++=()41x + ()()()()()()234441111111x x x x x x x x x x x x +++++++++=+++=()51x + ……由此可知()2201911(1)(1)x x x x x x x ++++++++=()20201x +（3）原式=（1+x ）[1+x+x （x+1）]+x （x+1）3+…+x （x+1）n ，=（1+x ）2（1+x ）+x （x+1）3+…+x （x+1）n ，=（1+x ）3+x （1+x ）3+…+x （1+x ）n ，=（1+x ）n +x （x+1）n ，=（1+x ）n+1．【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，找出整式的结构规律是关键，体现了由特殊到一般的数学思想．5．（1）阅读下列文字与例题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法例如：()()()()()()am an bm bn am bm an bn m a b n a b a b m n +++=+++=+++=++.22222221(21)(1)(1)(1)x y y x y y x y x y x y ---=-++=-+=++--.试用上述方法分解因式222a ab ac bc b ++++=（2）利用分解因式说明：22(5)(1)n n +--能被12整除.【答案】（1）()()a b a b c +++；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）a 2+2ab+ac+bc+b 2可以进行分组变成（a 2+2ab+b 2）+（ac+bc ），则前边括号内的三项可以利用完全平方公式分解，后边的三项可以提公因式，然后再利用提公因式法即可分解．（2）先利用平方差公式将22(5)(1)n n +--进行因式分解，之后即可得出答案.【详解】（1）原式=()()222a ab bac bc ++++=()()2a b c a b +++=()()a b a b c +++（2）22(5)(1)n n +--=[][](5)+(1)(5)(1)n n n n +-+--=()624n +=()122n +∴ 22(5)(1)n n +--能被12整除.【点睛】本题考查分组分解的因式分解方法，做题时先分析题中给的例子是解题关键.6．任何一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝p ×q （p 、q 是正整数，且p ≤q ）．如果p ×q 在n 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p ×q 是n 的最佳分解，并且规定F （n ）＝p q ．例如18＝1×18＝2×9＝3×6，这时就有F （18）＝3162=．请解答下列问题：(1)计算：F （24）；(2)当n 为正整数时，求证：F （n 3+2n 2+n ）＝1n ． 【答案】(1)23；(2) 1n . 【解析】分析：（1）根据最佳分解的意义，把24分解成两数的积，找出差的绝对值最小的两数，求比值即可；（2）根据（1）的求法，确定差的绝对值最小的两数的特点，然后根据要求变形即可. 详解：(1)∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，其中4与6的差的绝对值最小，∴F(24)＝46＝23. (2)∵n 3＋2n 2＋n ＝n(n ＋1)2，其中n(n ＋1)与(n ＋1)的差的绝对值最小，且(n ＋1)≤n(n ＋1)，∴F(n 3＋2n 2＋n)＝()n 1n n 1++＝1n . 点睛： 本题主要考查实数的运算，理解最佳分解的定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键．7．对于任意两个数a 、b 的大小比较，有下面的方法：当0a b ->时，一定有a b >；当0a b -=时，一定有a b =；当0a b -<时，一定有a b <．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．请根据以上材料完成下面的题目：（1）已知：228A x y y =+，8B xy =，且A B >，试判断y 的符号；（2）已知：a 、b 、c 为三角形的三边，比较222a c b +-和2ac 的大小．【答案】（1）y ＞0；（2）222a c b +-＜2ac【解析】【分析】（1）根据题意得到22880x y y xy +->，因式分解得到22(2)0y x ->，进而得到y 的符号即可；（2）将222a c b +-和2ac 作差，结合已知及三角形的两边之和大于第三边可求．【详解】解：（1）因为A ＞B ，所以A-B ＞0，即22880x y y xy +->，∴222(44)2(2)0y x x y x +-=->，因为2(2)0x -≥，∴y ＞0（2）因为a 2−b 2＋c 2−2ac ＝a 2＋c 2−2ac−b 2＝（a−c ）2−b 2＝（a−c−b ）（a−c ＋b ）， ∵a ＋b ＞c ，a ＜b ＋c ，所以（a−c−b ）（a−c ＋b ）＜0，所以a 2−b 2＋c 2−2ac 的符号为负．∴222a c b +-＜2ac【点睛】本题考查了作差法比较两个式子的大小以及因式分解，解题的关键是理解题中的“求差法”比较两个数的大小，并熟练掌握因式分解的方法．8．阅读材料后解决问题：小明遇到下面一个问题：计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）=（2+1）（2﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）=（24﹣1）（24+1）（28+1）=（28﹣1）（28+1）=216﹣1请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）=_____．（2）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=_____．（3）化简：（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）．【答案】232﹣13231 2-；【解析】【分析】（1）原式变形后，利用题中的规律计算即可得到结果；（2）原式变形后，利用题中的规律计算即可得到结果；（3）分m=n与m≠n两种情况，化简得到结果即可．【详解】（1）原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）=232-1；（2）原式=12（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=32312-；（3）（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）．当m≠n时，原式=1m n-（m-n）（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）=3232m nm n--；当m=n时，原式=2m•2m2…2m16=32m31．【点睛】此题考查了平方差公式，弄清题中的规律是解本题的关键．9．观察下列等式：12×231=132×21，13×341=143×31，23×352=253×32，34×473=374×43，62×286=682×26，…以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：①52×=×25；②×396=693×．（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明．【答案】解：（1）①275；572.②63；36.（2）“数字对称等式”一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a），证明见解析.【解析】【分析】根据题意可得三位数中间的数等于两数的和，根据这一规律然后进行填空，从而得出答案；根据题意得出一般性的规律，然后根据多项式的计算法则进行说明理由．【详解】（1）①275,572; ②63,36；（2）“数字对称等式”一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）.证明如下：∵左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，∴左边的两位数是10a+b，三位数是100b+10（a+b）+a，右边的两位数是10b+a，三位数是100a+10（a+b）+b，∴左边=（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=（10a+b）（100b+10a+10b+a）=（10a+b）（110b+11a）=11（10a+b）（10b+a），右边=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）=（100a+10a+10b+b）（10b+a）=（110a+11b）（10b+a）=11（10a+b）（10b+a），∴左边=右边.∴“数字对称等式”一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）.考点：规律题10．阅读材料：小明发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如=（）2，善于思考的小明进行了以下探索：设=（）2（其中a、b、m、n均为正整数）则有：=m2+2n2，所以a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把的式子化为平方式的方法．请仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若（）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得a=，b=（2）若（2（其中a、b、m、n均为正整数），求a的值．【答案】（1）m2+3n2，2mn；（2）13．【解析】试题分析：（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；（2）根据题意，4=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a的值．试题解析：(1)∵)2，∴2+3n2∴a=m2+3n2，b=2mn.故a=m2+3n2，b=2mn；（2）由题意，得223 {42a m nmn=+=∵4=2mn，且m、n为正整数，∴m=2，n=1或m=1，n=2，∴a=22+3×12=7或a=12+3×22=13。
北京良乡第四中学数学整式的乘法与因式分解单元复习练习(Word版 含答案)
北京良乡第四中学数学整式的乘法与因式分解单元复习练习(Word版 含答案)一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）1．下列四个多项式，可能是2x 2＋mx －3 (m 是整数)的因式的是A ．x －2B ．2x ＋3C ．x ＋4D ．2x 2－1【答案】B【解析】【分析】将原式利用十字相乘分解因式即可得到答案.【详解】因为m 是整数，∴将2x 2＋mx －3分解因式：2x 2＋mx －3=（x-1）（2x+3）或2x 2＋mx －3=（x+1）（2x-3），故选：B.【点睛】此题考查因式分解，根据二次项和常数项将多项式分解因式是解题的关键.2．已知a 与b 互为相反数且都不为零，n 为正整数，则下列两数互为相反数的是( ) A ．a 2n －1与－b 2n －1 B ．a 2n －1与b 2n －1 C ．a 2n 与b 2n D ．a n 与b n【答案】B【解析】已知a 与b 互为相反数且都不为零，可得a 、b 的同奇次幂互为相反数，同偶次幂相等，由此可得选项A 、C 相等，选项B 互为相反数，选项D 可能相等，也可能互为相反数，故选B.3．若()(1)x m x +-的计算结果中不含x 的一次项，则m 的值是（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-2．【答案】A【解析】【分析】根据多项式相乘展开可计算出结果.【详解】 ()()1x m x +-=x 2+(m-1)x-m ，而计算结果不含x 项，则m-1=0，得m=1.【点睛】本题考查多项式相乘展开系数问题.4．若(x +y )2=9，(x -y )2=5，则xy 的值为（ ）A ．-1B ．1C ．-4D ．4【答案】B【解析】试题分析：根据完全平方公式，两数和（或差）的平方，等于两数的平方和，加减两数积的2倍，分别化简可知（x+y ）2=x 2+2xy+y 2=9①，（x ﹣y ）2= x 2-2xy+y 2=5②，①-②可得4xy=4，解得xy=1.故选B点睛：此题主要考查了完全平方公式的应用，解题关键是抓住公式的特点：两数和（或差）的平方，等于两数的平方和，加减两数积的2倍，然后比较各式的特点，直接进行计算，再两式相减即可求解..5．下列多项式中，能运用公式法进行因式分解的是（ ）A ．a 2+b 2B ．x 2+9C ．m 2﹣n 2D ．x 2+2xy+4y 2【答案】C【解析】 试题分析：直接利用公式法分解因式进而判断得出答案．解：A 、a 2+b 2，无法分解因式，故此选项错误；B 、x 2+9，无法分解因式，故此选项错误；C 、m 2﹣n 2=（m+n ）（m ﹣n ），故此选项正确；D 、x 2+2xy+4y 2，无法分解因式，故此选项错误；故选C ．6．如图，大正方形与小正方形的面积之差是60，则阴影部分的面积是 （ ）A ．30B ．20C ．60D ．40【答案】A【解析】【分析】 设大正方形的边长为x ，小正方形的边长为y ，表示出阴影部分的面积，结合大正方形与小正方形的面积之差是60即可求解.【详解】设大正方形的边长为x ，小正方形的边长为y ，则2260x y -=，∵S 阴影=S △AEC +S △AED=11()()22x y x x y y -+-=1()()2x y x y -+ =221()2x y - =1602⨯ =30.故选A.【点睛】 此题主要考查了平方差公式的应用，读懂图形和熟练掌握平方差公式是解此题的关键.7．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．x 2+2x ﹣1=（x ﹣1）2B ．x 2+4x+4=（x+2）2C ．（a+b ）（a ﹣b ）=a 2﹣b 2D ．ax 2﹣a=a （x 2﹣1）【答案】B【解析】【分析】因式分解是指将多项式和的形式转化成整式乘积的形式,因式分解的方法有:提公因式法,套用公式法,十字相乘法,分组分解法,解决本题根据因式分解的定义进行判定.【详解】A 选项,从左到右变形错误,不符合题意,B 选项,从左到右变形是套用完全平方公式进行因式分解,符合题意,C 选项, 从左到右变形是在利用平方差公式进行计算,不符合题意,D 选项, 从左到右变形利用提公因式法分解因式,但括号里仍可以利用平方差公式继续分解,属于分解不彻底,因此不符合题意,故选B.【点睛】本题主要考查因式分解的定义,解决本题的关键是要熟练掌握因式分解的定义和方法.8．下列分解因式正确的是（ ）A ．24(4)x x x x -+=-+B ．2()x xy x x x y ++=+C ．2()()()x x y y y x x y -+-=-D ．244(2)(2)x x x x -+=+-【答案】C【解析】【分析】根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案．注意分解要彻底．【详解】A. ()244x x x x -+=-- ，故A 选项错误； B. ()21x xy x x x y ++=++，故B 选项错误；C. ()()()2x x y y y x x y -+-=- ，故C 选项正确；D. 244x x -+=（x-2）2，故D 选项错误，故选C.【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．注意分解要彻底．9．下面四个代数式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）A ．()()322x x x ++-B ．25x x +C ．()232x x ++D ．()36x x ++【答案】B【解析】【分析】依题意可得S S S =-阴影大矩形小矩形、S S S =+阴影正方形小矩形、S S S =+阴影小矩形小矩形，分别可列式，列出可得答案.【详解】解：依图可得，阴影部分的面积可以有三种表示方式：()()322S S x x x -=++-大矩形小矩形；()232S S x x +=++正方形小矩形；()36S S x x +=++小矩形小矩形.故选：B.【点睛】本题考查多项式乘以多项式及整式的加减，关键是熟练掌握图形面积的求法，还有本题中利用割补法来求阴影部分的面积，这是一种在初中阶段求面积常用的方法，需要熟练掌握.10．小淇用大小不同的 9 个长方形拼成一个大的长方形 ABCD ，则图中阴影部分的面积是（ ）A．(a + 1)(b + 3)B．(a + 3)(b + 1)C．(a + 1)(b + 4)D．(a + 4)(b + 1)【答案】B【解析】【分析】通过平移后，根据长方形的面积计算公式即可求解.【详解】平移后，如图，易得图中阴影部分的面积是(a+3)(b+1).故选B.【点睛】本题主要考查了列代数式.平移后再求解能简化解题.二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）11．“元旦”期间小明去永辉超市购物，恰逢永辉超市“满1400减99元”促销活动，小明准备提前购置一些年货A和B，已知A和B的单价总和是100到200之间的整数，小明粗略测算了一下发现自己所购年货总价为1305元，不能达到超市的促销活动金额. 于是小明又购买了A、B各一件，这样就能参加超市的促销活动，最后刚好付款1305元. 小明经仔细计算发现前面粗略测算时把A 和B 的单价看反了，那么小明实际总共买了______件年货.【答案】22【解析】【分析】设A 单价为a 元，实际购买x 件，B 单价为b 元，实际购买y 元，根据题意列出方程组130599(1)(1)1305ax by a y b x +=+⎧⎨-+-=⎩，将两个方程相加得到(1)(1)2709a x y b x y +-++-=，分解因式得()(1)33743a b x y ++-=⨯⨯⨯，由A 和B 的单价总和是100到200之间的整数得到()(1)12921a b x y ++-=⨯，由此求得答案.【详解】设A 单价为a 元，实际购买x 件，B 单价为b 元，实际购买y 元，130599(1)(1)1305ax by a y b x +=+⎧⎨-+-=⎩， ∴(1)(1)2709a x y b x y +-++-=，∴()(1)33743a b x y ++-=⨯⨯⨯，∵A 和B 的单价总和是100到200之间的整数，即100a b 200<+<，∴()(1)12921a b x y ++-=⨯，即129a b +=， 121x y +-=，∴x+y=22，故答案为：22.【点睛】此题考查因式分解，设未知数列出方程组后将两个方程相加再因式分解是关键的步骤，根据A 和B 的单价总和确定出x+y 的值.12．（a-b ）2（x-y ）-（b-a ）（y-x ）2＝（a-b ）（x-y ）×________.【答案】（a-b+x-y ）【解析】运用公因式的概念，把多项式（a-b ）2（x-y ）-（b-a ）（y-x ）2运用提取公因式法因式分解（a-b ）2（x-y ）-（b-a ）（y-x ）2＝（a-b ）（x-y ）×（a-b+x-y ）. 故答案为：（a-b+x-y ）.点睛：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是根据找公因式的方法，确定公因式，注意符号的变化.13．在实数范围内因式分解：22967x y xy --=__________．【答案】11933xy xy ⎛⎫+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】将原多项式提取9，然后拆项分组为222189399x y xy ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，利用完全平方公式将前一组分解后，再利用平方差公式继续在实数范围内分解.【详解】解：22967x y xy -- 2227=939x y xy ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 222117=9+3999x y xy ⎛⎫--- ⎪⎝⎭ 218=939xy ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦11=93333xy xy ⎛⎫⎛---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11=933xy xy ⎛+--- ⎝⎭⎝⎭故答案为：11933xy xy ⎛+--- ⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查在实数范围内因式分解，利用分组分解法将原多项式“三一”分组后采用公式法因式分解，注意在实数范围内因式分解是指系数可以是根式.14．(m+n+p+q) (m-n-p-q)＝（__________） 2-（__________） 2．【答案】m n+p+q【解析】(m+n+p+q)(m-n-p-q)=[m+(n+p+q)][m-(n+p+q)]=()22m n p q -++，故答案为(1)m ，(2)n+p+q. 点睛：本题主要考查了平方差公式，平方差公式是两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，多项式与多项相乘时，要注意观察能否将其中符号相同的项结合成为一项后，再运用平方差公式运算.15．若4x 2+20x + a 2是一个完全平方式，则a 的值是 __ ．【答案】±5【解析】225,5a a ==±16．已知2x +3y -5=0，则9x •27y 的值为______．【答案】243【解析】【分析】先将9x •27y 变形为32x+3y ，然后再结合同底数幂的乘法的概念和运算法则进行求解即可．【详解】∵2x+3y−5=0，∴2x+3y=5，∴9x ⋅27y =32x ⋅33y =32x+3y =35=243.故答案为：243.【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是熟练的掌握同底数幂乘法的概念和运算法则.17．分解因式：32363a a a -+=_____．【答案】()231a a -【解析】【分析】先提取公因式3a ，再根据完全平方公式进行二次分解即可．【详解】 ()()232236332131a a a a a a a a -+=-+=-． 故答案为：()231a a -【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．18．若=2m x ，=3n x ，则2m n x +的值为_____.【答案】18【解析】【分析】先把x m+2n 变形为x m （x n ）2，再把x m =2，x n =3代入计算即可．【详解】∵x m =2，x n =3，∴x m+2n =x m x 2n =x m （x n ）2=2×32=2×9=18；故答案为18．【点睛】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．19．已知8a b +=，224a b =，则222a b ab +-=_____________． 【答案】28或36．【解析】【分析】【详解】解：∵224a b =，∴ab=±2．①当a+b=8，ab=2时，222a b ab +-=2()22a b ab +-=642﹣2×2=28； ②当a+b=8，ab=﹣2时，222a b ab +-=2()22a b ab +-=642﹣2×（﹣2）=36； 故答案为28或36．【点睛】本题考查完全平方公式；分类讨论．20．若m+n=3，则2m 2+4mn+2n 2-6的值为________．【答案】12【解析】原式=2（m 2+2mn +n 2）-6，=2（m +n ）2-6，=2×9-6，=12．。
北京第四中学数学分式填空选择章末练习卷(Word版 含解析)
北京第四中学数学分式填空选择章末练习卷（Word 版 含解析）一、八年级数学分式填空题（难）1．如果关于x 的分式方程1a x +－3＝11x x -+有负分数解，且关于x 的不等式组2()43412a x x x x -≥--⎧⎪⎨+<+⎪⎩的解集为x ＜－2，那么符合条件的所有整数a 的积是_________． 【答案】9【解析】()243412a x x x x ⎧-≥--⎪⎨+<+⎪⎩①②， 由①得：x≤2a+4，由②得：x<-2，由不等式组的解集为x<-2，得到2a+4≥-2，即a≥-3，分式方程去分母得：a-3x-3=1-x ， x=42a -， 由分式方程1a x +－3＝11x x -+有负分数解，则有a-4<0，所以a<4， 所以-3≤a<4，把a=-3代入整式方程得：-3x-6=1-x ，即x=-72，符合题意； 把a=-2代入整式方程得：-3x-5=1-x ，即x=-3，不合题意； 把a=-1代入整式方程得：-3x-4=1-x ，即x=-52，符合题意； 把a=0代入整式方程得：-3x-3=1-x ，即x=-2，不合题意；把a=1代入整式方程得：-3x-2=1-x ，即x=-32，符合题意； 把a=2代入整式方程得：-3x-1=1-x ，即x=-1，不合题意；把a=3代入整式方程得：-3x=1-x ，即x=-12，符合题意， ∴符合条件的整数a 取值为-3，-1，1，3，之积为9，故选D 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．若关于x 的分式方程321x m x -=-的解是正数，则m 的取值范围为_______. 【答案】m ＞2且m ≠3【解析】 解关于x 的方程321x m x -=-得：2x m =-， ∵原方程的解是正数， ∴20210m m ->⎧⎨--≠⎩，解得：2m >且3m ≠. 故答案为：2m >且3m ≠.点睛：关于x 的方程321x m x -=-的解是正数，则字母“m ”的取值需同时满足两个条件：（1）2x m =-不能是增根，即210m --≠；（2）20x m =->.3．如果实数x 、y 满足方程组30233x y x y +=⎧⎨+=⎩，求代数式（xy x y ++2）÷1x y +． 【答案】1【解析】 解：原式=222()xy x y x y x y ++⋅++=xy +2x +2y ，方程组：30233x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：31x y =⎧⎨=-⎩，当x =3，y =﹣1时，原式=﹣3+6﹣2=1．故答案为1．点睛：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．计算：()()()()()()()11111122320182019x x x x x x x x ++++=+++++++________________. 【答案】()20192019x x + 【解析】【分析】利用裂项法先将每个分式化简，再将结果相加即可.【详解】∵111(1)1x x x x =-++， 111(1)(2)12x x x x =-++++111(2)(3)23x x x x =-++++ ……111(2018)(2019)20182019x x x x =-++++ ∴原式=11111111()()()()1122320182019x x x x x x x x -+-+-+⋅⋅⋅+-+++++++ =112019x x -+ =()20192019x x +. 【点睛】此题考察分式的混合运算，运用裂项法将每个分式化简是解题的关键.5．若关于x 的分式方程12x -﹣3a x -=2256x x -+无解，求a=______． 【答案】-1或2【解析】 ∵12x -﹣3a x -=2256x x -+, ∴12x -+3a x -=()223x x --（）∵方程无解，∴(x -2)(x -3)=0, ∴x =2由x =3.6．关于x 的分式方程12122a x x-+=--的解为正数，则a 的取值范围是_____． 【答案】5a <且3a ≠【解析】【分析】直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得出a 的取值范围，进而结合分式方程有意义的条件分析得出答案．【详解】去分母得：122a x -+=-，解得：5x a =-，50a ->，解得：5a <，当52x a =-=时，3a =不合题意，故5a <且3a ≠．故答案为：5a <且3a ≠．【点睛】此题主要考查了分式方程的解，注意分式的解是否有意义是解题关键．7．化简：224a a -﹣12a -=_____． 【答案】12a + 【解析】【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果． 【详解】原式=()()()()222222a a a a a a +-+-+-=()()222a a a -+- =12a +， 故答案为：12a +. 【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握分式加减法的运算法则是解本题的关键．8．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＝ab ＝c ，有下列结论：①若c≠0，则＝1；②若a ＝3，则b ＋c ＝9；③若a ＝b ＝c ，则abc ＝0；④若a ，b ，c 中只有两个数相等，则a ＋b ＋c ＝8.其中正确的是____．(把所有正确结论的序号都选上)【答案】①③④【解析】试题分析：在a+b=ab 的两边同时除以ab （ab=c≠0）即可得，所以①正确；把a=3代入得3+b=3b=c ，可得b=，c=，所以b+c=6，故②错误；把 a=b=c 代入得，所以可得c=0，故③正确；当a=b 时，由a+b=ab 可得a=b=2，再代入可得c=4，所以a+b+c=8；当a=c 时，由c=a+b 可得b=0，再代入可得a=b=c=0，这与a 、b 、c 中只有两个数相等相矛盾，故a=c 这种情况不存在；当b=c 时，情况同a=c ，故b=c 这种情况也不存在，所以④正确．所以本题正确的是①③④．考点：分式的基本性质；分类讨论．9．当x 取_____时，分式1111x x x+--有意义． 【答案】x≠0且x≠±1【解析】分析：要想使分式有意义，那么分式的分母就不能为0，据此列出关于x 的不等式组，解不等式组即可求得x 的取值范围． 详解：由题意可知，只有当：0101101x x x x x x ⎧⎪⎪≠⎪⎪-≠⎨⎪+⎪-≠⎪-⎪⎩时，原分式才有意义，解得：011x x x ≠⎧⎪≠±⎨⎪≠-⎩，即当x ≠0且x ≠±1时，原分式有意义．故答案为：x ≠0且x ≠±1．点睛：本题主要考查了分式有意义的条件，要求掌握．对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义．解此类问题，只要令分式中分母不等于0，求得字母的取值即可． 本题的难点在于，题中是一个繁分式，需一层一层分析，x 是1x的分母，所以x ≠0； x ﹣1x 是11x x x +-的分母，所以x ﹣1x ≠0；1﹣11x x x+-又是整个分式的分母，因此1﹣11xx x+-≠0．繁分式的有关知识超出初中教材大纲要求，只在竞赛中出现．10．满足222210105,4b a a b a b a b+=+=++的整数对(),a b 的组数为 _________________ ； 【答案】2【解析】【分析】将两式联立组成方程组，先将两式相减，再根据题意a 、b 均为整数，得出新的方程组求出满足条件的解，再数出满足条件的个数即可．【详解】 解：2222105104b a a b a b a b ⎧+=⎪⎪+⎨⎪+=⎪+⎩①②由①－②得()22101b a a b a b--+=+ ()221010a b a b a b----=+ 去分母，并整理得()()()()()()()()222222110011011011010a b a b a b a b a b a b a b a b --+--=--+---=--+-=因为,a b 为整数，所以有22111010a b a b --=⎧⎨+-=⎩①②221-110-10a b a b --=⎧⎨+-=⎩③22110101a b a b --=⎧⎨+-=⎩④221-1010-1a b a b --=⎧⎨+-=⎩⑤2212105a b a b --=⎧⎨+-=⎩⑥221-210-5a b a b --=⎧⎨+-=⎩⑦221-510-2a b a b --=⎧⎨+-=⎩⑧2215102a b a b --=⎧⎨+-=⎩解方程组①得，42a b =⎧⎨=⎩或24a b =-⎧⎨=-⎩； 解方程组②得，0a b ；解方程组③得，此方程组无解；解方程组④得，此方程组无解；解方程组⑤得，无整数解；解方程组⑥得，12a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩解方程组⑦得，22a b =-⎧⎨=⎩ 解方程组⑧得，无整数解；将求出的解代入原方程，42a b =⎧⎨=⎩或12a b =⎧⎨=⎩是原方程的解 所以满足题意的数对有(1,2)或(4,2)故答案为：2.【点睛】本题考查了分式方程的整数解的特殊解法，认真审题，弄清题意是解决本题的关键．二、八年级数学分式解答题压轴题（难）11．某开发公司生产的 960 件新产品需要精加工后，才能投放市场，现甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用20 天，而甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工的数量的23，公司需付甲工厂加工费用为每天 80 元，乙工厂加工费用为每天 120 元．（1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？（2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成．在加工过程中，公司派一名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天 15 元的午餐补助费，请你帮公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由．【答案】（1）甲工厂每天加工 16 件产品，乙工厂每天加工 24 件产品. （2）甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱．见解析．【解析】【分析】（1）设甲工厂每天加工 x 件新品，乙工厂每天加工 1.5x 件新品，根据题意找出等量关系：甲厂单独加工这批产品所需天数﹣乙工厂单独加工完这批产品所需天数＝20，由等量关系列出方程求解．（2）分别计算出甲单独加工完成、乙单独加工完成、甲、乙合作完成需要的时间和费用，比较大小，选择既省时又省钱的加工方案即可．【详解】（1）设甲工厂每天加工 x 件新品，乙工厂每天加工 1.5x 件新品，则：解得：x＝16经检验，x＝16 是原分式方程的解∴甲工厂每天加工 16 件产品，乙工厂每天加工 24 件产品（2）方案一：甲工厂单独完成此项任务，则需要的时间为：960÷16＝60 天需要的总费用为：60×（80+15）＝5700 元方案二：乙工厂单独完成此项任务，则需要的时间为：960÷24＝40 天需要的总费用为：40×（120+15）＝5400 元方案三：甲、乙两工厂合作完成此项任务，设共需要 a 天完成任务，则16a+24a＝960∴a＝24∴需要的总费用为：24×（80+120+15）＝5 160 元综上所述：甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱．【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键在于理解清楚题意，找出等量关系，列出方程求解．需要注意：①分式方程求解后，应注意检验其结果是否符合题意；②选择最优方案时，需将求各个方案所需时间和所需费用，经过比较后选择最优的那个方案．12．阅读后解决问题：在“15.3分式方程”一课的学习中，老师提出这样的一个问题：如果关于x 的分式方程3111a x x+=--的解为正数，那么a 的取值范围是什么？ 经过交流后，形成下面两种不同的答案：小明说：解这个关于x 的分式方程，得到方程的解为x=a ﹣2．因为解是正数，可得a ﹣2＞0，所以a ＞2．小强说：本题还要必须a≠3，所以a 取值范围是a ＞2且a≠3．（1）小明与小强谁说的对，为什么？（2）关于x 的方程11222mx x x-+=--有整数解，求整数m 的值． 【答案】（1）小强的说法对，理由见解析；（2）m=3，4，0．【解析】【分析】 (1)先根据解分式方程的步骤和解法解分式方程可得x =a ﹣2,根据分式方程有解和解是正数可得:x ＞0且x ≠1, 即a ﹣2＞0, a ﹣2≠1,即可求解,(2) 先根据解分式方程的步骤和解法解分式方程可得（m ﹣2）x =﹣2, 当m ≠2时,解得:x =﹣22m -,根据分式方程有整数解可得: m ﹣2=±1,m ﹣2=±2,继而求m 的值. 【详解】解:（1）小强的说法对,理由如下:解这个关于x 的分式方程,得到方程的解为x =a ﹣2,因为解是正数,可得a ﹣2＞0,即a ＞2,同时a ﹣2≠1,即a ≠3,则a 的范围是a ＞2且a≠3,（2）去分母得：mx ﹣1﹣1=2x ﹣4,整理得:（m ﹣2）x =﹣2,当m ≠2时,解得: x =﹣22m -,由方程有整数解,得到m ﹣2=±1,m ﹣2=±2,解得:m =3,4,0.【点睛】本题主要考查分式方程解是正数和解是整数问题,解决本题的关键是要熟练掌握解分式方程的解法.13．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：?1322x x+=--. （1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；x=，原分式方程无解”，请（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是2你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？x=;（2）原分式方程中“？”代表的数是-1.【答案】（1）0【解析】【分析】（1）“？”当成5，解分式方程即可，（2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将x=2代入即可解答.【详解】x-得（1）方程两边同时乘以()2()5321+-=-xx=解得0x=是原分式方程的解.经检验，0（2）设？为m，x-得方程两边同时乘以()2()m x+-=-321x=是原分式方程的增根，由于2x=代入上面的等式得所以把2()m+-=-3221m=-1所以，原分式方程中“？”代表的数是-1.【点睛】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用.增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根.增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．14．“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：（1）A型自行车去年每辆售价多少元；（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B 型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多．【答案】(1) 2000元；（2） A型车20辆，B型车40辆．【解析】【分析】（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由卖出的数量相同列出方程求解即可；（2）设今年新进A 型车a 辆，则B 型车（60﹣a ）辆，获利y 元，由条件表示出y 与a 之间的关系式，由a 的取值范围就可以求出y 的最大值．【详解】解：（1）设去年A 型车每辆售价x 元，则今年售价每辆为（x ﹣200）元，由题意，得 8000080000(110%)200x x -=-， 解得：x=2000．经检验，x=2000是原方程的根．答：去年A 型车每辆售价为2000元；（2）设今年新进A 型车a 辆，则B 型车（60﹣a ）辆，获利y 元，由题意，得y=a+（60﹣a ），y=﹣300a+36000．∵B 型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍，∴60﹣a≤2a ，∴a≥20．∵y=﹣300a+36000．∴k=﹣300＜0，∴y 随a 的增大而减小．∴a=20时，y 最大=30000元．∴B 型车的数量为：60﹣20=40辆．∴当新进A 型车20辆，B 型车40辆时，这批车获利最大．【点睛】本题考查分式方程的应用；一元一次不等式的应用．15．某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款2.4万元，乙工程队工程款1万元．工程领导小组根据甲，乙两队的投标书测算，有如下方案：（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用12天；（3）若甲，乙两队合做6天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．【答案】在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．【解析】【分析】关键描述语为：“甲，乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成”；说明甲队实际工作了3天，乙队工作了x 天完成任务，工作量=工作时间×工作效率等量关系为：甲3天的工作量+乙规定日期的工作量=1列方程．再看费用情况：方案（1）、（3）不耽误工期，符合要求，可以求费用，方案（2）显然不符合要求．【详解】解：设规定日期为x 天．由题意得66611212x x x x -++=++， ∴6112x x x +=+， ∴2267212x x x x ++=+，∴12x =；经检验：x=12是原方程的根．方案（1）：2.4×12=28.8（万元）；方案（2）比规定日期多用12天，显然不符合要求；方案（3）：2.4×6+1×12=26.4（万元）．∵28.8＞26.4，∴在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找到合适的等量关系是解决问题的关键．在既有工程任务，又有工程费用的情况下．先考虑完成工程任务，再考虑工程费用．。
北师大版八年级下册第4章分解因式同步练习题(word无答案)
12b2
3
〔9〕m4
18m2n2
81n4
〔10
〕15x3y(x
y)3
10x4y2(y
x)2
〔11〕9x2(m2
n2)y2(n2
m2)
〔12〕
2
9
2
4
14
、3xy4，求3x2
2xy
1
y2的值
3
15
、a,b互为倒数，求(a
b)2
(ab)2
3
3
16、2xy
1
,xy2,求
2x4y3
x3y4的值
3
17、a2b24a6b130,求a+b的值。
分解因式同步练习
一、填空
1
、28mn2
12m2n
6mn的公因式是________________
2
、9x2
kx
16是一个完全平方式，那么
k=_________
3
、如果x2
14xm2是完全平方式，那么
m=__________
4
b的形式，其中
a,b是确定的数，那么y=___________
5
、(mn)(m
n)2
2mn(m
n)
(m
n)?a，那么a=_________
6
、假设a,b
互为相反数，那么
a(m
3n)
b(3n
m)
________
7
、1
xm
(1
x4)(1
x2)(1
x2),那么m=__________
8
、假设xy
1,那么(x
2y)2
(x
2y)2
_________
2021-2022学年北师大版八年级数学下册第四章因式分解章节训练练习题(无超纲)
北师大版八年级数学下册第四章因式分解章节训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列各式中，正确的因式分解是（ ）A ．2222()()a b ab c a b c a b c -+-=+---B ．2()()()(1)x y x y x y x y ----=---+C ．2()3()(23)()a b a b a a a b -+-=+-D ．222422(222)(1)x x y x y x y ++-=+++-2、对于有理数a ，b ，c ，有（a +100）b ＝（a +100）c ，下列说法正确的是（ ）A ．若a ≠﹣100，则b ﹣c ＝0B ．若a ≠﹣100，则bc ＝1C ．若b ≠c ，则a +b ≠cD ．若a ＝﹣100，则ab ＝c3、下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A ．（x ＋4）（x ﹣4）＝x 2﹣16B ．x 2﹣x ﹣6＝（x ＋3）（x ﹣2）C ．x 2＋1＝x （x ＋1x ） D ．a 2b ＋ab 2＝ab （a ＋b ）4、下列各组式子中，没有公因式的一组是（ ）A ．2xy 与xB ．（a ﹣b ）2与a ﹣bC ．c ﹣d 与2（d ﹣c ）D ．x ﹣y 与x +y5、下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）A ．9x 2-6x +1B ．x 2+x +1C ．x 2+2x -1D ．x 2-96、把多项式x 3﹣2x 2+x 分解因式结果正确的是（ ）A ．x （x 2﹣2x ）B ．x 2（x ﹣2）C ．x （x +1）（x ﹣1）D ．x （x ﹣1）27、把多项式256x x -+分解因式，下列结果正确的是（ ）A ．(1)(6)x x -+B ．(6)(1)x x -+C ．(2)(3)x x ++D ．(2)(3)x x --8、若218x ax ++能分解成两个因式的积，则整数a 的取值可能有（ ）A ．4个B ．6个C ．8个D ．无数个9、下列多项式能使用平方差公式进行因式分解的是（ ）A ．241x +B ．21m -+C ．22a b --D ．222x y -10、下列各式从左到右进行因式分解正确的是（ ）A ．4a 2﹣4a +1＝4a （a ﹣1）+1B ．x 2﹣2x +1＝（x ﹣1）2C ．x 2+y 2＝（x +y ）2D ．x 2﹣4y ＝（x +4y ）（x ﹣4y ）第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、分解因式322m m m ++=________．2、把多项式32327x xy -分解因式的结果是______________．3、若2230x y xy +=，6xy =，则x y -的值为______．4、分解因式：245a a --=_________．5、a 、b 、c 是等腰△ABC 的三边长，其中a 、b 满足a 2+b 2﹣4a ﹣10b +29＝0，则△ABC 的周长为 _____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、解答下列各题：（1）计算：22②2332222(2)(3)()x x x x -+--⋅（2）分解因式：32816x x x -+2、因式分解：（1）3244a a a -+（2）(1)(3)8x x ---3、因式分解：（1）32214x x y xy -+-；（2） （7x 2＋2y 2）2﹣（2x 2＋7y 2）24、阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x +x （x +1）+x （x +1）2=（1+x ）[1+x +x （x +1）]=（1+x ）2（1+x ）=（1+x ）3（1）上述分解因式的方法是 ，共应用了 次．（2）若分解1+x +x （x +1）+x （x +1）2+…+x （x +1）2021，则需应用上述方法 次，结果是 ．（3）分解因式：1+x +x （x +1）+x （x +1）2+…+x （x +1）n （n 为正整数）结果是 ．5、因式分解：228ax a-参考答案-一、单选题1、B【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式，进而判断得出答案．【详解】解：A ．2222()()a b ab c a b c a b c -+-=-+--，故此选项不合题意；B ．2()()()(1)x y x y x y x y ----=---+，故此选项符合题意；C ．()()()()2323a b a b a a a b -+-=--，故此选项不合题意；D ．()()222422211x x y x y x y ++-=+++-，故此选项不合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．2、A【分析】将等式移项，然后提取公因式化简，根据乘法等式的性质，求解即可得．解：()()100100a b a c +=+，()()1001000a b a c +-+=，()()1000a b c +-=，∴1000a +=或0b c -=，即：100a =-或b c =，A 选项中，若100a ≠-，则0b c -=正确；其他三个选项均不能得出，故选：A ．【点睛】题目主要考查利用因式分解化简等式，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．3、D【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，因此，要确定从左到右的变形中是否为因式分解或者分解因式是否正确，逐项进行判断即可．【详解】A 、结果不是积的形式，因而不是因式分解；B 、()()2632x x x x --=-+，因式分解错误，故错误；C 、1x不是整式，因而不是因式分解；D 、满足因式分解的定义且因式分解正确；故选：D ．题目主要考查的是因式分解的概念及方法，熟练掌握理解因式分解的定义及方法是解题关键．4、D【分析】根据公因式是各项中的公共因式逐项判断即可．【详解】解：A 、2xy 与x 有公因式x ，不符合题意；B 、（a ﹣b ）2与a ﹣b 有公因式a ﹣b ，不符合题意；C 、c ﹣d 与2（d ﹣c ）有公因式c ﹣d ，不符合题意；D 、x ﹣y 与x +y 没有公因式，符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查公因式，熟练掌握确定公因式的方法是解答的关键．5、A【分析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项解析判断后利用排除法求解：【详解】A. 9x 2-6x +1()231x =- ，故该选项正确，符合题意；B. x 2+x +1，不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故选项不符合题意；C. x 2+2x -1，不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故选项不符合题意；D. x 2-9()()33x x =+-，不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故选项不符合题意；【点睛】此题主要考查了运用公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．6、D【分析】先提取公因式，再按照完全平方公式分解即可得到答案.【详解】解：x 3﹣2x 2+x22211,x x x x x 故选D【点睛】本题考查的是综合利用提公因式与公式法分解因式，掌握“利用完全平方公式分解因式”是解本题的关键.7、D【分析】利用公式2()()()x a b x ab x a x b +++=++即可得答案．【详解】解：256(2)(3)x x x x -+=--故选:D ．【点睛】此题考查了十字相乘法进行因式分解，解题的关键是掌握公式2()()()x a b x ab x a x b +++=++．【分析】把18分解为两个整数的积的形式，a等于这两个整数的和．【详解】解：18=1×18=2×9=3×6=（-1）×（-18）=（-2）×（-9）=（-3）×（-6），所以a=1+18=19或2+9=11或3+6=9或（-1）+（-18）=-19或（-2）+（-9）=-11或（-3）+（=6）=-9．∴整数a的值是±9或±11或±19，共有6个．故选：B．【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解题的关键．9、B【分析】根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断即可求解．【详解】解：A、2x+，不能进行因式分解，不符合题意；41B、﹣m2+1＝1﹣m2＝（1+m）（1﹣m），可以使用平方差公式进行因式分解，符合题意；C、22--，不能使用平方差公式进行因式分解，不符合题意；a bD、22-，不能进行因式分解，不符合题意；2x y故选：B．【点睛】本题考查平方差公式进行因式分解，熟记平方差公式的结构特点是求解的关键．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．【分析】因式分解是将一个多项式写成几个整式乘积的形式，并且分解要彻底，根据完全平方公式和因式分解的定义逐项分析判断即可【详解】解：A. 4a 2﹣4a +1＝()221a -，故该选项不符合题意；B. x 2﹣2x +1＝（x ﹣1）2，故该选项符合题意；C. x 2+y 2≠（x +y ）2，故该选项不符合题意；D. x 2﹣4y ≠（x +4y ）（x ﹣4y ），故该选项不符合题意；故选B【点睛】本题考查了因式分解的定义，完全平方公式因式分解，理解因式分解的定义是解题的关键．二、填空题1、()21m m +【分析】原式提取m 后，利用完全平方公式分解即可．【详解】解：322m m m ++=()()22211m m m m m ++=+ 故答案为：()21m m +【点睛】本题考查了因式分解，掌握提公因式法因式分解和公式法因式分解是解题的关键．2、)3(+3()3x x y x y -．【分析】直接提取公因式3x ，再利用平方差公式分解因式即可．【详解】解：32327x xy -=22(9)3x x y -=)3(+3()3x x y x y -．故答案为：)3(+3()3x x y x y -．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．3、±1【分析】先把提取公因式xy ，根据6xy =，求出x y +的值，再根据22()()4x y x y xy -=+-，求出2()x y -的值，即可得出x y -的值．【详解】解：2230x y xy +=，()30xy x y ∴+=，6xy =，5x y ∴+=，222()()45461x y x y xy -=+-=-⨯=，1x y ∴-=±；故答案为：±1．【点睛】此题考查了因式分解的应用，解决此类问题要整体观察，根据具体情况综合应用相关公式进行整体代入是解决这类问题的基本思想．4、(5)(1)a a -+a +1)( a -5)【分析】根据十字相乘法进行因式分解即可．【详解】解：245a a --=(5)(1)a a -+，故答案为：(5)(1)a a -+．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．5、12【分析】先利用完全平方公式把a 2+b 2﹣4a ﹣10b +29＝0化为()()22250,a b -+-=再利用非负数的性质求解,,a b 再分两种情况讨论：当2a =为腰时，当2a =为底时，结合三角形的三边关系，从而可得答案.【详解】 解： a 2+b 2﹣4a ﹣10b +29＝0，224410250,a a b b ∴-++-+= ()()22250,a b ∴-+-= 20,50,a b ∴-=-=2,5,a b ∴==a 、b 、c 是等腰△ABC 的三边长，当2a =为腰时，则另一腰2,c = 此时225,+＜ 三角形不存在，舍去，当2a =为底时，则腰5,b c == 此时255,+＞ 三角形存在，∴△ABC 的周长为25512.++=故答案为：12【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，非负数的性质，三角形三边的关系，等腰三角形的定义，掌握以上基础知识是解题的关键.三、解答题1、（1）①0；（2）()24x x -【分析】（1）①原式利用算术平方根、立方根性质，乘方的意义，以及绝对值的代数意义计算即可得到结果；②根据幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法法则进行计算，再进行合并同类项合并即可；（2）原式提取公因式x ，再利用完全平方公式分解即可．【详解】解：（122-(1=32523⨯+-+=1252++=3 ②2332222(2)(3)()x x x x -+--⋅666=89x x x -+-=0（2）32816x x x -+()2=816x x x -+()2=4x x - 【点睛】此题考查了实数的运算、整式的乘除运算以及提公因式法与公式法的综合运用的知识点，熟练掌运算以及相关法则、方法是解本题的关键．2、（1）2(2)a a -；（2）(5)(1)x x -+【分析】（1）先提取公因式，再十字相乘法进行因式分解．（2）先去括号，再十字相乘法进行因式分解．【详解】解：（1）3244a a a -+=2(44)a a a -+=2(2)a a -（2）(1)(3)8(5)(1)x x x x ---=-+=2438x x -+-=245x x --(5)(1)x x =-+【点睛】本题考查了十字相乘法因式分解，对于形如2x px q ++的二次三项式，若能找到两数a b 、，使a b q ⋅=，且a b p +=，那么2x px q ++就可以进行如下的因式分解，即()()()22x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++．3、（1）21()2x x y --；（2）2245()()()x y x y x y ++-【分析】（1）先提出公因式，再利用完全公式，即可求解；（2）先利用平方差公式分解，再提公因式，然后利用平方差公式，即可求解．【详解】解：（1）32214x x y xy -+-2214x x xy y ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 212x x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ； （2）()()2222227227x y x y +-+ ()()2222222272277227x y x y x y x y =++++--()()22229955x y x y =+-()()222245x y x y =+-2245()()()x y x y x y =++-．【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解的方法是解题的关键．4、（1）提公因式法； 2；（2）2021；（x +1）2022；（3）（1+x ）n +1．【分析】（1）直接利用已知解题方法分析得出答案；（2）结合（1）中解题方法得出答案；（3）结合（1）中解题方法得出答案．【详解】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次；故答案为：提公因式法； 2；（2）若分解1+x +x （x +1）+x （x +1）2+…+x （x +1）2021，则需应用上述方法2021次，结果是（x +1）2022；故答案为：2021；（x +1）2022；（3）1+x +x （x +1）+x （x +1）2+…+x （x +1）n =（1+x ）n +1．故答案为：（1+x ）n +1．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及数字变换规律，正确得出次数变化规律是解题关键． 5、2(2)(2)a x x +-【分析】根据题意综合运用提取公因式法和公式法进行因式分解即可得出答案.【详解】解：228ax a22(4)a x =-2(2)(2)a x x =+-【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握并运用提取公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键.。
北师大版八年级数学下册第四章因式分解周周测1(全章)附答案.doc
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】第四周每周一练：分解因式复习班级： 姓名： 学号：______一、选择题1．下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是（ ）.A 、2(1)a a b a ab a +-=+-B 、22(1)2a a a a --=--C 、2249(23)(23)a b a b a b -+=-++D 、121(2)x x x +=+2．下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（ ）.A 、2x y - B 、22x x + C 、22x y + D 、22x xy y -+ 3．下列多项式能用公式法分解因式的是（ ）.A 、22y x --B 、224x x ++C 、214x x -+ D 、24x y -4．如果24x xy m --是一个完全平方式，则m 可能等于（ ） A 、2116y -B 、218yC 、2116yD 、214y 5．已知多项式c bx x ++22分解因式为)1)(3(2+-x x ，则c b ,的值为（ ） A 、1,3-==c b B 、2,6=-=c b C 、4,6-=-=c b D、6,4-=-=c b6．两个连续奇数的平方差一定是（ ）.A 、16的倍数B 、12的倍数C 、8的倍数D 、14的倍数 二、填空题7．322236129xy y x y x -+中各项的公因式是__________． 8．已知3-=-b a ，1-=ab ，则22ab b a -的值为 .9．若2m n -=-，则mn n m -+222的值是________________． 10．已知210x x -+=，则325x x x -++=__________________.三、解答题:11．将下列各式因式分解: (1) c ab ab abc 249714+--(2) 100x 2－81y 2(3) 2412()9()x y x y +-+- (4) ()22241x x -+(5) 322345493y x y x y x --(6) ()()3223328236y x x x y x -+--12．计算：3.4614.70.5414.729.4⨯+⨯-13．127636-能被140整除吗？请说明。