利用导数求最值
专题训练--利用导数求单调区间、极值、最值
利用导数求函数的单调性、极值 、最值一．求单调区间的步骤①求定义域；①求导函数f ′(x )；①解方程f ′(x )＝0；④分区间；⑤列表定导数正负得单调区间. 二．求极值的步骤（同上） 极值的定义：①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； ①如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值． 三．求函数最值的步骤①求极值；①求[a ，b ]端点的函数值f (a )、f (b )；①比较极值与端点函数值的大小，得最值.考向一 求单调区间【例题】求下列函数的单调区间：（1）3()23f x x x =-； （2）2()ln f x x x =-. （3）)f (x )＝2x －x 2. 【练习】1．函数 f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ） A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2，＋∞)2.函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为( )A.(0，1)B.(0，＋∞)C.(1，＋∞)D.(－∞，0)①(1，＋∞) 3．函数f (x )＝x ＋eln x 的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)和(0，＋∞)D ．R4．函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为________．【答案】()12，＋∞ 5．函数f (x )＝x ·e x －e x＋1的单调增区间是________．【答案】 (e －1，＋∞)6．已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )的单调减区间是________．【答案】()0，1e7．已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调增区间是_______．()－π，－π2和()0，π28. 函数f (x )=(x-3)e x 的单调递增区间是 。
高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析
高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析1.已知函数 (R)．(1)当时，求函数的极值；（2）若函数的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围．【答案】（1）当时, 取得极大值为;当时, 取得极小值为.（2）a的取值范围是．【解析】（1）遵循“求导数，求驻点，讨论驻点两侧导数值符号，确定极值”.（2）根据= ，得到△= = .据此讨论：①若a≥1，则△≤0，此时≥0在R上恒成立，f（x）在R上单调递增 .计算f（0），,得到结论.②若a＜1，则△＞0，= 0有两个不相等的实数根，不妨设为．有．给出当变化时，的取值情况表.根据f（x1）·f（x2）＞0, 解得a＞．作出结论.试题解析：（1）当时，，∴.令="0," 得. 2分当时,, 则在上单调递增;当时,, 则在上单调递减;当时,, 在上单调递增. 4分∴当时, 取得极大值为;当时, 取得极小值为. 6分（2）∵= ，∴△= = .①若a≥1，则△≤0， 7分∴≥0在R上恒成立，∴ f（x）在R上单调递增 .∵f（0），,∴当a≥1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点． 9分②若a＜1，则△＞0，∴= 0有两个不相等的实数根，不妨设为．∴．当变化时，的取值情况如下表：x x（x，x）x++11分∵,∴.∴=.同理. ∴.令f（x1）·f（x2）＞0, 解得a＞．而当时,, 13分故当时, 函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点.综上所述，a的取值范围是． 14分【考点】应用导数研究函数的极值、单调性及函数的图象，分类讨论思想.2.函数的极小值是 .【答案】.【解析】，令，解得，列表如下：极大值极小值故函数在处取得极小值，即.【考点】函数的极值3.已知a≤＋lnx对任意的x∈[，2]恒成立，则a的最大值为________．【解析】令f(x)＝＋lnx，f′(x)＝，当x∈[，1)时，f′(x)<0，当x∈(1,2]时，f′(x)>0，∴f(x)min＝f(1)＝0，∴a≤0，故a最大值为0.4.已知函数,是函数的导函数，且有两个零点和(),则的最小值为()A．B．C．D．以上都不对【答案】B【解析】，由题意，当或时，，当时，，因此的最小值是，选B．【考点】函数的极值与最值．5.已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(e x－1)(x－1)k(k＝1,2)，则 ()．A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值【答案】C【解析】当k＝1时，f′(x)＝e x·x－1，f′(1)≠0，∴x＝1不是函数f(x)的极值点．当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xe x＋e x－2)，显然f′(1)＝0，且x在1的左边附近f′(x)<0，x在1的右边附近f′(x)>0，∴f(x)在x＝1处取到极小值．6.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a的取值范围是______．【答案】(，2)【解析】由题意可知f′(x)＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f′(x)＝3x2＋2ax＋1，所以根据导函数图象可得又a>0，解得<a<2.7.设函数f(x)＝x e x，则()．A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点【答案】D【解析】∵f(x)＝x e x，∴f′(x)＝e x＋x e x＝e x(1＋x)．∴当f′(x)＞0时，则x＞－1，函数y＝f(x)是增函数，同理可求，x＜－1时函数f(x)为减函数．∴x＝－1时，函数f(x)取得极小值．8.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a的取值范围是()．A．(0,2]B．(0,2)C．[，2)D．(，2)【答案】D【解析】由题意可知f′(x)＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f′(x)＝3x2＋2ax＋1，所以根据导函数图象可得又a>0，解得<a<2，故选D.9.若函数在区间内有极值，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】因为函数在区间内有极值，所以导数在区间内必有零点，于是.【考点】1.导数的公式与法则；2.函数的零点.10.某人进行了如下的“三段论”推理：如果，则是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以是函数的极值点.你认为以上推理的 ( ) A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确【答案】A【解析】本题中，如果，则是函数的极值点是错误的.若是函数的极值点，则函数在的左右两侧异号，而否则尽管有，都不能说明是函数的极值点.如，其导数，函数在上是增函数.所以不是函数的极值点.因此本题是大前提错误.【考点】推理与证明、导数、函数的极值11.在处有极小值，则实数为 .【答案】1【解析】由得，又在处有极小值，故，解得或，当时，有，函数在单调递增，在单调递减，故在处有极小值；当时，有，函数在单调递增，在单调递减，故在处有极大值.综上可知.【考点】利用导数处理函数的极值12.已知函数.(1)当时，求函数的极值；(2)求函数的单调区间.【答案】（1），无极大值；（2）见解析.【解析】（1）先找到函数的定义域，在定义域内进行作答，在条件下求出函数的导函数，根据函数的单调性与导数的关系，判断函数的极值；（2）先求出函数的导函数，其导函数中含有参数，所以要进行分类讨论，对分三种情况，，进行讨论，分别求出每种情况下的函数的单调增区间和单调减区间.试题解析：（1）函数的定义域是， 1分当时，，所以在上递减，在上递增，所以函数的极小值为，无极大值； 4分（2）定义域， 5分①当，即时，由，得的增区间为；由，得的减区间为； 7分②当，即时，由，得的增区间为和；由，得的减区间为； 9分③当，即时，由，得的增区间为和；由，得的减区间为； 11分综上，时，的增区间为，减区间为；时，的增区间为和，减区间为；时，的增区间为和，减区间为. 13分【考点】1、对数函数的定义域；2、含参数的分类讨论思想；3、函数的单调性与导数的关系；4、解不等式；5、求函数的极值.13.已知函数（，，且）的图象在处的切线与轴平行. （1）确定实数、的正、负号；（2）若函数在区间上有最大值为，求的值．【答案】（1），；（2）.【解析】（1）先求导数，因为切线与轴平行，所以导数为0，列出等式，判断出的符号；（2）求导数，令导数为0，解出方程的根，利用导数的正负判断出函数的单调性，通过分类讨论的方法找到最大值，让最大值等于，解出的值.试题解析：（1） 1分由图象在处的切线与轴平行，知，∴. 2分又，故，. 3分(2) 令,得或. 4分∵，令，得或令，得.于是在区间内为增函数，在内为减函数,在内为增函数.∴是的极大值点，是极小值点. 5分令，得或. 6分分类：①当时，，∴ .由解得， 8分②当时，, 9分∴.由得 . 10分记,∵, 11分∴在上是增函数，又，∴, 12分∴在上无实数根. 13分综上，的值为. 14分【考点】1.用导数求切线的斜率；2.用导数求函数最值.14.已知函数，当时取得极小值，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，解得，当；当；当，故在处取得最小值，即，则，所以，故选D.【考点】导数的极值点求法，导数的极值求解.15.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”。
高中数学讲义：利用导数解函数的最值
函数的最值一、基础知识：1、函数的最大值与最小值：（1）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D $Î，使得对x D "Î，均满足()()0f x f x £，那么称0x x =为函数()f x 的一个最大值点，()0f x 称为函数()f x 的最大值（2）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D $Î，使得对x D "Î，均满足()()0f x f x ³，那么称0x x =为函数()f x 的一个最小值点，()0f x 称为函数()f x 的最小值（3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值。
例如：()[)ln ,1,4f x x x =Î，由单调性可得()f x 有最小值()10f =，但由于x 取不到4，所以尽管函数值无限接近于ln 4,但就是达不到。
()f x 没有最大值。
（5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如()sin f x x =，其最大值点为()22x k k Z pp =+Î，有无穷多个。
2．“最值”与“极值”的区别和联系右图为一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x （1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3、结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点5、利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础7、在比较的过程中也可简化步骤：（1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点（2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点8、最值点的作用（1）关系到函数的值域（2）由最值可构造恒成立的不等式：例如：()ln 1f x x x =-+，可通过导数求出()()min 10f x f ==，由此可得到对于任意的0x >，均有()()min 0f x f x ³=，即不等式ln 1x x £-二、典型例题：例1：求函数()x f x xe -=的最值思路：首先判定定义域为R ,对函数进行求导，根据单调区间求出函数的最值解：()()'1x fx x e -=-，令()'0f x >,解得：1x <()f x \的单调区间为：x (),1-¥()1,+¥'()f x +-()f x Z ]()()max 11f x f e\==，无最小值小炼有话说：函数()xf x xe-=先增再减，其最大值即为它的极大值点，我们可以将这种先增再减，或者先减再增的函数成为“单峰函数”，在单峰函数中，极值点即为函数的某个最值点。
第22讲 利用导数研究函数的极值和最值(解析版)
第22讲利用导数研究函数的极值和最值【基础知识回顾】1、函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x ＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x ＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．2、函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．3、常用结论1．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．2．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．3．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．1、已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】由函数极值的定义和导函数的图象可知，f′(x)在(a，b)上与x轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x＝0不是函数f(x)的极值点.其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个.2、已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于()A.－4B.－2C.4D.2【答案】D【解析】由题意得f′(x)＝3x2－12，由f′(x)＝0得x＝±2，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x ∈(－2，2)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，所以a ＝2.3、.函数f (x )＝e xx 2－3在[2，＋∞)上的最小值为( )A.e 36B.e2C.e 34D.2e【答案】 A【解析】 依题意f ′(x )＝e x（x 2－3）2(x 2－2x －3) ＝e x（x 2－3）2(x －3)(x ＋1)，故函数在区间(2，3)上单调递减，在区间(3，＋∞)上单调递增，故函数在x ＝3处取得极小值也即是最小值，且最小值为f (3)＝e 332－3＝e 36.4、函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )A ．无极大值点、有四个极小值点B ．有三个极大值点、一个极小值点C ．有两个极大值点、两个极小值点D ．有四个极大值点、无极小值点 【答案】C【解析】 设f ′(x )的图象与x 轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x 1，x 2，x 3，x 4. 当x <x 1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0，f (x )为减函数， 则x ＝x 1为极大值点，同理，x ＝x 3为极大值点，x ＝x 2，x ＝x 4为极小值点，故选C. 5、设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点 【答案】D【解析】 因为f (x )＝2x ＋ln x ，所以f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x2，x >0.当x >2时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，所以x ＝2为f (x )的极小值点，故选D.考向一 利用导数研究函数的极值例1、已知函数()32331(R,0)f x ax x a a a=-+-∈≠，求函数()f x 的极大值与极小值．【解析】：由题设知a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3ax 2x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 令f ′(x )＝0得x ＝0或2a.当a >0时，随着x 的变化，f ′(x )与f (x )的变化情况如下：↗↗↗↗f (x )极大值＝f (0)＝1－3a，f (x )极小值＝2f a ⎛⎫⎪⎝⎭＝－4a 2－3a ＋1.当a <0时，随着x 的变化，f ′(x )与f (x )的变化情况如下：↗↗↗↗f (x )极大值＝f (0)＝1－3a，f (x )极小值＝f a ⎛⎫⎪⎝⎭＝－4a 2－3a ＋1. 综上，f (x )极大值＝f (0)＝1－3a，f (x )极小值＝2f a ⎛⎫⎪⎝⎭＝－4a 2－3a ＋1. 变式1、已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．【解析】(1)因为f (x )＝x －1＋ae x ，所以f ′(x )＝1－aex ，又因为曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，所以f ′(1)＝0， 即1－ae1＝0，所以a ＝e.(2)由(1)知f ′(x )＝1－ae x ，当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增， 因此f (x )无极大值与极小值； 当a >0时，令f ′(x )>0，则x >ln a ， 所以f (x )在(ln a ，＋∞)上单调递增， 令f ′(x )<0，则x <ln a ，所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减， 故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值， 且f (ln a )＝ln a ，但是无极大值，综上，当a ≤0时，f (x )无极大值与极小值；当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，但是无极大值．变式2、 (1)若函数f (x )＝(x 2－ax －1)e x 的极小值点是x ＝1，则f (x )的极大值为( ) A ．－e B ．－2e 2 C ．5e －2 D ．－2【答案】 C【解析】 由题意，函数f (x )＝(x 2－ax －1)e x ， 可得f ′(x )＝e x [x 2＋(2－a )x －1－a ]， 所以f ′(1)＝(2－2a )e ＝0， 解得a ＝1，故f (x )＝(x 2－x －1)e x ， 可得f ′(x )＝e x (x ＋2)(x －1)，则f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以f (x )的极大值为f (－2)＝5e －2.(2)函数f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)在⎣⎡⎦⎤12，3上有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫52，103 B.⎣⎡⎭⎫52，103 C.⎝⎛⎦⎤52，103 D.⎣⎡⎦⎤2，103 【答案】 B【解析】 ∵f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)，∴f ′(x )＝1x＋x －a ，∴y ＝f ′(x )在⎣⎡⎦⎤12，3上只有一个变号零点．令f ′(x )＝1x ＋x －a ＝0，得a ＝1x ＋x .设g (x )＝1x＋x ，则g (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，在[1,3]上单调递增， ∴g (x )min ＝g (1)＝2， 又g ⎝⎛⎭⎫12＝52，g (3)＝103， ∴当52≤a <103时，y ＝f ′(x )在⎣⎡⎦⎤12，3上只有一个变号零点． ∴实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫52，103.方法总结：(1)求函数()f x 极值的步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数()f x '；③解方程()0f x '=，求出函数定义域内的所有根；④列表检验在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负，那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正，那么()f x 在0x 处取极小值．(2)若函数()y f x =在区间内有极值，那么()y f x =在(),a b 内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．考向二 利用导数研究函数的最值例2、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数处有极小值，求函数在区间上的最大值．【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）当时，，， 所以，又，所以曲线在点处切线方程为，即.（2）因为，因为函数处有极小值，所以，()32112f x x x ax =-++2a =()y f x =()()0,0f ()1f x x =在()f x 32,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦210x y -+=49272a =321()212f x x x x =-++2()32f x x x '=-+(0)2f '=(0)1f =()y f x =()()0,0f 12y x -=210x y -+=2()3f x x x a '=-+()1f x x =在(1)202f a a '=+=⇒=-所以 由，得或， 当或时，， 当时，， 所以在，上是增函数，在上是减函数， 因为，， 所以的最大值为. 变式1、已知函数f (x )＝3－2xx 2＋a.(1)若a ＝0，求y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )在x ＝－1处取得极值，求f (x )的单调区间，以及最大值和最小值. 【解析】(1)当a ＝0时，f (x )＝3－2xx 2，则f ′(x )＝x 2·（－2）－（3－2x ）·2xx 4＝2x －6x 3. 当x ＝1时，f (1)＝1，f ′(1)＝－4， 故y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为 y －1＝－4(x －1)， 整理得4x ＋y －5＝0. (2)已知函数f (x )＝3－2xx 2＋a，则f ′(x )＝（x 2＋a ）·（－2）－（3－2x ）·2x（x 2＋a ）2＝2（x 2－3x －a ）（x 2＋a ）2.若函数f (x )在x ＝－1处取得极值， 则f ′(－1)＝0，即2（4－a ）（a ＋1）2＝0，解得a ＝4.经检验，当a ＝4时，x ＝－1为函数f (x )的极大值，符合题意.2()32f x x x '=--()0f x '=23x =-1x =23x <-1x >()0f x '>213x -<<()0f x '<()f x 22,3⎛⎫--⎪⎝⎭31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭249327f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 249327f ⎛⎫-=⎪⎝⎭此时f (x )＝3－2x x 2＋4，其定义域为R ，f ′(x )＝2（x －4）（x ＋1）（x 2＋4）2，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝4. f (x )，f ′(x )随x 的变化趋势如下表：故函数f (x )极大值为f (－1)＝1，极小值为f (4)＝－14.又因为x <32时，f (x )>0；x >32时，f (x )<0，所以函数f (x )的最大值为f (－1)＝1， 最小值为f (4)＝－14.变式2、 已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数. (1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在区间(0，e]上的最大值为－3，求a 的值. 【解析】 (1)易知f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x ， f ′(x )＝－1＋1x ＝1－xx ，令f ′(x )＝0，得x ＝1. 当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0； 当x ＞1时，f ′(x )＜0.∴f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减. ∴f (x )max ＝f (1)＝－1.∴当a ＝－1时，函数f (x )在(0，＋∞)上的最大值为－1. (2)f ′(x )＝a ＋1x ，x ∈(0，e]，1x∈⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞. ①若a ≥－1e ，则f ′(x )≥0，从而f (x )在(0，e]上单调递增，∴f (x )max ＝f (e)＝a e ＋1≥0，不符合题意.②若a ＜－1e ，令f ′(x )＞0得a ＋1x ＞0，结合x ∈(0，e]，解得0＜x ＜－1a ；令f ′(x )＜0得a ＋1x ＜0，结合x ∈(0，e]，解得－1a＜x ≤e.从而f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上单调递增， 在⎝⎛⎦⎤－1a ，e 上单调递减， ∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1＋ln ⎝⎛⎭⎫－1a . 令－1＋ln ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－3，得ln ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－2， 即a ＝－e 2.∵－e 2＜－1e ，∴a ＝－e 2为所求.故实数a 的值为－e 2.方法总结：1.利用导数求函数f(x)在[a ，b]上的最值的一般步骤： (1)求函数在(a ，b)内的极值.(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b).(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.考向三 极值（最值）的综合性问题例3、已知函数()323(,)f x ax bx x a b R =+-∈在1x =-处取得极大值为2. (1) 求函数()f x 的解析式；(2) 若对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x 都有()()12f x f x c -≤，求实数c 的最小值． 【解析】 ：(1)f′(x)＝3ax 2＋2bx －3.由题意得()12(1)0f f ⎧-=⎪⎨'-=⎪⎩，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＋3＝23a －2b －3＝0)， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝0)，经检验成立，所以f(x)＝x 3－3x.(2) 令f′(x)＝0，即3x 2－3＝0.得x ＝±1. 列表如下：因为max min 间[－2,2]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤|f(x)max －f(x)min |＝4，所以c≥4.所以c 的最小值为4.变式1、设函数f (x )＝x cos x 的一个极值点为m ，则tan ⎝⎛⎭⎫m ＋π4等于( ) A.m －1m ＋1 B.m ＋1m －1 C.1－m m ＋1 D.m ＋11－m【答案】 B 【解析】由f ′(x )＝cos x －x sin x ＝0， 得tan x ＝1x ，所以tan m ＝1m，故tan ⎝⎛⎭⎫m ＋π4＝1＋tan m 1－tan m ＝m ＋1m －1. 变式2、已知a ，b ∈R ，若x ＝a 不是函数f (x )＝(x －a )2(x －b )·(e x －1－1)的极小值点，则下列选项符合的是( ) A ．1≤b <a B ．b <a ≤1 C ．a <1≤b D ．a <b ≤1【答案】 B 【解析】令f (x )＝(x －a )2(x －b )(e x －1－1)＝0， 得x 1＝a ，x 2＝b ，x 3＝1.下面利用数轴标根法画出f (x )的草图，借助图象对选项A ，B ，C ，D 逐一分析． 对选项A ，若1≤b <a ，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意； 对选项B ，若b <a ≤1，由图可知x ＝a 不是f (x )的极小值点，符合题意； 对选项C ，若a <1≤b ，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意； 对选项D ，若a <b ≤1，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意．方法总结： 1. 当面对不等式恒成立(有解)问题时，往往是转化成函数利用导数求最值；2. 当面对多次求导时，一定要清楚每次求导的目的是什么．1、若2x =-是函数21()(1)ex f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为A ．1-B ．32e -- C ．35e - D ．1【答案】A【解析】由题可得12121()(2)e (1)e [(2)1]e x x x f x x a x ax x a x a ---'=+++-=+++-，因为(2)0f '-=，所以1a =-，21()(1)e x f x x x -=--，故21()(2)ex f x x x -'=+-，令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在(,2),(1,)-∞-+∞上单调递增，在(2,1)-上单调递减， 所以()f x 的极小值为11()(111)e 11f -=--=-.故选A ．2、已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________． 【答案】−3√32【解析】f′(x)=2cosx +2cos2x =4cos 2x +2cosx −2=4(cosx +1)(cosx −12)，所以当cosx <12时函数单调递减，当cosx >12时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为()5ππ2π,2π33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ， 函数的递增区间为()ππ2π,2π33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ， 所以当π2π,3x k k =-∈Z 时，函数f (x )取得最小值， 此时sinx =−√32,sin2x =−√32， 所以f (x )min =2×(−√32)−√32=−3√32， 故答案是−3√32. 3、（2021·广东高三月考）已知函数()322f x x ax b =-+，若()f x 区间[]0,1的最小值为1-且最大值为1，则a 的值可以是（ ）A ．0B ．4C ．D ．【答案】AB【解析】()26263a f x x ax x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭，令()603a f x x x '⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解得0x =或3a .①当0a ≤时，可知()f x 在[]0,1上单调递增，所以()f x 在区间[]0,1的最小值为()0f b =，最大值为()12f a b =-+. 此时a ，b 满足题设条件当且仅当1x =-，21a b -+=， 即0a =，1b =-.故A 正确.②当3a ≥时，可知()f x 在[]0,1上单调递减，所以()f x 在区间[]0,1的最大值为()0f b =，最小值为()12f a b =-+.此时a ，b 满足题设条件当且仅当21a b -+=-，1b =，即4a =，1b =.故B 正确.③当0<<3a 时，可知()f x 在[]0,1的最小值为3327a a f b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 最大值为b 或2a b -+或3127a b -+=-，1b =，则a =，与0<<3a 矛盾. 若3127a b -+=-，21a b -+=，则a =a =-0a =，与0<<3a 矛盾.故C ､D 错误.故选：AB4、（2021·广东宝安·高三月考）（多选题）已知函数()e e x x f x -=-，()e e x x g x -=+，则以下结论错误的是（ ）A ．任意的1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<- B ．任意的1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有()()12120g x g x x x -<- C ．()f x 有最小值，无最大值D ．()g x 有最小值，无最大值【答案】ABC【解析】对A, ()e e x x f x -=-中e x y =为增函数,e x y -=为减函数.故()e e x x f x -=-为增函数.故任意的1x ,2x ∈R 且12x x ≠,都有()()12120f x f x x x ->-.故A 错误.对B,易得反例11(1)e e g -=+,11(1)(1)e e g g --=+=.故()()12120g x g x x x -<-不成立.故B 错误. 对C, 当因为()e e x x f x -=-为增函数,且当x →-∞时()f x →-∞,当x →+∞时()f x →+∞.故()f x 无最小值,无最大值.故C 错误.对D, ()e e 2x x g x -=+≥=,当且仅当e e =x x -即0x =时等号成立. 当x →+∞时()g x →+∞.故()g x 有最小值,无最大值.故选：ABC5、（2020全国Ⅰ理21）已知函数()2e xf x ax x =+-． （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()3112f x x ≥+，求a 的取值范围．【解析】(1)当1a =时，()2x x x e f x =+-，()'21x f x e x =+-，由于()''20x f x e =+>，故()'f x 单调递增，注意到()'00f =，故：当(),0x ∈-∞时，()()'0,f x f x <单调递减；当()0,x ∈+∞时，()()'0,f x f x >单调递增．(2)由()3112f x x ≥+得，23112x e ax x x +-+，其中0x ≥， ①．当x=0时，不等式为：11≥，显然成立，符合题意；②．当0x >时，分离参数a 得，32112x e x x a x ----， 记()32112xe x x g x x ---=-，()()231212'x x e x x g x x ⎛⎫---- ⎪⎝⎭=-， 令()()21102x e x x h x x ---≥=，则()'1x h x e x =--，()''10x h x e =-≥， 故()'h x 单调递增，()()''00h x h ≥=，故函数()h x 单调递增，()()00h x h ≥=，由()0h x ≥可得：21102x e x x ---恒成立，故当()0,2x ∈时，()'0g x >，()g x 单调递增； 当()2,x ∈+∞时，()'0g x <，()g x 单调递减；因此，()()2max 724e g x g -⎡⎤==⎣⎦．综上可得，实数a 的取值范围是27,4e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． 6、（2020全国Ⅱ文21）已知函数()2ln 1f x x =+．（1）若()2f x x c ≤+，求c 的取值范围；（2）设0a >，讨论函数()()()f x f ag x x a -=-的单调性．【解析】（1）函数()f x 的定义域为：(0,)+∞，()2()202ln 120()f x x c f x x c x x c ≤+⇒--≤⇒+--≤*，设()2ln 12(0)h x x x c x =+-->，则有22(1)()2x h x x x -'=-=， 当1x >时，()0,()h x h x '<单调递减；当01x <<时，()0,()h x h x '>单调递增，∴当1x =时，函数()h x 有最大值，即max ()(1)2ln11211h x h c c ==+-⨯-=--，要想不等式()*在(0,)+∞上恒成立，只需max ()0101h x c c ≤⇒--≤⇒≥-．（2）2ln 1(2ln 1)2(ln ln )()(0x a x a g x x x a x a+---==>--且)x a ≠，因此22(ln ln )()()x a x x x a g x x x a --+'=-，设()2(ln ln )m x x a x x x a =--+，则有()2(ln ln )m x a x '=-，当x a >时，ln ln x a >，∴()0m x '<，()m x 单调递减，因此有()()0m x m a <=，即 ()0g x '<，∴()g x 单调递减；当0x a <<时，ln ln x a <，∴()0m x '>，()m x 单调递增，因此有()()0m x m a <=，即()0g x '<，∴()g x 单调递减，∴函数()g x 在区间(0,)a 和(,)a +∞上单调递减，没有递增区间．。
高二数学利用导数求最值和极值试题
高二数学利用导数求最值和极值试题1.函数在（0,1）内有最小值，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】首先对函数进行求导，即，然后根据函数在（0,1）内有最小值，讨论参数与0的大小关系，进而找到符合条件的的取值范围，即（1）若，此时，这表明在（0,1）上单调递增的，所以在处取得最小值，显然不可能；（2）若，令，解得，当时，为增函数，为减函数，所以在处取得最小值，也是最小值，故极小值点在（0,1）内，符合条件要求.综上所述，的取值范围为（0,1）.故答案应选B.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.2.已知函数.（1）若函数在区间上存在极值点，求实数a的取值范围；（2）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；【答案】（1）（2）【解析】（1）对函数求导，求出极值点，范围在内，得到不等式关系，解不等式即可；（2）要对恒成立问题转化,转化为求最值问题，令，求出在的最小值.试题解析：（1）当x>0时，，有；所以在（0，1）上单调递增，在上单调递减，函数在处取得唯一的极值．由题意，且，解得所求实数的取值范围为.（2）当时，令，由题意，在上恒成立令，则，当且仅当时取等号．所以在上单调递增，．因此，在上单调递增，．所以．【考点】导数运算，化归思想.3.设函数，则的极小值点为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，令得解得，又因为函数的定义域为，当时，，所以时为减函数；当时，，所以时为增函数；所以当时函数取得极小值；【考点】导数在求函数极值中的应用；4.已知函数.（1）求曲线在点（1，0）处的切线方程；（2）设函数，其中，求函数在上的最小值.(其中为自然对数的底数)【答案】（1）（2）当时，的最小值为0；当时，的最小值为；当时，的最小值为．【解析】利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程，注意这个点的切点.（2）解决类似的问题时，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.（3）分类讨论是学生在学习过程中的难点，要找好临界条件进行讨论.试题解析：（1）由，得切线的斜率为．又切线过点，所以直线的方程为 4分（2），则令，得；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增①当，即时，在上单调递增，所以在上的最小值为②当，即时，在上单调递减，在上单调递增．在上的最小值为③当，即时，在上单调递减，所以在上的最小值为．综上：当时，的最小值为0；当时，的最小值为；当时，的最小值为． 12分【考点】（1）利用导数求切线方程；（2）利用导数求函数的最值.5.已知函数在与处都取得极值．（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间[-2，2]的最大值与最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知函数在与处都取得极值，得到，求出得到：关于a,b的两个方程，联立解方程组可得到a,b的值，从而可写出函数的解析式；（2）由（１）已求出的解析式，要求函数在区间[-2，2]的最大值与最小值，只需先求出函数在区间[-2，2]的极大值与极小值，再求出两个端点的函数值，然后比较这四个数值的大小，得其中的最大者就是该函数的最大值，最小者就是该函数的最小值．试题解析：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx，f¢（x）＝3x2＋2ax＋b 1分由f¢（）＝，f¢（1）＝3＋2a＋b＝0 3分得a＝，b＝－2 5分经检验，a＝，b＝－2符合题意所以，所求的函数解析式为： 6分（2）由（1）得f¢（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1）， 7分列表如下：（－2，－）－（－，1）9分11分所以当时， 12分【考点】１．函数导数；２．函数极值；３．函数最值．6.函数在[0，3]上的最大值和最小值分别是( ).A．5，－15B．5，－14C．5，－16D．5，15【答案】A【解析】，；令得；令得；函数在递减，在递增；又，.【考点】利用导数求闭区间上的最值.7.函数在[0，3]上的最大值和最小值分别是A．5，15B．5，－14C．5，－15D．5，－16【答案】C【解析】，；令得；令得；函数在递减，在递增；又，.【考点】利用导数求闭区间上的最值.8.函数．（1）求函数的极值；（2）设函数，对，都有，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】解题思路：（1）求导，令得，列表即可极值；（2）因为，都有，所以只需即可，即求的最值.规律总结：（1）利用导数求函数的极值的步骤：①求导；②解，得分界点；③列表求极值点及极值；（2）恒成立问题要转化为求函数的最值问题.注意点：因为，都有，所以只需即可.试题解析：（1）因为，所以，令，解得，或，则＋－＋故当时，有极大值，极大值为；当时，有极小值，极小值为．（2）因为，都有，所以只需即可．由（1）知：函数在区间上的最小值，又，则函数在区间上的最大值，由，即，解得，故实数m的取值范围是．【考点】1.函数的极值；2.不等式恒成立问题.9.若函数在[－1,1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的最小值是__________【答案】【解析】求导得=，当-1＜＜0时，，当时，＜0，所以该函数在（-1,0）上是增函数，在（0,1）是减函数，故当=0时，=，所以=3，所以当=-1时，y=，当=1时，=，所以该函数在[-1,1]上的最小值为.【考点】利用导数求函数在某个闭区间上的最值10.设函数在上的导函数为,在上的导函数为,若在上,恒成立,则称函数在上为“凸函数”．已知当时,在上是“凸函数”．则在上 ( )A．既有极大值,也有极小值B．既有极大值,也有最小值C．有极大值,没有极小值D．没有极大值,也没有极小值【答案】C【解析】由题设可知:在(-1,2)上恒成立,由于从而,所以有在(-1,2)上恒成立,故知，又因为，所以；从而，得；且当时，当时，所以在上在处取得极大值，没有极小值．【考点】新定义,函数的极值．11.若函数在（0，1）内有极小值，则 ( )A．＜1B．0＜＜1C．b＞0D．b＜【答案】B【解析】由得：，若函数在（0，1）内有极小值，则必在区间内有解，即关于的方程区间内有解，所以有，故选B.【考点】导数与函数的极值.12.若函数在[－1,1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的最小值是__________【答案】【解析】由函数得，令0得x=0或x=1，<0得，>0得x>1或x<0，所以函数在（0,1）上是减函数，在上是增函数，故最大值为f(0)=a=3,f(1)=,f(-1)=,故最小值为,【考点】导数与函数的极值.13.已知函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是。
利用导数求解函数的单调性与最值问题
利用导数求解函数的单调性与最值问题在微积分学中，导数是一个重要的概念，它被应用于许多实际问题的解决中。
本文将重点讨论如何利用导数来求解函数的单调性及最值问题。
1. 导数的定义导数描述了函数f(x)在某一点x处的变化率。
它的定义为：f'(x) = lim Δx→0 [f(x+Δx) - f(x)]/Δx其中Δx表示x的增量，f(x+Δx)-f(x)表示y的增量，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
2. 求解单调性问题当函数f(x)单调递增时，其导数f'(x)>0；当函数f(x)单调递减时，其导数f'(x)<0。
因此，我们可以利用导数的正负性来判断函数的单调性。
例如，对于函数f(x)=x^2，在x>0时它单调递增，而在x<0时它单调递减。
我们可以通过求导得到它的导数：f'(x) = 2x当x>0时，f'(x)>0；当x<0时，f'(x)<0。
因此，函数f(x)=x^2在x>0时单调递增，在x<0时单调递减。
3. 求解最值问题函数f(x)在x处取得最大值或最小值，等价于在点x处的导数为0，或者在点x处的导数不存在。
因此，求解函数f(x)的最值问题，我们需要先求出它的导数f'(x)，然后令f'(x)=0求出x的值，即可得到函数f(x)的极值点。
最后，再对这些极值点进行比较，就可以确定函数f(x)的最大值和最小值。
例如，对于函数f(x)=x^3-3x+5，我们可以先求出它的导数：f'(x) = 3x^2-3令f'(x)=0，解得x=±1。
这两个点即为函数f(x)的极值点。
我们还需要判断它们是否是函数的最值点。
当x=1时，f''(x)=6>0，说明f(x)在x=1处取得极小值；当x=-1时，f''(x)=-6<0，说明f(x)在x=-1处取得极大值。
高二数学利用导数求最值和极值试题答案及解析
高二数学利用导数求最值和极值试题答案及解析1.函数在（0,1）内有最小值，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】首先对函数进行求导，即，然后根据函数在（0,1）内有最小值，讨论参数与0的大小关系，进而找到符合条件的的取值范围，即（1）若，此时，这表明在（0,1）上单调递增的，所以在处取得最小值，显然不可能；（2）若，令，解得，当时，为增函数，为减函数，所以在处取得最小值，也是最小值，故极小值点在（0,1）内，符合条件要求.综上所述，的取值范围为（0,1）.故答案应选B.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.2.已知函数.（1）若函数在区间上存在极值点，求实数a的取值范围；（2）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；【答案】（1）（2）【解析】（1）对函数求导，求出极值点，范围在内，得到不等式关系，解不等式即可；（2）要对恒成立问题转化,转化为求最值问题，令，求出在的最小值.试题解析：（1）当x>0时，，有；所以在（0，1）上单调递增，在上单调递减，函数在处取得唯一的极值．由题意，且，解得所求实数的取值范围为.（2）当时，令，由题意，在上恒成立令，则，当且仅当时取等号．所以在上单调递增，．因此，在上单调递增，．所以．【考点】导数运算，化归思想.3.设函数，则的极小值点为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，令得解得，又因为函数的定义域为，当时，，所以时为减函数；当时，，所以时为增函数；所以当时函数取得极小值；【考点】导数在求函数极值中的应用；4.已知函数.（1）求曲线在点（1，0）处的切线方程；（2）设函数，其中，求函数在上的最小值.(其中为自然对数的底数)【答案】（1）（2）当时，的最小值为0；当时，的最小值为；当时，的最小值为．【解析】利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程，注意这个点的切点.（2）解决类似的问题时，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.（3）分类讨论是学生在学习过程中的难点，要找好临界条件进行讨论.试题解析：（1）由，得切线的斜率为．又切线过点，所以直线的方程为 4分（2），则令，得；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增①当，即时，在上单调递增，所以在上的最小值为②当，即时，在上单调递减，在上单调递增．在上的最小值为③当，即时，在上单调递减，所以在上的最小值为．综上：当时，的最小值为0；当时，的最小值为；当时，的最小值为． 12分【考点】（1）利用导数求切线方程；（2）利用导数求函数的最值.5.已知是实数，函数.（1）若，求的值及曲线在点处的切线方程.（2）求在上的最大值.【答案】（1），；（2）．【解析】解题思路：（1）先求导，进而求得值，利用导数的几何意义求切线方程；（2）求导，讨论的根与区间的关系，进而求得极值.规律总结：导数的几何意义求切线方程：；利用导数研究函数的单调性、极值、最值及与函数有关的综合题，都体现了导数的重要性；此类问题往往从求导入手，思路清晰；但综合性较强，需学生有较高的逻辑思维和运算能力.试题解析：（1），因为又当时所以曲线在处的切线方程为（2）令，解得，当即时，在上单调递增，从而.当即时，在上单调递减，从而当即时，在上单调递减，在单调递增，从而综上所述.【考点】1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的最值.6.设函数f(x)＝＋ln x，则()A．x＝为f(x)的极大值点B．x＝为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点【答案】D【解析】因为，所以当时，，当x>2时，，故知x＝2为f(x)的极小值点．故选Ｄ．【考点】函数的极值．7.已知函数在与处都取得极值．（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间[-2，2]的最大值与最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知函数在与处都取得极值，得到，求出得到：关于a,b的两个方程，联立解方程组可得到a,b的值，从而可写出函数的解析式；（2）由（１）已求出的解析式，要求函数在区间[-2，2]的最大值与最小值，只需先求出函数在区间[-2，2]的极大值与极小值，再求出两个端点的函数值，然后比较这四个数值的大小，得其中的最大者就是该函数的最大值，最小者就是该函数的最小值．试题解析：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx，f¢（x）＝3x2＋2ax＋b 1分由f¢（）＝，f¢（1）＝3＋2a＋b＝0 3分得a＝，b＝－2 5分经检验，a＝，b＝－2符合题意所以，所求的函数解析式为： 6分（2）由（1）得f¢（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1）， 7分列表如下：（－2，－）－（－，1）9分11分所以当时， 12分【考点】１．函数导数；２．函数极值；３．函数最值．8.已知函数在处取得极值为（1）求的值；（2）若有极大值28，求在上的最小值．【答案】（1）（2）在上的最小值为【解析】（1）由，又知在处取得极值，，即可解得的值.（2）由（1）可得，即可求得函数在处有极大值，再由，可得，，再利用单调性易判断在上的最小值为.试题解析：（1）∵，∴又∵在处取得极值，∴且，即且，解得：.（2）由（1）得：，，令，解得：，极大值极小值∴函数在处有极大值，且，∴，此时，，在上的最小值为.【考点】利用函数极值求参数；利用导数求函数最值.9.定义在R上的函数，若对任意，都有，则称f(x)为“H函数”，给出下列函数：①；②；③；④其中是“H函数”的个数为( ).A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】，；令得；令得；函数在递减，在递增；又，.【考点】利用导数求闭区间上的最值.10.函数在[0，3]上的最大值和最小值分别是A．5，15B．5，－14C．5，－15D．5，－16【答案】C【解析】，；令得；令得；函数在递减，在递增；又，.【考点】利用导数求闭区间上的最值.11.函数．（1）求函数的极值；（2）设函数，对，都有，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】解题思路：（1）求导，令得，列表即可极值；（2）因为，都有，所以只需即可，即求的最值.规律总结：（1）利用导数求函数的极值的步骤：①求导；②解，得分界点；③列表求极值点及极值；（2）恒成立问题要转化为求函数的最值问题.注意点：因为，都有，所以只需即可.试题解析：（1）因为，所以，令，解得，或，则x－22＋－＋故当时，有极大值，极大值为；当时，有极小值，极小值为．（2）因为，都有，所以只需即可．由（1）知：函数在区间上的最小值，又，则函数在区间上的最大值，由，即，解得，故实数m的取值范围是．【考点】1.函数的极值；2.不等式恒成立问题.12.已知既有极大值又有极小值，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得:在R上有两个不相等的实根,所以解得:,故选D．【考点】函数的极值．13.已知函数，存在，，则的最大值为。
利用导数求函数的极值(最值)的几个特例
Ｂｆ （。不存在 ． ）
垒 二
一
二ｏ ： 一 ） ２ …（ 一０ ） （ １（ 一 ） ５ ） △
一
、
一
，、
厶
，
、‘ Ｊ 一 一 ｕ
． ，・
ｃ 。 ０ 。 ． （ ） 或厂（ ） 在 ｆ ＝ 不存
答 案 ： Ｃ
Ｄ 。 ．（ ） ｆ 存在但可能不为０
＜ 即０ ０， ＜ ４
一
≤２ｊ ＂ ≤一— ｇ 一 ￣ ２ １
—
＜ ０
＋一 一
１
＋ ——
１
十 — —
ｌ
观 察 函数 在 各段 上 导数 的符 号 ．从 而 准确 判 断 各 段 上 函数 的 单
调 性 ． 定 函数 的极 值 和 最值 ． 确
当 ０ ，＝ ， ２ ， ， ＝ 时 ｙ Ｏ 即一 ≤） ≤２ 函数有最大值２ 最小值 一 ． ， ２
特例２ 设 函数 厂 ＝ 一 ） １下列结论正确的是（ （ （ １ｚ ， ） ＋ Ａｘ ｌ 函数 的极小值点 ，＝ 是极大值点 ． 是 ＝ ｘ０
Ｂ ＝ 及 ０ 是 函数 的 极 大 值 点 ． １ ＝均 Ｃｘ ｌ ＝ 均 是 函数 的 极 小 值 点 ．＝ 及ｘ ０ Ｄ １ 函数 的极 小 值 点 ， ． 是 ＝ 函数 无 极 大 值 点
答案 ： Ｄ
） ．
数 的公 式 求 解 即 可．
特 例４ 函 数ｙ ＝
（
） ．
Ａ 有最大值２ 无最小值 ． ，
Ｂ无最大值 ， ． 有最小值一 ２
ｃ最大值２ 最小值一 ． ， ２
答 案 ： Ｃ
Ｄ无最值 ．
解析： ）６ｘ １Ｘ ０解得 ＝ ， ＝． 令厂（ ＝（３ ） ＝ ， － ２ ． ｘ１ ０ ２ 列出表格如下
专题19 利用导数求函数的最值(解析版)
专题19 利用导数求函数的最值一、单选题 1．若函数y ＝x 3＋32x 2＋m 在[-2，1]上的最大值为92，则m 等于（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．52【答案】C 【分析】利用导数研究函数的单调性，找出最值，解方程即可得到答案. 【详解】'2333(1)y x x x x =+=+，易知，当10x -<<时，'0y <，当21x -<<-或01x <<时，'0y >，所以函数y ＝x 3＋32x 2＋m 在(2,1)--，(0,1)上单调递增，在(1,0)-上单调递减，又当1x =-时， 12y m =+，当1x =时，52y m =+，所以最大值为5922m +=，解得2m =.故选：C2．已知函数2()f x x a =-+，2()x g x x e ，若对于任意的2[1,1]x ∈-，存在唯一的112[,]2x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（e ，4）B ．（e 14+，4] C ．（e 14+，4） D ．（14，4] 【答案】B 【分析】结合导数和二次函数的性质可求出()f x 和()g x 的值域，结合已知条件可得[0e 4[]a ⊆-,，1)4a -，从而可求出实数a 的取值范围. 【详解】解：g （x ）=x 2e x 的导函数为g ′（x ）=2xe x +x 2e x =x （x +2）e x ，当0x =时，()0g x '=， 由[)1,0x ∈-时，()0g x '<，(]0,1x ∈时，()0g x '>，可得g （x ）在[–1，0]上单调递减， 在（0，1]上单调递增，故g （x ）在[–1，1]上的最小值为g （0）=0，最大值为g （1）=e ， 所以对于任意的2[1,1]x ∈-，2()[0,e]g x ∈．因为2y x a =-+开口向下，对称轴为y 轴，又10202--<-，所以当0x =时，max ()f x a =，当2x =时，min ()4f x a =-， 则函数2()f x x a =-+在[12-，2]上的值域为[a –4，a ]，且函数f （x ）在11[,]22-，图象关于y 轴对称，在（12，2]上，函数()f x 单调递减．由题意，得[0e 4[]a ⊆-,，1)4a -，可得a –4≤0<e <14a -，解得e 14+<a ≤4．故选:B ． 【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了二次函数的性质，属于中档题.本题的难点是12()()f x g x =这一条件的转化.3．已知函数()3232f x x x =-+，对于任意[]12,1,1x x ∈-都有()()12f x f x m -≤，则实数m 的最小值为（ ） A ．0 B ．2C ．4D ．6【答案】C 【分析】由题可得，只需满足()()max min f x f x m -≤即可. 【详解】对于任意[]12,1,1x x ∈-都有()()12f x f x m -≤，即()()max min f x f x m -≤，()()23632f x x x x x '=-=-当()1,0x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；∴当0x =时，()()max 02f x f ==，()11322f -=--+=-，()11320f =-+=，()min 2f x ∴=-， ()()max min 4m f x f x ∴≥-=，即m 的最小值为4.故选：C. 【点睛】关键点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是将不等式化为()()max min f x f x m -≤，利用导数求最值即可.4．设函数()|ln |()f x x t x t R =++∈．当[1,e]x ∈时（e 为自然对数的底数），记()f x 的最大值为()g t ，则()g t 的最小值为（ ） A．1 B ．2eC ．eD ．【答案】C 【分析】由()ln ln ln ttx x tx e f x x t x x x tx e--++≥⎧=++=⎨--<⎩，分t e e -≥，1t e -≤，1t e e -<<三种情况分别讨论出函数()f x 在[1,]e 上的单调性，从而求出()f x 的最大值()g t ，再根据()g t 的解析式求()g t 的最小值.【详解】()ln ln ln ttx x tx e f x x t x x x tx e --++≥⎧=++=⎨--<⎩当t e e -≥，即1t ≤-时，在[1,e]x ∈时，()ln f x x x t =--，则()111x f x x x-'=-=此时，()10x f x x-'=≥在[1,e]x ∈上恒成立, 所以()f x 在[1,]e 上单调递增，则()()1g t f e e t ==--当1t e -≤，即0t ≥时，在[1,e]x ∈时，()ln f x x x t =++，则()1110x f x x x+'=+=> 所以()f x 在[1,]e 上单调递增，则()()1g t f e e t ==++当1t e e -<<，即10t -<<时，ln ()ln ln 1ttx x t e x e f x x t x x x t x e--++≤≤⎧=++=⎨--≤<⎩ 若t e x e -≤≤，则()ln f x x x t =++，()1110x f x x x +'=+=>，此时()f x 单调递增 1t x e-≤<，则()ln f x x x t =--，()1110x f x x x-'=-=≥，此时()f x 单调递增 又t x e -=时，两段在t x e -=处的函数值相等，所以()f x 在[1,]e 上单调递增 所以()()1g t f e e t ==++综上所述可得：11()11e t t g t e t t ++>-⎧=⎨--≤-⎩由一次函数的单调性可得当1t =-时，()g t 有最小值e 故选：C 【点睛】关键点睛：本题考查求含绝对值的函数的最值问题，解答本题的关键是打开绝对值得到ln ()ln ln ttx x tx e f x x t x x x tx e--++≥⎧=++⎨--<⎩，然后由t e e -≥时，()[]()ln 1,f x x x t x e =--∈，当1t e -≤时， ()ln f x x x t =++[]()1,x e ∈，t e x e -≤≤时，ln ()ln 1ttx x t e x e f x x x t x e --++≤≤⎧=⎨--≤<⎩，再由单调性得出最大值，属于中档题.5．函数2cos y x x =+在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（ ）A ．13π+ B ．4π+C ．6π+D ．2π 【答案】C 【分析】利用导数分析函数2cos y x x =+在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，进而可求得函数2cos y x x =+在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值. 【详解】对于函数2cos y x x =+，12sin y x '=-. 当06x π<<时，12sin 0y x '=->；当62x ππ<<时，12sin 0y x '=-<.所以，函数2cos y x x =+在区间0,6π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在区间,62ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减.所以，max 2cos666y πππ=+=故选：C. 【点睛】利用导数求解函数在区间上的最值时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数()y f x =在[],a b 内所有使()0f x '=的点，再计算函数()y f x =在区间内所有使()0f x '=的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．6．已知函数()31x f x e x =--(e 为自然对数的底数)，则以下结论正确的为（ ） A ．函数()y f x =仅有一个零点，且在区间(,)-∞+∞上单调递增；B ．函数()y f x =仅有一个零点，且在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞递增；C ．函数()y f x =有二个零点，其中一个零点为0，另一个零点为负数；D ．函数()y f x =有二个零点，且当ln3x =时，()y f x =取得最小值为23ln3-. 【答案】D 【分析】利用导数研究函数的单调性，然后可得最值及零点． 【详解】()3x f x e '=-是增函数，∴ln3x <时，()0f x '<，()f x 递减，ln 3x >时，()0f x '>，()f x 递增，显然(0)0f =，∴(ln 3)23ln 30f =-<，又x →+∞时，()f x →+∞，∴()f x 在(ln3,)+∞上也有一个零点，因此共有两个零点． 故选：D ． 【点睛】关键点点睛：本题用导数研究函数的单调性，研究函数的零点与最值．解题方法是求出导函数，确定导函数的零点与正负，从而得原函数的单调性与极值，得最值，利用零点存在定理确定零点的存在性． 7．函数3()12f x x x =-在区间[]3,1-上的最小值是（ ） A ．16- B ．18- C ．11 D ．9-【答案】A 【分析】先对函数求导，根据导数的方法判定其在给定区间的单调性，即可得出结果. 【详解】因为3()12f x x x =-，所以2()123f x x '=-，由()0f x '>得22x -<<，由()0f x '<得2x >或2x <-； 又31x -≤≤，所以当32x -≤<-时，()0f x '<，函数3()12f x x x =-单调递减；当21x -≤≤时，()0f x '>，函数3()12f x x x =-单调递增；因此min ()(2)24816f x f =-=-+=-. 故选：A. 【点睛】 方法点睛：求函数()f x 在区间[],a b 上的最值的方法：（1）若函数在区间[],a b 上单调递增或递减，则()f a 与()f b 一个为最大值，另一个为最小值； （2）若函数在区间[],a b 内有极值，则要先求出函数在[],a b 上的极值，再与()f a ，()f b 比较，最大的为最大值，最小的为最小值；（3）函数()f x 在区间(),a b 上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大（或最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.8．某企业拟建造一个容器(不计厚度，长度单位：米)，该容器的底部为圆柱形，高为l ，底面半径为r ，上部为半径为r 的半球形，按照设计要求容器的体积为283π立方米.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3万元，半球形部分每平方米建造费用为4万元，则该容器的建造费用最小时，半径r 的值为（ ） A ．1 BCD ．2【答案】C 【分析】根据体积公式用r 表示出l ，得出费用关于r 的函数，利用导数求出函数的极小值点即可. 【详解】解：由题意知2323142282333V r l r r l r πππππ=+⨯=+=， 故33322222282282282333333V r r r l r r r r r πππππ---===-=， 由0l >可知r <.∴ 建造费用()3222221282562344611723r y rl r r r r r r rπππππππ-=+⨯+⨯⨯=⨯+=+，(0r <<，则()3221445614r y r r rπππ-'=-=.当(r ∈时，0y '<，r ∈时，0y '>.当r =.故选：C . 【点睛】本题考查数学建模能力，利用导数求解最值问题，考查运算能力，是中档题. 9．下列关于函数2()(3)x f x x e =-的结论中，正确结论的个数是（ ） ∴()0f x >的解集是{|x x <<；∴(3)f -是极大值，(1)f 是极小值； ∴()f x 没有最大值，也没有最小值； ∴()f x 有最大值，没有最小值； ∴()f x 有最小值，没有最大值. A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】直接不等式()0f x >可判断∴∴对函数求导，求函数的极值，可判断∴∴利用导数求函数的最值可判断∴∴∴ 【详解】解：由()0f x >，得230x ->，即230x -<，解得x <()0f x >的解集是{|x x <<，所以∴正确；由2()(3)xf x x e =-，得'2()(23)xf x x x e =--+，令'()0f x =，则2x 2x 30--+=，解得3x =-或1x =，当3x <-或1x >时，'()0f x <，当31x -<<时，'()0f x >，所以(3)f -是极小值，(1)f 是极大值，所以∴错误；因为(3)f -是极小值，且当3x <-时，()0f x <恒成立，而(1)f 是极大值，所以()f x 有最大值，没有最小值，所以∴正确，∴∴错误， 故选：B【点睛】此题考查导数的应用，考查函数极值和最值的求法，考查一元二次不等式的解法，属于基础题 10．函数()2sin sin 2f x x x =+的最小值是（ ）A ．3-B ．2-C ．D ． 【答案】C 【分析】对函数求导分析单调性即可求出函数的最值． 【详解】解：因为()2sin sin 2f x x x =+，2()2cos 2cos22cos 2(2cos 1)f x x x x x ∴'=+=+- 22(2cos cos 1)2(2cos 1)(cos 1)x x x x =+-=-+，cos 10x +，∴当1cos 2x <时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当1cos 2x >时，()0f x '>，()f x 单调递增， ∴当1cos 2x =时，()f x 有最小值，又()2sin sin 22sin (1cos )f x x x x x =+=+，∴当sin x =时，()f x 有最小值，且1()2((1)2min f x =⨯⨯+= 故选：C 【点睛】本题解答的关键是利用导数研究函数的单调性，从而求出函数的最值；二、多选题11．在单位圆O ：221x y +=上任取一点()P x y ，，圆O 与x 轴正向的交点是A ，将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角记为θ，若x ，y 关于θ的表达式分别为()x fθ=，()y g θ=，则下列说法正确的是（ ）A ．()x f θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数；B ．()x f θ=在()0，π上为减函数，()y g θ=在()0，π上为增函数；C ．()()1fg θθ+≥在02πθ⎛⎤∈⎥⎝⎦，上恒成立；D ．函数()()22t f g θθ=+.【答案】ACD 【分析】依据三角函数的基本概念可知cos x θ=，sin y θ=，根据三角函数的奇偶性和单调性可判断A 、B ；根据辅助角公式知()()4f g πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数求值域可判断C ；对于D ，2cos sin2t θθ=+，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可得当1sin 2θ=，cos 2θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解． 【详解】由题意，根据三角函数的定义可知，x cos θ=，y sin θ=， 对于A ，函数()cos fθθ=是偶函数，()sin g θθ=是奇函数，故A 正确；对于B ，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数()cos fθθ=在()0,π上为减函数，函数()sin g θθ=在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故B 错误； 对于C ，当0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，时，3,444πππθ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦()()cos sin 4f g πθθθθθ⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，函数()()222cos sin2t fg θθθθ=+=+，求导22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+，令0t '>，则11sin 2θ-<<；令0t '<，则1sin 12θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当6πθ=即1sin 2θ=，cos 2θ=时，函数取得极大值1222t =+⨯=又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=，所以函数()()22t f g θθ=+取得最大值2，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+，再利用三角函数性质求值域； （2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.12．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x R x =∈，()()10g x x x=<，()2eln h x x =（e 为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ） A ．()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线，且b 的最小值为4 C ．()f x 和()g x 间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是(]4,1-D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”e y =- 【答案】AD 【分析】求出()()()m x f x g x =-的导数，检验在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内的导数符号，即可判断选项A ；选项B 、C 可设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，又1kx b x≤+对一切0x <都成立，20∆≤，0k ≤，0b ≤，根据不等式的性质，求出k 、b 的范围，即可判断选项B 、C ；存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线的方程为(y e k x -=-，构造函数求出函数的导数，根据导数求出函数的最值.【详解】对于选项A ：()()()21m x f x g x x x =-=-，()212m x x x'=+，当x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2120m x x x '=+>， 所以函数()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增；故选项A 正确 对于选项BC ：设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，则2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，即240k b +≤，又1kx b x≤+对一切0x <都成立，则210kx bx +-≤，即 20∆≤，240b k +≤，0k ≤，0b ≤，即有24k b ≤-且24b k ≤-，421664k b k ≤≤-，可得40k -≤≤，同理可得：40b -≤≤，故选项B 不正确，故选项C 不正确； 对于选项D ：函数()f x 和()h x的图象在x =()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k ，则隔离直线的方程为(y e k x -=，即y kx e =-，由()f x kx e ≥-，可得20x kx e -+≥对于x ∈R 恒成立，则0∆≤，只有k =y e =-，下面证明()h x e ≤-，令()2n ()l G x e h x e x e =--=--，()x G x x'=，当x =()0'=G x ，当0x <<时，()0'<G x ，当x >()0G x '>，则当x =()G x 取到极小值，极小值是0，也是最小值.所以()()0G x e h x =--≥，则()h x e ≤-当0x >时恒成立.所以()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”e y =-，故选项D 正确. 故选：AD【点睛】本提以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的导数，利用导数求最值，属于难题. 三、解答题13．已知函数()()21ln ,2f x ax x x b a b R =-⋅+∈，()()g x f x '=. （1）判断函数()y g x =的单调性；（2）若(]()0, 2.718x e e ∈≈，判断是否存在实数a ，使函数()g x 的最小值为2？若存在求出a 的值；若不存在，请说明理由；【答案】（1）答案见解析；（2）存在，2a e =. 【分析】（1）先求()()g x f x '=，再对()y g x =求导，对参数a 进行讨论确定导数的正负，即得函数单调性； （2）对参数a 进行讨论确定()y g x =导数的正负，即得函数()y g x =单调性，再根据单调性确定最值等于2，解得符合条件的参数值即得结果； 【详解】 （1）由()21ln 2f x ax x x b =-⋅+，知()()ln 1g x f x ax x '==--，0x >，故 ()11ax g x a x x-'=-=. 当0a ≤时，()0g x '<，即()g x 在()0,∞+为减函数， 当0a >时，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0g x '<，所以()g x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上()0g x '>，所以()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭增函数. （2）当0a ≤时，()g x 在(]0,e 为减函数，所以()()min 11g x g e ea ==-≤-.故不存在最小值3. 当10a e <≤时，1e a≥，()g x 在(]0,e 为减函数，所以 ()()min1ln 2g x g e ea e ==--=，所以4a e=，不合题意，舍去.当1a e >时，10e a <<，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0g x '<，函数()g x 单调递减；在1,e a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上()0g x '>，函数()g x 单调递增，由此()min 1111ln 2g x g a a ⎛⎫==--=⎪⎝⎭，所以ln 2a =.解得2a e =，故2a e =时，使函数()g x 的最小值为2. 【点睛】利用导数研究函数()f x 的单调性和最值的步骤：∴写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；∴在定义域内，讨论不等式何时()0f x '>和()0f x '<∴对应得到增区间和减区间及极值点，进而比较端点和极值点的值确定指定区间的最值即可. 14．已知函数32()2+1f x x ax bx =++在x =1处取得极值-6. （1）求实数a ，b 的值；（2）求函数f (x )在区间[]2,2-上的最大值和最小值.【答案】（1）3,12a b ==- ；（2）max min ()21,() 6.f x f x ==- 【分析】（1）求导()262f x x ax b =++'，根据函数()f x 在x =1处取得极值-6，由(1)6'(1)0f f =-⎧⎨=⎩求解.（2）由（1）知()()()26612612f x x x x x =+-=-+'，分别求得极值和端点的函数值求解.【详解】（1）由32()2+1f x x ax bx =++得：()262f x x ax b =++'.由题意知：()()1610f f ⎧=-='⎪⎨⎪⎩ 即926a b a b +=-⎧⎨+=-⎩解得：312a b =⎧⎨=-⎩经检验312a b =⎧⎨=-⎩符合题意.（2）由（1）知32()2+3121f x x x x =-+，()()()26612612f x x x x x =+-=-+'令()0f x '=得：2x =-或1x =，当x 变化时，()()f x f x '，的变化情况如下：由表可知：max min ()(2)21,()(1) 6.f x f f x f =-===- 【点睛】方法点睛：（1）导数法求函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得；（2）已知函数的最值求参数，一般先用参数表示最值，再列方程求解参数．15．已知函数()1x e f x x-=.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）在平面直角坐标系xOy 中，直线2y kx =+与曲线xy e =交于P ，Q 两点，设点P 的横坐标为()0a a <，OPQ △的面积为S .（i ）求证：12S a ae e S ae--=； （ii ）当S 取得最小值时，求k 的值.【答案】（1）()f x 的增区间为(),0-∞和()0,∞+；（2）（i ）证明见解析；（ii ）2. 【分析】（1）求导()()211x e x f x x-+'=，令()()11xg x e x =-+，再利用导数法研究其正负即可. （2）（i ）设(),aP a e，(),bQ b e (其中0a b <<)，则OPQ △的面积()122S b a b a =⨯-=-，即S b a =-∴由2ae ka =+，得到2a e k a -=，然后再由(),a P a e 及(),bQ b e ，利用斜率公式得到b a e e k b a-=-求解；（ii ）由（1）得到()()10S e f S S S -=>为增函数，则S 最小()f S ⇔最小()20a a e a ae -⇔<最小，令()()20a a e h a a ae-=<，再利用导数法求解. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，.()()211x e x f x x-+'=， 令()()11xg x ex =-+，则()x g x xe '=.因为()00g x x '>⇔>；()00g x x '<⇔<， 所以()g x 在(),0-∞上为减函数，在()0,∞+上为增函数. 当0x >时，()()00g x g >=，即()()20g x f x x ='>，当0x <时，()()00g x g >=，即()()20g x f x x ='>.所以当()(),00,x ∈-∞+∞时，()0f x '>，所以()f x 在区间(),0-∞和()0,∞+上都是增函数. 因此()f x 的增区间为(),0-∞和()0,∞+，没有减区间. （2）（i ）证明：(),aP a e，设(),bQ b e (其中0a b <<)，由题意，得OPQ △的面积()122S b a b a =⨯-=-，即S b a =-. 由2ae ka =+，得2a e k a-=，由(),aP a e 及(),bQ b e ，得b ae e k b a-=-，所以()11112S b a b a b a a a aa a e e e e e e e k Sb a b a e b a e e ae ------===⋅=⋅=---，故12S a ae e S ae--=成立. （ii ）由（1），得()()10S e f S S S-=>为增函数，于是S 最小()f S ⇔最小()20a a e a ae -⇔<最小. 令()()20a a e h a a ae -=<，则()222a aa e h a a e+-'=， 再令()()220aa a ea ϕ=+-<，则()()200aa e a ϕ'=-><， 所以当0a <时，()a ϕ单调递增.又()110e ϕ--=-<，121102e ϕ-⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭，所以存在唯一的011,2a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00a ϕ=，即00220a a e +-=. 当0a a <时，()0a ϕ<，即()()20aa h a a eϕ'=<；当00a a <<时，()0a ϕ>，即()()20aa h a a eϕ'=>，所以0a a =是()h a 的极小值点，也()h a 的最小值点，所以当0a a =时，()f S 取得最小值，等价于S 最小，此时00220a a e+-=，所以0022a e k a -==. 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，导数与函数的最值，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于较难题.16．已知函数()cos ln f x x x ax =⋅-.（1）当0a =时，求函数()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值； （2）若函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）max ()0f x =；（2）2,ln π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【分析】（1）对函数进行求导得cos ()sin ln x f x x x x '=-⋅+，易得()0f x '<在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即可得答案； （2）由题意得：()0f x '≥恒成立，即cos sin ln x a x x x ≤-⋅+在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立.构造函数 cos ()sin ln xh x x x x=-⋅+，利用导数求出函数的最小值即可； 【详解】（1）当0a =时，cos ()sin ln xf x x x x'=-⋅+显然()0f x '<在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，所以()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减， 所以max ()02f x f π⎛⎫==⎪⎝⎭； （2）因为cos ()sin ln xf x x x a x'=-⋅+-， 所以()0f x '≥恒成立，即cos sin ln x a x x x ≤-⋅+在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立. 令cos ()sin ln ,0,2x h x x x x x π⎛⎫=-⋅+∈ ⎪⎝⎭； 则212sin ()cos ln xh x x x x x'⎛⎫=-+-⎪⎝⎭当1,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，ln 0,cos 0,sin 0x x x >>>，所以()0h x '< 当(0,1)x ∈时，令21()ln ,(0,1)x x x x ϕ=+∈，因为233122()0x x x x xϕ'-=-=<，所以()ϕx 在(0,1)x ∈ 单调递减，所以()(1)10x ϕϕ>=>，所以(0,1)x ∈时，()0h x '<综上，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<恒成立，所以()h x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减， 所以2()ln 2h x h ππ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，所以2,ln a π⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】根据导数的正负研究函数的单调性；不等式恒成立问题，常用参变分离进行求解. 17．已知函数()()3exf x xx a =-+，a R ∈.（1）当2a =-时，求()f x 在[]1,2-上的最大值和最小值； （2）若()f x 在()1,+∞上单调，求a 的取值范围.【答案】（1）最大值为24e ，最小值为2e -；（2）[)2,-+∞. 【分析】（1）2a =-代入()f x ，对函数求导，利用导数正负确定单调性即可；（2）先利用极限思想进行估值x →+∞时()0f x '>，来确定()f x 在()1,+∞上单增，()0f x '≥，再对32310x x a x -++-≥分离参数，研究值得分布即得结果.【详解】 （1）()()3231xf x exx a x '=-++-当2a =-时，()()()()()3233311xx f x exx x e x x x '=+--=+-+∴()f x '在()3,1--和()1,+∞上为正，在(),3-∞-和()1,1-上为负， ∴()f x 在()3,1--和()1,+∞上单增，在(),3-∞-和()1,1-上单减， 有()21f e-=-，()224f e =，()12f e =-，故()f x 在[]1,2-上的最大值为24e ，最小值为2e -； （2）由()()3231xf x exx x a '=+-+-知，当x →+∞时，()0f x '>，若()f x 在()1,+∞上单调则只能是单增，∴()0f x '≥在()1,+∞恒成立，即32310x x a x -++-≥∴3231a x x x ≥--++，令()3231g x x x x =--++，1x >，则()23610g x x x '=--+<，∴()g x 在()1,+∞递减，()()12g x g <=-，∴[)2,a ∈-+∞. 【点睛】（1）利用导数研究函数()f x 的最值的步骤：∴写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；∴在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<得到单调性；∴利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可.（2）函数()f x 在区间I 上递增，则()0f x '≥恒成立；函数()f x 在区间I 上递减，则()0f x '≤恒成立.（3）解决恒成立问题的常用方法：∴数形结合法；∴分离参数法；∴构造函数法.18．已知直线:(0)l y kx b b =+>与抛物线2:4C y x =交于A 、B 两点，P 是抛物线C 上异于A 、B 的一点，若PAB △重心的纵坐标为13，且直线PA 、PB 的倾斜角互补．（∴）求k 的值．（∴）求PAB △面积的取值范围． 【答案】（∴）2；（∴）30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【分析】（∴）设()()()001122,,,,,P x y A x y B x y ，利用斜率公式得到直线PA 、PB 、AB 的斜率，根据直线PA 、PB 的倾斜角互补．得到01220y y y ++=，根据三角形的重心的坐标公式可得122y y +=，从而可得2k =； （∴）联立直线:2l y x b =+与抛物线方程，根据弦长公式求出||AB ，利用点到直线的距离公式求出AB 边上的高，根据面积公式求出面积，再利用导数求出取值范围即可. 【详解】（∴）设()()()001122,,,,,P x y A x y B x y ，则010*********444PA y y y y k y y x x y y --===-+-，同理可得021244,PB AB k k y y y y ==++， 因为直线PA 、PB 的倾斜角互补，所以0102440y y y y +=++，即01220y y y ++=，又PAB △重心的纵坐标为13，根据三角形的重心的坐标公式可得0121y y y ++=， 所以122y y +=，所以422AB k k ===．（∴）由（∴）知直线:2l y x b =+，与抛物线方程联立，并整理得2244(1)0x b x b +-+=， 其判别式22116(1)1602b b b ∆=-->⇒<，所以102b <<．而212111,4b x x b x x +=-=，因此，||AB ===又由（∴）知，01y =-，所以200144y x ==，所以1,14P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 1,14P ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线:20l x y b -+=的距离为1|21|b d ⨯++==所以113||222PABS AB d b ⎛⎫=⋅=+= ⎪⎝⎭△令231()(12),022f b b b b ⎛⎫⎛⎫=-+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()2333()2122(61)0222f b b b b b b ⎛⎫'⎛⎫⎛⎫=-++-⨯+=-++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭恒成立，故()f b 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以9()(0,)4f b ∈，故30,4PAB S⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 【点睛】结论点睛：本题中用到的结论：∴三角形的重心的坐标公式，若三角形的三个顶点的坐标为112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则三角形的重心的坐标为123123,33x x x y y y ++++⎛⎫⎪⎝⎭，∴弦长公式：||AB =. 19．某市作为新兴的“网红城市”，有很多风靡网络的“网红景点”，每年都有大量的游客来参观旅游。
利用导数求最值
利用导数求最值利用导数求最值导数是研究数学和其他自然科学的基础，是研究客观事物变化率和优化问题的有利工具，研究导数，有利于对数学的本质和价值的认识。
导数的工具性已渗透到数学的很多分支，在函数的研究中得到充分的体现，主要涉及到研究曲线的切线问题、函数的单调性、函数的极值、最值等。
下面就利用导数求最值作一阐述，供参考。
一、函数的最大值与最小值在闭区间[b a ,]上连续，在（b a ,）内可导，)(x f 在[b a ,]上求最大值与最小值的步骤：先求)(x f 在（b a ,）内的极值；再将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
求可导函数极值的步骤： 首先：求导数)('x f ；再求导数)('x f=0的根；最后：检查)('x f在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么)(x f 在这个根处取极大值；如果左负右正，那么)(x f 在这个根处取极小值。
二、利用导数求最值例1、设0>x ，求32)1(32)1(211ln -+--+x x x x 的最小值。
解：设32)1(32)1(211ln )(-+--+=x x x x x f ，则2222)1(2)1()1(1)1(2)1(11)(-+---=-+---='x x x xx x x x x f⎪⎭⎫⎝⎛+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=2222212)1()1(21)1()1(211)1(x x x x x x x x x x.12)1(23xx x +-=令0)(='x f ，由0>x ，解得1=x 。
列表：由表可知，当1=x 时，)(x f 有最小值1。
评注：利用导数求最值，先确定函数的极值是关键，同时，最值通常应在极值及端点处取得。
当函数f （x ）为连续函数且在[]b a ,上单调时，其最大值、最小值在端点处取得；当连续函数f （x ）在（a ，b ）内只有一个可疑点时，若在这一点处f （x ）有极大（小）值，则可以判定f （x ）在该点处取得最大（小）值，这里（a ，b ）也可以是无穷区间。
高二数学利用导数求最值和极值试题答案及解析
高二数学利用导数求最值和极值试题答案及解析1.若函数，当时，函数有极值－．求函数的解析式．【答案】【解析】(1)利用函数的极值与导数的关系；(2)解决类似的问题时，函数在极值点处的导数为零，注意区分函数的最值和极值．求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．(3)若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到．试题解析：解：由题意可知于是，，解得经检验符合题意，因此函数的解析式为．【考点】函数的导数与极值．2.已知函数，其中。
（1）若，求函数的极值点和极值；（2）求函数在区间上的最小值。
【答案】（1）极小值点为，极小值为；极大值点为，极大值为；（2）【解析】（1）把代入原函数，求出的导函数，令导函数等于求出根即可得极值点，把极值点代入原函数得极值。
（2）因为，所以把分两种情况来讨论，当时，函数在区间为单调递增函数，最小值为，当时，求出函数的导函数，并令得增区间，令得减区间，最后得出的最小值。
试题解析：解：（1）当时，。
2分令，得或。
所以，在区间上，，函数是增函数；在区间上，，函数是减函数；在区间上，，函数是增函数。
4分[所以，函数的极小值点为，极小值为；极大值点为，极大值为。
8分（2）当时，是R上的增函数，在区间上的最小值为。
10分当时，。
在区间上是减函数，在区间上，是增函数。
12分所以，在区间上的最小值为， 13分。
14分综上，函数在区间上的最小值为。
【考点】导数在求极值及最值中的应用；3.已知函数在处有极大值．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若过原点有三条直线与曲线相切，求的取值范围；（Ⅲ）当时，函数的图象在抛物线的下方，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）通过对函数f（x）求导，根据函数在x=2处有极值，可知f'（2）=0，解得a的值．（Ⅱ）把（1）求得的a代入函数关系式，设切点坐标，进而根据导函数可知切线斜率，则切线方程可得，整理可求得b的表达式，令g'（x）=0解得x1和x2．进而可列出函数g（x）的单调性进而可知-64＜b＜0时，方程b=g（x）有三个不同的解，结论可得．（Ⅲ）当x∈[-2，4]时，函数y=f（x）的图象在抛物线y=1+45x-9x2的下方，进而可知x3-12x2+36x+b＜1+45x-9x2在x∈[-2，4]时恒成立，整理可得关于b的不等式，令h（x）=-x3+3x2+9x+1，对h（x）进行求导由h'（x）=0得x1和x2．分别求得h，h（-1），h（3），h（4），进而可知h（x）在[-2，4]上的最小值是，进而求得b的范围．试题解析：（Ⅰ），或，当时，函数在处取得极小值，舍去；当时，，函数在处取得极大值，符合题意，∴．（3分）（Ⅱ），设切点为，则切线斜率为，切线方程为，即，∴．令，则，由得，．函数的单调性如下：↗极大值↘极小值↗∴当时，方程有三个不同的解，过原点有三条直线与曲线相切．（8分）（Ⅲ）∵当时，函数的图象在抛物线的下方，∴在时恒成立，即在时恒成立，令，则，由得，．∵，，，，∴在上的最小值是，．（12分）【考点】等比关系的确定；利用导数研究函数的极值．4.已知函数在处取得极值为（1）求的值；（2）若有极大值28，求在上的最小值．【答案】（1）（2）在上的最小值为【解析】（1）由，又知在处取得极值，，即可解得的值.（2）由（1）可得，即可求得函数在处有极大值，再由，可得，，再利用单调性易判断在上的最小值为.试题解析：（1）∵，∴又∵在处取得极值，∴且，即且，解得：.（2）由（1）得：，，令，解得：，极大值极小值∴函数在处有极大值，且，∴，此时，，在上的最小值为.【考点】利用函数极值求参数；利用导数求函数最值.5.函数在[0，3]上的最大值和最小值分别是A．5，15B．5，－14C．5，－15D．5，－16【答案】C【解析】，；令得；令得；函数在递减，在递增；又，.【考点】利用导数求闭区间上的最值.6.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A．个B．个C．个D．个【答案】A【解析】由导函数的图像知，的图像先增后减再增再减，故只有一个极小值点，故选A.【考点】函数导数与极值的关系7.若函数在[－1,1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的最小值是__________【答案】【解析】求导得=，当-1＜＜0时，，当时，＜0，所以该函数在（-1,0）上是增函数，在（0,1）是减函数，故当=0时，=，所以=3，所以当=-1时，y=，当=1时，=，所以该函数在[-1,1]上的最小值为.【考点】利用导数求函数在某个闭区间上的最值8.设函数在上的导函数为,在上的导函数为,若在上,恒成立,则称函数在上为“凸函数”．已知当时,在上是“凸函数”．则在上 ( )A．既有极大值,也有极小值B．既有极大值,也有最小值C．有极大值,没有极小值D．没有极大值,也没有极小值【答案】C【解析】由题设可知:在(-1,2)上恒成立,由于从而,所以有在(-1,2)上恒成立,故知，又因为，所以；从而，得；且当时，当时，所以在上在处取得极大值，没有极小值．【考点】新定义,函数的极值．9.函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A．1个B．个C．个D．个【答案】A【解析】设导函数在内的图像与轴的交点(自左向右)分别为，其中，则由导函数的图像可得:当时，，时，且，所以是函数的极大值点；当时，，时，且，所以是函数的极小值点；当或时，，故不是函数的极值点；当时，，而当时，，且，所以是函数的极大值点；综上可知，函数在开区间内有极小值点只有1个，故选A．【考点】1．函数的图像；2．函数的导数与极值．10.已知函数在处取得极值，求函数以及的极大值和极小值．【答案】在处取得极大值，在处取得极小值．【解析】先求出导函数，进而根据条件得出，列出方程组，从中解出的值，进而根据函数的极值与导数的关系求解出函数的极大值与极小值即可．试题解析：因为，所以因为函数在处取得极值所以即∴，令，得或当变化时，与的变化情况如下表：1+0—+∴在处取得极大值，在处取得极小值．【考点】函数的极值与导数．11.求函数的极值【答案】，当时，有极大值且极大值为；当时，有极小值且极小值为【解析】求函数的极值，首先找到定义域使得函数有意义，其次求导函数，令其等于零，分析函数的单调性，从而找到极值点，求出极值.试题解析：根据题意可知函数定义域为，因为，所以，令，可得，当变化时，有下表-↗↗由上表可知，当时，有极大值且极大值为；当时，有极小值且极小值为【考点】导数法求极值.12.已知在与处都取得极值.（1）求，的值；（2）设函数，若对任意的，总存在，使得、，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据条件，可得，由在与处都取得极值，可知，故可建立关于的二元一次方程组，从而解得，此时，需要代回检验是否确实是的极值点，经检验符合题意，从而；（2）由（1）可得由（1）知：函数在上递减，∴，因此问题就等价于求使当时，恒成立的的取值范围，而二次函数图像的对称轴是，因此需对的取值作出以下三种情况的分类讨论：①：；②：；③，分别用含的代数式表示上述三种情况下的最小值表示出来，从而可以建立关于的不等式，进而求得的取值范围为.试题解析：（1）∵，∴. 1分∵在与处都取得极值，∴，∴ 4分经检验，当时，，∴函数在与处都取得极值，∴ 6分；（2）由（1）知：函数在上递减，∴ 8分，又∵函数图象的对称轴是，①：当时：，显然有成立，∴.②：当时：，∴，解得：，又∵，∴.③：当时：，∴，∴，又，∴综上所述： 12分，∴实数的取值范围为 13分.【考点】1.导数的运用；2.二次函数与恒成立问题.13.若函数在[－1,1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的最小值是__________【答案】【解析】由函数得，令0得x=0或x=1，<0得，>0得x>1或x<0，所以函数在（0,1）上是减函数，在上是增函数，故最大值为f(0)=a=3,f(1)=,f(-1)=,故最小值为,【考点】导数与函数的极值.14.若函数有极值点，且，若关于的方程的不同实数根的个数是（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】，因为函数有极值点，则是方程的两根。
高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析
高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析1.已知函数（1）若是的极值点，求的极大值；（2）求实数的范围，使得恒成立.【答案】（1）极大值为;（2）综上所述：时，恒成立．【解析】（1）通过“求导数、求驻点、讨论驻点附近导数值的符号、确定极值”，“表解法”形象直观；（2）应用转化与化归思想.要使得恒成立，即时，恒成立；构造函数，应用导数研究函数的最值，注意分以下情况：（ⅰ）当时，（ii）当时，（iii）当时，（iv）当a>1时，综上所述：时，恒成立．试题解析：（1）是的极值点解得 2分当时，当变化时，+4分的极大值为 6分（2）要使得恒成立，即时，恒成立 8分设，则（ⅰ）当时，由得单减区间为，由得单增区间为，得 10分（ii）当时，由得单减区间为，由得单增区间为，此时，不合题意． 10分（iii）当时，在上单增，不合题意． 12分（iv）当a>1时，由得单减区间为，由得单增区间为，此时不合题意． 13分综上所述：时，恒成立． 14分【考点】1.应用导数研究函数的单调性、极（最）值，2.应用导数证明不等式3.转化与化归思想.2.设函数在处取极值，则= ．【答案】2.【解析】因为，又函数在处取极值，所以，从而．【考点】１．函数导数的求法；２．三角恒等变形公式．3.函数的极小值是 .【答案】.【解析】，令，解得，列表如下：极大值极小值故函数在处取得极小值，即.【考点】函数的极值4.已知曲线.(1)若曲线C在点处的切线为，求实数和的值；(2)对任意实数，曲线总在直线:的上方，求实数的取值范围.【答案】(1)，，(2)．【解析】(1)根据导数几何意义，所以.因为，所以.因为过点，所以，(2)由题意得：不等式恒成立，恒成立问题一般转化为最值问题.一是分类讨论求函数最小值，二是变量分离为恒成立，求函数最小值.两种方法都是，然后对实数a进行讨论，当时，，所以.当时,由得，不论还是，都是先减后增，即的最小值为，所以.试题解析：解（1）， 2分因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：，所以且. 4分解得， -5分（2）法1：对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于∀x,，都有，即∀x,R，恒成立， 6分令， 7分①若a=0，则，所以实数b的取值范围是； 8分②若,，由得， 9分的情况如下：+11分所以的最小值为， 12分所以实数b的取值范围是；综上，实数b的取值范围是． 13分法2：对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于∀x,，都有，即∀x,R，恒成立， 6分令，则等价于∀，恒成立，令，则， 7分由得， 9分的情况如下：+-11分所以的最小值为， 12分实数b的取值范围是． 13分【考点】利用导数求切线、最值.5.设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)e x的一个极值点，则下列图像不可能为y＝f(x)的图像的是()【答案】D【解析】若x＝－1为函数f(x)e x的一个极值点，则易得a＝c.∵选项A、B的函数为f(x)＝a(x＋1)2，其中a≠0，则[f(x)e x]′＝f′(x)e x＋f(x)(e x)′＝a(x＋1)·(x＋3)e x，∴x＝－1为函数f(x)e x的一个极值点，满足条件；选项C中，对称轴x＝－>0，且开口向下，∴a<0，b>0，∴f(－1)＝2a－b<0，也满足条件；选项D中，对称轴x＝－<－1，且开口向上，∴a>0，b>2a，∴f(－1)＝2a－b<0，与图像矛盾，故选D.6.已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(e x－1)(x－1)k(k＝1,2)，则 ()．A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值【答案】C【解析】当k＝1时，f′(x)＝e x·x－1，f′(1)≠0，∴x＝1不是函数f(x)的极值点．当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xe x＋e x－2)，显然f′(1)＝0，且x在1的左边附近f′(x)<0，x在1的右边附近f′(x)>0，∴f(x)在x＝1处取到极小值．7.若函数满足：在定义域内存在实数，使(k为常数)，则称“f（x）关于k可线性分解”．（Ⅰ）函数是否关于1可线性分解?请说明理由；（Ⅱ）已知函数关于可线性分解，求的取值范围；（Ⅲ）证明不等式：．【答案】（Ⅰ）是关于1可线性分解；（Ⅱ）a的取值范围是；（Ⅲ）详见解析．【解析】（Ⅰ）函数是否关于1可线性分解，关键是看是否存在使得成立，若成立，是关于1可线性分解，否则不是关于1可线性分解，故看是否有解，构造函数，看它是否有零点，而，观察得，，有根的存在性定理可得存在，使；（Ⅱ）先确定定义域为，函数关于可线性分解，即存在，使，即有解，整理得有解，即，从而求出的取值范围；（Ⅲ）证明不等式：，当时，，对求导，判断最大值为，可得，分别令，叠加可得证结论．试题解析：（Ⅰ）函数的定义域是R，若是关于1可线性分解，则定义域内存在实数，使得．构造函数．∵，且在上是连续的，∴在上至少存在一个零点．即存在，使． 4分（Ⅱ）的定义域为．由已知，存在，使．即．整理，得，即．∴，所以．由且，得．∴a的取值范围是． 9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，a =1，，．当时，，所以的单调递增区间是，当时，，所以的单调递减区间是，因此时，的最大值为，所以，即，因此得：，，，，，以上各式相加得：，即，所以，即．１４分【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．8.如图，已知点，函数的图象上的动点在轴上的射影为，且点在点的左侧.设，的面积为.（Ⅰ）求函数的解析式及的取值范围；（Ⅱ）求函数的最大值.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）当时，函数取得最大值8.【解析】（Ⅰ）确定三角形面积，主要确定底和高.（Ⅱ）应用导数研究函数的最值，遵循“求导数，求驻点，讨论驻点两侧导数正负，比较极值与区间端点函数值”.利用“表解法”形象直观，易以理解.试题解析：（Ⅰ）由已知可得，所以点的横坐标为, 2分因为点在点的左侧，所以，即.由已知，所以， 4分所以所以的面积为. 6分（Ⅱ） 7分由，得（舍）,或. 8分函数与在定义域上的情况如下：2+↘12分所以当时，函数取得最大值8. 13分【考点】三角形面积，应用导数研究函数的最值.9.设.（1）若时，单调递增，求的取值范围；（2）讨论方程的实数根的个数.【答案】(1)；（2）见解析.【解析】(1)求出函数导数，当时，单调递增，说明当时，，即在恒成立，又函数在上递减，所以；（2）将方程化为，令，利用导数求出的单调区间，讨论的取值当时，，当时，，所以当时，方程无解，当时，方程有一个根，当时，方程有两个根.试题解析：（1）∵∴∵当时，单调递增∴当时，∴,，函数在上递减∴（2）∴令当时∵∴即在递增当时∵∴即在递减∵当时当时∴①当时，方程无解②当时，方程有一个根③当时，方程有两个根【考点】利用导数求函数最值、利用导数研究函数取值、函数和方程思想.10.函数上有最小值，实数a的取值范围是（）A．(-1,3)B．(-1,2)C．D．【答案】D【解析】由题 f'（x）=3-3x2，令f'（x）＞0解得-1＜x＜1；令f'（x）＜0解得x＜-1或x＞1,由此得函数在（-∞，-1）上是减函数，在（-1，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数故函数在x=-1处取到极小值-2，判断知此极小值必是区间（a2-12，a）上的最小值.∴a2-12＜-1＜a，解得-1＜a＜，又当x=2时，f（2）=-2，故有a≤2,综上知a∈（-1，2],故选D.【考点】用导数研究函数的最值11.设函数，其中.（1)若在处取得极值，求常数的值；（2）设集合，，若元素中有唯一的整数，求的取值范围.【答案】（1)；（2）【解析】（1）由在处取得极值，可得从而解得，此问注意结合极值定义检验所求值是否为极值点；（2）分，，和三种情况得出集合A，然后由元素中有唯一的整数，分析端点，从而求出的取值范围.试题解析：（1），又在处取得极值，故，解得.经检验知当时，为的极值点，故.（2）,当时，，则该整数为2，结合数轴可知，当时，，则该整数为0，结合数轴可知当时，,不合条件.综上述，.【考点】1.利用导数处理函数的极值；2.集合元素的分析12.定义在上的函数满足：①（为正常数）；②当时，.若函数的所有极大值点均在同一条直线上，则_____________.【答案】或.【解析】当时，，故函数在上单调递增，在上单调递增，故函数在处取得极大值，当时，则，此时，此时，函数在处取得极大值，对任意，当时，函数在处取得极大值，故函数的所有极大值点为，由于这些极大值点均在同一直线上，则直线的斜率为定值，即为定值，故或，即或.【考点】1.函数的极值；2.直线的斜率13.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】由得或，即或.又，所以或.因为不等式对恒成立，所以或.(1)令，则.令得，当时，；当时，.所以在上是增函数，在是减函数.所以，所以.(2)令，则，因为，所以，所以易知，所以在上是增函数.易知当时，，故在上无最小值，所以在上不能恒成立.综上所述，，即实数的取值范围是.【考点】利用导数研究函数的单调性、利用函数单调性求最值、含绝对值不等式的解法14.（本小题满分共12分）已知函数，曲线在点处切线方程为。
用导数求函数的最大值与最小值_2022年学习资料
一般地，在闭区间[α ，b]上的连续函数fx必有最大值与最小值-在开区间a,b内的连续函数fx不一定有最大值 最小值.-=x-y=f-若函数x在所给的区间I内有唯一的极值，则它是函数的-最值
例2求函数f=1x2-4x+40,3上的最大值与最小值-解：-令f'x=x2-4=0,x∈[0,3]-解得 =2.-当0sx<2时，fx<0;当2<x≤3时，f”☒>0-所以当x=2时，函数fx有极小值f2=一-又 于f0=4,f3=1,-所以，函数f=1x3-4x+4在0,3上的最大值是4，-最小值是一
观察下面函数y=fc在区间[a,b]上的图象，回答：-1在哪一点处函数y=fx有极大值和极小值？-极大：x x1x=X3x=x5-极小：x=x2x=x4-2函数y=fx在[a,b]上有最大值和最小值吗？如果有，-最 值和最小值分别是什么？-ymnx =fx3-y=fo-ymin =fx-:-1x29x3-xsb
练习-y=Ix+-x-1-3-函数-十-x2,在-4-[-1,1]上的最小值为A-A.0-B.-2-0.-D.13/12
4x-2、函数y=-c-x2+1-A.有最大值2，无最小值-B.无最大值，有最小值-2-C.最大值为2，最 值-2-D.无最值-3、函数fx=2x-cosx在-0，+0上-A.是增函数-B.是减函数-C有最大值-D 最小值
求函数y=fx在[a,b]上的最大值与-最小值的步骤如下：-1求函数y=fx在a,b内的极值；-2将函数y fx的各极值点与端-点处的函数值fa,fb比较，其中最-大的一个是最大值，最小的一个是最-小值.
例1、求函数fx=x2-4x+6在区间[1，-5]内的最大值和最小值-解：f′x=2x-4-令f′x=0, 2x-4=0,得x=2-X-1,2-2,5-f'x-f x-3-11-故函数fx在区间[1,5]内的最大值 为11，最小值为2
导数法求最大最小值
例1: 如图,在二次函数f(x)= y 2 4x-x 的图象与x轴所 围成的图形中有一个 内接矩形ABCD,求这 个矩形的最大面积. x 解:设B(x,0)(0<x<2), 则 A(x, 4x-x2). 从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积 为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2). 2 3 2 3 2 , x2 2 . S( x) 6 x 24x 16. 令 S ( x ) 0 ,得x1 2
二、新课——函数的最值
y
观察右边一 个定义在区间 [a,b]上的函数 a x1 o X X b x y=f(x)的图象. f(x2) f(x1)、f(x3) 是极小值，_________ 发现图中____________ 是极 f(b) ，最小值 大值，在区间上的函数的最大值是______ f(x3) 。 是_______
x1 (0,2), 所以当 x 2 时, S ( x )max 3 2 3 32 3 ,0) 时,矩形的最大面积是 . 因此当点B为( 2 2 9
2 3
3 32 3 . 9
3
例2:已知x,y为正实数,且x2-2x+4y2=0,求xy的最大值. 解:由x2-2x+4y2=0得:(x-1)2+4y2=1.
三、例题选讲
例1:求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小 值. 3 y 4 x 4 x. 解: 令 y 0 ,解得x=-1,0,1. 当x变化时, y, y 的变化情况如下表:
x -2 (-2,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 y’ 0 + 0 - 0 + y 13 ↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 13 从上表可知,最大值是13,最小值是4.
导数的应用求最值
04 导数的扩展应用
导数在微积分学中的其他应用
01
02
03
04
求曲线的切线方程
通过导数，我们可以找到曲线 上某一点的切线方程，从而了
解曲线的变化趋势。
判断函数的单调性
通过求导并分析导数的正数的极值
导数等于0的点可能是函数的 极值点，通过进一步分析可以 确定极值的存在性和大小。
求解函数的拐点
导数的符号变化点可能是函数 的拐点，即函数图像的凹凸变
化点。
导数在数学建模中的应用
最优化问题
在许多实际问题中，我们需要找到使某个函数达到最大值或最小值 的自变量值。导数可以帮助我们找到这样的值。
动态分析
导数可以用于描述物理系统的动态行为，例如速度、加速度和流量 等。
经济模型
在经济学中，导数可以用于描述成本、收益、需求和供给等函数的 边际变化。
极值类型
极大值和极小值，根据导数的符号变化可以判断。
实际应用
利用导数求最值，例如在经济学、物理学等领域中，可以利 用导数求最优解或最小成本等问题。
02 导数在求最值中的应用
利用导数求函数的极值
极值的概念
极值是函数在某点附近比其邻近点的函数值都大或都 小的点。
极值的判定
根据导数的性质，当一元函数在某点的导数等于0或 不存在，该点可能是函数的极值点。
导数在其他学科中的应用
工程学
在机械工程、航空航天工程和土 木工程等领域，导数被用于分析 物体的运动、振动和稳定性等。
物理学
在力学、热学、电磁学和光学等 领域，导数被用于描述物理量的 变化率和流动等。
化学
在化学反应动力学中，导数被用 于描述化学反应速率和反应机理 的研究。
高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析
高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析1.函数y＝x4－4x＋3在区间[－2,3]上的最小值为()A．72B．36C．12D．0【答案】D【解析】因为y′＝4x3－4，令y′＝0即4x3－4＝0，解得x＝1.当x<1时，y′<0，当x>1时，y′>0，所以函数的极小值为y|＝1＝0，而在端点处的函数值y|x＝－2＝27，y|x＝3＝72，所以y min＝0.x2.若函数f(x)＝x3－3x在(a,6－a2)上有最小值，则实数a的取值范围是()A．(－，1)B．[－，1)C．[－2,1)D．(－2,1)【答案】C【解析】f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝±1，所以f(x)的大致图象如图所示，f(1)＝－2，f(－2)＝－2，若函数f(x)在(a，6－a2)上有最小值，则，解得－2≤a<1.3.函数的极小值是 .【答案】.【解析】，令，解得，列表如下：极大值极小值故函数在处取得极小值，即.【考点】函数的极值4.若函数在(0，1)内有极小值，则实数a的取值范围是( )A．(0，3)B．(－∞，3)C．(0，+∞)D．【答案】D 【解析】∵，且f(x)在(0，1)内有极小值． ∴．5. 已知是奇函数，当时，，当时，的最小值为1，则的值等于( ) A ．B ．C ．D ．1【答案】D ． 【解析】由已知是奇函数，且当时，的最小值为1，而奇函数图象关于原点对称性，可得当时，有最大值．，当，即时，，在上单调递增；当，即时，，在上单调递减．当时，取最大值，故选D ．【考点】1．函数的奇偶性；2．导数与函数的最大值最小值．6. 如图，某自来水公司要在公路两侧铺设水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线铺设线路l 1，在路南侧沿直线铺设线路l 2，现要在矩形区域ABCD 内沿直线将l 1与l 2接通．已知AB = 60m ，BC = 80m ，公路两侧铺设水管的费用为每米1万元，穿过公路的EF 部分铺设水管的费用为每米2万元，设∠EFB= α,矩形区域内的铺设水管的总费用为W ．（1）求W 关于α的函数关系式； （2）求W 的最小值及相应的角α． 【答案】（1）=80+60tanα;（2）,.【解析】（1）过E 作，垂足为M ，由题意得∠MEF="α," 故有，，,化简即可；（2），利用导数求出的最大值和相应的角度即可.试题解析：（1）如图，过E 作，垂足为M ，由题意得∠MEF=α，故有，，， 3分所以=80+ 60tanα（其中8分 （2）W． 设，则． 11分令得，即，得．列表+0所以当时有，此时有． 14分答：铺设水管的最小费用为万元，相应的角． 16分【考点】函数模型的应用、利用导数求函数极值、三角函数综合.7.已知函数.（1）若在处取得极大值，求实数的值；（2）若，求在区间上的最大值.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】(1) 本小题首先利用导数的公式和法则求得原函数的导函数，通过列表分析其单调性，进而寻找极大值点；(2) 本小题结合（1）中的分析可知参数的取值范围影响函数在区间上的单调性，于是对参数的取值范围进行分段讨论，从而求得函数在区间上的单调性，进而求得该区间上的最大值.试题解析：（1）因为令，得，所以，随的变化情况如下表：↗↘↗(2)因为所以当时，对成立所以当时，取得最大值当时，在时，，单调递增在时，，单调递减所以当时，取得最大值当时，在时，，单调递减所以当时，取得最大值当时，在时，，单调递减在时，，单调递增又，当时，在取得最大值当时，在取得最大值当时，在，处都取得最大值0. 14分综上所述，当或时，取得最大值当时，取得最大值当时，在，处都取得最大值0当时，在取得最大值.【考点】1.导数公式；2.函数的单调性；3.分类讨论.8.记函数的最大值为M，最小值为m，则的值为( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知得，，解得，所以函数的定义域是. 已知函数求导得，，时，当时，，当时，，所以在区间上先增后减，最大值是，因为，，所以，所以.【考点】1.利用导数研究函数的最值；2.函数的单调性与导数的关系9.设.(Ⅰ)若对一切恒成立,求的取值范围;(Ⅱ)设,且是曲线上任意两点,若对任意的,直线AB的斜率恒大于常数,求的取值范围;(Ⅲ)求证:.【答案】（Ⅰ)；（Ⅱ）；（Ⅲ）详见解析【解析】（Ⅰ）∴对一切恒成立等价于恒成立.这只要求出函数的最小值即可.（Ⅱ）直线的斜率为：由题设有,不妨设则这样问题转化为函数,在上单调递增所以恒成立，即对任意,恒成立这样只需求出的最小值即可.（Ⅲ）不等式可变为由(Ⅰ) 知（时取等号）,在此不等式中取得：变形得：取得：变形得：取得：变形得：取得：变形得：将以上不等式相加即可得证.试题解析：(Ⅰ)令，则由得.所以在上单调递增, 在单调递减.所以由此得：又时，即为此时取任意值都成立综上得：(II)由题设得，直线AB的斜率满足：,不妨设，则即：令函数,则由以上不等式知：在上单调递增,所以恒成立所以，对任意,恒成立又=故(Ⅲ)由(Ⅰ) 知时取等号）,取,得即累加得所以【考点】1、函数的导数及其应用；2、不等关系及重要不等式；3、不等式的证明.10.已知函数（1）当时，求函数在上的极值；（2）证明：当时，；（3）证明：.【答案】（1）；（2）证明过程详见解析；（3）证明过程详见解析.【解析】本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、极值和最值、不等式等基础知识，考查函数思想，考查综合分析和解决问题的能力.第一问，将代入，得到解析式，对它求导，列出表格，通过单调性，判断极值；第二问，证明不等式转化为求函数的最小值大于0；第三问，利用第二问的结论，令，利用放缩法得到，再利用对数的性质和裂项相消法求和，得到所证不等式.试题解析：（1）当时，1分变化如下表+00+极大值， 4分（2）令则 6分∴在上为增函数。
高考数学复习：利用导数求函数的极最值
高考数学复习：利用导数求函数的极最值1.利用导数求函数的极最值问题．解题方法是利用导函数与单调性关系确定单调区间，从而求得极最值．只是对含有参数的极最值问题，需要对导函数进行二次讨论，对导函数或其中部分函数再一次求导，确定单调性，零点的存在性及唯一性等，由于零点的存在性与参数有关，因此对函数的极最值又需引入新函数，对新函数再用导数进行求值、证明等操作．例1．已知函数()()e ln xf x x a x x =++．(1)若a e =-，求()f x 的单调区间；(2)当0a <时，记()f x 的最小值为m ，求证：1m ．【答案】(1)函数()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞ (2)证明见解析（1）求出导函数()'f x ，由()0f x '>得增区间，由()0f x '<得减区间； （2）函数定义域是(0,)+∞，求得导函数()()1e xx f x x a x +'=+，这里1x x+是正数，引入()e x g x x a =+，利用它的单调性，得其有唯一零点0x ，是()f x 的唯一极小值点，即()()00000e ln xm f x x a x x ==++，由0()g x =00e 0x x a +=把0()m f x =转化为关于a 的函数，再由导数得新函数的最大值不大于1，证得结论成立． (1)当a e =-时，()()e e ln xf x x x x =-+，()f x 的定义域是()0,∞+，()()()111e e 1e e x xx f x x x x x +⎛⎫⎛⎫'=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．所以函数()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞． (2)由（1）得()f x 的定义域是()0,∞+，()()1e xx f x x a x+'=+， 令()e xg x x a =+，则()()10x g x x e '=+>，()g x 在()0,∞+上单调递增，因为0a <，所以()00g a =<，()e 0ag a a a a a --=-+>-+=，故存在()00,x a ∈-，使得()000e 0xg x x a =+=．当()00,x x ∈时，()0g x <，()()1e 0xx f x x a x+'=+<，()f x 单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()0g x >，()()1e 0xx f x x a x+'=+>，()f x 单调递增； 故0x x =时，()f x 取得最小值，即()()00000e ln xm f x x a x x ==++，由00e 0x x a +=，得()()000e n ln e l x xm x a x a a a =+=-+-，令0x a =->，()ln h x x x x =-，则()()11ln ln h x x x '=-+=-， 当()0,1x ∈时，()ln 0h x x '=->，()ln h x x x x =-单调递增， 当()1,x ∈+∞时，()ln 0h x x '=-<，()ln h x x x x =-单调递减， 故1x =，即1a =-时，()ln h x x x x =-取最大值1，1m ． 例2．已知函数()()()ln e xxf x a x x a =+-∈R . (1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)讨论函数()f x 的极值点的个数. 【答案】(1)11ey =-； (2)答案见解析.（1）分别求出()1f 和()1f '，即可求出切线方程；（2）分0a ≥、1a e≤-和10e a -<<三种情况，分别讨论()f x 单调性，即可得到对应的极值点的情况.(1)当1a =时，()n e l xx f x x x =+-定义域为()0+∞，，()111ef =-. 因为()1e 11x x f x x -'=+-，所以()111110ef -'=+-=. 所以()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为：11ey =-. (2) 函数()()()ln e xx f x a x x a =+-∈R 定义域为()0+∞，，()1111e e x x x x x f x a a x x --⎛⎫⎛⎫'=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令()(),0e x x g x a x =+>，()1ex xg x ='-. 令()0g x '>，得01x <<；令()0g x '<，得1x >； 所以()g x 在()0,1上单增，在()1,+∞上单减. 所以()()max 11e g x g a ==+，所以()1ea g x a <≤+①当0a ≥时，10e x ax+>，令()0f x '>，得01x <<；令()0f x '<，得1x >； 所以()f x 在()0,1上单增，在()1,+∞上单减. 此时()f x 有且只有一个极值点. ②当1a e≤-时，()0e x xg x a =+≤，令()0f x '>，得1x >；令()0f x '<，得01x <<； 所以()f x 在()0,1上单减，在()1,+∞上单增. 此时()f x 有且只有一个极值点.③当10ea -<<时，方程()0g x =有两个相异正根12,x x ，不妨设1201x x <<<，则当10x x <<时，有()0f x '<；当11x x <<时，有()0f x '>；当21x x <<时，有；()0f x '<；当2x x >时，有；()0f x '>；所以()f x 在()10,x 上单减，在()1,1x 上单增，在()21,x 上单减，在()2,x +∞上单增， 此时()f x 有三个极值点.综上所述：当0a ≥或1a e ≤-时，()f x 有且只有一个极值点；当10ea -<<时，()f x 有三个极值点.【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）； （3）利用导数求参数的取值范围.例3．已知函数()2e e 2x xf x ax -=+--.(1)当1a =时，证明：函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增；(2)若()()e xg x f x -=-，讨论函数()g x 的极值点的个数.【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析（1）先对函数求导，再二次求导，可求得导函数在区间()0,∞+上单调递增，从而可得()()00f x f ''>=，进而可证得结论，（2）当0a =时，可得()g x 单调递增，无极值点，当0a ≠时，()e 2xg x ax ='-，令ee 202x xax a x-=⇒=，令()e xh x x=，利用导数求出()h x 的单调区间和极值，从而分0e 2a <<，e 2a =和2e a >求解即可(1)证明：当1a =时，()()2e e 2,e e 2x x x xf x x f x x --=+----'=. 当0x >时，()e e 20x xf x -=+-'>'，.所以函数()f x '在区间()0,∞+上单调递增，故()()00f x f ''>=，故函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增. (2)解：当0a =时，()e 2xg x =-单调递增，无极值点， 当0a ≠时，()e 2xg x ax ='-，令e e 202xxax a x-=⇒=，令()e xh x x =，则()()2e 1x x h x x -'=，当0x <时，()0h x <，且()0h x '<，当0a <时，方程e2xa x=有唯一小于零的零点，故函数()g x 存在一个极值点；当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>，故函数()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()1e h =为函数()h x 极小值， 所以当0e 2a <<时，方程e 2xa x=无解，函数()g x 无极值点；当e 2a =时，方程e 2xa x=有一个解， 但当01x <<时，()e 2,e 20x xa g x ax x ='>->，当1x >时，()e 2,e 20x x a g x ax x='>->，故函数()g x 无极值点.当2e a >时，方程e 2xa x=有两解，函数()g x 存在一个极大值点和一个极小值点.综上，当0a <时，函数()g x 存在一个极值点， 当e02a 时，函数()g x 无极值点， 当2ea >时，函数()g x 存在一个极大值点和一个极小值点.1．已知函数ln(1)()x f x x a+=+． (1)当1a =-时，判断()f x 在区间()1,+∞上的单调性；(2)当1a >时，记()f x 的最大值为M ，求证：1(,)2a M e -∈．【答案】(1)()f x 在(1,)+∞上单调递减．(2)证明见解析（1）利用导数研究函数的单调性即可；（2）由题知2ln(1)1()()x ax x f x x a '+-++=+，设()ln(1)1x ag x x x +=-++，进而得()g x 在(1,)-+∞存在唯一零点()01,1a x e ∈-且()f x 的最大值()()000ln 1x M f x x a+==+，再结合()000ln 11x a x x ++=+可得011,12a M e x -⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭. (1)当1a =-时，21ln(1)1()(1)(1)x x x f x x x '--++=>-， 设1()ln(1)1x g x x x -=-++，则21'()(1)x g x x -+=+，当(1,)x ∈+∞时，()0,()g x g x '<在(1,)+∞上单调递减， 所以()()1ln 20g x g =-＜＜， 所以()0f x '＜，所以()f x 在(1,)+∞上单调递减． (2)2ln(1)1()()x ax x f x x a '+-++=+， 设()ln(1)1x a g x x x +=-++，则2()(1)x a g x x '--=+． 当1a >时，()f x 的定义域为(1,),()0,()g x g x '-+∞≤在(1,)-+∞上单调递减，因为()()(1)11(1)ln 21ln 20,102a aaa e a g g e e--+=-≥->-=< 所以()(1)10ag g e -<．又因为()g x 的图象是不间断的，且()g x 在(1,)-+∞上单调递减，所以()g x 在(1,)-+∞存在唯一零点()01,1ax e ∈-，当()01,x x ∈-时，()0,()0,()g x f x f x '>>在()01,x -上单调递增， 当()0,x x ∈+∞时，()0,()0,()g x f x f x '<<在()0,x +∞上单调递减， 所以()f x 的最大值()()000ln 1x M f x x a+==+由()00g x =得()000ln 11x ax x ++=+，所以011,12a M e x -⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭，从而原命题得证． 2．函数()e sin 2xx x f a x =-+.(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)当0a ≥时，求函数()f x 在0,1上的最小值； (3)直接写出a 的一个值，使()f x a ≤恒成立，并证明. 【答案】(1)()1y a x a =++ (2)a(3)1a =-，证明见解析（1）利用导数的几何意义直接求解；（2）利用导数研究函数的单调性，进而求得最小值；（3）取1a =-，构造函数()e sin 21x g x x x =+--，即证()0g x ≥恒成立，利用导数研究函数的单调性及最值即可证得结论. (1)由()e sin 2xx x f a x =-+，知()0f a =，切点为()0,a求导()e cos 2xf a x x =-+'，则切线斜率()0121a f a k =-+='+=所以切线方程为：()1y a a x -=+，即()1y a x a =++ (2)求导()e cos 2xf a x x =-+'，[]0,1x ∈0a ≥，[]cos 1,1x ∈-，0f x，所以函数()f x 在0,1上单调递增，()()min 0f x f a ∴==，即函数()f x 在0,1上的最小值为a . (3)取1a =-，下面证明e sin 21x x x --+≤-恒成立，即证e sin 210x x x +--≥恒成立， 令()e sin 21x g x x x =+--，即证()0g x ≥恒成立 求导()e cos 2x g x x '=+-，（i ）当0x ≤时，e 1x ≤，[]cos 1,1x ∈-，此时()0g x '≤所以函数()g x 在(],0-∞上单调递减，()(0)0g x g ∴≥=，即()0g x ≥成立（ii ）当0x >时，令()()e cos 2,0xp x g x x x '==+->，()e sin x p x x -'=，因为e 1x >，[]sin 1,1x ∈-，所以()0p x '>，所以函数()g x '在()0,+∞上单调递增，()(0)0g x g ''∴>=，所以函数()g x 在()0,+∞上单调递增，()(0)0g x g ∴>=，综上可知，()0g x ≥恒成立，即()f x a ≤恒成立3．已知函数()2e xf x ax =-（其中为自然对数的底数）.(1)讨论函数()f x 的导函数()f x '的单调性；(2)设()()cos g x x x f x =+-，若x ＝0为g （x ）的极小值点，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2)()1,+∞.（1）先求导，再对a 利用导数分两种情况求函数的单调区间；（2）求出()sin 1e 2x g x x ax =-+-+'，令()sin 1e 2x G x x ax =-+-+，则()cos e 2xG x x a =--+'，令()()h x G x '=，再对22a -分两种情况讨论分析得解. (1)解： ()e 2x f x ax '=-，令()e 2x F x ax =-，则()e 2xF x a ='-，①当0a ≤时，()0F x '>，②当0a >时，()()ln 2,x a ∈+∞时，()0F x '>，()(),ln 2x a ∈-∞时，()0F x '<； 综上，当0a ≤时，()f x '在(),-∞+∞上是增函数；当0a >时，()f x '在()()ln 2,a +∞上是增函数，在()(),ln 2a -∞上是减函数； (2)解：()2cos e x g x x x ax =+-+，则()sin 1e 2xg x x ax =-+-+'，()00g '=， 令()sin 1e 2x G x x ax =-+-+，则()cos e 2xG x x a =--+'，令()()h x G x '=，则()sin e xh x x ='-，当0x >时，sin 1x ≤，e 1x >，故()0h x '<，()G x '是减函数， 所以()()022G x G a '='<-.①当220a -≤，即1a ≤时，()0G x '<，即()G x 在()0,∞+上是减函数，不符合0x =是极小值，舍去； ②当220a ->，即1a >时，因为()G x '是减函数，且()00G '>，()()()ln 23cos ln 2330G a a +=-+-<⎡⎤⎣⎦'， 所以()()00,ln 23x a ∃∈+，使得()00G x '=，当()00,x x ∈时，()0G x '>，即()g x '是增函数，所以()()00g x g ''>=，即()g x 在()00,x 上是增函数；当0x <时，(),0π∀∈-，使得()0h x '<，()G x '是减函数， 故()()0220G x G a >=-'>'，从而()g x '是增函数，所以()()00g x g ''<=，即()g x 在(),0π-上是减函数. 综上，a 的取值范围是()1,+∞.4．已知函数2()2ln =--+f x x x a x ax ，a ∈R ． (1)若1a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)设()f x 的极小值点为0x ，且()204<-af x a ，求a 的取值范围．【答案】(1)0y = (2)(2,2)-（1）由导数的几何意义得出切线方程；（2）对a 的值进行分类讨论，利用导数得出其单调性，再根据题意解不等式得出a 的取值范围． (1)由2()ln f x x x x =--可得，(1)0f =，由1()21f x x x'=--可得，(1)2110f '=--= 即曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为0y = (2)(1)(2)()22a x x a f x x a x x-+'=--+=若0a 时，1()0x f x '>⇒>；01()0x f x '<<⇒<即函数()y f x =在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，极小值点为1由()241af a <-，可得2140a a a a ⎧-<-⎪⎨⎪⎩，解得02a ≤<.若2a <-时，当(0,1),2a x ⎛⎫∈⋃-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，则函数()f x 在(0,1),,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；当1,2a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，则函数()f x 在1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则极小值点为2a -.由224a a f a ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭可得，ln 022a a ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪<-⎩，此时不等式组无解.若2a =-时，22(1)()0x f x x-'=≥，函数()f x 无极值点. 若20a -<<时，当0,(1,)2a x ⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，即函数()f x 在0,,(1,)2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.当,12a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，即函数()f x 在,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，即函数()f x 的极小值点为1，由()241af a <-，可得21420a a a a ⎧-<-⎪⎨⎪-<<⎩，解得20a -<<.综上，(2,2)a ∈- 5．已知函数()()21ln 12f x x a x a x =+-+，其中a R ∈. (1)讨论()f x 的单调性；(2)若函数()()()1F x f x a x =+-有两个极值点1x ，2x ，且()()1222eF x F x +>--恒成立（e 为自然对数的底数），求实数a 的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2)10ea <<． （1）示出导函数()'f x ，在定义域内分类讨论确定()'f x 的正负，得单调区间；（2）由()0F x '=有两个不等实根得出a 的一个范围，同时得出12,x x 的关系，计算12()()F x F x +化为a 的函数，不等式变形后，引入函数2()ln eg x x x x =-+，由导数确定单调性后可得不等式的解，即得a 的范围．(1)()f x 的定义域是(0,)+∞，(1)()()(1)a x x a f x x a x x--'=+-+=， 0a ≤时，01x <<时，()0f x '<，1x >时，()0f x '>，()f x 的减区间(0,1)，增区间是(1,)+∞；01a <<时，0x a <<或1x >时，()0f x '>，1<<a x 时，()0f x '<，()f x 的增区间是(0,)a 和(1,)+∞，减区间是(,1)a ；1a =时，()0f x '≥恒成立，()f x 的增区间是(0,)+∞，无减区间；1a >时，01x <<或x a >时，()0f x '>，1x a <<时，()0f x '<，()f x 的增区间是(0,1)和(,)a +∞，减区间是(1,)a ；(2)22()()1x x aF x f x a x-+''=+-=，由题意220x x a -+=有两个不等正根12,x x ，440a ∆=->，1a <，又122x x +=，120x x a =>，所以01a <<，21()ln 22F x x a x x =+-， 2221211122212121212111()()ln 2ln 2[()2]ln()2()222F x F x x a x x x a x x x x x x a x x x x +=+-++-=+-+-+2ln 4ln 2a a a a a a =-+-=--，由题意2ln 22e a a a -->--，2ln 0ea a a -+>， 设2()ln eg x x x x =-+(01)x <<，则()ln 11ln g x x x '=+-=0<， ()g x 在(0,1)上递减，又11112()ln 0e e e e e g =-+=，所以由2ln 0e a a a -+>，得10ea <<．综上，10ea <<． 【点睛】本题考查导数研究函数的单调性，考查极值点有关的问题，解题方法由导函数为0得出极值点的性质，同时得出参数的一个范围，计算有关极值点的代数式12()()F x F x +，化简不等式，利用函数的单调性得出不等式的解，从而得出结论，本题属于较难题． 6．已知函数221()2ln (0)2f x ax x a x a =-+≠ (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：121212()()11f x f x x x x x -<+-【答案】(1)答案不唯一，具体见解析 (2)证明见解析（1）函数()f x 求导后，分子为含参的二次三项式，结合0a ≠，我们可以从0∆和0∆>结合开口方向和两根的大小来讨论；（2）1x ，2x 为函数()f x 的两个极值点，我们可以通过()f x '结合韦达定理，找到1x ，2x 的关系，带入到要证明的不等式中，然后通过整理，化简成一个关于12x x 的函数关系，再通过换元，构造函数，通过求解函数的值域完成证明. (1)22222()1a ax x a f x ax x x-+'=-+=，设22()2p x ax x a =-+．(0)x >，318a ∆=-， ①当12a时，0∆，()0p x ，则()0f x '，()f x 在(0,)+∞上单调递增， ②当102a <<时，0∆>，()p x的零点为1x =，2x =120x x <<，令()0f x '>，得10x x <<，或2x x >，令()0f x '<，得12x x x <<，()f x ∴在上单调递减，在，，)∞+单调递增，③当0a <时，0∆>，()p x，()f x ∴在上单调递增，在，)∞+上单调递减．综上所述：当12a时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当102a <<时，()f x在上单调递减，在，，)∞+单调递增；当0a <时，()f x在上单调递增，在，)∞+上单调递减． (2)证明：由（1）知，当102a <<时，()f x 存在两个极值点， 不妨设120x x <<，则121x x a+=， 要证：121212()()11f x f x x x x x -<+-，只要证121212121221()()()()x x x x x xf x f x x x x x -+->=-，只需要证211212122211()[()2]2ln2x x x x x a x x a x x x -+-+>-， 即证21121222112ln ()2x x x a x x x x x -+>-，设12x t x =，(01)t <<， 设函数21()2ln g t a t t t=-+， 22221()t a t g t t -+∴'=-，∴4440a ∆=-<，22210t a t ∴-+>， ()0g t ∴'<，()g t ∴在(0,1)上单调递减，则()(1)g t g >0=， 又121()02x x -<， 则121()0()2g t x x >>-，则21121222112ln ()2x x x a x x x x x -+>-，从而121212()()11f x f x x x x x -<+-． 【点睛】(1)含参的二次三项式再进行分类讨论的时候，如果二次项含参数，在讨论有根无根的情况下要兼顾到开口方向以及两根大小的比较；(2)如果函数()f x 在求导完以后，是一个分子上含有二次三项式，不含指数、对数的式子，那么函数()f x 的极值点关系，可以使用韦达定理来表示. 7．已知函数()()()1ln R af x x a x a x=-+-∈. (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个极值点，且这两个极值点分别为1x ，2x ，若不等式()()()1212ln ln f x f x x x λ+<+恒成立，求λ的值.【答案】(1)答案见解析 (2)2λ=-（1）求导，然后分0a ≤，01a <<，1a =，1a >讨论研究单调性；（2）由（1）两个极值点分别是1和a ，不妨设11x =，2x a =，代入()()()1212ln ln f x f x x x λ+<+，然后转化为最值问题求解即可. (1)由题意可知()f x 的定义域为()0,∞+，()()()22111x a x a a f x x x x --+'=-+=. 当0a ≤时，由()0f x '>，得1x >；由()0f x '<，得01x <<. 则()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.当01a <<时，由()0f x '>，得0x a <<或1x >；由()0f x '<，得1<<a x . 则()f x 在()0,a 和()1,+∞上单调递增，在(),1a 上单调递减. 当1a =时，()0f x '≥恒成立，则()f x 在()0,∞+上单调递增.当1a >时，由()0f x '>，得01x <<或x a >；由()0f x '<，得1x a <<. 则()f x 在()0,1和(),a +∞上单调递增，在()1,a 上单调递减. 综上，当0a ≤时，()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增； 当01a <<时，()f x 在()0,a 和()1,+∞上单调递增，在(),1a 上单调递减； 当1a =时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当1a >时，()f x 在()0,1和(),a +∞上单调递增，在()1,a 上单调递减. (2)由（1）可知01a <<或1a >，且两个极值点分别是1和a ，不妨设11x =，2x a =， 则()()()()1211ln 11ln f x f x a a a a a a +=-+-+-=-+，12ln ln ln x x a +=， 故()()()1212ln ln f x f x x x λ+<+恒成立，即()1ln ln a a a λ-+<恒成立. 当01a <<时，ln 0a <，则()1a λ<-+，因为01a <<，所以()211a -<-+<-，则2λ≤-； 当1a >时，ln 0a >，则()1a λ>-+， 因为1a >，所以()12a -+<-，则2λ≥-. 综上，2λ=-.。
高中物理-求极值的六种方法
高中物理-求极值的六种方法求极值是数学中的重要问题，解决这个问题不仅有助于我们理解函数的性质，还有助于应用于很多实际问题的求解。
下面介绍六种常用的方法求极值：导数法、辅助线法、割线法、牛顿法、拉格朗日乘数法和试探法。
一、导数法：导数法是最常见，也是最基本的求极值方法。
极值点处的导数为零或不存在。
1.求导数：设函数y=f(x)，首先求出导数f'(x)。
2.导数为零：令f'(x)=0，得出x的值。
3.导数不存在：检查导数在f'(x)为零的点附近是否存在极值点。
二、辅助线法：辅助线法是通过构造一条辅助线，将函数转化为一个变量的方程，然后通过解方程来求解极值点。
1.构造辅助线：根据函数的特点，选取一个合适的辅助线方程（比如斜率为1或-1），将函数转化为一个变量的方程。
2.解方程：将辅助线方程和原函数方程联立，解得x的值。
3.求解极值点：将x的值代入原函数方程，求出对应的y值。
三、割线法：割线法是通过构造一条割线，通过不断迭代来逼近极值点。
1.选择初始值：选择一个合适的初始值x0。
2.构造割线：构造一条过(x0,f(x0))和(x1,f(x1))两点的割线，其中x1=x0-λf(x0)，λ是一个合适的步长。
3.迭代求值：迭代求解极值点，即不断重复步骤2，直到割线趋近于极值点。
四、牛顿法：牛顿法利用函数的导数和二阶导数的信息来逼近极值点，是一种高效的求解极值的方法。
1.选择初始值：选择一个合适的初始值x0。
2.迭代求值：根据牛顿迭代公式x1=x0-f(x0)/f'(x0)，不断迭代求解极值点，直到满足结束条件。
五、拉格朗日乘数法：拉格朗日乘数法是一种求解约束条件下极值问题的方法，适用于那些涉及多个变量和多个约束条件的问题。
1. 列出函数和约束条件：设函数为f(x1, x2, ..., xn)，约束条件为g(x1, x2, ..., xn)=c。
2. 构造拉格朗日函数：构造拉格朗日函数L(x1, x2, ..., xn, λ) = f(x1, x2, ..., xn) + λ(g(x1, x2, ..., xn)-c)，其中λ是拉格朗日乘数。
三角函数最值问题的十种常见解法
三角函数最值问题的十种常见解法t=sinx+cosx，则y=t+sinx*cosx，利用关系式sinx*cosx≤1可得y≤t+1，而t的取值范围为[-√2,√2]，当t=√2时，y取得最大值√2+1.五.利用导数法求极值对于一些复杂的三角函数最值问题，可以利用导数法求解.例如对于y=2sinx+3cosx+4sin2x，求其最大值.分析]解：y'=2cosx-3sinx+8cos2x，令y'=0，得cosx=3/10或cosx=-1/2，代入原式可得y的最大值为(7+8√6)/5.六.利用三角函数的周期性对于周期函数，可以利用其周期性来求解最值问题.例如对于y=3sin(2x+π/6)+4cos(2x-π/3)，求其最大值.分析]解：由于sin和cos函数都是周期为2π的函数，因此可以将y化简为y=3sin2x+4cos2x+3√3，利用三角函数的性质可得y的最大值为7+3√3.七.利用三角函数的单调性对于单调函数，可以利用其单调性来求解最值问题.例如对于y=2sinx+3cosx，求其最小值.分析]解：y的导数y'=2cosx-3sinx，y'的符号与sinx和cosx的符号相同，因此y在[π/2,π]上单调递减，在[0,π/2]上单调递增，因此y的最小值为y(π/2)=2.八.利用三角函数的对称性对于一些具有对称性的三角函数，可以利用其对称性来求解最值问题.例如对于y=sin2x+cos2x，求其最大值和最小值.分析]解：y=sin2x+cos2x=1，因此y的最大值为1，最小值也为1.九.利用三角函数的积分性质对于一些三角函数的积分性质，可以利用其求解最值问题.例如对于y=sin2x/x，求其最大值.分析]解：y'=2cos2x/x-sin2x/x²，令y'=0，得x=tanx，代入原式可得y的最大值为2.十.利用三角函数的平均值不等式对于一些三角函数，可以利用其平均值不等式来求解最值问题.例如对于y=sin2x+cos2x，求其最大值和最小值.分析]解：由平均值不等式可得(sin2x+cos2x)/2≥sinx*cosx，因此y的最大值为1，最小值也为1.sin x+\cos x=1+2\sin x\cos x$，设$t=\sin x+\cos x$，则$2\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$，$\therefore y=\frac{t+\frac{t^2-1}{2}}{2}=\frac{t^2+t-1}{4}$，其中$t\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$。
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利用导数求最值导数是研究数学和其他自然科学的基础，是研究客观事物变化率和优化问题的有利工具，研究导数，有利于对数学的本质和价值的认识。
导数的工具性已渗透到数学的很多分支，在函数的研究中得到充分的体现，主要涉及到研究曲线的切线问题、函数的单调性、函数的极值、最值等。
下面就利用导数求最值作一阐述，供参考。
一、函数的最大值与最小值在闭区间[b a ,]上连续，在（b a ,）内可导，)(x f 在[b a ,]上求最大值与最小值的步骤：先求 )(x f 在（b a ,）内的极值；再将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
求可导函数极值的步骤：首先：求导数)('x f ；再求导数)('x f =0的根；最后：检查)('x f 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么)(x f 在这个根处取极大值；如果左负右正，那么)(x f 在这个根处取极小值。
二、利用导数求最值例1、设0>x ，求32)1(32)1(211ln -+--+x x x x 的最小值。
解：设32)1(32)1(211ln )(-+--+=x x x x x f ，则2222)1(2)1()1(1)1(2)1(11)(-+---=-+---='x x x xx x x x x f⎪⎭⎫⎝⎛+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=2222212)1()1(21)1()1(211)1(x x x x x x x x x x.12)1(23xx x +-= 令0)(='x f ，由0>x ，解得1=x 。
列表：由表可知，当1=x 时，)(x f 有最小值1。
评注：利用导数求最值，先确定函数的极值是关键，同时，最值通常应在极值及端点处取得。
当函数f （x ）为连续函数且在[]b a ,上单调时，其最大值、最小值在端点处取得；当连续函数f （x ）在（a ，b ）内只有一个可疑点时，若在这一点处f （x ）有极大（小）值，则可以判定f （x ）在该点处取得最大（小）值，这里（a ，b ）也可以是无穷区间。
练习1：已知a ≥ 0，函数f （x ）＝（x 2－2ax ）e x ，当x 为何值时，f （x ）取得最小值？并证明你的结论； 三、利用导数求最值的运用 （一）求函数的值域例2 、求函数x x x x f --++=4325)(的值域．解：由⎩⎨⎧≥-≥+0403x x 得)(x f 的定义域为43≤≤-x 。
因为0421315)4()32()5()(>++++='--'++'='='x x x x x x f y ，所以)(x f 在[]4,3-上单调递增，故当3-=x 时，4,715=--=x y 最小时，7220+=最大y 。
所以值域为[]7220,715+--。
评注：求函数的值域转化为求)(x f 在闭区间[]4,3-上的最大值和最小值的问题，考虑其单调性易求值域，必须注意函数的定义域。
练习2：已知x ，y 为正实数，且满足关系式04222=+-y x x ，求xy 的最大值。
（二）利用最值求参数的值（或范围） 例3、设132<<a ，函数)11(23)(23≤≤-+-=x b ax x x f 的最大值为1，最小值为26-，求a ，b 的值。
解：)(333)('2a x x ax x x f -=-=，当x 变化时，)(),('x f x f 变化情况列表如下： x－1 （－1，0） 0（0，a ） a （a ，1） 1 )('x f+0 － 0+)(x fb a +--231bb a +-23b a +-231当x=0时，f （x ）取极大值b ，而)()0(a f f >，)1()1(f f <-，故需比较f （0）与f （1）的大小。
∵0123)1()0(>-=-a f f ，∴f （x ）最大值为f （0）=b=1。
又0)2()1(21)23(21)()1(23<-+=--=--a a a a a f f 。
∴)1()(min -=f x f ，∴2623123-=-=+--a b a ，∴1,36==b a 。
评注：这是一道求函数的最值的逆向思维问题。
本题的关键是比较极值和端点处的函数值的大小，列表解题一目了然，从而确定出a ，b 的值。
（三）利用最值研究恒成立问题 例4、设函数,5x 2x 21x )x (f 23+--=若对于任意]2,1[x -∈都有m )x (f <成立，求实数m 的取值范围。
解： ,2x x 3)x (f 2--='令,0)x (f ='得32x -=或1x =。
∵当32x -<或1x >时，,0)x (f >'∴)x (f y =在)32,(--∞ 和),1(∞+ 上为增函数， 在)1,32( -上为减函数，∴)x (f 在32x -=处有极大值，在1x =处有极小值。
极大值为27225)32(f =-, 而7)2(f =, ∴)x (f 在]2,1[ -上的最大值为7。
若对于任意x ]2,1[ -∈都有m )x (f <成立, 得m 的范围 7m >。
评注：利用最值可以研究一类恒成立问题，一般地，f(x)≥a 对x ∈R 恒成立⇔ f(x)的最小值≥a 成立；f(x)≤a 对x ∈R 恒成立⇔f(x)的最大值≤a 成立。
练习2：已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与x ＝1时都取得极值。
⑴求a 、b 的值；⑵若对2[1,2],()x f x c ∈-恒成立，求c 的取值范围。
四、利用最值证明不等式例5、已知)0()(3≠++=a d cx ax x f 是R 上的奇函数，当x=1时，f(x)取得极值-2。
（1）求 f(x)的单调区间和极大值；（2）对任意)1,1(,21-∈x x ，求证：不等式4)()(21<-x f x f 恒成立。
解：（1）∵f(x)是奇函数，R x ∈， ∴f(0)=0, ∴d=0因此c ax x f cx ax x f +=+=2'33)(,)( 由条件f(1)=-2为f(x)的极值，∴f ,(1)=0，∴⎩⎨⎧=+-=+032c a c a ，解之得：a=1，c=-3则33)(,3)(2'3-=-=x x f x x x f ， 令0)('=x f ，得1±=x∴f(x)的单调减区间是[-1，1]，f(x)的单调增区间是(][)∞+-∞-，和11，当x=-1时，f(x)有极大值2。
（2）证明：由（1）知f(x)在[-1，1]上是减函数，且f(x)在[-1，1]上有最大值f(-1)=2,有最小值f(1)=-2∴对任意)1,1(,21-∈x x ， 恒有4)1()1()()(21=--<-f f x f x f评注：本题（2）借助于最值证明不等式，最值的研究利用了导数法，同时对于可导函数，某点为极值点的必要条件是这点的导数为0；某一点是极值点的充分条件是在这点两侧的导数异号。
此外，函数的极值点也可能是不可导点。
附练习答案：1、解：（1）对函数f （x ）求导数，得f′（x ）＝（x 2－2ax ）e x +（2x －2a ）e x ＝［x 2+2（1-a ）x-2a ］e x 。
令f′（x ）＝0，得［x 2+2（1-a ）x-2a ］e x ＝0，从而x 2+2（1－a ）x －2a ＝0。
解得2111a a x +--=2211a a x ++-=，其中x 1＜x 2。
当x 变化时，f′（x ），f （x ）的变化如下表： x （－∞ ，x 1 ）x 1 （ x 1 ， x 2）x 2 （x 2 ，+∞）f ′（x ） +0 — 0 + f （x ）极大值极小值当f （x ）在x ＝x 1处取到极大值，在x ＝x 2处取到极小值.当a≥0时，x 1＜－1，x 2 ≥0，f （x ）在（x 1，x 2）为减函数，在（x 2，+∞）为增函数. 而当x ＜0时，f （x ）＝x （x －2a ）e x ＞0；当x ＝0时，f （x ）＝0. 所以当211a a x ++-=时，f （x ）取得最小值。
2、解：由题意，)20(2212≤<-=x x x x xy ，设f （x ）)20(2212≤<-=x x x x 。
当20<<x 时，222)23()('x x x x x f --=，令0)('=x f ，得23=x 或x=0（舍去）。
当x 在(]2,0内变化时，y /，y 有如下变化情况： x⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0 23 2,23⎪⎭⎫ ⎝⎛ 2y / + 0－ y极大值833由上表可知，当x=23时，f （x ）最大值为833，亦即xy 的最大值为833。
3、解：⑴1,22a b =-=-； ⑵令32321()22g x x ax bx x x x =++=--，故对任意2[1,2],()x g x c c ∈--恒成立。
∵2()32(1)(2)g x x x x x '=--=-+，列表知对任意[1,2]x ∈-，y ＝()g x 的最大值为g（2）＝2，∴2＜c 2－c ，得c ＜－1或c ＞2。