利用导数求最值
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利用导数求最值
导数是研究数学和其他自然科学的基础，是研究客观事物变化率和优化问题的有利工具，研究导数，有利于对数学的本质和价值的认识。导数的工具性已渗透到数学的很多分支，在函数的研究中得到充分的体现，主要涉及到研究曲线的切线问题、函数的单调性、函数的极值、最值等。下面就利用导数求最值作一阐述，供参考。 一、函数的最大值与最小值
在闭区间[b a ,]上连续，在（b a ,）内可导，)(x f 在[b a ,]上求最大值与最小值的步骤：先求 )(x f 在（b a ,）内的极值；再将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
求可导函数极值的步骤：
首先：求导数)('
x f ；再求导数)('
x f =0的根；最后：检查)('
x f 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么)(x f 在这个根处取极大值；如果左负右正，那么)(x f 在这个根处取极小值。 二、利用导数求最值
例1、设0>x ，求32)1(32
)1(211ln -+--+
x x x x 的最小值。 解：设3
2)1(3
2)1(211ln )(-+--+=x x x x x f ，则
2222)1(2)1()1(1
)1(2)1(11)(-+---=-+---='x x x x
x x x x x f
⎪⎭⎫
⎝⎛+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=2222212)1()1(21)1()1(211)1(x x x x x x x x x x
.1
2)1(23
x
x x +-= 令0)(='x f ，由0>x ，解得1=x 。列表：
由表可知，当1=x 时，)(x f 有最小值1。
评注：利用导数求最值，先确定函数的极值是关键，同时，最值通常应在极值及端点处取得。
当函数f （x ）为连续函数且在
[]
b a ,上单调时，其最大值、最小值在端点处取得；当连
续函数f （x ）在（a ，b ）内只有一个可疑点时，若在这一点处f （x ）有极大（小）值，
则可以判定f （x ）在该点处取得最大（小）值，这里（a ，b ）也可以是无穷区间。 练习1：已知a ≥ 0，函数f （x ）＝（x 2－2ax ）e x ，当x 为何值时，f （x ）取得最小值？并证明你的结论； 三、利用导数求最值的运用 （一）求函数的值域
例2 、求函数x x x x f --++=4325)(的值域．
解：由⎩
⎨
⎧≥-≥+040
3x x 得)(x f 的定义域为43≤≤-x 。
因为04
21
315)4()32()5()(>++++
='--'++'='='x x x x x x f y ，所以)(x f 在[]4,3-上单调递增，故当3-=x 时，4,715=--=x y 最小时，
7220+=最大y 。所以值域为[]
7220,715+--。
评注：求函数的值域转化为求)(x f 在闭区间[]4,3-上的最大值和最小值的问题，考虑其单
调性易求值域，必须注意函数的定义域。
练习2：已知x ，y 为正实数，且满足关系式0422
2
=+-y x x ，求xy 的最大值。 （二）利用最值求参数的值（或范围） 例3、设