大计基第5章

要求：用迭代的方法，p118 要求：用迭代的方法， 计算1+1/2+1/3+…1/n 之和 计算
Start Set sum=0 Set n=1 while i <= m do sum = sum + 1.0/n n=n+1 end while Output sum End
递归 FILO: First in Last Out 递归是算法的自我调用 FIFO: First in First Out
• 贪心法 – 贪心算法（Greedy Algorithm）的基本思想是从 贪心算法（ ） 小的方案推广到大的解决方法。它分阶段工作， 小的方案推广到大的解决方法。它分阶段工作， 在每一个阶段选择最好的方案， 在每一个阶段选择最好的方案，而不考虑其后的 结果如何。 结果如何。 – 贪心法主要用于求解最优问题，但它已经发展成 贪心法主要用于求解最优问题， 为一种通用的算法设计技术：核心是： 为一种通用的算法设计技术：核心是： • 可行性 可行性——每一步选择必须满足问题的约束； 每一步选择必须满足问题的约束； 每一步选择必须满足问题的约束 • 局部最优 局部最优——它是当前可选择的方案中最优的； 它是当前可选择的方案中最优的； 它是当前可选择的方案中最优的 • 不可取消性 不可取消性——选择一旦做出，在算法的其后步 选择一旦做出， 选择一旦做出 骤中不能被取消。 骤中不能被取消。 – 贪心法不能保证最后解是最优的，也不能用于求 贪心法不能保证最后解是最优的， 解最大或最小问题。在算法的效率上， 解最大或最小问题。在算法的效率上，贪心法快 程序实现需要的内存开销也较小。 速，程序实现需要的内存开销也较小。但遗憾的 它们往往是不正确的。 是，它们往往是不正确的。然而一旦被证明是正 确的，其执行效率和速度有很大的优势。 确的，其执行效率和速度有很大的优势。
No
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No 条件 条件 Yes
（a）While结构 ） 结构 （b） Until结构 ） 结构 当型） 直到型） （当型） （直到型） 按照设定的条件重复执行一组命令 死循环是指在循环运行过程中循环条件不能结束
5.4 算法的表示
• 算法的表示是为了把算法以某种形式加以表达， 算法的表示是为了把算法以某种形式加以表达， 因此一个算法的表示可以有不同的方法， 因此一个算法的表示可以有不同的方法，常用 的：
排序: 排序 将一组原始数据按照递增或递减的规 律进行重新排列。 律进行重新排列。 冒泡法排序。 冒泡法排序。 从列表的最后开始比较相邻的两个 将较小的向前移动， 数，将较小的向前移动，再和前一个相 邻的数据比较， 邻的数据比较，同样把较小的数向前移 动，直到列表的开始。接着继续这个过 直到列表的开始。 程，找到的次小的数排到列表的第二个 位置，依次类推，直到结束。 位置，依次类推，直到结束。 p108
Start Set sum=0 Set i=n while i <= m do sum = sum + i i=i+1 end while Output sum End
问题的提出：累积问题(p104) 问题的提出：累积问题
N! = 1*2*…. *N Start Set product=1 Set i=1 while i <= N do product = product * i i=i+1 end while Output sum End
例:自然语言 自然语言 求N！的算法 ！
自然语言有二义性 “原语”： 语法和语 原语” 义的规定 计算机程序设计语言
例：伪代码
求N！的算法 ！
例：伪代码 求N！的算法
5.5 算法的发现
• 发现算法具有很大的挑战性 – “中国邮递员问题”： 中国邮递员问题” 不但要选择路径， 不但要选择路径，而且要确保这个选择的路径 是最短的。 是最短的。
问题的提出：求数的位数 问题的提出：求数的位数(p105)
给定一个整数n, 如何计算得到它的位数？ 给定一个整数 如何计算得到它的位数？
Start set count = 1 input n while n ≠0 do n = n/10 count = count + 1; end while Output count End
一种常用的计算方法） 迭代 （一种常用的计算方法）
一种建立在循环基础上的算法。 一种建立在循环基础上的算法。 不断用变量的旧值递推新值的过程 举例： 判断一个整数是否为素数” 举例：“判断一个整数是否为素数”的迭代算法 算法思路：素数是指只能被1和它本身整除的数 和它本身整除的数。 算法思路：素数是指只能被 和它本身整除的数。判 断它的方法为： 是要被判断的整数） 断它的方法为：将n（设n是要被判断的整数）作为 （ 是要被判断的整数 被除数，用2~（n-1）之间的各个整数轮流去除， 被除数， （ ）之间的各个整数轮流去除， 如果都不能整除， 是素数。 如果都不能整除，则n是素数。 是素数
问题的提出：求和问题(p104) 问题的提出：求和问题 计算n~m之间的整数之和 计算 之间的整数之和
Start Set sum=0 Set i=n while i <= m do sum = sum + i i=i+1 end while Output sum End
迭代
一种建立在循环基础上的算法。 一种建立在循环基础上的算法。 不断用变量的旧值递推新值的过程
流程图表达 初始化
求5！的算法 ！ 1! = 1 2! = 2 * 1! 3! = 3 * 2! 4! = 4 * 3! 5! = 5 * 4! P：中间结果 ： 最后的结果） （最后的结果） I: 控制相乘的次数 数据溢出的问题 16位长（216－1): 65535 位长（ 位长 9! = 362880 流程图： 流程图：用箭头和几何图形 的连接来表示算法的过程
基本算法 求和 累积 求最大值和最小值 求数的位数 初始化 判断条件 计算的关键步骤 结果（存储） 结果（存储）
问题的提出： 问题的提出：求100-1000以内的水仙花 以内的水仙花 数（p103)
水仙花数：一个 位正整数的每一位数的 位正整数的每一位数的n次 水仙花数：一个n位正整数的每一位数的 次 幂之和等于这个数本身, 幂之和等于这个数本身 如153 = 13+53+33
问题的提出：求最大 最小问题 最小问题(p105) 问题的提出：求最大/最小问题 此例比较两个数的大小） （此例比较两个数的大小）
Start input a , b if ( a > b) max = a else max = b Output max End Start input a , b max = a if max < b max = b Output max End
算法：求两个正整数 和 的最大公约数 算法：求两个正整数A和B的最大公约数
• 欧几里德（Euclid）算法 欧几里德（ ）
第一步：比较 和 这两个数 这两个数， 第一步：比较A和B这两个数，将A设置 设置 为较大的数， 为较小的数 为较小的数； 为较大的数，B为较小的数； 第二步： 除以 除以B，得到余数R1； 第二步：A除以 ，得到余数 ； 第三步：如果R1等于 等于0， 第三步：如果 等于 ，则最大公约数 就是B；否则将B赋值给 赋值给A， 就是 ；否则将 赋值给 ，R1 赋值给B，重复进行第二步、 赋值给 ，重复进行第二步、 第三步。 第三步。
– 自然语言 – （传统的）流程图 传统的） – （结构）流程图 结构） – 伪代码 – （PAD图） 图
描述 算法的 结构 准确的描述） （准确的描述） =》程序 》
流程图表达
求5！的算法 ！ 1! = 1 2! = 2 * 1! 3! = 3 * 2! 4! = 4 * 3! 5! = 5 * 4! P：中间结果 ： 最后的结果） （最后的结果） I: 控制相乘的次数 初始化
例：求N的阶乘。
5! = 5 * 4! 4! = 4 * 3! 3! = 3 * 2! 2! = 2 * 1! 1! = 1
排序: 排序 将一组原始数据按照递增或递减的规 律进行重新排列。 律进行重新排列。 选择法排序 (如果是从小到大排序的 如果是从小到大排序的 话) 把表中最小的数找到并放入第一个 位置，然后比较余下的数， 位置，然后比较余下的数，找到次小的 数放到第二个位置， 数放到第二个位置，直到对所有数据全 部扫描过。 部扫描过。 p107
欧几里德（ 欧几里德（Euclid）算法 ）
A B R 36 24 12 24 12 0 求得 36与24的最大公约数是12。 2. 40 18 4 18 4 2 4 2 0 求得 40与18的最大公约数是2。 1.
5.2 算法的分类和特性
按照算法所涉及的对象分类： 按照算法所涉及的对象分类： 数值运算算法和非数值运算算法 算法应该具备特性 确定性：每一个步骤是确定的，无二义。 ① 确定性：每一个步骤是确定的，无二义。 有穷性：步骤是有限的。 ② 有穷性：步骤是有限的。 有效性： ③ 有效性：算法中的每一个步骤都能得到一个 明确的结果。（ 。（Ex: /0) 明确的结果。（ ④ 可有零个或多个输入 有一个或多个输出。 ⑤ 有一个或多个输出。 没有输出的算法是没有意义的
5.7 算法的方法学
• • • • 贪心法 分治法 动态规划 回溯法
贪心法 (P109)： ： 以局部最优的方式做一个选择。 局部最优的方式做一个选择。 的方式做一个选择 Ex: 换硬币：为使所换的硬币数最小， 换硬币：为使所换的硬币数最小， 重复地选择不大于不足数额的最大面值 的硬币
“眼下能拿到的就先拿到” 眼下能拿到的就先拿到” 眼下能拿到的就先拿到
第5章 算法基础 章
算法的概念 算法的分类和特性 算法的三种结构 算法的表示 算法的发现 常用算法 其他求解问题的算法 数据表达和数据结构
5.1 算法的概念
1）问题 ） 2）采取的方法和步骤 ）
• 广义地说，为解决问题而采用的方法和步骤就 广义地说， 是算法。在计算机中，算法是程序设计的基础， 是算法。在计算机中，算法是程序设计的基础， 算法的质量直接影响程序运行的效率。 算法的质量直接影响程序运行的效率。 • 根据图灵理论，只要能够被分解为有限步骤的 根据图灵理论， 问题就可以被计算机执行。 问题就可以被计算机执行。 • 在计算机领域，算法描述主要就是为了能够将 在计算机领域， 算法的步骤变成计算机能够用它的语言所实现 的表示方式。 的表示方式。 • 算法的正式定义：算法是求解问题步骤的有序 算法的正式定义： 集合，它能够产生结果并在有限时间内结束。 集合，它能够产生结果并在有限时间内结束。
最优问题
15
• 解决问题的4个步骤： 解决问题的4个步骤：
1.理解问题 1.理解问题 2.设计一个解决问题的方案 2.设计一个解决问题的方案 3.执行这个方案 3.执行这个方案 4.检验这个方案 4.检验这个方案
16
问题的提出：求和问题(p104) 问题的提出：求和问题 计算n~m之间的整数之和 计算 之间的整数之和
排序算法是解决很多问题所需要的
Ex:在不同领域的广泛使用： 在不同领域的广泛使用： 在不同领域的广泛使用 生物信息的DNA序列分析 序列分析 生物信息的 Internet的网页（信息）的快速搜索 的网页（信息） 的网页 企业盈利的最大化 。。。
基于效率的考虑： 基于效率的考虑： 各种排序算法
查找： 查找：把一个特定的数据从列表中找到并提 供它所在的位置 对于列表数据有两种基本的方法： 对于列表数据有两种基本的方法： 顺序查找 从列表的第一个数据（或叫做元素）开始， 从列表的第一个数据（或叫做元素）开始， 但给定的数据和表中的数据匹配时， 但给定的数据和表中的数据匹配时，查找过 程结束，给出这个数据所在表中的位置。 程结束，给出这个数据所在表中的位置。 折半查找（二分法）（对排好序的数据） ）（对排好序的数据 折半查找（二分法）（对排好序的数据） 从列表的一半开始，比较列表处于一半（ 从列表的一半开始，比较列表处于一半（中 位置的数据， 间）位置的数据，判断是在前半部分还是后 半部分（根据列表的排序确定的）。 半部分（根据列表的排序确定的）。
Start set n= 100 a = n mod 10 b = (n/10) mod 10 遍历查找的过程 c = (n/100) mod 10 while (n<1000) do if ( n = a*a*a +b*b*b+c*c*c) Output n n = n +1 end while End
5.3 算法的三种结构
根据结构化程序设计， 根据结构化程序设计，所有的程序都由三 种结构构成： 种结构构成：程序的逻辑结构 顺序结构 分支结构或条件结构 循环结构
顺序结构
A
B
Yes
分支结构
条件 条件 No
A
B
按照命令出现的先 后顺序依次执行
根据设定的条件来决 定程序的执行方向
循环结构
A
A
条件 条件