力矩
三个力矩的计算公式
三个力矩的计算公式力矩的计算公式。
力矩，是指力对物体产生的转动效果。
在物理学中，力矩是一个非常重要的概念，它在描述物体的转动运动时起着关键作用。
在本文中，我们将介绍力矩的计算公式，主要包括三个力矩的计算公式，分别是力矩的定义公式、力矩与力的关系公式以及力矩的矢量形式公式。
1. 力矩的定义公式。
在物理学中，力矩的定义公式可以表示为：M = F d。
其中，M表示力矩，单位是牛顿·米（N·m）；F表示作用在物体上的力，单位是牛顿（N）；d表示力的作用点到转轴的距离，单位是米（m）。
这个公式说明了力矩与作用力及作用点到转轴的距离之间的关系。
当力的作用点到转轴的距离增大时，力矩也会增大；反之，当距离减小时，力矩也会减小。
这个公式是描述力矩的基本定义，也是力矩计算的起点。
2. 力矩与力的关系公式。
力矩与力的关系公式可以表示为：M = r F sin(θ)。
其中，M表示力矩，单位是牛顿·米（N·m）；r表示力的作用点到转轴的距离，单位是米（m）；F表示作用在物体上的力，单位是牛顿（N）；θ表示力和力臂的夹角，单位是弧度（rad）。
这个公式说明了力矩与力、力臂之间的关系。
当力的方向与力臂的方向相互垂直时，力矩最大；当力的方向与力臂的方向平行时，力矩为零。
这个公式描述了力矩与力的方向关系，是力矩计算的重要公式之一。
3. 力矩的矢量形式公式。
力矩的矢量形式公式可以表示为：M = r × F。
其中，M表示力矩的矢量，单位是牛顿·米（N·m）；r表示力的作用点到转轴的距离的矢量，单位是米（m）；F表示作用在物体上的力的矢量，单位是牛顿（N）。
这个公式说明了力矩可以用叉乘的形式来表示，它是力矩的矢量形式。
矢量形式的力矩可以更加直观地描述力矩的方向和大小，对于复杂的转动运动问题有着重要的应用。
结语。
以上就是力矩的三个计算公式，包括力矩的定义公式、力矩与力的关系公式以及力矩的矢量形式公式。
关于力矩的说法
关于力矩的说法力矩是力学中一个基本概念，它是描述物体作用力和物体在特定情况下被迫旋转的实用概念。
力矩也常常被称为力转矩，它代表着力在物体上的作用，可以导致物体转动、变形或者压缩。
力矩的定义为力的矢量乘以力的作用点到物体中心的距离。
它可以表示为：力矩 = x离。
这里的距离是指力的作用点到物体中心的距离，一般是指力的作用点到重心的距离，也就是半径。
力矩的物理意义是，它可以用来描述机械系统中物体受外力作用而发生旋转的情况，比如自行车轮旋转时，驱动摩擦轮与自行车轮之间作用的力矩。
力矩的单位，它的单位与力的单位一样，都是牛顿米，牛顿米的缩写是Nm。
一般情况下，当使用力矩来说明物体受力而发生旋转时，力矩的负载方向应该与旋转方向一致，否则旋转方向将会发生反转。
力矩有六种不同的形式：轴力矩，切向力矩，刚体力矩，弯矩，曲线力矩和张矩。
轴力矩是指力矩作用在物体轴线上；切向力矩是指力矩在垂直于物体轴线的方向上作用；刚体力矩是指力矩在物体上的任何一个平面上作用；弯矩是指力矩作用在物体的任何一个边界线上；曲线力矩是指力矩在物体的任何一个曲线上作用；张矩是指力矩在物体的任何一个表面上作用。
力矩涉及到物体受力而被迫转动的情况，它不仅与力，还与物体质心位置有关，也就是说，如果力的作用点距离物体质心越远，受力物体就会被迫转的越快，它的力矩就越大。
力矩在做力学计算时，除了要知道物体受力外，还要知道力作用点到物体质心的距离。
一般来说，在做力学计算的时候，会通过求物体质心的位置来让力矩值最大。
力矩是力学中一个基本概念，它能够很好的反映物体在受力作用时的转动情况，它也是综合了力和距离两个概念的实用概念，凡是物体被外力转动时，力矩值就会被涉及到，它能够帮助我们更加清晰的描述这种状态，并帮助我们更好的做后续的力学计算。
力矩做功计算公式
力矩做功计算公式力矩是物体在受到力的作用下产生的旋转效应的物理量，它描述了力对物体旋转的影响。
力矩做功计算公式可以用来计算力矩所做的功。
下面将详细介绍力矩做功的计算公式以及相关概念。
让我们来了解一下什么是力矩。
力矩是指力对物体产生旋转效应的能力，它与力的大小和力的作用点到物体转轴的距离有关。
力矩的计算公式是M = Fd，其中M表示力矩，F表示力的大小，d表示力的作用点到转轴的距离。
根据力矩的定义，力矩的方向垂直于力的方向和力的作用点到转轴的连线。
如果力矩的方向与物体的旋转方向相同，那么力矩将使物体发生顺时针旋转；如果力矩的方向与物体的旋转方向相反，那么力矩将使物体发生逆时针旋转。
力矩做功的计算公式为W = Mθ，其中W表示力矩所做的功，M表示力矩的大小，θ表示物体旋转的角度。
根据这个公式，可以看出力矩的大小和旋转角度是决定力矩做功大小的关键因素。
当物体受到力的作用时，如果力的方向与物体的移动方向相同，那么力矩所做的功将是正的；如果力的方向与物体的移动方向相反，那么力矩所做的功将是负的。
这是因为力矩的方向和物体的旋转方向相同或相反，决定了力矩所做的功是正还是负。
力矩做功的计算公式可以用来计算力矩所做的功。
根据这个公式，可以得出以下几个结论：1. 当力的方向与物体的移动方向相同时，力矩所做的功是正的。
这意味着力矩使物体发生顺时针旋转，并且做了正的功。
2. 当力的方向与物体的移动方向相反时，力矩所做的功是负的。
这意味着力矩使物体发生逆时针旋转，并且做了负的功。
3. 当力的方向与物体的移动方向垂直时，力矩所做的功为零。
这意味着力矩对物体的旋转没有影响，不做功。
4. 力矩做功的大小与力矩的大小和物体旋转的角度有关。
当力矩的大小和角度增大时，力矩做的功也增大。
通过力矩做功的计算公式，我们可以计算出力矩所做的功的大小。
这对于理解物体在受到力的作用下发生的旋转现象非常重要。
力矩做功的计算公式为W = Mθ，它描述了力矩所做的功与力矩的大小和物体旋转的角度之间的关系。
力矩
一、力对参考点的力矩
力F
对参考点O的力矩M
的大小等于此力和力臂
O
(从参考点到力的作用线的垂直距离)的乘积，方向
由右手螺旋法则确定.
MO
F
O.
r
r
.
P
M O F r
r r sin
MO Fr sin
力对参考点的力矩: MO r F
说明：
1) 力矩是矢量，其方向由右手螺旋法则确定；
d r sin
M z Fr sin
Mz
力 F对Oz轴的力矩:
Mz
Fr
sin
M z r F
说明：
1) M z 的方向 (从力矩所产生的转动效果上来区分力矩的方向)
若力矩驱使刚体沿逆时针 若力矩驱使刚体沿顺时针
方向转动，则力矩为 正:
Mz
ro
F
方向转动，则 力矩为负 :
F
Mz
r
o
Mz 0
本次课所讲知识点是学好刚体力学这一部分内容的 基础，希望大家课后好好复习，熟练掌握。
ijΒιβλιοθήκη M jiMij M ji 0
三、二者之间的关系
力对参考点O的力矩:
M O
r
F
力对固定轴Oz的力矩: M z r F
力F对是固外 定力轴FO在z的转力动矩平M面 zS是内外的力分对力刚, 体上定点O的
力矩 MO 在定轴Oz上的分量.
小结
本次课我们讲解了力对参考点和对固定轴的力矩以及 二者之间的关系。
Mz 0
2) n个外力同时作用在绕定轴转动的刚体上时，它们的 合外力矩等于这n个外力对转轴产生的分力矩的代数和.
3) 刚体内各质点间的作用力对转轴的合内力矩为零， 对刚体绕定轴转动没有作用.
扭矩和力矩最简单易懂的解释
扭矩和力矩最简单易懂的解释大家好，今天咱们聊聊“扭矩”和“力矩”这两个听起来有点儿复杂的概念。
别担心，我会用最简单的方式让你明白这两个小家伙到底是啥意思！1. 力矩的基本概念1.1 力矩的定义力矩，听着有点儿高大上，但实际上就是力和力作用点到旋转轴的距离结合起来的效果。
你可以想象一下，当你用手推开门的时候，你实际上是在产生一个力矩。
这里的力矩就等于你推的力量乘以你手离门铰链的距离。
1.2 生活中的例子比如说，拧螺丝的时候，你用的力矩就是拧螺丝的力量乘以你拧螺丝的那段螺丝刀的长度。
长螺丝刀产生的力矩比短螺丝刀要大，所以拧起来更省劲。
2. 扭矩的基本概念2.1 扭矩的定义扭矩其实和力矩差不多，只不过它特指转动物体的力矩。
比如车子的发动机，产生的扭矩就是推动车轮转动的力量。
如果没有足够的扭矩，车子就像一只无头苍蝇一样转不动。
2.2 扭矩的应用在日常生活中，扭矩的应用比比皆是。
比如你要打开一个瓶盖，如果瓶盖很紧，你需要用很大的扭矩才能把它拧开。
汽车的扭矩则决定了车子的加速性能，扭矩大，车子加速快，开起来也更有劲儿。
3. 力矩与扭矩的区别与联系3.1 力矩与扭矩的区别其实力矩和扭矩的区别并不大，扭矩是力矩的一种特殊情况，主要用于描述旋转效果。
力矩更多地用在静态的物体上，比如门、螺丝等，而扭矩则通常用于描述动态的转动现象，比如车轮、发动机等。
3.2 它们的联系这两者都是衡量力作用效果的重要工具。
力矩和扭矩都涉及到力的作用和距离的关系，只是应用场景和具体描述有些不同。
力矩是静态的，扭矩是动态的，但原理上都是在描述旋转力的效果。
4. 实际应用中的体会4.1 日常生活中的应用你在家里的时候，可以注意到，当你用力推门的时候，门的铰链那儿就会受到力矩的影响；当你开车的时候，发动机的扭矩决定了你车子的加速性能和爬坡能力。
了解这些可以让你在操作各种工具和机械设备时更得心应手。
4.2 常见误区很多人把力矩和扭矩搞混，其实只要记住，力矩是静态的，扭矩是动态的，就不会出错了。
力矩基本知识
力矩的定义及表达式
力矩定义为力和力臂的乘积，用公式 表示为：M = F × L，其中M表示力 矩，F表示力，L表示力臂。
力臂是指从转动轴到力的作用线的垂 直距离，力矩的方向根据右手螺旋法 则确定。
力矩与力、力臂关系
力矩与力和力臂成正比关系，即力或力臂增大时，力矩也相 应增大。
当力的作用线通过转动轴时，力臂为零，此时力矩也为零， 表示该力对物体不产生转动效应。
复杂环境下的力矩控制
在复杂环境下（如高温、低温、 真空、辐射等），力矩控制面临 更大的挑战。未来需要研究和发 展适应这些特殊环境的力矩控制 技术。
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力矩与物体的角速度之间存在密切的关系。当力矩作用在物体上时 ，会使物体产生角加速度，从而改变物体的角速度。
转动平衡
当物体受到的合力矩为零时，物体将保持静止或匀速转动状态。此时 ，物体的转动平衡受到力矩的影响。
动力学中力矩应用
刚体动力学
在刚体动力学中，力矩是描述刚体转动状态的重要物理量。通过力矩的分析，可以了解刚 体的转动规律和运动状态。
力矩基本知识
目录
• 力矩概念与定义 • 力矩方向与判断 • 力矩性质与定理 • 力矩计算与应用 • 力矩测量与实验方法 • 力矩在生活与科技中应用
01
CATALOGUE
力矩概念与定义
力矩的物理学意义
01
力矩是描述力的转动效果的物理 量，表示力对物体产生的转动效 应。
02
力矩涉及力的大小、方向和作用 点，对于刚体而言，力矩是改变 其转动状态的原因。
应用场景
力矩平衡条件广泛应用于 解决物体在力作用下的平 衡问题，如桥梁、建筑等 的稳定性分析。
力矩与角动量关系
力矩的量纲表达式
力矩的量纲表达式
力矩是描述物体绕某一点或轴旋转时所受到的力的效果的物理量，其量纲表达式为“牛顿·米”，或者简写为“N·m”。
具体来说，力矩的大小等于力与力臂的乘积，其中力臂是指力作用点到旋转中心的垂直距离。
因此，力矩可以用以下公式表示：
M = F ×d
其中，M表示力矩，F表示作用力的大小，d表示力臂的长度。
对于一个旋转质点，力矩还可以表示为动量的变化率。
此时，力矩的量纲表达式可以用质量、速度和长度来表示，即“千克·米²/秒²”或简写为“kg·m²/s²”。
总之，力矩是描述物体绕某一点或轴旋转时所受到的力的效果的物理量，其量纲表达式为“牛顿·米”或“N·m”。
力矩的概念与力矩平衡原理
力矩的概念与力矩平衡原理力矩是物理学中基本的概念，用来描述力对物体产生转动效应的能力。
在力学中，力矩是一种向量量纲，通常用M表示，单位是牛顿·米（Nm）或者焦耳（J）。
力矩的计算需要考虑力、力臂和角度三个因素。
在物理学中，力矩的计算公式为：M = F × r × sinθ其中，M代表力矩，F表示作用力，r是力臂（力矩臂）的长度，sinθ是作用力与力臂之间的夹角的正弦值。
力臂是指作用力所施加的点到物体的旋转轴之间的垂直距离。
夹角θ是作用力和力臂之间的夹角，如果作用力和力臂平行，夹角为0度，力矩为0；如果作用力和力臂垂直，夹角为90度，力矩最大。
力矩平衡原理是指当物体处于平衡状态时，作用于物体上的所有力矩之和等于零。
简单来说，就是当物体不产生转动时，所有作用于物体上的力矩相互抵消，物体保持平衡。
根据力矩平衡原理，可以推导出如下的公式：ΣM = 0其中，ΣM表示作用于物体上的所有力矩之和。
这个公式适用于任何力矩平衡问题的解决。
举个例子来说明力矩平衡原理的应用。
假设有一根杆，杆的左边和右边分别有两个重物，它们的质量分别为m1和m2。
这两个重物分别离杆的旋转轴的距离为r1和r2。
如果杆处于平衡状态，则有：m1 × g × r1 = m2 × g × r2其中，g是重力加速度。
这个公式说明，杆平衡时，两边重物的力矩相等，即力矩平衡。
力矩平衡在工程和日常生活中都有广泛应用。
例如，建筑物的平衡结构需要使用力矩平衡原理来确保稳定性；天平的使用也基于力矩平衡原理，通过调整质量的分布来实现平衡；机械设备的设计和运作也需要考虑力矩平衡的原理。
总结一下，力矩是用来描述力对物体产生转动效应的能力。
力矩的计算需要考虑作用力、力臂和夹角三个因素。
力矩平衡原理是指作用于物体上的所有力矩之和等于零，用来描述物体保持平衡的条件。
力矩平衡原理在工程和日常生活中有广泛的应用，对于建筑物结构、天平和机械设备的设计和使用都具有重要意义。
力矩简单理解
力矩表示力对物体作用时所产生的转动效应的物理量。
力和力臂的乘积叫做力对转动轴的力矩。
即力对某一点的力矩的大小为该点到力的作用线所引垂线的长度（即力臂）乘以力的大小，其方向则垂直于垂线和力所构成的平面用力矩的右手螺旋法则来确定。
力对某一轴线力矩的大小，等于力对轴上任一点的力矩在轴线上的投影。
国际单位制中，力矩的单位是牛顿·米。
常用的单位还有千克力·米等。
以上内容仅供参考，建议查阅关于力矩的书籍或者咨询物理学专家，以获取更准确的信息。
力矩与力矩平衡条件
力矩与力矩平衡条件力矩（Moment of force），也被称为转矩，是描述物体受到外力产生的旋转效应的物理量。
力矩的概念是力在其绕定轴线旋转的能力，它由力的大小、作用点到轴线的距离和力的方向所决定。
在物理学和工程学中，力矩是研究物体平衡和旋转的重要概念之一。
本文将详细介绍力矩的定义、计算方法以及力矩平衡条件的相关知识。
一、力矩的定义与计算方法力矩是描述力的旋转效应的物理量，它是力到旋转轴的垂直距离乘以力的大小。
力矩的计算公式如下：M = F × d其中，M表示力矩，F表示力的大小，d表示力作用点到旋转轴的垂直距离。
根据力的方向与旋转轴的关系，力矩可以有正负之分。
当力顺时针作用于物体时，力矩取负值；当力逆时针作用于物体时，力矩取正值。
力矩的单位是牛顿·米（N·m）。
在实际应用中，常常用到“千牛·米”（kN·m）或“兆牛·米”（MN·m）等较大的单位。
二、力矩平衡条件力矩平衡条件是指物体处于平衡状态时力矩之间的相互关系。
当物体处于力矩平衡状态时，力矩的合数为零，即所有力矩的代数和为零。
力矩平衡条件可以表述为以下方程：ΣM = 0其中，ΣM表示力矩的代数和，等于所有力矩之和。
根据力矩平衡条件，可以推导出物体平衡的相关规律和定理。
1. 第一条件：力矩平衡条件的第一种形式是力的合力为零。
若所有作用于物体上的力矩的合为零，则物体处于力矩平衡状态。
2. 第二条件：力矩平衡条件的第二种形式是力的合力不为零，但力的夹角满足特定条件。
若作用于物体上的力的合力不为零，但符合一定条件时，物体仍然处于力矩平衡状态。
根据这两个条件，我们可以得出以下定理：1. 平衡定理（力矩定理）：若物体处于平衡状态，那么物体上所有力矩的合为零。
2. 杠杆定理：若一个物体在平衡状态下，那么对于该物体上的所有力来说，力的杠杆平衡条件成立，即力的大小与作用点到旋转轴的距离成反比。
力矩的原理
力矩的原理力矩是一种物理量，用来描述一个物体受到的力的产生的扭转效应。
它在物理、工程和机械领域广泛应用，对于研究和设计各种机械系统和结构有着重要的作用。
力矩的原理比较简单，主要是由力和杠杆的作用组合而成。
在本文中，我们将详细介绍力矩的原理及其应用。
一、什么是力矩力矩是一个向量物理量，它是由力和杠杆臂的乘积确定的。
力矩可以用以下公式表示：M = F ×d其中，M是力矩，F是力，d是力对过杠杆旋转轴的垂直距离，也叫做杠杆臂。
这个公式表明，如果一个力F作用于一个距离为d的杠杆上，就会产生一个力矩M，用来描述这个力对杠杆的扭转效应。
力矩的单位是牛·米（N·m）。
二、力矩的原理力矩是由力和杠杆的作用产生的，因此了解杠杆的原理对于理解力矩具有重要的意义。
杠杆是一种简单的机械装置，由一个刚性棒、杆或框架组成。
杠杆的作用是将一个力作用在杆的一端，然后通过杠杆将这个力转移到杆的另一端或其他机械系统中。
杠杆原理可以用以下公式表示：F1 ×d1 = F2 ×d2其中，F1和F2是在杠杆的两端所施加的力，d1和d2是这两个力到杠杆旋转轴的距离。
这个公式表明，如果一个力F1在杠杆的一端施加，然后通过杠杆传递到另一端，产生一个反作用力F2，实现力的转移。
在这个过程中，施加在杠杆两端的力和它们到杠杆旋转轴的距离是相等的，即F1 ×d1 = F2 ×d2。
力矩是在杠杆上施加的力产生的扭矩效应，可以用力矩公式M = F ×d来描述。
杠杆的长度和形状可以改变力矩的大小和方向。
如果施加在杠杆上的力越大或距离越远，力矩也越大。
如果杠杆的长度或形状改变，则可以改变力矩的方向和大小。
力矩可以使物体以任意方向旋转或保持平衡。
三、力矩的应用力矩具有广泛的应用，可以用来解释许多机械和物理现象，例如飞行器的平衡、车辆悬挂系统的设计、输油管道的安装等。
下面我们来介绍一些力矩的应用。
力矩公式的两种表达式
力矩公式的两种表达式力矩，这一物理概念，在我们的日常生活和工程实践中有着广泛的应用。
简单来说，力矩描述的是力和力臂的乘积，展现了一个力如何使物体产生旋转或倾斜。
深入理解力矩公式，对理解物理原理和解决实际问题都具有重要意义。
力矩的基本公式有两种表达方式，分别如下：第一种表达式为：M = L ×F。
在这个公式中，M代表力矩，L代表力臂，即力和转动轴之间的距离，F则代表力的大小。
这个公式是力矩定义的最直接表达，它清晰地展现了力矩与力和距离之间的关系。
值得注意的是，力矩的方向遵循右手定则，即伸开右手，四指并拢，大拇指与四指在同一平面且垂直，然后将右手放入旋转轴所在的平面，大拇指指向力的方向，那么四指的指向就是力矩的方向。
第二种表达式为：M = I ×α。
在这个公式中，I代表转动惯量，α代表角加速度。
这个公式则更多地涉及到刚体动力学的内容，用于描述刚体的旋转运动。
转动惯量是描述刚体转动惯性大小的物理量，其大小与刚体的质量分布以及转轴的位置有关。
而角加速度则是描述刚体角速度变化的物理量。
这一表达式主要用于研究刚体的复杂运动，如陀螺的进动等。
这两种表达式各有其应用场景。
第一种表达式主要用于分析力的作用如何使物体产生旋转或倾斜，而第二种表达式则更多地用于研究刚体的复杂运动规律。
在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的公式进行计算和分析。
此外，对于力矩的深入理解还涉及到一些高级的概念，如动量矩、动能等。
这些概念在物理和工程领域中都有着广泛的应用，对于解决实际问题具有重要的指导意义。
总的来说，力矩公式是物理学中的一个重要概念，它描述了力如何使物体产生旋转或倾斜的物理现象。
力矩
单位
• 力矩的量纲是距离乘以力；依照国际单位制，力 矩的单位是牛顿-米。虽然牛顿与米的次序，在数 学上，是可以变换的。BIPM (国际重量测量局) 设定这次序应是牛顿-米，而不是米-牛顿。 • 依照国际单位制，能量与功量的单位是焦耳， 定义为 1 牛顿-米。但是，焦耳不是力矩的单位。 因为，能量是力点积距离的标量；而力矩是距离 叉积力的伪矢量。当然，量纲相同并不尽是巧合； 使 1 牛顿-米的力矩，作用一全转，需要恰巧 2*Pi 焦耳的能量。
• 事实上，力矩与能量的关系是能量和一个 对数矢量2π[lnK]的乘积，即t=2πQ[lnK]， [lnk]的方向垂直于作用平面。因此用焦耳做 单位也是不是错误的。做圆周运动时，K=e， 因此使 1 牛顿-米的力矩，作用一全转，需 要恰巧 2*Pi 焦耳的能量。
静力观念
• 当一个物体在静态平衡时，净作用力是零， 对任何一点的净力矩也是零。关于二维空 间，平衡的要求是： • x,y方向合力均为0，且合力矩为0.
动力观念
• 力矩是角动量随时间的导数，就像力是动 量随时间的导数。 • 刚体的角动量是转动惯量乘以角速度。
• 所谓的力矩电动机是一种扁平型多极永磁直流电 动机。其电枢有较多的槽数、换向片数和串联导 体数，以降低转矩脉动和转速脉动。力矩电动机 有直流力矩电动机和交流力矩电动机两种。 • 其中，直流力矩电动机的自感电抗很小，所 以响应性很好；其输出力矩与输入电流成正比， 与转子的速度和位置无关；它可以在接近堵转状 态下直接和负载连接低速运行而不用齿轮减速， 所以在负载的轴上能产生很高的力矩对惯性比， 并能消除由于使用减速齿轮而产生的系统误差。 • 交流力矩电动机又可以分为同步和异步两种， 目前常用的是鼠笼型异步力矩电动机，它具有低 转速和大力矩的特点。一般地，在纺织工业中经 常使用交流力矩电动机，其工作原理和结构和单 相异步电动机的相同，但是由于鼠笼型转子的电 阻较大，所以其机械特性较软。
力矩定义公式
力矩定义公式
力矩是一个物体所受到的力产生的旋转效果，它可以通过以下公式进行计算：
M = F x d x sinθ
其中，M表示力矩，F表示作用力的大小，d表示作用力到物体
轴心的距离，θ表示作用力与物体轴心之间的夹角，sinθ表示夹角
的正弦值。
根据公式可以看出，力矩的大小与作用力的大小、作用力到物体轴心的距离以及作用力与物体轴心之间的夹角有关。
在工程中，力矩经常被用来描述机械系统的稳定性和安全性，因此深入理解力矩的定义和公式对工程师和物理学家来说都是非常重要的。
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3、定轴转动（fixed-axis rotation)：如果转轴的位置 或方向是固定不动而不随 时间改变的。
➢ 刚体的平面运动 .
+ ➢ 刚体的一般运动 质心的平动 绕质心的转动
二、刚体定轴转动运动学
1、定轴转动刚体的表示方法
刚体转动的角坐标、角速度和角加速度
角坐标 (t)
沿逆时针方向转动 > 0 沿顺时针方向转动 < 0
a ret r 2en
例1 一飞轮半径为 0.2m、 转速为150r·min-1， 因 受制动而均匀减速，经 30 s 停止转动 . 试求：（1） 角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开 始后 t = 6 s 时飞轮的角速度；（3）t = 6 s 时飞轮边缘 上一点的线速度、切向加速度和法向加速度 .
能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单 系统的力学问题.
§4-1、刚体的定轴转动(fixed-axis rotation of rigid body) 一、基本概念
•刚体（rigid body)：在任何外力作用下物体的形状和大 小不发生变化，即物体内任意两点间的距离都保持不变 ，这种理想化的物体称为刚体。
dl L
m g
1 2
m gL
M 的方向与相反
角位移 (t t) (t)
z
ω
r P’(t+dt)
.. O d P(t)
x
角速度矢量 lim d
t 0
方向:
t dt
右手螺旋方向
刚体对转轴的角速度为： d
dt
单位为弧度每秒，符号为： s-1或rads-1 d>0 时 ， 则 有 >0 ， 刚 体 绕 定轴逆时针转动， d<0 时 ， 则 有 <0 ， 刚 体 绕 定轴顺时针转动。
解 （1）0 5π rad s1, t = 30 s 时， 0.
设 t = 0 s 时，0 0 .飞轮做匀减速运动
0 0 5π rad s1 π rad s2
飞轮 30 s 内转t过的角度30
6
2 02 (5π )2 75π rad 2 2 (π 6)
at
r
0.2 (π )m s2 6
0.105 m s2
an r 2 0.2 (4 π)2 m s2 31.6 m s2
例：在高速旋转的微型电动机里，有一圆柱形转子可绕
垂直其横截面通过中心的轴转动。开始时，它的角速度 w0=0，经300s后，其转速度达到18000rmin-1。已知转 子的角加速度与时间成正比，问在这段时间内，转子 转过多少转？ 角加速度n转
第四章 刚体的转动
教学基本要求
一 理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌握角量与 线量的关系.
二 理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动 的转动定理.
三 理解角动量概念，掌握质点在平面内运动以及刚 体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题.
四 理解刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚体 绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律
转过的圈数 N 75 π 37.5 r
2π 2π
（2）t 6s时，飞轮的角速度
0
t
(5π
π 6Leabharlann 6)rads1
4π
rad
s1
（3）t 6s时，飞轮边缘上一点的线速度大小
v r 0.2 4π m s2 2.5 m s2
该点的切向加速度和法向加速度
60
代入的表达式，得：c
2 t2
2 600 3002
rad s3 75
故有：，又根据角速度
的定义得：
d ct2 rad s3t2
dt 2 150 分离变量并利用初始条件积分得：
d
t
rad s3 t2dt
rad s3 t3
解：由题知：转子是定轴转动，角加速度与时间成正比 ，即转子作变角加速度定轴转动。设角加速度为： =ct，c为常数值，则 d ct，分离变量得：
dt
又已知:t=300s时
d
ctdt
，
0
d
t
c 0
tdt
1 2
ct2
=18000rmin-1=18000 2 rad s1 600rad s1
0
150
0
150
3
300s内，转子转过的转数为：n 3104 2
§4-2 力矩（moment of force)、刚体定轴转动定律
一. 力矩（moment of force): 刚体绕 O z 轴旋转 , 力F
M
作平用面在内刚, 体r上为点由点P ,O且到在力转的动
作用点 P 的径矢 .
，这是线速度和角速度通用的关系
式。
r
v
3、角加速度(angular acceleration)
刚体定轴转动中，在t1时刻，角速度为1，在t2 时刻，角速度为2，则在t=t2-t1的时间内，刚体 角速度的增量为=2-1，则由定义：
瞬时角加速度
lim t0
t
一个端点o转动，杆与桌面间的摩擦系数为，问转动
中杆受到的摩擦力矩为多少？ 解：摩擦力矩在杆的不同部位是不相同的
在杆上任意选取一长度元dl,则
df m dlg
L
dM r df
其大小：dM ldf 其方向：与角速度的方向相反，且所
有长度元上力矩方向相同
M
dM
L
O
l
3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
O
d
rj
ri
i
j
Fji Fij
M ji
一对内力产生的力矩矢量和为零
Mij M ji
4)力矩为零的情况:
（1）力F 等于零；
（2）力F的作用线与矢径 r共线（即 sin 0 ）
有心力：物体所受的力始终指向（或背 离）某一固定点
m
R2
rdrd
mrdrd R2
面积元受到的摩擦力矩为
dM
dm g
r
m
R2
gr2drd
整个圆盘受到的摩擦力
矩为
M
dM
mg R2
R 0
2 0
r2drd
2 mgR
3
M 的方向与相反
例2：一均质细杆放置在水平桌面上，杆可绕着它的
方向: 右手螺旋方向
z
>0
z
<0
角速度也是一个矢量，只是在定轴转动中，才可
用转动角中速（度旋的转正陀负螺来等表）示，刚角体速转度动就的必方须向用。矢但量在非 定表示轴。
在一般情况下，若刚体内一个
质点p到转轴的径矢为 线速度就可以表示为
vr
，则rp点的
与r
反向:
负
z
M
r
Od
P*
F
讨论
1）若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂
直于转轴方向的两个分量
F Fz F
其中 Fz 对转轴的力
矩为零，故 F 对转轴的
力矩
Mzk
r
F
z
k
Fz
F
O r F
M z rF sin
2）合力矩等于各分力矩的矢量和 M M1 M2 M3
0 t
x
x0
v0t
1 2
at 2
0
0t
1 2
t
2
v2
v
2 0
2a(x
x0 )
2
2 0
2 (
0)
三 角量与线量的关系
d
dt
d
dt
d 2
d2t
v ret
a
an r
et
at v
at r an r 2
例1：质量为m，半径为R的圆盘在水平面上绕中心竖 直轴o，沿逆时针方向转动，圆盘与水平面间的摩擦系 数为，求摩擦力对转轴o的力矩。 解： 摩擦力矩在圆盘的不同部位是不相同的（变力矩）, 任取一半径为r r + dr ，角度为θ θ + dθ的面积元， 则该面积元的质量为：
dm
rdrd
d : 力臂
F 对转轴 Z 的力矩
z
M
r
Od
P*
F
M Frsin Fd
F
对转轴OZ的力矩：M
定义：M
r
F
=
Fd
=
Frsin,考虑力矩有方向
M
大小: rFsin
M 方向: 右手螺旋法则 单位：米牛顿，m N
与r 同向: 正
dt dt 2
定轴转动中：
d > 0, > 0;
d < 0, < 0
d > 0, > 0;
d < 0, < 0
三 匀变速转动公式
当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做 匀变速转动 .
刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比