高二数学椭圆定义
高二选修一椭圆的知识点
高二选修一椭圆的知识点椭圆是高中数学的重要内容之一，作为高二学生选修的数学课程之一，椭圆的知识点对于学生的数学素养和理解力有着重要的影响。
本文将介绍高二选修一中涉及的椭圆的知识点。
一、椭圆的定义与性质椭圆是平面上一点到两个给定定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个给定定点分别称为椭圆的焦点，常数称为椭圆的离心率。
椭圆具有如下性质：1. 椭圆的离心率小于1，且等于0时为圆。
2. 椭圆的中心即为焦点所连直线的垂直平分线的交点。
3. 椭圆的长半轴和短半轴分别是焦点所连直线的垂直平分线与椭圆的交点到焦点的距离。
4. 椭圆的顶点是和焦点在同一直线上的两个点。
二、椭圆的方程表达椭圆的方程表达有两种形式：标准方程和一般方程。
1. 标准方程椭圆的标准方程为(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1，其中(h, k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。
2. 一般方程椭圆的一般方程为Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E和F均为常数。
三、椭圆的参数方程椭圆的参数方程是将椭圆的坐标表示为参数θ的函数形式。
椭圆的参数方程为x = h + a cosθ，y = k + b sinθ，其中θ为参数。
四、椭圆的焦点与直径椭圆的焦点是指离心率所决定的椭圆上两个特殊的点，位于椭圆的长轴上。
椭圆的直径是从椭圆上一点到椭圆的另一点的最长线段。
五、椭圆与切线椭圆上的任意一点处都存在切线。
椭圆的切线与椭圆的法线垂直。
六、椭圆的重要参数椭圆的重要参数包括离心率、焦距、短半轴、长半轴、准线等，这些参数可以通过椭圆的方程表达或者几何性质求解。
七、椭圆的应用椭圆在日常生活和工程领域中有着广泛的应用。
例如，椭圆的形状可以模拟行星的轨道，从而研究天体运动；椭圆的形状也可以用来设计汽车、船舶和建筑物等工程项目。
高二数学讲义椭圆的定义、方程及性质专题
专题：椭圆的定义、方程与性质应用(★★★) 教学目标 1.理解掌握椭圆的定义、标准方程以及几何性质； 2.能灵活运用定义性质解决有关轨迹、面积以及最值问题.知识梳理4 min.1.椭圆的定义： 平面内到两个定点21 F F 、的距离和等于常数）＞（2122F F a a 的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点21 F F 、叫做椭圆的焦点，两个焦点21F F 的距离叫做焦距.（1）当212F F a ＞时，动点轨迹是椭圆；（2）当212F F a =时，动点轨迹是线段21 F F ；（3）当212F F a ＜时，动点轨迹不存在.类型 标准方程 焦点坐标 之间的关系、、c b a 焦点在x 轴上 )0(12222＞＞b a by a x =+ )0,( , )0,(21c F c F - 222c b a += 焦点在y 轴上)0(12222＞＞b a bx a y =+ ),0( , ),0(21c F c F - ①函数方程思想、对称思想和分类讨论思想；②定义法：利用椭圆的定义解题，使求解过程更简捷；③点差法：利用椭圆弦的端点坐标、中点坐标、弦所在直线的斜率的相互关系解题，是解决中点弦问题的简捷方法.典例精讲33 min.例1（★★★） 已知椭圆的对称轴为坐标轴，两个焦点为1F 、2F ，椭圆上一点P 到两焦点21F F 、的距离分别为352 354、，过点P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程. 【答案】解：由13PF =、23PF =，得2a =+，即a =由条件可知2PF ∥y 轴，且1230PF F =∠， ∴1252=30=3c PF cos⋅，即c 253c =，210 3b =. ∴椭圆的方程为2231510x y +=或2231510y x +=. 【平面几何有关知识在解几中的应用在高考中时常出现，有时利用平面几何知识往往可以走捷径】巩固练习（★★★）已知椭圆的中心在原点，一个焦点的坐标是()25,0，直线23-=x y 与椭圆相交于A 、B 两点，若线段AB 的中点的横坐标是21，求此椭圆的方程. 【答案】2217525y x +=.例2（★★★）过点(1,0)P -作倾斜角为3π的直线L 与椭圆22:24C x y +=相交于A 、B 两点. （1）求AB ；（2）若右焦点为1F ，求△1AFB △的面积.【答案】解：（1）由题意，直线L 的方程为1)y x +.由221)24y x x y ⎧+⎪⎨+=⎪⎩得27+1220x x += 设()11,A x y ，()22,B x y 为L 与椭圆的交点，122AB x x -=.（2）由题意易得右焦点1F ， 设1F 到直线L 的距离为d ，则)=d .∴()1166=2AF B S AB d =△. 【求面积知道弦长找到点到直线距离就可以轻松解答】巩固练习（★★★）3 答案 ：3.椭圆22134x y +=焦点为1F 、2F ，若P 为椭圆上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是多少？【答案】⎛ ⎝⎭.例3（★★★★）已知点A 、B 点分别为椭圆2213620x y +=长轴的左右端点，点F 为椭圆的右焦点.若P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA PF ⊥.（1）求点P 的坐标；（2）设M 为椭圆长轴AB 上一点，M 到直线AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到M 距离的最小值.【答案】解：（1）由已知易得()6,0A -，()4,0F .设点P 坐标为,)x y （， 则(6,)AP x y =+，(4,)FP x y =-.∵PA PF ⊥，则0AP FP ⋅=，∴2(6)(4)0x x y +-+=. 联立22213620(6)(4)0x y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-+=⎩.则29180x x +-=2.所以32x =或6x =-. 又0y ＞，∴可得3532P （，）. （2）由（1）不难求得AP 方程为36=0x y -+，设点M 的坐标为,0m （）， 则M 到直线AP 的距离为62m +. 于是6=62m m +-. 又∵≤≤-6m 6，解得=2m .椭圆上的点,x y （）到点M 的距离d ，则有222=(2)d x y -+. 将其代入椭圆方程，得2249()1592d x =-+. ∵≤≤-6x 6，∴当92x =时，d 取得最小值15. 【椭圆上的点坐标都是有范围限制，所以最值问题常转化为二次函数在闭区间上的最值问题】巩固练习（★★★）1. 若点A 的坐标1,1（），1F 是椭圆22195x y +=左焦点，P 为椭圆上的动点.则1PF PA +的最小值为多少？【答案】62-.（★★★★）2.椭圆22194x y +=焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，当P 、 1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点时，且12PF PF ＞，求12PF PF 的值. 【答案】当P 为直角顶点时，12PF PF 的值为2； 当2F 为直角顶点时，12PF PF 的值为72.回顾总结 3 min.椭圆的定义、方程是什么？椭圆有哪些性质？解题的思想方法是什么？。
高二数学椭圆的定义和标准方程
所以焦点在X轴上，c=3
F1
O
F2
X
2a 10 a5
x2 y2 1 ( a b 0) 2 2 a b
c a b
2 2 2 2
2
b a c 5 3 16
2 2 2
故所求椭圆的标准方程为：
x2 y2 1 25 16
3.已知椭圆上某点到两定点的距离之和为6， 两个定点之间的距离为 2 5 ，求椭圆的标 准方程。
2 2 2 2 2 2 2
| F1F2|=2c (c>0)
常数=2a (a>0)
a -2a cx+c x =a x -2a cx+a c +a y
(a 2 -c2 )x 2 +a 2 y2 =a 2 (a 2 -c2 )
b a c
2 2 2
(b>0)
a>c
b2 x 2 +a 2 y2 =a 2b2
x y 25 9
2
F1
o
F2
2a 2 c 2
X
1
a 25 a 5 2a 10
2
c 2 a 2 b2 25 9 16 c4 2c 8
长 =10+8=18 所以PF 1F 2的周
已知椭圆 的正半轴分别交于A、B两点，左焦点 ABF1 为F1，求 的面积？ Y
焦点在X轴的椭圆的标准方程：
焦点在Y轴的椭圆的标准方程：
x y ( a b 0) 1 2 2 a b
F 1 ( c,0), F 2 (c,0)
2
2
y x 2 1 2 a b
2
2
(a b 0)
高二数学椭圆基础知识点总结大全
高二数学椭圆基础知识点总结大全椭圆是高中数学中的一种重要的曲线，它具有许多独特的性质和特点。
本文将对高二数学中椭圆的基础知识点进行全面总结，帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
一、椭圆的定义和特征椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a 的点P的轨迹。
F1和F2被称为椭圆的焦点，a被称为椭圆的半长轴。
椭圆的离心率定义为ε = c/a，其中c为焦点之间的距离。
离心率表示了椭圆的扁平程度，ε<1时为椭圆，ε=1时为抛物线，ε>1时为双曲线。
二、椭圆的方程和参数椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
参数方程为x = a*cosθ，y = b*sinθ，其中θ为参数。
三、椭圆的图形性质1. 椭圆关于x轴和y轴对称；2. 椭圆的长轴和短轴分别与x轴和y轴平行；3. 椭圆的左右焦点分别在x轴上方和下方；4. 椭圆的离心率ε满足0 < ε < 1；5. 椭圆的离心率越小，椭圆越圆。
四、椭圆的参数方程以椭圆的中心为原点，a为半长轴，b为半短轴建立直角坐标系，则椭圆上任意一点P(x, y)的参数方程为：x = a*cosθy = b*sinθ其中0 ≤ θ ≤ 2π。
五、椭圆的焦点和准线1. 椭圆的焦点是椭圆上两个固定点F1和F2，它们满足F1F2 = 2a；2. 椭圆的准线是通过椭圆中心且垂直于长轴的直线。
六、椭圆的方程一般形式当椭圆的中心不在坐标原点时，椭圆的方程为：(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1其中(h, k)为椭圆的中心坐标。
七、椭圆的主要性质1. 椭圆的周长公式为C = 4a(E(ε^2))，其中E为椭圆的第一类完全椭圆积分函数；2. 椭圆的面积公式为S = πab；3. 离心率ε和焦距f之间的关系为ε^2 = 1 - (b^2/a^2) = 1 -(f/a)^2。
八、椭圆在几何和物理中的应用椭圆在几何和物理中有许多应用，如天体运动轨迹的研究、光学系统的设计等。
高二人教版数学椭圆知识点
高二人教版数学椭圆知识点椭圆是高中数学中一个重要的几何图形，它在二维平面上呈现出特定的形状和性质。
本篇文章将为大家介绍高二人教版数学课程中关于椭圆的基本知识点。
一、椭圆的定义椭圆是指到两个定点F1和F2距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
其中，F1和F2称为椭圆的焦点，2a为椭圆的长轴长度。
二、椭圆的性质1. 焦距性质：椭圆上任意一点P到两个焦点F1和F2的距离之和等于常数2a。
2. 对称性质：椭圆关于长轴和短轴都具有对称性。
3. 半焦距性质：椭圆的焦点到椭圆上任意一点P的距离之和等于椭圆的长轴长度2a。
4. 离心率性质：椭圆的离心率定义为离心率e = F1P / PF2，其中P为椭圆上任意一点。
离心率决定了椭圆形状的圆形程度，当离心率小于1时，椭圆更加靠近圆形。
三、椭圆的方程椭圆的标准方程可以表示为(x - h)² / a² + (y - k)² / b² = 1，其中(h, k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆的长轴半径和短轴半径。
四、椭圆的参数方程椭圆的参数方程可以表示为x = h + acosθ，y = k + bsinθ，其中θ为参数。
五、椭圆的几个重要点1. 中心点：椭圆的中心点坐标为(h, k)。
2. 长轴端点：椭圆的长轴端点坐标为(h ± a, k)。
3. 短轴端点：椭圆的短轴端点坐标为(h, k ± b)。
4. 焦点坐标：椭圆的焦点坐标为(h ± c, k)，其中c = √(a² - b²)。
六、椭圆的参数方程的参数意义在椭圆的参数方程中，参数θ表示椭圆上的任意一点的弧度角，取值范围为0至2π。
通过改变θ的取值，可以得到椭圆上的所有点坐标。
七、椭圆的图像与实际应用椭圆图形在现实生活中有广泛的应用。
例如，椭圆形状的行星轨道、地球绕太阳的轨迹等都可以用椭圆来描述。
此外，椭圆在艺术设计和建筑设计中也常常被使用。
高二选修一数学圆与椭圆知识点
高二选修一数学圆与椭圆知识点圆与椭圆是数学中重要的几何概念，它们在实际生活和科学研究中都有广泛的应用。
在高二数学选修一课程中，学生将深入学习圆与椭圆的相关知识，包括定义、性质、方程、参数方程、焦点、准线等。
下面将对这些知识点进行详细介绍。
一、圆的知识点1. 圆的定义：圆是由平面上到一个定点距离恒定的点的集合。
2. 圆的性质：a. 圆心：圆上所有点到圆心的距离相等，圆心是圆的中心点。
b. 半径：圆心到圆上任意一点的距离称为圆的半径。
c. 直径：通过圆心的两个点构成的线段称为圆的直径，直径是圆的最长线段，它的长度等于圆的半径的两倍。
d. 弧与弧长：圆上两点间的部分称为圆弧，圆弧的长度称为弧长。
3. 圆的方程：圆的方程可以表示为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心的坐标，r为半径的长度。
二、椭圆的知识点1. 椭圆的定义：椭圆是平面上满足一定距离关系的点的集合。
定义是：对于给定的两个点F1和F2和一个常数2a（a>0），椭圆是满足到F1和F2的距离之和等于2a的点的集合。
2. 椭圆的性质：a. 焦点：椭圆定义中提到的两个点F1和F2称为椭圆的焦点，它们在椭圆的主轴上，且到椭圆的距离之和等于2a。
b. 主轴：通过椭圆的焦点F1和F2的直线称为椭圆的主轴，主轴的长度等于2a。
c. 短轴：与主轴垂直，并通过椭圆圆心的直线称为椭圆的短轴，短轴的长度等于2b。
d. 长轴与短轴：椭圆的长轴是主轴的长度，短轴是短轴的长度。
e. 准线：椭圆的准线是过焦点并垂直于主轴的直线。
3. 椭圆的方程：椭圆的标准方程可以表示为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(h,k)为椭圆的中心点的坐标。
通过学习圆和椭圆的相关知识点，我们可以应用它们解决实际问题。
例如，在航天、天文学、建筑设计等领域，圆和椭圆的性质和方程可以帮助我们计算物体的轨迹、设计合适的结构等。
高中数学---椭圆知识点小结
高二数学椭圆知识点1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.2、椭圆的标准方程1）．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=；2）．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；3、椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a ：是以x 轴、y轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和by ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆12222=+by ax )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。
③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。
a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
（4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作aca c e ==22。
②因为)0(>>c a ，所以e 的取值范围是)10(<<e 。
高二数学椭圆及其标准方程
教学内容：椭圆及其标准方程【基础知识精讲】1.椭圆的定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫做椭圆；这两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做焦距.注意：定义中的常数用2a 表示；｜F 1F 2｜用2c 表示；当2a ＞2c ＞0时；轨迹为椭圆；当2a=2c 时；轨迹为线段F 1F 2；当2a ＜2c 时；无轨迹.这样；椭圆轨迹一定要有2a ＞2c 这一条件.另外；应用定义来求椭圆方程或解题时；往往比较简便.当焦点在x 轴上时：22a x +22b y =1(a ＞b ＞0)当焦点在y 轴上时：22a y +22bx =1(a ＞b ＞0)注意：(1)三个量之间的关系：a 2=b 2+c 2(2)由x 2；y 2的分母大小确定焦点在哪条坐标轴上；x 2的分母大；焦点就在x 轴上；y 2的分母大；焦点就在y 轴上.(3)在方程Ax 2+By 2=C 中；只有A 、B 、C 同号时；才可能表示椭圆方程.(4)当且仅当椭圆的中心在原点；其焦点在坐标轴上时；椭圆的方程才具有标准形式. 本节学习方法：1.求椭圆方程常用待定系数法；定义法；参数法；轨迹法等.2.利用椭圆的定义和标准方程解决有关问题；一般都转化成某些数值的确定；而这些数值的确定可通过列方程；解方程去解决.【重点难点解析】同学们学习“椭圆”应与学习“圆”一样；遵循渐近性；逻辑性.注重数形结合；主要掌握椭圆的定义及其标准方程；需要大家学习本节时；先复习求曲线方程的方法；进行反复的再思考；再分析再理解.例1 求与椭圆92x +42y =1共焦点；且过点M(3；-2)的椭圆方程.解法一：(待定系数法)由已知椭圆方程92x +42y =1得C 2=9-4=5；且焦点在x 轴上；设所求椭圆方程为22a x +522a y =1又∵点M(3；-2)在椭圆上∴29a +542-a =1；得a 4-18a 2+45=0 ∴a 2=15或a 2=3＜5=C 2(舍)∴所求椭圆方程为152x +102y =1解法二：(定义法)椭圆两焦点为F 1(-5；0)；F 2(5；0)；点M(3；-2)到这两个焦点距离之和是2a ；即2a=｜M 1F 1｜+｜M 1F 2｜=4)53(2++ +4)53(2+-=215 ∴a 2=15 b 2=a 2-c 2=15-5=10∴所求椭圆方程为152x +102y =1例2 已知椭圆的中心在原点；以坐标轴为对称轴；且经过两点P 1(6；1)；P 2(-3；-2)；求椭圆的方程.解：设椭圆方程为mx 2+ny 2=1；(m ＞0；n ＞0) 由题意有⎩⎨⎧=+=+12316n m n m解得m=91；n=31 ∴所求椭圆方程为92x +32y =1说明：设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0；n ＞0)可免讨论焦点的位置；而且计算简便. 例3 已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上；点P 到两焦点的距离分别为345和325；过P 作焦点所在轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；求椭圆方程.解：设两个焦点为F 1F 2；且｜PF 1｜=345；｜PF 2｜=325由椭圆定义知2a=｜PF 1｜+｜PF 2｜=25 ∴a=5 而｜PF 1｜＞｜PF 2｜知PF 2与焦点所在的对称轴垂直. ∴Rt △PF 2F 1中；sin ∠PF 1F 2=12PF PF =21 ∴∠PF 1F 2=6π2C=｜PF 1｜cos 6π=3215 ∴b 2=a 2-c 2=310 故所求方程为52x +103y 2=1或103x 2+52y =13.(代入法)与椭圆有关的轨迹问题：常用的方法有定义法；坐标转移法；交轨法；点差法.例4 已知圆C 1：x 2+y 2+4x-12=0与圆C 2:x 2+y 2-4x=0；动圆C 与C 1相内切；且与C 2相外切；求动圆圆心的轨迹方程.解：圆C 1与C 2的标准方程是(x+2)2+y 2=16；(x-2)2+y 2=4圆心分别为C 1(-2；0)；C 2(2；0) 设动圆P 的圆心为P ；半径为r ；有 ｜PC 1｜=4-r ；｜PC 2｜=2+r∴｜PC 1｜+｜PC 2｜=6＞｜C 1C 2｜=4∴P 点在椭圆上运动；又2a=6；2c=4；∴b 2=a 2-c 2=5∴P 的轨迹为92x +52y =1(在已知圆C 1内)【难题巧解点拨】例1 已知MN 是椭圆22a x +22by =1(a ＞b ＞0)中垂直于长轴的动弦；AB 是椭圆长轴的两端点；求直线MA 与NB 的交点P 的轨迹方程.解：设M 、N 的坐标为M(x 0；y 0)；N(x 0；-y 0)；又A(-a ；0)；B(a ；0)所以直线AM 的方程为y=ax y +00(x+a) ①直线BN 的方程为：y=ax y --00)a x (-②①×②得：y 2=22020ax y --(x 2-a 2)③∵点M(x 0；y 0)在椭圆上；∴b 2x 20+a 2y 20=a 2b 2∴x 20-a 2=-22b a y 02；代入得③得：y 2=22ab (x 2-a 2)∴交点P 的轨迹方程为22a x -22by =1例2 已知椭圆22x +y 2=1(1)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程(2)过A(2；1)引椭圆的割线；求截得的弦中点轨迹方程 (3)求过点P(21；21)；且被P 平分的弦所在的直线方程. 解：(点差法)设弦的两端点分别为M(x 1；y 1) N(x 2；y 2)、MN 的中点为P(x ；y)；则 x 21+2y 21=2；x 22+2y 22=2；两式相减并除以(x 2-x 1)得： x 1+x 2+2(y 1+y 2)1212x x y y --=0而x 1+x 2=2x ；y 1+y 2=2y ∴x+2y ·1212x x y y -- =0 (*)(1)将1212x x y y --=2代入(*)式得所求的轨迹方程为x+4y=0(椭圆内部分) (2)将1212x x y y --=21--x y 代入(*)式；得所求的轨迹方程为x 2+2y 2-2x-2y=0(椭圆内部分)(3)将x 1+x 2=1；y 1+y 2=1代入(*)式；得1212x x y y --=-21∴所求的直线方程为2x+4y-3=0例3 已知中心在原点；一焦点为F(0；50)的椭圆被直线l :y=3x-2截得弦的中点横坐标为21；求椭圆方程. 解：∵C=50 ；∴a 2=b 2+50∴可设椭圆方程为5022+b y +22b x =1把直线y=3x-2代入椭圆方程整理得10(b 2+5)x 2-12b 2x-b 4-46b 2=0∴x 1+x 2=)5(101222+b b又∵221x x +=21∴12b 2=10b 2+50解得b 2=25 a 2=75∴所求的椭圆方程为752y +252x =1例4 已知P 为椭圆252x +92y =1上的一点；F 1F 2是椭圆上的两焦点；∠F 1PF 2=60°；求△F 1PF 2的面积.解：∵21PF F S △=21｜PF 1｜·｜PF 2｜sin ∠F 1PF 2 ∴只需求｜PF 1｜·｜PF 2｜即可解得｜PF 1｜·｜PF 2｜=12 ∴21PF F S △=21×12×23=33 例5 已知方程2(k 2-2)x 2+k 2y 2+k 2-k-6=0表示椭圆；求实数k 的取值范围.解：结合椭圆的变形方程式a 2y 2+b 2x 2-a 2b 2=0从而有：∴k ∈(-2；-2)∪(2；2)∪(2；3)例6 △ABC 的三边a ＞b ＞c ；且a+c=2b ；｜AC ｜=2；求顶点B 的轨迹.解：以AC 的中点为坐标原点建立坐标系；则A(-1；0)；C(1；0)；又a+c=2b=4 由椭圆的定义知B 点在椭圆上运动. ∵a ＞b ＞c ；且A 、B 、C 三点不共线∴B 点的轨迹方程是椭圆42x +32y =1；在y 轴左侧的部分；但要去掉点(-2；0)；(0；3)；(0；-3)【知识探究学习】问题：如何用尺规作图法作椭圆的大致示意图.提示：由椭圆的定义作图；建立如图的坐标系；取｜OF 1｜=｜OF 2｜=C ；｜OA 1｜=｜OA 2｜=a在F 1F 2间任取一点P 1；以｜P 1A 1｜为半径；以F 1为圆心画弧；以F 2为圆心；以｜P 1A 21F 2间取一系列点；最后用圆滑曲线连起来即可.请同学们证明.【典型热点考题】例1 求椭圆1002x +252y =1上一动点P 到直线3x+8y+72=0距离的最大值及最小值.分析 常规思路是设P(x 0；y 0)是椭圆上的点；其到直线的距离为d=2200837283+++y x ；怎样求d 的最值呢?这样计算较为麻烦!换一个角度思考；假设椭圆上点P(x 0；y 0)到直线的距离最大或最小；过P 作已知直线的平行线l ′；则l ′与椭圆的位置关系怎样呢?应相切；否则P 一定不是距离的最大或最小.解：设与直线3x+8y+72=0平行直线为3x+8y+t=0；由⎪⎩⎪⎨⎧=+=++12510008322y x t y x 消去y 得：25x 2+6tx+(t 2-1600)=0令△=0即4［9t 2-25(t 2-1600)］=0 ∴t=±50当t=50时；直线3x+8y+50=0与直线3x+8y+72=0间的距离是d 1=737322 当t=-50时；直线3x+8y-50=0与直线3x+8y+72=0间的距离是d 2=7373122 ∴最大距离为7373122；最小距离为737322例2 在面积为1的△PMN 中；tan ∠PMN=21；tan ∠MNP=-2；建立适当的坐标系求出以M 、N 为焦点且过点P 的椭圆方程.分析 以MN 所在直线为x 轴；线段MN 的垂直平分线为y 轴；建立直角坐标系如下图.设所求椭圆方程为22a x +22by =1(a ＞b ＞0)；分别设M 、N 、P 点坐标为(-c ；0)；(c ；0)和(x 0；y 0).∵tan α=tan(π-∠MNP)=2由题设知⎪⎩⎪⎨⎧-=+=)(2)(210000c x y c x y解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==c y c x 343500即 P(35c ； 34c) 在△MNP 中；｜MN ｜=2c ；MN 上的高为34c ∵S △MNP =21·2c ·34c=1 ∴c=23即P(635；333) ∵点P 在椭圆上且a 2=b 2+c 2∴2222)332()23()635(b b ++=1 解得 b 2=3或b 2=-31(舍去) ∴a 2=b 2+c 2=415 故所求椭圆方程为：154x 2+32y =1【同步达纲练习】A 级一、选择题1(-8；0)和F 2(8；0)；且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20；则此椭圆方程是( ) 2+1002y =1B.4002x +3362y =1 C.1002x + 362y =1D. 202x +122y =192x +42y =1共焦点；且过点P(3；-2)的椭圆方程是( ) A. 152x +192y =1B. 102x +152y =1C.152x + 102y =1D.102x +152y =1m x 2+42y =1的焦距是2；则m 的值是 ( ) A.5B.8C.5或3252x + 92y =1左焦点F 1引直线l 交椭圆于A 、B 两点；F 2是椭圆的右焦点；则△ABF 2的周长是( )A.16B.18C.205.以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P(53；-4)和Q(-54；3)；此椭圆的方程是( ) A. 252x +y 2=12+252y =1 C.252x +y 2=1或x 2+252y =1 D.非A 、B 、C 答案二、填空题6.椭圆以两条坐标轴为对称轴；一个顶点是(0；13)；另一个顶点是(-10；0)；则焦点坐标是 .7.椭圆以坐标轴为对称轴；长、短半轴之和为10；焦距为45；则椭圆方程为 .452x +202y =1上；F 1；F 2是椭圆的焦点；若PF 1⊥PF 2；则P 点的坐标是 .三、解答题22a x +22by =1(a ＞b ＞0)的两个焦点及其与坐标轴的一个交点正好是一个等边三角形的三个顶点；且椭圆上的点到焦点距离的最小值为3；求椭圆的方程.92x +42y =1上的点P 到其右焦点的距离是长轴两端点到右焦点的距离的等差中项；求P 点坐标.AA 级一、选择题△ABC 中；A(-1；0)；C(1；0)；且｜BC ｜、｜CA ｜、｜AB ｜成公差为负的等差数列；则顶点B 的轨迹方程为( )A. 42x +32y =1B. 42x +32y =1(x ＞0)C. 42x +32y =1(-2＜x ＜0＝D. 42x +32y =1(x ＜0)2.椭圆的焦点为(-2；0)和(2；0)；且椭圆过点(25；-23)；则椭圆方程是( ) A. 102y +62x =1B. 102x +62y =1C. 82y +42x =1D. 42y +82x =1252x +162y =1上的点；它到左焦点的距离等于它到右焦点距离的2倍；则P 点的坐标是( )A.(1；986)B. (925；9814)C.(1；±986)D. (925；±9814) 4.若关于x ；y 的方程x 2sin α-y 2cos α=1所表示的曲线是椭圆；则方程(x+cosα)2+(y+sin α)2=1所表示的圆心在( )5.椭圆的对称轴是坐标轴；O 为坐标原点；A 是一个顶点；若椭圆的长轴长是6；且cos ∠OFA=32则椭圆的方程是( ) A. 362x +202y =1B. 92x +52y =1C. 202x +362y =1或362x +202y =1D. 92x +52y =1或52x +92y =1二、填空题△ABC 中；若B 、C 的坐标分别是(-3；0)和(3；0)；则点A 的轨迹方程是 .7.直线x-y-m=0与椭圆92x +y 2=1相切；则m 的值是 .∶4；短轴长为8；则椭圆的标准方程是三、解答题92x +182y =1的内接矩形的长与宽的比是3∶2；求矩形的面积.22a x +22b y =1(a ＞b ＞0)上存在一点P ；使得OP ⊥AP(O 为原点；A 为长轴端点)；求证：a ＞2b.【素质优化训练】 一、选择题42x +32y =1；F 1F 2是它的两个焦点；P 是这个椭圆上任意一点；那么当｜PF 1｜·｜PF 2｜取最大值时；P 、F 1、F 2三点( )2.A 、B 分别是x 轴；y 轴正方向上的点；F 为OA 上的点；∠OFB=30°；当S △ABF =2-3；那么以OA 为长半轴；OB 为短半轴；F 为焦点的椭圆方程是( ) A. 92x +42y =1 B. 102x +52y =1 C. 252x +102y =1 D. 82x +22y =1 2+by 2=-ab(a ＜b ＜0＝的焦点坐标是( )A.(±b a -；0)B.(±a b -；0)C.(0；±b a -)D.(0；±a b -) 1、B 2是椭圆短轴的两端点；过左焦点F 1作长轴的垂线交椭圆于P ；若｜F 1B 2｜是｜OF 1｜和｜B 1B 2｜的比例中项；则21OB PF 的值是( ) A.2 B. 22 C. 23 D. 32 5.若M(x ；y)适合arcsin 2x +arccos 3y =π；则点M 轨迹方程是( ) A. 42x +92y =1(x ≠0) B. 42x +92y =1(x ≤0；y ≥0) C. 42x +92y =1(y ≠0) D. 42x +92y =1(x ≥0；y ≤0)二、填空题 92x +42y =1上各点与其左焦点所连线段中点的轨迹方程为 . 7.若B(-8；0)；C(8；0)为△ABC 的两顶点；AC 和AB 两边上的中线之和是30；则△ABC 的重心轨迹的标准方程是 .42x +92y =1的两焦点F 1；F 2；以F 1F 2为直径的圆与椭圆相交于其中一个交点P ；则△F 1PF 2的面积是 .三、解答题22a x +22b y =1(a ＞b ＞0)；A 、B 是椭圆上的两点；线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点P(x 0；O)；证明：-a b a 22-＜x 0＜ab a 22-22a x +22by =1(a ＞b ＞0)上一点；过P 作圆x 2+y 2=b 2的两条切线PA 、PB ；A 、B 为切点；直线AB 分别交x ；y 轴于M 、N ；求△OMN 面积的最小值.【生活实际运用】1.取一条一定长的细绳；把它的两端固定在画图板上的F 1和F 2两点；当绳长大于F 1和F 2的距离时；用铅笔尖把绳子拉紧；使笔尖在图板上慢慢移动；就可画一个椭圆.2.一束光线垂直于一个墙面；将一块圆形纸板置于光源与墙面之间；墙面会出现纸板的影子；变化纸板与光线的角度；影子的形状也会发生变化；观察这些影子会出现哪些不同的形状.参考答案：A 级1.C2.C3.C4.C5.B6.(0；-69) (0；69)7. 362x +162y =1或362y +162x =1 8.(3；4)；(3；-4)；(-3；4)；(-3；-4) 9. 122x +92y =1 10.(0；2)或(0；-2) AA 级 1.C 2.B 3.D 4.D 5.D 6. 252x +162y =1(y ≠0) 7.±10 8. 252x +162y =1或252y +162x =1 9. 11216或17432 10.设P(x 0；y 0)；A(a ；0)；则y 20=22a b (a 2-x 20)；由OP ⊥AP 得y 20=x 0(a-x 0)；解得x 0=222ba ab -；不妨设P 在第一象限；则0＜x 0＜a ；即0＜222b a ab -＜a ；得a ＞2b. 【素质优化训练】1.B2.D3.D4.B5.D6.9)52(2 x +y 2=17. 1002x +362y △OMNmin =a b 3。
高二数学(文)椭圆两种定义及其应用
椭圆两种定义及其应用【温故知新】1．椭圆的定义：平面内到两定点1F ，2F 的距离和为 常数（大于|1F 2F |）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点 ，两焦点的距离叫做焦距 ．2.由椭圆)0(12222>>=+b a by a x 可知椭圆的几何性质：（1）范围：b y b a x a ≤≤-≤≤-,（2）对称性：关于x 轴、y 轴对称，关于原点对称 （3）顶点：),0(),0,(),0,(),0,(b b a a --（4）离心率：cae =【新知探究】1．椭圆定义的应用：例1．如图，1F ，2F 是椭圆13422=+y x 的左右焦点，P 为椭圆上一点，且 6021=∠PF F ，求21F PF ∆的面积．【小结】焦点三角形面积公式点),(00y x P 在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一动点，1F ，2F 为其左右焦点，设θ=∠21PF F ，则=21PF F S ∆2tan2θb 。
例2．已知P 为椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上一点，1F ，2F 是其左右焦点，且12021=∠F PF ， 3021=∠F PF ，求椭圆的离心率．2．椭圆第二定义：例3．点),(y x M 与定点)0,4(F 的距离和它到直线l ：425=x 的距离的比是常数54，求点M的轨迹．【小结】椭圆第二定义：平面内与定点F （c ，0）的距离和它到定直线l ：c a x 2=的距离的比是常数c（a >c>0） 的点的轨迹是一个椭圆，其中定点F 叫椭圆的焦点，定直线l 叫椭圆相应于焦点F 的准线，常数ac叫椭圆的离心率． 在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 中，相应于焦点)0,(/c F -的准线/l ：c a x 2-=。
同时，我们还可以得到椭圆的焦半径公式：若),(00y x P 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，则=||1PF 0ex a + ；=||2PF 0ex a - ．3．两种定义的综合应用：例4．已知点P 为椭圆1162522=+y x 的上任意一点，1F 、2F 分别为左右焦点；)2,1(A 是椭圆内一定点．求：（1）||||1PF PA +的最大值； （2）||35||1PF PA +的最小值及点P 的坐标．例5．（1）已知 P 是椭圆13610022=+y x 上一点，若 P 到椭圆右准线的距离是217，则P 到左焦点的距离为_____________．（2）设AB 是过椭圆右焦点的弦，那么以AB 为直径的圆必与椭圆的右准线（ ） A ．相切 B ．相离 C ．相交 D ．相交或相切【巩固练习】1．椭圆125922=+y x 的准线方程是（ ） A ．425±=x B ．516±=y C ．516±=x D ．425±=y2．到定点)0,2(的距离与到定直线8=x 的距离之比为22的动点的轨迹方程是（ ） A ．1121622=+y x B ．1161222=+y x C ．0568222=-++x y x D ．06882322=+-+x y x3．椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的中心及两个焦点将x 轴夹在两准线间的线段四等分，则椭圆的离心率为（ ） A ．22 B ．21C ．23D ．33 4．已知椭圆13422=+y x 内有一点)1,1(-P ， F 为椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M ，使||2||MF MP +取得最小值，则点M 的坐标为（ ）A ．)1,362(- B ．)1,362(-± C ．)23,1(- D ．)1,362(-- 5．已知点),22(y A 是椭圆1121622=+y x 上的点，F 是其右焦点，则=||AF 6．．椭圆1162522=+y x 上的点M 到左准线的距离是25，求M 到左焦点的距离为 ；到右焦点的距离为 ．7．点P 在椭圆221259x y +=上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标是 ．8．已知P 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，1F ，2F 为两焦点，且P F P F 21⊥，若P到两准线的距离分别为6和12，求此椭圆方程．9．已知A ，B 为椭圆19252222=+ay a x 上的两点，2F 是椭圆的右焦点．若 ||||22BF AF + a 58=，AB 的中点到椭圆左准线的距离是23，试确定椭圆的方程．（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
高二数学椭圆与双曲线的异同
椭圆与双曲线的异同 一、椭圆：
1）椭圆的定义： （大于||21F F ）的点的轨迹。
第二定义： 是常数)10(<<e e 的点的轨迹。
注意：||221F F a >表示 ；||221F F a =表示 ；||221F F a <没有轨迹；
2)椭圆的标准方程、图象及几何性质：
中心在原点，焦点在x 轴上
中心在原点，焦点在y 轴上
标准方程
)0(122
22>>=+b a b
y a x 图 形
范 围 顶 点
对称轴 x 轴，y 轴；短轴为b 2，长轴为a 2
焦 点
焦 距 离心率
准 线
二、双曲线：
1）双曲线的定义： （小于||21F F ）的点的 轨迹。
第二定义： 是常数)1(>e e 的点的轨迹。
注意：a PF PF 2||||21=-与a PF PF 2||||12=-（||221F F a <）表示双曲线的一支。
||221F F a =表示 ；||221F F a >没有轨迹；a 2=0表示
(2)双曲线的标准方程、图象及几何性质：
中心在原点，焦点在x 轴上
中心在原点，焦点在y 轴上
标准方程
图 形
范 围
顶 点
),0(),,0(21a B a B -
对称轴 x 轴，y 轴；虚轴为b 2，实轴为a 2
焦 点
焦 距 )0(2||21>=c c F F 222
b a c
+=
离心率
)1(>=
e a
c
e （离心率越大，开口越大） 准 线 渐近线。
高二数学椭圆标准方程
y
由椭圆定义有： PF1 PF2 2a 任意一点 ，
( x c )2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a
P
F2
即
F1
o
x
2 2 2 移项平方，化简得 cx a a ( x c ) y
移项得：a ( x c ) 2 y 2 a 2 cx
2 2 2 2 2 2 2 2
(a c ) x a y a ( a c ) 两边平方，化简得：
x2 y2 2 2 a c 0 即 2 2 1 2 a a c 令 b 2 a 2 c 2 ( b 0)
得
x y 2 1 2 a b
2
2
y
F1 (0,c) , F2 (0, c)
PF1 PF2 2a
F2
P( x , y )
X
x 2 ( y c ) 2 x 2 ( y c ) 2 2a
O
F
1
a
x y 1 2 2
2
2
b
y
y
P( x, y)
F2
F2
P( x, y)
F1
o
x
o
F1
x
x y 2 1 2 a b
2
2
y x 2 1 2 a b
2
2
如何根据标准方程判断焦点在哪个坐标轴上？
例Байду номын сангаас分析：
例1. 已知椭圆的焦点为F1(0，－6)，
F2(0，6)，且椭圆过点P(2，5)，求
椭圆的标准方程．
例2.已知一个运油车上的贮油罐横截面的 外轮廓线是一个椭圆,它的焦距为2.4m,外轮 廓线上的点到两个焦点距离的和为3m, 求这个椭圆的标准方程.
高二数学椭圆知识点
高二数学椭圆知识点一、引言简要介绍椭圆在数学中的重要性及其在现实世界中的应用。
二、椭圆的定义1. 标准定义：在平面上，到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的轨迹称为椭圆。
2. 几何定义：由椭圆的中心、焦点和任意一点构成的三角形，其两边之和大于第三边。
三、椭圆的性质1. 焦点和焦距- 焦点：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是常数，这个常数是椭圆的长轴。
- 焦距：两个焦点之间的距离。
2. 长轴和短轴- 长轴：椭圆上最长的直径，通过两个焦点。
- 短轴：垂直于长轴的最短直径。
3. 离心率- 定义：焦点到椭圆中心的距离与焦距的比值。
- 性质：离心率的值介于0和1之间（不包括1）。
四、椭圆的标准方程1. 直角坐标系中的椭圆方程- 横向椭圆：`(x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) = 1` (a > b)- 纵向椭圆：`(y^2)/(a^2) + (x^2)/(b^2) = 1` (a < b)2. 参数a、b、c的关系：`c^2 = a^2 - b^2`五、椭圆的图形特征1. 椭圆的对称性2. 椭圆的边界3. 椭圆的内含角和外切角六、椭圆的面积计算- 公式：`A = πab`七、椭圆的应用问题1. 椭圆在几何问题中的应用2. 椭圆在物理和工程问题中的应用3. 椭圆在天文学中的应用八、椭圆的相关问题解答1. 椭圆与圆的关系2. 椭圆的切线问题3. 椭圆的焦点反射性质九、练习题提供几个关于椭圆的计算和证明问题，包括：- 求椭圆的焦点坐标- 计算椭圆的面积- 求椭圆的离心率- 椭圆上的切线问题十、结论总结椭圆的重要性和在数学学习中的地位。
请根据上述概要，逐一扩展每个部分的内容，确保每个部分都有详细的解释和必要的数学公式。
同时，可以添加图表和示例来帮助理解。
最终的文章应该是逻辑清晰、结构严谨、语言准确，并且格式规范，便于读者阅读和理解。
高二数学椭圆通经知识点
高二数学椭圆通经知识点椭圆是二次曲线的一种，具有许多重要的性质和应用。
在高二数学学习中，学生将接触到椭圆的基本定义、性质和相关公式。
本文将介绍高二数学学习中涉及到的椭圆的主要知识点。
一、椭圆的定义和特点椭圆可以由两个焦点F1和F2以及到这两个焦点距离之和等于常数2a的点的集合定义。
其中，焦距是两个焦点之间的距离，长轴是通过焦点的线段，短轴是垂直于长轴通过焦点的线段。
椭圆的主要特点有：1. 长短轴之比为b/a：椭圆的长短轴之比称为离心率，用e表示。
2. 中心：椭圆的中心为两个焦点的中点。
3. 对称性：椭圆具有两种对称轴，分别是长轴和短轴。
4. 焦点与顶点的坐标：焦点的坐标为(F1,0)和(F2,0)，顶点的坐标为(a,0)和(-a,0)。
5. 离心率与几何性质：离心率e决定了椭圆的形状，当e<1时为椭圆，e=1时为抛物线，e>1时为双曲线。
二、椭圆的方程椭圆的标准方程为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)为椭圆中心的坐标。
当椭圆的中心为原点时，方程可以简化为：x²/a² + y²/b² = 1。
三、椭圆的焦点坐标椭圆的焦点坐标可以通过以下公式计算：F1 = (ae,0)，F2 = (-ae,0)，其中e为离心率，a为椭圆长轴的长度。
四、椭圆的参数方程椭圆的参数方程表示了椭圆上每个点的坐标，参数为角度θ。
x = a*cosθ，y = b*sinθ。
五、椭圆的周长和面积椭圆的周长C和面积S可以通过以下公式计算：C = 4a*E(e)，S = π*a*b，其中E(e)为椭圆的第二类完全椭圆积分，π为圆周率。
六、椭圆的性质和应用椭圆具有许多重要的性质和应用，包括：1. 投影性质：当椭圆的平面与投影平面平行时，投影是一个圆。
2. 聚焦性质：椭圆折射光线具有将入射光线聚焦到焦点的性质，这一性质在光学系统的设计中有广泛应用。
高二数学——椭圆讲解
高二数学——椭圆讲解只有一条路不能选择——那就是放弃的路；只有一条路不能拒绝——那就是成长的路。
基本知识概要 1 椭圆的两种定义：①平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()212F F a >的点的轨迹，即点集M={P||PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。
其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。
②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P|e dPF =，0＜e ＜1的常数}。
（1=e 为抛物线；1>e 为双曲线） 2 标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by ax （a ＞b ＞0）； 焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。
其中22ba c -=（一个∆Rt ）（2）焦点在y 轴上，中心在原点：12222=+bx ay （a ＞b ＞0）； 焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。
其中22ba c -=注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22ba c -=并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。
3.性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by a x （a ＞b ＞0）有以下性质：坐标系下的性质：① 范围：|x|≤a ，|y|≤b ；② 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O （0，0）； ③ 顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ），长轴|A 1A 2|=2a ，短轴|B 1B 2|=2b ；（a半长轴长，b 半短轴长）； ④ 准线方程：cax 2±=；或cay 2±=⑤ 焦半径公式：P （x 0，y 0）为椭圆上任一点。
高二数学(椭圆及双曲线)
图形
标准方程 第一定义
x2 a2
y2 b2
1 a
0,b
0
y2 a2
x2 b2
1 a
0,b
0
到两定点 F1 、F2 的距离之差的绝对值等于常数 2a ，即 | MF1 | | MF2 | 2a
9
第二定义 范围
（ 0 2a | F1F2 | ）
与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数 e ，即 MF e (e 1)
圆与圆 C 关于直线 x+y﹣2=0 对称． （l）求圆 C 的方程； （2）过点 P（m，0）作圆 C 的切线，求切线长的最小值以及相应的点 P 的坐标．
4
14．（2015 秋•城厢区校级期中）已知 F1（﹣1，0）、F2（1，0）为椭圆 C 的左、右焦点，且 点 P（1， ）在椭圆 C 上．
（1）求椭圆 C 的方程； （2）若直线 y=x+1 与椭圆 C 交于 A、B 两点，求弦长|AB|．
=1（a＞b＞0）上的点 P 到左、右两焦点 F1，F2 的距
离之和为 2 ，离心率为 ．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过右焦点 F2 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点．
（1）若 y 轴上一点
满足|MA|=|MB|，求直线 l 斜率 k 的值；
（2）是否存在这样的直线 l，使 S△ABO 的最大值为 （其中 O 为坐标原点）？若存在， 求直线 l 方程；若不存在，说明理由．
7．（2015•上海模拟）已知 F1，F2 是椭圆
|PF1|•|PF2|的最大值是（ ）
A．9
B．16
的两个焦点，P 是椭圆上的任意一点，则
C．25
高二椭圆数学知识点总结
高二椭圆数学知识点总结椭圆是解析几何中非常重要的一个曲线。
在高二数学课程中，我们学习了椭圆的一系列性质和定理。
本文将总结高二椭圆数学知识点，帮助大家系统地理解和掌握椭圆的相关内容。
1. 椭圆的定义和基本性质椭圆可以通过两个焦点和所有到这两个焦点距离之和等于常数的点的集合来定义。
其中，两个焦点分别为F1和F2，到焦点的距离之和为2a，a为椭圆的长半轴，中点O为短半轴b。
2. 椭圆的方程椭圆的标准方程为(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h, k)为椭圆的中心坐标。
若椭圆的长轴与x轴平行，则方程化简为(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1。
3. 椭圆的离心率椭圆的离心率e描述了椭圆形状的圆心偏移程度。
离心率的计算公式为e = c/a，其中c为焦点到圆心的距离。
离心率决定了椭圆的扁平程度，当e<1时，椭圆更加扁平，当e=1时，椭圆退化为圆。
4. 椭圆的几何性质（1）焦点引法：椭圆上的点P到焦点F1和F2的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 = 2a。
这一性质可以用来解决直线和椭圆的切点问题。
（2）弦长定理：椭圆内任意两点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)的连线段P1P2的长度为2a * sqrt(1 - e^2 * cos^2θ)，其中θ为P1P2与椭圆长轴的夹角。
（3）切线定理：椭圆上任一点P处的切线斜率等于y轴上点P 到两焦点连线的斜率的相反数。
（4）四边形面积定理：以椭圆的两焦点F1、F2及椭圆上两点A、B为对角线的四边形面积为2ab，其中A、B为椭圆上的点。
5. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程为x = h + a * cosθ，y = k + b * sinθ，其中θ为参数，范围为0到2π。
6. 椭圆的焦点和直线的关系对于给定的椭圆和直线，若直线不经过椭圆的焦点，则直线与椭圆相交于两个点；若直线与椭圆相切，则有且仅有一个交点；若直线经过椭圆的焦点，则直线与椭圆没有交点。
高二数学第一册知识点椭圆
高二数学第一册知识点椭圆椭圆是数学中一种重要的几何形状，广泛应用在各个领域中。
在高二数学第一册中，学习椭圆是一个重要的知识点。
本文将详细介绍椭圆的定义、性质以及相关定理的应用。
1. 椭圆的定义椭圆可以简单地定义为平面上到两个固定点（焦点）的距离之和等于常数的点的集合。
而该常数称为椭圆的离心率，离心率的取值范围是0到1之间。
2. 椭圆的性质（1）对于椭圆上的任意一点P，到两个焦点的距离之和等于两个焦半径的长度。
（2）椭圆的两个焦点关于中心对称，且中心处于椭圆的对称轴上。
（3）椭圆的长轴是通过两个焦点且垂直于椭圆的短轴的线段。
（4）椭圆的离心率等于焦距与长轴长度的比值。
3. 椭圆的方程椭圆的标准方程通常可以表示为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h, k)为椭圆的中心坐标，a和b分别是长轴和短轴的长度。
4. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程可以表示为x = h + a*cosθy = k + b*sinθ，其中θ为参数，取值范围是0到2π。
5. 椭圆的焦点方程椭圆的焦点坐标可以表示为F₁(h-c, k)和F₂(h+c, k)，其中c为焦距的一半，c² = a² - b²。
6. 椭圆的常见定理（1）实施定理：椭圆上任意一点P的切线与两个焦点F₁和F₂的连线之间的夹角等于椭圆法线与椭圆长轴的夹角。
（2）布里亚定理：椭圆上任意一点P到两个焦点F₁和F₂的距离之和等于椭圆上任意一点到椭圆的直径的距离之和。
7. 椭圆的应用（1）椭圆在天体力学中的应用：椭圆轨道是描述行星运动的基本模型。
（2）椭圆在建筑设计中的应用：椭圆形状可以用来设计建筑物的门廊、窗户等部分，增加建筑的美观性。
（3）椭圆在电子产品设计中的应用：椭圆形状可以用来设计电子设备的触摸按钮、屏幕等部分，提高用户体验。
综上所述，椭圆是高二数学第一册中的重要知识点。
高二数学椭圆知识点整理
一、椭圆的定义：(1) 椭圆的第一定义:平面内与两定点21F F 、的距离和等于常数()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.说明：两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距()c 2.(2) 椭圆的第二定义：平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e ，当10<<e 时，点的轨迹是椭圆. 椭圆上一点到焦点的距离可以转化为到准线的距离.二、椭圆的数学表达式：()0222121>>=+F F a a PF PF ;(){}.02,22121>>=+=F F a a PF PF P M 三、椭圆的标准方程：焦点在x 轴: ()012222>>=+b a by a x ； 焦点在y 轴: ()012222>>=+b a bx a y . 说明：a 是长半轴长，b 是短半轴长，焦点始终在长轴所在的数轴上，且满足.222c b a +=四、二元二次方程表示椭圆的充要条件方程()B A C B A C By Ax ≠=+均不为零，且、、22表示椭圆的条件： 上式化为122=+CBy C Ax ，122=+BC y A C x .所以，只有C B A 、、同号，且B A ≠时，方程表示椭圆；当B C A C >时，椭圆的焦点在x 轴上；当BC A C <时，椭圆的焦点在y 轴上.五、椭圆的几何性质（以()012222>>=+b a by a x 为例） 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,12222≤≤by a x ，即b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题.2.对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。
3.顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个：()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、--4. 长轴、短轴：21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长；21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长.5.离心率（1）椭圆焦距与长轴的比a c e =，()10,0<<∴>>e c a （2）22F OB Rt ∆,2222222OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率.（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -=越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越接近于0，从而22c a b -=越大，椭圆越接近圆；当0=e 时，b a c ==,0，两焦点重合，图形是圆.6.通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦），通径长为ab 22. 7.设21F F 、为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，当21F F P 、、三点不在同一直线上时，21F F P 、、构成了一个三角形——焦点三角形. 依椭圆的定义知：c F F a PF PF 2,22121==+.例题选讲一、选择题1．椭圆1422=+y x 的离心率为（ ）A ．23 B ．43 C ．22 D ．32 2．设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于（ ）A ． 4B ．5C ． 8D ．10 3．若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21， 则m=（ ） A ．3 B ．23 C ．38 D ．32 4．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ）A ．2 3B ．6C ．4 3D ．125．如图，直线022:=+-y x l 过椭圆的左焦点F 1和 一个顶点B ，该椭圆的离心率为（ ）A ．51B ．52C ．55D ．552 6．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A ．32B ．33C ．22D ．23 7．已知以F 1（-2,0），F 2（2,0）为焦点的椭圆与直线043=++y x 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ）A ．23B ．62C ．72D ．24二、填空题：8． 在ABC △中，90A ∠=，3tan 4B =．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．9． 已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆顶点(4,0)A -和(4,0)C ，顶点B 在椭圆192522=+y x 上，则sin sin sin A C B += . 11．椭圆4422=+y x 长轴上一个顶点为A ，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是_______________．三、解答题12．已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值．13．已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆 的标准方程．14．已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆，求k 的取值范围．15．已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围．16. 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程．《导数及其应用》知识点总结一、导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --。
高二数学讲义椭圆标准方程(精品-原创有答案)
高二数学讲义第六讲 椭圆的标准方程知识梳理1. 椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点.当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在;当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段；12220220022a c a c F F a c >>⇔⎫⎪=>⇔↔⎬⎪<<⇔⎭椭圆线段无意义，轨迹不存在 数形结合 （2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10<<e )的点的轨迹为椭圆，(椭圆的焦半径公式：|PF 1|=a+ex 0, |PF 2|=a-ex 0)。
（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）. 2.椭圆的方程与几何性质:○2、参数方程：cos sin x a y b φφ=⎧⎨=⎩),(00y x P 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的位置关系:当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆外; 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆内; 当12222=+by a x 时,点P 在椭圆上;直线与椭圆相交0>∆⇔;直线与椭圆相切0=∆⇔;直线与椭圆相离0<∆⇔5.几个概念： ①通径：2b 2a ; ③点与椭圆的位置关系： ④22221x y a b+=上任意一点P 与两焦点21,F F 构成的三角形可称为椭圆的焦点三角形. ⑤弦长公式：；⑥椭圆在点P （x 0，y 0)处的切线方程：00221x x y ya b+=; ○7基本三角形：中心焦点短轴顶点这三点构成椭圆的基本三角形。
高二上数学知识点椭圆
高二上数学知识点椭圆椭圆是数学中一种重要的曲线，广泛应用于几何学以及物理学中。
下面将逐一介绍椭圆的定义、性质以及相关的定理。
一、椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的动点P的轨迹。
这两个定点F1和F2称为椭圆的焦点，而轨迹上的每个点P到两个焦点的距离之和等于常数2a。
二、椭圆的性质椭圆有以下几个重要的性质：1. 首先，在椭圆上任意取一点P，过点P分别作P到两个焦点的垂线，这两条垂线与椭圆的两条轴交于四个点A、B、C、D。
通过实际计算可以得到这四个点满足AC + BD = 2a，其中a为椭圆的长半轴。
2. 其次，根据椭圆定义可知，椭圆上到两个焦点的距离之和等于常数2a，所以对于椭圆上的任意一点Q，可以得到QF1 + QF2 = 2a。
3. 再次，椭圆是关于两条轴对称的，即椭圆上的任意一点Q关于两条轴对称的点Q'也在椭圆上。
4. 最后，与椭圆的焦点连线相交于椭圆上的两个点，则两焦点与这两个焦点之间的连线构成的四边形面积相等。
三、椭圆的相关定理1. 定理一：弦长定理若在椭圆上任取两点P、Q，并分别连接两焦点F1、F2与这两点，那么线段PF1 + QF2 的长度等于线段PQ的长度。
2. 定理二：切线性质椭圆上的切线与该点到两个焦点的连线垂直。
3. 定理三：切线的交点椭圆上一条切线与两个焦点连线的交点构成的线段，称为切线段。
两条不同的切线段交于一点，该点在椭圆上。
四、椭圆的方程椭圆的标准方程为：[(x - h)² / a²] + [(y - k)² / b²] = 1，其中(a>b>0)。
椭圆的中心坐标为(h, k)，a为椭圆的长半轴，b为椭圆的短半轴。
五、椭圆的应用椭圆广泛应用于实际生活中的各个领域，例如天文学、卫星轨道设计、球类运动等。
在天文学中，行星、卫星以及彗星的轨道就可以近似看作椭圆。
而在卫星轨道设计以及导弹轨迹计算中，也离不开椭圆的存在。
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