数学分析下——二元函数的极限课后习题
数学分析16.2二元函数的极限
第十六章 多元函数的极限与连续2二元函数的极限一、二元函数的极限定义1：设f 为定义在D ⊂R 2上的二元函数，P 0为D 的一个聚点，A 是一个确定的实数. 若对任给正数ε，总存在某正数δ，使得 当P ∈U ⁰(P 0;δ)∩D 时，就有|f(P)-A|<ε，则称f 在D 上当P →P 0时以A 为极限，记作：DP P P 0lim ∈→f(P)=A. 当明确P ∈D 时，也简写为0P P lim →f(P)=A.当P ,P 0分别以坐标(x,y), (x 0,y 0)表示时，也常写为)y ,x ()y ,x (00lim→f(P)=A.例1：依定义验证：)1,2()y ,x (lim →(x 2+xy+y 2)=7.证：函数f(x,y)= x 2+xy+y 2定义R 2上. |x 2+xy+y 2-7|=|(x 2-4)+xy-2+(y 2-1)|=|(x+2)(x-2)+(x-2)y+2(y-1)+(y+1)(y-1)|=|(x-2)(x+y+2)+(y-1)(y+3)| ≤|x-2||x+y+2|+|y-1||y+3|.方法一：在点P 0(2,1)的δ方邻域中，U ⁰(P 0;δ)内所有点组成的点集为：{(x,y)|0<|x-2|<δ, 0<|y-1|<δ}. ∴当点P(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)时，有|x 2+xy+y 2-7|≤|x-2|(|x-2|+|y-1|+5)+|y-1|(|y-1|+4)<δ(3δ+9)=3δ2+9δ. ∴∀ε>0，只要取δ=612ε189++->0，当P(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)时，就有|x 2+xy+y 2-7|<ε，即)1,2()y ,x (lim →(x 2+xy+y 2)=7.方法二：先取δ=1，则U ⁰(P 0;1)内的点集为：{(x,y)|0<|x-2|<1, 0<|y-1|<1}.于是有|y+3|≤|y-1|+4<5，|x+y+2|≤|x-2|+|y-1|+5<7. ∴|x 2+xy+y 2-7|≤7|x-2|+5|y-1|<7(|x-2|+|y-1|). ∴∀ε>0，只要取δ=min{1,14ε}，则当P(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)时，就有 |x 2+xy+y 2-7|<ε，即)1,2()y ,x (lim →(x 2+xy+y 2)=7.例2：设f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-)0,0()y ,x (0)0,0()y ,x (y x y x xy 2222，，，证明：)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0. 证：函数f(x,y)定义R 2上.方法一：在方邻域U ⁰(O;δ)内的点集为{(x,y)|0<|x|<δ, 0<|y|<δ}.又2222y x y x xy +-=|xy|2222yx y x +-≤|xy|2xy y x 22-=2y x 22-≤2|y ||x |22+，∴∀ε>0，只要取δ=ε，则当P(x,y)∈U ⁰(O;δ)时，就有2222yx y x xy +-<δ2=ε，∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0. 方法二：对函数自变量作极坐标变换得x=rcos φ, y=rsin φ，则 (x,y)→(0,0)等价于对任何φ都有r →0.∵2222yx y x xy +-=41r 2|sin4φ|≤41r 2，∴∀ε>0，只要取δ=2ε，则当0<r=22y x +<δ时，不管φ取什么值，都有|f(x,y)-0|<ε， ∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0.定理16.5：DP P P 0lim ∈→f(P)=A 的充要条件是：对于D 的任一子集E ，只要P 0是E 的聚点，就有EP P P 0lim ∈→f(P)=A.证：[必要性]若DP P P 0lim ∈→f(P)=A ，E ⊂D 以P 0为聚点，则∀ε>0，∃δ>0，当P ∈U ⁰(P 0;δ)∩D 时，有|f(P)-A|<ε，从而当P ∈U ⁰(P 0;δ)∩E 时，仍有 |f(P)-A|<ε，∴EP P P 0lim ∈→f(P)=A.[充分性]若DP P P 0lim ∈→f(P)≡/ A ，则存在ε0>0，使得对任意的n ，存在P n ∈U ⁰(P 0;n1)∩D 满足|f(P n )-A|≥ε0. 令E={P n |n=1,2,…}，则E ⊂D 以P 0为聚点，对数列{f(P n )}有EP P P 0lim ∈→f(P)=∞→n lim f(P n )≠A. 反之则有当EP P P 0lim ∈→f(P)=A ，有DP P P 0lim ∈→f(P)=A.推论1：设E 1⊂D ，P 0是E 1的聚点，若10E P P P lim ∈→f(P)不存在，则DP P P 0lim ∈→f(P)也不存在.推论2：设E 1,E 2⊂D ，P 0是它们的聚点，若存在极限10E P P P lim ∈→f(P)=A 1, 20E P P P lim ∈→f(P)=A 2, 但A 1≠A 2, 则DP P P 0lim ∈→f(P)不存在.推论3：极限DP P P 0lim ∈→f(P)存在的充要条件是：对于D 中任一满足条件P n ≠P 0, 且∞→n lim P n =P 0的点列{P n }，它所对应的数列{f(P n )}都收敛.证：[必要性]由定理16.5可知DP P P 0lim ∈→f(P)=A ，即∞→n lim f(P n )=A ，得证！[充分性]设{P n }为D 中各项不同于P 0但收敛于P 0的点列，记∞→n lim f(P n )=A. 对任一D 中的点列{Q n }，Q n ≠P 0 (n=1,2,…)且收敛于P 0，作D 中的点列C n =⎩⎨⎧=-=k2n Q 1k 2n P k k ，，，则C n ≠P 0 (n=1,2,…)且收敛于P 0，从而，∞→n lim f(C n )存在，∴∞→n lim f(P n )=∞→k lim f(C 2k-1)=∞→k lim f(C 2k )=∞→n lim f(Q n )=A. 若DP P P 0lim ∈→f(P)≠A ，则由定理16.5的充分性证明可知：必存在D 中的一个点列{Q n }, Q n ≠P 0 (n=1,2,…)且收敛于P 0，使得∞→n lim f(Q n )≠A ，矛盾！∴DP P P 0lim ∈→f(P)=A 存在.例3：讨论f(x,y)=22yx x y+当(x,y)→(0,0)时是否存在极限. 解法一：当动点(x,y)沿着直线y=mx 趋近于(0,0)时， ∵f(x,y)=f(x,mx)=2m1m +，∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0x lim →f(x,mx)=2m 1m+. 显然， 当m 不同时，对应的极限值不同. ∴所讨论的极限不存在. 解法二：假设极限存在为A ，∵f(x,y)定义在R 2-(0,0)上， 又在{(x,y)|y=x, (x,y)≠(0,0)}上，f(x,y)=22y x x y +=21，∴A=21. 又在{(x,y)|y=2x, (x,y)≠(0,0)}上，f(x,y)=22y x x y +=52≠A. 矛盾！ ∴所讨论的极限不存在.例4：二元函数f(x,y)=⎩⎨⎧+∞<<-∞<<其余部分，，0x ,x y 012，讨论当(x,y)→(0,0)时是否存在极限.解：函数定义在R 2上，记E={(x,y)|0<y<x 2,-∞<x<+∞}, 显然动点(x,y)在E 上沿着任何曲线趋于原点时,f(x,y)趋于0，而在E c 上沿着任何曲线趋于原点时，f(x,y)趋于1. ∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)不存在.定义2：设D 为二元函数f 的定义域，P 0(x 0,y 0)为D 的一个聚点. 若对任何正数M ，总存在P 0的一个δ邻域，使得当P(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)∩D 时， 都有f(P)>M 则称f 在D 上当P →P 0时，存在非正常极限+∞，记作：)y ,x ()y ,x (00lim→f(x,y)=+∞或 0PP lim →f(P)=+∞.若f(P)<-M ，则0P P lim →f(P)=-∞；若|f(P)|<M ，则0P P lim →f(P)=∞.例5：设f(x,y)=22y32x 1+，证明：)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=+∞. 解：函数定义在R 2-(0,0)上，在聚点O(0,0)的任一δ方邻域U ⁰(O;δ)内， {(x,y)|0<|x|<δ,0<|y|<δ}，∴22y 32x 1+>25δ1，即对任意M>0，只要取δ<5M 1, 则当P(x,y)∈U ⁰(O;δ)，就有22y 32x 1+>25δ1>M ，即 )0,0()y ,x (lim→f(x,y)=+∞.二 、累次极限概念：f 两个自变量x,y 同时以任何方式趋于x 0,y 0的极限称为重极限； x 与y 依一定的先后顺序相续趋于x 0与y 0时f 的极限称为累次极限.定义3：设f(x,y),(x,y)∈D ，D 在x 轴、y 轴上的投影分别为X,Y ，即 X={x|(x,y)∈D}, Y={y|(x,y)∈D}，x 0与y 0分别是X,Y 的聚点. 若对每一个y ∈Y(y ≠y 0)，存在极限0x x lim →f(x,y)，它一定与y 有关，故记作φ(y)=0x x lim →f(x,y)，若又存在极限L=0y y lim →φ(y)，则称极限L 为f(x,y)先对x(→x 0)，后对y(→y 0)的累次极限，记作L=0xx y y lim lim →→f(x,y).类似地可定义先对y 后对x 的累次极限K=0yy x x lim lim →→f(x,y).注：f 两个自变量x,y 同时以任何方式趋于x 0,y 0的极限称为重极限.例6：证明f(x,y)=22y x x y+关于原点的两个累次极限都存在且相等. 证：(例3中已证(x,y)→(0,0)时,f 的重极限不存在.) 当y ≠0时，0x lim →f(x,y)=220x yx x ylim+→=0；∴0x 0y lim lim →→f(x,y)=0； 当x ≠0时，0y lim →f(x,y)=220y y x x ylim+→=0；∴0y 0x lim lim →→f(x,y)=0，∴0x 0y lim lim →→f(x,y)=0y 0x lim lim →→f(x,y)=0，得证！例7：讨论f(x,y)=yx y x y -x 22+++关于原点的重极限和两个累次极限.解：在不同的直线y=mx 上，)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0x lim →f(x,mx)=m1m-1+，显然 f(x,y)关于原点的重极限的取值与m 有关，∴不存在.0x lim →f(x,y)=y x y x y -x lim220x +++→=y-1；∴0x 0y lim lim →→f(x,y)=0y lim →(y-1)=-1. 0y lim →f(x,y)=yx y x y -x lim220y +++→=x+1；∴0y 0x lim lim →→f(x,y)=0y lim →(x+1)=1.例8：讨论f(x,y)=xsin y 1+y sin x1关于原点的重极限和两个累次极限. 解：∵|xsin y 1+ysin x 1|≤|x|+|y|，∴∀ε>0，总存在δ=2ε，使得 当(x,y)∈U ⁰(O;δ)时，就有|xsin y 1+ysin x1|<2δ=ε，∴重极限存在等于0. 又对任何y ≠0，当x →0时，仅第二项不存在极限，同理 对任何x ≠0，当y →0时，仅第一项不存在极限， ∴两个累次极限都不存在.定理16.6：若f(x,y)在点(x 0,y 0)存在重极限与累次极限0yy x x lim lim →→f(x,y)，则它们必相等. 证：设)y ,x ()y ,x (00lim→f(x,y)=A ，则∀ε>0，使得当P(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)时，有|f(x,y)-A|<2ε. 又对任一满足0<|x-x 0|<δ的x ，有0y y lim →f(x,y)=φ(x)，即有 |f(x,y)-φ(x)|<2ε，∴|f(x,y)-A|+|f(x,y)-φ(x)|<ε，又 |f(x,y)-A|+|f(x,y)-φ(x)|≥ |f(x,y)-A+φ(x)-f(x,y)|=|φ(x)-A|， ∴对任一满足0<|x-x 0|<δ的x ，|φ(x)-A|<ε，即0x x lim →φ(x)=A ，∴0y y x x lim lim →→f(x,y)=)y ,x ()y ,x (0lim →f(x,y).推论1：若两个累次极限和重极限都存在，则三者相等.推论2：若两个累次极限都存在但不相等，则重极限必不存在.习题1、试求下列极限：(1)2222)0,0()y ,x (y x y x lim +→；(2)2222)0,0()y ,x (y x y x 1lim +++→；(3)1y x 1y x lim 2222)0,0()y ,x (-+++→； (4)44)0,0()y ,x (yx 1x y lim++→；(5)y 2x 1lim )2,1()y ,x (-→；(6)22)0,0()y ,x (y x 1sin )y x (lim ++→； (7)2222)0,0()y ,x (yx )y x sin(lim ++→. 解：(1)当(x,y)≠(0,0)时，∵2222yx y x +≤2xy →0, (x,y)→(0,0)，∴2222)0,0()y ,x (y x y x lim +→=0. (2)2222)0,0()y ,x (y x y x 1lim +++→=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→1y x 1lim 22)0,0()y ,x (=+∞. (3)1y x 1y x lim2222)0,0()y ,x (-+++→=222222)0,0()y ,x (yx )1y x 1)(y (x lim+++++→=()1y x 1lim 22)0,0()y ,x (+++→=2. (4)对函数自变量作极坐标变换得x=rcos φ, y=rsin φ，则(x,y)→(0,0)等价于对任何φ都有r →0. 又当(x,y)∈U ⁰(0;1)时，0<r<1，∴44y x 1x y ++≥222)y (x |x y |1+-≥22222)y 2(x )y x (2++-=422r r -2>42r 1→+∞ (r →0)； ∴44)0,0()y ,x (yx 1x y lim ++→=+∞. (5)∵y 2x 1-=2)-y (1)-2(x 1-≥2-y 1-x 21+→∞, (x,y)→(1,2)，∴y2x 1lim)2,1()y ,x (-→=∞. (6)对函数自变量作极坐标变换得x=rcos φ, y=rsin φ，则 (x,y)→(0,0)等价于对任何φ都有r →0.∵22yx 1sin)y x (++=2r 1sin )φsin φ(cos r +=2r 1sin )φsin φ(cos r +≤2r →0. ∴22)0,0()y ,x (y x 1sin )y x (lim ++→=0. (7)对函数自变量作极坐标变换得x=rcos φ, y=rsin φ，则 (x,y)→(0,0)等价于对任何φ都有r →0.∴2222)0,0()y ,x (yx )y x sin(lim ++→=220r r r sin lim →=1.2、讨论下列函数在点(0,0)的重极限与累次极限：(1)f(x,y)=222y x y +；(2)f(x,y)=y 1sin x 1sin )y x (+；(3)f(x,y)=22222y)x (y x y x -+； (4)f(x,y)=y x y x 233++；(5)f(x,y)=x 1sin y ；(6)f(x,y)=3322yx y x +；(7)f(x,y)=sinxy e -e y x .解：(1)∵2220y 0x y x y lim lim +→→=0x lim →0=0；2220x 0y yx y lim lim +→→=0y lim →1=1；∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)不存在.(2)当x ≠0时，y1sin x 1sin )y x (lim 0y +→不存在； 当y ≠0时，y1sin x1sin )y x (lim 0x +→也不存在； 又y1sinx 1sin )y x (+≤|x|+|y|→0, (x,y)→(0,0)，∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0.(3)222220y 0x y)x (y x y x lim lim -+→→=0x lim →0=0；222220x 0y y)x (y x y x lim lim -+→→=0y lim →0=0；又f(x,x)=1,(x ≠0)，f(x,0)=0, (x ≠0)，∵0x lim →f(x,x)≠0x lim →f(x,0)；∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)不存在.(4)y x y x lim lim 2330y 0x ++→→=0x lim →x=0；yx y x lim lim 2330x 0y ++→→=0y lim →y 2=0；现让动点(x,y)沿曲线y=x 2(x 2-1)向点(0,0)移动，则有0x lim →f(x,x 2(x 2-1))=)1-x (x x )1-x (x x lim 22232630x ++→=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→3220x )1-x (x x 1lim =∞≠0； ∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)不存在.(5)x1sin y lim lim 0y 0x →→=0x lim →0=0；当y ≠0时，x1sin y lim 0x →不存在；∴函数在点(0,0)累次极限x1sin y lim lim 0x 0y →→不存在.又x1siny ≤|y|→0, (x,y)→(0,0)，∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0.(6)∵33220y 0x y x y x lim lim +→→=0x lim →0=0；33220x 0y yx y x lim lim +→→=0y lim →0=0；现让动点(x,y)沿曲线y=x(x-1)向点(0,0)移动，则有0x lim →f(x,x(x-1))=333240x )1-x (x x )1-x (x lim +→=320x )1-x (1)1-x (x lim +→=1≠0； ∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)不存在. (7)∵sinx y e -e lim y x 0y →=∞；sinx y e -e lim yx 0x →=∞； ∴sinx y e -e lim lim y x 0y 0x →→和sinx ye -e lim lim yx 0x 0y →→都不存在. 令动点(x,y)沿x 轴正向趋于(0,0)时，可知)0,0()y ,x (lim →f(x,y)也不存在.3、证明：若)b ,a ()y ,x (lim →f(x,y)=A ，且y 在b 的某邻域内存在a x lim →f(x,y)=φ(y)，则ax b y lim lim →→f(x,y)=A.证：由)b ,a ()y ,x (lim →f(x,y)=A ，∀ε>0，∃δ1>0，当0<|x-a|<δ1, 0<|y-b|<δ1, 且(x,y)≠(a,b)时，有|f(x,y)-A|<2ε. 又由y 在b 的某邻域δ2内存在a x lim →f(x,y)=φ(y)，即|f(x,y)-φ(y)|<2ε. 令δ=min{δ1, δ2}，当0<|y-b|<δ时， 令x →a ，就有|φ(y)-A|=|φ(y)-f(x,y)+f(x,y)-A|≤|φ(y)-f(x,y)|+|f(x,y)-A|<ε, 即by lim →φ(y)=ax b y lim lim →→f(x,y)=A.4、试应用ε-δ定义证明222)0,0()y ,x (y x y x lim +→=0.证：∵当(x,y)≠(0,0)时，222yx y x +≤2xy y x 2=2x; ∴∀ε>0，∃δ=2ε>0，使得当(x,y)∈U ⁰(O;δ)时，就有222y x y x +<2δ=ε，∴222)0,0()y ,x (yx yx lim +→=0.5、叙述并证明：二元函数极限的惟一性定理、局部有界性定理与局部保号性定理.解：(1)二元函数极限的惟一性定理：若极限)b ,a ()y ,x (lim →f(x,y)存在，则它只有一个极限. 证明如下：设A, B 都是二元函数f(x,y)在点P 0(a,b)处的极限，则∀ε>0，∃δ>0， 使得当(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)∩D 时，就有|f(x,y)-A|<2ε;|f(x,y)-B|<2ε， ∴|A-B|=|A-f(x,y)+f(x,y)-B|≤|f(x,y)-A|+|f(x,y)-B|<ε； 又由ε的任意性知A=B ，得证！(2)二元函数极限的局部有界性定理：若极限)b ,a ()y ,x (lim →f(x,y)=A ，则存在P 0(a,b)的某邻域U ⁰(P 0;δ)，使f(x,y)在U ⁰(P 0;δ)∩D 上有界. 证明如下： ∵)b ,a ()y ,x (lim →f(x,y)=A ，∴对ε=1，∃δ>0，使得当(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)∩D 时， 就有|f(x,y)-A|<ε=1，即A-1<f(x,y)-A<A+1，得证!(3)二元函数极限的局部保号性定理：若极限)b ,a ()y ,x (lim →f(x,y)=A>0(或<0)，则对任意正数r(0<r<|A|), 存在P 0(a,b)的某邻域U ⁰(P 0;δ)，使得 对一切(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)∩D ，恒有f(x,y)>r>0(或f(x,y)<-r<0). 证明如下： 设A>0，取ε=A-r>0，则∃δ>0，使得对一切(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)∩D ，有 |f(x,y)-A|<ε=A-r ，即f(x,y)>A-(A-r)=r>0，得证! 同理可证A<0的情形.6、试写出下列类型极限的精确定义： (1)),()y ,x (lim+∞+∞→f(x,y)=A ；(2)),0()y ,x (lim+∞→f(x,y)=A.解：(1)设f 为D 上的函数，A 是一个确定的实数. 若对任给正数ε，总存在正数M ，使得当(x,y)∈D, 且x>M, y>M 时，恒有|f(x,y)-A|<ε， 则称当(x,y)→(+∞,+∞)时，f(x,y)以A 为极限，记作：),()y ,x (lim+∞+∞→f(x,y)=A.(2)设f 为D 上的函数，A 是一个确定的实数. 若对任给正数ε，总存在正数δ，使得当(x,y)∈D, 且0<|x|<δ, y>δ1时，恒有|f(x,y)-A|<ε， 则称当(x,y)→(0,+∞)时，f(x,y)以A 为极限，记作：),0()y ,x (lim+∞→f(x,y)=A.7、试求下列极限：(1)4422),()y ,x (y x y x lim +++∞+∞→；(2)),()y ,x (lim+∞+∞→(x 2+y 2)e -(x+y)； (3)xsiny),()y ,x (xy 11lim ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∞+∞→；(4)yx x )0,()y ,x (2x 11lim++∞→⎪⎭⎫⎝⎛+.解：(1)当x>0, y>0时，4422y x y x ++≤2222y2x y x +=222x 12y 1+→0, (x,y)→(+∞,+∞)，∴4422),()y ,x (y x y x lim +++∞+∞→=0.(2)当x,y 充分大时，e x >x 2, e y >y 2， ∴|(x 2+y 2)e -(x+y)|<2222yx y x +=22x 1y 1+→0, (x,y)→(+∞,+∞)，∴),()y ,x (lim+∞+∞→(x 2+y 2)e -(x+y) =0.(3)xsiny),()y ,x (xy 11lim⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∞+∞→=ysiny ),()y ,x (xy ),()y ,x (xy 11lim xy 11lim⋅+∞+∞→+∞+∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ =e ·1=e.(4)∵x)0,()y ,x (x 11lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→=e ，∴yx x )0,()y ,x (2x 11lim ++∞→⎪⎭⎫⎝⎛+=yx x )0,()y ,x (e lim++∞→= e.8、试作一函数f(x,y)使当x →+∞,y →+∞时， (1)两个累次极限存在而重极限不存在； (2)两个累次极限不存在而重极限存在； (3)重极限与累次极限都不存在；(4)重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在.解：(1)函数f(x,y)=222yx x + ，满足+∞→+∞→y x lim lim f(x,y)=0; +∞→+∞→x y lim lim f(x,y)=1；∴),()y ,x (lim+∞+∞→f(x,y)不存在.(2)f(x,y)=x yyx +sinxsiny ，满足+∞→+∞→y x lim lim f(x,y)和+∞→+∞→x y lim lim f(x,y)都不存在.而|x y y x +sinxsiny|≤xy y x +=y1x 1+→0, (x,y)→(+∞,+∞). ∴),()y ,x (lim+∞+∞→f(x,y)=0.(3)函数f(x,y)=sinxsiny 满足当(x,y)→(+∞,+∞)时，三个极限都不存在. (4)函数f(x,y)=y1sinx 满足：+∞→+∞→y x lim lim f(x,y)=0；+∞→+∞→x y lim lim f(x,y)不存在；而∴),()y ,x (lim+∞+∞→f(x,y)=0.9、证明：定理16.5及其推论3. 证：见定理16.5及其推论3.10、设f(x,y)在点P 0(x 0,y 0)的某邻域U ⁰(P 0)上有定义，且满足： (1)在U ⁰(P 0)上，对每个y ≠y 0, 存在极限0x x lim →f(x,y)=ψ(x)；(2)在U ⁰(P 0)上，关于x 一致地存在极限0y y lim →f(x,y)=φ(x).试证明：0y y x x lim lim →→f(x,y)=0xx y y lim lim →→f(x,y).证：由条件(1)知, ∀ε>0，∃δ>0，对每个y ≠y 0，只要(x,y)∈U ⁰(P 0,δ1)， 就有|f(x,y)-ψ(x)|<3ε；由条件(2)知，对上面的ε，∵0<|y-y 0|<δ， ∴对所有x ，只要(x,y)∈U ⁰(P 0)，就有|f(x,y)-φ(x)|<3ε. ∴0x x y y lim lim →→f(x,y)存在，记为A ，则|0xx lim →f(x,y)-A|=|ψ(x)-A|<3ε， 又|φ(x)-A|≤|f(x,y)-φ(x)|+|f(x,y)-ψ(x)|+|ψ(x)-A|<3ε+3ε+3ε=ε， ∴0x x lim →φ(x)=A ，即0y y x x lim lim →→f(x,y)=0xx y y lim lim →→f(x,y).。
§2多元函数的极限习题参考解答
814§2 多元函数的极限习题参考解答1. 依定义验证22(,)(2,1)lim ()7x y x xy y →++=。
解 因为()()12472222−+−++=−++y xy x y xy x()()()()()()31221112222+−+++−≤−++−+−+−+=y y y x x y y y y x x x先限制在点(2，1)的1=δ的方邻域 (){}11,12,<−<−y x y x 内讨论，于是有，,541413<+−≤+−=+y y y ()()5122+−+−=++y x y x7512<+−+−≤y x所以， 1527722−+−≤−++y x y xy x ()127−+−<y x 。
设ε为任给正数，取),14,1min(εδ=则当)1,2(),(,1,2≠<−<−y x y x δδ时，就有， 2277214x xy y δδε++−<⋅=<。
2. 依定义证明0lim22)0,0(),(=+→yx xy y x 。
证 因为)(21)(|0|2222222122y x y x y x y x xy +=++≤−+， 可见，对∀ε >0， 取εδ2=， 则当δ<−+−<22)0()0(0y x , 即),(),(δO U D y x P D∩∈时， 总有|22yx xy +−0|<ε，因此。
0lim 22)0,0(),(=+→yx xy y x3. 证明极限 242)0,0(),(limy x yx y x +→不存在。
815证：当点P (x ，y )沿y 轴趋于点(0, 0)时，00lim lim 20242)0,0(),(==+→→y y x y x y y x ； 当点P (x ， y )沿y 轴趋于点(0, 0)时，00lim ) ,0(lim ),(lim 0)0,0(),(===→→→y y y x y f y x f 。
16-2二元函数的极限
§2 二元函数的极限
一、二元函数的极限 二、累次极限
回忆一元函数的极限. 设 y = f (x),
所谓 lim f (x) A, 表示
x x0
y
当 x 不论是从 x0的左边 A
还是从x0的右边无限接 近于x0时, 对应的函数 值无限接近于数 A. 如图
极限
lim
P P0
f P 存在的充要条件是:
对于
D
PD
中任一满足条件
Pn
P0
且
lim
n
Pn
P 的点列
Pn,
它所对
应的函数列 f Pn 都收敛.
注: 推论1-3的证明可由定理16.5直接得到, 自证推论3.
3．二元函数的非正常极限
定义2 设 z f x, y, x, y D, P0 x0, y0 是 D 的一个
f P A.
D
PE
注: 该定理与一元函数极限的海涅归结原则(以及证明方法)类似.
推论1 设 E1 D,
P0
是
E1 的聚点,若
lim
PP0
f
P
A
不存在, 则 lim f P A 也不存在.
PE1
PP0
PD
P0
推论2 设 E1, E2 D, P0 是它们的聚点,
E1
若存在极限 lim f P A 和 lim f P B,
例3
设
f
x,
y
xy
x2
y2
,
0,
lim f x, y 0.
x, y0,0
x, y 0,0, x, y 0,0,
3.2二元函数的极限
二元函数的极限与一元函数的极限类似，对于二元函数z= f (x ,y )同样可以讨论当自变量x 与y 趋向于有限数值x 0与y 0时，函数z 的变化趋势，即二元函数的极限。
1.二元函数极限的定义定义：设函数z= f (x ,y )在点P 0 (x 0,y 0)的某一去心邻域内有定义，P (x ,y )为该邻域内任意一点，当P (x ,y )以任意方式趋于P 0 (x 0,y 0)时，函数f (x ,y )的值都趋于一个确定的常数A ，则称A 是函数z= f (x ,y )当P (x ,y )趋于P 0 (x 0,y 0)时的极限，记作0lim (,)x x y y f x y A →→=00(,)(,)lim (,)x y x y f x y A →=0lim (,)P P f x y A→=或x 、y 趋于x 0 、y 0可看作成点P (x ,y )趋向点P 0 (x 0,y 0) ，又可记作在xOy 平面上，点P (x ,y )趋向点P 0 (x 0,y 0)的方式可以时多种多样的，因此二元函数的情况要比一元函数复杂得多。
说明（1）定义中的方式可能是多种多样的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋于同一常数。
——这是产生本质差异的根本原因。
0P P →∙00(,)x y (,)x y (,)x y (,)x y (,)x y (,)x y xo y (,)x y（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等价无穷小代换等，建议自行复习，写出有关结论以巩固和加深理解。
一元极限与二元极限的区别？一元函数在某点的极限存在的充要不同点而多元函数于P 0时,条件是左右极限都存在且相等;都有极限,且相等.()f P 必需是点P 在定义域内以任何方式和途径趋确定二重极限关于二元函数的极限概念可相应地推广到n 元函数上去.不存在的方法(1)(2)此时也可断言找两种不同趋近方式,但两者不相等,00lim (,)x x y y f x y →→使处极限不存在.存在,(,)f x y 在点),(000y x P 令点P (x ,y )沿直线y =kx 或者其他方式如：沿抛物线y =kx 2等趋向于点P 0 (x 0,y 0)若极限值与k 有关,则可断言极限不存在;22(,)x y f x y x y =+222200lim (,)lim x x y kx k x f x y x k x →→==+则有21kk =+k 值不同极限不同!例1 讨论函数的极限.在点(0,0)解设沿直线y = k x 趋于点,(,)P x y (0,0)(,)f x y 在点极限不存在.故(0,0)362(,)x y f x y x y =+36626200lim (,)lim 1x x y kx kx k f x y x k x k →→===++则有k 值不同极限不同!例2 讨论函数的极限.在点(0,0)解设沿曲线y = k x 3趋于(0,0)点,(,)P x y (,)f x y 在点极限不存在.故(0,0)例3222200sin()lim x y x y x y →→++求220,00u x y x y u =+→→→解：令，有，222200sin()lim x y x y x y →→++故，0sin =lim 1u u u →=说明，二元极限问题有时可以转化为一元函数的极限问题例4222222(,)(0,0)1cos()lim ()x y x y x y x y e →-++求222222222222222(,)(0,0)(,)(0,0)1cos()1cos()1lim lim 00()2()x y x y x y x y x y x y x y x y x y e e →→-+-++=⋅=⋅=++解：多元函数的极限的基本问题有三类(1) 研究二元函数极限的存在性.常研究若其依赖于k,则欲证明极限存在,*特别对于*),,(lim 00y x f y x →→),(lim 00y x f y x →→不存在.常用定义或夹逼定理.欲证明极限不存在(通过观察、猜测),常选择两条不同路径,求出不同的极限值.(2) 求极限值.常按一元函数极限的求法求之.(罗必达法则除外)),,(lim y x f 0→x 0→=kx y。
《二元函数极限》PPT课件
2 2
5. 二重极限的性质 （1） 极限存在的唯一性。 若函数f(x,y)在点(x0,y0)存在极限，则其极限是唯一的. （2） 极限存在的的局部保号性。
若
( x , y )( x0 , y0 )
推论2 lim f ( P ) A
P P0 pD
对D中任一满足Pn P0 , lim Pn P0的点列{Pn },函数列{ f ( Pn )}都收敛.
n
y
例4
1, 0 y x 2 讨论 f ( x, y ) 在(0,0)的极限. 0, 其它
O
y
解: 当动点(x,y)沿任何直线趋于(0,0)时, f(x,y)的极限为0 当动点(x,y)沿抛物线
恒有
| f ( P ) A || f ( x, y) A | ,
则称 f 在 D 上当 P P0 时,以A为极限,记作
P P0 pD
lim f ( P ) A, 或 lim f ( P) A, 或
P P0
( x , y ) ( x0 , y0 )
lim
f ( x, y ) A.
0 ( x x 0 ) 2 ( y y0 ) 2
时,恒有
| f ( x, y ) A | .
2. 用定义证明极限 基本思路: 根据 找 , 使当 | x - x0 | ,| y - y0 | ,( x, y) D,( x, y) ( x0 , y0 ),
对任何 ,都有r 0
2 2 2 x2 y 2 | r cos sin (cos sin ) | | xy 2 0| = 2 x y 1 1 = | r 2 sin 2 cos 2 | = | r 2 sin 4 | 2 4 2 2 1 2 x y 1 2 2 ( x y ) = | xy 2 0|≤ r 2 4 4 x y 2 2 x y 1 2 2 | xy 2 0 | 2 ( x y ) ( x2 y 2 ) 4 只要： x y 4
16.2二元函数的极限
有 : (x2 xy y2) 7 7 14
故 lim (x2 xy y2 ) 7 ( x, y)(2,1)
例
2.用“
”定义验证极限lim x0
xy 2 x2 y2
0.
y0
证明: 0,要使:
xy 2 x2 y2
0
x
2
xy
y
2
y
0
1 2
y0
取 2 0, 当(xx, y)0U ,((y0,00),)(方时),
则称函数 z f (x, y)在点P0 (x0, y0 )存在极限，且
称 A为函数 z f (x, y)当 x x0， y y0 时的极
限（全面极限），记为 lim f (x, y) A x x0 y y0
或 lim f (x, y) A，或 lim f (P) A
x, y x0 , y0
x0
sin( x x2
2 y) y2
.
y0
解
lim
x0
sin( x x2
2 y) y2
y0
lim
x0
sin( x2 x2 y
y)
x2 y x2 y2
,
y0
其中
lim
x0
sin( x
x2 2y
y
)
y0
u x2 y sin u
lim 1, u0 u
x2 y x2 y2
1x 2
x0 0,
lim
f
(P)
A.
PE
推论 1.设 E1 D ， P0 是 E1 的聚点。若极限
lim f (P)不存在，则极限 lim f (P)也不存在 .
PP0
PP0
二元极限习题及答案
二元极限习题及答案二元极限习题及答案在数学中，二元极限是研究函数在二维平面上的极限行为的重要概念。
它在微积分和数学分析中扮演着重要的角色。
本文将介绍一些常见的二元极限习题，并提供详细的解答。
1. 习题一：计算二元函数f(x, y) = (x^2 + y^2)/(x + y)在点(0, 0)处的极限。
解答：要计算该二元函数在(0, 0)处的极限，可以尝试使用极坐标变换。
令x = rcosθ，y = rsinθ，其中r为距离原点的距离，θ为与x轴的夹角。
将x和y代入原函数中得到：f(r, θ) = (r^2cos^2θ + r^2sin^2θ)/(rcosθ + rsinθ)= r(cos^2θ + sin^2θ)/(cosθ + sinθ)= r/(cosθ + sinθ)当r趋近于0时，函数f(r, θ)趋近于0。
因此，原函数在(0, 0)处的极限为0。
2. 习题二：计算二元函数f(x, y) = (x^2 - y^2)/(x - y)在点(1, 1)处的极限。
解答：要计算该二元函数在(1, 1)处的极限，可以尝试使用直接代入法。
将x和y分别替换为1，得到：f(1, 1) = (1^2 - 1^2)/(1 - 1)= 0/0由于分子和分母都为0，无法直接计算极限。
这时可以尝试对函数进行化简。
将分子进行因式分解，得到：f(x, y) = ((x - y)(x + y))/(x - y)当x ≠ y时，可以约去分子和分母的(x - y)项，得到f(x, y) = x + y。
因此，在点(1, 1)处，函数的极限为2。
3. 习题三：计算二元函数f(x, y) = xy*sin(1/x)在点(0, 0)处的极限。
解答：要计算该二元函数在(0, 0)处的极限，可以尝试使用夹逼定理。
根据夹逼定理，如果存在两个函数g(x, y)和h(x, y)，满足对于所有的(x, y) ∈ D，有g(x, y) ≤ f(x, y) ≤ h(x, y)，且lim(g(x, y)) = lim(h(x, y)) = L，那么lim(f(x, y)) = L。
二元函数求极限例题
二元函数求极限例题极限是数学上最重要的概念之一，极限是指当某个变量的值趋近于某个值时，它的函数的值会趋近于某个值。
针对二元函数求极限，也就是求解一元函数y=f(x)当x趋近于某个值时，y的值趋近于某个值，我们只需要将该函数中x替换为这个某个值，就可以求出当x趋近于某个值时，函数y的值。
接下来我们就通过一个具体的例题来探讨如何求解二元函数极限。
假设有函数y=f(x)，其中f(x)为一个三次函数：f(x)=2x^3-3x^2+5那么，我们就是要计算这个函数当x趋近于1时的极限，那么我们就可以将f(x)中的x替换为1：f(1)=2(1)^3-3(1)^2+5可以得到极限为4，因此，当x趋近于1时，y的极限为4。
接下来，我们将介绍另一种更直接地求解极限的方法，即使用定义求解极限，我们将以函数f(x)=x^2+2为例来说明这种方法：首先，我们将f(x)的解析式写成如下形式：f(x)=limn→∞[(x+1/n)^2+2]也就是说，当x趋近于某个值时，要求极限，只需要将x的值替换为这个值，然后用n的值求解，当n的值趋近于无穷大时，就可以得到极限值。
接下来，我们以函数f(x)=x^2+2为例，求x趋近于1时的极限： f(x)=limn→∞[(1+1/n)^2+2]将x替换为1之后，可以得到f(1)=limn→∞[(1+1/n)^2+2]当n的值趋近于无穷大时，上式的结果可以简化为f(1)=limn→∞[1+2/n+1/n^2+2]可以得到极限为5，因此，当x趋近于1时，y的极限为5。
以上就是求解二元函数极限的方法，以上求解极限的方法可以用于求解其他任何函数的极限。
总之，求解二元函数极限要求我们要熟练掌握极限的概念，能够灵活地把握数学公式，最重要的就是熟悉求解极限的方法，有一定的练习和实践才能真正掌握这种技能。
第二节二元函数的极限
lim
x0 ykx
f (x, y)
lim
x0
x2
kx2 (1 k
2
)
1
k k
2
当 k 不同时, 极限也不同、 因此, f (x, y) 在 (0, 0)
得极限不存在 、
请考察当X = (x, y)沿 x 轴, 沿 y 轴趋于(0, 0) 得情形、
沿 x 轴, y = 0、 函数极限
lim
x0
f
(x,
二元函数得极限运算举例
例 求 lim( x2 2 y2 3xy).
x0
y1
解 lim( x2 2 y2 3xy) lim( x2 ) lim(2 y2 ) lim(3xy)
x0
x0
x0
x0
y1
y1
y1
y1
lim( x2 ) 2lim( y2 ) 3(lim x)(lim y)
x0
x0
x0 x0
记作 lim f (P) A, 或 P P0
lim f (x, y) A,
x x0 y y0
也可记作 f (P) A (P P0), 或,
f (x, y) A (x x0, y y0 )
注 定义中要求X0就是定义域D得聚点, 这就是
为了保证 P0得任意近傍总有点P使得f (P)存在, 进
都收敛、
上述定理及其推论相当于数列极限得子列定理 与一元函数得海涅归结原则
注意： P P0 是指 P 以任何方式趋于P0 .
一 lim f ( x) A,
元 x x0 0
lim f ( x) A.
中 lim f ( x) A,
x x0
x x0 0
多 元
高等数学第16章第2节二元函数的极限
§2 二元函数的极限一 二元函数的极限定义1 设f 为定义在⊂D R 2二元函数，0P 为的D 一个聚点，A 是一个确定的实数。
若对任给正数ε，总存在某正数δ，使得当()D P U P o δ;0∈时，都 有(),ε<-A P f则称f 在．D ．上．当0P P →时，以A 为极限，记作 ().lim 0A P f D P P P =∈→ ()1 在对于D P ∈不致产生误解时，也可简单地写作().lim A P f PP =→ ()'1 当0,P P 分别用坐标()()00,,,y x y x 表示时，()'1也常写作().,lim )(),(0,0A y x f y x y x =→ ()"1 例1 依定义验证.7)(lim 22)1,2(),(=++→y xy x y x证 因为722-++y xy x)1(2)4(22-+-+-=y xy x )1)(1()1(2)2()2)(2(-++-+-+-+=y y y y x x x.3122+-+++-≤y y y x x先限制在点(2,1)的1=δ方邻域(){}11,12,<-<-y x y x内讨论，于是有,541413<+-≤+-=+y y y5)1()2(2+-+-=++y x y x.7512<+-+-≤y x所以1527722-+-≤-++y x y xy x ).12(7-+-<y x设ε为任给的正数，取)14,1min(εδ=，则当)1,2(),(,1,2≠<-<-y x y x δδ时， 就有 .27722εδ<∙<-++y xy x □例2 设 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=),0,0(),(,0),0,0(),(,),(2222y x y x y x y x xy y x f证明 ．000=→)y ,x (f lim ),()y ,x ( 证 对函数的自变量作极坐标变换.sin ,cos ϕϕrl y r x ==。
高二数学必修二：多元函数的极限习题解析
高二数学必修二：多元函数的极限习题解析多元函数的极限在高二数学必修二中是一个非常重要的概念。
它不仅被广泛运用在解析几何、微积分等数学领域，也有着深远的实际应用。
在本文中，我们将重点解析多元函数的极限的相关习题，帮助同学们更好地理解和掌握这个概念。
1. 习题一：求极限给定函数 f(x, y) = (x^2 + y^2) / (x + y)，求函数 f(x, y) 在点 (0, 0) 处的极限。
解析：为了求得函数 f(x, y) 在点 (0, 0) 处的极限，我们可以先尝试直接代入该点。
但由于分母中含有 (x + y)，而在点 (0, 0) 处，分母值为 0，因此无法直接代入。
为了解决这个问题，我们可以考虑用极坐标来表示点 (x, y)。
令 x = rcosθ，y = rsinθ，其中 r > 0，θ ∈ [0, 2π)。
代入函数 f(x, y) = (x^2 + y^2) / (x + y) 中，得到：f(rcosθ, rsinθ) = (r^2cos^2θ + r^2sin^2θ) / (rcosθ + rsinθ)= r^2 (cos^2θ + sin^2θ) / (r(cosθ + sinθ))= r (cos^2θ + sin^2θ) / (cosθ + sinθ)= r / (cosθ + sinθ)当r → 0 时，函数f(r, θ) 的极限为：lim (r→0) f(r, θ) = lim (r→0) (r / (cosθ + sinθ))= 0 / (cosθ + sinθ)= 0因此，函数 f(x, y) 在点 (0, 0) 处的极限为 0。
2. 习题二：求极限给定函数 f(x, y) = (xy) / (x^2 + y^2)，求函数 f(x, y) 在点 (0, 0) 处的极限。
解析：同样地，我们可以先尝试直接代入该点，但由于分母中含有 (x^2 + y^2)，在点 (0, 0) 处分母值为 0，因此无法直接代入。
二元函数求极限例题
二元函数求极限例题在数学中，求极限是一个重要的概念，给出任意一个函数，可以求出它的极限，相信很多同学对这一概念都不陌生。
下面，让我们以一下例题来了解二元函数求极限的实际操作。
例题1：求函数f（x，y）=（2x+2y）/（x^2+y^2）的极限解法：我们首先假定x和y都走向零，我们可以建立一个二元函数：f（x，y）=（2x+2y）/（x^2+y^2）首先知道当x和y都朝0走的时候，那么f（0，0）=2，但是只有当x和y都走到0的时候，f（x，y）才能够等于2，但是如果x 和y的值都不为零的时候就无法得出结论。
因此我们必须分别求出当x和y朝0走的时候，f（x，y）的极限，由于函数中有x^2+y^2，因此当x和y都走向0的时候，分母会比较小，所以我们可以先设置一个小的正数δ，这里我们可以取δ=1/2.其次，极限的定义：当x走向0的时候，f（x，y)的极限，只要给定一个δ>0，使x的绝对值小于δ，并且y的绝对值小于δ，那么f（x，y）的值就要接近极限2.因此，我们可以把δ写成x^2+y^2<1/4，即当x和y绝对值均小于1/2时，f（x，y）的值与极限2接近。
下面我们来检验这个性质，比如当x=1/10，y=1/10时，我们可以计算出f（x，y）=2.2，而当x=1/100，y=1/100时，f（x，y）= 1.999，从计算结果可以看出，当x和y的绝对值都小于1/2时，f（x，y）的值越来越接近极限2。
由此可以得出结论：当x和y趋向零的时候，f（x，y）的极限为2例题2：求函数f（x，y）=（2x-y）/（x^2+y^2）的极限解法：同样，我们先假设x和y朝0走，得到二元函数：f（x，y）=（2x-y）/（x^2+y^2）同样，当x和y都朝0走的时候，那么f（0，0）=0，但是只有当x和y都走到0的时候，f（x，y）才能够等于0，但是如果x和y 的值都不为零的时候就无法得出结论。
因此，我们也必须分别求出当x和y朝0走的时候，f（x，y）的极限。
数学分析下——二元函数的极限课后习题
第二节 二元函数的极限1、试求下列极限（包括非正常极限）：（1）(,)(0,0)lim x y x 2y 2x 2+y 2 ； （2）(,)(0,0)lim x y 1+x 2+y 2x 2+y2 ； （3）(,)(0,0)lim x y x 2+y 21+x 2+y 2 -1； （4）(,)(0,0)lim x y xy+1x 4+y 4 ； （5）(,)(1,2)lim x y 12x-y ； （6）(,)(0,0)lim x y (x+y)sin 1x 2+y 2 ；（7）(,)(0,0)limx y sin(x 2+y 2)x 2+y 2 x 2+y 2. 2、讨论下列函数在点(0,0)的重极限与累次极限：（1）f(x,y)=y 2x 2+y 2 ； （2）f(x,y)=(x+y)sin 1x sin 1y ；（3）f(x,y)=x 2y 2x 2y 2+(x-y)2 ； （4）f(x,y)=x 3+y 3x 2+y ；（5）f(x,y)=ysin 1x ； （6）f(x,y)=x 2y 2x 3+y 3 ；（7）f(x,y)=e x -e ysinxy . 3、证明：若1。
(a,b)lim （x,y ）f(x,y)存在且等于A ；2。
y 在b 的某邻域内，有lim xaf(x,y)=(y)则 yb lim alim xf(x,y)=A.4、试应用ε—δ定义证明(x,y)(0,0)lim x 2yx 2+y2 =0. 5、叙述并证明：二元函数极限的唯一性定理、局部有界性定理与局部保号性定理.6、试写出下列类型极限的精确定义： （1）(x,y)(,)limf(x,y)=A ； （2）(x,y)(0,)limf(x,y)=A.7、试求下列极限：（1）(x,y)(,)lim x 2+y 2x 4+y 4 ； （2）(x,y)(,)lim (x 2+y 2)e -(x+y)；（3）(x,y)(,)lim(1+1xy )xsiny ； （4）(x,y)(,0)lim211+x x yx.8、试作一函数f(x,y)使当x+,y+时，（1）两个累次极限存在而重极限不存在； （2）两个累次极限不存在而重极限存在； （3）重极限与累次极限都不存在；（4）重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在. 9、证明定理16.5及其推论3.10、设f(x,y)在点0P (x 0,y 0)的某邻域U 。
01-9.2 二元函数的极限
二元函数的极限是高等数学中重要的极限思想数学思想0()lim ().x x f x A x x f x A →→→=在时，，则但我们在高等数学上册中讨论函数连极续限时性，主要是的思维..实际上也是非常重要例如狄利离散思维克雷函数0()1D x ⎧=⎨⎩，，x 为无理数，x 为有理数.{}1=D x x 令为无理数，01lim ()0.x x D D x →=在上，1()0;D D x ≡则在上，02lim () 1.x x D D x →=在上，0lim ()x x D x →不存在.{}2=D x x 为有理数，2()1;D D x ≡在上，0(+)x ∀∈-∞∞因此对，有，⎫⎬⎭0()1D x ⎧=⎨⎩，，x 为无理数，x 为有理数.00x x x 任何邻域内要实现，则的都应该有无数个点.属于所讨论的点集.这样的点称为点的聚点集E1.E p 为平面点集.如果点的任何定义邻域内都有E E p 无数个点属于，则称为的聚点.E E 可能属于，可能不显然聚点也属于，.012.x D D 是和例中的聚点子比如上面000,(,)D .()2.z f x y p x y 设为二元函数定=的定义域的义聚点000,o p p D δεδ∀>∃>∈ （）若对，，当点时，恒有(,)f x y A ε-<0(,)A f x y p 在点二重极限的为成立，则称，记为0000(,)(,)lim (,)=A lim (,)=A.x x x y x y y y f x y f x y →→→，或者注：二重极限一元函由于定义与定义本质上数极限完全相同.因此一元函数极限的很多性质在二重极限中都成立：如极限的唯一性；四则运算法则；夹逼准则；等价无穷小代换；有界函数与无穷小乘积仍为无穷小等.222222200sin()(1lim .ln(1())1x y x y x y x y →→+⋅-+++例求22222222001()2=lim ()x y x y x y x y →→+⋅++解：（ 原式1=.2证明函数极限不存在注：的方法.或者取极限值两种不同的路线存在但不相等，二重极则函数限不存在.（若，不能说明极限注意相：等存在.）若取，函数的一种特定的路线极限不存在，222(1)(,),x y f x y x y =+2判断下列函数在（0,0）点二重极限例是否存在.222222,0,(2)(,)0,0.xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩22200||1,lim 0,x y x y x y →→≤=+(1)由于且解：00lim (,)0.x y f x y →→=从而2200(2)lim (,)m 1,2li 2y x y x x f x y x =→=→==000200lim (,)l m ,0i =0x y x y f x y y ==→→=+而00lim (,)x y f x y →→从而不存在.2022220lim (,)lim 1y k y kx x kx k f x y x k x k=→=→==++，00lim (,)x y f x y →→从而不存在.0(0)y kx k =→≠第二题也可以取注：222(1)(,),x y f x y x y =+2判断下列函数在(0,0)点二重极限例是否存在.222222,0,(2)(,)0,0.xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩。
《微积分(下)》第2章多元函数微分学练习题--参考答案
第2章 多元函数微分学一、二元函数的极限专题练习：1.求下列二元函数的极限: (1)()11(,)2,2lim2;y xy x y xy +⎛⎫→- ⎪⎝⎭+ (2)()()2222(,),3limsin;x y x y x y →∞∞++(3) ()(,)0,1sin lim;x y xyx →(4)((,)0,0limx y →解: (1) 当1(,)2,2x y ⎛⎫→- ⎪⎝⎭时，10xy +→，因此()[]1112(1)11(,)2,(,)2,22lim2lim1(1)e yxy y xy x y x y xy xy -++⎛⎫⎛⎫→-→- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎧⎫+=++=⎨⎬⎩⎭。
(2) 当()(,),x y →-∞+∞时，2230x y →+，因此222233sin ~x y x y++， ()()()()22222222(,),(,),33limsinlim 3x y x y x y x y x y x y →∞∞→∞∞+=+⋅=++。
(3) 当()(,)0,1x y →时，0xy →，因此sin ~xy xy ，()()(,)0,1(,)0,1sin limlim 1x y x y xy xyx x →→==。
(4) 当()(,)0,0x y →10,0xy →→，因此，(())())(,)0,0(,)0,0(,)0,01limlimlim12x y x y x y xy xy→→→===。
2．证明：当()(,)0,0x y →时，()44344(,)x y f x y xy=+的极限不存在。
证明: 取2(0)y kx k =≠，则()()()()()()()444484433334444444(,)0,0(,)0,0(,)0,0limlimlim11x y x y x y x y k x x k k xyxk xk k →→→===++++显然此极限值与k 的取值相关，因此当()(,)0,0x y →时，()44344(,)x y f x y xy=+的极限不存在。
二元函数求极限例题
二元函数求极限例题函数极限是微积分的基本概念，学习微积分最重要的就是理解函数极限的概念及其求解原理，其中二元函数极限求解一直是数学学习者的难点，本文将讲解二元函数求极限的基本原理及求解示例，以便更好地理解这一概念。
二、二元函数极限概念函数极限（limit）是指在函数中变量取某一值时，函数值趋近的极限。
极限的概念是微积分的重要内容，它不仅是求解微积分的基础，而且也在有限阶导数、无穷阶导数等求解中扮演着重要的角色。
从函数极限的定义出发，一般来说，求解一般函数极限的过程就是将变量的值趋近于某一值，以此分析函数的趋势。
根据变量的数量不同，函数极限分为一元函数极限和二元函数极限。
一般情况下，一元函数极限就是将变量的值趋近于某一值，而二元函数极限则比较复杂，它需要分析函数在某一特定点的趋势。
三、求解函数极限的方法一般来说，求取函数极限有三种常用方法：1.用定义求极限：只有当满足定义条件时，才能求取函数极限;2.用中点定理求极限：通过中点定理可以迅速求取函数的极限;3.用函数解析求极限：函数解析能够求取函数的完整解析，从而能够求取函数极限。
虽然上述三种方法都可以求取函数极限，但它们相对于二元函数极限求解有一定的局限性，因此，通常情况下，会借助一些特殊的方法进行求解，比如“函数的性质”、“函数的导数”等。
四、二元函数求极限示例下面举例说明二元函数求极限的方法：例：求函数f(x,y)=xy+x的极限解：考虑到函数的性质，当x趋近于0时，y也趋近于0，因此可以把函数改写为f(x,y)=xy，可以得知极限L=0综上，可以得出函数f(x,y)=xy+x的极限L=0。
五、总结以上就是二元函数求极限的原理及求解示例，其中最重要的就是要正确理解函数极限的定义，正确利用函数性质、函数导数等概念，有效地求解二元函数极限。
（完整word版）数学分析—极限练习题及详细答案
（完整word版）数学分析—极限练习题及详细答案⼀、选择题1.若0()lim1sin x x xφ→=，则当x 0→时，函数(x)φ与（）是等价⽆穷⼩。
A.sin ||xB.ln(1)x -C.11.【答案】D 。
2.设f(x)在x=0处存在3阶导数，且0()lim 1tan sin x f x x x→=-则'''f (0)=（）A.5B.3C.1D.0 2.【答案】B.解析由洛必达法得30002()'()''()limlimlim1tan sin 2cos sin sin cos cos x x x f x f x f x x x x x xx x -→→→==-+-42200''()''()lim lim 16cos sin 2cos cos 21x x f x f x x x x x --→→===-++++可得'''f (0)3= 3.当x 0→时，与1x 133-+为同阶⽆穷⼩的是（） A.3x B.34x C.32xD.x3.【答案】A.解析.12233312332000311(1)1133lim lim (1)3313x x x x x x x ---→→→-+?==+=选A 。
4.函数2sin f ()lim 1(2)nn xx x π→∞=+的间断点有（）个A.4B.34.【答案】C.解析.当0.5x >时，分母→∞时()0f x =，故20.5sin 12lim1(2(0.5))2n x π→--=-+?-， 20.5sin12lim1(20.5)2n x π→=+?，故，有两个跳跃间断点，选C 。
5.已知()bx xf x a e=-在（-∞，+∞）内连续，且lim ()0x f x →∞=，则常数a ，b 应满⾜的充要条件是（）A.a>0，b>0B.a ≤0，b>0C.a ≤0，b<0D.a>0，b<05.【答案】B 。
二元函数的极限
1 , 当 0 x2 y2 1 时，就有
2M
2M
2x2 3y2 1 , M
即
1 2x2 3y2 M.
这就证得结果．
二元函数极限的四则法则与一元函数极限相仿, 特 别把 f ( x, y) 看作点函数 f (P) 时, 相应的证法也相
同, 这里不再一一叙述.
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二、累次极限
下也是有联系的.
定理16.6 若 f (x, y) 的重极限 lim f ( x, y) 与 ( x , y )( x0 , y0 )
累次极限 lim lim f ( x, y) 都存在, 则两者必定相等. x x0 y y0
证设 lim f ( x, y) A,
( x , y )( x0 , y0 )
一个聚点, A 是一实数. 若 0, 0, 使得当
P U (P0; ) D 时, 都有 | f (P) A | ,
则称 f 在 D 上当 P P0 时以 A 为极限, 记作 lim f (P) A.
P P0 P D
在对 P D 不致产生误解时, 也可简单地写作
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lim f (P) A.
4
( x, y) (0, 0)
下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归
结原则(而且证明方法也相类似).
定理16.5 lim f (P) A 的充要条件是：对于 D 的 P P0 PD
任一子集 E,只要 P0 仍是 E 的聚点,就有
lim f (P) A .
P P0 PE
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推论1
的一个聚点. 若 M 0, 0, 使得 P( x, y)U (P0; ) D, 都有 f ( x, y) M ,
9-2 二元函数的极限与连续
15-13
有界闭区域上二元连续函数的性质．
定理 9.2.2 （最值定理） 如果二元函数 f ( x, y) 在有界闭区域 E 上连续， 则二元函数 f ( x, y) 必在 E 上取得最大值和最小值．
定理 9.2.3 （有界定理） 如果二元函数 f ( x, y) 在有界闭区域 E 上连续， 则二元函数 f ( x, y) 必在 E 上有界．
所谓二元初等函数是指自由变量 x, y （或其他形式）的一元基 本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算后所得到的 能由一个表达式的函数．
例如
ln( x 2 y 2 1) u ， euv sin 均为二元初等函数． x y v
15-11
二元连续函数的性质
⑴ 二元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续 函数．
P( x, y) D U ( P0 , ) ，即 0 ( x x0 )2 ( y y0 )2 且P( x, y) D
时，恒有
| f ( x, y) A |
成立， 就称常数 A 为二元函数 f ( x, y) 当 ( x, y) ( x0 , y0 ) 时的极限， 记 为
( , ) E ，使得 f ( , ) 0 ．
15-14
可将二元函数的极限，二元函数的连续性推广到三元以及三元 以上函数上去，并且有完全相仿的结论．
15-15
则三者相等．
（证明从略）
15-8
9.2.2
二元函数的连续性
定义 9.2.2 设二元函数 z f ( x, y) 的定义域为 D ， ( x0 , y0 ) 为 D 的聚点， 且 ( x0 , y0 ) D ，如果
xx0 y y0
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第二节二元函数的极限
1、试求下列极限（包括非正常极限）：
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）(x+y)sin；
（7）x2+y2.
2、讨论下列函数在点(0,0)的重极限与累次极限：
（1）f(x,y)=；（2）f(x,y)=(x+y)sinsin；
（3）f(x,y)=；（4）f(x,y)= ；
（5）f(x,y)=ysin；（6）f(x,y)=；
（7）f(x,y)=.。
f(x,y)存在且等于A；2。
y在b的某邻域内，有f(x,y)= 3、证明：若1
(y)则 f(x,y)=A.
4、试应用ε—δ定义证明
=0.
5、叙述并证明：二元函数极限的唯一性定理、局部有界性定理与局部保号性定理.
6、试写出下列类型极限的精确定义：
（1） f(x,y)=A；（2）f(x,y)=A.
7、试求下列极限：
（1）；（2）(x2+y2)e-(x+y)；
（3）(1+)xsiny；（4）.
8、试作一函数f(x,y)使当x+,y+时，
（1）两个累次极限存在而重极限不存在；
（2）两个累次极限不存在而重极限存在；
（3）重极限与累次极限都不存在；
（4）重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在.
9、证明定理16.5及其推论3.
10、设f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域U。
()上有定义，且满足：
（i）在U。
()上，对每个y≠y0，存在极限f(x,y)=ψ(y)；
（ii）在U。
()上，关于x一致地存在极限f(x,y)=(x)(即对任意ε>0，存在δ>0，当0<|y-y0|<δ时，对所有的x，只要(x,y)∈U。
()，都有|f(x,y)-(x)|<成立).
试证明
f(x,y)=f(x,y).。