华师大九年级下数学教案章圆(20210217203527)
新华东师大版九年级数学下册《27章 圆 27.1 圆的认识 圆的对称性》教案_0
课题:§27.1.2 《圆的对称性》教学设计(第一课时)教材分析1、地位和作用本课是华师大版九年数学第二十七章第一节第二课时的内容。
本节课是在小学学过的圆的基础上进行进一步的探究和推理，圆的对称性是圆的一个重要性质，它是探索其他性质的基础前提。
圆心角、弦、弧之间的相等关系是证明圆中线段相等，角相等，弧相等的重要依据，同时也为下一节的垂径定理提供了方法和依据。
所以这节内容很重要。
2、学情分析学生在小学已经学习了圆的一些知识，并且初中已经了解了中心对称、三角形全等等相关知识，具有一定的逻辑推理能力；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作与交流的能力。
教法、学法分析现代教学理论认为，在教学过程中，学生是学习的主体，教学的一切活动都以强调学生的主动性、积极性为出发点。
根据这一教学理念，结合本节课的内容特点，我采用启发式和讲练结合的教学方法.。
在学习本章之前，学生已经通过折纸对称、平移、旋转、推理、证明等方式认识了许多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验，而学习本节充分体现了学生已有的经验的作用，同时在以前的学习中已经经历了很多合作学习的过程，所以我引导学生采用自主探究与合作探究相结合的学法。
教学目标:(一)知识与技能1.使学生知道圆是中心对称图形,并能运用其特有的性质推出在同圆或等圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，2.能运用圆心角、弧、弦之间的关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的能力，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。
(二)过程与方法1.通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力。
2.利用圆的旋转不变性，研究圆心角、弧、弦之间的关系定理。
(三)情感、态度与价值观激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法。
教学重点:在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系。
教学难点:探索在同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系及应用。
2023九年级数学下册第27章圆27.1圆的认识2圆的对称性第1课时圆的对称性教案(新版)华东师大版
问题：已知圆的半径为r，求证：圆内任意弦的中点到圆心的距离等于半径的一半。
解答：设圆内任意弦为AB，中点为M，连接OM。由于圆是轴对称图形，OM是弦AB的垂直平分线，因此AM=MB。又因为OA和OB都是半径，所以OA=OB=r。在直角三角形OAM中，根据勾股定理，得到OM的长度为√(OA² - AM²) = √(r² - (r/2)²) = r/√2。因此，OM = r/2，即圆内任意弦的中点到圆心的距离等于半径的一半。
教学反思与总结
在本次教学过程中，我采用了讲授法、讨论法和实验法等多种教学方法，旨在帮助学生更好地理解和掌握圆的对称性。从整个教学过程来看，我发现以下几方面的得失和经验教训：
1.在讲解圆的对称性质时，通过动态演示和实物模型，学生能更直观地理解轴对称的概念。这一点在今后的教学中值得继续保持。
2.组织学生进行小组讨论和剪纸实验，有助于提高学生的参与度和动手能力。但同时，我也发现部分学生在讨论过程中容易偏离主题，需要我在今后的教学中加强对学生的引导和监督。
核心素养目标
本节课通过探究圆的对称性，旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、几何直观等核心素养。学生能够理解并掌握圆的轴对称性质，形成对圆的几何特征的深刻认识；通过实际操作和问题解决，提高运用轴对称知识分析、解决问题的能力；同时，在学习过程中，发展学生的空间观念，激发对数学美的感悟，培养严谨、细致的数学学习态度。
（2）针对学生的解答，我会给予及时的反馈和指导，帮助他们巩固知识。
5.课堂小结
我会引导学生总结本节课所学的圆的对称性质，并强调这些性质在实际问题中的应用。
6.作业布置
（1）我会布置一些与圆的对称性质相关的练习题，巩固学生对知识点的掌握。
（2）鼓励学生思考圆的对称性质在其他学科领域的应用，如美术、建筑等。
九年级数学下册 27 圆单元教学计划 华东师大版(2021-2022学年)
第27章圆
一、教学内容:课本P3６~76
知识结构:本章是《课程标准》第三学段“图形与几何”课程内容的第一部分“图形的性质”中“5．圆”条目的全部内容。
包括圆的认识、与圆有关的位置关系、圆中的计算问题以及正多边形和圆．
二、教学目标
1、理解弧、弦、圆心角、圆周角的概念,了解等圆、等弧的概念;
2、探索并证明垂径定理;
3、探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论；
4、探索并了解点与圆的位置关系，知道三角形的外心；
5、了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念,探索切线与过切点的半径之间的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线，知道三角形的内心;
６、探索并证明切线长定理；
7、会计算圆的弧长、扇形的面积；
8、了解正多边形的概念及正多边形和圆的关系。
三、课时安排
本章的教学时间为１5课时，建议分配如下：
２7。
1圆的认识，3课时；
2７。
２与圆有关的位置关系,5课时；
27.３圆中的计算问题,2课时；
2７。
4正多边形和圆,１课时;
小结与复习，2课时;
综合与实践,2课时;
ﻬ。
2024-2025学年华师版初中数学九年级(下)教案第27章圆27.1.2圆的对称性(第2课时)
27.1 圆的认识2 圆的对称性第2课时垂径定理教学目标1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.教学重难点重点:理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.难点：灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.教学过程导入新课由问题引入新课：要同学们画两个等圆，并把其中一个圆剪下，让两个圆的圆心重合，使得其中一个圆绕着圆心旋转，可以发现，两个圆都是互相重合的.如果沿着任意一条直径所在的直线折叠，圆在这条直线两旁的部分会完全重合.探究新知合作探究1.垂径定理问题情境：如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?师生活动：学生独立思考并找出图中相等的线段和劣弧，教师巡视并指导.【解】相等线段: AE＝BE.相等劣弧：AC＝BC,AD＝BD.理由：连结OA,OB，把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC与BC重合，AD与BD重合.教师追问：你能用语言来描述我们的发现吗？师生活动：学生小组交流讨论，师生归纳，教师最后整理并板书.【归纳总结】垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.教师追问：能不能用所学过的知识证明垂径定理？师生活动：(引发学生思考)要证明垂径定理，已知条件是什么？结论是什么？用什么方法证明?【解】已知：如图，在⊙O中，CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足教学反思教学反思为E .求证：AE ＝BE ，AC⏜＝BC ⏜，AD ⏜＝BD ⏜. 证明：（方法1）如图，连结OA ，OB . ∵ OA ＝OB ，CD ⊥AB ， ∴AE ＝BE.又∵ ⊙O 关于直径CD 所在直线对称，∴ A 点和B 点关于直径CD 所在直线对称，∴当圆沿着直径CD 所在直线对折时，点A 与点B 重合，AC⏜与BC ⏜重合， 因此AC⏜＝BC ⏜. 同理得到AD⏜＝BD ⏜.（方法2）连结OA ，OB ，CA ，CB ，则OA =OB . 即△AOB 是等腰三角形.∵AB ⊥CD ，∴AE =BE ，∠AOD =∠BOD . 从而∠AOC=∠BOC . ∴AD⏜＝BD ⏜, AC ⏜＝BC ⏜. 【归纳总结】根据图形写出已知和求证，再构造等腰三角形，利用等腰三角形“三线合一”的性质，从而证得结论成立.推导格式∵ CD 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足为E ，∴ AE ＝BE ，AC⏜＝BC ⏜，AD ⏜＝BD ⏜. 定理辨析：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？① ② ③ ④ 师生活动：(引发学生思考)垂径定理具备的条件.【解】图①具备；图②不具备，因为没有垂直；图③具备；图④不具备，因为没过圆心.【归纳总结】(学生总结，老师点评)垂径定理具备的条件是过圆心且垂直，两个条件缺一不可.教学反思① ② ③ ④ 2.垂径定理的推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.推导格式,.CD AB CD AE BE AC BC AB AD BD ⊥⎧⎧⎪⎪⎪−−→⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩，是直径，＝，＝不是直径＝（2）平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦. 推导格式.CD CD AB AC BC AE BE AD BD⎧⎪⊥⎧⎪⇒⎨⎨⎩⎪⎪⎩是直径，，＝，＝＝教师追问：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.师生活动：学生独立思考并举反例，师生共同归纳.【归纳总结】圆的两条直径是互相平分的，但是不一定相互垂直. 一条直线满足下面五个条件中的两个条件，即可推出其他三个.①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（非直径）； ④平分弦所对优弧；⑤平分弦所对劣弧.【新知应用】 例1 如图，⊙O 的弦AB ＝8 cm ，直径CE ⊥AB 于点D ，DC ＝2 cm ，求半径OC 的长.师生活动：学生尝试解决，教师引导.求OC ，即求半径，可在Rt △AOD 中利用勾股定理求得.【解】如图，连结OA . ∵ CE ⊥AB 于点D ，∴14cm 2AD AB ==.设OC ＝x cm ，则OD ＝（x -2）cm.教学反思根据勾股定理，得222OA AD OD +＝.222)2(4-+=x x ，解得x ＝5. 即半径OC 的长为5 cm.【归纳总结】在圆中解决有关弦长、半径等问题，常常需要作垂直于弦的直径或半径，连结弦的端点与圆心作半径，这样就可以把垂径定理与勾股定理结合起来，得到圆的半径r 、弦心距d 、弦长a 的一半之间的关系式：2222a r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【拓展延伸】例2 已知⊙O 的半径为13，弦AB ＝24，弦CD ＝10，AB ∥CD ，求这两条平行弦AB ，CD 之间的距离.师生活动：(引发学生思考)要求两条平行弦AB ，CD 之间的距离，想到垂直，又在圆中已知弦长，则可以想到垂径定理和勾股定理，由此根据这些怎么作图呢？根据题中数据怎样求解呢？【解】分两种情况讨论：（1）当弦AB 和CD 在圆心同侧时，如图①，过点O 作OF ⊥CD 于点F ，交AB 于点E ，连结OC ，OA .由题意可知，OA ＝OC ＝13.∵ AB ∥CD ，OF ⊥CD ，∴OE ⊥AB . 又∵ AB ＝24，CD ＝10，∴ AE ＝12 AB ＝12，CF ＝12CD ＝5，∴ OE ＝22OA AE -＝5，OF ＝22OC CF -＝12， ∴ EF ＝OF -OE ＝7.（2）当弦AB 和CD 在圆心异侧时，如图②，过点O 作OF ⊥CD 于点F ，反向延长OF 交AB 于点E ，连结OC ，OA .同(1)可得，OE ＝5，OF ＝12，∴EF ＝OF+OE ＝17. 综上，两条平行弦AB 与CD 之间的距离为7或17.① ②【归纳总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，要考虑两弦在圆心的同侧还是异侧，再结合实际作出半径和弦心距（圆心到弦的距离），利用勾股定理和垂径定理求解即可.练一练已知⊙O 的直径是50 cm ，⊙O 的两条平行弦AB=40 cm ，CD=48cm ，求弦AB 与CD 之间的距离.师生活动：（学生尝试画图，教师引导）当弦的位置不能确定时，要进行分类讨论.答案：8cm 或22cm例3 一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水(如图)，此时的水面宽AB 为0.6米，求此时的水深(即阴影部分弓形的高).教学反思师生活动：学生先审题，可以小组讨论，教师引导学生思考，要求此时的水深，即阴影部分弓形的高，结合垂径定理，考虑怎样作辅助线才能得到水深？【解】如图，过点O 作OD ⊥AB 于点C ，交⊙O 于点D ，连结OB .根据垂径定理，得点C 是AB 的中点，点D 是AB ︵ 的中点，则BC ＝12AB ＝0.3米.由题意，知OD ＝OB ＝0.5米，在Rt △OBC 中，由勾股定理，得OC＝0.4米， 所以CD ＝OD -OC ＝0.1米， 即此时的水深为0.1米.【归纳总结】(学生总结，老师点评)在圆中求半径、弦等线段的长时，常常借助垂径定理构造直角三角形，再在直角三角形中运用勾股定理来解决.例4 有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB ＝60 m ，水面到拱顶距离CD ＝18 m ，当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5 m 时需要采取紧急措施，当水面宽MN ＝32 m 时是否需要采取紧急措施?请说明理由.师生活动：(引发学生思考)求当水面宽MN ＝32 m 时是否需要采取紧急措施，即求此时水面到拱顶的距离为多少.怎样求出这个距离？【解】不需要采取紧急措施.理由如下：如图，设圆心为O ，连结OM ，OA ，OD ，OD 与MN ，AB 分别交于点E ，C .设OA ＝R m.由题意知，在Rt △AOC 中，AC ＝12AB ＝30 m ，CD ＝18 m ，由勾股定理，得222OA AC OC +＝，R 2＝302+(R -18)2，解得R ＝34.在Rt △MOE 中，ME ＝12MN ＝16 m ，∴ OE30（m ）， ∴ DE ＝OD -OE ＝4 m.∵ 4＞3.5，∴ 不需要采取紧急措施.【归纳总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，要注意根据垂径定理，利用半径、半弦长、弦心距构造直角三角形，结合勾股定理求解.【拓展归纳】（1）涉及垂径定理时辅助线的添加方法在圆中有关弦长a ，半径r ， 弦心距d （圆心到弦的距离），弓形高h 的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.教学反思（2）弓形中重要数量关系：弦长a ，弦心距d ，弓形高h ，半径r 之间有以下关系：222,2a d h r r d ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭.课堂练习1.判断下列说法的正误.(1)垂直于弦的直径平分这条弦 . （ ） (2)平分弦的直线必垂直于弦 . （ ） (3)弦的垂直平分线是圆的直径 . （ ） (4)垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ） (5)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ） 2.下列说法中正确的是( )A.在同一个圆中最长的弦只有一条B.垂直于弦的直径必平分弦C.平分弦的直径必垂直于弦D.圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴3.⊙O 的弦AB 垂直于半径OC ，垂足为D ，则下列结论中错误的是( )A.∠AOD ＝∠BODB.AD ＝BDC.OD ＝DCD.AC BC =4.半径为5的⊙O 内有一点P ，且OP ＝4，则过点P 的最长弦的长是10，最短弦的长是 .5.已知⊙O 中，弦AB ＝8 cm ，圆心到AB 的距离为3 cm ，则此圆的半径为 .6.⊙O 的直径AB ＝20 cm, ∠BAC ＝30°，则弦AC ＝ .7.如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，且CD ＝1，则弦AB 的长是多少？第7题图8.一条排水管的截面如图所示.已知排水管的半径OB ＝10 cm ，水面宽AB ＝ 16 cm.求截面圆心O 到水面的距离.教学反思第8题图 9.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD ，点O 是CD 的圆心，其中CD ＝600 m ，E 为CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为点F ，EF ＝90 m ，求这段弯路的半径.第9题图 参考答案1.（1）√（2）×（3）×（4）×（5）√2.B3.C4.65.5 cm6.7.解：如图，连结OA .由题意可知，OA ＝OC ＝5，则OD ＝OC -CD ＝5-1＝4.∵ OC ⊥AB ，∴ ∠ODA ＝90°，∴ AD ＝OA 2－OD 2＝3.又∵ AB 为⊙O 的弦，∴AB ＝2AD ＝6.第7题答图8.解：如图，过点O 作OC ⊥AB 于点C .∵ OC ⊥AB ，AB ＝16 cm ，∴ ∠OCB ＝90°，BC ＝12AB ＝8 cm.又∵ OB ＝10 cm ，∴ OC 6 cm ，即截面圆心O 到水面的距离为6 cm.第8题答图9.解：如图，连结OC .设弯路的半径为R m ，则OF ＝(R -90) m. ∵ OE ⊥CD ，CD ＝600 m ，∴ ∠OFC ＝90°，CF ＝12CD ＝300 m. 在Rt △OFC 中， 根据勾股定理，得OC 2＝CF 2+OF 2，即R 2＝3002+(R -90)2，解得R ＝545.即这段弯路的半径为545 m.教学反思第9题答图课堂小结1. 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧. 2. 垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧； 平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦. 布置作业教材第40页练习第1，2题. 第45页习题27.1第3题板书设计27.1 圆的认识 2 圆的对称性（第2课时 垂径定理）1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧. 推导格式∵ CD 是直径，CD ⊥AB ，垂足为E ，∴ AE ＝BE ，,AC BC AD BD ==. 2.垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；推导格式,.CD AB CD AE BE AC BC AB AD BD ⊥⎧⎧⎪⎪⎪−−→⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩，是直径，＝，＝不是直径＝平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦. 推导格式.CD CD AB AC BC AE BE AD BD ⎧⎪⊥⎧⎪⇒⎨⎨⎩⎪⎪⎩是直径，，＝，＝＝ 3.方法：将垂径定理与勾股定理有机结合，化圆中问题为三角形问题，经常需要添加辅助线——半径、过圆心作弦的垂线.。
2021年华师大版九年级数学下册第二十七章《圆的认识(圆的基本元素第2课时)》公开课课件 (2)
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THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2021/2/52021/2/52021/2/52021/2/5
谢谢观看
倍 速 课 时 学 练
思考:在⊙O中,AB、CD是直
径.AD与BC平行吗?说说你的理 由.四边形ACBD是矩形么?为什 么?
温馨提示：
1、对角线相等且互相平分的四边形 是矩形。
2、由内错角的相等也可以得到线 的平行
变式：在矩形ACBD中，对角线AB、CD 相交于点O，试说明A、B、C、D4个点 在同一个圆上
思考
某部队在灯塔A的周围进行爆破作业，A的周围3km内 的水域为危险区域，有一渔船误入离A点2km的B处， 为了尽快驶离危险区域，该般应沿什么方向航行？
倍
速 课
C
时
学
练
劣弧有： A⌒B B⌒C
半圆有 ： 优弧有： A⌒CB
A⌒BC
B⌒AC
判断：半圆是弧，但弧不一定是半圆.(
圆心角
定义：顶点在圆心，并且两边都和圆周 相交的角叫做圆周角
Ａ Ｃ 找出⊙Ｏ中的圆心角：
倍
∠ＡＯＣ ∠ＢＯＣ
速 课 时
Ｏ
思考：∠ＡＢＣ是不是
学
练
Ｂ
圆心角？
判断正误:
√ 1、圆中的直径是弦； × 2、弦是圆中的直径；
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
华师版九年级数学下册第27章圆【说课稿】正多边形和圆
正多边形和圆一、教材的地位和作用《正多边形和圆》是华师版教材九年级（下）第二十七章的内容。
学生已经学习了圆的性质，这些知识都将为本节的学习起着铺垫作用。
本节内容正多边形和圆也是今后进一步研究圆的性质的基础，在教才中有着承上启下的重要地位。
本节课从定性、定量的两个角度去探讨，挖掘蕴涵的数学知识，把感性认识转化成理性认识，具体到抽象，让学生主动参与，亲身体验知识的发生与发展的过程。
利用正多边形和圆的位置关系探究数量关系，把形的问题转化成了数的问题，体现了数形结合的思想。
二、教学目标1、知识目标：了解正多边形与圆的关系，了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题。
也会应用多边形和圆的有关知识画多边形．2、过程与方法目标：学生在探讨正多边形和圆的关系的学习过程中，体会到要善于发现问题，解决问题，发展学生的观察、比较、分析、概括及归纳的逻辑思维能力。
3、情感目标：通过本节知识的学习，体验数学与生活的紧密相连，感受圆的对称美，正多边形与圆的和谐美，从而更加热爱生活，珍爱生命。
学法分析：数学是一门培养、发展人思维的重要学科。
教学中应在实践基础上重视数学概念和规律的形成过程，激励学生与老师一道积极投身教学实践，引导学生掌握科学的学习方法，使学生从“学会”转变成“会学”，变被动为主动，充分体现老师的主导作用和学生的主体作用。
四、教学过程与设计：（一）、创设情景，导入新课本节课开始，让他们观察美丽的图案，欣赏生活中正多边形形状的物体，让学生感受到数学来源于生活，并从生活中感受到数学美。
同时，提出本节课要研究的问题：正多边形和圆有什么关系？你能借助圆做出一个正多边形吗？然后引导学生观思考这个问题。
采用小组合作交流的方式，给他们足够的时间和空间，这里用到了等分圆周的方法，提示学生等分圆心角，即360°/n.讨论完后让学生自由发言，阐述自己的观点，对他们的观点我将给予及时的表扬和鼓励，同时，纠正学生的学法和知识错误。
华师版九年级数学下册第27章圆PPT教学课件1
A
· O
B
三 关系定理及推论的运用
典例精析
» =CD » = DE »， 例1 如图，AB是⊙O 的直径， BC
∠COD=35°，求∠AOE 的度数．
E D C A · O
» =CD » = DE »， 解： ∵ BC
BOC COD DOE =35，
B
75 .
⌒ ⌒ 例2 如图，在⊙O中， AB=AC ,∠ACB=60°, 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. ⌒ ⌒ 证明：∵AB=CD ， ∴ AB=AC．△ABC是等腰三角形. 又∠ACB=60°， · O C A
⌒ ⌒ 果∠AOB=∠COD，那么，AB =CD ，弦AB=弦CD.
要点归纳 弧、弦与圆心角的关系定理
在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对
的弧相等，所对的弦相等．
①∠AOB=∠COD
C D O B A
⌒ ⌒ ②AB=CD ③AB=CD
想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所 对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件 “在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 不可以，如图.
» 的中点E,连接OE.那么 不是，取 CD
A O
B C E D
» ∠AOB=∠COE=∠DOE,所以 » AB = CE
= DE » .
» =2 » AB，弦AB=CE=DE,在 CD
△CDE中，CE+DE>CD,即CD＜2AB.
课堂小结
圆心角
概念：顶点在圆心的角 在同圆或等圆中
弦、弧、圆心角 的 关 系 定 理
圆心角相等，所对的弦相等． 在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的
圆心角相等，所对的弧相等．
2024-2025学年华师版初中数学九年级(下)教案第27章圆27.2.1点与圆的位置关系
27.2 与圆有关的位置关系1. 点与圆的位置关系教学目标1.了解点和圆的三种位置关系，掌握点到圆心的距离与半径之间的关系.2.掌握“不在同一条直线上的三点确定一个圆”，并能作出这个圆.3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念.教学重难点重点：掌握点到圆心的距离与半径之间的关系.难点：理解不在同一条直线上的三个点确定一个圆及其运用.教学过程导入新课【问题情境】观察下列图片.是一个小朋友玩飞镖游戏时在靶子上留下的小孔，这些小孔和这些同心圆是什么关系呢？【思考】在这个图中有哪些图形？(点、圆)这个图形体现了平面上的点与圆的位置关系，今天这节课我们就来研究这个问题．探究新知1.点和圆的位置关系【问题】观察下图中点与圆的位置关系有哪几种？师生活动：小组合作交流，小组代表发言，教师适当点拨.【归纳总结】点与圆的位置关系有三种：点在圆内（如点B），点在圆上（如点C），点在圆外（如点A）.【探究】如何用数量关系来表示点与圆的位置关系呢？师生活动：小组合作交流，小组代表发言，教师适当点拨.教学反思先画图表示点与圆的三种位置关系，再探究以下问题：教学反思(1)在你画出的三幅图中，分别测量点到圆心的距离与圆的半径r的大小进行比较．(2)点与圆的三种位置关系所对应的d与r之间的数量关系.通过测量，我们得出结果：点在圆上：d= r；点在圆内：d<r；点在圆外：d>r．教师总结：我们知道圆上的所有点到圆心的距离都等于半径，如果点在圆上，那么这个点到圆心的距离等于半径；如果点在圆内，那么这个点到圆心的距离小于半径；如果点在圆外，那么这个点到圆心的距离大于半径.(3)如果圆的半径r与点到圆心的距离d的关系分别是：d= r，d<r，d>r，请分别指出点与圆的位置关系．d= r：点在圆上；d<r：点在圆内；d>r：点在圆外.教师总结：我们知道圆上的所有点到圆心的距离都等于半径，如果点到圆心的距离等于半径，那么这个点在圆上；如果点到圆心的距离小于半径，那么这个点在圆内；如果点到圆心的距离大于半径，那么这个点在圆外.师生活动：学生总结，教师点评.【归纳总结】设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：(1)点P在⊙O上⇔d= r；(2)点P在⊙O内⇔d< r；(3)点P在⊙O外⇔d>r.注：“⇔”读作“等价于”，它表示从符号的左边可以推出右边，从右边可以推出左边.【新知应用】例1画出由所有到已知点O的距离大于或等于2 cm并且小于或等于3 cm的点组成的图形.师生活动：学生动手画图，教师巡视，个别指导.【解】如图所示，阴影部分就是所求图形.2.过不在同一条直线上的三个点作一个圆【问题情境1】平面上有一点A，经过已知点A的圆有几个？圆心在哪里？师生活动：学生动手操作，教师点拨.【解】教学反思【归纳总结】能画出无数个圆，圆心为点A以外任意一点，半径为圆心与点A 之间的距离.【问题情境2】过两个点能不能确定一个圆?师生活动：学生动手操作，讨论交流，教师适时指导.【解】【归纳总结】能画出无数个圆，圆心都在线段AB的垂直平分线上.【问题情境3】经过不在同一条直线上的三点A，B，C能不能作圆？如果能，如何确定所作的圆心？师生活动：教师适时引导分析，学生在教师的引导下，思考动手画图，再抽一名学生口述作图过程，教师再在黑板上板书尺规作图细节.【作法】（1）连结AB，BC；（2）分别作AB，BC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O.点O就是所求圆的圆心.【归纳总结】不在同一条直线上的三个点确定一个圆.3.三角形的外接圆与外心（1）经过三角形（△ABC）的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆.三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.这个三角形叫做这个圆内接三角形.（2）三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点.例2分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.教学反思师生活动：学生动手画图，仔细观察图形，发现规律，教师适时点拨.【归纳总结】（1）锐角三角形的外心位于三角形内.（2）直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点处.（3）钝角三角形的外心位于三角形外.【新知应用】例3如图，⊙O的半径r＝10，圆心O到直线l的距离OD＝6，在直线l上有A，B，C三点，AD＝6，BD＝8，CD＝53，问A，B，C三点与⊙O的位置关系如何？师生活动：(引发学生思考)判断点与圆的位置关系的关键是判断点到圆心的距离与半径大小之间的大小关系.【解】∵OA＝22OD AD+＝62<10，∴点A在⊙O内.∵OB＝22OD BD+＝10，∴点B在⊙O上.∵OC＝22OD CD+＝111＞10，∴点C在⊙O外.【归纳总结】(学生总结，老师点评)判断点与圆的位置关系的关键是比较点到圆心的距离与半径的大小.同时注意垂径定理和勾股定理的应用.【拓展延伸】例4如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CB＝8，AD是△ABC的角平分线，过A，D，C三点的圆与斜边AB交于点E，连结DE.(1)求证：AC＝AE.(2)求△ACD外接圆的直径.师生活动：(引发学生思考)证明线段相等的方法有哪些？结合图形，适合用哪种方法？看到∠ACB＝90°，结合图形能得到哪些结论？对于求直径又该使用哪种方法？(1)【证明】∵∠ACB＝90°，且∠ACB为⊙O的圆周角，∴AD为⊙O的直径，∴∠AED＝90°，∴∠ACB＝∠AED.∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，∴∠CAD＝∠EAD，∴CD＝DE.在Rt△ACD与Rt△AED中，,, AD AD CD ED=⎧⎨=⎩∴ Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，∴AC＝AE.(2) 【解】∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝22AC BC+＝10.由(1)得，∠AED＝∠BED＝90°.设CD＝DE＝x，则DB＝BC－CD＝8－x，EB＝AB－AE＝10－6＝4.在Rt△BED中，根据勾股定理，得BD2＝BE2＋ED2，即(8－x)2＝x2＋42，解得x＝3，∴CD＝3.∵AC＝6，∴AD2＝AC2＋CD2＝62＋32＝45，∴AD＝3 5.【归纳总结】(学生总结，老师点评)全等三角形的对应边相等是常用的证明线段相等的一种方法；利用三角形的外接圆的性质和勾股定理，直角三角形的外接圆直径大小就是直角三角形的斜边长.课堂练习1.⊙O的半径为10 cm，A，B，C三点到圆心的距离分别为8 cm，10 cm，12 cm，则点A，B，C与⊙O的位置关系是：点A在；点B在；点C教学反思在.2.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP＝3，则点P在（）A.在大圆内B.在小圆内C.小圆外D.大圆内、小圆外3.判断对错.(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆.( )(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形. ( )(3)经过三点一定可以确定一个圆. ( )(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等. ( )4..参考答案1.圆内圆上圆外2.D3.（1）√（2）×（3）×（4）√.4.解：如图所示，点O课堂小结学生独立总结，教师补充.1.点和圆的位置关系；2.过不在同一条直线上的三个点确定一个圆；3.三角形的外接圆和外心.布置作业教材第48页练习第1，2题.第55页习题27.2第1，2，3题.板书设计27.2 与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系1.点与圆的三种位置关系与对应的数量关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d,则有：①点P在圆内⇔d<r；②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆外⇔d>r.2.不在同一条直线上的三个点确定一个圆.3.三角形的外接圆与外心.。
华师大版数学九年级下册27.1《圆的认识》教学设计
华师大版数学九年级下册27.1《圆的认识》教学设计一. 教材分析《圆的认识》是华师大版数学九年级下册第27.1节的内容。
本节主要让学生掌握圆的定义、圆的性质、以及圆的周长与面积的计算方法。
教材通过生活中的实例，引导学生探究圆的特征，培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对图形的认识有一定的基础。
但圆的概念较为抽象，学生对其性质和计算方法的理解可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，要注重引导学生通过实际操作和探究来理解圆的特征。
三. 教学目标1.理解圆的定义和性质；2.掌握圆的周长和面积的计算方法；3.培养学生的空间想象能力和抽象思维能力；4.提高学生的合作交流和问题解决能力。
四. 教学重难点1.圆的定义和性质；2.圆的周长和面积的计算方法；3.圆在实际生活中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究圆的特征；2.利用实物模型和多媒体辅助教学，帮助学生直观理解圆的概念；3.采用小组合作的学习方式，培养学生的团队协作能力；4.结合实际生活中的实例，让学生感受圆的应用。
六. 教学准备1.准备相关的实物模型和图片，如硬币、圆规等；2.准备多媒体教学课件，包括圆的定义、性质、周长和面积的计算方法等；3.准备练习题和课后作业，以便进行巩固和拓展。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实物模型和图片，引导学生观察和思考圆的特征。
例如，展示硬币和圆规，让学生说出它们的共同特点。
2.呈现（10分钟）介绍圆的定义和性质。
通过多媒体课件，展示圆的定义，即到一个固定点距离相等的所有点的集合。
然后，引导学生探究圆的性质，如圆的直径、半径、圆心等。
3.操练（10分钟）让学生进行实际操作，加深对圆的认识。
例如，用圆规画圆，测量圆的直径和半径，计算圆的周长和面积等。
4.巩固（10分钟）解答学生的疑问，并通过练习题进行巩固。
可以选择一些有关圆的计算题和应用题，让学生独立完成，然后进行讲解和分析。
【最新】华师大版九年级数学下册第二十七章《圆的认识(第3课时)》公开课课件.ppt
据垂径定理，D是AB的中点，C是AB 的中点，CD就是拱高.
由题设知 A B 3.4 7 ,C D 7 .2 ,
37.4
C
AD 1 AB 137.418.7, 7.2
22 O DO CD CR7.2.
A
18.7
D
B
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
O2AAD 2OD 2, 即 R 2 1.7 8 2(R 7 .2 )2.
课
堂 请围绕以下两个方面小结本节课：
小
结 1、从知识上学习了什么？
圆的轴对称性；垂径定理
２、从方法上学习了什么？
（１）垂径定理和勾股定理结合。 （２）在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线
——过圆心作垂直于弦的线段； ——连接半径。
已知：如图１，在以O为圆 心的两个同心圆中，大圆的 弦AB交小圆于C，D两点。
17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2021/1/122021/1/122021/1/122021/1/12
A
O
C
E
B
运动CD
问题：左图中AB为圆O的直径， CD为圆O的弦。相交于点E，当 弦CD在圆上运动的过程中有没 有特殊位置关系？
D
直径AB和弦CD互相垂直
想一想： 条件 CD为⊙O的直径 CD⊥AB
C
结论
AE=BE ⌒⌒ AC=BC ⌒⌒ AD=BD
.O
垂径定理：
A
E
B 垂直于弦的直径平分弦，
D
R R-7.2
O
解得 R≈27.9（m）.
答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.
赵州桥原名安济桥，俗称大石桥，建于 隋炀帝大业年间（595-605年），至今已 有1400年的历史，是今天世界上最古老 的石拱桥。上面修成平坦的桥面，以行 车走人.赵州桥的特点是“敞肩式”，是 石拱桥结构中最先进的一种。其设计者 是隋朝匠师李春。它的桥身弧线优美， 远眺犹如苍龙飞驾，又似长虹饮涧。尤 其是栏板以及望栓上的浮雕。充分显示 整个大桥堪称一件精美的艺术珍品，称 得上是隋唐时代石雕艺术的精品。1991
27.1.1 圆的基本认识 华师大版数学九年级下册教案
27.1.1 圆的基本认识我们是先用圆规画出一个圆，再将圆划分成一个个 扇形来制作扇形统计图的.（1）圆的定义及表示法图27.1.2 中，线段OA ，OB ，OC 都是圆的半径，通过圆心O 的线段AC 为直径.这个以点 O 为圆心的圆叫 做圆“O ”，记作”O ”.注意:1.确定一个圆需要两个要素：⑴圆心确定圆的位置； ⑵半径确定圆的大小. 2.圆是指“圆周”，而非“圆面”.圆的位置由圆心确定，圆的大小由半径的长度 确定，半径相等的两个圆称为等圆.（2）劣弧，优弧的区别与表示方法线段AB ,BC ,AC 都是O 的弦.曲线BC ,BAC 都是O 的弧，分别记为，其中像弧BC 这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，像弧BAC 这样大于半圆周的圆弧叫做优弧.劣弧用符号“”和弧两端的字母表示如前面的读作“弧BC ”；优弧用符号“”和三个字母表示，如前面的读作弧 “BAC ”在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.（3）圆心角∠AOB ,∠BOC 就是我们已知道的圆心角,圆心O 是这些圆心角的顶点.小组讨论，最后在学生充分讨论的基础上，老师用多媒体课件，给出正确的答案让学生以小组单位进行交流探讨，说出圆的性质，让学生体会了知识产生的过程，提高学生的动手、动脑、独立思考、合作交流的能力.在探索中发现，这样才能理解其中的规律并通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好巩固新知识.巩固练习能加以总结．课堂结圆的基本元素1.圆的定义及表示法2.劣弧，优弧的区别与表示方法弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号“⌒”表示.圆的直径把圆分成相等的两部分，每一部分叫做半圆；小于半圆的弧叫做劣弧；大于半圆的弧叫做优弧.3.圆心角可启发学生说出自己的心得体会及疑问.小结本节课的知识要点及数学方法，使知识系统化.。
华师大版数学九年级下册27.1《圆的认识》说课稿
华师大版数学九年级下册27.1《圆的认识》说课稿一. 教材分析华师大版数学九年级下册27.1《圆的认识》这一节内容，主要让学生了解和掌握圆的基本概念、性质和圆的度量。
教材从生活实例出发，引导学生认识圆，并通过观察、思考、探究等活动，让学生掌握圆的半径、直径、圆心等基本概念，理解圆的性质，如圆是对称图形，圆周率的概念等。
教材还通过练习题，让学生巩固所学知识，为后续学习圆的方程和其他几何性质打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质有一定的了解。
但是，他们对圆的认识可能仅限于生活中的直观感受，对圆的性质和几何意义可能还没有深入的理解。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生从生活实例中抽象出圆的数学概念，并通过观察、思考、探究等活动，让学生掌握圆的基本性质。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生了解圆的基本概念、性质和圆的度量方法，掌握圆的半径、直径、圆心等基本知识。
2.过程与方法：通过观察、思考、探究等活动，培养学生的抽象思维能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学与生活的紧密联系。
四. 说教学重难点1.重点：圆的基本概念、性质和圆的度量方法。
2.难点：圆的性质的理解和应用，圆周率的概念。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生主动探究，培养学生的抽象思维能力和问题解决能力。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、圆规等教学工具，帮助学生直观地理解圆的概念和性质。
六. 说教学过程1.导入：从生活实例出发，引导学生认识圆，激发学生的学习兴趣。
2.新课导入：介绍圆的基本概念、性质和圆的度量方法，引导学生从生活实例中抽象出圆的数学概念。
3.知识讲解：讲解圆的半径、直径、圆心等基本知识，引导学生理解圆的性质，如圆是对称图形，圆周率的概念。
4.课堂练习：布置一些练习题，让学生巩固所学知识。
华师版九年级数学下册第27章圆【创新教案】垂直于弦的直径性质
垂直于弦的直径性质教学目标：(1)知识与技能理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明；(2)过程与方法进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；(3)情感态度与价值观通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱．教学重点、难点：重点：①垂径定理及应用；②从感性到理性的学习能力．难点：垂径定理的证明．教学学习活动设计：（一）实验活动，提出问题：1、实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.2、提出问题：老师引导学生观察、分析、发现和提出问题. 通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理．（二）垂径定理及证明：已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．求证：AE=EB．证明：连结OA、OB，则OA=OB．又∵CD⊥AB，∴直线CD是等腰△OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴．所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B 点重合，AE和BE重合，因此，AE=BE．从而得到圆的一条重要性质．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．组织学生剖析垂径定理的条件和结论：CD为⊙O的直径，CD⊥AB AE=EB.为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混.（三）应用和训练例1、已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．分析：要求⊙O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OE⊥AB于E，而AE＝EB＝12AB=4cm．此时解Rt△AOE即可．解：连结OA ，作OE ⊥AB 于E ． 则AE=EB ． ∵AB=8cm ，∴AE=4cm ． 又∵OE=3cm ，∴⊙O 的半径为5cm ．说明：①学生独立完成，老师指导解题步骤；②应用垂径定理计算：涉及四条线段的长：弦长a 、圆半径r 、弦心距d 、弓形高h 关系：r=h+d ；r 2=d 2+(a/2)2 例2、 已知：在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点．求证AC=BD ．（证明略）说明：此题为基础题目，对各个层次的学生都要求独立完成．练习1：教材中练习1，2两道题.由学生分析思路，学生之间展开评价、交流． 指导学生归纳：①构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法；②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦心距. （四）小节与反思(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用．方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形；(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距；(3)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧． （五）作业 教材．课时作业设计一、选择题．1．如图1，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，•错误的是（ ）．A ．CE=DEB ．C ．∠BAC=∠BAD D ．AC>AD(1) (2) (3) 2．如图2，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ）A ．4B ．6C ．7D ．8»»BCBDC3．如图3，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，•则下列结论中不正确的是（ ）A ．AB ⊥CD B ．∠AOB=4∠ACDC ．D ．PO=PD 二、填空题1．如图4，AB 为⊙O 直径，E 是中点，OE 交BC 于点D ，BD=3，AB=10，则AC=_____．(4) (5)2．P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；•最长弦长为_______．3．如图5，OE 、OF 分别为⊙O 的弦AB 、CD 的弦心距，如果OE=OF ，那么_______（只需写一个正确的结论） 三、综合提高题1．如图24-11，AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，过C 、D 分别作CN ⊥CD 、DM•⊥CD ，•分别交AB 于N 、M ，请问图中的AN 与BM 是否相等，说明理由．2．如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD 长．»»AD BD »BCBA3．（开放题）AB 是⊙O 的直径，AC 、AD 是⊙O 的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=•8，•求∠DAC 的度数． 答案:一、1．D 2．D 3．D 二、1．8 2．8 10 3．AB=CD三、1．AN=BM 理由：过点O 作OE ⊥CD 于点E ，则CE=DE ，且CN ∥OE ∥DM ． ∴ON=OM ，∴OA-ON=OB-OM ，∴AN=BM ．2．过O 作OF ⊥CD 于F ，如右图所示∵AE=2，EB=6，∴OE=2， ∴OF=1，连结OD，在Rt △ODF中，42=12+DF 2，，∴．3．（1）AC 、AD 在AB 的同旁，如右图所示:∵AB=16，AC=8，，∴AC=（AB ），∴∠CAB=60°， 同理可得∠DAB=30°，∴∠DAC=30°．（2）AC 、AD 在AB 的异旁，同理可得：∠DAC=60°+30°=90°．121212。
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教学目标1.使学生理解圆、等圆、等弧、圆心角等概念，2.让学生深刻认识圆中的基本概念。
教学重点圆中的基本概念的认识。
教学难点对等弧概念的理解。
教学过程（一）情境导入：圆是如何形成的？请同学们画一个圆，并从画圆的过程中阐述圆是如何形成的。
如右图，线段OA 绕着它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形。
同学们想一想，如何在操场上画出一个很大的圆？说说你的方法。
由以上的画圆和解答问题的过程中，让同学们思考圆的位置是由什么决定的？而大小又是由谁决定的？（圆的位置由圆心决定，圆的大小由半径长度决定）（二）问题：据统计，某个学校的同学上学方式是，有50% 的同学步行上学，有20% 的同学坐公共汽车上学，其他方式上学的同学有30% ，请你用扇形统计图反映这个学校学生的上学方式。
如图28.1.2线, 段OA、OB、OC 都是圆的半径，线段AB 为直径，.这个以点O 为圆心的圆叫作“圆O”，记为“⊙ O”线段AB、BC、AC 都是圆O 中的弦，曲线BC、BAC 都是圆中的弧，分别记为BC、BAC，其中像弧B︵C这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，像弧BAC.这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧。
∠AOB、∠AOC、∠BOC 就是圆心角。
结合上面的扇形统计图，进一步阐述圆心角、优弧、劣弧等圆中的基本元素。
三、课堂练习1、直径是弦吗？弦是直径吗？2、半圆是弧吗？弧是半圆吗？3、半径相等的两个圆是等圆，而两段弧相等需要什么条件呢？4、比较右图中的三条弧，先估计它们所在圆的半径的大小关系，再用圆规验证你的结论是否正确。
5、说出上右图中的圆心角、优弧、劣弧。
6、直径是圆中最长的弦吗？为什么？（四）课后小结小结本节课我们认识了圆中的一些元素，同学应能从具体的图形中对这些元素加以识别课后作业：课后小记：教学目标：1.使学生知道圆是中心对称图形和轴对称图形,并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，2.能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法。
教学重点：由实验得到同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系。
教学难点：运用同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系解决问题。
教学过程：（一）情境导入要同学们画两个等圆，并把其中一个圆剪下，让两个圆的圆心重合，使得其中一个圆绕着圆心旋转，可以发现，两个圆都是互相重合的。
如果沿着任意一条直径所在的直线折叠，圆在这条直线两旁的部分会完全重合。
由以上实验，同学们发现圆是中心对称图形吗？对称中心是哪一点？圆不仅是中心对称圆形，而且还是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是圆的对称轴。
（二）实践与探索1（1）、同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。
AOB AOB，AB AB，AB AB。
实质上，AOB 确定了扇形AOB 的大小，所以，在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等。
问题：在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦是否相等呢？在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧是否相等呢？（三）应用与拓展思考：如图，在一个半径为6 米的圆形花坛里，准备种植六种不同颜色的花卉，要求每种花卉的种植面积相等，请你帮助设计种植方案。
（2）如图28.1.5，在⊙ O 中，AC BC ，1 45 ，求2的度数。
3）如图，在⊙ O 中，AB ＝AC，∠B＝70°.求∠C度数.4）如图，AB是直径，BC＝CD＝DE，∠BOC＝40°，求∠ AOE 的度数（四）课后小结本节课我们通过实验得到了圆不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形，而由圆的对称性又得出许多圆的许多性质，即（1）同一个圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等。
（2）在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等。
（3）在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧相等。
课后作业：课后小记：28.1.2圆的对称性（2）教学目标1.知道圆是轴对称图形，并会用它推导出垂径定理。
2.能运用垂径定理解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法。
教学重点：知道圆是轴对称图形，并会用它推导出垂径定理教学难点：能运用垂径定理解决问题教学过程（一）实验情境导入2 等分、4 等分、8 等分.试一试如图如果在图形纸片上任意画一条垂直于直径CD 的弦AB，垂足为P，再将纸片沿着直径CD 对折，比较AP 与PB、AC 与CB ，你能发现什么结论？你的结论是：______________________________________这就是我们这节课要研究的问题（二）应用与拓展例1、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于M1、BC ＝1 cm，AD ＝4 cm，那么BD ＝_ cm，AC ＝ _____ cm，⊙ O 的周长为_________ cm．2、若CD=8 ，AB=10，则OM=3、若BM=1 ，CD=8，则OC=例2、如图已知以点O 为公共圆心的两个同心圆,大圆的弦AB 交小圆于点C、D （1）试说明线段AC 与BD 的大小关系。
（2）若AB=8，CD=4 ，求圆环的面积。
例3、在直径为10 的圆柱形油桶内装入一些油后，截面如图示，如果油面宽AB=8，那么油的最大深度是（三）课后小结课后作业：课后小记：教学目标：1.知道什么样的角是圆周角2.了解圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征3.能应用圆心角和圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征解决相关问题4.通过对圆心角和圆周角关系的探索，培养学生运用已有知识，进行实验、猜想、论证，从而得到新知。
进一步体会分类讨论的思想。
教学重点：1、了解圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征2、能应用圆心角和圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征解决相关问题教学难点：对圆心角和圆周角关系的探索，分类思想的应用。
教学过程：（一）情境导入如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样的特征？（顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角），今天我们要学习圆中的另一种特殊的角，它的名称叫做圆周角。
如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样的特征？（顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角），今天我们要学习圆中的另一种特殊的角，它的名称叫做圆周角。
（二）实践与探索1：圆周角究竟什么样的角是圆周角呢？像图（3）中的解就叫做圆周角，而图（2）、（4）、（5）中的角都不是圆周角。
同学们可以通过讨论归纳如何判断一个角是不是圆周角。
（顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角）练习：试找出图中所有相等的圆周角。
（三）实践与探索2：圆周角的度数（一）探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？而90 的圆周角所对的弦是否是直径如图28.1.9，线段AB是⊙O 的直径，点C是⊙O 上任意一点（除点A、B），那么，∠ACB 就是直径AB 所对的圆周角.想想看，∠ ACB 会是怎么样的角？为什么呢？启发学生用量角器量出ACB 的度数，而后让同学们再画几个直径AB 所对的圆周角，并测量出它们的度数，通过测量，同学们感性认识到直径所对的圆周角等于90 （或直角），进而给出严谨的说明。
证明：因为OA＝OB＝OC，所以△AOC、△BOC 都是等腰三角形，所以∠ OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠ OCB. 又∠OAC＋∠ OBC＋∠ ACB＝180°，所以∠ACB＝∠OCA＋180∠OCB＝180＝90°.因此，不管点C在⊙ O上何处（除点A、B），∠ ACB总等于90°，即半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。
反过来也是成立的，即90°的圆周角所对的弦是圆的直径（二）探究同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系CAB 所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你发现什么？图28.1.10 所对的圆心角的度数的一半我们可以发现，圆周角的度数没有变化. 并且圆周角的度数恰好为同弧由上述操作可以猜想：在一个圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半O 和圆周角的顶点C，这时可能出现三种情况：（1）折痕是圆周角的一条边，（2）折痕在圆周角的内部，（3）折痕在圆周角的外部。
（三）应用与拓展1、在同一个圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等吗？为什么？相等的圆周角所对的弧相等吗，为什么？2、你能找出右图中相等的圆周角吗？3、这是一个圆形的零件，你能告诉我，它的圆心的位置吗？你有什么简捷的办法？1、AB是⊙O 的直径，∠ A＝80°．求∠ ABC的度数．图在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为（2x＋100）°和（5x－30）°，求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数.（四）课后小结本节课我们一同探究了同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半；由这个结论进一步得到：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等；半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。
90°（直角）的圆周角所对的弦是圆的直径等结论，希望同学们通过复习，记住这些知识，并能做到灵活应用他们解决相关问题课后作业：课本 43 页习题 6、7课后小记：教学目标：1. 了解点与圆的三种位置关系，能够用数量关系来判断点与圆的位置关系2.掌握不在一条直线上的三点确定一个圆 ,能画出三角形的外接圆 ,求出特殊三角形的外 接圆的半径3. 渗透方程思想，分类讨论思想。
教学重点：用数量关系判断点和圆的位置关系 ,用尺规作三角形的外接圆 ,求直角三角形、等 边三角形和等腰三角形的半径。
教学难点：运用方程思想求等腰三角形的外接圆半径。
教学过程：（一）情境导入同学们看过奥运会的射击比赛吗？射击的靶子是由许多圆的，射击的成绩是由击中靶子不同位置所决定的； 右图是一位运 击 10 发子弹在靶上留下的痕迹。
你知道这个运动员的成绩吗？ 们算一算。
（击中最里面的圆的成绩为 10环，依次为 9、8、⋯、 1 环）这一现象体现了平面上的点与圆的位置关系， 如何判断点与圆的位置关系呢？这就是组成 动员射请同学本节课研究的课题（二）实践与探索1：点与圆的位置关系我们知道圆上的所有点到圆心的距离都等于半径，若点在圆上，那么这个点到圆心的距离等于半径，若点在圆外，那么这个点到圆心的距离大于半径，若点在圆内，那么这个点到圆心的距离小于半径。
如图28.2.1，设⊙ O 的半径为r，A点在圆内，B点在圆上，C点在圆外，那OA<r，OBr，OC> r ．反过来也成立，即若点A 在⊙ O 内OA若点A 在⊙O 上OA若点A 在⊙O 外OA思考与练习1、⊙ O的半径r 5cm，圆心O 到直线的AB 距离d OD 3cm 。