华师大九年级(上)教案 第25章 解直角三角形(全)

25.1 测量

教学目标

1、在探索基础上掌握测量。

2、掌握利用相似三角形的知识

教学重难点

重点：利用相似三角形的知识在直角三角形中，知道两边可以求第三边。

难点：应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。

教学过程

当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？

你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题．

图25.1.1

如图25．1．1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳光下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以利用相似三角形的知识计算出旗杆的高度．

如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识．

试一试

如图25．1．2所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．

你知道计算的方法吗？

图25.1.2

实际上，我们利用图25．1．2（1）中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定理），那么它的边与角又有什么关系？这就是本章要探究的内容．练习

1．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．

2．请你与你的同学一起设计切实可行的方案，测量你们学校楼房的高度．

习题25．1

1．如图，为测量某建筑的高度，在离该建筑底部30．0米处，目测其顶，视线与水平线的夹角为40°，目高1．5米．试利用相似三角形的知识，求出该建筑的高度．（精确到0．1米）

（第1题）

（第3题）

2．在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？

3．如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度．

小结与作业:

小结本节内容:利用相似三角形的知识在直角三角形中，知道两边可以求第三边 作业:一课一练

25.2 锐角三角函数

教学目标

3、正弦、余弦、正切、余切的定义。

4、正弦、余弦、正切、余切的应用 教学重难点

重点：正弦、余弦、正切、余切。

难点：正弦、余弦、正切、余切的应用。 教学过程

第一节.锐角三角函数

在§25．1中，我们曾经使用两种方法求出操场旗杆的高度，其中都出现了两个相似的直角三角形，即

△ABC ∽△A ′B ′C ′．

按

500

1

的比例，就一定有 5001

=''=''AC C A BC C B ， 500

1

就是它们的相似比． 当然也有AC

BC

C A C B =''''． 我们已经知道，直角三角形ABC 可以简记为Rt △ABC ，直角∠C 所对的边

AB 称为斜边，用c 表示，另两条直角边分别为∠A 的对边与邻边，用a 、b 表示（如图25．2．1）．

图25.2.1

前面的结论告诉我们，在Rt △ABC 中，只要一个锐角的大小不变（如∠A ＝34°），那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与邻边的比值是一个固定的值．

思考

一般情况下，在Rt △ABC 中，当锐角A 取其他固定值时，∠A 的对边与邻边的比值还会是一个固定值吗？

图25.2.2

观察图25．2．2中的Rt △11C AB 、Rt △22C AB 和Rt △33C AB ，易知 Rt △11C AB ∽Rt △_________∽Rt △________， 所以

1

1

1AC C B ＝_________＝____________． 可见，在Rt △ABC 中，对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是唯一确定的．

我们同样可以发现，对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是唯一确定的．

因此这几个比值都是锐角A 的函数，记作sinA 、cosA 、tanA 、cotA ，即 sinA ＝

斜边的对边A ∠，cosA ＝斜边的邻边

A ∠，

tanA ＝

的邻边的对边A A ∠∠，cotA ＝的对边

的邻边

A A ∠∠．

分别叫做锐角∠A 的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A 的三角函数．

显然，锐角三角函数值都是正实数，并且

0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1．

根据三角函数的定义，我们还可得出

A A 22cos sin +＝1，

tanA ·cotA ＝1．

图25.2.3

例1 求出图25．2．3所示的Rt △ABC 中∠A 的四个三角函数值．

解

1728922==+=AC BC AB ，

sinA ＝

178=AB BC ，cosA ＝1715

=AB AC ， tanA ＝

158=AC BC ，cotA ＝8

15

=BC AC ． 练习:P76.1.2.

小结本节内容: 正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A 的三角函数

作业:一课一练

第二课时

教学目标

1、探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系。

2、掌握30°、45°、60°等特殊角的三角函数值。

3、掌握三角函数定义式：sin A =

斜边

的对边

A ∠, cos

A =

斜边

的邻边

A ∠,

tan A =

的邻边的对边A A ∠∠, cot A = 的对边

的邻边

A A ∠∠

教学重难点