概率论与数理统计公式集合

概率论与数理统计必考知识点

一、随机事件和概率

1、随机事件及其概率

2、概率的定义及其计算

二、随机变量及其分布

1、分布函数性质

F

b

F

(a

b

a

<

≤

=

P-

X

)

(b

(

)

(

)

b

F

X

(

)

P=

≤)

2、离散型随机变量

3、连续型随机变量

三、多维随机变量及其分布

1、离散型二维随机变量边缘分布

∑∑====

==⋅j

j

ij

j

i

i i p

y Y x X P x X P p ),()(

∑∑====

==⋅i

i

ij

j

i

j j p

y Y x X P y Y P p ),()(

2、离散型二维随机变量条件分布

2,1,)

()

,()(======

===⋅i P p y Y P y Y x X P y Y x X P p j

ij j j i j i j i

2,1,)

()

,()(==

====

===⋅

j P p x X P y Y x X P x X y Y P p i ij i j i i j i j

3、连续型二维随机变量( X ,Y )的联合分布函数⎰⎰∞-∞-=x

y

dvdu v u f y x F ),(),( 4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数

边缘分布函数：⎰⎰∞-+∞

∞-=x

X dvdu v u f x F ),()( 边缘密度函数：⎰+∞

∞-=dv v x f x f X ),()( ⎰⎰

∞-+∞

∞

-=

y Y dudv v u f y F ),()( ⎰

+∞

∞

-=

du y u f y f Y ),()(

5、二维随机变量的条件分布

+∞<<-∞=

y x f y x f x y f X X Y ,)(),()( +∞<<-∞=x y f y x f y x f Y Y X ,)

()

,()(

四、随机变量的数字特征

1、数学期望

离散型随机变量：∑+∞

==1)(k k k p x X E 连续型随机变量：⎰+∞

∞-=dx x xf X E )()(

2、数学期望的性质

(1)为常数C ,)(C C E = )()]([X E X E E = )()(X CE CX E =

(2))()()(Y E X E Y X E ±=± b X aE b aX E ±=±)()( )()()(1111n n n n X E C X E C X C X C E +=+ (3)若XY 相互独立则：)()()(Y E X E XY E = (4))()()]([222Y E X E XY E ≤ 3、方差：)()()(22X E X E X D -= 4、方差的性质

(1)0)(=C D 0)]([=X D D )()(2X D a b aX D =± 2)()(C X E X D -<

(2)),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ±+=± 若XY 相互独立则：)()()(Y D X D Y X D +=± 5、协方差：)()(),(),(Y E X E Y X E Y X Cov -= 若XY 相互独立则：0),(=Y X Cov 6、相关系数：)

()(),(),(Y D X D Y X Cov Y X XY

=

=ρρ 若XY 相互独立则：0=XY

ρ即XY 不相关

7、协方差和相关系数的性质 (1))(),(X D X X Cov = ),(),(X Y Cov Y X Cov =

(2)),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+ ),(),(Y X abCov d bY c aX Cov =++

8、常见数学分布的期望和方差

五、大数定律和中心极限定理

1、切比雪夫不等式

若,)(,)(2σμ==X D X E 对于任意0>ξ有2)(})({ξξX D X E X P ≤≥-或2

)

(1})({ξ

ξX D X E X P -≥<- 2、大数定律：若n X X 1相互独立且∞→n 时，∑∑

==−→

−n

i i

D

n

i i X E n

X n 1

1

)(1

1

(1)若n X X 1相互独立，2

)

(,)(i i i i X D X E σμ==且

M i ≤2

σ则：

∑∑

==∞→−→

−n

i i

P

n

i i n X E n

X n

1

1

)(),(1

1

(2)若n X X 1相互独立同分布，且i i X E μ=)(则当∞→n 时：μ−→−

∑=P

n i i X n 1

1 3、中心极限定理

(1)独立同分布的中心极限定理：均值为μ，方差为02>σ的独立同分布时，当n 充分大时有：

)1,0(~1

N n n X

Y n

k k

n −→−-=

∑=σ

μ

(2)拉普拉斯定理：随机变量),(~)2,1(p n B n n =η则对任意x 有：

⎰

∞

--

+∞

→Φ==

≤--x

t n x x dt

e

x p np np P )(21})

1({

lim 22

π

η

(3)近似计算：)(

)(

)()(1

1

σ

μσ

μσ

μσ

μ

σμn n a n n b n n b n n X

n n a P b X a P n

k k

n

k k -Φ--Φ≈-≤

-≤

-=≤≤∑∑==