韦达定理的应用

韦达定理 x 型韦达定理24．【2018河北廊坊八中高三模拟】设圆224280x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点()2,0B 且与x 轴不重合， l 交圆A 于,C D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .（1）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（2）设()0,2Q ，过点()1,2P --作直线l '，交点E 的轨迹于,M N 两点 (异于Q ),直线,QM QN 的斜率分别为12,k k ，证明 12k k +为定值.【答案】(1) ()221084x y y +=≠ (2)见解析.解析 （1）如图，因为AD AC =， //EB AC ，故EBD ACD ADC ∠=∠=∠，所以EB ED =，故EA EB EA ED AD +=+=，又圆A 的标准方程为()22232x y ++=，从而42AD =，所以42EA EB +=,有题设可知()()2,0,2,0A B -，424EA EB AB +=>=由椭圆的定义可得点E 的轨迹方程为()221084x y y +=≠.（2）设()()1122,,,M x y N x y ，当l '的斜率不存在时，此时:1l x '=-此时容易解出,M N 的坐标14141,,1,22⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此12141422422k k +=++-=时. 综上可知124k k +=.点睛 （1）动点的轨迹问题，先考虑动点是否有几何性质，然后利用曲线的定义写出曲线方程.（2）解析几何中的定点定值问题，通常把目标转化为1212,x x x x +（或1212,y y y y +）的整体，再用韦达定理转化即可.25．【2018湖南株洲高三质检一】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>与直线:0l bx ay -=都经过点()22,2M .直线m 与l 平行，且与椭圆C 交于,A B 两点，直线,MA MB 与x 轴分别交于,E F 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）证明 MEF ∆为等腰三角形.【答案】(1) 221164x y +=；(2)证明见解析.【解析】试题分析 （1）将点M 分别代入直线方程及椭圆方程，即可求得a 和b 的值，求得椭圆方程；（2）设直线m 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式求得 MA + MB =0，即可求得△MEF 为等腰三角形． 试题解析（1）由直线:0l bx ay -=都经过点()22,2M ，则a=2b ，将()22,2M 代入椭圆方程22221x y a b+= ，1212222222MA MB y y k k x x --==--，()()()()121212222222MA MB x x b x x k k x x +-++=--，()()2212284224282222b b b b x x-+--+=--，0=，所以MEF ∆为等腰三角形.点睛 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，证明三角形为等腰三角形转化为证明斜率之和为0是关键.30．【2018辽宁沈阳高三质监三】已知定直线:3l y x =+，定点()2,1A ，以坐标轴为对称轴的椭圆C 过点A 且与l 相切. 学（ ） （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）椭圆的弦,AP AQ 的中点分别为,M N ，若MN 平行于l ，则,OM ON 斜率之和是否为定值？ 若是定值，请求出该定值；若不是定值请说明理由.【答案】（1）22163x y +=（2）,OM ON 斜率之和为定值0【解析】试题分析 （Ⅰ）设椭圆的标准方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠，由题意构建关于a b ，的方程组，即可得椭圆方程．（Ⅱ）设点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），可知PQ ∥MN ，所以 PQ = MN =1，设直线PQ 的方程为y=x+t ，代入椭圆方程并化简得 3x 2+4tx+2t 2﹣6=0，利用韦达定理可计算0OM ON k k += 试题解析（Ⅰ）设椭圆的标准方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠ 椭圆C 过点A ，所以41m n +=①，将3y x =+代入椭圆方程化简得 ()26910m n x nx n +++-=，因为直线l 与椭圆C 相切，所以()()()264910n m n n ∆=-+-=②，解①②可得， 11,63m n ==，所以椭圆方程为22163x y +=；（Ⅱ）设点()()1122,,,P x y Q x y ，则有11222121,,,2222x y x y M N ++++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由题意可知PQ MN ，所以1PQ MN k k ==，设直线PQ 的方程为y x t =+， 代入椭圆方程并化简得 2234260x tx t ++-=由题意可知1221243{ 263tx x t x x +=--=③点睛 定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值 确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.含点代入椭圆的应用32．【2018河南洛阳高三第一次统考】已知短轴长为2的椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，直线n 的横、纵截距分别为,1a -，且原点到直线n 32． （1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 经过椭圆的右焦点2F 且与椭圆E 交于,A B 两点，若椭圆E 上存在一点C 满足320OA OB OC +-=，求直线l 的方程．【答案】（1）2213x y +=.（2）20x y +-=或20x y --=.解析 （1）因为椭圆E 的短轴长为2，故1b =.依题意设直线n 的方程为1xy a-=，由213211a =+.解得3a =2213x y +=. （2）设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y 当直线l 的斜率为0时，显示不符合题意.当直线l 的斜率不为0时， )22,0F ，设其方程为2x ty =，由221{ 32x y x ty +==，得()2232210ty ty ++-=，所以12122222133t y y y y t t +==-++①.点睛 一般地，当解析几何中问题出现向量等式时，我们先寻找向量隐含的几何意义，如果没有几何意义，可以转化点的坐标讨论.解决直线与圆锥曲线位置关系式，我们常把给定的关系式转化为含有1212,x x x x +（或1212,y y y y +）的关系式，最后利用韦达定理转化为所求参数的方程.韦达定理求最值28．【2018河南郑州高三质检一】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，以12F F 为直径的圆与直线230ax by ab +-=相切.（1）求椭圆C 的离心率；（2）如图，过1F 作直线l 与椭圆分别交于两点,P Q ，若2PQF 的周长为42，求12·F P F Q 的最大值.【答案】；(2) 72.【解析】试题分析（1）有直线和圆相切得到关于,,a b c 的关系式，整理可得222a b =，从而可得e =．（2）根据三角形2PQF ∆的周长可得a =21b =，可得椭圆的方程．分直线l 斜率存在和不存在两种情况分别求得22F P F Q ⋅的值，可得22F P F Q ⋅最大值是72． 试题解析 （1c =，即()()()222222222344.a b c a b a b ab =+=-+∴222a b =，e ∴=． （2）因为三角形2PQF ∆的周长为，所以4a =a ∴=∴21b =，故2272F P F Q ⋅=. ②若直线l 斜率存在，设直线l 的方程为()1y k x =+，由()221,{ 22y k x x y =++=消去y 整理得()2222214220kx k x k +++-=，设()()1122,,,P x y Q x y ，则22121222422,.2121k k x x x x k k -+=-=++∴()()2211221,1,F P F Q x y x y ⋅=-⋅-()()121211,x x y y =--+()()()222121211 1.k x x k x x k =++-+++点睛 圆锥曲线中求最值或范围问题的方法若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．常从以下几个方面考虑①利用判别式 构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．29．【2018陕西西安长安区一中高三上学期八模】平面直角坐标系xOy 中，经过椭圆C22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点的直线30x y -=与C 相交于,M N 两点， P 为MN 的中点，且OP 斜率是14-.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)直线l 分别与椭圆C 和圆D 222()x y r b r a +=<<相切于点A B 、，求AB 的最大值.【答案】(Ⅰ) 2214x y +=；(Ⅱ)1. 【解析】试题分析(Ⅰ)设出点M,N 的坐标，利用点差法计算可得224a b =，结合焦点坐标有223a b -=，据此计算可得椭圆C 的方程是2214x y +=；(Ⅱ)设,A B 分别为直线l 与椭圆和圆的切点， ()00,A x y ，联立直线与椭圆的方程有()222148440k xkmx m +++-=，利用判别式0∆=，可得04k x m =-， 01y m=，直线l 与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，据此可得22214r k r -=-， 22234r m r =-，则2224||5AB r r ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，结合绝对不等式的结论有当()21,2r =∈时， AB 的最大值是1. 试题解析(Ⅱ)设,A B 分别为直线l 与椭圆和圆的切点， ()00,A x y ，222200||AB x y r =+- 222161k r m +=- 222221161434r r r r r -+-=-- 2245r r ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为2244r r +≥=，当()1,2r =时取等号，所以22451r r ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，因此当()1,2r =时， AB 的最大值是16.【2016高考新课标1卷】设圆222150x y x ++-=的圆心为A,直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合,l 交圆A 于C,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E. （I ）证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.【答案】（Ⅰ）13422=+y x （0≠y ）（II ）)38,12[ 【解析】（Ⅰ）因为||||AC AD =,AC EB //,故ADC ACD EBD ∠=∠=∠, 所以||||ED EB =,故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ,从而4||=AD ,所以4||||=+EB EA . 由题设得)0,1(-A ,)0,1(B ,2||=AB ,由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：13422=+y x （0≠y ）. （Ⅱ）当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ,),(11y x M ,),(22y x N .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 得01248)34(2222=-+-+k x k x k .则3482221+=+k k x x ,341242221+-=k k x x .所以34)1(12||1||22212++=-+=k k x x k MN .过点)0,1(B 且与l 垂直的直线m ：)1(1--=x k y ,A 到m 的距离为122+k ,所以 1344)12(42||22222++=+-=k k k PQ .故四边形MPNQ 的面积 341112||||212++==k PQ MN S . 可得当l 与x 轴不垂直时,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.当l 与x 轴垂直时,其方程为1=x ,3||=MN ,8||=PQ ,四边形MPNQ 的面积为12. 综上,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[. 6.如图，P 为圆()22:324M x y -+=上的动点，定点()3,0Q -，线段PQ 的垂直平分线交线段MP 于点N ． （1）求动点N 的轨迹方程；（2）记动点N 的轨迹为曲线 C ，设圆22:2O x y +=的切线l 交曲线C 于,B A 两点，求OA OB 的最大值．【答案】（1）22163x y +=；（2）32 【解析】（1）因为2623NM NQ NM NP MP MQ +=+==>=，所以动点N 的轨迹为椭圆，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分∴a c ==，∴23b =，∴动点N 的轨迹方程为22163x y +=；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）①当切线l 垂直坐标轴时，4OA OB =；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ②当切线l 不垂直坐标轴时，设切线l 的方程：()0y kx m k =+≠，点()()1122,,,A x y B x y ，由直线和圆相切，得2222m k =+ 由2226y kx mx y =+⎧⎨+=⎩得，()222214260k x kmx m +++-=， ∴2121222426,2121km m x x x x k k -+=-=++∴()()()()221212*********x x y y x x kx m kx m k x x km x x m +=+++=++++()2222222226436610212121m km m k k km m k k k ---=+-+==+++， ∴090AOB ∠=，∴2OA OB AB =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分又∵)()222122282212211k k AB x k +-=-==++，令2t k =，则3AB ==≤，当且仅当2k ±时，等号成立， ∴32OA OB ≤综上，OA OB 的最大值为．．．．．．．．．．．．．．．12分Y 型韦达定理27．【2018广西南宁高三摸底】已知抛物线C y 2=ax （a ＞0）上一点P （t ， 12）到焦点F 的距离为2t ．（l ）求抛物线C 的方程；（2）抛物线上一点A 的纵坐标为1，过点Q （3，﹣1）的直线与抛物线C 交于M ，N 两个不同的点（均与点A 不重合），设直线AM ，AN 的斜率分别为K 1，K 2，求证12k k ⋅为定值． 【答案】（1）2y x =；（2）证明见解析.【解析】试题分析 （1）由抛物线的定义可知24aPF t t =+=，可求抛物线的标准方程；（2）设过点()31Q -，的直线l 的方程为()31x m y -=+，即3x my m =++，代入2y x =利用韦达定理，结合斜率公式，化简即可求12k k ⋅的值. 试题解析 （1）由抛物线的定义可知24a PF t t =+=，则4a t =，由点12P t （，）在抛物线上，则14at =，点睛 本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题；运用抛物线上的点到焦点距离为02pd x =+是解题的关键，联立直线与抛物线的方程，运用“整体代换，设而不求”的思想是常用的手段.。