韦达定理的应用

浅谈韦达定理的应用

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浅谈韦达定理的应用

摘 要: 韦达定理是由十六世纪著名的杰出数学家韦达发现的，它描述了一元二次方程的根与系数之间的关系。韦达定理的内容具有灵活性、应用广泛性、条件放缩性等特点，在一元二次方程中和圆锥曲线中都是一个重点。它能培养学生逻辑思维能力、灵活解决问题能力等。

关键词：一元二次方程 圆锥曲线、韦达定理 引言

韦达定理是中学阶段的重要内容， 平时的教学过程中，教师们经常会碰到一些需要运用韦达定理的相关题目时有很大的困难，学生理解起来也会有很多的迷惑之处。比如前段时间，在初三的一次辅导中，学生碰到了一题考查一元二次不等式的题目，题意如下：

已知不等式02

=++c bx ax 的解集为}42{≤≤x x ，则不等式02

≤++a bx cx 的解集为_____________。

本题主要考查学生一元二次不等式与一元二次方程的转化，以及整体思想和转换思想的能力。学生要是按照平时的方程解法去做，解题难度会比较大，即使能力强的学生也要花上很长时间才能将解题过程写完整。但是，如果学生能理解并且应用韦达定理的话，此题的解题思路就会显而易见，并能简化解题过程。所以，我认为借助几种典型的题型来讲解和归纳韦达定理的重要性，是很有必要与意义的同时，韦达定理也是解决圆锥曲线的问题重要手段，同时也是简化运算从而快速得到运算结果的有效途径。由于它的灵活性在解析几何中有广泛应用。特别对于一些圆锥曲线问题，如果和韦达定理相结合，使用设而不求的方法，可很大程度上的简化运算，同时解题的思路也格外清晰。如直线与曲线（椭圆、双曲线、抛物线）相交，求截得的弧长。。

正文

任给一个一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)，设他的两根为21,x x ，利用

求根公式 a

ac

b b x 242-±-=得到根和系数的关系：

a b x x -=+21，a

c

x x =21这就是著名的韦达定理。它描述了方程的根和系数之

间的关系，是一元二次方程解法的补充。在求圆锥曲线问题时用它更会问题简单化。接下来，我们来归纳一下韦达定理在一元二次方程中应用和在圆锥曲线中的应用。

1 在一元二次方程中的应用

1）已知方程的一根，求另一根

例1. 已知关于x 的方程0522=-+kx x 的一根为2

11

11+-=

x ，求另一根2x 和k 的值。 解析：由韦达定理可知2521-

=x x ，所以21112512--=÷-=x x ，12

21-=-=+k

x x ，所以

2-=k 。

【注释】本题要是按照平时的做法，先将1x 带入方程中，求出k 值，再用求根公式去求另外

一个解，虽然也能得到正确的答案。但是由于方程的根带有根号，计算时难度会加大，而且学生的出错率也会随之增加。但该题由韦达定理求解，明显能减少学生计算量，也能提高正确性。

2）对复杂系数的一元二次方程求解

例2.已知方程()()01122=+++-a a x a x 的两个解为21,x x ，请求出21x x -的值？ 解析：根据韦达定理可得1221+=+a x x ，()121+=a a x x ，所以学生很容易得出

1,21+==a x a x ，所以1121=-+=-a a x x

【注释】：在本题中出现了另一个字母a ，部分学生可能比较迷茫，不知道怎么求解。若学生直接采用求根公式进行求解，计算量会很大，而且出现了字母a ，可能导致部分学生无法简化根的形式而出错。但是，此题采用韦达定理求解，就能跳过繁琐的计算，直接求出答案。 3）已知两根，构造新的一元二次方程

例3.已知某一元二次方程的两根为53,52-+，二次项系数为2，请确定该方程的表达式。

解析：设所求方程为022=++c bx x ，

由韦达定理可得255352b -==-++，2

51)53()52(c

=+=-+。

解得52.10+=-=c b ，

所以所求一元二次方程为0521022=++-x x 。

例4.已知方程022=-+x x ，求一个一元二次方程，使它的根分别比第一个方程的两根大2.

解析：设所求方程的两个根为21,m m ，且2,22211+=+=x m x m ，

由韦达定理可得2,12121-=-=+x x x x ，则 321=+m m 2221-=m m

所以()021212=++-m m m m m m 。

【注释】：上面两题题型考查学生如何构造方程，需要学生有较强的理解和抽象思维能力。但

是，初中学生的抽象能力与构造能力很薄弱，很难找到此题的切入点。倘若学生能采用韦达定理，其解题思路是很明显的，而且讲解时学生也很容易理解，能很大程度上降低了难度。 4）利用整体思想求代数式的值

例5.已知关于x 的一元二次方程0122=-+-m mx x 的两个实数根21,x x 满足

72

22

1=+x x ，求实数12-m 的值。

解析：因为，72

221=+x x

所以722212

2212

1=-++x x x x x x 即()7221221=-+x x x x 。

12,2121-==+m x x m x x 根据韦达定理可知。

所以()71222=--m m 。

解得 5,121=-=m m

检验:当m=5时，0 ∆，舍去 所以112,1=-=m m 。

例6.若21,x x 是方程04322=-+x x 的两个实数根，求（1）()()1121++x x 的值（2）1

2

21x x

x x -的值.

解析：（1）由韦达定理可知2,23

2121-=-=+x x x x ，则

()()2

9

111212121-=+++=++x x x x x x 。

（2）

()

8

25221212

21212

1211221-=-+=-=-x x x x x x x x x x x x x x 【注释】：上面两题型主要考查了学生韦达定理和整体代入的数学思想，这样就能简化代数式，

方便计算。要是学生先将方程的根求出来的话，再代入代数式求值的话，这个过程计算会比较烦，特别是例5中海含有另外一个字母，会降低学生学习的兴趣。 5）在一元二次不等式中的求解

例7.已知不等式2

0ax bx c

++的解集为{}

2

4x x

，则不等式2

0cx bx a

++的解集为

______________

解析：由韦达定理可得0a

，

6

b

a -

=，8c a =，

从而推导得出0c ，3

4

b c -=，18a c =

所以2

0cx bx a ++可化为20b a

x x c c ++，即

2310

48x x -

+

解为1

12

4

x

x 或 【注释】：本题由于是一选择题，利用数学中的特殊值法很容易得出答案，但要是能完整写出解题过程的话难度较大，一般的学生很难找到头绪。但是，利用韦达定理进行求解的话，能帮助学生容易找到解题的思路和头绪，并且计算过程也能优化。