总体方差的估计 - 360文档中心

总体方差(标准差)的估计

总体方差（标准差）的估计
教学要求：理解方差和标准差的意义，会求样本方差和标准差。

教学过程：
看一个问题：甲乙两个射击运动员在选拔赛中各射击20次，成绩如下：
一、方差和标准差计算公式：样本方差：s 2=n
1〔（x 1—x ）２
+（x 2—x ）2+…+（x n —x ）2〕
样本标准差：s=
])()
()
[(n
12
2
22
1-
-
-
-++-+-x x x x x x n
方差和标准差的意义：描述一个样本和总体的波动大小的特征数。

标准差大说明波动
大。

一般的计算器都有这个键。

例一、要从甲乙两名跳远运动员中选拔一名去参加运动会，选拔的标准是：先看他们的平均成绩，如果两人的平均成绩相差无几，就要再看他们成绩的稳定程度。

为此对两人进行了15次比赛，得到如下数据：（单位：cm ）：
如何通过对上述数据的处理，来作出选人的决定呢？
x 甲
≈ x
乙
≈
s 甲≈ s 乙≈
说明：总体平均数描述一总体的平均水平，方差和标准差描述数据的波动情况或者叫稳定程度。

二、练习：
根据以上数据，说明哪个波动小？
根据上述样本估计，哪个总体的波动较小？
问谁射击的情况比较稳定？
三、作业：
哪种小麦长得比较整齐？
哪种水稻的产量比较稳定？。

估计量方差

估计量方差
估计量方差指的是在统计学中用来估计总体方差的一种方法。

它是通过从样本中收集数据来推断总体方差的值。

在估计量方差中，我们将样本数据的方差作为总体方差的估计值，因为样本数据是总体数据的一个子集，所以可以用样本数据来预测总体数据的方差。

为了计算估计量方差，我们需要使用样本方差公式。

样本方差是指样本数据中每个观察值与样本均值之差的平方和除以样本容量减1。

用公式表示为：
S²= Σ(xi - x̄)²/ (n-1)
其中，S²表示样本方差，xi表示样本中第i个观察值，x̄表示样本均值，n表示样本容量。

在计算样本方差之后，我们可以将其作为总体方差的估计值。

但是，需要注意的是，样本方差通常会低估总体方差，特别是当样本容量较小时。

为了解决这个问题，我们可以使用调整后的样本方差公式，也称为无偏估计量方差公式。

它是将样本方差乘以一个校正因子来纠正样本方差的偏差。

用公式表示为：
S²= Σ(xi - x̄)²/ (n-2)
其中，S²表示无偏估计量方差，xi表示样本中第i个观察值，x̄表示样本均值，n表示样本容量。

因此，估计量方差是用来估计总体方差的一种方法，它通过从样本中收集数据来推断总体方差的值。

在使用估计量方差时，我们需要使用样本方差公式，但需要注意样本方差通常会低估总体方差，因此可以使用调整后的样本方差公式来纠正偏差。

20.2.2用样本方差估计总体方差(教案)

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“样本方差在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
举例：针对“样本方差计算公式的理解”这一难点，教师可以通过图形演示和数据对比的方式，帮助学生直观理解为何要除以“样本容量减一”，以及这样做能更好地估计总体方差。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《用样本方差估计总体方差》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要通过部分信息来推测整体情况的情况？”（如通过抽查产品来估计整批产品的质量）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索如何用样本方差来估计总体方差的奥秘。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调样本方差的计算公式和样本方差与总体方差的关系这两个重点。对于难点部分，如无偏估计的理解，我会通过实际数据和图形来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与样本方差估计总体方差相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，比如收集班级学生的身高数据，计算样本方差，并尝试估计全年级学生的身高方差。
5.数学交流：培养学生运用专业术语进行有效沟通，表达对样本方差估计总体方差的思考过程和结论。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-样本方差的定义及其计算公式：强调样本方差的数学表达式，以及各部分的含义，如样本数据、样本均值等。

总体期望值和方差的估计

12.2 总体期望值和方差的估计●知识梳理 1.平均数的计算方法（1）如果有n 个数据x 1，x 2，…，x n ，那么x =n1（x 1+x 2+…+x n ）叫做这n 个数据的平均数，x 读作“x 拔”.（2）当一组数据x 1，x 2，…，x n 的各个数值较大时，可将各数据同时减去一个适当的常数a ，得到x 1′=x 1－a ，x 2′=x 2－a ，…，x n ′=x n －a ，那么，x =x ' +a .（3）加权平均数：如果在n 个数据中，x 1出现f 1次，x 2出现f 2次，…，x k 出现f k 次（f 1+f 2+…+f k =n ），那么x=nf x f x f x kk +++ 2211.2.方差的计算方法（1）对于一组数据x 1，x 2，…，x n ，s 2=n1［（x 1－x ）2+（x 2－x ）2+…+（x n －x ）2］叫做这组数据的方差，而s 叫做标准差.（2）公式s 2=n1［（x 12+x 22+…+x n 2）－n x 2］.（3）当一组数据x 1，x 2，…，x n 中的各数较大时，可以将各数据减去一个适当的常数a ，得到x 1′=x 1－a ，x 2′=x 2－a ，…，x n ′=x n －a .则s 2=n1［（x 1′2+x 2′2+…+x n ′2）－n 2x '］.3.总体平均值和方差的估计人类的长期实践和理论研究都充分证明了用样本的平均数估计总体平均值，用样本方差估计总体方差是可行的，而且样本容量越大，估计就越准确.●点击双基1.描述总体离散型程度或稳定性的特征数是总体方差，以下统计量估计总体稳定性的是 A.样本均值xB.样本方差C.样本最大值D.样本最小值解析：统计学的基本思想是用样本来估计总体.因此选B. 答案：B2.甲、乙两人在相同的条件下，射击10次，命中环数如下：甲：8，6，9，5，10，7，4，8，9，5；乙：7，6，5，8，6，9，6，8，7，7.根据以上数据估计两人的技术稳定性，结论是 A.甲优于乙 B.乙优于甲C.两人没区别D.两人区别不大解析：x 甲=101（8+6+…+5）=7.1，x 乙=101（7+6+…+7）=6.9.s 甲2=101［（8－7.1）2+…+（5－7.1）2］=3.69， s 乙2=101［（7－6.9）2+…+（7－6.9）2］=1.29.∴乙优于甲. 答案：B3.样本a 1，a 2，a 3，…，a 10的平均数为a ，样本b 1，b 2，b 3，…，b 10的平均数为b ，那么样本a 1，b 1，a 2，b 2，…，a 10，b 10的平均数为A.a +bB.21（a +b ）C.2（a +b ）D.101（a +b ）解析：样本a 1，a 2，a 3，…，a 10中a i 的概率为P i ，样本b 1，b 2，b 3，…，b 10中b i 的概率为P i ′，样本a 1，b 1，a 2，b 2，a 3，b 3，…，a 10，b 10中a i 的概率为q i ，b i 的概率为q i ′，则P i =2q i ，故样本a 1，b 1，a 2，b 2，a 3，b 3，…，a 10，b 10的平均数为a 1q 1+b 1q 1′+a 2q 2+b 2q 2′+…+a 10q 10+b 10q 10′=21（a 1P 1+…+a 10P 10）+21（b 1P 1′+21b 2P 2′+…+21b 10P 10′）=21（a +b ）.答案：B4.电池厂从某日生产的电池中抽取10个进行寿命测试，得到数据如下（单位：h ）：30，35，25，25，30，34，26，25，29，21.则该电池的平均寿命估计为___________，方差估计为___________.解析：x =101（30+35+25+25+30+34+26+25+29+21）=101（0+5－5－5+0+4－4－5－1－9）+30=28， s 2=101［（30－28）2+（35－28）2+（25－28）2+（25－28）2+（30－28）2+（34－28）2+（26－28）2+（25－28）2+（29－28）2+（21－28）2］=101（4+49+9+9+4+36+4+9+1+49）=17.4.答案：28 17.4 ●典例剖析【例1】 x 是x 1，x 2，…，x 100的平均数，a 是x 1，x 2，…，x 40的平均数，b 是x 41，x 42，…，x 100的平均数，则下列各式正确的是A.x =1006040b a + B.x =1004060b a +C.x =a +bD.x =2b a +剖析：这100个数的平均数是a +b 还是21（a +b ），这都很容易让人误解.我们可以从概率及加权平均数的角度来思考.设P i 是x 1，x 2，…，x 100中x i 被抽到的概率，q i 是x 1，x 2，…，x 40中x i 被抽到的概率，r i 是x 41，x 42，…，x 100中x i 被抽到的概率，则P i =10040q i ，P i =10060r i .故x 1，x 2，…，x 100的平均数x =10040（x 1q 1+x 2q 2+…+x 40q 40）+10060（x 41r 41+…+x 100r 100）=10040a +10060b .答案：A评述：除上述解法外，你还有其他解法吗？特别提示除了上述方法外，我们还可以先分别求出x 1+x 2+…+x 40=40a ，x 41+x 42+…+x 100=60b ，再求x .【例2】甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表（单位：环）甲 10 8 9 9 9 乙1010799如果甲、乙两人只有1人入选，则入选的应是___________.剖析：判断谁入选，首先应考虑选手的成绩是否稳定.因此分别求其方差. 甲的平均数为x 1=51（10+8+9+9+9）=9，乙的平均数为x 2=51（10+10+7+9+9）=9，甲的方差为s 甲=（10－9）2×51+（8－9）2×51=52，乙的方差为s 乙=（10－9）2×51×2+（7－9）2×51=56.s 乙＞s 甲，说明乙的波动性大，故甲入选. 答案：甲评述：方差的大小可看出成绩的稳定性，平均数的大小可看出成绩的高低.【例3】某班40人随机分为两组，第一组18人，第二组22人，两组学生在某次数学检测中的成绩如下表：分组平均成绩标准差第一组 90 6 第二组804剖析：代入方差公式s 2=n1［（x 12+x 22+…+x n 2）－n x 2］即可求得.解：设全班的平均成绩为x ，全班成绩的方差为s 2，则s 12=181［（x 12+x 22+…+x 182）－18×902］=36，s 22=221［（x 192+x 202+…+x 402）－22×802］=16.∴x =401（90×18+80×22）=2169=84.5，s 2=401［（x 12+x 22+…+x 182）+（x 192+x 202+…+x 402）－40·x 2］=401［18×（36+8100）+22×（16+6400）－40×41692］=401（146448+141152－10×1692） =401×1990=49.75.∴s =2199≈7.05.评述：平均成绩应为总成绩除以总人数，而总成绩可由每组成绩之和求得. 【例4】已知c 为常数，s 2=n1［（x 1－x ）2+（x 2－x ）2+…+（x n －x ）2］，s c 2=n1［（x 1－c ）2+（x 2－c ）2+…+（x n －c ）2］.证明：s 2≤s c 2，当且仅当c =x 时，取“=”.剖析：证明s c 2≥s 2，可证明s c 2－s 2≥0.因此应用方差公式进行变形即可. 证明：∵s 2=n1［（x 1－x ）2+…+（x n －x ）2］=n1［（x 12+x 22+…+x n 2）－n x 2］，s c 2=n1［（x 1－c ）2+（x 2－c ）2+…+（x n －c ）2］=n1［（x 12+x 22+…+x n 2）－2c （x 1+x 2+…+x n ）+nc 2］，∴s c 2－s 2=x 2－nc 2（x 1+x 2+…+x n ）+c 2=x 2－2c ·x +c 2=（x －c ）2≥0. ∴s c 2≥s 2，当且仅当x =c 时取“=”. 评述：作差是比较大小的常用手段.●闯关训练夯实基础1.一组数据的方差为s 2，将这组数据中的每一个数都乘以2，所得到的一组新数据的方差是A.21s 2 B.2s 2 C.4s 2 D.s 2解析：由方差公式易求得新数据的方差为4s 2. 答案：C2.某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是A.70，25B.70，50C.70，1.04D.65，25解析：易得x 没有改变，x =70，而s 2=481［（x 12+x 22+…+502+1002+…+x 482）－48x 2］=75， s ′2=481［（x 12+x 22+…+802+702+…+x 482）－48x 2］=481［（75×48+48x 2－12500+11300）－48x 2］=75－481200=75－25=50.答案：B3.甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm 2）：解析：x 甲=51（9.8+9.9+10.1+10+10.2）=10，x乙=51（9.4+10.3+10.8+9.7+9.8）=10，s 甲2=51［（9.8－10）2+（9.9－10）2+（10.1－10）2+（10－10）2+（10.2－10）2］=0.02，s 乙2=51［（9.4－10）2+（10.3－10）2+（10.8－10）2+（9.7－10）2+（9.8－10）2］=0.244. 所以，甲比乙稳定. 答案：甲4.为了科学地比较考试的成绩，有些选拔性考试常常会将考试分数转化为标准分，转化关系式为Z =sx x -（其中x 是某位学生的考试分数，x 是该次考试的平均分，s 是该次考试的标准差，Z 称为这位学生的标准分）.转化成标准分后可能出现小数和负值，因此，又常常再将Z 分数作线性变换转化成其他分数.例如某次学生选拔考试采用的是T 分数，线性变换公式是T =40Z +60.已知在这次考试中某位考生的考试分数是85分，这次考试的平均分是70分，标准差是25，则该考生的T 分数为___________.解析：由已知Z =257085-=53，∴T =40×53+60=24+60=84.故考生成绩的T 分数为84.答案：84试分析两厂上缴利税的情况.解：甲、乙两厂上缴利税的季平均值分别为x 甲=41（70+50+80+40）=60， x乙=41（55+65+55+65）=60；甲、乙两厂上缴利税的方差为 s 甲2=41［（70－60）2+（50－60）2+（80－60）2+（40－60）2］=250， s 乙2=41［（55－60）2+（65－60）2+（55－60）2+（65－60）2］=25.经上述结果分析，两厂上缴利税的季平均值相同，但甲厂比乙厂波动大，导致它们生产出现的差异大，乙厂不同季节的缴税量比较接近平均值，生产稳定，而甲厂不稳定.培养能力 6.某校从甲、乙两名优秀选手中选拔1名参加全市中学生百米比赛，该校预先对这两名选手测试了8次，成绩如下表：解：x 甲=12.4=x 乙，s 甲2=0.12，s 乙2≈0.10，∴甲、乙两人的平均成绩相等，但乙的成绩较稳定，应派乙选手参加比赛.7.某农场为了从三种不同的西红柿品种中选取高产稳定的西红柿品种，分别在五块试验田上试种，每块试验田均为0.5公顷，产量情况如下：解：x 1=51（21.5+20.4+…+19.9）=21，x2=51（21.3+18.9+…+19.8）=21， x3=51（17.8+23.3+…+20.9）=20.5，s 1=0.756， s 2=1.104， s 3=1.901.由x 1=x 2>x 3，而s 1<s 2<s 3，说明第1种西红柿品种既高产又稳定.8.甲、乙两台机床在相同的条件下同时生产一种零件，现在从中各抽测10个，它们的尺寸分别为（单位：mm ）：甲：10.2 10.1 10.9 8.9 9.9 10.3 9.7 10 9.9 10.1乙：10.3 10.4 9.6 9.9 10.1 10 9.8 9.7 10.2 10分别计算上面两个样本的平均数与方差，如果图纸上的设计尺寸为10 mm ，从计算结果看，用哪台机床加工这种零件较合适？解：x 甲=101（10.2+10.1+…+10.1）=10，x乙=101（10.3+10.4+…+10）=10，s 甲2=101［（10.2－10）2+（10.1－10）2+…+（10.1－10）2］=0.03， s 乙2=101［（10.3－10）2+（10.4－10）2+…+（10－10）2］=0.06.由上述结果分析，甲台机床加工这种零件稳定，较合适.探究创新9.有一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下：［12.5，15.5），6；［15.5，18.5），16；［18.5，21.5），18；［21.5，24.5），22；［24.5，27.5），20；［27.5，30.5），10；［30.5，33.5），8. （1）列出样本的频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计数据小于30.5的概率. 解：（1）样本的频率分布表如下：（3）数据大于等于30.5的频率是0.08，∴小于30.5的频率是0.92.∴数据小于30.5的概率约为0.92.探究：解决总体分布估计问题的一般程序如下：（1）先确定分组的组数（最大数据与最小数据之差除组距得组数）；（2）分别计算各组的频数及频率（频率=总数频数）；（3）画出频率分布直方图，并作出相应的估计.注意直方图与条形图的区别.●思悟小结1.用样本估计总体，除在整体上用样本的频率分布估计总体分布外，还可以用平均值和方差对总体进行估计，即用样本平均数x 去估计总体平均数μ；用样本方差s 2去估计总体的方差σ2，进一步对总体的分布作出判断.2.进行几次实验，得到样本数据x 1，x 2，…，x n ，设c 是任意常数，k 为任意的正数，作变换y i =k1（x i －c ）（i =1，2，…，n ），则有：①x =k y +c ；②s x 2=k 2s y 2.●教师下载中心教学点睛1.期望反映数据取值的平均水平，期望越大，平均水平越高.2.方差反映数据的波动大小，方差越小，表示数据越稳定.拓展题例【例1】如果数据a 1，a 2，…，a 6的方差是6，那么另一组数据a 1－3，a 2－3，…，a 6－3的方差是多少？解：设a 1，a 2，…，a 6的平均数为a ，则（a 1－3），（a 2－3），…，（a 6－3）的平均数为a －3，∴方差为s 2=61{［（a 1－3）－（a －3）］2+…+［（a 6－3）－（a －3）］2}=6.【例2】已知样本方差由s 2=101∑=101i （x i －5）2求得，求∑∑=101i x i .解：依s 2=n1［（x 1－x ）2+…+（x n －x ）2］=n1［x 12+x 22+…+x n 2－n x 2］知，∴101∑=101i x i =5.∴∑=101i x i =50.。

预估总体方差的方法

预估总体方差的方法一、引言总体方差是统计学中一个重要的概念，它描述了总体中各个变量值与总体均值之间的离散程度。

在实际应用中，我们往往需要对总体方差进行估计，以便进行更精确的统计分析。

本文将介绍几种常见的预估总体方差的方法。

二、样本方差法样本方差法是最常见的预估总体方差的方法之一。

其基本思想是通过样本数据来推断总体数据的特征。

具体来说，我们可以按照以下步骤进行：1. 从总体中随机抽取一个大小为n的样本。

2. 计算样本数据的平均值。

3. 计算每个观测值与平均值之间的偏差，并将这些偏差平方。

4. 将所有偏差平方相加，并除以n-1得到样本方差。

5. 样本方差可以用来估计总体方差。

三、区间估计法除了直接使用样本方差来估计总体方差外，我们还可以使用区间估计法。

该方法基于置信区间理论，通过对置信区间进行推断来预估总体方差。

具体来说，我们可以按照以下步骤进行：1. 从总体中随机抽取一个大小为n的样本。

2. 计算样本数据的平均值和样本方差。

3. 根据置信水平和自由度，计算出置信区间。

4. 将置信区间代入总体方差的公式中，得到总体方差的估计值。

四、最大似然估计法最大似然估计法是一种常用的统计学方法，可以用来预估总体方差。

该方法基于概率论和统计学原理，通过寻找使得观测数据发生概率最大的参数值来进行预估。

具体来说，我们可以按照以下步骤进行：1. 假设总体符合某种特定的分布。

2. 从总体中随机抽取一个大小为n的样本。

3. 根据假设分布和样本数据，构建出关于参数的似然函数。

4. 求解使得似然函数最大化的参数值，并将其作为总体方差的预估值。

五、贝叶斯方法贝叶斯方法是一种基于概率论和贝叶斯定理的统计学方法。

该方法可以用来预估总体方差，并且具有一定的优势。

具体来说，我们可以按照以下步骤进行：1. 假设总体符合某种特定的分布，并且给出先验概率分布。

2. 从总体中随机抽取一个大小为n的样本。

3. 根据假设分布和样本数据，计算出后验概率分布。

《总体平均值与方差的估计》教案

《总体平均值与方差的估计》教案一、教学目标1. 让学生理解总体平均值和方差的概念，掌握它们的计算方法。

2. 培养学生运用样本数据估计总体数据的能力。

3. 引导学生运用数学知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力。

二、教学内容1. 总体平均值的估计：利用样本平均值估计总体平均值，了解估计误差的概念。

2. 方差的估计：利用样本方差估计总体方差，了解方差的性质和意义。

3. 估计方法的应用：解决实际问题，如产品质量检测、数据预测等。

三、教学重点与难点1. 教学重点：总体平均值和方差的估计方法，估计误差的概念。

2. 教学难点：方差的计算，利用样本数据估计总体数据的方法。

四、教学方法与手段1. 教学方法：采用讲授法、案例分析法、讨论法、实践教学法等。

2. 教学手段：多媒体课件、黑板、计算器、实际数据案例等。

五、教学过程1. 导入新课：通过一个实际案例，引发学生对总体平均值和方差的关注，激发学生的学习兴趣。

2. 知识讲解：讲解总体平均值和方差的定义，引导学生理解估计误差的概念，阐述方差的性质和意义。

3. 案例分析：分析实际案例，让学生掌握利用样本数据估计总体数据的方法。

4. 课堂练习：布置一些相关练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

5. 总结与拓展：对本节课的主要内容进行总结，提出一些拓展问题，引导学生思考。

6. 课后作业：布置一些课后作业，让学生进一步巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂问答：通过提问的方式，了解学生对总体平均值和方差概念的理解程度，以及对估计方法的应用能力。

2. 练习题解答：检查学生课堂练习的解答情况，评估学生对知识的掌握程度。

3. 课后作业：批改学生的课后作业，了解学生对课堂所学知识的巩固情况。

七、教学反思1. 反思教学内容：检查教学内容是否适合学生的认知水平，是否需要调整。

2. 反思教学方法：根据学生的反馈，调整教学方法，提高教学效果。

3. 反思教学手段：评估教学手段的运用情况，充分利用多媒体课件等资源，提高教学质量。

正态总体均值及方差的区间估计

第十九讲正态总体均值及方差的区间估计1. 单个正态总体方差的区间估计设总体),(~2σμN X ， ),,(21n X X X 为来自X 的一个样本，已给定置信度（水平）为α-1，求2σ的置信区间。

①当μ已知时，由于),(~2σμN X i ，因此，)1,0(~N X i σμ-（,2,1=i n , ）。

由2χ分布的定义知：∑=-ni i n X 1222)(~)(χσμ，据)(2n χ分布上α分位点的定义，有：αχσμχαα-=<-<∑=-1)}()()({21222122n X n P ni i从而αχμσχμαα-=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-<<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-∑∑1)()()()(2112221222n X n X P ni i ni i 故2σ的置信度为α-1的置信区间为：⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==∑∑)()(,)()(211221222n X n X ni i n i i ααχμχμ ②当μ未知时，据抽样分布有：)1(~)1(222--n S n χσ类似以上过程，得到第七章参数估计第5节正态总体均值及方差的区间估计单个正态总体均值的区间估计 ①当2σ已知时，μ的置信水平为α-1的置信区间为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±2ασz n X （5.1） ②当2σ未知时，μ的置信水平为α-1的置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±)1(2n t n SX α.（5.4）注意：当分布不对称时，如2χ分布和F 分布，习惯上仍然取其对称的分位点，来确定置信区间，但所得区间不是最短的。

αχσχαα-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--<<---1)1()1()1()1(21222222n S n n S n P 2σ的置信度为α-1的置信区间为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----)1()1(,)1()1(2122222n S n n S n ααχχ σ的置信度为α-1的置信区间为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)1()1(,)1()1(2122222n S n n S n ααχχ 例２有一大批袋装糖果, 现从中随机地取出16袋, 称得重量(以克计)如下:506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布, 求总体标准差σ的置信水平为0.95的置信区间.解：总体均值μ未知，σ的置信度为α-1的置信区间为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)1()1(,)1()1(2122222n S n n S n ααχχ 此时，,975.021,025.02,05.0=-==ααα16=n ，查表得,488.27)15(025.0=χ,262.6)15(975.0=χ由给出的数据算得.4667.382=s 因此，σ的一个置信度为0.95的置信区间为（4.58，9.60）.2. 两个正态总体均值差的区间估计设总体),(~),,(~222211σμσμN Y N X ，且X 与Y 相互独立，),,(21m X X X 来自X 的一个样本，),,,(21n Y Y Y 为来自Y 的一个样本，且设2221,,,S S Y X 分别为总体X 与Y 的样本均值与样本方差，对给定置信水平α-1，求21μμ-的一个置信区间。

总体方差的区间估计例题

总体方差的区间估计例题
假设我们有一个总体数据集X，我们想要估计它的总体方差。

1. 收集样本数据：从总体中随机抽取n个样本数据。

2. 计算样本方差s^2：根据样本数据计算样本方差s^2。

3. 确定置信水平：确定置信水平，例如95%置信水平。

4. 计算临界值：根据置信水平和自由度（n-1）来查找临界值。

可以使用t分布或卡方分布。

5. 计算置信区间：根据计算得到的临界值，可以构建一个置信区间来估计总体方差。

置信区间的计算公式为：
置信区间 = [(n-1)*s^2/临界值下限, (n-1)*s^2/临界值上限]
临界值下限和临界值上限分别为在分布表中查到的对应值。

6. 解释结果：根据置信区间，解释估计总体方差的区间。

例如，我们可以说我们有95%的置信水平认为总体方差在置信区间内。

需要注意的是，以上方法假设总体数据符合正态分布。

如果总体数据不符合正态分布，可以考虑使用非参数方法进行估计。

样本方差和方差的矩估计值

样本方差和方差的矩估计值样本方差和方差的矩估计值是统计学中常用的两种估计方法，用于估计总体的方差。

在统计学中，方差是用来衡量数据的离散程度的一个重要指标。

样本方差和方差的矩估计值是通过样本数据计算得到的，用来估计总体方差的值。

首先，我们来介绍一下方差的定义。

方差是指随机变量与其数学期望之差的平方的期望值。

对于一个随机变量X，其方差的数学定义为：Var(X) = E[(X - E(X))^2]其中，E(X)表示X的数学期望，E[ ]表示对随机变量取期望的操作。

在实际应用中，我们通常无法得到总体的数据，只能通过采样得到一部分样本数据。

因此，我们需要通过样本数据来估计总体的方差。

样本方差是通过样本数据计算得到的，用来估计总体方差的值。

样本方差的计算公式为：s^2 = Σ(xi - x̄)^2 / (n - 1)其中，xi表示第i个观测值，x̄表示样本的均值，n表示样本的大小。

样本方差的计算过程是先计算每个观测值与样本均值的差的平方，然后将这些平方差相加，最后除以自由度(n-1)。

样本方差是对总体方差的无偏估计，即在大样本情况下，样本方差的期望值等于总体方差。

但是在小样本情况下，样本方差可能会存在偏差。

方差的矩估计值是通过样本的矩来估计总体的矩。

矩是描述随机变量分布特征的统计量。

对于一个随机变量X，其k阶矩定义为：μk = E(X^k)其中，E[ ]表示对随机变量取期望的操作。

方差的矩估计值是通过样本的矩来估计总体的矩。

对于方差的矩估计值，我们通常使用样本的二阶矩来估计总体的二阶矩。

样本的二阶矩是指样本数据的平方的均值，即：m2 = Σ(xi^2) / n其中，xi表示第i个观测值，n表示样本的大小。

方差的矩估计值是通过样本的二阶矩来估计总体的二阶矩。

具体计算公式为：σ^2 = m2 - (x̄)^2其中，x̄表示样本的均值。

方差的矩估计值是对总体方差的无偏估计，即在大样本情况下，方差的矩估计值的期望值等于总体方差。

20.2第2课时-用样本方差估计总体方差

（1）可通过哪些统计量来关注鸡腿的质量？每个鸡腿的质量；鸡腿质量的稳定性．
（2）如何获取数据？抽样调查．
例1 在问题1中，检查人员从两家的鸡腿中各随机抽取15 个，记录它们的质量（单位：g）如下表所示．根据表中的数据，你认为快餐公司应该选购哪家加工厂的鸡腿？
甲 74 74 75 74 76 73 76 73 76 75 78 77 74 72 73 乙 75 73 79 72 76 71 73 72 78 74 77 78 80 71 75
解：样本数据的平均数分别是：
x甲 =
74+74+ 15
+72+73
75
x乙 =
75+73+ 15
+71+75
75
样本平均数相同，估计这批鸡腿的平均质量相近．
甲 74 74 75 74 76 73 76 73 76 75 78 77 74 72 73 乙 75 73 79 72 76 71 73 72 78 74 77 78 80 71 75
匀．因此，快餐公司应该选购甲加工厂生产的鸡腿．
用样本方差来估计总体方差
（1）在解决实际问题时，方差的作用是什么的波动越小，
可用样本方差估计总体方差．（2）运用方差解决实际问题的一般步骤是怎样的？
先计算样本数据平均数，当两组数据的平均数相等或相近时，再利用样本方差来估计总体数据的波动情况．
第二十章数据的分析
20.2 数据的波动程度
第2课时用样本方差估计总体方差
方差的计算公式，请举例说明方差的意义．
s2=
1 n
[（x1-x）2+（x2 -x）2+
+（xn -x）2]

2总体比率和方差的估计

质量管理
实验二
学实验总体比率和方差的估计
1 一个（单）总体比率的估计 2 两个（双）总体比率之差的估计 3 一个（单）总体方差的估计 4 两个（双）总体方差比的估计
1 -1
单总体比率的区间估计
假定条件：
总体服从二项分布样本比例可以由正态分布来近似（即大样本：nπ≥5，
n（1-π）≥5)
使用正态分布统计量z
学实验
(图示)
总体方差的
1 的置信区间
2
1
2
2
2
2
自由度为n-1的2
1 -8
质量管理总体方差的区间估计
学实验
(例题分析)
【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，现从某
天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布。以95% 的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间
• 1. 假定条件
▪ 两个总体服从二项分布 ▪ 可以用正态分布来近似 ▪ 两个样本是独立的
• 2. 两个总体比例之差1- 2在1- 置信
水平下的置信区间为
p1 p2 z 2
1 -4
p1 (1 p1 ) p2 (1 p2 )
n1
n2
质量管理两个总体比例之差的估计
学实验
(例题分析)
【例】在某个电视节目的收
质量管理总体方差的区间估计
学实验
(例题分析)
解:已知n＝25，1-＝95% ,根据样本数据计算得
s2 =93.21
2
22 (置n 信1)度为02.09255(2%4)的 3置9.信364区1 间1为2 2 (n
1)
2 0.9
75
(

总体方差的区间估计例题

总体方差的区间估计例题
摘要：
1.总体方差的区间估计概念
2.区间估计的基本原理
3.计算总体方差区间估计的例题
4.例题解析
正文：
一、总体方差的区间估计概念
总体方差是指一个总体的所有观测值的离差平方和的平均值。

总体方差的区间估计，就是在没有给出总体方差的确切值的情况下，通过对样本数据的分析，得到一个包含总体方差真实值的区间范围。

二、区间估计的基本原理
区间估计是基于抽样分布理论的一种统计推断方法。

其基本原理是：由样本数据计算出某个统计量的抽样分布，然后根据这个分布的性质，确定出一个包含总体参数真实值的区间范围。

三、计算总体方差区间估计的例题
假设我们有一个包含n 个观测值的样本，其均值为μ，标准差为σ，我们要估计总体方差。

根据中心极限定理，样本均值的分布近似于正态分布，其方差为总体方差除以n。

因此，我们可以通过构建一个包含样本均值和标准差的区间，来估计总体方差。

具体的计算公式为：
方差区间= [μ- z*σ, μ+ z*σ]
其中，z 是标准正态分布的分位数，对应于1-α的置信水平。

α是显著性水平，一般取0.05。

四、例题解析
假设我们有一个包含5 个观测值的样本，其均值为10，标准差为3，我们要估计总体方差。

首先，计算z 值，对应于1-α=0.95 和n=5，查表得到z=1.96。

总体期望值和方差的估计

02
对于很多总体来说，它的平均值不易求得，通常用容易求得的样本平均数对它进行估计.而且常用两个样本平均数的大小去近似地比较相应两个总体的平均数的大小.
03
样本平均数的符号表达：
04
01
方差估计：
02
样本方差：
03
样本标准差：
04
方差和标准差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数.
计算器使用
On 2ndf STAT
自然！
课堂评价
单击此处添加副标题
谢谢大家！
演讲人姓名
机器乙:147 146 148 155 157 149 146 148 146 149 146 148 158 147 147
试问：哪台机器的日均产量较高？哪台产量更稳定？比一比谁能更快得出结论！
比一比：
方案设计
南湖渔场在2004年底投放了大量鱼苗，经过一年喂养，现在要了解湖中养殖鱼的情况，如每条鱼的平均重量，南湖中鱼的总条数？请你拟定统计方案？
￣
注：数据录入错误用2ndf cd 键清除
例题讲解：
01
04
02
03
某工厂研制甲、乙两种电灯泡，从两种电灯泡中各抽取了20只进行寿命试验，得到如下数据（单位:小时）：
灯泡甲：1610 1590 1540 1650 1450 1650 1570 1630 1690 1720 1580 1620 1500 1700 1530 1670 1520 1690 1600 1590
想一想：
用样本平均值去估计总体平均值一定准确吗？请说明理由!
你认为减少错误发生的途径有哪些？
想一想：
增大样本的容量
采用更合理的抽样方法
01
02
04

《总体平均值与方差的估计》教案

《总体平均值与方差的估计》教案第一章：引言1.1 学习目标让学生理解总体平均值与方差的概念。

让学生掌握估计总体平均值与方差的方法。

1.2 教学内容总体平均值与方差的定义。

估计总体平均值与方差的意义。

1.3 教学方法采用讲授法，讲解总体平均值与方差的概念及意义。

采用案例分析法，让学生通过实际案例理解估计方法。

第二章：总体平均值的估计2.1 学习目标让学生掌握总体平均值的估计方法。

让学生能够运用估计方法计算总体平均值的估计值。

2.2 教学内容总体平均值的估计方法。

估计值的计算。

2.3 教学方法采用讲授法，讲解总体平均值的估计方法及计算。

采用练习法，让学生通过实际练习掌握估计方法。

第三章：方差的估计3.1 学习目标让学生掌握方差的估计方法。

让学生能够运用估计方法计算方差的估计值。

3.2 教学内容方差的估计方法。

估计值的计算。

3.3 教学方法采用讲授法，讲解方差的估计方法及计算。

采用练习法，让学生通过实际练习掌握估计方法。

第四章：总体平均值与方差的估计在实际中的应用4.1 学习目标让学生能够运用总体平均值与方差的估计方法解决实际问题。

4.2 教学内容总体平均值与方差的估计在实际中的应用案例。

4.3 教学方法采用案例分析法，让学生通过实际案例理解估计方法的应用。

采用小组讨论法，让学生分组讨论并解决问题。

5.1 学习目标让学生了解总体平均值与方差的估计方法的拓展内容。

5.2 教学内容总体平均值与方差的估计方法的拓展内容。

5.3 教学方法采用讲授法，讲解总体平均值与方差的估计方法的拓展内容。

第六章：估计的准确性和可靠性6.1 学习目标让学生理解估计的准确性和可靠性的概念。

让学生能够评估估计的准确性和可靠性。

6.2 教学内容估计的准确性和可靠性的定义。

评估估计的准确性和可靠性的方法。

6.3 教学方法采用讲授法，讲解估计的准确性和可靠性的概念及评估方法。

采用案例分析法，让学生通过实际案例理解估计的准确性和可靠性的评估。

总体方差与样本方差的计算方法

总体方差与样本方差的计算方法宝子，今天咱们来唠唠总体方差和样本方差的计算方法呀。

先说说总体方差。

总体方差呢，是用来描述整个总体数据的离散程度的。

假如我们有一组数据，比如说有n个数据，分别是x₁，x₂，x₃……一直到xₙ。

那总体方差的计算公式就是：先算出这组数据的平均数，设这个平均数是μ，μ=(x₁ + x₂ + x₃+……+xₙ)/n。

然后总体方差σ² = [(x₁ - μ)²+(x₂ - μ)²+(x₃ - μ)²+……+(xₙ - μ)²]/n。

简单来说呢，就是每个数据与平均数的差的平方和，再除以数据的个数。

这就像是看这组数据里的每个数偏离平均数有多远，总体方差越大，说明这些数据越分散，就像一群调皮的小娃娃，跑得特别开。

再讲讲样本方差。

样本方差和总体方差有点像，但又有点小区别。

为啥要有样本方差呢？有时候我们没办法获取整个总体的数据，只能抽取一部分作为样本呀。

假如我们抽取的样本有m个数据，y₁，y₂，y₃……一直到yₙ，样本的平均数设为xₙ，xₙ=(y₁ + y₂ + y₃+……+yₙ)/m。

样本方差s² = [(y₁ - xₙ)²+(y₂ - xₙ)²+(y₃ - xₙ)²+……+(yₙ - xₙ)²]/(m - 1)。

注意哦，这里是除以m - 1而不是m。

为啥呢？这就像是给样本数据一点小小的“惩罚”，让样本方差能更好地估计总体方差，就像让样本这个小代表更谨慎地反映总体的情况。

宝子，你看总体方差和样本方差的计算方法也不是特别难理解吧。

总体方差是针对整个总体的，样本方差是针对样本的，它们就像两个小工具，能帮助我们了解数据是集中在一起呢，还是分散得乱七八糟的。

要是你在处理数据的时候呀，就能用这两个方差来分析数据的特征啦，是不是感觉自己又掌握了一个超酷的小技能呢？。

正态总体均值方差的区间估计

2 2 2
2
)
(2) σ12=σ22=σ2, σ2未知,μ1- μ2的1-α置信区间 ① 对于μ1- μ2，构造枢轴变量: ( X Y ) ( 1 2 ) T ~ t (n1 n2 2) S 1 / n1 1 / n2 ② 构造T的一个1-α区间:
P(| T | t (n1 n2 2)) 1
X
③ μ的1-α置信区间:
( X t / 2 ( n 1 ) S n , X t / 2 ( n 1 ) S n )
1-α
例1 设正态总体的方差为1, 根据取自该总体的容量为100的样本计算得到样本均值为5, 求总体均值的置信度为0.95的置信区间.
解已知σ2=1, α=0.05, μ的1-α置信区间：
③ 变形得到μ1- μ2的1-α置信区间:
2
( ( X Y ) t ( n1 n2 2) S
2
1 1 , n1 n2 1 1 ) n1 n2
( X Y ) t ( n1 n2 2) S
2
例 4 某工厂利用两条自动化流水线罐装番茄酱, 分别从两条流水线上抽取随机样本: X 1 , X 2 , , X 12
未知
① 构造枢轴变量: (n 1)S 2 2 Q ~ ( n 1) 2 ② 构造Q的一个1-α区间:
P{1 Q 2 } 1
f(x)
α/2 λ1 α/2 X 2 λ (n 1)2 (n 1)
2 1
③ 解不等式得到σ2的1-α置信区间:
若 1 2 的置信区间的上限小于零, 则可认为1 2 ;
(2)构造F的一个1-α区间: P(λ1<F< λ2)=1-α

总体方差计算公式

总体方差计算公式
方差被广泛使用来衡量一组数据中观察值的变异情况，主要是用来衡量总体的离散程度，也可以反映某个特定的样本数据的分布情况。

因此，总体方差被广泛用于为研究分析提供度量标准，其中最基本的总体方差计算公式是：
总体方差：
σ2=∑（x-μ）2/N
其中，符号μ表示总体的均值，N表示总体的数量，而且变量x
表示总体中具体某个观测值；而符号σ2表示总体方差。

计算总体方差也可以利用样本方差的估计公式来实现，其公式如下：
总体方差的估计：
s2=∑（x-x）2/（n-1）
其中，符号s2表示样本的方差，而变量x表示样本中某个观测值，n表示样本的大小。

要注意的是，样本方差仅仅是推断总体方差的估计值，因为其实际的总体方差的值只有在收集整个总体的数据后才能知道，而本质上，两种方差计算公式是同一个概念，即衡量离散程度。

总体方差用于分析两个或多个总体间的差异情况，并且比较它们的离散程度。

在实际的研究分析中，科学家们可以通过计算样本方差来推断某个总体的方差，并且利用总体方差计算公式来判断两个总体变异情况，从而得出相关的结论和分析结果。

比如说，两个总体分别为A和B，当科学家想要判断它们之间的变异情况时，可以先采集A和B总体上的数据，并且分别计算其均值μA和μB，然后根据总体方差计算公式来计算总体A和B的方差σ2A和σ2B，最后通过比较它们的离散程度来判断它们之间的变异情况，从而得出相关的结论和分析结果。

总之，总体方差的应用十分广泛，它一般被用作研究分析的指标，以判断变量x在总体上的分布情况和变异情况，其中最常用的计算方法就是总体方差计算公式，它可以帮助科学家判断某个总体的方差情况，并且比较两个或多个总体间的变异程度，从而给出相关的研究分析结果。

正态总体方差和标准差的无偏估计

正态总体方差和标准差的无偏估计
当总体方差或标准差未知时，可以使用样本方差或样本标准差来估计总体方差或总体标准差。

这种估计方法称为无偏估计。

无偏估计的充要条件是：所有满足条件的统计量的期望值等于真值。

也就是说，在大多数情况下，使用无偏估计计算出来的结果应该接近真值。

在使用无偏估计计算正态总体方差或标准差时，要使用以下公式：
总体方差的无偏估计：$s^2=\frac{(n-1)s^2}{n}$
总体标准差的无偏估计：$\sigma=\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{n}}$
其中，$s^2$ 表示样本方差，$\sigma$ 表示总体标准差，$n$ 表示样本容量。

需要注意，在使用无偏估计计算正态总体方差或标准差时，样本需要满足正态分布。

如果样本不满足正态分布，则无偏估计的结果可能不准确。

方差估计常用公式推导

方差估计常用公式推导
嘿，咱今天就来好好聊聊方差估计常用公式推导！先来说说总体方差的估计公式吧，就像射击打靶一样，要衡量一群数据的离散程度。

比如咱有一组数 1，3，5，7，9，这中间的波动有多大呢，就得用公式啦！
总体方差的估计公式就是：样本方差 = 各数据与样本均值的差的平方和除以样本个数。

哎呀，是不是听起来有点晕乎？举个例子哈，这组数 1，3，5，7，9，先算出均值是 5，然后算每个数和 5 的差值的平方，再把这些平方和加起来，最后除以 5，这不就得出方差啦！
还有个样本方差公式呢，就好像是给总体方差打了个折扣！公式是：样本方差 = 各数据与样本均值的差的平方和除以（样本个数 - 1）。

咦，为啥要除以（样本个数 - 1）呢？这就像给计算加了点调料，让结果更靠谱呀！比如说另一组数 2，4，6，8，它的样本方差就得按照这个公式好好算一算啦！
咋样，是不是感觉方差估计也不是那么难理解啦？加油哦，你肯定能掌握的！。