(完整版)平面向量单元测试卷含答案
《平面向量》测试题及答案
《平面向量》测试题一、选择题１．若三点P （1，1），Ａ(2,-4),B （x,-9）共线,则（ )Ａ．x=-1ﻩ ﻩＢ．ｘ=3ﻩ ﻩC.x=29ﻩﻩ D.ｘ=51２.与向量ａ＝(-5,4)平行的向量是( ）A.(-５k,４k)ﻩB.(－k 5,-k 4)ﻩ Ｃ.(-1０,2)ﻩ D ．（5k,４k)3．若点P 分AB 所成的比为43，则Ａ分BP 所成的比是( ) A.73ﻩ ﻩB. 37C.－ 37 ﻩﻩＤ.-734.已知向量a 、b ，ａ·b=-40，|a|＝10，|b|=8，则向量a 与ｂ的夹角为( )A.6０°ﻩﻩﻩＢ．-６0°ﻩﻩﻩC ．１２0° D.-１20°5.若|a-b|=32041 ，|a|＝４,|b|＝５,则向量a ·ｂ=( )A.１03 ﻩB.－103 ﻩ C ．１02 ﻩ D.１06.(浙江)已知向量a =(1,2)，b =(２，－3)．若向量c 满足（ｃ+ａ)∥b ，c ⊥(a +b )，则c ＝（ )A ．错误! B.错误! C ．错误! D ．错误!7．已知向量a ＝(3,4）,b=(2,-１）,如果向量(ａ+ｘ)·b 与b 垂直，则x 的值为( )Ａ.323ﻩﻩﻩB.233ﻩ Ｃ.2 D.-52８.设点P 分有向线段21P P 的比是λ,且点Ｐ在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是(） A.（-∞,-１) B.(－1，０）ﻩ C.(－∞，０)ﻩ D.（-∞,-21)9．设四边形ABCD 中,有=21，且||=||，则这个四边形是（ )A.平行四边形ﻩ Ｂ．矩形 Ｃ.等腰梯形 D ．菱形１0．将ｙ=x+2的图像C 按a=（６,-２)平移后得Ｃ′的解析式为（ ）A ．y ＝x+10 B.ｙ=x-6 C.y=x+6 D.y=x －101１.将函数y ＝x ２+4x+５的图像按向量a 经过一次平移后,得到y ＝x 2的图像,则a 等于( )A ．(2,-1)ﻩﻩﻩB.(-2,１)ﻩﻩ C.（-2,－１)ﻩ D.（2,1)１２.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(－b,a),Ｃ（0,０)，则它的第4个顶点Ｄ的坐标是（）A.(2a,b)ﻩﻩﻩB.(a-b,a+b)ﻩﻩC ．（a+b,b －a) D ．(a-b,b-a ）二、填空题13.设向量a=(2,-1),向量b 与a 共线且ｂ与ａ同向，ｂ的模为25，则b= 。
完整版)平面向量单元测试卷及答案
完整版)平面向量单元测试卷及答案平面向量单元测试卷一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分）1.下列命题中的假命题是（）A、AB与BA的长度相等；B、零向量与任何向量都共线；C、只有零向量的模等于零；D、共线的单位向量都相等。
2.若a是任一非零向量，b是单位向量；①|a|。
|b|；②a∥b；③|a|。
|b|；④|b|= ±1；⑤a=|a|b，其中正确的有（）A、①④⑤B、③C、①②③⑤D、②③⑤3.设a，b，c是任意三个平面向量，命题甲：a+b+c=0；命题乙：把a，b，c首尾相接能围成一个三角形。
则命题甲是命题乙的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、非充分也非必要条件4.下列四式中不能化简为AD的是（A、(AB+CD)+BCB、(AM+MB)+(BC+CD)C、(AC+AB)+(AD-CB)D、OC-OA+CD5.设a=(-2,4)，b=(1,-2)，则（A、a与b共线且方向相反B、a与b共线且方向相同C、a与b不平行D、a与b是相反向量6.如图1，△ABC中，D、E、F分别是边BC、CA和AB 的中点，G是△ABC中的重心，则下列各等式中不成立的是（）A、BG=2BE/3B、DG=AG/2C、CG=-2FGD、DA+FC=BC7.设a=(-2,1-cosθ)，b=(1+cosθ,-4)，且a∥b，则锐角θ=( )A、π/4B、π/6C、π/3D、5π/6 或7π/68.若C分AB所成比为-3，则A分CB所成的比是（A、-3/2B、3/2C、-2/3D、-29.XXX<0，则a与b的夹角θ的范围是（）A、[π/2，π)B、[0，π/2)C、(π/2，π)D、(0，π/2]10.设a与b都是非零向量，若a在b方向的投影为3，b 在a方向的投影为4，则a的模与b的模之比值为（）A、3/4B、4/3C、3/7D、4/7cos(－)a·b=cos(－)=1/2sin(－)=±√3/2又∵∈（,），=，且sin(－)＞0sin(－)=√3/2π/3sin cos－cos sin=1/2sin(＋)=√3/22π/3sin=√3/217．（1）|a+b|=|e1+e2|=√2a+b|2=2a|2+|b|2+2a·b=2a·b=-1/2又kab·(a－3b)=0ka·a－3kb·b=0k=9/52）ka·b+3kb·b=0k=-3/5四、19．（1）设所求向量为c，则c·a=0，c·b=0 c·(a+b)=0又∵a+b=（1,1,1），∴c·（1,1,1）=0c与（1,1,1）垂直又∵c·(a－b)=0c·（1，－1，0）=0c与（1，－1，0）垂直c∥（0，0，1）c=k（0，0，1）又∵c·a=0k=－1/3所求向量为（0，0，1/3）2）设所求向量为c，则c∥a×b又∵a×b=（1，1，1）c∥（1，1，1）c=k（1，1，1）又∵c·a=0k=-1/3所求向量为（－1/3，－1/3，－1/3）165∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβcosαcosβ+sinαsinβcos(α-β)∵α∈(-π/2,π/2)sin(α-β)=-sinα=-(-cos(α-β)sinβ/cosβ)=cos(α-β)sinβ/cosβ5/4*sinβ+3/5*cosβ17.解：1) |a+b|²=|-2e₁+4e₂|²=4e₁²+16e₂²-8e₁e₂又e₁⊥e₂，e₁·e₂=0，e₁²+e₂²=1a+b|²=20a+b|=√20=2√5又|e₁|=|e₂|=1a|=|b|=√22) (ka+b)·(a-3b)=k|a|²-2k(a·b)+b·a-3|b|²又|a|=|b|=√2ka+b)·(a-3b)=2k-6+2=2k-4又(a+b)·(a-3b)=-4k=1918.解：1)a·b=cosx·cosx-sinx·sinx=cos2xa+→b|=√(4cos²x+4)=2√(cos²x+1)2)f(x)=a·b-2λ|a+b|=cos2x-4λcosx2cos²x-1-4λcosx2(cosx-λ)²-2λ²-1当λ<0时，f(x)无最小值当0≤λ≤1时，f(x)在cosx=λ时取得最小值-2λ²-1当λ>1时，f(x)在cosx=1时取得最小值1-4λ要使f(x)取得最小值-3，需解方程-2λ²-1=-3，解得λ=√2/2。
《平面向量》单元检测题-高中数学单元检测题附答案(最新整理)
即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0.整理得：2te21＋(2t2＋7)e1·e2＋7te2<0.(*)
∵|e1|＝2，|e2|＝1，〈e1，e2〉＝60°.∴e1·e2＝2×1×cos 60°＝1 1
∴(*)式化简得：2t2＋15t＋7<0.解得：－7<t<－ . 2
当向量 2te1＋7e2 与 e1＋te2 夹角为 180°时，设 2te1＋7e2＝λ(e1＋te2) (λ<0)．
5
3 由 5c＝－3a－4b 两边平方得 a·b＝0，∴a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝－ .故选 B.
5
【第 12 题解析】若 a＝(m，n)与 b＝(p，q)共线，则 mq－np＝0，依运算“⊙”知 a⊙b＝0，故 A 正确．由
于 a⊙b＝mq－np，又 b⊙a＝np－mq，因此 a⊙b＝－b⊙a，故 B 不正确．对于 C，由于 λa＝(λm，λn)，
k＋t2 y＝－ka＋tb，且 x⊥y，试求 的最小值．
t
→
→
→
20．(本小题满分 12 分)设OA＝(2,5)，OB＝(3,1)，OC＝(6,3)．在线段 OC 上是否存在点 M，使 MA⊥MB？
若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
21．(本小题满分 12 分)设两个向量 e1、e2 满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2 的夹角为 60°，若向量 2te1＋7e2 与 e1＋te2 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围．
14．a，b 的夹角为 120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________.
1 15．已知向量 a＝(6,2)，b＝(－4， )，直线 l 过点 A(3，－1)，且与向量 a＋2b 垂直，则直线 l 的方程为
平面向量单元测试(含答案)
《平面向量》单元测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点， 则向量=CD （ ）A ．BA BC 21+- B ．BA BC 21--C ．BA BC 21-D ．BA BC 21+2．与向量a ==⎪⎭⎫ ⎝⎛b ,21,27⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹解相等，且模为1的向量是（ ）A ．⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54B ．⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54或⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 C ．⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322 D ．⎪⎭⎫-⎝⎛31,322或⎪⎭⎫⎝⎛-31,322 3．设a r 与b r 是两个不共线向量，且向量a b λ+r r 与()2b a --r r共线，则λ=（ ）A ．0B ．－1C ．－2D ．0.54．已知向量()1,3=a ，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3=⋅b a ，则b =（ ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,23 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛433,41 D ．（1，0）5．如图,已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6,下列向量 的数量积中最大的是（ ）A ．3121P P P P ⋅B ．4121P P P P ⋅C ．5121P P P P ⋅D ．6121P P P P ⋅ 6．在OAB ∆中，OA a =u u u r ，OB b =u u u r ，OD 是AB 边上的高，若AD AB λ=u u u r u u u r，则实数λ等 于 （ ）A ．2()a b a a b⋅-- B ．2()a a b a b⋅--C ．()a b a a b⋅--D ．()a a b a b⋅--7．设1(1,)2OM =u u u u r ，(0,1)ON =u u u r ，则满足条件01OP OM ≤⋅≤u u u r u u u u r ，01OP ON ≤⋅≤u u u r u u u r 的动点P 的 变化范围（图中阴影部分含边界）是（ ）A ．B ．C ．D ． 8．将函数f (x )=tan(2x +3π)+1按向量a 平移得到奇函数g(x )，要使|a |最小，则a =（ ）A ．（,16π-）B ．（,16π-）C ．（,112π）D ．（,112π--）9．已知向量a r 、b r 、c r 且0a b c ++=r r r r ，||3a =r ，||4b =r ，||5c =r .设a r 与b r 的夹角为1θ，b r与c r 的夹角为2θ，a r 与c r的夹角为3θ，则它们的大小关系是（ ）A ．123θθθ<<B ．132θθθ<<C ．231θθθ<<D ．321θθθ<<10．已知向量),(n m a =，)sin ,(cos θθ=b ，其中R n m ∈θ,,.若||4||b a =，则当2λ<⋅b a 恒成立时实数λ的取值范围是（ ）A ．2>λ或2-<λB ．2>λ或2-<λC ．22<<-λD ．22<<-λ11．已知1OA =u u u r，OB =u u u r ，0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，点C 在AOB ∠内，且30oAOC ∠=，设OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r (,)m n R ∈，则mn等于（ ）A ．13B ．3 C．3D12．对于直角坐标平面内的任意两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，定义它们之间的一种“距离”：2121.AB x x y y =-+-给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则;AC CB AB += ②在ABC ∆中，若90,o C ∠=则222;AC CB AB +=③在ABC ∆中，.AC CB AB +> 其中真命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13．在中，,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r，M 为BC 的中点，则MN =u u u u r _______.（用a b r r 、表示）14．已知()()2,1,1,1,A B O --为坐标原点，动点M 满足OM mOA nOB =+u u u u r u u u r u u u r，其中,m n R ∈且2222m n -=，则M 的轨迹方程为 .15．在ΔABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则)(+⋅的最小值为 .16．已知向量)3,5(),3,6(),4,3(m m ---=-=-=，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知向量)sin 1,sin 1(x x -=，)2cos ,2(x =.（1）若]2,0(π∈x ，试判断与能否平行？（2）若]3,0(π∈x ，求函数x f ⋅=)(的最小值.18．（本小题满分12分）（2006年湖北卷）设函数()()c b a x f +⋅=，其中向量()()x x b x x a cos 3,sin ,cos ,sin -=-=，()R x x x c ∈-=,sin ,cos .（1）求函数()x f 的最大值和最小正周期；（2）将函数()x f y =的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d .19．（本小题满分12分）（2006年全国卷II ）已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2＜θ＜π2．（1）若a⊥b，求θ；（2）求｜a＋b｜的最大值．20.（本小题满分12分）在ABC △中，2AB AC AB AC ⋅=-=u u u r u u u r u u u r u u u r． （1）求22AB AC +u u u r u u u r 的值；（2）当ABC △的面积最大时，求A ∠的大小．21．（本小题满分12分）（2006陕西卷）如图，三定点A (2,1)，B (0,－1)，C (－2,1); 三动点D ，E ，M 满足]1,0[,,,∈===t t t t （1）求动直线DE 斜率的变化范围; （2）求动点M 的轨迹方程.22．（本小题满分14分）已知点P 是圆221x y +=上的一个动点，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，设OM OP OQ =+u u u u r u u u r u u u r .（1）求点M 的轨迹方程；（2）求向量OP uuu r 和OM u u u u r夹角的最大值，并求此时P 点的坐标参考答案1．21+-=+=，故选A ． 2．B 设所求向量e r=（cos θ,sin θ）,则由于该向量与,a b r r 的夹角都相等,故e b e a e b e a ⋅=⋅⇔=⋅||||||||7117cos sin cos sin 2222θθθθ⇔+=-⇔3cos θ=-4sin θ,为减少计算量,可将选项代入验证,可知B 选项成立,故选B ．3．D 依题意知向量a b λ+r r 与-2共线，设a b λ+r rk =（-2），则有)()21(=++-k k λ，所以⎩⎨⎧=+=-0021λk k ，解得5.0=k ，选D ． 4．解选B ．设(),()b x y x y =≠，则依题意有1,y =+=1,22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 5．解析:利用向量数量积121(1,2,3,4,5,6)i PP PP i =u u u u r u u u rg 的几何意义:数量积121i PP PP u u u u r u u u rg 等于12P P u u u u r的长度12PP u u u u r 与1i PP u u u r 在12P P u u u u r 的方向上的投影1121cos ,i iPP PP PP <>u u u r u u u u r u u u r的乘积.显然由图可知13P P u u u u r 在12P P u u u u r 方向上的投影最大.所以应选(A).6．B (),,AD AB OD OA OB OA λλ=∴-=-u u u r u u u r u u u r u u u r Q 即得()()11,OD OA OB a b λλλλ=-+=-+u u u r u u u r u u u r又OD Q 是AB 边上的高，0OD AB ∴⋅=u u u r u u u r即()()()0,10OD OB OA a b b a λλ⋅-=∴-+⋅-=⎡⎤⎣⎦u u u r u u u r u u u r ，整理可得()2(),b a a a b λ-=⋅-即得()2a ab a bλ⋅-=-，故选B ． 7．A 设P 点坐标为),(y x ，则),(y x =.由01OP OM ≤⋅≤u u u r u u u u r ，01OP ON ≤⋅≤u u u r u u u r得⎩⎨⎧≤≤≤+≤10220y y x ，在平面直角坐标系中画出该二元一次不等式组表示的平面区域即可，选A ．8．A 要经过平移得到奇函数g(x)，应将函数f(x)=tan(2x+3π)+1的图象向下平移1个单位，再向右平移)(62Z k k ∈+-ππ个单位.即应按照向量))(1,62(Z k k a ∈-+-=ππ进行平移.要使|a|最小，应取a=（,16π-），故选A ．9．B 由0a b c ++=r r r r得)(+-=，两边平方得1222cos ||||2||||||θ++=，将||3a =r ，||4b =r ，||5c =r 代入得0cos 1=θ，所以0190=θ；同理，由0a b c ++=r r r r得)(b c a +-=，可得54cos 2-=θ，53cos 3-=θ，所以132θθθ<<.10． B 由已知得1||=b ，所以4||22=+=n m a ，因此)sin(sin cos 22ϕθθθ++=+=⋅n m n m b a 4)sin(4≤+=ϕθ，由于2λ<⋅恒成立，所以42>λ，解得2>λ或2-<λ.11．答案B ∵ 1OA =u u u r，OB =u u u r，0OA OB ⋅=u u u r u u u r∴△ABC 为直角三角形，其中1142AC AB ==∴11()44OC OA AC OA AB OA OB OA =+=+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ∴31,44m n == 即3m n= 故本题的答案为B ． 12．答案B 取特殊值、数形结合A BC在ABC ∆中， 90oC ∠=，不妨取A （0，1）， C （0，0），B （0，1），则 ∵2121AB x x y y =-+- ∴ 1AC = 、1BC =、|10||01|2AB =-+-= 此时222AC CB +=、24AB = 、222AC CB AB +≠；AC CB AB +=即命题②、③是错误的.设如图所示共线三点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，则1313||||||||||||AC x x y y AC CC ''-+-=+＝＝||||||||AB B C C C C C ''''''''+++ ＝||||||||AB B B BC C C ''''''+++1212||||||||||||AB x x y y AB BB ''=-+-=+ 2323||||||||||||BC x x y y BC C C ''''=-+-=+∴ AC CB AB += 即命题①是正确的. 综上所述，真命题的个数1个，故本题的答案为B ．13．解：343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得，12AM a b =+u u u u r r r，所以3111()()4244MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r .14．2222=-y x 设),(y x M ，则),(y x =，又)1,1(),1,2(-=-=，所以由OM mOA nOB =+u u u u r u u u r u u u r 得),(),2(),(n n m m y x -+-=，于是⎩⎨⎧+-=-=nm y n m x 2，由2222m n -=消去m, n 得M 的轨迹方程为：2222=-y x . 15．2- 如图，设x AO =，则x OM -=2，所以)(+⋅OM OA OM OA ⋅⋅-=⋅=222)1(242)2(222--=-=--x x x x x ，故当1=x 时，OM mOA nOB =+u u u u r u u u r u u u r取最小值-2.AC 'CBB 'C ''16．21≠m 因为)3,5(),3,6(),4,3(m m ---=-=-=，所以),1(),1,3(m m ---==.由于点A 、B 、C 能构成三角形，所以与不共线，而当AB 与BC 共线时，有m m -=--113，解得21=m ，故当点A 、B 、C 能构成三角形时实数m 满足的条件是21≠m .17．解析：（1）若与平行，则有2sin 12cos sin 1⋅-=⋅x x x ，因为]2,0(π∈x ，0sin ≠x ，所以得22cos -=x ，这与1|2cos |≤x 相矛盾，故a 与b 不能平行.（2）由于x f ⋅=)(xx x x x x x x x sin 1sin 2sin sin 21sin 2cos 2sin 2cos sin 22+=+=-=-+=，又因为]3,0(π∈x ，所以]23,0(sin ∈x ， 于是22sin 1sin 22sin 1sin 2=⋅≥+x x x x ，当xx sin 1sin 2=，即22sin =x 时取等号.故函数)(x f 的最小值等于22.18．解：（Ⅰ）由题意得，f(x)＝a·(b+c)=(sinx,－cosx)·(sinx －cosx,sinx －3cosx)＝sin 2x －2sinxcosx+3cos 2x ＝2+cos2x －sin2x ＝2+2sin(2x+43π). 所以，f(x)的最大值为2+2，最小正周期是22π＝π. （Ⅱ）由sin(2x+43π)＝0得2x+43π＝k.π，即x ＝832ππ-k ,k ∈Z ， 于是d ＝（832ππ-k ，－2），,4)832(2+-=ππk d k ∈Z. 因为k 为整数，要使d 最小，则只有k ＝1，此时d ＝（―8π，―2）即为所求. 19．解析：解：（Ⅰ）若a ⊥b ，则sin θ＋cos θ＝0，由此得 tan θ＝－1(－π2＜θ＜π2)，所以 θ＝－π4；（Ⅱ）由a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)得｜a ＋b ｜＝(sin θ＋1)2＋(1＋cos θ)2＝3＋2(sin θ＋cos θ)＝3＋22sin(θ＋π4)，当sin(θ＋π4)＝1时，|a ＋b |取得最大值，即当θ＝π4时，|a ＋b |最大值为2＋1．20．解：（Ⅰ）由已知得：222,2 4.AB AC AB AB AC AC ⎧⋅=⎪⎨-⋅+=⎪⎩u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 因此，228AB AC +=u u u r u u u r ． （Ⅱ）2cos AB AC A AB AC AB AC⋅==⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u ur ， 1sin 2ABC S AB AC A =⋅u u ur u u u r △12AB =⋅u u ur u u=≤=．（当且仅当2AB AC ==u u u r u u u r 时，取等号），当ABC △1cos 2AB AC A AB AC⋅==⋅u u u r u u u ru u u r u u u r，所以3π=∠A . 解：（I ）由条件知： 0a b =≠r r 且2222(2)444a b a b a b b +=++=r r r r r r r g42-=⋅， 设a b r r 和夹角为θ，则41||||cos -==b a θ， ∴1cos 4arc θπ=-，故a b r r 和的夹角为1cos 4arc π-，（Ⅱ）令)a a b -r r r和(的夹角为βQ a b a -===r r r， ∴41021cos 222=+===β∴ )a a b -r r r和(的夹角为21．解析：如图，（Ⅰ）设D(x 0,y 0),E(x E ,y E ),M(x ,y).由AD →=tAB →, BE → = t BC →,知(x D －2,y D －1)=t(－2,－2). ∴⎩⎨⎧x D =－2t+2y D =－2t+1 同理 ⎩⎨⎧x E =－2ty E =2t －1.∴k DE = y E －y D x E －x D = 2t －1－(－2t+1)－2t －(－2t+2)= 1－2t. ∴t ∈[0,1] , ∴k DE ∈[－1,1].（Ⅱ） 如图, OD →=OA →+AD → = OA →+ tAB →= OA →+ t(OB →－OA →) = (1－t) OA →+tOB →,OE →=OB →+BE → = OB →+tBC → = OB →+t(OC →－OB →) =(1－t) OB →+tOC →,OM → = OD →+DM →= OD →+ tDE →= OD →+t(OE →－OD →)=(1－t) OD →+ tOE →= (1－t 2) OA → + 2(1－t)tOB →+t 2OC →.设M 点的坐标为(x ,y),由OA →=(2,1), OB →=(0,－1), OC →=(－2,1)得 ⎩⎨⎧x=(1－t 2)·2+2(1－t)t ·0+t 2·(－2)=2(1－2t)y=(1－t)2·1+2(1－t)t ·(－1)+t 2·1=(1－2t)2 消去t 得x 2=4y, ∵t ∈[0,1], x ∈[－2,2]. 故所求轨迹方程为: x 2=4y, x ∈[－2,2]22．解析：（1）设(,)P x y o o ，(,)M x y ，则(,)OP x y =o o u u u r ，(,0)OQ x =o u u u r，(2,)OM OP OQ x y =+=o o u u u u r u u u r u u u r222212,1,124x x x x x x y y y y y y⎧==⎧⎪∴⇒+=∴+=⎨⎨=⎩⎪=⎩o o o o o o Q .（2）设向量OP uuu r 与OM u u u u r的夹角为α，则22cos ||||OP OMOP OM α⋅===⋅u u u r u u u u r u u u r u u u u r 令231t x =+o，则cos α==≥当且仅当2t =时，即P点坐标为(时，等号成立.第21题解法图OP u u u r 与OM u u u u r夹角的最大值是.。
平面向量及其应用单元测试题+答案 百度文库
一、多选题1．题目文件丢失！2．若a →，b →，c →是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（ ） A ．若a b →→=，则a b →→= B ．若a c b c →→→→⋅=⋅，则a b →→= C ．若//a b →→，//b c →→，则//a c →→D ．若a b a b →→→→+=-，则a b →→⊥3．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 2sin c A =，且02C <<π，4b =，则以下说法正确的是（ ）A ．3C π=B ．若72c =，则1cos 7B =C ．若sin 2cos sin A B C =，则ABC 是等边三角形D ．若ABC 的面积是44．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）A ．//PB CQ B ．2133BP BA BC =+ C ．0PA PC ⋅<D ．2S =5．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ）A ．()a cbc a b c ⋅-⋅=-⋅ B ．()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 不垂直 C ．a b a b -<-D ．()()22323294a b a b a b +⋅-=-6．已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（ ） A ．a 与b 的夹角为钝角B ．向量a 在bC ．2m +n =4D ．mn 的最大值为2 7．下列结论正确的是（ ）A ．在ABC 中，若AB >，则sin sin A B >B ．在锐角三角形ABC 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 为等腰三角形D ．在ABC 中，若3b =，60A =︒，三角形面积S = 8．下列结论正确的是（ ）A ．已知a 是非零向量，b c ≠，若a b a c ⋅=⋅，则a ⊥（-b c ）B ．向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a 在b 上的投影向量为12b C ．点P 在△ABC 所在的平面内，满足0PA PB PC ++=，则点P 是△ABC 的外心 D ．以（1，1），（2，3），（5，﹣1），（6，1）为顶点的四边形是一个矩形 9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，则a 边为（ ）A ．B ．C ．8D ．10．ABC 中，4a =，5b =，面积S =c =（ ）A BC D ．11．已知M 为ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（ ） A ．1122AD AB AC =+ B ．0MA MB MC ++= C ．2133BM BA BD =+ D ．1233CM CA CD =+12．设a 为非零向量，下列有关向量||aa 的描述正确的是（ ） A ．||1||a a =B ．//||a a aC ．||a a a =D ．||||a a a a ⋅=13．对于菱形ABCD ，给出下列各式，其中结论正确的为（ ） A ．AB BC =B ．AB BC =C ．AB CD AD BC -=+D ．AD CD CD CB +=-14．给出下面四个命题，其中是真命题的是（ ） A ．0ABBA B ．AB BC AC C ．AB AC BC += D ．00AB +=15．下列命题中正确的是( )A ．对于实数m 和向量,a b ,恒有()m a b ma mb -=-B ．对于实数,m n 和向量a ,恒有()m n a ma na -=-C ．若()ma mb m =∈R ,则有a b =D ．若(,,0)ma na m n a =∈≠R ,则m n =二、平面向量及其应用选择题16．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =2c =，2cos 3A =，则b=A BC ．2D ．317．O 为ABC ∆内一点内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，且tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=，若a =边BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长为（ ）A ．23π B ．43π C ．6πD ．3π18．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若lg lg lg sin a c B -==-，且0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ABC 的形状是（ ）A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形19．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为ABC ∆的面积，满足cos cos b A a B =，且角B 是角A 和角C 的等差中项，则ABC ∆的形状为（ ） A ．不确定 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形20．已知在四边形ABCD 中， 2, 4,53AB a b BC a b CD a b =--=+=+，则四边形ABCD 的形状是( )A ．矩形B ．梯形C ．平行四边形D ．以上都不对21．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且12AE ED =，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．1B ．23-C ．13- D ．34-22．ABC ∆内有一点O ，满足3450OA OB OC ++=，则OBC ∆与ABC ∆的面积之比为（ ） A ．1:4B ．4:5C ．2:3D ．3:523．在ABC ∆中||||AB AC AB AC +=-,3,4,AB AC ==则BC 在CA 方向上的投影为（ ）． A ．4B ．3C ．-4D ．524．若点G 是ABC 的重心，,,a b c 分别是BAC ∠，ABC ∠，ACB ∠的对边，且303aGA bGB cGC ++=.则BAC ∠等于（ ） A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°25．如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点，点F 在线段CD 上，且2CF DF =，AE 与BF 交于点P ，若AP AE λ=，则λ=（ ）A ．34B ．58C ．38D ．2326．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()226,c a b =-+3C π=，则ABC 的面积为（ ）A ．6B ．332C ．33D ．327．如图，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足12BD DC =，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N 若AM mAB =，AN nAC =，则（ ）A ．m n +是定值，定值为2B ．2m n +是定值，定值为3C ．11m n +是定值，定值为2 D ．21m n+是定值，定值为3 28．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则DF =（ ）A ．1324AB AD -+ B ．1223AB AD + C ．1132AB AD - D ．1324AB AD - 29．已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC a CA b ==，，AB c =，则①AD ＝－b －12a ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋12b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0.其中正确的等式的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．430．三角形ABC 的三边分别是,,a b c ，若4c =，3C π∠=，且sin sin()2sin 2C B A A +-=，则有如下四个结论：①2a b =②ABC ∆③ABC ∆的周长为4+④ABC ∆外接圆半径3R =这四个结论中一定成立的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个31．已知菱形ABCD 边长为2，∠B ＝3π，点P 满足AP ＝λAB ，λ∈R ，若BD ·CP ＝－3，则λ的值为( ) A ．12B ．－12C ．13D ．－1332．在ABC ∆中，60A ∠=︒，1b =，ABC S ∆，则2sin 2sin sin a b cA B C++=++（ ）A B C D ．33．在ABC ∆中，8AB =，6AC =，60A ∠=，M 为ABC ∆的外心，若AM AB AC λμ=+，λ、R μ∈，则43λμ+=（ ）A ．34B ．53C ．73D ．8334．已知平面向量a ，b ，c 满足2a b ==，()()20c a c b ⋅--=，则b c ⋅的最大值为（ ） A ．54B ．2C ．174D ．435．在ABC ∆中，601ABC A b S ∆∠=︒=，，则2sin 2sin sin a b cA B C-+-+的值等于（ ）A B C D ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．无 2．ACD 【分析】根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断． 【详解】对应，若，则向量长度相等，方向相同，故，故正确； 对于，当且时，，但，可以不相等，故错误； 对应，若，，则方向相同 解析：ACD 【分析】根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断． 【详解】对应A ，若a b =，则向量,a b 长度相等，方向相同，故||||a b =，故A 正确； 对于B ，当a c ⊥且b c ⊥时，··0a c b c ==，但a ，b 可以不相等，故B 错误； 对应C ，若//a b ，//b c ，则,a b 方向相同或相反，,b c 方向相同或相反， 故,a c 的方向相同或相反，故//a c ，故C 正确；对应D ，若||||a b a b +=-，则22222?2?a a b b a a b b ++=-+，∴0a b =，∴a b ⊥，故D 正确．故选：ACD 【点睛】本题考查平面向量的有关定义，性质，数量积与向量间的关系，属于中档题．3．AC 【分析】对于，利用正弦定理可将条件转化得到，即可求出； 对于，利用正弦定理可求得，进而可得；对于，利用正弦定理条件可转化为，结合原题干条件可得，进而求得； 对于，根据三角形面积公式求得，利解析：AC 【分析】对于A2sin sin A C A =，即可求出C ； 对于B ，利用正弦定理可求得sin B ，进而可得cos B ；对于C ，利用正弦定理条件可转化为2cos a c B =，结合原题干条件可得B ，进而求得A B C ==；对于D ，根据三角形面积公式求得a ，利用余弦定理求得c ，进而由正弦定理求得R ． 【详解】2sin c A =2sin sin A C A =， 因为sin 0A ≠，故sin C =， 因为(0,)2C π∈，则3C π=，故A 正确；若72c =，则由正弦定理可知sin sin c b C B =，则4sin sin 72b B Cc == 因为(0,)B π∈，则1cos 7B =±，故B 错误； 若sin 2cos sin A BC =，根据正弦定理可得2cos a c B =，2sin c A =，即sin a A =sin 2cos A c B =，所以sin A B =，因为23A B C ππ+=-=，则23A B π=-，故2sin()3B B π-=，1sin 2B B B +=，即1sin cos 22B B =，解得tan B =3B π=，则3A π=，即3A B C π===，所以ABC 是等边三角形，故C 正确； 若ABC的面积是1sin 2ab C =2a =， 由余弦定理可得22212cos 416224122c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，即c = 设三角形的外接圆半径是R ，由正弦定理可得2324sin 3c R C ===，则该三角形外接圆半径为2，故D 错误， 故选：AC ． 【点睛】本题考查正余弦定理的应用及同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角公式，转化思想，计算能力，属于中档题．4．BCD 【分析】本题先确定B 是的中点，P 是的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确；再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出，故选项D 正确. 【详解】 解：因为，，所以B 是的中点，P 是的解析：BCD 【分析】本题先确定B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确； 再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出2APQ S =△，故选项D 正确. 【详解】解：因为20PA PC +=，2QA QB =，所以B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，如图：故选项A 错误，选项C 正确；因为()121333BP BA AP BA BC BA BA BC =+=+-=+，故选项B 正确； 因为112223132APQ ABCAB hS S AB h ⨯⨯==⋅△△，所以，2APQ S =△，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.【分析】A ，由平面向量数量积的运算律可判断；B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C ，由与不共线，可分两类考虑：①若，则显然成立；②若，由、、构成三角形的三边可进行判断；D ，由平解析：ACD 【分析】A ，由平面向量数量积的运算律可判断；B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C ，由a 与b 不共线，可分两类考虑：①若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；②若a b >，由a 、b 、a b -构成三角形的三边可进行判断；D ，由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解. 【详解】选项A ，由平面向量数量积的运算律，可知A 正确； 选项B ，()()()()()()()()0b c a c a b c b c a c c a b c b c a c b c c a ⎡⎤⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⎣⎦， ∴()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 垂直，即B 错误；选项C ，∵a 与b 不共线，∴若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；若a b >，由平面向量的减法法则可作出如下图形：由三角形两边之差小于第三边，可得a b a b -<-.故C 正确；选项D ，()()22223232966494a b a b a a b a b b a b +⋅-=-⋅+⋅-=-，即D 正确. 故选：ACD 【点睛】本小题主要考查向量运算，属于中档题.【分析】对于A，利用平面向量的数量积运算判断；对于B，利用平面向量的投影定义判断；对于C，利用()∥判断；对于D，利用C 的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断.【详解】对于A，向量(解析：CD【分析】对于A，利用平面向量的数量积运算判断；对于B，利用平面向量的投影定义判断；对于C，利用(a b-)∥c判断；对于D，利用C的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断.【详解】对于A，向量a=(2，1)，b=(1，﹣1)，则2110a b⋅=-=>，则,a b的夹角为锐角，错误；对于B，向量a=(2，1)，b=(1，﹣1)，则向量a在b方向上的投影为22a bb⋅=，错误；对于C，向量a=(2，1)，b=(1，﹣1)，则a b-=(1，2)，若(a b-)∥c，则(﹣n)=2(m ﹣2)，变形可得2m+n=4，正确；对于D，由C的结论，2m+n=4，而m，n均为正数，则有mn12= (2m•n)12≤(22m n+)2=2，即mn的最大值为2，正确；故选：CD.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于基础题.7．AB【分析】由正弦定理及三角形性质判断A，由余弦定理判断B，由正弦函数性质判断C，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D．【详解】中，，由得，A正确；锐角三角形中，，∴，B正确；中，解析：AB【分析】由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D ．【详解】 ABC 中，A B a b >⇔>，由sin sin a b A B=得sin sin A B >，A 正确； 锐角三角形ABC 中，222cos 02b c a A bc+-=>，∴2220b c a +->，B 正确； ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B +=︒，即A B =或90A B +=︒，ABC 为等腰三角形或直角三角形，C 错；ABC 中，若3b =，60A =︒，三角形面积S =11sin 3sin 6022S bc A c ==⨯︒=4c =，∴2222cos 13a b c bc A =+-=，a =，∴2sin sin 603a R A ===︒，3R =，D 错． 故选：AB ．【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质，三角形面积公式等，考查学生的逻辑推理能力，分析问题解决问题的能力．8．ABD【分析】利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择.【详解】对：因为，又，故可得，故，故选项正确；对：因为||＝1，||＝2，与的夹角为解析：ABD【分析】利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择.【详解】对A ：因为()a b c a b a c ⋅-=⋅-⋅，又a b a c ⋅=⋅，故可得()0a b c ⋅-=， 故()a b c ⊥-，故A 选项正确；对B ：因为|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，故可得1212a b ⋅=⨯=.故a 在b 上的投影向量为12a b b b b ⎛⎫⋅ ⎪= ⎪⎝⎭，故B 选项正确； 对C ：点P 在△ABC 所在的平面内，满足0PA PB PC ++=，则点P 为三角形ABC 的重心，故C 选项错误；对D ：不妨设()()()()1,1,2,3,6,1,5,1A B C D -， 则()()()1,24,25,0AB AD AC +=+-==，故四边形ABCD 是平行四边形； 又()14220AB AD ⋅=⨯+⨯-=，则AB AD ⊥，故四边形ABCD 是矩形.故D 选项正确；综上所述，正确的有：ABD .故选：ABD .【点睛】本题考查向量数量积的运算，向量的坐标运算，向量垂直的转化，属综合中档题.9．AC【分析】利用余弦定理：即可求解.【详解】在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，由余弦定理：，即，解得.故选：AC【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基解析：AC【分析】利用余弦定理：2222cos b a c ac B =+-即可求解.【详解】在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，由余弦定理：2222cos b a c acB =+-，即216310a a -+=，解得8a =故选：AC【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基本运算，属于基础题.10．AB【分析】在中，根据，，由，解得或，然后分两种情况利用余弦定理求解.【详解】中，因为，，面积，所以，所以，解得或，当时，由余弦定理得：，解得，当时，由余弦定理得：，解得所以或解析：AB【分析】在ABC 中，根据4a =，5b =，由1sin 2ABC S ab C ==60C =或120C =，然后分两种情况利用余弦定理求解.【详解】ABC 中，因为4a =，5b =，面积ABC S =所以1sin 2ABC S ab C ==所以sin 2C =，解得60C =或120C =， 当60C =时，由余弦定理得：2222cos 21c a b ab C =+-=，解得c =当120C =时，由余弦定理得：2222cos 61c a b ab C =+-=，解得c =所以c =c =故选：AB【点睛】本题主要考查三角形面积公式和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 11．ABD【分析】根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案.【详解】解：如图，根据题意得为三等分点靠近点的点.对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得，故A 正确；对于B 选项，，由于为三解析：ABD【分析】根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案.【详解】解：如图，根据题意得M 为AD 三等分点靠近D 点的点.对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得1122AD AB AC =+，故A 正确； 对于B 选项，2MB MC MD +=，由于M 为AD 三等分点靠近D 点的点，2MA MD =-，所以0MA MB MC ++=，故正确； 对于C 选项，()2212=3333BM BA AD BA BD BA BA BD =+=+-+，故C 错误； 对于D 选项，()22123333CM CA AD CA CD CA CA CD =+=+-=+，故D 正确. 故选：ABD【点睛】本题考查向量加法与减法的运算法则，是基础题.12．ABD【分析】首先理解表示与向量同方向的单位向量，然后分别判断选项.【详解】表示与向量同方向的单位向量，所以正确，正确，所以AB 正确，当不是单位向量时，不正确，，所以D 正确.故选：ABD解析：ABD【分析】首先理解a a表示与向量a 同方向的单位向量，然后分别判断选项. 【详解】a a 表示与向量a 同方向的单位向量，所以1a a =正确，//a a a 正确，所以AB 正确，当a 不是单位向量时，a a a =不正确， cos 0a a a a a a a a a a⋅==⨯=，所以D 正确. 故选：ABD【点睛】本题重点考查向量a a 的理解，和简单计算，应用，属于基础题型，本题的关键是理解a a 表示与向量a 同方向的单位向量. 13．BCD 【分析】由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解.【详解】菱形中向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以B 结论正确，A 结论错误； 因为，，且，所以，即C 结论正确；因为，解析：BCD【分析】 由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解. 【详解】菱形中向量AB 与BC 的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以B 结论正确，A 结论错误； 因为2AB CD AB DC AB -=+=，2AD BC BC +=，且AB BC =， 所以AB CD AD BC -=+，即C 结论正确；因为AD CD BC CD BD +=+=，||||CD CB CD BC BD -=+=，所以D 结论正确.故选：BCD【点睛】本题主要考查了向量加法、减法的运算，菱形的性质，属于中档题.14．AB【解析】【分析】根据向量加法化简即可判断真假.【详解】因为，正确；，由向量加法知正确；，不满足加法运算法则，错误；，所以错误.故选：A B.【点睛】本题主要考查了向量加法的解析：AB【解析】【分析】根据向量加法化简即可判断真假.【详解】因为0AB BA AB AB ，正确；AB BC AC ，由向量加法知正确；AB AC BC +=，不满足加法运算法则，错误；0,AB AB +=，所以00AB +=错误.故选：A B .【点睛】本题主要考查了向量加法的运算，属于容易题.15．ABD【详解】解：对于：对于实数和向量、，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：，故正确．对于：对于实数，和向量，根据向量的数乘运算律，恒有，故 正确． 对于：若，当 时，无法得到，故不正确．对解析：ABD【详解】解：对于A ：对于实数m 和向量a 、b ，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：()m a b ma mb -=-，故A 正确．对于B ：对于实数m ，n 和向量a ，根据向量的数乘运算律，恒有()m n a ma na -=-，故 B 正确．对于C ：若()ma mb m =∈R ，当 0m =时，无法得到a b =，故C 不正确． 对于D ：若(,,0)ma na m n a =∈≠R ，则m n =成立，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题考查相等的向量，相反的向量的定义，向量的数乘法则以及其几何意义，注意考虑零向量的情况．二、平面向量及其应用选择题16．D【详解】 由余弦定理得， 解得（舍去），故选D. 【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！17．A【分析】 根据题意得出tan tan tan A B C a b c==，利用正弦定理边化角思想和切化弦思想得出A B C ==，从而可得知ABC ∆为等边三角形，进而可求得BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长.【详解】0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，a b OC OA OB c c∴=--， 同理可得tan tan tan tan A B OC OA OB C C =--，tan tan tan tan a A c C b B cC ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪-=-⎪⎩，tan tan tan A B C a b c∴==， 由正弦定理得tan tan tan sin sin sin A B C A B C ==，所以，111cos cos cos A B C ==， cos cos cos A B C ∴==，由于余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，所以，3A B C π===， 设ABC ∆的外接圆半径为R，则22sin a R A ===，1R ∴=， 所以，边BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长为222133R A ππ⨯=⨯=. 故选：A.【点睛】 本题考查弧长的计算，涉及正弦定理边角互化思想、切化弦思想以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.18．C【分析】化简条件可得sin 2a B c ==，由正弦定理化边为角，整理cos 0C =，即可求解. 【详解】lg lg lg sin a c B -==-，sin 2a B c ∴==.0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 4B π∴=. 由正弦定理，得sin sina A c C ==，3sin cos sin 422C A C C C π⎫⎛⎫∴==-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， 化简得cos 0C =.()0,C π∈，2C π∴=， 则4A B C ππ=--=， ∴ABC 是等腰直角三角形.故选：C.【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角恒等变换，属于中档题.19．D【分析】先根据cos cos b A a B =得到,A B 之间的关系，再根据B 是,A C 的等差中项计算出B 的大小，由此再判断ABC 的形状.【详解】因为cos cos b A a B =，所以sin cos sin cos =B A A B ，所以()sin 0B A -=，所以A B =，又因为2B A C B π=+=-，所以3B π=， 所以3A B π==，所以ABC 是等边三角形. 故选：D. 【点睛】本题考查等差中项以及利用正弦定理判断三角形形状，难度一般.（1）已知b 是,a c 的等差中项，则有2b a c =+；（2）利用正弦定理进行边角互化时，注意对于“齐次”的要求. 20．B【分析】计算得到BC A CD B -=，得到BCDM ，ABCM 为平行四边形，得到答案.【详解】 2, 4,53AB a b BC a b CD a b =--=+=+，则53BC AB BC B a b CD A -=+=+=. 设BC BA BM +=，故BCDM ，ABCM 为平行四边形，故ABCD 为梯形.故选：B .【点睛】本题考查了根据向量判断四边形形状，意在考查学生的综合应用能力.21．B【分析】选取向量AB ，AC 为基底，由向量线性运算，求出BE ，即可求得结果.【详解】13BE AE AB AD AB =-=-，1()2AD AB AC =+ ， 5166BE AB AC AB AC λμ∴=-+=+，56λ∴=-，16μ=，23λμ∴+=-. 故选：B.【点睛】 本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题.22．A 【解析】分析：由题意，在ABC ∆内有一点O ，满足3450++=OA OB OC ，利用三角形的奔驰定理，即可求解结论． 详解：由题意，在ABC ∆内有一点O ，满足3450++=OA OB OC ，由奔驰定理可得::3:4:5BOC AOC BOA S S S ∆∆∆=，所以:3:121:4BOC ABC S S ∆∆==， 故选A ．点睛：本题考查了向量的应用，对于向量的应用问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．23．C【分析】先对等式AB AC AB AC +=-两边平方得出AB AC ⊥，并计算出BC CA ⋅，然后利用投影的定义求出BC 在CA 方向上的投影．【详解】 对等式AB AC AB AC +=-两边平方得，222222AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅=+-⋅，整理得，0AB AC ⋅=，则AB AC ⊥，()216BC CA AC AB CA AC CA AB CA AC ∴⋅=-⋅=⋅-⋅=-=-，设向量BC 与CA 的夹角为θ，所以，BC 在CA 方向上的投影为16cos 44BC CA BC CA BC BC BC CA CA θ⋅⋅-⋅=⋅===-⋅， 故选C ．【点睛】本题考查平面向量投影的概念，解本题的关键在于将题中有关向量模的等式平方，这也是向量求模的常用解法，考查计算能力与定义的理解，属于中等题．24．D【分析】由点G 是ABC 的重心可得0GA GB GC ++=,即GA GB GC =--,代入303aGA bGB cGC ++=中可得3()03b a GB c a GC ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭,由,GB GC 不共线可得00b a a -=⎧-=⎩,即可求得,,a b c 的关系,进而利用余弦定理求解即可 【详解】因为点G 是ABC 的重心,所以0GA GB GC ++=, 所以GA GB GC =--,代入30aGA bGB cGC ++=可得3()03b a GB c a GC ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭, 因为,GB GC 不共线,所以03b ac a -=⎧-=⎩,即b a c =⎧⎪⎨=⎪⎩,所以222cos 22b c a BAC bc +-∠==,故30BAC ︒∠=, 故选:D 【点睛】本题考查向量的线性运算,考查利用余弦定理求角 25．A 【分析】设出()()()11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+，求得()2113m AP AB m AD +=+-，再利用向量相等求解即可. 【详解】 连接AF ，因为B ，P ，F 三点共线，所以()()()11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+， 因为2CF DF =，所以1133DF DC AB ==， 所以()2113m AP AB m AD +=+-. 因为E 是BC 的中点，所以1122AE AB BC AB AD =+=+. 因为AP AE λ=，所以()211132m AB m AD AB AD λ+⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭， 则213112m m λλ+⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 解得34λ=. 故选：A 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题. 26．B 【分析】由条件和余弦定理得到6ab =，再根据三角形的面积公式计算结果. 【详解】由条件可知：22226c a b ab =+-+，①由余弦定理可知：222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-，② 所以由①②可知，62ab ab -=-，即6ab =， 则ABC的面积为11sin 62222S ab C ==⨯⨯=. 故选：B 【点睛】本题考查解三角形，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型. 27．D 【分析】过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E ，结合题设条件和三角形相似可得出21312AM n nn AB n n ==--+，再根据AM mAB =可得231n m n =-，整理可得213m n+=，最后选出正确答案即可. 【详解】如图，过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E ，由AN nAC =可得1AC AN n=，所以11AE AC EM CN n ==-，由12BD DC =可得12BM ME =，所以21312AM n nn AB n n ==--+，因为AM mAB =，所以231nm n =-，整理可得213m n+=.故选：D . 【点睛】本题考查向量共线的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题. 28．D 【分析】利用向量的三角形法则和向量共线定理可得：DF AF AD =-，1=2AF AE ，=AE AB BE +，1=2BE BC ，=BC AD ，即可得出答案. 【详解】利用向量的三角形法则，可得DF AF AD =-，=AE AB BE +，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则1=2AF AE ，1=2BE BC 1111==()=+2224DF AF AD AE AD AB BE AD AB BC AD ∴=--+-- 又=BC AD1324DF AB AD ∴=-. 故选D.【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力. 向量的运算有两种方法：一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是： （１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）； （２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算，建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）． 29．D 【分析】本题考查的知识点是向量的加减法及其几何意义、及零向量，我们根据已知中的图形，结合向量加减法的三角形法则，对题目中的四个结论逐一进行判断，即可得到答案． 【详解】①如图可知AD ＝AC ＋CD ＝AC ＋12CB ＝－CA －12BC ＝－b －12a ，故①正确． ②BE ＝BC ＋CE ＝BC ＋12CA ＝a ＋12b ，故②正确． ③CF ＝CA ＋AE ＝CA ＋12AB ＝b ＋12(－a －b ) ＝－12a ＋12b ，故③正确． ④AD ＋BE ＋CF ＝－DA ＋BE ＋CF ＝－(DC ＋CA )＋BE ＋CF ＝－(12a ＋b )＋a ＋12b －12a ＋12b ＝0，故④正确． 故选D. 【点睛】本题考查的主要知识点是向量加减法及其几何意义，关键是要根据向量加减法及其几何意义，将未知的向量分解为已知向量． 30．C 【分析】由正弦定理可得三角形的外接圆的半径；由三角函数的恒等变换化简2A π=或sin 2sin B A =，即2b a =；分别讨论，结合余弦定理和三角形面积公式，计算可得所求值，从而可得结论． 【详解】 4c =，3C π∠=，可得4832sin sin 3c R C π===，可得ABC ∆外接圆半径43R =④正确；()sin sin 2sin2C B A A +-=，即为()()sin sin 2sin2A B B A A ++-=，即有sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin cos 4sin cos A B A B B A B A B A A A ++-==，则cos 0A =，即2A π=或sin 2sin B A =，即2b a =；若2A π=，3C π=，6B π=，可得2a b =，①可能成立；由4c =可得a =，b =4+；面积为12bc =； 则②③成立；若2b a =，由2222222cos 316c a b ab C a b ab a =+-=+-==，可得a =，b =则三角形的周长为4a b c ++=+11sin sin 223S ab C π===则②③成立①不成立；综上可得②③④一定成立,故选C ． 【点睛】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式，考查三角函数的恒等变换，属于中档题．以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心. 31．A 【分析】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论． 【详解】法一：由题意可得BA ·BC ＝2×2cos3π＝2， BD ·CP ＝(BA ＋BC )·(BP －BC ) ＝(BA ＋BC )·[(AP －AB )－BC ] ＝(BA ＋BC )·[(λ－1)·AB －BC ] ＝(1－λ) BA 2－BA ·BC ＋(1－λ)·BA ·BC －BC 2 ＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4 ＝－6λ＝－3， ∴λ＝12，故选A. 法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B (2,0)，C (1，)，D (－13．令P (x,0)，由BD ·CP ＝(－33)·(x －13＝－3x ＋3－3＝－3x ＝－3得x ＝1. ∵AP ＝λAB ，∴λ＝12.故选A. 【点睛】1.已知向量a ，b 的坐标，利用数量积的坐标形式求解． 设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2. 2.通过建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标形式计算. 32．A 【分析】根据面积公式得到4c =，再利用余弦定理得到13a =，再利用正弦定理得到答案. 【详解】13sin 3424ABC S bc A c c ∆==== 利用余弦定理得到：2222cos 11641313a b c bc A a =+-=+-=∴= 正弦定理：sin sin sin a b cA B C== 故213239sin 2sin sin sin 33a b c a A B C A ++===++ 故选A 【点睛】本题考查了面积公式，正弦定理，余弦定理，综合性强，意在考查学生的综合应用能力. 33．C 【分析】作出图形，先推导出212AM AB AB ⋅=，同理得出212AM AC AC ⋅=，由此得出关于实数λ、μ的方程组，解出这两个未知数的值，即可求出43λμ+的值.【详解】如下图所示，取线段AB 的中点E ，连接ME ，则AM AE EM =+且EM AB ⊥，()212AM AB AE EM AB AE AB EM AB AB ∴⋅=+⋅=⋅+⋅=，同理可得212AM AC AC ⋅=，86cos6024AB AC ⋅=⨯⨯=，由221212AM AB AB AM AC AC ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，可得()()3218AB AC AB AB AC AC λμλμ⎧+⋅=⎪⎨+⋅=⎪⎩，即642432243618λμλμ+=⎧⎨+=⎩，解得512λ=，29，因此，52743431293λμ+=⨯+⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用三角形外心的向量数量积的性质求参数的值，解题的关键就是利用三角形外心的向量数量积的性质列方程组求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 34．C 【分析】不妨设(2,0)b =，(2cos 2sin )a αα=,，[0,2]απ∈，(,)c x y =，则求c b ⋅的最大值，即求x 的最大值，然后将问题转化为关于y 的方程22sin (cos 2)2cos 0y y x x ααα-+-++=有解的问题，最后求出x 的最值即可. 【详解】根据题意，不妨设(2,0)b =，(2cos 2sin )a αα=,，[0,2]απ∈，(,)c x y =， 则2b c x ⋅=，所以求b c ⋅的最大值，即求x 的最大值，由()()20c a c b ⋅--=可得2220c a c b c a b -⋅-⋅+⋅=， 即22sin (cos 2)2cos 0y y x x ααα-+-++=，因为关于y 的方程有解，所以22sin 44(cos 2)8cos 0x x ααα∆=-++-≥，令cos (11)t t α=-≤≤，则2244(2)810x x t t t -+++-≤，所以2222t t x ++≤≤，(13)m m =≤≤2(2)178m --+=， 当2m =2(2)171788m --+==，所以178x ≤，所以174b c ⋅≤， 所以b c ⋅的最大值为174， 故选：C. 【点睛】思路点睛：该题考查了平面向量的数量积的问题，解题思路如下： （1）先根据题意，设出向量的坐标； （2）根据向量数量积的运算律，将其展开； （3）利用向量数量积的坐标公式求得等量关系式；（4）利用方程有解，判别式大于等于零，得到不等关系式，利用换元法求得其最值，在解题的过程中，关键点是注意转化思想的应用，属于难题. 35．A 【解析】分析：先利用三角形的面积公式求得c 的值，进而利用余弦定理求得a ，再利用正弦定理求解即可.详解：由题意，在ABC ∆中，利用三角形的面积公式可得011sin 1sin 6022ABC S bc A c ∆==⨯⨯⨯=， 解得4c =，又由余弦定理得22212cos 116214132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，解得a =，由正弦定理得2sin 2sin sin sin 32a b c a A B C A -+===-+，故选A. 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.。
平面向量单元测试题与答案
平面向量单元测试姓名: 班级: 学号一、选择题: 本大题共12小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知,3,2,==⊥b a b a且b a 23+与b a -λ垂直,则实数λ的值为---------A . ;23-B . ;23C . ;23±D . ;1 2．已知A 、B 、C 三点共线,O 是这条直线外一点,设,a OA =,b OB =,c OC =且存在实数m ,使30ma b c -+=成立,则点A 分BC 的比为 ------A . 31-B . 21-C . 31D . 213．已知向量(2,2),(4,1)OA OB ==,在x 轴上有一点P ,使AP BP 有最小值,则点P 的坐标为 (3,0)A - B .2,0 C . 3,0 D .4,0 4．已知向量(6,4),(0,2),,a b OC a b λ===+若点C 在函数sin 12y x π=的图象上,则实数λ的值为 A52 B 32 C 52- D 32- 5．在△ABC 中,若a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,且cos 2B ＋cosB ＋cosA －C ＝1,则 A 、a 、b 、c 等比 B 、a 、b 、c 等差 C 、a 、c 、b 等比 D 、a 、c 、b 等差 6．已知函数y ＝－3cos 2x ＋错误!＋4按向量错误!平移后所得图象表示的函数y ＝fx 是奇函数,则向量错误!可以是 A 、－错误!,－4 B 、－错误!,－4 C 、错误!,4 D 、－错误!,47．在ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,且ccb A 22cos 2+=,则ABC 的形状为 A ．正三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .等腰直角三角形 8．在△ABC 中,内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ,若a ＋c ＝2b ,则cot 错误!＝ A 、－2 B 、－3 C 、2 D 、39．O 是ABC ∆所在平面内一点,且满足()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=,则ABC ∆的形状是 A 正三角形 B 等腰三角形 C 直角三角形 D 斜三角形 10．已知向量a ≠e ,|e |＝1,对任意t ∈R ,恒有|a －t e |≥|a －e |,则A a ⊥eB a ⊥a －eC e ⊥a －eD a ＋e ⊥a －e11.在OAB ∆中,a OA =,b OB =,M 为OB 的中点,N 为AB 的中点,P点,则=APA ．b a 3132-B ．b a 3132+-C ．b a 3231-D ．b a 3231+-12．在同一个平面上有ABC ∆及一点Ｏ满足关系式：222222OA BC OB CA OC AB +=+=+,则Ｏ为ABC ∆的13、已知),3(λ=a,)3,4(-=b ,若a 与b 的夹角为锐角,则λ的取值范围为________ 14．在ABC ∆中,c b a ,,分别是角C B A ,,所对的得边长,若B aC B A c b a sin 3)sin sin )(sin (=-+++,则=C ．A15．在△ABC 中,tanB=1,tanC=2,b=100,则a =______.16．在△ABC 中,BC 边上的中线长为m a ,用三边a 、b 、c 表示m a ,其公式是__________. 17．若 a 、b 、c 为△ABC 的三边,其面积S △ABC =123,bc =48,b －c =2,则a=_________. 三．解答题共32分18．10分已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤3, 且BC AB BC AB 与,6=⋅的夹角为θ．Ⅰ求θ的取值范围；Ⅱ求函数θθθθθ22cos 3cos sin 2sin )(++=f 的最值及相应的θ的值．19．10分 某市现有自市中心O 通往正东方向和北偏西30°方向的两条主要公路,为了解决该市交通拥挤问题,市政府决定修建一条环城公路,分别在正东方向和北偏西30°方向的两条主要公路上选取A 、B 两点,使环城公路在A 、B 间为直线段,要求AB 路段与市中心O 的距离为10km ,且使A 、B 间距离|AB |最小,请你确定A 、B 两点的最佳位置.20．12分已知向量错误!＝cos 错误!x ,sin 错误!x ,错误!＝cos 错误!,－sin 错误!,其中x ∈0,错误!1求错误!·错误!及|错误!＋错误!|；2若fx ＝错误!·错误!－2λ|错误!＋错误!|的最小值为－错误!,求λ的值选择题答案见题目.参考答案13、4λ<且94λ≠-14．60ο15．605 16．222)(221a c b -+17．a =213或237.18．解：Ⅰ,6cos ||||=⋅=⋅θBC AB BC AB ① ,sin ||||21θBC AB S ⋅=② ②÷①得：,tan 3,tan 216θθ==S S 由3≤S ≤3,得,3tan 33≤≤θ-----2分 A B 30°,1tan 33≤≤θ ∴ ]4,6[ππθ∈．--------------------------------------5分 Ⅱθθθθθ22cos 3cos sin 2sin )(++=f ＝２θθ2cos 2sin ++＝)42sin(22πθ++．]43,127[42πππθ∈+．--------------------------------8分当6,12742πθππθ==+时,2325)(max +=θf ； 当4,4342πθππθ==+时,3)(min =θf ．------------------------------------------10分19．作OC ⊥AB 于C ,并设∠AOC ＝α,于是|AB |＝|AC |＋|BC |＝10tan α＋10tan 120°－α ＝10错误!＝错误! ＝错误! ＝错误!当cos 2α－120°＝1,即2α－120°＝0°,也即α＝60°时, |AB |最小,可求得,此时|OA |＝|OB |＝20km 满足条件. 20、1错误!·错误!＝cos 错误!xcos 错误!－sin 错误!xsin 错误!＝cos 2x ,|错误!＋错误!|＝错误!＝2cosx2fx ＝错误!·错误!－2λ|错误!＋错误!|＝cos 2x －4λcosx ＝2cos2x －1－4λcosx ＝2cosx －λ2－2λ2－1注意到x ∈0,错误!,故cosx ∈0,1,若λ＜0,当cosx ＝0时fx 取最小值－1.不合条件,舍去.若0≤λ≤1,当cosx ＝λ时,fx 取最小值－2λ2－1,令－2λ2－1＝－错误!且0≤λ≤1,解得λ＝错误!, 若λ＞1,当cosx ＝1时,fx 取最小值1－4λ, 令1－4λ＝－错误!且λ＞1,无解综上：λ＝错误!为所求.A OB 30° Cα。
(完整版)平面向量单元测试卷含答案
平面向量单元达标试卷一、选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的) 1．化简BC AC AB --等于( ) A ．0B ．2BCC ．BC 2-D ．AC 22．已知四边形ABCD 是菱形，有下列四个等式：①BC AB =②||||BC AB =③||||BC AD CD AB +=-④||||BC AB BC AB -=+，其中正确等式的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．13．如图，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD ＝( )A ．BA BC 21+- B ．BA BC 21-- C ．BA BC 21-D ．BA BC 21+4．已知向量a 、b ，且b a 2+=MN ，b a 65+-=NQ ，b a 27-=QR ，则一定共线的三点是( )A ．M 、N 、QB ．M 、N 、RC ．N 、Q 、RD ．M 、Q 、R5．下列各题中，向量a 与b 共线的是( )A ．a ＝e 1＋e 2，b ＝e 1－e 2B ．2121e e a +=，2121e e b += C ．a ＝e 1，b ＝－e 2D ．2110131e e a -=，215132e e b +-=二、填空题6．一飞机从甲地按南偏东15°的方向飞行了2000千米到达乙地，再从乙地按北偏西75°的方向飞行2000千米到达丙地，则丙地相对于甲地的位置是________.7．化简=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-)76(4131)34(32b a b b a ________. 8．已知数轴上三点A 、B 、C ，其中A 、B 的坐标分别为－3、6，且｜CB ｜＝2，则｜AB ｜＝________，数轴上点C 的坐标为________．9．已知2a ＋b ＝3c ，3a －b ＝2c ，则a 与b 的关系是________．三、解答题10．已知向量a、b，求作a＋b，a－b．(1)(2)(3)(4)11．如图所示，D、E是△ABC中AB、AC边的中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知BC＝a ，BD＝b．试用a、b表示DE、CE和MN．12．已知梯形ABCD中，AB∥DC，设E和F分别为对角线AC和BD的中点，求证EF 平行于梯形的底边．单元达标1．C 2．C 3．A 4．B 5．D6．丙地在甲地南偏西45°方向上，且距甲地2000千米． 7．b a 181135- 8．9，4或8 9．a ＝b10．图略11．由三角形中位线定理，知a 2121==BC DE ，b a +-=++=DE BD CB CE b a a +-=+2121．b a a -+-=++=++=21412121BC DB ED BN DB MD MN 即b a -=41MN ．12．证：a =AB ，b =BC ，c =CD ，d =DA ，则a ＋b ＋c ＋d ＝0，∵DC AB // 故可设c ＝m a (m 为实数且m ≠－1)，又BF AB EA EF ++=，但2121==CA EA )(21)(d c +=+DA CD ，)(21)(2121c b +=+==CD BC BD BF 故++=)(21d c EF a ＋21(b ＋c )＝21(a ＋b ＋c +d )＋21(a ＋c )＝21(a ＋c )＝21(m ＋1)a ，所以AB EF //，又因为EF 与AB 没有公共点，所以EF ∥AB ．。
（完整版）《平面向量》测试题及答案
（完整版）《平面向量》测试题及答案《平面向量》测试题一、选择题1.若三点P （1，1），A （2，-4），B （x,-9）共线，则（）A.x=-1B.x=3C.x=29D.x=512.与向量a=(-5,4)平行的向量是（）A.（-5k,4k ）B.(-k 5,-k 4)C.(-10,2)D.(5k,4k) 3.若点P 分所成的比为43，则A 分所成的比是（）A.73B. 37C.- 37D.-73 4.已知向量a 、b ，a ·b=-40，|a|=10,|b|=8，则向量a 与b 的夹角为（） A.60° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|=32041-,|a|=4,|b|=5，则向量a ·b=（） A.103B.-103C.102D.106．(浙江)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A.? ????79，73B.? ????－73，－79C.? ????73，79D.? ????－79，－737.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量（a+x ）·b 与b 垂直，则x 的值为（） A.323B.233C.2D.-52 8.设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（） A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,-21) 9.设四边形ABCD 中，有DC =21，且||=|BC |，则这个四边形是（） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形10.将y=x+2的图像C 按a=(6,-2)平移后得C ′的解析式为（）A.y=x+10B.y=x-6C.y=x+6D.y=x-1011.将函数y=x 2+4x+5的图像按向量a 经过一次平移后，得到y=x 2的图像，则a 等于（） A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1)12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是（） A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空题13.设向量a=(2,-1)，向量b 与a 共线且b 与a 同向，b 的模为25，则b= 。
平面向量 单元测试(含答案)
《平面向量》一、选择题1．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若OC e DC e BC 则213,5===（ ）A ．)35(2121e e +B ．)35(2121e e -C ．)53(2112e e - D ．)35(2112e e - 2．化简)]24()82(21[31b a b a --+的结果是（ ）A ．b a -2B ．a b -2C ．a b -D ．b a -3．对于菱形ABCD ，给出下列各式： ①BC AB =②||||BC AB =③||||BC AD CD AB +=- ④||4||||22AB BD AC =+ 2其中正确的个数为 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4 ABCD 中，设d BD c AC b AD a AB ====,,,，则下列等式中不正确的是（ ）A ．c b a =+B ．d b a =-C ．d a b =-D ．b a c =-5．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是（ ）A ．||||||b a b a -=-B ．||||b a b a -=+C ．||||||b a b a -=+D ．||||||b a b a +=+6．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个点的坐标为 （ ） A ．（1，5）或（5，－5） B ．（1，5）或（－3，－5） C ．（5，－5）或（－3，－5） D ．（1，5）或（－3，－5）或（5，－5） 7．下列各组向量中：①)2,1(1-=e )7,5(2=e ②)5,3(1=e )10,6(2=e ③)3,2(1-=e )43,21(2-=e 其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ）A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③ 8．与向量)5,12(=d 平行的单位向量为（ ）A ．)5,1312(B ．)135,1312(--C ．)135,1312(或)135,1312(--D ．)135,1312(±±9．若32041||-=-b a ，5||,4||==b a ，则b a 与的数量积为（ ）A ．103B ．－103C ．102D ．1010．若将向量)1,2(=a 围绕原点按逆时针旋转4π得到向量b ,则b 的坐标为( ）A ．)223,22(--B ．)223,22(C ．)22,223(-D ．)22,223(-11．设k ∈R ，下列向量中，与向量)1,1(-=Q 一定不平行的向量是 （ ）A ．),(k k b =B ．),(k k c --=C ．)1,1(22++=k k dD ．)1,1(22--=k k e12．已知12||,10||==b a ，且36)51)(3(-=b a ，则b a 与的夹角为（ ）A ．60°B ．120°C ．135°D ．150°二、填空题13．非零向量||||||,b a b a b a +==满足，则b a ,的夹角为 .14．在四边形ABCD 中，若||||,,b a b a b AD a AB -=+==且,则四边形ABCD 的形状是 15．已知)2,3(=a ，)1,2(-=b ，若b a b a λλ++与平行，则λ= .16．已知e 为单位向量，||a =4，e a 与的夹角为π32，则e a 在方向上的投影为 . 三、解答题17．已知非零向量b a ,满足||||b a b a -=+,求证: b a ⊥18．已知在△ABC 中，)3,2(=AB ，),,1(k AC =且△ABC 中∠C 为直角，求k 的值.19、设21,e e 是两个不共线的向量，2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.20．已知2||=a 3||=b ,b a 与的夹角为60o,b a c 35+=,b k a d +=3,当当实数k 为何值时，⑴c ∥dc⑵d21．如图，ABCD为正方形，P是对角线DB上一点，PECF为矩形，求证：①PA=EF；②PA⊥EF.22．如图，矩形ABCD内接于半径为r的圆O，点P是圆周上任意一点，求证：PA2+PB2+PC2+PD2=8r2.参考答案一．选择题：二、填空题：13． 120°； 14． 矩形 15、 1± 16． 2- 三、解答题： 17．证：()()22ba b a -=+⇒+=+⇒-=+0222222=⇒+-=++⇒b a b b a a b b a a为非零向量又b a ,b a ⊥∴18．解：)3,1()3,2(),1(--=-=-=k k AB AC BC0)3,1(),1(0=--⋅⇒=⋅⇒⊥⇒∠∠k k BC AC BC AC RT C 为 21330312±=⇒=-+-⇒k k k19．()212121432e e e e e e CB CD BD-=+--=-=若A ，B ，D 三点共线，则BD AB 与共线，BD AB λ=∴设即212142e e e k e λλ-=+由于不共线与21e e 可得：221142e e k e e λλ-==故8,2-==k λ20.⑴若c ∥d 得59=k ⑵若d c ⊥得1429-=k21.解以D 为原点DC 为x 轴正方向建立直角坐标系 则A(0,1), C:(1,0) B:(1,1))22,22(,r r P r DP 则设= )221,22(r r PA --=∴)0,22(:),22,1(r F r E 点为 )22,122(r r EF --=∴ 22)221()22(||r r PA -+-=∴ 22)22()221(||r r EF -+-=∴故EF PA =EF PA EF PA ⊥⇒=⋅0而22.证:PA PC AC PB PD BD-=-=,22222222||2||)(||||2||)(||PA PA PC PC PA PC AC PB PD PB PD PB PD BD +-=-=+-=-=∴0,,,=⋅=⋅⇒⊥⊥PC PA PB PD PC PA PB PD AC BD 故为直径 222222||||||||||||PD PC PB PA AC BD +++=+∴即2222222844r PD PC PB PA r r =+++=+。
(完整版)平面向量综合检测、解析及答案
平面向量综合检测、分析及答案一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1. 平面向量a与b的夹角为 60°，a＝(2,0)，|b| ＝1，则 | a＋2b| ＝ ()A. 3B．2 3C．4D．12分析： | a＋2b| ＝( a＋2b) 2＝4＋4＋4＝2 3.答案： B2. 已知 |a| ＝1，|b| ＝6，a·(b －a) ＝2，则向量 a 与 b 的夹角是 ()ππA. 6B. 4ππC. 3D. 2分析：由 a·(b－a)＝2得 a·b＝2＋1＝3＝6×cos<a，b>，∴cos<a，1b>＝2，又<a，b>∈[0，π]，π∴<a，b>＝3.答案： C3.一质点遇到平面上的三个力 F1、F2、F3( 单位：牛顿 ) 的作用而处于均衡状态．已知 F1、F2 成 60°角，且 F1、F2 的大小分别为 2 和 4，则 F3 的大小为()A．2 7B．2 5C．2D．6分析：由题意得 F1＋F2＋F3＝0.答案： A4.(2009 ·福建福州模拟 ) 把一颗骰子扔掷两次，并记第一次出现的点数为 a，第二次出现的点数为b，向量 m＝ (a ，b) ，n＝(1,2) ，则向量 m与向量 n 不共线的概率为 ()15A. 12B. 12711C.12D. 12分析： m 与 n 共线的情况共有三种： m ＝(1,2) ，m ＝(2,4) ，m ＝(3,6) ，3 11故 m 与 n 不共线的概率 P ＝1－36＝12.答案： D5. 已知向量 a ＝(λ2＋6和 j ＝(0,1) ，若 a ·j ＝－ 3，3 ，λ) ，i ＝(1,0)且向量 a 与 i 的夹角为 θ，则 cos θ 的值为 ()3 3A ．－ 2 B. 2 1 1 C ．－2 D. 2答案： Buuur uuur uuur uuur)6．四边形 ABCD 中，AB · BC ＝0，且 AB ＝ DC，则四边形 ABCD 是( A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形 uuuruuuruuur分析：由AB ＝可知为平行四边形，由 AB ·BC ＝0 知∠＝DCABCDABC90°，故 ABCD 为矩形．答案： B7．设 a 与 b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－ (b －2a) 共线，则λ＝ ( )1A ．0B ．－ 21C ．－ 2D.2分析：由题意得 a ＋λb ＝－ k ( b －2a ) ∴2k ＝1,，＝－ k1∴λ＝－ 2. 答案： B8. 设向量 a ，b 知足： |a| ＝3，|b| ＝4，a ·b ＝0，以 a ，b ，a －b 的模为第2页共 8页分析：三角形的内切圆半径为 1，将圆平移，最多有 4 个公共点． 答案： B9．设 a ，b ，c 是非零向量，以下命题中正确的选项是 ( )A ．( a ·b ) ·c ＝a ·(b ·c )B ．| a －b | 2＝| a | 2－2| a || b | ＋| b | 2C ．若 | a | ＝| b | ＝| a ＋b | ，则 a 与 b 的夹角为 60°D ．若 | a | ＝| b | ＝| a －b | ，则 a 与 b 的夹角为 60°分析：A 、B 明显不正确． 由平行四边形法例可知， 若| a | ＝| b | ＝| a ＋b | ，可知 <a ，b >＝120°，故 C 不正确．答案为 D.答案： D10. 设 a 、b 、c 是单位向量，且 a ·b ＝0，则 (a －c) ·(b －c) 的最小值为()A ．－ 2B. 2－2C ．－ 1D ．1－ 2分析：( a －c ) ·(b －c ) ＝a ·b －b ·c ＋c 2－a ·c ＝1－( a ＋b ) · c ，又 a ·b＝0，| a | ＝| b | ＝1，∴|a ＋b | ＝ 2.设 a ＋b 与 c 的夹角为 θ，则上式＝ 1－2cos θ当 cos θ＝1 时( a －c ) ·(b －c ) 获得最小值 1－ 2. 答案： Duuur uuuruuur11．点 O 在△ABC 内部且知足 OA ＋2 OB ＋2 OC＝0，则 △ABC 的面积与△OBC 的面积之比为 ( )5A.4 B ．3 C ．4 D ．5uuuruuuruuur1 uuuruuur1 uuur分析：由 OA ＋2 OB ＋2OC ＝0，∴2( OB ＋ OC ) ＝4AO ，∴△ABC△OBC底边 BC 的高之比为 5 1，∴ S △ABC S △OBC ＝5 1.答案： D12．在直角 △ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，则以下等式不建立的是( )uuur2uuuruuurA ．| AC | ＝AC· AB uuur2uuuruuurB ．|BC | ＝BA · BCuuur 2uuuruuurC ．| AB | ＝AC · CDuuurD ．| CD |uuur uuuruuur uuur2 （ACgAB ）（BA gBC ） ＝uuur 2ABuuur uuur uuur分析：∵AB ·AC ＝| ACuuur uuur uuur uuur（AC gAB ）（BA gBC ）同理：uuur 2AB| 2 uuuruuur 2，故 B 建立．故 A 建立，又 BA ·BC ] ＝| BC |uuur uuurACBA＝uuur 2ABuuuruuur uuuruuur又| AC |·|BC | ＝| AB || CD |uuuruuuruuuruuur uuuruuur 2ACACuuur 2∴|CD |2 ＝uuur2，故 D 也正确．，又AC ·CD ＝| CD≠|| ，故AB AB选 C.答案： Cm13．设两个向量 a ＝( λ＋2，λ2－cos2α) 和 b ＝(m ，2＋sin α) ，此中λλ， m ，α 为实数，若 a ＝2b ，则 m 的取值范围是 ()A ．[ －6,1]B ．[4,8]C ．[ －1,1]D ．[ －1,6]＋ ＝①,分析：由 a ＝2b 知2 2m,2－2＝ ＋ ②)cos m 2sin , ＝2m －2,∴2－m ＝ cos 2 ＋2sin又 cos 2α＋2sin α＝－ (sin α－1) 2＋2∴－ 2≤cos 2 α＋2sin α≤2，即－ 2≤ λ2－m ≤2，由 λ＝2m －22 1 －2≤(2 m －2) －m ≤2，得 4≤m ≤2λ 2m －22∴＝＝2－ ∈[ －6,1] ． mm m答案： A二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上．uuur uuur uuur uuuruuuur14．在? ABCD 中， AB ＝a ，AD ＝b ，AN＝3 NC ，M 为 BC 的中点，则 MNuuur uuur分析：由 AN ＝3 NC 得 4 AN ＝3 AC ＝3( a ＋b ) ．uuuur1AM ＝a ＋2b ，uuuur 3111∴ MN ＝4( a ＋b ) －( a ＋2b ) ＝－ 4a ＋4b .1 1答案：－ 4a ＋4b711715．向量 c 与 a ＝( 2，2) ，b ＝( 2，－ 2) 的夹角相等，且 |c| ＝1，则 c ＝________.x2＋ 2＝分析：设 c ＝( x ，y ) ，由题意得：y 1,得 ＝bgcagcx= 4 , x=-455 ,y= 3 y=- 355434 3答案： ( 5，－ 5) 或( －5，5)16．已知点 G 为△ABC 的重心，过 G 作直线与 AB 、AC 两边分别交于 M 、Nuuuur uuur uuur uuur 1 1两点，且 AM ＝xAB ， AN ＝ y AC ，则 ＋ ＝________.xyuuur1 uuuruuur1 1 uuuur1 uuur1分析： AG ＝3( AB ＋ AC ) ＝3( x AM ＋y AC ) ，∵M 、N 、G 三点共线， ∴3x11 1＋3y ＝1，即 x ＋y ＝3.答案： 317. 如图，在平面斜坐标系 xOy 中， ∠xOy ＝60°，平面上任一点 P 在斜uuur OPuuur轴方向同样的单位向量 ) ，则点 P 的斜坐标为 (x ，y) ．若点 P 知足 |OP| ＝1，则点 P 在斜坐标系 xOy 中的轨迹方程是 ________．uuuruuur22122又| OP | ＝1，∴ x ＋y ＋2xy ×2＝1，即 x ＋y ＋xy ＝1. 答案： x2＋y2＋xy ＝1三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．uuur uuur uuur uuur uuur18．(10 分) 在△ ABC 中， AB · AC ＝ | AB － AC | ＝2，求|AB|2 ＋| AC|2. 解：由题意可知uuur uuuruuurABgAC 2uuur 2 uuur2＝8.2 uuur uuur uuur 得| AB | ＋| AC| AB2 ABgAC AC 4uuuruuuruuuruuur uuur19．(12 分) 如图 |OA| ＝|OB|＝1，| OC|＝3，∠AOB ＝60°，OB ⊥ OC.uuuruuuruuur设 OC ＝x OA ＋y OB，求 x 、y 的值．uuur uuur uuur解： ∵ OC ＝x OA ＋y OB uuur 2uuur uuur uuur uuur①∴ OB · OC ＝x OA · OB＋y OBuuur 2uuur uuur uuuruuurOC ＝x OA· OC ＋y OB · OC ②将①②联立得12x ＋y ＝0332×( － 2 ) x ＝3 得 x ＝－2,y ＝1π20．(12 分 ) 已知 a ，b 知足 |a| ＝3，|b| ＝ 1，a 与 b 的夹角为 3 ，求 2a＋3b 与 a －b 的夹角的余弦值．1 3解： ∵a ·b ＝| a || b |cos< a ，b >＝3×1× 2＝2又(2 a ＋3b ) 2＝4a 2＋9b 2＋12a ·b ＝36＋9＋18＝63， ∴|2 a ＋3b | ＝3 7.同理可得 | a －b | ＝ 7 ∵ (2 a ＋3b ) ·(a －b ) ＝2a 2＋a ·b －3b 23 33 ＝18＋2－3＝ 2＋ · －333b )211(2 a( a b ) ＝∴cos 〈 (2 a ＋3b ) ，( a －b ) 〉＝a －b | ＝ .|2 a ＋3b ||37·7 1421．(12 分) (2009 ·上海 ) 已知 △ABC 的角 A 、B 、C 所对的边分别为 a ，b ，c ，设 m ＝(a ，b) ，n ＝(sinB ，sinA) ，p ＝(b －2，a －2)(1) 若 m ∥n ，求证 △ABC 为等腰三角形；π(2) 若 m ⊥p ，边长 c ＝2，∠C ＝ 3 ，求 △ABC 的面积． 解： (1) 证明：∵ m ∥n ，∴ a sin A ＝b sin B .由正弦定理得 a 2＝b 2，a ＝b ，∴△ ABC 为等腰三角形． (2) ∵m ⊥p ，∴ m ·p ＝0. 即 a ( b －2) ＋b ( a －2) ＝0 ∴a ＋b ＝ab由余弦定理得 4＝a 2＋b 2－ab ＝( a ＋b ) 2－3ab 即( ab )2－3ab －4＝0，∴ ab ＝4 或 ab ＝－ 1( 舍)11 π∴S △ABC ＝2ab sin C ＝2×4×sin 3 ＝ 3.uuur uuuruuur22．(12 分) 已知 OA ＝(3 ，－ 4) ， OB ＝ (6 ，－ 3) ， OC＝(5 －m ，－ 3－m)．(1) 若点 A 、B 、C 不可以组成三角形，务实数 m 知足的条件；(2) 若△ABC 为直角三角形，务实数 m 的值．解： (1) uuur uuur∵ OA ＝(3 ，－ 4) ， OB ＝(6 ，－ 3)uuurOC ＝(5 －m ，－3－m ) ．若 A 、B 、C 三点不可以组成三角形， 则这三点共线，uuur∵ AB ＝(3,1)uuur1AC ＝(2 －m,1－m ) ，∴ 3(1 － m ) ＝2－m ，得 m ＝2(2) ∵△ ABC 为直角三角形．uuuruuur7若∠ A ＝90°，则 AB · AC ＝0，∴ 3(2 － m ) ＋(1 －m ) ＝0，得 m ＝4.uuuruuuruuur若∠ B ＝90°，则 AB · BC ＝0，又 BC ＝( －1－m ，－ m )3∴ 3( －1－m ) ＋( －m ) ＝0 得 m ＝－ 4.uuur uuur若∠ C ＝90°，则 BC ⊥ AC .1± 5∴(2 －m ) ·( － 1－m ) ＋(1 －m ) ·( －m ) ＝0，得 m ＝2731±5综上得 m＝4或 m＝－4或 m＝223．(12 分) 已知 a＝(1,2) ，b＝( －2,1) ，k、t 为正实数， x＝a＋(t2 ＋1 11)b ，y＝－k a＋t b(1)若 x⊥y，求 k 的最大值；(2)能否存在 k、t ，使 x∥y？若存在，求出 k 的取值范围，若不存在，说明原因．解： x＝a＋( t 2＋1) b＝(1,2)＋( t 2＋1)(－2,1)＝(－2t2－1，t2＋3)1111y＝－k a＋t b＝－k(1,2)＋t(－2,1)1 2 2 1＝( －k－t，－k＋t )2 1 22 2 1(1) 若x⊥y，则x·y＝ 0，即：( －2t－1) ·( －k－t ) ＋( t＋3)( －k＋t )＝0t111整理得：k＝t2＋1＝1≤2(当且仅当t＝t即t＝1时“＝”建立)故k maxt＋t1＝2.(2)假定存在正实数 k、t ，使 x∥y，则221212( －2t－1)(－k＋t ) －( t＋3)( －k－t ) ＝0t 2＋113整理得k＋t＝0，即t＋t ＋k＝0∵k、t 为正实数，故知足上式的k、t 不存在．即不存在这样的正实数k、t 使 x∥y.。
平面向量单元测试题(含答案)
平面向量单元测试题(含答案) 平面向量单元检测题学校：______ 姓名：______ 学号：______ 成绩：______一、选择题（每小题5分，共60分）1.若ABCD是正方形，E是CD的中点，且AB=a，AD=b，则BE的长度为（）A。
b-1/2a。
B。
a-1/2b。
C。
b+1/2a。
D。
a+1/2b2.下列命题中，假命题是（）A。
若a-b=0，则a=bB。
若ab=0，则a=0或b=0C。
若k∈R，ka=0，则k=0或a=0D。
若a，b都是单位向量，则XXX成立3.设i，j是互相垂直的单位向量，向量a=(m+1)i-3j，b=i+(m-1)j，(a+b)⊥(a-b)，则实数m为（）A。
-2.B。
2.C。
-1/2.D。
不存在4.已知非零向量a⊥b，则下列各式正确的是（）A。
a+b=a-b。
B。
a+b=a+b。
C。
a-b=a-b。
D。
a+b=a-b5.在边长为1的等边三角形ABC中，设BC=a，CA=b，AB=c，则a·b+b·c+c·a的值为（）A。
3/2.B。
-3/2.C。
1/2.D。
06.在△OAB中，OA=(2cosα，2sinα)，O B=(5cosβ，5sinβ)，若OA·OB=-5，则△OAB的面积为（）A。
3.B。
3/2.C。
53.D。
53/27.在四边形ABCD中，AB=a+2b，BC=-4a-b，CD=-5a-3b，则四边形ABCD的形状是（）A。
长方形。
B。
平行四边形。
C。
菱形。
D。
梯形8.把函数y=cos2x+3的图象沿向量a平移后得到函数y=sin(2x-π/6)，则向量a的坐标是（）A。
(π/3，-3)。
B。
(π/6，3)。
C。
(π/12，-3)。
D。
(-π/12，3)9.若点F1、F2为椭圆x^2/4+y^2/9=1的两个焦点，P为椭圆上的点，当△F1PF2的面积为1时，PF·PF的值为（）A。
4.B。
1.C。
3.D。
第二章平面向量单元综合测试卷(带答案新人教A版必修4 )
第二章平面向量单元综合测试卷（带答案新人教A版必修4 ）第二章平面向量单元综合测试卷（带答案新人教A版必修4 ） (120分钟 150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.(2013•三明高一检测)化简 - + - 得( ) A. B. C. D.0 2.已知a，b都是单位向量，则下列结论正确的是( ) A.a•b=1 B.a2=b2C.a∥b a=bD.a•b=0 3.已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向量 =(1，1)，n=(1，-1)，且n• =2，则n• 等于( ) A.-2 B.2 C.0 D.2或-2 4.点C在线段AB上，且 = ，若 =λ，则λ等于( ) A. B. C.- D.- 5.若a=(1，2)，b=(-3，0)，(2a+b)∥(a-mb)，则m= ( ) A.- B. C.2 D.-2 6.(2013•牡丹江高一检测)已知a+b=(1，2)，c=(-3，-4)，且b⊥c，则a在c方向上的投影是( ) A. B.-11C.-D.11 7.(2013•兰州高一检测)若|a|=1，|b|=2，c=a+b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 8.已知△ABC满足2= • + • + • ，则△ABC是( ) A.等边三角形B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形9.(2013•西城高一检测)在矩形ABCD中，AB= ，BC=1，E是CD上一点，且• =1，则• 的值为( ) A.3 B.2 C. D. 10.已知向量a=(1，2)，b=(2，-3).若向量c满足(c+a)∥b，c⊥(a+b)，则c= ( ) A. B. C. D.11.(2013•六安高一检测)△ABC中，AB边上的高为CD，若 =a， =b，a•b=0，|a|=1，|b|=2，则 = ( ) A. a- b B. a- b C. a- b D. a- b 12.在△ABC所在平面内有一点P，如果 + + = ，则△PAB与△ABC 的面积之比是( ) A. B. C. D. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上) 13.已知a=(2，4)，b=(-1，-3)，则|3a+2b|= . 14.已知向量a=(1， )，b=(-2，2 )，则a与b的夹角是. 15.(2013•江西高考)设e1，e2为单位向量.且e1，e2的夹角为，若a=e1+3e2，b=2e1，则向量a在b 方向上的射影为. 16.(2013•武汉高一检测)下列命题中：①a∥b 存在唯一的实数λ∈R，使得b=λa；②e为单位向量，且a∥e，则a=±|a|e；③|a•a•a|=|a|3；④a与b共线，b与c共线，则a与c共线；⑤若a•b=b•c且b≠0，则a=c. 其中正确命题的序号是. 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA=∠DAB=90°，CD=DA= AB. 求证：AC⊥BC. 18.(12分)(2013•无锡高一检测)设 =(2，-1)， =(3，0)， =(m，3). (1)当m=8时，将用和表示. (2)若A，B，C三点能构成三角形，求实数m应满足的条件. 19.(12分)在边长为1的等边三角形ABC中，设=2 ， =3 . (1)用向量，作为基底表示向量 . (2)求• . 20.(12分)(2013•唐山高一检测)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a=(1，2). (1)若|b|=2 ，且a∥b，求b的坐标. (2)若|c|= ，且2a+c与4a-3c垂直，求a与c的夹角θ. 21.(12分)(能力挑战题)已知a=(1，cosx)，b=（，sinx），x∈(0，π). (1)若a∥b，求的值. (2)若a⊥b，求sinx-cosx的值. 22.(12分)(能力挑战题)已知向量a，b满足|a|=|b|=1， |ka+b|= |a-kb|(k>0，k∈R). (1)求a•b 关于k的解析式f(k). (2)若a∥b，求实数k的值. (3)求向量a与b夹角的最大值.答案解析 1.【解析】选D. - + - = + - = - =0. 2.【解析】选B.因为a，b都是单位向量，所以|a|=|b|=1，所以|a|2=|b|2，即a2=b2.3.【解析】选B.因为n• =n•( - ) =n• -n• ，又n• =(1，-1)•(1，1)=1-1=0，所以n• =n• =2.4.【解析】选C.由 = 知，| |∶| |=2∶3，且方向相反(如图所示)，所以 =- ，所以λ=- .5.【解析】选A.因为a=(1，2)，b=(-3，0)，所以2a+b=(-1，4)，a-mb=(1+3m，2)，又因为(2a+b)∥(a-mb)，所以(-1)×2=4(1+3m)，解得m=- . 【拓展提升】证明共线(或平行)问题的主要依据 (1)对于向量a，b，若存在实数λ，使得b=λa，则向量a与b共线(平行). (2)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，若x1y2-x2y1=0，则向量a∥b. (3)对于向量a，b，若|a•b|=|a|•|b|，则a与b共线. 向量平行的等价条件有两种形式，其一是共线定理，其二是共线定理的坐标形式.其中，共线定理的坐标形式更具有普遍性，不必考虑向量是否为零和引入参数的存在性及唯一性. 6.【解析】选C.a•c=[(a+b)-b]•c=(a+b)•c-b•c. 因为a+b=(1，2)，c=(-3，-4)，且b⊥c，所以a•c=(a+b)•c =(1，2)•(-3，-4)=1×(-3)+2×(-4)=-11，所以a在c方向上的投影是 = =- . 7.【解析】选C.因为c=a+b，c⊥a，所以c•a=(a+b)•a=a2+b•a=0，所以a•b=-a2=-|a|2=-12=-1，设向量a与b的夹角为θ，则cosθ= = =- ，又0°≤θ≤180°，所以θ=120°. 8.【解析】选C.因为= • + • + • ，所以2= • + • + • ，所以•( - - )= • ，所以•( - )= • ，所以• =0，所以⊥ ，所以△ABC是直角三角形. 【变式备选】在四边形ABCD中， =a+2b， =-4a-b， =-5a-3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为( ) A.平行四边形 B.矩形 C.梯形 D.菱形【解析】选C.因为 = + + =-8a-2b=2 ，所以四边形ABCD为梯形. 9.【解析】选B.如图所示，以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系. A(0，0)，B( ，0)，C( ，1)，设点E 坐标为(x，1)，则 =(x，1)， =( ，0)，所以• =(x，1)•( ，0)= x=1，x= ，所以• = •( ，1)= × +1×1=2. 10.【解析】选D.设c=(x，y)，则c+a=(x+1，y+2)， a+b=(1，2)+(2，-3)= ，因为(c+a)∥b，c⊥(a+b)，所以即解得所以c= . 【误区警示】解答本题易混淆向量平行和垂直的坐标表示，导致计算错误. 11.【解析】选D.因为a•b=0，所以⊥ ，所以AB= = ，又因为CD⊥AB，所以△ACD∽△ABC，所以 = ，所以AD= = = ，所以 = = = (a-b)= a- b. 12.【解题指南】先对 + + = 进行变形，分析点P所在的位置，然后结合三角形面积公式分析△PAB与△ABC的面积的关系. 【解析】选A.因为 + + = = - ，所以2 + =0， =-2 =2 ，所以点P是线段AC的三等分点(如图所示). 所以△PAB与△ABC的面积之比是 . 13.【解析】因为3a+2b=3(2，4)+2(-1，-3) =(6，12)+(-2，-6)=(4，6)，所以|3a+2b|= =2 . 答案：2 14.【解析】设a与b的夹角为θ，a•b=(1，)•(-2，2 )=1×(-2)+ ×2 =4， |a|= =2，|b|= =4，所以cosθ= = = ，又0°≤θ≤180°，所以θ=60°. 答案：60° 15.【解析】设a，b的夹角为θ，则向量a在b方向上的射影为|a|cosθ=|a| = ，而a•b=(e1+3e2)•2e1=2+6cos =5，|b|=2，所以所求射影为 . 答案： 16.【解析】①错误.a∥b且a≠0 存在唯一的实数λ∈R，使得b=λa；②正确.e为单位向量，且a∥e，则a=±|a|e；③正确. = = = ；④错误.当b=0时，a与b共线，b与c共线，则a与c不一定共线；⑤错误.只要a，c在b方向上的投影相等，就有a•b=b•c. 答案：②③17.【证明】以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系如图，设AD=1，则A(0，0)，B(2，0)， C(1，1)，D(0，1)，所以 =(-1，1)， =(1，1)，• =-1×1+1×1=0，所以AC⊥BC. 18.【解析】(1)当m=8时， =(8，3)，设 =x +y ，则 (8，3)=x(2，-1)+y(3，0)=(2x+3y，-x)，所以所以所以 =-3 + . (2)因为A，B，C三点能构成三角形，所以，不共线， =(1，1)， =(m-2，4)，所以1×4-1×(m-2)≠0，所以m≠6. 19.【解析】(1) = + =- + . (2) • = •(- + ) = •(- )+ • =| |•| |cos150°+ | |•| |cos30° = ×1× + × ×1× =- . 20.【解析】(1)设b=(x，y)，因为a∥b，所以y=2x；① 又因为|b|=2 ，所以x2+y2=20；② 由①②联立，解得b=(2，4)或b=(-2，-4). (2)由已知(2a+c)⊥(4a-3c)，(2a+c)•(4a-3c)=8a2-3c2-2a•c=0，又|a|= ，|c|= ，解得a•c=5，所以cosθ= = ，θ∈[0，π]，所以a与c的夹角θ= . 21.【解题指南】一方面要正确利用向量平行与垂直的坐标表示，另一方面要注意同角三角函数关系的应用. 【解析】(1)因为a∥b，所以sinx= cosx⇒tanx= ，所以 = = =-2. (2)因为a⊥b，所以 +sinxcosx=0⇒sinxcosx=- ，所以(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx= . 又因为x∈(0，π)且sinxcosx<0，所以x∈ ⇒sinx-cosx>0，所以sinx-cosx= . 22.【解题指南】(1)先利用a2=|a|2，将已知条件两边平方，然后根据数量积定义和运算律化简、变形求f . (2)先根据k>0和a∥b，判断a与b同向，再利用数量积的定义列方程求k的值. (3)先用求向量a与b夹角的公式表示出夹角的余弦值，再利用配方法求余弦值的最小值，最后根据余弦函数的单调性求夹角的最大值. 【解析】(1)由已知|ka+b|= |a-kb| 有|ka+b|2=( |a-kb|)2，k2a2+2ka•b+b2=3a2-6ka•b+3k2b2. 又因为|a|=|b|=1，得8ka•b=2k2+2，所以a•b= 即f(k)= (k>0). (2)因为a∥b，k>0，所以a•b= >0，则a与b同向. 因为|a|=|b|=1，所以a•b=1，即 =1，整理得k2-4k+1=0，所以k=2± ，所以当k=2± 时，a∥b. (3)设a，b的夹角为θ，则cosθ= =a•b = = = .当 = ，即k=1时，cosθ取最小值，又0≤θ≤π，所以θ= . 即向量a与b夹角的最大值为 .。
(完整版)平面向量单元测试题及答案
平面向量单元测试题2一，选择题：1，以下说法中错误的选项是（）A ．零向量没有方向B．零向量与任何向量平行C．零向量的长度为零D．零向量的方向是随意的2 ，以下命题正确的选项是（）A. 若a、b都是单位向量，则 a ＝ bB.若 AB = DC ,则A、B、C、D四点组成平行四边形C.若两向量 a 、b相等，则它们是始点、终点都同样的向量D.AB 与 BA 是两平行向量3，以下命题正确的选项是（）A 、若a∥b，且b∥c，则a∥c。
B、两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不一样。
C、向量AB的长度与向量BA 的长度相等,D 、若非零向量AB 与 CD 是共线向量，则 A 、 B、 C、 D 四点共线。
4，已知向量a m,1，若， a =2，则m（）A ．1 B.3 C. 1 D.35，若a =（x1，y1）， b=（ x2， y2）， a ∥ b，则有（），且A ，x1y2+x2y1=0，B ，x1y2― x2 y1=0，C，x1x2+y1y2=0，D，x1x2―y1y2=0，6，若a =（x1，y1），b =（x2，y2），，且 a ⊥ b ，则有（）A ，x1y2+x2y1=0，B ，x1y2― x2 y1=0，C，x1x2+y1y2=0，D，x1x2―y1y2=0，7，在ABC 中，若BA BC AC ，则ABC 必定是（）1A ．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形 D ．不可以确立r r r uur r r r r r r r r8，已知向量a, b, c知足| a |1,| b |2, c a b, c a ，则 a与b 的夹角等于（）A ．1200B600C300D90o二，填空题：（ 5 分× 4=20 分）r rb =1， 3a2b =3，则3a b9。
已知向量a、b知足a ==r r r r10，已知向量a＝（ 4， 2），向量b＝（ x ，3），且a//b ,则x＝11， . 已知三点 A(1,0),B(0,1),C(2,5),求 cos ∠ BAC =12， .把函数y x24x7 的图像按向量 a 经过一次平移此后获得y x2的图像，则平移向量 a 是（用坐标表示）三，解答题：（ 10 分×6 = 60分）13，设P1(4,3), P2 (2,6), 且P在 P1 P2的延伸线上，使P1P 2 PP 2 ,，则求点P 的坐标14，已知两向量a (1r3,,1 3), ,b ( 1, 1), 求a与 b 所成角的大小，15，已知向量 a =（6，2），b=（－3，k），当k为什么值时，有1），a ∥b?2），a ⊥b?3a与 b 所成角θ是钝角？（（（），216，设点 A （ 2， 2）， B（ 5， 4），O 为原点，点P知足OP = OA + t AB，（ t 为实数）；（ 1），当点 P 在 x 轴上时，务实数t 的值；（ 2），四边形 OABP 可否是平行四边形？假如，务实数t 的值；若否，说明原因，17，已知向量OA =（3,－4）, OB =（6,－3）, OC =（5－m,－3－m）,（ 1）若点 A 、 B 、C 能组成三角形，务实数 m 应知足的条件；（ 2）若△ ABC 为直角三角形，且∠ A 为直角，务实数 m 的值．318，已知向量m(1,1), 向量 n 与向量m 的夹角为3, 且 m n1 . 4（ 1）求向量n；（2）设向量a(1,0),向量 b(cos x,, sin x) ，此中x R ，若 n a0 ，试求| n b |的取值范围.平面向量单元测试题2答案：一，选择题：ADCD BCCA二，填空题：9 ， 23；10，6；11，21312 ，(2, 3) 13三，解答题：13，解法一：设分点P（x,y），∵P1P =―2 PP2，=―2∴(x ―4,y+3)= ―2( ―2― x,6 ― y),x― 4=2x+4, y+3=2y ―12, ∴ x=―8,y=15, ∴ P(―8,15 )4解法二：设分点 P （x,y ）， ∵ P 1P =―2 PP 2 ， =―2∴ x=4 2( 2)=―8, 1 2y=3 2 6 =15,∴ P(―8,15 )1 2解法三：设分点 P （x,y ）， ∵ P 1 P2 PP 2 ,∴ ―2=4x , x= ― 8,26= 3y , y=15,∴ P(―8,15 )214，解：a=2 2 ,b= 2＜a ,b ＞=― 1, ∴＜ a , b ＞ = 1200，, cos215 ，解：（ 1）， k= － 1;(2), k=9;(3),k ＜ 9, k ≠ －116 ，解：（ 1），设点 P （ x ， 0），AB =(3,2),∵ OP = OA + t AB ， ∴ (x,0)=(2,2)+t(3,2),则由 , x 2 3t∴ 即x10 2 2t, t1,(2),设点 P （ x,y ），假定四边形 OABP 是平行四边形，则有 OA ∥BP ,OP ∥ABy=x2y=3x―1,∴ 即x2 ①,y3又由 OP =OA + t AB ，(x,y)=(2,2)+ t(3,2),得 ∴ 即x3 2t ②,y2 2tt 43， 矛盾，∴假定是错误的，由①代入②得：t52∴四边形 OABP 不是平行四边形。
(完整版)平面向量综合试题(含答案)
BACD平面向量一.选择题: 1. 在平面上，已知点A(2，1)，B(0，2)，C(－2，1)，O(0，0)．给出下面的结论：①BCCAAB=-②OBOCOA=+③OAOBAC2-=其中正确．．结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．0个2．下列命题正确的是（）A．向量AB的长度与向量BA的长度相等B．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同C．若非零向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点共线D．若→a→b→c，则→a→c3. 若向量= (1,1), = (1,－1), =(－1,2),则等于( )A.+B.C.D.+4．若，且与也互相垂直，则实数的值为( )A． B.6 C. D.35．已知=(2,3) , =(,7) ,则在上的正射影的数量为（）A. B. C. D. 6．己知(2,－1) .(0,5) 且点P在的延长线上,, 则P点坐标为( )A.(－2,11)B.(C.(,3)D.(2,－7)7．设，a b是非零向量，若函数()()()f x x x=+-a b a b的图象是一条直线，则必有（）A．⊥a b B．∥a b C．||||=a b D．||||≠a b8．已知D点与ABC三点构成平行四边形，且A（－2,1），B（－1,3），C（3,4），则D点坐标为（）A.（2,2）B.（4,6）C. （－6,0）D.（2,2）或（－6,0）或（4,6）9.在直角ABC∆中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（A）2AC AC AB=⋅（B）2BC BA BC=⋅（C）2AB AC CD=⋅（D）22()()AC AB BA BCCDAB⋅⨯⋅=10．设两个向量22(2,cos)aλλα=+-和(,sin),2mb mα=+其中,,mλα为实数.若2,a b=则mλ的取值范围是 ( ) A.[6,1]- B.[4,8] C.(,1]-∞ D.[1,6]-10．已知P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1,1)＋n(－1,1)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于()A．{(1,1)} B．{(－1,1)} C．{(1,0)} D．{(0,1)}二. 填空题:11．若向量a b，的夹角为60，1a b==，则()a a b-=．12．向量2411()()，，，a=b=．若向量()λ⊥b a+b，则实数λ的值是．13．向量a 、b=1，a 3-=3，则a +3 =14． 如图，在ABC ∆中，120,2,1,BAC AB AC D ∠=︒==是边BC 上一点，2,DC BD =则AD BC =__________.15．如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为．三. 解答题：16.设两个非零向量e 1、e 2不共线.如果AB =e 1+e 2,=BC 2e 1+8e 2,CD =3(e 1-e 2) ⑴求证:A 、B 、D 共线; ⑵试确定实数k,使k e 1+e 2和e 1+k e 2共线.17. 已知△ABC 中,A (2,4),B (-1,-2),C (4,3),BC 边上的高为AD .⑴求证:AB ⊥AC ;⑵求点D 与向量AD 的坐标.17．(10分)已知sin(α＋π2)＝－55，α∈(0，π)．(1)求sin (α－π2)－cos (3π2＋α)sin (π－α)＋cos (3π＋α)的值；(2)求cos(2α－3π4)的值．18．已知矩形相邻的两个顶点是A （－1，3），B （－2，4），若它的对角线交点在x 轴上，求另两个顶点的坐标．19. 已知△ABC 顶点的直角坐标分别为)0,()0,0()4,3(c C B A 、、. （1）若5=c ，求sin ∠A 的值;（2）若∠A 是钝角，求c 的取值范围.20．已知向量(sin ,1),(1,cos ),22a b ππθθθ==-<<．(1)若a b ⊥，求θ； (2)求a b +的最大值．21.设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈，函数()()f x a a b =⋅+.（Ⅰ）求函数()f x 的最大值与最小正周期； （Ⅱ）求使不等式3()2f x ≥成立的x 的集合.22．(12分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255． (1)求cos(α－β)的值； (2)若0<α<π2，－π2<β<0，且sin β＝－513，求sin α．平面向量参考答案一、选择题：1-5:BABBC 6.A 7. A 【解析】222()()()(||||)f x x x x x =+-=-+-+a b a b a b a b a b ,若函数()f x 的图象是一条直线，即其二次项系数为0， ∴a b =0， ⇒⊥a b.8.D 9. C.【分析】： 2()00AC AC AB AC AC AB AC BC =⋅⇔⋅-=⇔⋅=，A 是正确的，同理B 也正确，对于D 答案可变形为2222CD AB AC BC ⋅=⋅，通过等积变换判断为正确.10. A 【分析】由22(2,cos )a λλα=+-,(,sin ),2m b m α=+2,a b =可得2222cos 2sin m m λλαα+=⎧⎨-=+⎩，设k m λ=代入方程组可得22222cos 2sin km m k m m αα+=⎧⎨-=+⎩消去m 化简得2222cos 2sin 22k k k αα⎛⎫-=+ ⎪--⎝⎭，再化简得22422cos 2sin 022k k αα⎛⎫+-+-= ⎪--⎝⎭再令12t k =-代入上式得222(sin 1)(16182)0t t α-+++=可得2(16182)[0,4]t t -++∈解不等式得1[1,]8t ∈--因而11128k -≤≤--解得61k -≤≤.故选A 10. A二、填空题： 11. 21【解析】()2211cos60122a a b a a b a a b -=-⋅=-⋅︒=-=。
平面向量及其应用单元测试题+答案
一、多选题1．已知非零平面向量a ，b ,c ,则（ ）A ．存在唯一的实数对,m n ，使c ma nb =+B ．若0⋅=⋅=a b a c ，则//b cC ．若////a b c ，则a b c a b c =++++D ．若0a b ⋅=，则a b a b +=- 2．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知cos cos 2B bC a c=-，4ABC S =△，且b = ）A ．1cos 2B =B ．cos B =C ．a c +=D ．a c +=3．在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，已知A ＝3π，a ＝7，则以下判断正确的是（ ）A ．△ABC 的外接圆面积是493π； B ．b cos C ＋c cos B ＝7；C ．b ＋c 可能等于16；D ．作A 关于BC 的对称点A ′，则|AA ′|的最大值是4．已知在平面直角坐标系中，点()10,1P ，()24,4P .当P 是线段12PP 的一个三等分点时，点P 的坐标为（ ） A ．4,23⎛⎫⎪⎝⎭B ．4,33⎛⎫⎪⎝⎭C ．()2,3D ．8,33⎛⎫ ⎪⎝⎭5．设P 是ABC 所在平面内的一点，3AB AC AP +=则（ ） A ．0PA PB += B ．0PB PC += C ．PA AB PB += D ．0PA PB PC ++=6．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）A ．10,45,70b A C ==︒=︒B ．45,48,60b c B ===︒C ．14,16,45a b A ===︒D ．7,5,80a b A ===︒ 7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，则a 边为（ ）A ．B ．C ．8D ．8．ABC 中，4a =，5b =，面积S =c =（ ）A BC D ．9．在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，则以下结论正确的是（ ） A ．BD AD AB -= B ．1()2AD AB AC =+ C ．8BA BC ⋅=D ．AB AC AB AC +=-10．在ABC 中，15a =，20b =，30A =，则cos B =（ ） A ．5-B ．23C ．23-D ．5 11．下列各组向量中，不能作为基底的是（ ） A ．()10,0e =，()21,1=e B ．()11,2e =，()22,1e =-C ．()13,4e =-，234,55⎛⎫=-⎪⎝⎭e D ．()12,6=e ，()21,3=--e12．已知正三角形ABC 的边长为2，设2AB a =，BC b =，则下列结论正确的是（ ） A ．1a b +=B ．a b ⊥C ．()4a b b +⊥D ．1a b ⋅=-13．如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则下列关系正确的是（ ）A ．AB DC =B ．AB DC =C ．AB DC >D ．BC AD ∥14．点P 是ABC ∆所在平面内一点,满足20PB PC PB PC PA --+-=,则ABC ∆的形状不可能是( ) A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形15．下列说法中错误的是( )A ．向量AB 与CD 是共线向量,则A ，B ，C ，D 四点必在一条直线上 B ．零向量与零向量共线 C ．若,a b b c ==，则a c =D ．温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量二、平面向量及其应用选择题16．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10m 到位置D ，测得45BDC ∠=︒，则塔AB 的高是（单位：m ）（ ）A ．102B ．106C ．103D ．1017．O 为ABC ∆内一点内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，且tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=，若3a =，则边BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长为（ ） A ．23π B ．43π C ．6π D ．3π 18．ABC ∆内有一点O ，满足3450OA OB OC ++=，则OBC ∆与ABC ∆的面积之比为（ ） A ．1:4B ．4:5C ．2:3D ．3:519．在ABC 中，若A B >，则下列结论错误的是（ ）A ．sin sin AB >B ．cos cos A B <C ．sin2sin2A B >D ．cos2cos2A B <20．在ABC 中，若()()0CA CB CA CB +⋅-=，则ABC 为（ ） A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．无法确定 21．在△ABC 中，AB ＝a ，BC ＝b ，且a b ⋅>0，则△ABC 是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形22．如图，ADC 是等边三角形，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠︒＝，BD 与AC 交于E 点.若2AB =，则AE 的长为（ ）A 62B ．1(62)2C 62D ．1(62)223．在ABC ∆中，6013ABC A b S ∆∠=︒=，，，则2sin 2sin sin a b cA B C-+-+的值等于（ ） A 239B 2633C 833D ．2324．在ABC ∆中，已知2AB =，4AC =，若点G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心，则()AG AW BC +⋅=（ ）A ．4B ．6C ．10D ．1425．已知圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x上，线段AB 为圆C的直径，则PA PB ⋅的最小值为（） A ．2B ．52C ．3D ．7226．题目文件丢失！27．已知向量()22cos ,3m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )A ．关于直线12x π=对称B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．周期为2πD ．()y f x =在,03π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 28．在ABC 中，()2BC BA AC AC +⋅=，则ABC 的形状一定是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形29．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则DF =（ ）A ．1324AB AD -+ B ．1223AB AD + C ．1132AB AD - D ．1324AB AD - 30．如图所示，设P 为ABC ∆所在平面内的一点，并且1142AP AB AC =+，则BPC ∆与ABC ∆的面积之比等于（ ）A ．25B ．35C ．34D ．1431．如图，在ABC 中，14AD AB →→=，12AE AC →→=，BE 和CD 相交于点F ，则向量AF →等于（ ）A ．1277AB AC →→+B ．1377AB AC →→+C ．121414AB AC →→+ D ．131414AB AC →→+ 32．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()226,c a b =-+3C π=，则ABC 的面积为（ ）A ．6B ．332C ．33D 333．在ABC 中，若sin 2sin cos B A C =，那么ABC 一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等边三角形34．设ABC ∆中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO OD =，则OC =（ ）A ．1233AB AC -+ B ．2133AB AC -C ．1233AB AC -D ．2133AB AC -+35．在ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若()22S a b c +=+，则cos A 等于（ ）A ．45B ．45-C ．1517D ．1517-【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．BD 【分析】假设与共线，与，都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】A 选项，若与共线，与，都 解析：BD 【分析】假设a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】A 选项，若a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，则ma nb +与c 不可能共线，故A 错；B 选项，因为a ，b ,c 是非零平面向量,若0⋅=⋅=a b a c ，则a b ⊥，a c ⊥，所以//b c ，即B 正确；C 选项，因为向量共线可以是反向共线，所以由////a b c 不能推出a b c a b c =++++；如a 与b 同向，c 与a 反向，且a b c +>，则a b c a b c =+-++，故C 错；D 选项，若0a b ⋅=，则()222222a b a ba b a b a b+=+=++⋅=+，()222222a b a ba b a b a b -=-=+-⋅=+，所以a b a b +=-，即D 正确.故选：BD. 【点睛】本题主要考查共线向量的有关判定，以及向量数量积的相关计算，属于基础题型.2．AD 【分析】利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简，结合，可求，结合范围，可求，进而根据三角形的面积公式和余弦定理可得. 【详解】 ∵，整理可得：， 可得，∵A 为三角形内角，， ∴，故A 正确解析：AD 【分析】利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简cos cos 2B bC a c=-，结合sin 0A ≠，可求1cos 2B =，结合范围()0,B π∈，可求3B π=，进而根据三角形的面积公式和余弦定理可得a c += 【详解】 ∵cos sin cos 22sin sin B b BC a c A C==--， 整理可得：sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-，可得()sin cos sin cos sin sin 2sin cos B C C B B C A A B +=+==， ∵A 为三角形内角，sin 0A ≠， ∴1cos 2B =，故A 正确，B 错误， ∵()0,B π∈， ∴3B π=，∵ABC S =△3b =，∴11sin 42224ac B a c ac ==⨯⨯⨯=， 解得3ac =，由余弦定理得()()2222939a c ac a c ac a c =+-=+-=+-，解得a c +=C 错误，D 正确. 故选：AD. 【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理以及两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.3．ABD 【分析】根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误． 【详解】对于A ，设的外接圆半径为，根据正弦定理，可得，所以的外接圆面积是，故A 正确；对于B ，根据正弦定解析：ABD 【分析】根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误． 【详解】对于A ，设ABC 的外接圆半径为R ，根据正弦定理2sin a R A =，可得3R =，所以ABC 的外接圆面积是2493S R ππ==，故A 正确； 对于B ，根据正弦定理，利用边化角的方法，结合A B C π++=，可将原式化为2sin cos 2sin cos 2sin()2sin R B C R C B R B C R A a +=+==，故B 正确．对于C ，22(sin sin )2[sin sin()]3b c R B C R B B π+=+=+-114(cos )14sin()23B B B π=+=+14b c ∴+≤，故C 错误．对于D ，设A 到直线BC 的距离为d ，根据面积公式可得11sin 22ad bc A =，即sin bc Ad a=，再根据①中的结论，可得d =D 正确． 故选：ABD. 【点睛】 本题是考查三角恒等变换与解三角形结合的综合题，解题时应熟练掌握运用三角函数的性质、诱导公式以及正余弦定理、面积公式等．4．AD 【分析】设，则，然后分点P 靠近点，靠近点两种情况，利用平面向量的线性运算求解. 【详解】 设，则，当点P 靠近点时，， 则， 解得， 所以，当点P 靠近点时，， 则， 解得， 所以， 故选：解析：AD 【分析】设(),P x y ，则()()12,1,4,4=-=--PP x y PP x y ，然后分点P 靠近点1P ，靠近点2P 两种情况，利用平面向量的线性运算求解. 【详解】设(),P x y ，则()()12,1,4,4=-=--PP x y PP x y ， 当点P 靠近点1P 时，1212PPPP =， 则()()1421142x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得432x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以4,23P ⎛⎫⎪⎝⎭， 当点P 靠近点2P 时，122PP PP =， 则()()24124x x y y ⎧=-⎪⎨-=-⎪⎩， 解得833x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以8,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故选：AD 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5．CD 【分析】转化为，移项运算即得解 【详解】 由题意： 故 即 , 故选：CD 【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.解析：CD 【分析】转化3AB AC AP +=为())(AB AP AC AP AP +=--，移项运算即得解 【详解】由题意：3AB AC AP += 故())(AB AP AC AP AP +=-- 即PB PC AP +=0C PA PB P ++=∴,PA AB PB +=故选：CD 【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.6．BC 【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】对于选项A 中：由，所以，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解； 对于选项B 中：因为，且，所以角有两解析：BC 【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】对于选项A 中：由45,70A C =︒=︒，所以18065B A C =--=︒，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；对于选项B 中：因为csin sin 115B C b ==<，且c b >，所以角C 有两解；对于选项C 中：因为sin sin 17b A B a ==<，且b a >，所以角B 有两解； 对于选项D 中：因为sin sin 1b AB a=<，且b a <，所以角B 仅有一解. 故选：BC . 【点睛】本题主要考查了三角形解得个数的判定，其中解答中熟记三角形解得个数的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7．AC【分析】利用余弦定理：即可求解.【详解】在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°， 由余弦定理：， 即，解得. 故选：AC 【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基解析：AC 【分析】利用余弦定理：2222cos b a c ac B =+-即可求解. 【详解】在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°， 由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-，即216310a a -+=，解得8a = 故选：AC 【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基本运算，属于基础题.8．AB 【分析】在中，根据，，由，解得或，然后分两种情况利用余弦定理求解. 【详解】中，因为，，面积， 所以， 所以，解得或，当时，由余弦定理得：， 解得，当时，由余弦定理得：， 解得 所以或解析：AB 【分析】在ABC 中，根据4a =，5b =，由1sin 2ABCSab C ==60C =或120C =，然后分两种情况利用余弦定理求解.【详解】ABC 中，因为4a =，5b =，面积ABCS=所以1sin 2ABCSab C ==所以sin 2C =，解得60C =或120C =， 当60C =时，由余弦定理得：2222cos 21c a b ab C =+-=，解得c =当120C =时，由余弦定理得：2222cos 61c a b ab C =+-=，解得c =所以c =c =故选：AB 【点睛】本题主要考查三角形面积公式和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.9．BC 【分析】根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】对于A 选项：，故A 错；对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，，故B 正确； 对于C 选项：，故正确； 对于D 选项：，而，故解析：BC 【分析】根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】对于A 选项：BD AD BD DA BA -=+=，故A 错； 对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，()111++++()222AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC ====+，故B 正确；对于C 选项：cos 248BD BA BC BA BC B BA BC BA⋅=⋅⋅∠=⋅⋅=⨯=，故正确；对于D 选项：2,AB AC AD AB AC CB +=-=，而2AD CB ≠，故D 不正确. 故选：BC. 【点睛】本题考查向量的线性运算和向量的数量积运算，属于基础题.10．AD 【分析】利用正弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得的值. 【详解】由正弦定理，可得， ，则，所以，为锐角或钝角. 因此，. 故选：AD. 【点睛】本题考查利用正弦定理与同解析：AD 【分析】利用正弦定理可求得sin B 的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得cos B 的值. 【详解】由正弦定理sin sin b a B A=，可得120sin 22sin 153b A B a ⨯===， b a >，则30B A >=，所以，B 为锐角或钝角.因此，cos 3B ==±. 故选：AD. 【点睛】本题考查利用正弦定理与同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题.11．ACD 【分析】依次判断各选项中的两向量是否共线即可. 【详解】A ，C ，D 中向量与共线，不能作为基底；B 中，不共线，所以可作为一组基底． 【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属解析：ACD 【分析】依次判断各选项中的两向量是否共线即可. 【详解】A ，C ，D 中向量1e 与2e 共线，不能作为基底；B 中1e ，2e 不共线，所以可作为一组基底． 【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属于基础题.12．CD 【分析】分析知，，与的夹角是，进而对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】分析知，，与的夹角是. 由，故B 错误，D 正确； 由，所以，故A 错误； 由，所以，故C 正确. 故选：CD 【点睛】解析：CD 【分析】分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒，进而对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒.由12cos12010a b ︒⋅=⨯⨯=-≠，故B 错误，D 正确；由()22221243a ba ab b +=+⋅+=-+=，所以3a b +=，故A 错误； 由()()2144440a b b a b b +⋅=⋅+=⨯-+=，所以()4a b b +⊥，故C 正确.故选：CD 【点睛】本题考查正三角形的性质，考查平面向量的数量积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.13．BD 【分析】根据向量的模及共线向量的定义解答即可； 【详解】解：与显然方向不相同，故不是相等向量，故错误； 与表示等腰梯形两腰的长度，所以，故正确； 向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故解析：BD 【分析】根据向量的模及共线向量的定义解答即可； 【详解】解：AB 与DC 显然方向不相同，故不是相等向量，故A 错误；AB 与DC 表示等腰梯形两腰的长度，所以AB DC =，故B 正确； 向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故C 错误；等腰梯形的上底BC 与下底AD 平行，所以//BC AD ，故D 正确； 故选：BD . 【点睛】本题考查共线向量、相等向量、向量的模的理解，属于基础题.14．AD 【解析】 【分析】由条件可得，再两边平方即可得答案. 【详解】∵P 是所在平面内一点，且， ∴， 即， ∴，两边平方并化简得， ∴，∴，则一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形， 故解析：AD 【解析】 【分析】由条件可得||||AB AC AC AB -=+，再两边平方即可得答案. 【详解】∵P 是ABC ∆所在平面内一点，且|||2|0PB PC PB PC PA --+-=， ∴|||()()|0CB PB PA PC PA --+-=， 即||||CB AC AB =+， ∴||||AB AC AC AB -=+， 两边平方并化简得0AC AB ⋅=， ∴AC AB ⊥，∴90A ︒∠=，则ABC ∆一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形， 故不可能是钝角三角形，等边三角形， 故选：AD. 【点睛】本题考查向量在几何中的应用，考查计算能力，是基础题.15．AD 【分析】利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】向量与是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，故A 错误； 零向量与任一向量共线，故B解析：AD 【分析】利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，故A 错误； 零向量与任一向量共线，故B 正确； 若,a b b c ==，则a c =，故C 正确； 温度是数量，只有正负，没有方向，故D 错误. 故选：AD 【点睛】本题考查零向量、单位向量的定义，平行向量和共线向量的定义，属于基础题.二、平面向量及其应用选择题16．B 【分析】设塔高为x 米，根据题意可知在△ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x ，从而有BC=3x ，在△BCD 中，CD=10，∠BCD=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°，由正弦定理可求 BC ，从而可求x 即塔高． 【详解】设塔高为x 米，根据题意可知在△ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x ，从而有x ，x ， 在△BCD 中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30° 由正弦定理可得，sin sin BC CDBDC CBD=可得，BC=10sin 45sin 30x ==.则；所以塔AB 的高是米； 故选B ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，即正确建立数学模型，结合已知把题目中的数据转化为三角形中的数据，进而选择合适的公式进行求解． 17．A 【分析】 根据题意得出tan tan tan A B Ca b c==，利用正弦定理边化角思想和切化弦思想得出A B C ==，从而可得知ABC ∆为等边三角形，进而可求得BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长. 【详解】0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，a bOC OA OB c c∴=--，同理可得tan tan tan tan A B OC OA OB C C =--，tan tan tan tan a A c Cb Bc C ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪-=-⎪⎩，tan tan tan A B Ca b c∴==， 由正弦定理得tan tan tan sin sin sin A B C A B C ==，所以，111cos cos cos A B C==， cos cos cos A B C ∴==，由于余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，所以，3A B C π===， 设ABC ∆的外接圆半径为R，则22sin 2aR A===，1R ∴=， 所以，边BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长为222133R A ππ⨯=⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查弧长的计算，涉及正弦定理边角互化思想、切化弦思想以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 18．A 【解析】分析：由题意，在ABC ∆内有一点O ，满足3450++=OA OB OC ，利用三角形的奔驰定理，即可求解结论．详解：由题意，在ABC ∆内有一点O ，满足3450++=OA OB OC ，由奔驰定理可得::3:4:5BOC AOC BOA S S S ∆∆∆=，所以:3:121:4BOC ABC S S ∆∆==， 故选A ．点睛：本题考查了向量的应用，对于向量的应用问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决． 19．C 【分析】由正弦定理结合三角形中的大边对大角得sin sin A B >，由余弦函数性质判断B ，然后结合二倍角公式判断CD ． 【详解】设ABC 三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ， 由A B >，则,a b >∴sin sin 0A B >>，A 正确； 由余弦函数性质知cos cos A B <，B 正确；sin 22sin cos A A A =，sin 22sin cos B B B =， 当A 为钝角时就有sin 2sin 2A B <，C 错误，；2cos 212sin A A =-，2cos 212sin B B =-，∴cos2cos2A B <，D 正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，考查正弦定理、余弦函数性质，考查正弦、余弦的二倍角公式，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题． 20．C 【分析】利用平面向量的数量积的运算性质可得(CA CB + 2222)()0CA CB CA CB b a -=-=-=，从而可得答案． 【详解】 解：在ABC 中，(CA CB + 2222)()0CA CB CA CB b a -=-=-=，a b ∴=，ABC ∴为等腰三角形， 故选：C ． 【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查向量的数量积的运算性质，属于中档题． 21．D 【分析】由数量积的定义判断B 角的大小，得三角形形状． 【详解】由题意cos()0a b a b B π⋅=->，∴cos()0B π->，cos 0B ->，cos 0B <，又B 是三角形内角，∴2B ππ<<．∴ABC 是钝角三角形．故选：D ． 【点睛】本题考查考查三角形形状的判断，解题关键是掌握数量积的定义．向量夹角的概念． 22．A 【分析】由条件求得∠BCD ＝150°，∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝30°，可得∠AEB ＝105°．计算sin105°，代入正弦定理sin30sin105AE AB=︒︒，化简求得AE =-． 【详解】由题意可得，AC ＝BC ＝CD ＝DA =BAC ＝45°，∠BCD ＝∠ACB +∠ACD ＝90°+60°＝150°．又△BCD 为等腰三角形，∴∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝45°﹣15°＝30°，故∠BEC ＝75°，∠AEB ＝105°．再由 sin105°＝sin （60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°=， △ABE 中，由正弦定理可得sin30sin105AE AB=︒︒，∴12AE=，∴AE =）， 故选:A ． 【点睛】本题考查勾股定理、正弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于中档题． 23．A 【解析】分析：先利用三角形的面积公式求得c 的值，进而利用余弦定理求得a ，再利用正弦定理求解即可.详解：由题意，在ABC ∆中，利用三角形的面积公式可得011sin 1sin 6022ABC S bc A c ∆==⨯⨯⨯=， 解得4c =，又由余弦定理得22212cos 116214132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，解得a =，由正弦定理得2sin 2sin sin sin a b c a A B C A -+===-+，故选A. 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题. 24．C 【解析】 【分析】取BC 的中点D ，因为G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心，则0DW BC ⋅=， 再用AB 、AC 表示AW ，AG ，BC 再根据向量的数量积的运算律计算可得. 【详解】解：如图，取BC 的中点D ，因为G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心0DW BC ∴⋅=()()22113323AG AD AB AC AB AC ∴==⨯+=+ ()12AW AD DW AB AC DW =+=++ ()()()115326AW AG AB AC AB AC DW AB AC DW +=++++=++ ()()()5566AB AC DW AB AG AW BC BC B W C BC AC D ⎡⎤∴+⋅=⋅=⋅⋅⎢++++⎥⎣⎦()56AB A BC C =⋅+ ()()56C AC AB AB A =⋅+- ()()222242105566AC AB =-=-= 故选：C【点睛】本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查三角形的重心和外心的性质及向量中点的向量表示，考查运算能力，属于中档题． 25．B 【分析】将PA PB ⋅转化为2||2PC -，利用圆心到直线的距离求得||PC 的取值范围求得PA PB ⋅的最小值.【详解】()()()()PA PB PC CA PC CB PC CA PC CA ⋅=+⋅+=+⋅-2222||||||22PC CA PC =-=-≥-52=.故选B. 【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 26．无27．D【详解】()22cos 2cos 2212sin(2)16f x x x x x x π=+=+=++，当12x π=时,sin(2)sin 163x ππ+=≠±,∴f (x )不关于直线12x π=对称； 当512x π=时,2sin(2)116x π++= ,∴f (x )关于点5(,1)12π对称； f (x )得周期22T ππ==， 当(,0)3x π∈-时,2(,)626x πππ+∈- ,∴f (x )在(,0)3π-上是增函数． 本题选择D 选项.28．D【分析】先根据向量减法与向量数量积化简得边之间关系，再判断三角形形状.【详解】因为()()()222BC BA AC BC BA BC BA BC BA AC +⋅=+⋅-=-=，所以222a c b -=，即ABC 是直角三角形，选D.【点睛】判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用πA B C ++=这个结论．29．D【分析】利用向量的三角形法则和向量共线定理可得：DF AF AD =-，1=2AF AE ，=AE AB BE +，1=2BE BC ，=BC AD ，即可得出答案.【详解】利用向量的三角形法则，可得DF AF AD =-，=AE AB BE +， E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则1=2AF AE ，1=2BE BC 1111==()=+2224DF AF AD AE AD AB BE AD AB BC AD ∴=--+-- 又=BC AD 1324DF AB AD ∴=-. 故选D.【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力.向量的运算有两种方法：一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算，建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．30．D【分析】由题，延长AP 交BC 于点D ，利用共线定理，以及向量的运算求得向量,,CP CA CD 的关系，可得DP 与AD 的比值，再利用面积中底面相同可得结果.【详解】延长AP 交BC 于点D ，因为A 、P 、D 三点共线，所以(1)CP mCA nCD m n =++=，设CD kCB =代入可得CP mCA nkCB =+即()(1)AP AC mAC nk AB AC AP m nk AC nk AB -=-+-⇒=--+ 又因为1142AP AB AC =+，即11,142nk m nk =--=，且1m n += 解得13,44m n == 所以1344CP CA CD =+可得4AD PD = 因为BPC ∆与ABC ∆有相同的底边，所以面积之比就等于DP 与AD 之比所以BPC ∆与ABC ∆的面积之比为14故选D【点睛】本题考查了向量的基本定理，共线定理以及四则运算，解题的关键是在于向量的灵活运用，属于较难题目.31．B【分析】过点F 分别作//FM AB 交AC 于点M ，作//FN AC 交AB 于点N ，由平行线得出三角形相似，得出线段成比例，结合14AD AB →→=，12AE AC →→=，证出37AM AC →→=和17AN AB →→=，最后由平面向量基本定理和向量的加法法则，即可得AB →和AC →表示AF →. 【详解】 解：过点F 分别作//FM AB 交AC 于点M ，作//FN AC 交AB 于点N ， 已知14AD AB →→=，12AE AC →→=， //FN AC ，则MFE ABE △△和MCF ACD △△， 则：MF ME AB AE =且MF MC AD AC=， 即：2MF ME AB AC =且14MF MC AC AB =，所以124MC MF ME AB AC AC ==， 则：8MC ME =，所以37AM AC =， 解得：37AM AC →→=， 同理//FM AB ，NBF ABE △△和NFD ACD △△， 则：NF NB AE AB =且NF ND AC AD=， 即：12NF NB AB AC =且14NF ND AC AB =，所以142NB NF ND AC AB AB ==， 则：8NB ND =，即()8AB AN AD AN -=-， 所以184AB AN AB AN ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，即28AB AN AB AN -=-， 得：17AN AB =， 解得：17AN AB →→=， 四边形AMFN 是平行四边形，∴由向量加法法则，得AF AN AM →→→=+， 所以1377AF AB AC →→→=+. 故选：B.【点睛】本题考查平面向量的线性运算、向量的加法法则和平面向量的基本定理，考查运算能力. 32．B【分析】由条件和余弦定理得到6ab =，再根据三角形的面积公式计算结果.【详解】由条件可知：22226c a b ab =+-+，①由余弦定理可知：222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-，②所以由①②可知，62ab ab -=-，即6ab =， 则ABC 的面积为11333sin 622S ab C ==⨯=. 故选：B【点睛】本题考查解三角形，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型.33．B【分析】利用两角和与差公式化简原式，可得答案．【详解】因为sin 2sin cos B A C =，所以sin()2sin cos A C A C +=所以sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C +=所以sin cos cos sin 0A C A C -=所以sin()0A C -=,所以0A C -=,所以A C =.所以三角形是等腰三角形.故选：B.【点睛】本题考查三角恒等变换在解三角形中的应用，考查两角和与差公式以及两角和与差公式的逆用，考查学生计算能力，属于中档题．34．A【分析】作出图形，利用AB 、AC 表示AO ，然后利用平面向量减法的三角形法则可得出OC AC AO =-可得出结果.【详解】如下图所示：D 为BC 的中点，则()1122AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+=+-1122AB AC =+， 2AO OD =，211333AO AD AB AC ∴==+， 11123333OC AC AO AC AB AC AB AC ⎛⎫∴=-=-+=-+ ⎪⎝⎭， 故选：A.【点睛】本题考查利用基底表示向量，考查了平面向量减法和加法三角形法则的应用，考查计算能力，属于中等题.35．D【分析】由22()S a b c +=+，利用余弦定理、三角形的面积计算公式可得：1sin 2cos 22bc A bc A bc =+，化为sin 4cos 4A A -=，与22sin cos 1A A +=．解出即可．【详解】解：22()S a b c +=+，2222S b c a bc ∴=+-+， ∴1sin 2cos 22bc A bc A bc =+， 所以sin 4cos 4A A -=，因为22sin cos 1A A +=．解得15cos 17A =-或cos 1A =-． 因为1cos 1A -<<，所以cos 1A =-舍去．15cos 17A ∴=-． 故选：D ．【点睛】本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
平面向量测试题(含答案)
平面向量章末检测一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1、下面给出的关系式中正确的个数是（ ）① 00 =⋅a ②a b b a ⋅=⋅③22a a =④)()(c b a c b a⋅=⋅⑤b a b a ⋅≤⋅(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 2．下列四式不能化简为AD 的是（ ）A ．）＋＋（B ．（C ．；－＋BM AD MB D ．；＋－CD OA OC 3．已知a =（3，4），b =（5，12），a 与b 则夹角的余弦为（ ）A ．6563B ．65C ．513 D ．134． 已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么3a b +=（ ）A ．7B ．10C ．13D ．45．已知ABCDEF 是正六边形，且−→−AB ＝→a ，−→−AE ＝→b ，则−→−BC ＝（ ）（A ） 1()2a b →→-（B ） 1()2b a →→-（C ） →a ＋12b → （D ） 1()2a b →→+6．设→a ，→b 为不共线向量，−→−AB ＝→a +2→b ,−→−BC ＝－4→a －→b ,−→−CD ＝－5→a －3→b ,则下列关系式中正确的是 （ ）（A ）−→−AD ＝−→−BC （B ）−→−AD ＝2−→−BC （C ）−→−AD ＝－−→−BC （D ）−→−AD ＝－2−→−BC 7．设→1e 与→2e 是不共线的非零向量，且k →1e ＋→2e 与→1e ＋k →2e 共线，则k 的值是（ ）（A ） 1 （B ） －1 （C ） 1± （D ） 任意不为零的实数8．已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且−→−PN ＝－2−→−PM ，则P 点的坐标为（ ）（A ） （－14，16） （B ）（22，－11） （C ）（6，1） （D ） （2，4） 9．已知→a ＝（1，2），→b ＝（－2，3），且k →a +→b 与→a －k →b 垂直，则k ＝（ ）（A ） 21±-（B ） 12±（C ） 32±（D ） 23±10、若平面向量(1,)a x =和(23,)b x x =+-互相平行，其中x R ∈.则a b -=（ ）A. 2-或0；B. C. 2或 D. 2或10.二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共计25分.11．若),4,3(=Ａ点的坐标为（-2，-1），则Ｂ点的坐标为 ． 12．已知(3,4),(2,3)=-=a b ，则2||3-⋅=a a b ．13、已知向量3,(1,2)a b ==，且b a⊥，则a 的坐标是_________________。
(完整版)平面向量测试题及详解
平面向量第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。
)1．(文)(2011·北京西城区期末)已知点A (－1,1)，点B (2，y )，向量a ＝(1,2)，若AB →∥a ，则实数y 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8[答案] C[解析] AB →＝(3，y －1)，∵AB →∥a ，∴31＝y －12，∴y ＝7.(理)(2011·福州期末)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值为( )A ．－2B ．0C ．1D ．2[答案] D[解析] a ＋b ＝(3，x ＋1)，4b －2a ＝(6,4x －2)， ∵a ＋b 与4b －2a 平行，∴36＝x ＋14x －2，∴x ＝2，故选D.2．(2011·蚌埠二中质检)已知点A (－1,0)，B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB →⊥a ，则实数k 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[答案] B[解析] AB →＝(2,3)，∵AB →⊥a ，∴2(2k －1)＋3×2＝0，∴k ＝－1，∴选B.3．(2011·北京丰台期末)如果向量a ＝(k,1)与b ＝(6，k ＋1)共线且方向相反，那么k 的值为( )A ．－3B ．2C ．－17D.17[答案] A[解析] 由条件知，存在实数λ<0，使a ＝λb ，∴(k,1)＝(6λ，(k ＋1)λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝6λ(k ＋1)λ＝1，∴k ＝－3，故选A.4．(文)(2011·北京朝阳区期末)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则P A →·(PB →＋PC →)等于( )A ．－49B ．－43C.43D.49[答案] A[解析] 由条件知，P A →·(PB →＋PC →)＝P A →·(2PM →) ＝P A →·AP →＝－|P A →|2＝－⎝⎛⎭⎫23|MA →|2＝－49.(理)(2011·黄冈期末)在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB →、BC →分别为a 、b ，则AH →＝( )A.25a －45bB.25a ＋45b C ．－25a ＋45bD ．－25a －45b[答案] B[解析] AF →＝b ＋12a ，DE →＝a －12b ，设DH →＝λDE →，则DH →＝λa －12λb ，∴AH →＝AD →＋DH →＝λa＋⎝⎛⎭⎫1－12λb ， ∵AH →与AF →共线且a 、b 不共线，∴λ12＝1－12λ1，∴λ＝25，∴AH →＝25a ＋45b .5．(2011·山东潍坊一中期末)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，n )，若|a ＋b |＝a ·b ，则n ＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3[答案] D[解析] ∵a ＋b ＝(3,1＋n )，∴|a ＋b |＝9＋(n ＋1)2＝n 2＋2n ＋10， 又a ·b ＝2＋n ，∵|a ＋b |＝a ·b ，∴n 2＋2n ＋10＝n ＋2，解之得n ＝3，故选D.6．(2011·烟台调研)已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)( ) A ．最大值为8 B ．是定值6 C ．最小值为2 D ．与P 的位置有关[答案] B[解析] 设BC 边中点为D ，则 AP →·(AB →＋AC →)＝AP →·(2AD →)＝2|AP →|·|AD →|·cos ∠P AD ＝2|AD →|2＝6.7．(2011·河北冀州期末)设a ，b 都是非零向量，那么命题“a 与b 共线”是命题“|a ＋b |＝|a |＋|b |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件[答案] B[解析] |a ＋b |＝|a |＋|b |⇔a 与b 方向相同，或a 、b 至少有一个为0；而a 与b 共线包括a 与b 方向相反的情形，∵a 、b 都是非零向量，故选B.8．(2011·甘肃天水一中期末)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°[答案] C[解析] 由条件知|a |＝5，|b |＝25，a ＋b ＝(－1，－2)，∴|a ＋b |＝5，∵(a ＋b )·c ＝52，∴5×5·cos θ＝52，其中θ为a ＋b 与c 的夹角，∴θ＝60°.∵a ＋b ＝－a ，∴a ＋b 与a 方向相反，∴a 与c 的夹角为120°.9．(文)(2011·福建厦门期末)在△ABC 中，∠C ＝90°，且AC ＝BC ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB →等于( )A ．2B ．3C ．4D ．6[答案] B[解析] 解法1：如图以C 为原点，CA 、CB 为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则A (3,0)，B (0,3)，设M (x 0，y 0)，∵BM →＝2MA →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2(3－x 0)y 0－3＝2(－y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2y 0＝1，∴CM →·CB →＝(2,1)·(0,3)＝3，故选B. 解法2：∵BM →＝2MA →，∴BM →＝23BA →，∴CB →·CM →＝CB →·(CB →＋BM →)＝|CB →|2＋CB →·⎝⎛⎭⎫23BA → ＝9＋23×3×32×⎝⎛⎭⎫－22＝3.(理)(2011·安徽百校联考)设O 为坐标原点，点A (1,1)，若点B (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －2y ＋1≥0，1≤x ≤2，1≤y ≤2，则OA →·OB →取得最大值时，点B 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．无数[答案] A[解析] x 2＋y 2－2x －2y ＋1≥0，即(x －1)2＋(y －1)2≥1，画出不等式组表示的平面区域如图，OA →·OB →＝x ＋y ，设x ＋y ＝t ，则当直线y ＝－x 平移到经过点C 时，t 取最大值，故这样的点B 有1个，即C 点．10．(2011·宁夏银川一中检测)a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )A ．λ1＝λ2＝－1B ．λ1＝λ2＝1C ．λ1·λ2＋1＝0D ．λ1λ2－1＝0[答案] D[分析] 由于向量AC →，AB →有公共起点，因此三点A 、B 、C 共线只要AC →，AB →共线即可，根据向量共线的条件可知存在实数λ使得AC →＝λAB →，然后根据平面向量基本定理得到两个方程，消去λ即得结论．[解析] ∵A 、B 、C 共线，∴AC →，AB →共线，根据向量共线的条件知存在实数λ使得AC →＝λAB →，即a ＋λ2b ＝λ(λ1a ＋b )，由于a ，b 不共线，根据平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧1＝λλ1λ2＝λ，消去λ得λ1λ2＝1.11．(文)(2011·北京学普教育中心)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量运算a ⊕b ＝(a 1，a 2)⊕(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知m ＝⎝⎛⎭⎫2，12，n ＝⎝⎛⎭⎫π3，0，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，且满足OQ →＝m ⊕OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )的最大值及最小正周期分别为( )A ．2；πB ．2；4π C.12；4π D.12；π [答案] C[解析] 设点Q (x ′，y ′)，则OQ →＝(x ′，y ′)，由新定义的运算法则可得： (x ′，y ′)＝⎝⎛⎭⎫2，12⊕(x ，y )＋⎝⎛⎭⎫π3，0 ＝⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，12y ， 得⎩⎨⎧x ′＝2x ＋π3y ′＝12y，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′－π6y ＝2y ′，代入y ＝sin x ，得y ′＝12sin ⎝⎛⎭⎫12x ′－π6，则 f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6，故选C. (理)(2011·华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校联考)如图，在矩形OACB 中，E 和F 分别是边AC 和BC 的点，满足AC ＝3AE ，BC ＝3BF ，若OC →＝λOE →＋μOF →其中λ，μ∈R ，则λ＋μ是( )A.83B.32C.53 D ．1[答案] B[解析] OF →＝OB →＋BF →＝OB →＋13OA →，OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋13OB →，相加得OE →＋OF →＝43(OA →＋OB →)＝43OC →，∴OC →＝34OE →＋34OF →，∴λ＋μ＝34＋34＝32.12．(2011·辽宁沈阳二中阶段检测)已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝－12，则△ABC 的形状为( )A ．等腰非等边三角形B ．等边三角形C ．三边均不相等的三角形D ．直角三角形 [答案] A[分析] 根据平面向量的概念与运算知，AB →|AB →|表示AB →方向上的单位向量，因此向量AB →|AB →|＋AC→|AC →|平行于角A 的内角平分线．由⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0可知，角A 的内角平分线垂直于对边，再根据数量积的定义及AB →|AB →|·AC →|AC →|＝－12可求角A .[解析] 根据⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0知，角A 的内角平分线与BC 边垂直，说明三角形是等腰三角形，根据数量积的定义及AB →|AB →|·AC →|AC →|＝－12可知A ＝120°.故三角形是等腰非等边的三角形．[点评] 解答本题的关键是注意到向量AB →|AB →|，AC →|AC →|分别是向量AB →，AC →方向上的单位向量，两个单位向量的和一定与角A 的内角平分线共线．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(文)(2011·湖南长沙一中月考)设平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，y )，若a ∥b ，则|3a ＋b |等于________．[答案]5[解析] 3a ＋b ＝(3,6)＋(－2，y )＝(1,6＋y )， ∵a ∥b ，∴－21＝y2，∴y ＝－4，∴3a ＋b ＝(1,2)，∴|3a ＋b |＝ 5.(理)(2011·北京朝阳区期末)平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.[答案] 2 3[解析] a ·b ＝|a |·|b |cos60°＝2×1×12＝1，|a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝4＋4＋4×1＝12， ∴|a ＋2b |＝2 3.14．(2011·华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)已知a ＝(2＋λ，1)，b ＝(3，λ)，若〈a ，b 〉为钝角，则λ的取值范围是________．[答案] λ<－32且λ≠－3[解析] ∵〈a ，b 〉为钝角，∴a ·b ＝3(2＋λ)＋λ＝4λ＋6<0， ∴λ<－32，当a 与b 方向相反时，λ＝－3，∴λ<－32且λ≠－3.15．(2011·黄冈市期末)已知二次函数y ＝f (x )的图像为开口向下的抛物线，且对任意x ∈R 都有f (1＋x )＝f (1－x )．若向量a ＝(m ，－1)，b ＝(m ，－2)，则满足不等式f (a ·b )>f (－1)的m 的取值范围为________．[答案] 0≤m <1[解析] 由条件知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (－1)＝f (3)，∵m ≥0，∴a ·b ＝m ＋2≥2，由f (a ·b )>f (－1)得f (m ＋2)>f (3)， ∵f (x )在[1，＋∞)上为减函数，∴m ＋2<3，∴m <1，∵m ≥0，∴0≤m <1.16．(2011·河北冀州期末)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin θ，14，b ＝(cos θ，1)，c ＝(2，m )满足a ⊥b 且(a ＋b )∥c ，则实数m ＝________.[答案] ±522[解析] ∵a ⊥b ，∴sin θcos θ＋14＝0，∴sin2θ＝－12，又∵a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫sin θ＋cos θ，54，(a ＋b )∥c ， ∴m (sin θ＋cos θ)－52＝0，∴m ＝52(sin θ＋cos θ)，∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin2θ＝12，∴sin θ＋cos θ＝±22，∴m ＝±522.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(2011·甘肃天水期末)已知向量a ＝(－cos x ，sin x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ，x ∈[0，π]．(1)求函数f (x )的最大值；(2)当函数f (x )取得最大值时，求向量a 与b 夹角的大小． [解析] (1)f (x )＝a ·b ＝－cos 2x ＋3sin x cos x ＝32sin2x －12cos2x －12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－12. ∵x ∈[0，π]，∴当x ＝π3时，f (x )max ＝1－12＝12.(2)由(1)知x ＝π3，a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32，设向量a 与b 夹角为α，则cos α＝a ·b |a |·|b |＝121×1＝12， ∴α＝π3.因此，两向量a 与b 的夹角为π3.18．(本小题满分12分)(2011·呼和浩特模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证MF 1→·MF 2→＝0.[解析] (1)解：∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ， ∵过(4，－10)点，∴16－10＝λ，即λ＝6， ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：F 1(－23，0)，F 2(23，0)，MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(－3＋23，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝－3＋m 2，又∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0，即MF 1→⊥MF 2→.19．(本小题满分12分)(2011·宁夏银川一中月考，辽宁沈阳二中检测)△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(2sin B,2－cos2B )，n ＝(2sin 2(π4＋B2)，－1)，m ⊥n .(1)求角B 的大小；(2)若a ＝3，b ＝1，求c 的值．[分析] 根据向量关系式得到角B 的三角函数的方程，解这个方程即可求出角B ，根据余弦定理列出关于c 的方程，解这个方程即可．[解析] (1)∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0， ∴4sin B ·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋B 2＋cos2B －2＝0， ∴2sin B [1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋B ]＋cos2B －2＝0， ∴2sin B ＋2sin 2B ＋1－2sin 2B －2＝0， ∴sin B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π6或56π.(2)∵a ＝3，b ＝1，∴a >b ，∴此时B ＝π6，方法一：由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴c 2－3c ＋2＝0，∴c ＝2或c ＝1. 方法二：由正弦定理得b sin B ＝asin A，∴112＝3sin A ，∴sin A ＝32，∵0<A <π，∴A ＝π3或23π， 若A ＝π3，因为B ＝π6，所以角C ＝π2，∴边c ＝2；若A ＝23π，则角C ＝π－23π－π6＝π6，∴边c ＝b ，∴c ＝1. 综上c ＝2或c ＝1.20．(本小题满分12分)(2011·山东济南一中期末)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2，sin 3x2，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈[π2，π]．(1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)求函数f (x )＝a ·b ＋|a ＋b |的最大值，并求使函数取得最大值时x 的值． [解析] (1)a ·b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x 2＝cos2x ，|a ＋b |＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝⎛⎭⎫sin 3x 2－sin x 22 ＝2＋2⎝⎛⎭⎫cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2 ＝2＋2cos2x ＝2|cos x |， ∵x ∈[π2，π]，∴cos x <0，∴|a ＋b |＝－2cos x .(2)f (x )＝a ·b ＋|a ＋b |＝cos2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1＝2⎝⎛⎭⎫cos x －122－32 ∵x ∈[π2，π]，∴－1≤cos x ≤0，∴当cos x ＝－1，即x ＝π时f max (x )＝3.21．(本小题满分12分)(2011·河南豫南九校联考)已知OA →＝(2a sin 2x ，a )，OB →＝(－1,23sin x cos x ＋1)，O 为坐标原点，a ≠0，设f (x )＝OA →·OB →＋b ，b >a .(1)若a >0，写出函数y ＝f (x )的单调递增区间；(2)若函数y ＝f (x )的定义域为[π2，π]，值域为[2,5]，求实数a 与b 的值．[解析] (1)f (x )＝－2a sin 2x ＋23a sin x cos x ＋a ＋b ＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋b ， ∵a >0，∴由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2得，k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .∴函数y ＝f (x )的单调递增区间是[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )(2)x ∈[π2，π]时，2x ＋π6∈[7π6，13π6]，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－1，12] 当a >0时，f (x )∈[－2a ＋b ，a ＋b ]∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＋b ＝2a ＋b ＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝4， 当a <0时，f (x )∈[a ＋b ，－2a ＋b ]∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2－2a ＋b ＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝3综上知，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝4 22．(本小题满分12分)(2011·北京朝阳区模拟)已知点M (4,0)，N (1,0)，若动点P 满足MN →·MP →＝6|PN →|.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，若－187≤NA →·NB →≤－125，求直线l 的斜率的取值范围．[解析] 设动点P (x ，y )，则MP →＝(x －4，y )，MN →＝(－3,0)，PN →＝(1－x ，－y )．由已知得－3(x －4)＝6(1－x )2＋(－y )2，化简得3x 2＋4y 2＝12，得x 24＋y 23＝1. 所以点P 的轨迹C 是椭圆，C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由题意知，直线l 的斜率必存在，不妨设过N 的直线l 的方程为y ＝k (x －1)，设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1 消去y 得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.因为N 在椭圆内，所以Δ>0. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.因为NA →·NB →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝(1＋k 2)(x 1－1)(x 2－1)＝(1＋k 2)[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝(1＋k 2)4k 2－12－8k 2＋3＋4k 23＋4k 2＝－9(1＋k 2)3＋4k 2， 所以－187≤－9(1＋k 2)3＋4k 2≤－125.解得1≤k 2≤3. 所以－3≤k ≤－1或1≤k ≤ 3.。
平面向量综合测试附答案
高一下单元综合测试平面向量分钟）（满分150分，时间120 5分，共60分）一、选择题（每小题AB下列结果是1.的是CFMNACBFMBAM B.－+ A.+－CBDCBCFCABAD－+ + C. D. －B答案：）等于·（2a+5b），b=（－2，－1，则（3a+2b）2.已知a=（1，3）510B.55+6 －95 A.10D.205 C.15C答案：ABC是c=acosB，则△3.在△ABC中，已知b=asinC， B.直角三角形 A.等腰三角形D.等腰直角三角形 C.等边三角形D答案： 4.下列命题中，是真命题的是）方向相同=（4，－105A.a=（－2，）与b）方向相反=（－2，－5B.a=（4，10）与b）方向相反（－2，－51C.a=（－3，）与b= ）的夹角为锐角（－3，1a=（2，4）与b=D.B答案：的⊥b，则实数k=k e－4e，若a与5.设ee是互相垂直的单位向量，且a=2e+3e，b221112值为3 D.－ C.3 6 A.－ B.6A答案：|等于120°，则|2a+ba6.设|a|=1，|b|=2，且与b的夹角为D.3 C.2 A.2 B.4A答案：2222的值是=4，则0=（－2，）平移后，得到曲线xm+2曲线7.xy+2ymx－2=0按a4 D.－－2 C.4 A.2 B.A答案：，则实b=c p a+q2，c=（3，－），用a、b作基底表示为1=2=8.设a（－1，），b（1，－）的值为数p、q=0 q，=4 D.p=1，，，A.p=4q=1 B.p=1q=4 C.p=0qB答案：MCMBMA等于+ －、、的中点是、、，的重心为设△9.ABCMBCCAABDEF，则304 ——．MFMDME D.4 4 A.0 B.3 C.－D答案：的关系是10.向量a与－a 不一定相交° D.C. A.垂直 B.平行相交成60B答案：13 |的最大值为－4b，θcosθ，sin），b=（|3k），则a设11.a=（27D.1C. A.49 B.7B答案：的值为n，则xn12.已知m=（3，2），=（x，4），m∥88 D. A.6 B.－6C.－33A答案：20分）二、填空题（每小题5分，共13_________. 13.已知|a|=3，|b|=4，|a－b的夹角为|=，则a与bπ答案：35=__________. 设|a|=2a，b=（－1，3），若a⊥b，则14.2222）或（－）3，答案：（，－3MM的坐标，－M（21），点M，则点分2M的比为λ=－415.若有点M（，3）和2121______________. 为答案：（0，－5）OAOCOB三点共线，且B、，C=（5，－1），若A16.设、=（－2，m），）=（n，1___________.n的值是OA⊥OB，则m+9或答案：92分）三、解答题（17题10分，18~22题每小题12分，共70BCAB. ）e，CD=3（e和17.设两个非零向量ee－不共线，如果e=+ee，=2e+821221121;）求证：A、B、D三点共线（1. 共线+ekek（2）试确定实数k的值，使e+e和2211CDBCABBD）证明：∵+5e==5+，=5e1（21BDAB共线.又B为公共点，∴A与、B、D三点共线∴.?,?k?）+=+）解：∵keeλ（eke，∴2（?2211??k?1.?305 ——．1.±解得k=. +b）的夹角|=|18.非零向量a和b满足|ab|=|a－b|，求a与（a b|，得解：设a与（a+b）的夹角为θ，由|a|=|b|=|a－1222222. －2a·b，故a+|b|||a|a|·=|b|b=|a－b|=|a|=222223.|=ba，∴|a|+2a·b=3||而|a+ba=|a|++|b|122?||a|a|3)?ba?(a2.??=cosθ因此，2a?b||a||aa||3||. °°，故又0°≤θ≤180θ=30、=4.B、C所对的边分别为a、b、c，b又a=219.在△ABC中，已知A>B>C，且AC，A、.b、c成等差数列，求a、c的长caca.?? =2C解：由正弦定理得，∴，又ACsinCsinCsin2Asin222aca?3a?c?aa2?45?c.???8,?cosC?c. a??2b?=∴cosCc4a22c8aa1624. a==，c可得2a=3c，与a+c=8联立，解得55OAOP，=、20.经过△ABO的重心G的直线与OAOB两边分别交于P、Qm两点，设11OB?OQ. 的值=n，求·nm11OAOGOBPGOPOG==ab，－=（a+b）－m a=解（a+b），则，：设==3311PG PQ b，使，即=nλ线、Q三点共，所以存在实数λ（Pm－）a+b.因、G331??,??(?m)m?11?3有］.于是+m a=λ[(－m)ab－?133??.n??3?11?=3. λ，得消去nm，位向量互相垂直的单i△、B是ABC的两个内角，、j是A21.已知253BA?A?B|=，试求tanmA·tanB.i =cosm+sin j，若|2422解：∵i·j=0，|i|=|j|=1，A?B5A?B2?sin222∴|m|=m=cos 242306 ——．9)?cos(A?B1?cos(A?B)51.??? =8422，A（－B）=5cos（A+B）∴4cossinB.AAsinB=5cosAcosB－5sin+4sin4cosAcosB 中，sinA·sinB≠0，sin∴9sinA·B=cosA·cosB.又△ABC1. =tanB∴tanA·∴cosA·cosB≠0.9的65－22.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O，如图2°方300 km海平面P处，并以20 km/h（东偏南θθ的速度向西偏北=arccos45）方向10的速度不断增大，问：10 km/h向移动，台风侵袭区域为圆形，当前半径为600 km，并以.几小时后该城市开始受到台风侵袭，kmt+60）t解：如图5－7，设时刻台风中心为Q，此时台风侵袭的圆形区域半径为（10+60.tOQ≤10O若在t时刻城市受到台风侵袭则北O东?海岸线Q.5°4 P7图5－由余弦定理，知222. PQOPQ+·POPO－2PQcosOQ= t=20，由于PO=300，PQ °）－45θcosOPQ=cos（°θsin45=cosθcos45°+sin42222?1???. ==252102104222××20t×故OQ=（20t）300+300－2 5222.+300=209600tt－222220. 36－t+288≤20因此，+300t－9600tt≤（10+60），即t24. ≤∴－t24）≤0.12≤t（12t∴（－）故经过12.小时后，台风开始袭击该城市307 ——．。
高中数学必修四第二章《平面向量》单元测试题(含答案)
高中数学必修四第二章单元测试题《平面向量》（时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则 a b ⋅=（ ）．A. 20B. 10C. 10-D. 20-2．已知向量31,22BA ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭， ()0,1BC =，则向量BA 与BC 夹角的大小为（ ） A. π6 B. π4 C. π3 D. 2π33.已知向量()11a =-，， ()12b =-，，则()2a b a +⋅＝（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 24．已知向量，若，则实数m 的值为 （ ） A. 0 B. 2 C. D. 2或 5．如上图，向量1e ， 2e ， a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 用基底1e ， 2e 表示为( )A. 1e ＋2eB. 21e －2eC. －21e ＋2eD. 21e ＋2e6．若三点()1,2A --、()0,1B -、()5,C a 共线，则a 的值为（ ）A. 4B. 4-C. 2D. 2-7．已知平面向量,a b 的夹角为60°，()1,3a =， 1b =，则a b +=（ ）A. 2B. 37 D. 48．已知向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则 a b ⋅=（ ）．A. 20B. 10C. 10-D. 20-9.已知向量()()()3,1,0,1,,3a b c k ==-=，若（2a b -）与c 互相垂直，则k 的值为 A. 1 B. 1- C. 3 D. 3-10.已知点()0,1A ， ()1,2B ， ()2,1C --， ()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ） A. 322 B. 2 C. 322- D. 3152- 11．在矩形ABCD 中， 3AB =， 3BC =， 2BE EC =，点F 在边CD 上，若•3AB AF =，则•AE BF 的值为（ ）A. 0B. 833C. 4-D. 4 12．已知ABC ∆是边长为4的等边三角形， P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值为 （ ）A. 3-B. 6-C. 2-D. 83-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a b λ+与2a b -共线，则λ=__________．14.已知单位向量a ， b 满足()1•232a ab -=，则向量a 与b 的夹角为__________． 15．在平行四边形ABCD 中， AC 与BD 交于点O ， E 是线段OD 的中点， AE 的延长线与CD 交于点F . 若AC a =， BD b =，则AF 等于_______（用a ， b 表示）.16．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在线段AB 边上运动（包含线段端点），则DE CB ⋅的值为__________； DE DB ⋅的取值范围为__________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题10分）已知四点A （-3，1），B （-1，-2），C （2，0），D （23,4m m +）（1）求证： AB BC ⊥；(2) //AD BC ，求实数m 的值.18．（本小题12分）已知向量()1,2a =，()3,4b =-．（1）求a b +与a b -的夹角；（2）若()a ab λ⊥+，求实数λ的值．19．（本小题12分）已知是夹角为的两个单位向量，，.（1）求；（2）求与的夹角.20．（本小题12分）如图，在平行四边形中，，是上一点，且. （1）求实数的值；（2）记，，试用表示向量，，.21．（本小题12分）已知向量a 与b 的夹角为120︒， 2,3a b ==， 32,2m a b n a kb =-=+. （I ）若m n ⊥，求实数k 的值； （II ）是否存在实数k ，使得//m n ？说明理由.22.（本小题12分）已知点(1,0),(0,1)A B -，点(,)P x y 为直线1y x =-上的一个动点.（1）求证：APB ∠恒为锐角；（2）若四边形ABPQ 为菱形，求BQ AQ ⋅的值.高中数学必修四第二章单元测试题《平面向量》参考答案（时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则 a b ⋅=（ ）．A. 20B. 10C. 10-D. 20- 【答案】C【解析】向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则a b a b ⋅=⨯ 1cos12054102⎛⎫︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭． 故选：C ．2．【2017届北京房山高三上期末】已知向量31,22BA ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭， ()0,1BC =，则向量BA 与BC 夹角的大小为（ ）A. π6B. π4C. π3D. 2π3【答案】C3.【2018届四川省成都市郫都区高三上期中】已知向量()11a =-，， ()12b =-，，则()2a b a +⋅＝（ ） A. 1- B. 0 C. 1 D. 2【答案】C【解析】()()()21,01,11a b a +⋅=-=,故选：C.4．已知向量，若，则实数m 的值为 （ ） A. 0 B. 2 C.D. 2或 【答案】C 【解析】∵向量，且 ∴， ∴.选C. 5．如上图，向量1e ， 2e ， a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 用基底1e ， 2e 表示为( )A. 1e ＋2eB. 21e －2eC. －21e ＋2eD. 21e ＋2e【答案】C6．若三点()1,2A --、()0,1B -、()5,C a 共线，则a 的值为（ ）A. 4B. 4-C. 2D. 2-【答案】A【解析】()1,2A --, ()()0,1,5B C a -，三点共线ABAC λ∴→=→即()()1162a λ=+，，()16{ 12a λλ==+ 16λ∴=, 4a = 故答案选A .7．【2018届全国名校大联考高三第二次联考】已知平面向量,a b 的夹角为60°，()1,3a =， 1b =，则a b +=（ ） A. 2 B. 23 C. 7 D. 4 【答案】C 8．已知向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则 a b ⋅=（ ）．A. 20B. 10C. 10-D. 20-【答案】C【解析】向量a 与b 的夹角是120︒，且5a =， 4b =，则a b a b ⋅=⨯ 1cos12054102⎛⎫︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭． 故选：C ．9.【2018届福建省福安市一中上学期高三期中】已知向量()()()3,1,0,1,,3a b c k ==-=，若（2a b -）与c 互相垂直，则k 的值为A. 1B. 1-C. 3D. 3-【答案】D【解析】()23,3a b -=，因为（2a b -）与c 互相垂直，则()233303a b c k k -⋅=+=⇒=-，选D. 10.【2018届河南省中原名校高三第三次考评】已知点()0,1A ， ()1,2B ， ()2,1C --， ()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）A. 322B. 2C. 322-D. 3152-【答案】B【解析】()()1,1.5,5AB CD ==则向量AB 在CD 方向上的投影为10cos ,252AB CDAB AB CD AB AB CD ⋅=⋅==故选B.11．【2018届黑龙江省齐齐哈尔地区八校高三期中联考】在矩形ABCD 中， 3AB =，3BC =， 2BE EC =，点F 在边CD 上，若•3AB AF =，则•AE BF 的值为（ ）A. 0B. 833 C. 4- D. 4【答案】C【解析】12．【2018届河南省漯河市高级中学高三上期中】已知ABC ∆是边长为4的等边三角形， P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值为 （ ）A. 3-B. 6-C. 2-D. 83-【答案】B【解析】如图建立坐标系， (()()0,23,2,0,2,0A B C -，设(),P x y ，则()()(),23,2,,2,PA x y PB x y PC x y =--=---=--，()()()22,232,22243PA PB PC x y x y x y ∴⋅+=-⋅--=+-(222366x y ⎡⎤=+--≥-⎢⎥⎣⎦，∴最小值为6-，故选B.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a b λ+与2a b -共线，则λ=__________．【答案】12-【解析】由题意得()11:2:12λλ=-∴=- .14.【2018届河北省邢台市高三上学期第二次月考】已知单位向量a ， b 满足()1•232a ab -=，则向量a 与b 的夹角为__________． 【答案】60°（或3π） 【解析】因为()1232a a b ⋅-=，化简得： 2123232a a b a b -⋅=-⋅=，即12a b ⋅=，所以1cos ,2a b a b a b⋅==⋅，又0,a b π≤≤，所以,3a b π=，故填3π. 15．【2018届福建省三明市第一中学高三上学期期中】在平行四边形ABCD 中， AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点， AE 的延长线与CD 交于点F . 若AC a =， BD b =，则AF 等于_______（用a ，b 表示）.【答案】2133a b + 【解析】∵AC a =， BD b =，∴11112222AD AC BD a b =+=+. ∵E 是OD 的中点，∴＝，∴DF＝AB .∴111111332266DF AB AC BD a b ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭， ∴111121226633AF AD DF a b a b a b =+=++-=+. 16．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在线段AB 边上运动（包含线段端点），则DE CB ⋅的值为__________； DE DB ⋅的取值范围为__________． 【答案】 1 []1,2【解析】如图，以D 为坐标原点，以DC ， DA 分别为x ， y 轴，建立平面直角坐标系， ()0,0D ， ()0,1DE x ， ()1,1B ， ()0,1CB ，()1,0C ， ()1,1DB ， ()0,1E x ， []00,1x ∈，∴1DE CB ⋅=， 01DE DB x ⋅=+，∵001x ≤≤，0112x ≤+≤，∴DE DB ⋅的取值范围为[]1,2，故答案为1， []1,2.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题10分）已知四点A （-3，1），B （-1，-2），C （2，0），D （23,4m m +） （1）求证： AB BC ⊥； (2) //AD BC ，求实数m 的值. 【答案】(1)见解析(2) 12-或1 【解析】试题分析：（1）分别根据向量的坐标运算得出AB BC ，算出AB BC ⋅（2）由向量的平行进行坐标运算即可. 试题解析：(1)依题意得， ()()2,3,3,2AB BC =-= 所以()23320AB BC ⋅=⨯+-⨯= 所以AB BC ⊥.18．（本小题12分）已知向量()1,2a =，()3,4b =-． （1）求a b +与a b -的夹角； （2）若()a ab λ⊥+，求实数λ的值． 【答案】（1）34π；（2）1-． 【解析】（1）因为()1,2a =，()3,4b =-，所以()2,6a b +=-，()4,2a b -=- 所以()()2,64,2202cos ,240204020a b a b -⋅--+-===-⨯⨯，由[],0,a b a b π+-∈，则3,4a b a b π+-=； （2）当()a ab λ⊥+时，()0a a b λ⋅+=，又()13,24a b λλλ+=-+，所以13480λλ-++=，解得：1λ=-.19．（本小题12分）已知是夹角为的两个单位向量，，.（1）求； （2）求与的夹角. 【答案】(1);(2)与的夹角为.【解析】试题分析：（1）向量点积的运算规律可得到再展开根据向量点积公式得最终结果；（2）同第一问，由向量点积公式展开=0.∵是夹角为的两个单位向量，∴，(1)(2) ,,∴，∴与的夹角为.20．（本小题12分）如图，在平行四边形中，，是上一点，且. （1）求实数的值；（2）记，，试用表示向量，，.【答案】(1)；(2)，，.【解析】试题分析：（1）根据平面向量共线定理得到，由系数和等于1，得到即。
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平面向量单元达标试卷
一、选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的) 1．化简BC AC AB --等于( ) A ．0
B ．2BC
C ．BC 2-
D ．AC 2
2．已知四边形ABCD 是菱形，有下列四个等式：①BC AB =②||||BC AB =③
||||BC AD CD AB +=-④||||BC AB BC AB -=+，其中正确等式的个数是( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
3．如图，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD ＝( )
A ．BA BC 2
1
+- B ．BA BC 2
1-- C ．BA BC 21
-
D ．BA BC 2
1
+
4．已知向量a 、b ，且b a 2+=MN ，b a 65+-=NQ ，b a 27-=QR ，则一定共线的三点是( )
A ．M 、N 、Q
B ．M 、N 、R
C ．N 、Q 、R
D ．M 、Q 、R
5．下列各题中，向量a 与b 共线的是( )
A ．a ＝e 1＋e 2，b ＝e 1－e 2
B ．2121e e a +=
，2121e e b += C ．a ＝e 1，b ＝－e 2
D ．2110131e e a -=，215
1
32e e b +-=
二、填空题
6．一飞机从甲地按南偏东15°的方向飞行了2000千米到达乙地，再从乙地按北偏西75°的方向飞行2000千米到达丙地，则丙地相对于甲地的位置是________.
7．化简
=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--+-)76(4131)34(32b a b b a ________. 8．已知数轴上三点A 、B 、C ，其中A 、B 的坐标分别为－3、6，且｜CB ｜＝2，则｜
AB ｜＝________，数轴上点C 的坐标为________．
9．已知2a ＋b ＝3c ，3a －b ＝2c ，则a 与b 的关系是________．
三、解答题
10．已知向量a、b，求作a＋b，a－b．
(1)(2)
(3)(4)
11．如图所示，D、E是△ABC中AB、AC边的中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知BC＝a ，BD＝b．试用a、b表示DE、CE和MN．
12．已知梯形ABCD中，AB∥DC，设E和F分别为对角线AC和BD的中点，求证EF 平行于梯形的底边．
单元达标
1．C 2．C 3．A 4．B 5．D
6．丙地在甲地南偏西45°方向上，且距甲地2000千米． 7．b a 18
11
35- 8．9，4或8 9．a ＝b
10．图略
11．由三角形中位线定理，知a 2
1
21==
BC DE ，b a +-=++=DE BD CB CE b a a +-=+2121．b a a -+-=++=++=2
1
412121BC DB ED BN DB MD MN 即b a -=4
1
MN ．
12．证：a =AB ，b =BC ，c =CD ，d =DA ，则a ＋b ＋c ＋d ＝0，∵DC AB // 故可设c ＝m a (m 为实数且m ≠－1)，又BF AB EA EF ++=，但2
121==
CA EA )(21)(d c +=+DA CD ，)(21
)(2121c b +=+==CD BC BD BF 故
++=)(21d c EF a ＋21(b ＋c )＝21(a ＋b ＋c +d )＋21(a ＋c )＝21(a ＋c )＝2
1
(m ＋1)a ，所
以AB EF //，又因为EF 与AB 没有公共点，所以EF ∥AB ．。