圆周角与圆心角的关系

[例]如图示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系?为什么?
[师生共析]由于AB是⊙O的直径，故连接AD．由推论直径所对的圆周角是直角，便可得AD⊥BC，又因为△ABC中，AC＝AB，所以由等腰三角形的二线合一，可证得BD=CD．
下面哪位同学能叙述一下理由?
二、推论二：
直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
三、例题
四、随堂练习
五、做一做(反证法)
六、课时小结
七、课后作业
假设船在⊙O上，则有∠α＝∠C，这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O内，则有∠α>∠AEB，即∠α>∠C．这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O内，因此，船只能位于⊙O外．
注意：用反证法证明命题的一般步骤：
(1)假设命题的结论不成立；
(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾．
(3)山矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．
∴∠BAD＝∠ABP．
∴AE＝BE．
(2)当弧PC=弧AB时，AF=EF．
证明：∵弧PC=弧AB，
∴∠PBC=∠ACB．
而∠AEF＝∠BED＝90°-∠PBC，
∠EAF=90°-∠ACB．
∴∠AEF=∠EAF．
∴AF=EF．
板书设计
圆周角和圆心角的关系
一、推论一：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
Ⅲ.P107随堂练习
1．为什么有些电影院的坐位排列(横排)呈圆弧形？说一说这种设计的合理性．
答：有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等．
2．如下图，哪个角与∠BAC相等?
答：∠BDC＝∠BAC．
3. 如下图，⊙O的直径AB＝10 cm，C为⊙O上的一点，∠ABC＝30°，求AC的长．
[生]分类讨论、化归、转化思想方法．
[师]同学们请看下面这个问题：
已知弦AB和CD交于⊙O内一点P，如下图．
求证：PA·PB=PC·PD
．
[师生共析]要证PA·PB＝PC·PD，可证 ．由此考虑证明以PA、PC为边的三角形与以PD、PB为边的三角形相似．由于图中没有这两个三角形，所以考虑作辅助线AC和BD．要证△PAC∽△PDB．由已知条件可得∠APC与∠DPB相等，如能再找到一对角相等．如∠A＝∠D或∠C＝∠B．便可证得所求结论．如何寻找∠A=∠D或∠C=∠B.要想解决这个问题．我们需先进行下面的学习．
(2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么?
分析：这是一个有实际背景的问题，由题意可知：“危险角”∠ACB实际上就是圆周角，船P与两个灯塔的夹角为∠α，P有可能在⊙O外，P有可能在⊙O内，当∠α＞∠C时，船位于暗礁区域内；当∠α＜∠C时，船位于暗礁区域外，我们可采用反证法进行论证．
Ⅱ．讲授新课
[师]请同学们画一个圆，以A、C为端点的弧所对的圆周角有多少个?(至少画三个)
它们的大小有什么关系?你是如何得到的?
[生] 弧AC所对的圆周角有无数个，它们的大小相等，我是通过度量得到的．
[师]大家想一想，我们能否用验证的方法得到上图中的∠ABC＝∠ADC＝∠AEC?(同学们互相交流、讨论)
解：∵AB为⊙O的直径．
∴ACB=90°．
又∵∠ABC=30°，
∴AC= AB= ×10=5(cm)．
4．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形，根据下图，你能判断哪个是半圆形?为什么?
答：图(2)是半圆形、理由是：90°的圆周角所对的弦是直径．
Ⅳ．下面我们一起来看一个问题：做一做(出示投影片§ 3．3．2 C)
Ⅵ.课后作业
课本P108习题3．5
Ⅶ．活动与探究
1．如下图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC于D，P是弧AC上一动点，连结PB分别交AD、AC于点E、F．
(1)当弧PA=弧AB时，求证：AE=EB；
(2)当点P在什么位置时，AF=EF，证明你的结论．
[过程](1)连结AB．证AE=EB．需证∠ABE＝∠BAE．
教学重点
圆周角定理的几个推论的应用．
教学难点
理解几个推论的“题设”和“结论”．
教学方法
指导探索法．
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
[师]请同学们回忆一下我们前几节课学习了哪些和圆有关系的角?它们之间有什么关系?
[生]学习了圆心角和圆周角、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．即圆周角定理．
[师]我们在分析、证明上述定理证明过程中，用到了些什么数学思想方法?
[生]BD=CD．理由是：
连结AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
即AD⊥BC．
又∵AC＝AB,
∴BD＝CD．
[师]通过我们学习圆周角定理及推论，大家互相交流，讨论一下，我们探索上述问题时，用到了哪些们用到了度量与证明的方法，比如说在研究同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；还学到了分类与转化的方法．比如说在探索圆周角定理过程中，定理的证明应分三种情况，在这三种情况中，第一种情况是特殊情况，是证明的基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决，再比如说，学习圆周角定义时，可由前面学习列的圆心角类比得出圆周角的概念……
解：(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域内(即⊙O内)，理由是：
连结BE，假设船在(⊙O上，则有∠α=∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O外，则有∠α＜∠AEB，即∠α＜∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O外．因此．船只能位于⊙O内．
(2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域外(即⊙O外)．理由是：
[生]如图，结论不成立．因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在弦不是 直径的情况下是不相等的.
注意：(1)“同弧”指“同一个圆”．
(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”．
(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．
[师]接下来我们看下面的问题：
如图，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角是锐角、直角，还是钝角?你是如何判断的?(同学们互相交流，讨论)
[生]由图可以看出，∠ABC、∠ADC和∠AEC是同弧(弧AC)所对的圆周角，根据上节课我们所学的圆周角定理可知，它们都等于圆心角∠AOC的一半，所以这几个圆周角相等．
[师]通过刚才同学的学习，我们上面提出的问题∠A=∠D或∠C＝∠B找到答案了吗?
[生]找到了，它们属于同弧所对的圆周角．由于它们都等于同弧所对圆心角的一半，这样可知∠A＝∠D或∠C＝∠B．
[师]通过刚才大家的交流，我们又得到了圆周角定理的又一个推论：
直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
注意：这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角：如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题．
[师]为了进一步熟悉推论，我们看下面的例题．(出示投影片§3．3．2 B)
教案示例-------圆周角和圆心角的关系
教学目标
(一)教学知识点
1．掌握圆周角定理几个推论的内容．
2．会熟练运用推论解决问题．
(二)能力训练要求
1．培养学生观察、分析及理解问题的能力．
2．在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式．
(三)情感与价值观要求
培养学生的探索精神和解决问题的能力.
[师]如果我们把上面的同弧改成等弧，结论一样吗?
[生]一样，等弧所对的圆心角相等，而圆周角等于圆心角的一半，这样，我们便可得到等弧所对的圆周角相等．
[师]通过我们刚才的探讨，我们可以得到一个推论．
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
[师]若将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论成立吗?请同学们互相议一议．
Ⅴ．课时小结
本节课我们学习了圆周角定理的2个推论，结合我们上节课学到的圆周角定理，我们知道，在同圆或等圆中，根据弦及其所对的圆心角，弧，弦、弦心距之间的关系，实现了圆中这些量之间相等关系的转化，而圆周角定理建立了圆心角与圆周角之间的关系，因此，最终实现了圆中的角(圆心角和圆周角)，线段(弦、弦心距)、弧等量与量之间相等关系的相等相互转化，从而为研究圆的性质提供了有力的工具和方法．
(2)执果索因寻条件：要AF=EF，即要∠A＝∠AEF，而∠AEF=∠BED，而要∠A=∠BED，只需∠B＝∠C，从而转化为弧PC=弧AB．
[结果](1)证明：延长AD交⊙O于点M，连结AB、BM．
∵BC为⊙O的直径，AD⊥BC于D．
∴弧AB=弧BM．
∴∠BAD＝∠BMD．
又∵弧AB=弧AP，
∴∠ABP=∠BMD．
船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁，如下图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”．当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁．
(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么?
[生]直径BC所对的圆周角是直角，因为一条直径将圆分成了两个半圆，而半圆所对的圆心角是∠BOC=180°，所以∠BAC=∠90°．
[师]反过来，在图中，如果圆周角∠BAC=90°，那么它所对的弦BC经过圆心O吗?为什么?
[生]弦BC经过圆心O，因为圆周角∠BAC=90°．连结OB、OC，所以圆心角∠BOC=180°，即BOC是一条线段，也就是BC是⊙O的一条直径．