实用文档之解三角形高考大题,带答案

实用文档之"解三角形高考大题，带答案"

1. （宁夏17）（本小题满分12分）

如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形，

90ACB =∠，BD 交AC 于E ，2AB =． （Ⅰ）求cos CAE ∠的值； （Ⅱ）求AE ．

解：（Ⅰ）因为9060150BCD =+=∠，

CB AC CD ==，

所以15CBE =∠．

所以6cos cos(4530)CBE =-=∠． ··················································· 6分 （Ⅱ）在ABE △中，2AB =， 由正弦定理

2

sin(4515)sin(9015)

AE =-+．

故2sin 30

cos15

AE

=

1

2

⨯

=

=． 12分

2. （江苏17）（14分）

某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km ，BC=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的总长为ykm 。 （1）按下列要求写出函数关系式：

①设∠BAO=θ(rad )，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP=x (km )，将y 表示成x 的函数关系式；

（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。

【解析】：本小题考查函数的概念、

解三角形、导数等基本知识，考查数学建模能力、 抽象概括能力和解决实际问题的能力。

（1）①由条件知PQ 垂直平分AB ，

10

cos cos AQ OA BAO θ

=

=∠，

B

A

C

D

E

B

故10

cos OB θ

= 又1010OP tan θ

=-，所以

1010

1010cos cos y OA OB OP tan θθθ

=++=++-

所求函数关系式为2010sin 10(0)cos 4

y θπ

θθ-=+≤≤

②

若

OP=x (km )

，

则

OQ=10-x

，

所

以

OA OB ===

所求函数关系式为(010)y x x =+≤≤

（

2）选择函数

模

型

①

，

2210cos cos (2010sin )(sin )10(2sin 1)

'cos cos y θθθθθθθ-----=

=

令'0y =得1sin 2θ= 046

ππ

θθ≤≤∴=

当(0,

)6π

θ∈时'0y <，y 是θ的减函数；当(,)64

ππ

θ∈时'0y >，y 是θ

的增函数； 所以当6

π

θ=

时，min 1

20101010y -⨯

=

=

此时点O

位于线段AB 的中垂线上，且距离AB km 处。 3. （辽宁17）（本小题满分12分） 在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，

3

C π

=

． （Ⅰ）若ABC △a b ，； （Ⅱ）若sin 2sin B A =，求ABC △的面积． 解：（Ⅰ）由余弦定理得，2

2

4a b ab +-=

， 又因为ABC △

1

sin 2

ab C =4ab =． ························ 4分 联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，

，

解得2a =，2b =． ·············································· 6分

（Ⅱ）由正弦定理，已知条件化为2b a =， ························································ 8分

联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，

解得3a =

，3b =．

所以ABC △

的面积1sin 2S ab C =

=． ····················································· 12分 4．（全国Ⅰ17）（本小题满分12分）

设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且cos 3a B =，sin 4b A =． （Ⅰ）求边长a ；

（Ⅱ）若ABC △的面积10S =，求ABC △的周长l ． 解：（1）由cos 3a B =与sin 4b A =两式相除，有：

3cos cos cos cot 4sin sin sin a B a B b B B b A A b B b ==== 又通过cos 3a B =知：cos 0B >，

则3cos 5B =，4

sin 5

B =，

则5a =．

（2）由1

sin 2S ac B =，得到5c =．

由222

cos 2a c b B ac

+-=，

解得：b =

最后10l =+

5．（全国Ⅱ17）（本小题满分10分） 在ABC △中，5cos 13

A =-

，3

cos 5B =．

（Ⅰ）求sin C 的值；

（Ⅱ）设5BC =，求ABC △的面积．

解：（Ⅰ）由5cos 13

A =-

，得12sin 13A =，

由3cos 5B =，得4

sin 5

B =． ··········································································· 2分

所以16

sin sin()sin cos cos sin 65

C A B A B A B =+=+=． ····································· 5分