参数估计基础
参数估计知识点
参数估计知识点一、知识概述《参数估计》①基本定义：简单说，参数估计就是通过样本数据去猜总体的一些参数。
比如说，想知道全校学生的平均身高，不可能一个一个去量，那就找一部分学生（样本）量出他们的身高，然后根据这部分学生的身高数据来推测全校学生（总体）的平均身高，这个推测的过程就是参数估计。
②重要程度：在统计学里那可相当重要。
就像要了解一个大群体的情况，直接研究整体往往很难，通过参数估计从样本推测整体的情况就变得可行而且高效。
无论是搞市场调查，还是科学研究，这个工具相当好使。
③前置知识：得有点基本的数学知识，像平均数、方差这些概念要能明白，还得对抽样有点概念，知道怎么从一个大群体里抽取样本出来。
④应用价值：在各种实际场景里都有用。
比如企业想了解消费者对产品的满意度，不可能访谈每个消费者，抽样一部分做参数估计就好了。
还有估算农作物亩产量之类的，都可以用到。
二、知识体系①知识图谱：在统计学里，参数估计是推断统计的一部分，是和假设检验等方法相互联系的。
推断统计主要就是根据样本信息推断总体特征，而参数估计是其中很核心的一部分。
②关联知识：和抽样分布密切相关啊。
抽样分布是参数估计的理论基础，如果不知道抽样分布，那参数估计就像无根之木。
还和概率相关，毕竟在样本中各种数值出现是有概率的。
③重难点分析：掌握难度嘛，开始会觉得有点抽象。
关键在于理解样本和总体之间的关系，以及怎么根据不同的条件选择合适的估计方法。
④考点分析：在统计学考试里常考。
考查方式有直接给样本数据让进行参数估计，或者结合其他知识点，像给出抽样分布然后问参数估计的结果之类的。
三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：参数估计就是根据样本统计量去估计总体参数。
总体参数就是描述总体特征的数值，像总体均值、方差之类的。
样本统计量就是从样本里计算出来的值，比如说样本均值、样本方差等。
②特征分析：不确定性算一个特点吧。
毕竟样本不是总体，根据样本做的估计不可能完全精准。
参数估计的基础(8)
可信区间和可信限
❖ 可信区间（confidence interval 简记为CI） 可信区间是以上下可信限为界的一个范围。例如 95%的可信区间为（171.97，173.49）cm。
❖ 可信限（ confidence limit 简记为CL） 可信限是指上限和下限两个点值。如171.97为下限
结果报告：可将点值估计和区间估计同时写出 如 172.72（171.97，173.49）cm
例
该市19岁健康男大学生的身高的95%置信区间 (171.3,173.1)cm
总体均数可信区间的估计
可信 区间
已知
未知 但n足够大
未知 且n小
95% Sx
X±1.96x
X±1.96Sx
99% Sx
X±2 0.05（ ） X±t 0.01（）
（二）、总体概率的置信区间
表3.1 100个样本均数
173.22 172.06 170.89 174.07 172.60 173.14 172.61 172.26 171.93 172.85
175.23 173.76 174.77 172.57 171.76 172.74 173.36 173.69 171.10 173.40
呈正态分布； ④样本均数变异范围较原变量变异范
围大大缩小，这100个样本均数的 均数为167.69cm、标准差为1.69cm。
在非正态分布总体中可进行类似抽样。
数理统计推理和中心极限定理表明:
从 N (, 2 )中随机抽取n例的样本，样本均数 X也服从
正态分布,且
x
~
N
(,
2 x
)
即使从非正态总体中抽取样本，当n足够大（n>30),
本例n=27，S=15
参数估计方法与实例例题和知识点总结
参数估计方法与实例例题和知识点总结在统计学中，参数估计是一项重要的任务，它帮助我们通过样本数据来推断总体的特征。
这一过程对于做出合理的决策、进行科学研究以及解决实际问题都具有关键意义。
接下来，让我们深入探讨参数估计的方法，并通过实例例题来加深理解，同时对相关知识点进行总结。
一、参数估计的基本概念参数估计，简单来说，就是根据样本数据对总体参数进行推测和估计。
总体参数是描述总体特征的数值，例如总体均值、总体方差等。
而我们通过抽样得到的样本数据则是进行参数估计的基础。
二、参数估计的方法（一）点估计点估计是用一个数值来估计总体参数。
常见的点估计方法有矩估计法和极大似然估计法。
矩估计法的基本思想是利用样本矩来估计总体矩，从而得到总体参数的估计值。
例如，对于正态分布，我们可以用样本均值来估计总体均值，用样本二阶中心矩来估计总体方差。
极大似然估计法则是基于这样的思想：在给定样本观测值的情况下，找到使样本出现的概率最大的总体参数值。
（二）区间估计区间估计是给出一个区间，认为总体参数有一定的概率落在这个区间内。
常用的区间估计有置信区间。
置信区间的构建基于样本统计量的分布，以及给定的置信水平。
例如，对于总体均值的估计，我们可以构建一个置信水平为 95%的置信区间。
三、实例例题假设我们对某工厂生产的灯泡寿命进行抽样调查。
抽取了 50 个灯泡，其寿命的样本均值为 1000 小时，样本标准差为 100 小时。
（一）点估计我们可以用样本均值 1000 小时作为总体均值的点估计值。
（二）区间估计若要构建 95%的置信区间，由于样本量较大，我们可以使用正态分布近似。
标准正态分布的 95%置信区间对应的 z 值约为 196。
则总体均值的 95%置信区间为：＼＼begin{align}＆1000 196 ＼times ＼frac{100}｛＼sqrt{50}｝＼＼＆1000 ＋ 196 ＼times ＼frac{100}｛＼sqrt{50}｝＼end{align}＼计算可得置信区间约为（9608，10392）。
《统计学》第10讲 参数估计(复习+习题)
（二）方差的区间估计
1.总体方差的区间估计
对于来自正态总体的容量为n的简单随机样本，统 计量 n 1s 2 / 2 服从自由度为 n 1 的卡方分布。
n 1 s 2
2
~ 2 n 1
总体方差在1- 置信水平下的置信区间为
2 n 1 s
2
2 2 2 2 s1 s2 s1 s2 , F 2 F1 2
F分布两个自由度
24
（三）总体比率区间估计
1.单样本比率的区间估计
当样本容量充分大时，样本比率p近似服从以总体比
率P为数学期望，以P(1-P)/n为方差的正态分布。
1. 样本比率的数学期望
E (p) P
2. 样本比率的方差
P (1 P ) n
n1 n2
18
( n1 3 0， n 2 3 0 )
大样本，方差已知（两个总体分布没有要求）
1. 两个样本均值之差 x 1 x 2 的抽样分布服从正态
分布，其数学期望为两个总体均值之差
E (x1 x 2 ) 1
2
2. 方差为各自的方差之和
2 x1 x 2
12 22 n1 n2
•
分别从两个独立的随机总体中抽取容量为n1和n2的 独立样本，当两个样本都为大样本时，两个样本比 率之差的抽样分布可用正态分布来近似。 数学期望为
• •
E ( p 1 p 2 ) P1 P 2
方差为各自的方差之和
27
2 p1 p 2
P1 (1 P1 ) P2 (1 P2 ) n1 n2
2
2 2 x n
卫生统计学七版 第五章参数估计基础电子教案
P0.05
第三节 总体均数及总体概率的估计
一、参数估计的基础理论
参数估计区 点间 估估 计计
对总体参数估计 称的 为范 置围 信区C间（ I ， co用 nfidenicneterv）al
表示，其置信1度 ）为，（一般取置95信 %，度即为取 为0.05，此区
间的较小值称为 限置 ，信 较下 大值称为 限置 。信 一上 般进行双 区侧 间的估计。
卫生统计学七版 第五ຫໍສະໝຸດ 参数估 计基础第一节 抽样分布与抽样误差
一、样本均数的抽样分布与抽样误差
……
x15 .55 1 sx0.9617
样本均数的标准差越，大抽样误差就越大
样本均数的标准差称标为准误
x
n
sx
s n
sx称为标准误估计值，简也称标准误
标准误与标准差成正比 ，与样本含量成反比
标准误越大，抽样误差越大。
2、正态近似法
当已知时X： u
n
当未知但n足够大时X：u0.05
s n
X1.96 s n
或：X1.96s X
例5-3(P95) 某医生于2000年在某市随机抽取90名 19岁的健康男大学生，测量了他们的身高，得样本均数 为172.2cm，标准差为4.5cm，试估计该市2000年19岁健 康男性大学生平均身高的95%置信区间 。
对任意分布，在样本含量足够大时，其样本均数的分布都 近似正态分布，且样本均数的均数等于原分布的均数。
二、样本频率的抽样分布与抽样误差
总体率的标准误：
p
(1 )
n
率的标准误的估计值：
sp
p(1 p) n
标准误大抽样误差就大。
第二节 t分布
一、t分布的概念
参数估计基础
p ~ B(n,π), 给定n=50, π =0.20. 共抽取100个样本，计算黑球的比例， p1,p2,…,p100.结果见表5-3。
表5-3 从B(n=50 =0.20)抽取的100 个样本频率的频数分布
黑球比例(%) 8.010.012.014.016.018.020.022.024.026.0-
试估计：该样本频率的抽样误差。 已知：p=41.5%,n=776,代入公式(5-4)得到标准误估 计值：
S pp 1 n p 0 .4 1 5 7 1 7 6 0 .4 1 5 0 .0 1 7 7 或 1 .7 7 %
标准误的估计值较小，说明用样本患病率 41.5%估计总体患病率的可靠性较好。
组段（cm） 152.6～
153.2～ 153.8～ 154.4～ 155.0～ 155.6～ 156.2～ 156.8～ 157.4～ 158.0～158.6
合计
频数 1
4 3 19 25 23 18 4 1 2 100
频率（％） 1.0
4.0 3.0 19.0 25.0 23.0 18.0 4.0 1.0 2.0 100.0
= 时，t分布就完全等于标准正态分布。 3、标准正态分布有两个固定常数（0，1）,t分 布只有一个参数 。
❖ 练习：
❖ 1、ν＝10，双侧尾部面积为0.05的t界值是？
❖ 2、ν＝100，单侧尾部面积为0.05的t界值是？
❖ 3、ν＝∞，双测尾部面积和单侧尾部面积分别 为0.05的界值是？
❖1、t 0.05/2，10＝2.228
两侧越分散； ➢ 随着 逐渐增大，t分布逐渐逼近标准正态分布；
当 趋于 时，t分布就完全成为标准正态分布。
统计基础知识学习之参数估计
总体总量、总体平均数、总体成数、总 体方差和标准差
总体平均数：是总体所研究标志的平均值， 用 表示。 X 例如：研究某县102个行政村的人均纯收入， 那么该县每个村的纯收入之和除以该县常 住人口数得到的平均数就是总体平均数。
X=
∑x
i =1
i
n
其中：xi为每个村的纯收入，n为该县常住人口数。
总体总量、总体平均数、总体成数、总 体方差和标准差
参数估计
二00八年六月 八年六月
主要内容
总体参数 统计量 估计的理论依据 统计误差 点估计 区间估计
一、参数估计的概念
估计就是根据从样本中收集的信息对总 体未知量进行推断的过程。参数估计就是 根据随机抽样调查得来的样本数据，对未 知的总体水平、结构、规模等数量特征进 行估计，即样本指标估计总体指标。
中心极限定理的意义
只要是服从正态分布，我们就有可能 开展抽样调查。 中心极限定理为点估计和区间估计奠 定了理论基础 。 我们就可以用样本代替总体，用样本 值来推断总体数。
二、统计误差
●统计误差是指统计数据与客观实际数量之
间的差异。 间的差异。
（一）登记误差和代表性误差
1、登记误差 登记误差又称工作误差，是指在调查、整理工作 中，由于各种主观原因引起的误差。 例如：由于指标含义不清、口径不同而造成的误 差；在登记、计算、抄写上有差错造成的误差。
2、样本指标
●样本指标是根据样本各单位标志值计算的综合
指标。 ●常用的样本指标有样本平均数、样本成数、样 本方差和样本标准差。
●样本指标一般用小写字母表示。
x
（三）参数估计的理论基础
●大数定律：
它说明：如果被研究的总体是由大 量的相互独立的随机因素组成，而且 每个因素对总体的影响都相对小，那 么对这些大量因素加以综合平均，因 素的个别影响将相互抵消，而呈现出 其共同作用的影响，使总体具有稳定 的性质。
第六章参数估计基础
1总体分布的形态和样本含量对样本均数的抽样分布会产生何种影响？
从正态分布的总体中随机抽样，样本均数呈正态分布；从非正态分布的总体中随机抽样，样本量n较小时，样本均数的分布仍呈非正态分布，当样本量n足够大时，样本均数的分布近似正态哦分布。
计算：σXbar=σ/√n.在实际应用中，总体标准差σ常常未知，需要用样本标准差S来估计。此时，均数标准误的估计值为SXbar=S/√n.由此式可见，若增加样本含量n可减小样本均数的抽样误差。
主要应用：1估计总体均数的置信区间。 2均数的假设检验。
样本频率的抽样分布和抽样误差：频率的标准误用符号σp表示，它反映了样本频率之间以及样本频率与总体概率之间的离散程度，也反映了样本频率抽样误差的大小。
1.点估计：直接用随机样本的样本均数Xbar作为总体均数μ的估计值或用样本频率p作为总体概率π的估计值的方法称为点估计。这是一种没有考虑抽样误差的简单估计方法。
2.区间估计：用已知样本统计量和标准误确定总体参数所在范围的方法称为区间估计。所估计的总体参数的范围通常称为参数的置信区间，，是一个开区间，这一估计可相信的程度称为置信度或置信水平。若标准差不变，置信度由95%提高到99%，置信区间便由窄变宽，估计的精度下降。
计算：σp=√（π(1-π)/n）。在实际应用中，总体概率π常常未知，需要用样本频率p来估计。因此频率标准误的估计值为Sp=√（p(1-p)/n-1）约等于 √（p(1-p)/n）。由此式可见，增加样本含量n可减小样本频率的抽样误差。
主要应用：1估计总体概率的置信区间 2频率指标的假设检验。
参数估计
6. 参数估计6.1. 参数估计概述统计学包括四个方面的问题，其中之一就是统计推断。
所谓统计推断就是指，如果有一个总体，其分布和统计量都不知道，如一批生产出来的产品的质量。
这样就需要对其进行推断，如一批灯泡的平均使用寿命是多少，是否为合格品等。
统计推断就是解决这些问题。
统计推断分为两个方面，一方面是参数估计，另一方面是假设检验。
6.1.1.参数估计所谓参数估计就是通过对样本的研究，来确定总体的统计量。
其中又可分为点估计和区间估计两类。
点估计就是估计出总体的某一统计量的确切值，如总体的均值、方差等。
通常可以通过样本的相应值来进行估计。
如：样本的平均值∑=i X nx 1是总体平均值的估计量； 样本的方差为∑=--=ni i x x n s 122)(11是总体方差的估计量； 点估计的优点在于它能明确地给出所估计的参数。
但是一般说来，估计的数值与实际值之间是肯定会有误差存在的。
在实际工作中常常需要对这种误差进行衡量，也就是说还需要确定这个估计值的精度，或误差范围和可信程度。
因此就产生了区间估计的问题。
区间估计是通过样本来估计总体参数可能位于的区间。
例如说一批产品的平均使用寿命为1000小时，这仅仅是一个点估计，还需要说明大多数产品（95%）的使用寿命的上限和下限值，比如说位于800~1200小时之间，这就是一个区间估计值。
因此，在进行区间估计时，除了要给出一个区间值外，还需要同时指明可以信赖的程度，即在进行区间估计时，需要确定的是αθθθ-=<<1)ˆˆ(21p ，其中α为事先给定的一个很小的正数，如0.10, 0.05, 0.01或0.001等，称之为显著水平；1-α称为参数θ的置信概率，或置信水平。
θ1和θ2为所估计的参数θ的区间范围的上下限。
其含为我们有100（1-α）%的把握相信所估计的参数θ位于θ1和θ2的区间范围内。
6.1.2.估计量的评价标准对于所给出的估计来说，有些是好的，有些则不是。
学习_参数估计基础与假设检验
• 可信区间的两个要素： 准确度 反映在可信度的大小 精密度 反映在区间的长度
• （二）区间估计的方法:
•
X － t/2, sx < <X + t/2,
sx ;
• 95% CI（X- t0.05/2, sx ,X+ t0.05/2, sx )
•
• 已知，X - z/2,x < <X + z/2,x ;
• a.区间估计的涵义: 有1-可能
包含总体均数在内的一个范围, 习 惯上使用95%与99%置信区间 （confidence interval,CI)。
• 1-：可信度（ confidence level)
162
1
3
160
158
156
155.4
154
152
2
150
4
5
148
146 1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96
有左侧累计和右侧累计两种。单位 时间或空间内事件发生的次数 • 最多P为(Xk次 k的) 概P率(0) P(1) P(k)
• 最P少(X为 kk) 次 P(的k) 概P(率k 1) P(n) 1 P(X k 1)
• 5．Poisson分布的图形
• Poisson分布的形状取决于μ的大 小。μ值越小，分布越偏，随着μ的 增大，分布越趋于对称，当μ=20时， 分布接近正态分布，当μ=50时，可 以认为Poisson分布呈正态分布N（μ, μ），按正态分布处理。
• （二）正态近似法
• 当样本计数X＞50时，可按正态近似 原 理 用 式 （ 7.15 ） 求 总 体 均 数 μ 的 95%或99%置信区间。
卫生统计学七版 第五章参数估计基础
二、总体均数及总体概率的区间估计
（一）总体均数的置信区间
1、t 分布法
当 未知且 n 较小时，估计双侧置信 区间：
（X
-t
,
s X
,
X
t ,
s X
)
可简写为：
X
t ,
s X
或X t,
s n
总体均数的95%双侧置信区间为：X
t0.05,
s X
例5-2(P95) 已知某地27名健康成年男子血红蛋白 含量的均数为125g/L，标准差为15g/L，试估计该地健康 成年男子血红蛋白平均含量的95%和99%置信区间 。
二项分布 n 31 X 25 n X 6 查附表6，得7 37 改错
该药物治疗脑血管梗塞有效概率的95%置信区间为 63%～93%。
2、正态近似法 适用范围：np＞5,且n(1-p)＞ 5
例5-6（P96） 用某种仪器检查已确诊的乳腺癌患者 120名，检出乳腺癌患者94例，检出率为78.3%，试估计该 仪器乳腺癌总体检出率的95%置信区间。 np 1200.783 93.96 n(1 p) 1200.217 26.04
第三节 总体均数及总体概率的估计
一、参数估计的基础理论
参数估计区 点间 估估 计计
对总体参数估计的范围称为置信区间，用CI（confidence interval）
表示，其置信度为（1 ），一般取置信度为95%，即取为0.05，此区
间的较小值称为置信下限，较大值称为置信上限。一般进行双侧置信区 间的估计。
第五章 参数估计基础
公共卫生学院 邹焰
定量资料
统计描述等级资料（有序分类资 料）
正态分布的重要性及应用
正态分布的重要性及应用正态分布，也称为高斯分布或钟形曲线，是统计学中最重要的概率分布之一。
它在自然界和社会科学中的应用非常广泛，对于理解和解释各种现象具有重要意义。
本文将探讨正态分布的重要性及其在不同领域的应用。
一、正态分布的重要性正态分布在统计学中具有重要的地位，主要体现在以下几个方面： 1. 中心极限定理的基础：中心极限定理是统计学中最重要的定理之一，它指出当样本容量足够大时，样本均值的分布将近似于正态分布。
中心极限定理的应用使得正态分布成为了许多统计推断方法的基础，如假设检验、置信区间估计等。
2. 参数估计的基础：正态分布在参数估计中起到了重要的作用。
许多统计模型假设数据服从正态分布，通过对样本数据进行参数估计，可以得到对总体参数的估计值。
例如，线性回归模型中的最小二乘法就是基于正态分布的假设。
3. 数据分析的基础：正态分布在数据分析中具有广泛的应用。
通过对数据的分布进行正态性检验，可以判断数据是否符合正态分布假设，从而选择合适的统计方法。
此外，正态分布还可以用于描述和分析各种现象，如身高、体重、考试成绩等。
二、正态分布的应用正态分布在各个领域都有广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用场景：1. 自然科学：正态分布在自然科学中的应用非常广泛。
例如，在物理学中，正态分布可以用于描述粒子的速度分布、能量分布等；在生物学中，正态分布可以用于描述生物体的身高、体重、血压等指标。
2. 金融领域：正态分布在金融领域的应用非常重要。
例如，在股票市场中，股票价格的变动通常符合正态分布，通过对股票价格的正态分布进行建模，可以进行风险评估和投资决策。
3. 质量控制：正态分布在质量控制中起到了重要的作用。
例如，在制造业中，产品的尺寸、重量等指标通常服从正态分布，通过对产品指标的正态分布进行分析，可以判断产品是否合格，从而进行质量控制。
4. 社会科学：正态分布在社会科学中的应用也非常广泛。
例如，在教育领域，学生的考试成绩通常符合正态分布，通过对考试成绩的正态分布进行分析，可以评估学生的学习水平和教学效果。
医学统计学习题参数估计基础
实习六参数估计基础［实习目的与要求］1、掌握均数及频率标准误的计算；掌握总体均数95%和99%置信区间的计算及适用条件；掌握总体概率的95%和99%置信区间的计算及适用条件2、熟悉t分布的特征。
（一）最佳选择题1. 表示均数抽样误差大小的统计指标是__________ 。
A.标准差B.方差C.均数标准差D.变异系数E.样本标准误2. S x表示 ________ 。
A. 总体均数B•样本均数的标准差 C.总体均数离散程度D.变量x的离散程度E.变量x的可靠程度3. 标准误越大，则表示此次抽样得到的样本频率 ____________ 。
A. 系统误差大B.可靠程度越大C.抽样误差越大D.可比性越差E.代表性越差4. 要减小抽样误差，通常的做法是____________ 。
A.适当增加样本例数B.将个体变异控制在一个范围内C.严格挑选观察对象D.增加抽样次数E.减小系统误差5. 关于t分布的图形，下述那项是错误的 ________ 。
A. 当' 趋于：：时，标准正态分布是t分布的特例B. 当逐渐增大，t分布逐渐逼近标准正态分布C. ＞越小，则t分布的尾部越高D. t分布是一条以为中心左右对称的曲线E. t分布是一簇曲线，故临界值因自由度的不同而不同6. 已知某地25岁正常成年男性的平均收缩压为113.0mmHg，从该地随机抽取20名25岁正常成年男性，测得其平均收缩压为119.0mmHg。
113.0mmHg与119.00mmHg不同，原因是_________ 。
A.样本例数太少B.抽样误差C.总体均数不同D.系统误差E.个体差异太大7. 从上题的同一地区中再随机抽取20名8岁男孩，测得其平均收缩压为90.0mmHg ,标准差为9.8mmHg。
90.0mmHg 与113.0mmHg 不同，原因是__________ 。
A.样本例数太少B.抽样误差C.总体均数不同D.系统误差E.样本均数不可比8. 用上题的样本，估计该地8岁正常男孩的平均收缩压的95%的置信区间为_________ 。
第六章估计基本理论—参数估计
Cramer-Rao下界定义：任何一个无偏估计子方差 的下界常叫做Cramer-Rao下界。
第六章估计基本理论—参数估计
8/58
第六章 估计的基本理论—参数估计 6．1估计子的性能
主讲:刘颖 2009年秋
定理1.1：令 X（ x1,x2, ,xN)为 一 个 样 fX 本 /是 向 量
X的 条 件 密 ˆ是 度 的一个。 无偏若 估计子，且
即 ln fX|Kˆ
其K 中 （ ）是 的某个 x的 不正 包整 含数。
主讲:刘颖 2009年秋
1．1估计子的性能 令x(t)是一个与未知参数θ有关的随机信号，
x1,x2,,xN 是采样值，
θ的估计子记为 ˆg(x1,x2, ,xN )
其g中 (x1,x2, ,xN)是用来 的估 一计 个样本函
1. 无偏性
无偏估计定义：若Eˆ,则 ˆ就是 的一个无
否则就是有偏估计子。
参数估计：利用样本数据来估计待定的参数。 参数估计方法： （1）点估计：需求一个估计子，它将给出待定参数的单个估 计值，这个估计值叫点估计值。 （2）区间估计：确定的是待定参数可能位于某个区间，这个 区间叫做置信区间估值。
第六章估计基本理论—参数估计
3/58
第六章 估计的基本理论—参数估计 6．1估计子的性能
主讲:刘颖 2009年秋
渐进无偏估计定义：
ˆ是 的一个有l偏 ib m 估 ˆ0 ， 计则 ˆ子 是 称 ，若
N
的渐进无偏估计子。
例题6.2 线性平稳过程的自相关函数的估计子为
R ˆ(m)1Nmx(n)x(nm)
Nn1 若假设观测数据 x(m)是独立的。判断它是否为无偏估 计，若是有偏估计，再判断是否为渐进无偏估计。
参 数 估 计
二、参 数 估 计
【例5-5】 设X～B(1,p)，(X1，X2,…,Xn)是取自总体X的一个子样， 试求参数p的极大似然估计量。
解：设(x1,x2,…,xn)是子样(X1，X2,…,Xn)的一组相应的取值。总体X 的分布律为
则似然函数为 取对数后，有 令
二、参 数 估 计
从而得p的极大似然估计值为 p的极大似然估计量为
项目
参数估计
二、参 数 估 计
一、 参数估计的基本原理
参数估计是指由样本指标值（统计量）估计总体指标值 （参数），即当总体的分布性质已知，但其所含参数真值未 知时，根据一组样本的观察值X1，X2,…,Xn来估计总体中未 知参数θ或θ的某函数。首先从样本(X1，X2,…,Xn)中提取有 关总体X的信息，即构造样本的函数——统计量 g(X1X2,…,Xn)；然后用样本值代入，求出统计量 g(x1,x2,…,xn)的值，用该值来作为相应待估参数的值。
二、参 数 估 计
二 、 评价估计量的标准
在参数估计中，用样本估计量 作为总体参数θ的估 计量，实际上，对于同一参数，用不同的估计方法求出的估 计量可能不相同，用相同的方法也可能得到不同的估计量。 也就是说，同一参数可能具有多种估计量，而且，从原则上 讲，任何统计量都可以作为未知参数的估计量，那么采用哪 一个估计量好呢？这就涉及估计量的评价问题，而判断估计 量好坏的标准是：有无系统偏差，波动性的大小，伴随样本 容量的增大是否越来越精确，这就是估计的无偏性、有效性 和一致性。
区间的概念，并给出在一定可信程度的前提下求置信区间的
方法，使区间的平均长度最短。
二、参 数 估 计
用给定的置信度1－α说明区间估计的可靠程度
，通常α取值很小，如取0.05、0.01，有时取0.1。
参数估计PPT课件
目录
• 参数估计简介 • 最小二乘法 • 最大似然估计法 • 贝叶斯估计法 • 参数估计的评估与选择
01 参数估计简介
参数估计的基本概念
参数估计是一种统计学方法，用于估计未知参数的值。通过使用样本数据和适当的统计模型，我们可 以估计出未知参数的合理范围或具体值。
参数估计的基本概念包括总体参数、样本参数、点估计和区间估计等。总体参数描述了总体特征，而 样本参数则描述了样本特征。点估计是使用单一数值来表示未知参数的估计值，而区间估计则是给出 未知参数的可能范围。
到样本数据的可能性。
最大似然估计法的原理是寻找 使似然函数最大的参数值，该 值即为所求的参数估计值。
最大似然估计法的计算过程
确定似然函数的表达式
根据数据分布和模型假设，写出似然函数的表达式。
对似然函数求导
对似然函数关于参数求导，得到导数表达式。
解导数方程
求解导数方程，找到使似然函数最大的参数值。
确定参数估计值
04
似然函数描述了样本数据与参数之间的关系，即给定参数值下观察到 样本数据的概率。
贝叶斯估计法的计算过程
首先，根据先验信息确定参数的先验分布。 然后，利用样本信息和似然函数计算参数的后验分布。 最后，根据后验分布进行参数估计，常见的估计方法包括最大后验估计（MAP）和贝叶斯线性回归等。
贝叶斯估计法的优缺点
参数估计的常见方法
最小二乘法
最小二乘法是一种常用的线性回归分析方法，通过最小化误差的平方和来估计未知参数。这种方法适用于线性回归模 型，并能够给出参数的点估计和区间估计。
极大似然法
极大似然法是一种基于概率模型的参数估计方法，通过最大化样本数据的似然函数来估计未知参数。这种方法适用于 各种概率模型，并能够给出参数的点估计和区间估计。
《卫生统计学》第六章 参数估计基础
二、总体概率可信区间的计算
1.查表法：n≤50，特别是p接近0或100%时，可查 附表6（P478-480)，二项分布概率的置信区间表， 例6-4。
注意：附表6中X值只列出了X≤n/2部分，当X>n/2 时，应以n - X值查表，然后用100减去查得的数 值，即为所求的区间。
2.正态近似法**：当n较大且np和n（1-p）均大于5 时，二项分布接近正态分布，则总体率的双侧 （1-α）可信区间为： P ± Ζα/2· Sp
f(t)
0.4
υ=∞
υ＝5
0.3
υ＝1
0.2
0.1
0.0
t
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
图6-4 自由度为1、5、∞的t分布
.
t分布的特征：只有一个参数ν 以0为中心，左右对称的单峰分布； t分布是一簇曲线，形态变化与n（即自由度）大
小有关。自由度ν越小，t分布曲线越低平；自 由度ν越大，t分布曲线越接近标准正态分布 （Ζ分布）曲线。 t分布峰部较矮，尾部翘得较高，说明远侧的t值 的个数相对较多，即尾部面积（概率P）较大。 自由度ν越小这种情况越明显，ν渐大时，t分 布渐逼近标准正态分布；当ν=∞时，t分布就成 为标准正态分布了。 附表2，t界值表P467
.
均数的抽样误差——指由抽样而造成的样本均数 与总体均数之间的差异。
x 称标准误，它说明均数抽样误差的大小。
x / n
n越大，标准误越小，样本均数的抽样误差亦越小 实际工作中，σ常未知，而是用样本标准差s来估
计，则有 sx s/ n
常用来说明均数的抽样误差的大小。
.
即使从偏态总体抽样，当n足够大时， 样本均数也近似正态分布（见实验6-2， 观察图6-1及图6-2的变化）。
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. . . . .5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 50 5
05050
05050
t3 MIDPOINT
FREQUENCY 200
第二节 t分布
0
- --- ---- --0 011 223 3445 5 443 3221 10. ... ... .... . ... .... ..0 505 050 5050 0 505 0505 05
总体均数的95%（或99%）置信区间
第三节 总体均数的估计
区间估计：
总体均数的95%置信区间的确切含义为：
当我们据一份样本对总体均数只作一次区间估计时， 我们宣布“总体均数μ在此可信区间范围内”，这句话 可信的程度为95％
第三节 总体均数的估计
例5-1 为了解某地13岁女生的身高，在该地随机抽取了30名13岁 女生测量身高，结果算出均数＝156.70cm，标准差＝4.98cm。求 该地13岁女生平均身高的置信区间。
根据正态分布原理，若随机变量X服从正态分布，则样X 本均数 也服从正态分布
第一节 均数的抽样误差与标准误
样本均数的抽样分布具有以下特点：
1. 各样本均数未必等于总体均数; 2. 样本均数之间存在差异; 3. 样本均数的分布很有规律，围绕着总体均数
（155.4cm），中间多、两边少，左右基本对 称，也服从正态分布。 4．样本均数的变异较之原变量的变异大大缩小
高；
③随着自由度 逐渐增大，t分布逐渐逼近标准正态分布； 当 趋于 时，t分布就完全成为标准正态分布，故标 准正态分布是t分布的特例。
第二节 t分布
二、t分布的图形和t界值表 统计学家将t分布曲线下的尾部面积（即概率P）
与横轴t值间的关系编制了不同自由度 下的t界
值表（附表2）。
单侧概率 ：用t,υ表示 双侧概率 ：用t/2,υ表示
第三节 总体均数的估计
参数估计：指用样本指标（统计量）估计总体指标（参数）。
参数估计
点估计
X、S、p 、、
缺点：没有考虑抽样误差
区间估计
第三节 总体均数的估计
区间估计：
根据样本均数计算出有（1）把握的包含总体均数的一 个数值范围称为总体均数的置信区间（CI） ，1 称为
置信度。
置信度： 值一般取0.05或0.01，故1 为0.95或0.99。
t50 MIDPOINT
第二节 t分布
二、t分布的图形和t界值表
t值的分布与自由度
有关（实际是样本含量
n不同）。t 分布的图形
f(t) 0.3 0.2
υ=∞(标准正态分布) υ=5
υ=1
不是一条曲线，而是一
0.1
簇曲线。
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
图5-3 不同自由度下的t分布图
… …
156.6 6.35 n＝30
图5-1 某年某地13岁女生身高N(155.4, 5.32)的抽样示意图
第一节 均数的抽样误差与标准误
第一节 抽样分布与抽样误差
抽样误差
由于个体间存在差异及抽样 造成的样本统计量与总体参数之 间的差异。
第一节 均数的抽样误差与标准误
表5-2 从N (155.4, 5.32)抽样得到中的100个 样本均数的频数分布（ni =30）
22.0
25
25.0
21
21.0
17
17.0
3
3.0
2
2.0
1
1.0
100 100.0
将此100个样本均数看成新变量值，则这100 个样本均数构成一新分布，绘制直方图。
151 152 153 154 155 156 157 158 159 160
图5-2 从正态分布总体N(155.4, 5.32)随机抽样所得样本均数分布
0.20 0.40
1.376 1.061 0.978 0.941 0.920
0.906 0.896 0.889 0.883 0.879
0.859 0.858 0.858 0.857 0.856
0.10 0.20
3.078 1.886 1.638 1.533 1.476
1.440 1.415 1.397 1.383 1.372
二、t分布的图形和t界值表
-t
0
t
从t界值表中或表的右上角图列亦可看出：
①在相同自由度时，│t│值越大，概率P越小；
②而在相同t值时，双侧概率P为单侧概率P的两倍，
即t0.10/2,16 = t0.05,16 =1.746。
第二节 t分布
t分布又称Student t分布，实际上十分 有用，它是总体均数的区间估计和假设 检验的理论基础。
第一节 均数的抽样误差与标准误
标准误（SE）
用于表示均数抽样误差大小的指标， 也叫样本均数的标准差，通常称为样本 均数的标准误。用于衡量抽样误差的大 小。
第一节 均数的抽样误差与标准误
标准误的计算公式
X
n
因通常σ未知，计算
标准误采用下式：
sX
s n
均数的标准误
意义：反映抽样误差的大小。
标准误越小，抽样误差越小， 用样本均数估计总体均数的可 靠性越大。
3.527 3.505 3.485 3.467 3.450
3.819 3.792 3.768 3.745 3.725
当 =10，单侧概率P =0.05时，由表中查得单侧t0.05,10= 当 =10，双侧概率P =0.05时，由表中查得双侧
1.812 2.22
二、t分布的图形和t界值表
ν=10的t分布图
SX
S 4.98 0.911 n 30
第一节 均数的抽样误差与标准误
中心极限定理：
同理，在非正态分布总体中也可进行类似的抽样 研究。
若 Xi 服从正态分布
若 Xi 不服从正态分布
则 X j 服从正态分布 n 大：则 X j 近似服从正态分布 n 小：则 X j 为非正态分布
第二节 t分布
随机变量X N（μ，σ2）
表5-2 从N (155.4, 5.32)抽样得到中的100个样本均 数的频数分布（ni =30）
组段下限值(cm) 频数 频率%
152.6~ 153.2~ 153.8~ 154.4~ 155.0~ 155.6~ 156.2~ 156.8~ 157.4~ 158.0~
合计
1
1.0
4
4.0
4
4.0
22
均数 X N(, 2 n)
Z X
Z变换
Z X n
标准正态分布
N（0，12）
标准正态分布 N（0，12）
Student t分布
t X X , v n 1 自由度：n-1
Sn
S X
第二节 t分布
一、t分布的概念
英国统计学家W.S.Gosset于1908年以 “Student”笔名发表论文，证明它服从自由度
1 1 1 1 19 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 11 0 . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 0 0 1 1 2
2 1 1 0 0. . . . . . . . . . . . . . . . .. . 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 50 5 0 5 . . . . .
第三节 总体均数的估计
总体均数的置信区间的计算
1. t分布方法（ 未知，且n 较小） (1) 未知：按 t 分布。
双侧1 可信区间则为：
X t 2, S X <X t 2, S X
( X t 2, S X , X t 2, S X )
= n 1 的t分布，即
t X X
sX
s/ n
t分布， = n 1 (5-7)
又称Student t分布。实际上，t分布十分有用， 它是总体均数的区间估计和假设检验的理论基础。
第二节 t分布
二、t分布的图形和t界值表
从前述实验4.1的13岁女学生身高这个正态总 体中分别作样本量为 3和50的随机抽样，各抽 取1000份样本，并分别得到1000个样本均数
第二节 t分布
f(t) 0.3 0.2
υ=∞(标准正态分布) υ=5
υ=1
二、t分布的图形和t界值表 t 分布的特征：
0.1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
图5-3 不同自由度下的t分布图
①单峰分布，以0为中心，左右对称，类似于标准正态 分布。
②自由度 越小，t值越分散，曲线的峰部越矮，尾部越
总体
μ σ
随机抽样 统计推断
样本
X Ѕ
常用的统计推断方法:参数估计和假设检验
第一节 均数的抽样误差与标准误
假定某年某地所有13岁女学生身高服从正态分布N（155.4，5.32
N（155.4，5.32）
Xi 156.7 158.1 155.6 155.2
Si 4.98 5.20 6.35 5.64
100个
-t
0
t
0.005 0.01
63.657 9.925 5.841 4.604 4.032
0.0025 0.001
0.005 0.002
127.321 318.309
14.089 7.453 5.598 4.773
22.327 10.215 7.173 5.893
0.0005 0.001
636.619 31.599 12.924 8.610 6.869
与样本量的关系：
S 一定，n↑，标准误↓
标准误示意图
N(μσ2)
X服从什么分布？
X1 S1