线性泛函和对偶空间
线性泛函数知识点总结
线性泛函数知识点总结一、线性泛函数的基本概念1.1 线性泛函数的定义线性泛函数是指一个将向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的函数，且满足线性性质。
设V和W是两个向量空间，如果一个函数T:V→W满足以下两个条件：1) 对于任意的向量x,y∈V，有T(x+y)=T(x)+T(y)；2) 对于任意的向量x∈V和标量a，有T(ax)=aT(x)；则函数T被称为V到W的线性泛函数。
1.2 线性泛函数的例子下面我们举几个线性泛函数的例子，以便更好地理解这个概念。
例1：设V是实数域上的n维向量空间，W是实数域上的m维向量空间，定义一个函数T:V→W，使得对于任意的向量x=(x1,x2,...,xn)∈V，有T(x)=(x1^2,x2^2,...,xn^2)∈W。
显然，函数T满足线性性质，因此它是一个线性泛函数。
例2：设V是实数域上的3维向量空间，W是实数域上的2维向量空间，定义一个函数T:V→W，使得对于任意的向量x=(x1,x2,x3)∈V，有T(x)=(x1+x2,x2+x3)∈W。
同样地，函数T也满足线性性质，因此它也是一个线性泛函数。
1.3 线性泛函数的表示线性泛函数可以用矩阵来表示。
设V和W分别是n维和m维向量空间，选择它们的一组基{e1,e2,...,en}和{f1,f2,...,fm}，则对于任意的向量x=(x1,x2,...,xn)∈V，有其在基{e1,e2,...,en}下的表达式为x=x1e1+x2e2+...+xnen，而对于任意的向量y=(y1,y2,...,ym)∈W，有其在基{f1,f2,...,fm}下的表达式为y=y1f1+y2f2+...+ymfm。
定义一个线性泛函数T:V→W，使得对于任意的向量x∈V，有T(x)=y∈W，则T的矩阵表示为一个m×n的矩阵A，其中A的第i列为T(ei)在基{f1,f2,...,fm}下的坐标表示，即A=[T(e1)|T(e2)|...|T(en)]。
l∞的对偶空间不是l1证明
l∞的对偶空间不是l1证明要证明l∞的对偶空间不是l1，我们需要先了解一下对偶空间的定义和性质。
对于一个赋范线性空间X，其对偶空间X定义为所有连续线性泛函的集合，其中线性泛函是从X到实数域R的线性映射。
对偶空间X的元素可以看作是对X中元素的泛函或函数，用来对X中的向量进行评估。
现在我们来看l∞和l1空间。
l∞是由所有以自然数为下标的实数序列组成的空间，其范数定义为序列中的最大绝对值。
l1是由所有以自然数为下标的实数序列组成的空间，其范数定义为序列中所有绝对值之和。
我们需要证明的是l∞的对偶空间不是l1。
假设l∞的对偶空间是l1，即X = l1。
那么我们可以得到一个结论，对于任意的f∈X，存在一个x∈l∞，使得f(x) = ∑|x_n|，其中n为自然数。
这意味着对于任意的线性泛函f，都可以通过一个l∞中的序列x来表示。
然而，我们可以构造一个反例来证明这个结论是错误的。
考虑一个特殊的线性泛函f∈X，它的定义如下，对于任意的x∈l∞，f(x) = lim sup |x_n|，其中n为自然数。
这个线性泛函表示了序列x中的最大聚集点。
现在我们来考虑这个线性泛函f在l∞中的表示。
假设存在一个序列y∈l∞，使得对于任意的x∈l∞，有f(x) = ∑|y_n|。
根据定义，我们知道f(x) = lim sup |x_n|，而∑|y_n|是一个有限的值。
然而，我们可以构造一个序列x∈l∞，使得lim sup |x_n| > ∑|y_n|，这与f(x) = lim sup |x_n|矛盾。
因此，不存在一个序列y∈l∞，使得对于任意的x∈l∞，有f(x) = ∑|y_n|。
由此可见，我们无法找到一个序列y∈l∞，使得对于任意的x∈l∞，有f(x) = ∑|y_n|。
因此，l∞的对偶空间不是l1。
综上所述，我们证明了l∞的对偶空间不是l1。
这个证明从对偶空间的定义出发，通过构造一个反例来推导出结论。
3.3有界线性泛函和对偶空间
定义3.3.3（对偶空间）
当赋范空间 X 上定义的线性算子空间
B ( x , y ) 中的元素为有界线性泛 X * 表示。
举例：
1、Rn中由点积定义的泛函
2、Lp[a,b]空间
3.3.3 希尔伯特空间上泛函的一般形式
定理3.3.4（黎斯表现定理） 希尔伯特空间 H上任一有界线性泛函可由内积表示，即 f ( x ) = < x , z > （对任意 x ∈ H ）
h ( x , y) = < S x , y> x∈ H1 ，y∈H2
其中S： H1 → H2 为一有界线性算子，且 由 h 唯一确定，并有范数 ‖ S‖ = ‖ h‖
3.3 有界线性泛函和对偶空间 3.3.1 有界线性泛函 定义3.3.1（线性泛函） 设 X 为线性
空间，f 为 D ( f )（含于X）到数域 K 的
线性算子，则称 f 为线性泛函，D ( f ) 为 f
的定义域，而
R ( f ) = { f ( x ) ∣x ∈ D ( f ) }
为 f 的值域。简单说：值域为数域的算子 称为泛函。
实双线性泛函，简称双线性泛函。
举例
1
2
有界及范数的定义
定义3.3.7（二次泛函）在双线性泛函中，
如果令 x = y，则称为 X × X 到 R 上的泛
函，称作二次泛函。
举例：二次型，信号的能量
定理3.3.8（双线性泛函的黎斯表示）
设 H1、H2为希尔伯特空间，h： H1 × H2 → K 为有界复双线性泛函，则 h 可以 表示为
定义3.3.2（有界线性泛函）
设X是数域K上的赋范空间，f： D ( f )
→K是线性泛函，如果存在常数 C > 0，使
线性泛函分析
线性泛函分析泛函分析的主要工作在于对积分方程而不是对变分法提供一个抽象的理论． 变分法领域里所需泛函的性质是相当特殊的，对一般的泛函并不成立．此外，这些泛函的非线性造成了困难，而这种困难对于包含在积分方程中的泛函和算子则是无关紧要的．在Schmidt ，Fischer ，Riesz 为积分方程解的理论作具体推广时，他们和其他一些人也同时开始了相应的抽象理论的研究．第一个试图建立线性泛函和算子的抽象理论的，是美国数学家E ．H ．Moore ，他从1906年开始这一工作． Moore 认识到，在有限多个未知数的线性方程的理论、无限多个未知数的无限多个线性方程的理论、以及线性积分方程的理论之间，有许多共同的地方．他因此着手建立一种称为“一般分析”(Generl Analysis)的抽象理论，它包含上述具体理论作为特殊情形．他用的是公理方法．我们将不叙述其细节，因为他的影响并不广，而且电没有获得很有效的方法．另外，他的符号语言很奇怪，使以后的人理解起来很困难．在建立线性泛函和算子的抽象理论的过程中，第一个有影响的步骤是由Erhard Sohmidt 和Frechet 在1907年采取的．Hilbert 在他的积分方程的工作中，曾经把一个函数看成是由它相应于某标准正交函数系的Fourier 系数给定的．这些系数以及在他的无穷多个变量的二次型理论中他所赋予这些x i 的值，都是使21n x ∑∞成为有限的序列{x n }．然而，Hilbort 并没有把这些序列看成空间中点的坐标，也没有用几何的语言，这一步是由Schmidt 和Frechet 采取的． 把每一个序列{x 。
}看成一个点，函数就被表现为无穷维空间的点．Sohmidt 不仅把实数而且把复数引入序列{x 0}中．这样的空间从此以后被称为Hilbort 空间．我们的叙述 按照Schmidt 的工作．Schmidt 的函数空间的元素是复数的无穷序列z ＝{z n }，使得.21∞∑∞=＜zp p Schmidt 引入记号;211⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑∞=-p p p z z 来表示z ；z 后来就称为z 的范数(norm)．按照Hilbert ，Sehmidt 用记号).,(,),(1-∞==∑z z z 所以z 表示z p p pωω(现在通用的记号是把)),(1p p p z 定义义z -∞=∑ωω．空间中两个元素z 和ω称为正交的，当且仅当.0,=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ωz Schmidt ；接着证明了广义的Pythagoras 定理：如果z 1， z 2， …，z n 是空间的n 个两两正交的元素，则由∑==n p p z 1ω知 .212p n p z ∑==ω由此可推出n 个两两正交的元素是线性无关的．Schrnidt 在他的一般空间中还得到了Bessel 不等式：如果{z n }是标准正交元素的无穷序列，即ωδ而z z pq q p ,),(=-是任何一个元素，那末21,(-∞=∑p p z ω≤.2ω 此外，还证明了范数的Schwarz 不等式和三角不等式．元素序列{z n }称为强收敛于z ，如果z z n -趋向于0，而每个强Cauehy 序列，即每个使q p z z -趋于0 (当p ，q 趋于0时)的序列，可以证明都收敛于某一元素z ，从而序列空间是完备的．这是一条非常重要的性质．Schmidt 接着引进了(强)闭子空间的概念．他的空间H 的一个子集A 称为闭子空间，如果在刚才定义的收敛的意义下它是闭子集，并且是代数封闭的，后者意指，如果ω1与ω2是A 的元素，那末2211ωωa a +也是A 的元素，其中a 1，a 2是任何复数．可以证明这样的闭子空间是存在的，这只需取任何一个线性无关的元素列{z n }，并取{z n }中元素的所有有限线性组合．全体这些元素的闭包就是一个代数封闭的子空间．现在，设A 是任一固定的闭子空间．Schmidt 首先证明，如果z 是空间的任一元素，则存在唯一的元素ω1和ω2，使得z ＝ω1+ω2，其中ω1属于A ， ω2和A 正交，后者是指ω2和A 的每个元素正交(这个结果，今天称为投影定理；ω1就是z 在A 中的投影)进一步，,min 2z y -=ω 其中y 是A 的变动元素，而且极小值只在21.ωω时达到y =称为z 和A 之间的距离．在1907年，Schmidt 和Frechet 同时注意到，平方可和(Lebesgue 可积) 函数的空间有一种几何，完全类似于序列的Hilbert 空间． 这个类似性的阐明是在几个月之后，当时Riesz 运用在Lebesgue 平方可积函数与平方可和实数列之间建立一一对应的Riesz-Fischer'定理指出，在平方可和函数的集合L 2中能够定义一种距离，用它就能建立这个函数空间的一种几何． L 2中，定义在区间[a ， b]上的任何两个平方可积函数之间的距离这个概念，事实上也是Frechet 定义的，他把它定义为(1) ⎰-b a dx x g x f ,)]()([2其中积分应理解为Lebesgue 意义下的；并且两个函数只在一个0测集上不同时就认为是相等的．距离的平方也称为这两个函数的平均平方偏差．f 和g 的内积定义为⎰=ba dx x g x f g f )()(),(． 使(f ，g) = 0的两个函数f 与g 称为是正交的．Schwarz 不等式 dx x g x f ba )()(⎰≤dx g dx fb a b a ⎰⎰22以及对平方可和序列空间成立的其他性质，都适用于函数空间．特别是，这类平方可和函数形成一个完备的空间．这样，平方可和函数的空间，同这些函数相应于某一固定的完备标准正交函数系的Fourier 系数所构成的平方可和序列的空间，可以认为是相同的．在提到抽象函数空间时，我们应重提一下Riesz 引入的空间L p (1<p<∞)．这些空间对度量pb a p dx f f f f d 12121),(⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰ 也是完备的．虽然我们很快就要考察抽象空间领域中的其他成就，但下一发展涉及泛函和算子．在刚才引述的对空间L 2的函数引进了距离的1907年的文章中，以及在同年的其他文章中， Frechet 证明了，对于定义在L 2的每一个连续线性泛函U(f)，存在L 2中唯一的一个u(x)，使得对L 2的每个f 都有⎰=ba dx x u x f f U .)()()( 这推广了Hadamard 1903年得到的一个结果．1909年Riesz 推广了这个结果，用Stieltjes 积分表示U(f)，也就是⎰=ba x du x f f U ).()()(Riesz 自己还把这个结果推广到满足下面条件的线性泛函A:对L p 中所有的f)(f A ≤p ba p dx x f M /1)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰其中M 只依赖于A ．这样，存在L q 中的一个函数a(x)，在允许相差一个积分为0的函数的意义下是唯一的，使得对L p 中所有的f(2) ⎰=b a dx x f x a f U .)()()( 这个结果称为Riesz 表示定理。
线性泛函与对偶空间
线性泛函与对偶空间1. 线性空间 ● 线性空间的定义现有非空集合V 与数域P ，在非空集合V 上定义运算“加法”，在数域P 与非空集合V 之间定义运算“数乘”（这里暗含了运算的封闭性，即运算结果存在且唯一），满足下列8个规则：(1) ,V ∀∈αβ，有ββα+=+α；(2) ,,V ∀∈αβγ，有()()αβγαβγ++=++； (3) 0V ∃∈，对于V α∀∈，有0αα+=； (4) V α∀∈，都有V α∃-∈，使得()0αα+-=； 即，非空集合V 及其上定义的“加法”构成Abel 群 (5) V α∀∈，有1αα=；(6) ,k l P ∀∈及V α∈，有()()k l kl αα=； (7) ,k l P ∀∈及V α∈，有()k l k l ααα+=+； (8) k P ∀∈及,V αβ∈，有()k k k αβαβ+=+。
● 线性空间运算的基本性质(1) 零元素惟一 证：1122120=0+0=0+0=0 (2) 负元素惟一证：()()()()()()()()112122=++=++=αααααααα------ (3) 00α=，00k =，()1αα-=-证：()()001100αααααααα+=+==⇒=+-=，()(),00000V k k k αααα∀∈==⋅==，()()()()1=1111001αααααααα-+-+=-+==⇒-=-(4) 000k k αα=⇒==或者证：()10000k k k k ααα-≠=⇒=⇒=若，则2. 线性空间上的线性泛函 ● 线性泛函的定义线性空间V 到数域P 的线性映射f 称为V 上的线性泛函。
所谓“线性映射”是指满足条件,P λμ∀∈及,V αβ∈，有()()()f f f λαμβλαμβ+=+的映射f 。
● 线性泛函由其在基向量上的作用惟一决定(1) 设f 是V 上的线性泛函，取定线性空间V 的一组基向量12,,,n εεε，i i ix x V ε∀=∈∑，其中12,,,n x x x P ∈，那么()()i i i i i if x f x x f εε⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑；(2) 取定线性空间V 的一组基向量12,,,n εεε，给定数域P 中的一个n 元数组12,,,n a a a P ∈，则惟一决定了一个线性空间V 上的线性泛函f ，使得i i ix x V ε∀=∈∑，有()i i if x x a =∑。
4-1 狄拉克符号
，
F
根据内积的性质
x
Fy x Fx x Fy x ,
aFx x aFx x
(13)
Fx x Fy x x, x y, x x y, x Fx y x
将(19)式定义的泛函记为 Fx ，并将所有 Fx 的集合记为 B X
。根据 Riesz 定理，
B X
包括了希尔伯特空间上所有的连续线性泛函，按照(2)式定义的加法和数乘成为
X 的对偶空间，记为 X ，即
X Fx x X
按照加法和数乘的定义(2)， x X ， (20)
4-1 狄拉克符号
~6~
线性子空间， 但 C a, b 根据由内积导出的度量不完备， 因此不是希尔伯特空间。 将 L2 a, b 中的泛函的定义域限制在 C a, b 上，确实可以得到新的泛函。比如，考虑如下分段函数
i 1
n
(12)
n
这是一个将
n
的映射，由内积的性质 Fx x 可知它是
上的线性泛函。将所有这样
n
的线性泛函的集合记为 B
n
。同样，我们很快会知道，B
n
包含了
n
n
上所
有的连续线性泛函。因此， B
按照(2)式定义的加法和数乘成为
n
的对偶空间。
按照加法和数乘的定义(2)， x
(17)
n
或写为 T x Fx 。与 线性的
的情况不同，根据(16)式可知这个映射不是线性的，而是复共轭
T ax by Faxby a Fx b Fy
泛函分析的基本概念与空间性质
泛函分析的基本概念与空间性质泛函分析是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的空间以及这些函数构成的空间的性质。
本文将介绍泛函分析的基本概念和一些常见的空间性质。
一、泛函分析的基本概念1. 线性空间：线性空间是指具有加法和数乘两种运算，并满足一些基本性质的集合。
在泛函分析中，函数的集合常常构成一个线性空间。
2. 泛函：泛函是定义在线性空间上的一个实值函数，即将线性空间中的元素映射到实数域上。
泛函可以将一个函数映射到一个实数，或者将一个向量映射到一个实数等。
3. 范数：范数是泛函分析中用来度量向量“大小”的一种方法。
在线性空间中，范数需要满足非负性、同一性、齐次性以及三角不等式等性质。
范数可以衡量向量的长度或大小。
4. 完备性：在泛函分析中，完备性是指一个空间中的柯西序列收敛到空间中的一个元素。
完备性是保证泛函分析中许多重要定理成立的基础。
二、常见的空间性质1. 紧性：紧性是指空间中的任意序列都有收敛子序列的性质。
在泛函分析中，紧性是一个非常重要的性质，它与完备性和有界性等概念密切相关。
2. 可分性：可分性是指一个空间中存在一个可数集合，该集合在空间中稠密。
可分性是泛函分析中的一个重要性质，它保证了许多关键定理的存在性和可推广性。
3. 连续性：连续性是指泛函在某个点上的微小变化引起其函数值的微小变化。
在泛函分析中，连续性是一个重要的性质，它与极限、收敛等概念密切相关。
4. 可逆性：可逆性是指一个泛函在某个空间中的函数上有左逆元素。
可逆性是泛函分析中的一个重要概念，它在解决方程组和优化问题等方面具有重要应用。
此外，泛函分析还涉及到拓扑结构、对偶空间、复数域上的泛函分析等内容，这些内容超出了本文的范围。
三、结论泛函分析的基本概念和空间性质是该学科的重要基础。
通过对线性空间、泛函、范数、完备性等概念的理解，我们可以更好地研究函数的性质、解决问题以及推导出更一般化的结论。
了解常见的空间性质，如紧性、可分性、连续性和可逆性等，可以帮助我们更深入地理解泛函分析，并应用于实际问题中。
对偶空间的包含关系
对偶空间的包含关系对偶空间是线性代数中的一个重要概念，主要涉及到向量空间及其对偶空间之间的包含关系。
以下是关于对偶空间包含关系的详细介绍：一、基本概念首先，需要明确什么是对偶空间。
给定一个向量空间V（定义在某个数域F 上，如实数域R或复数域C），V上的所有线性泛函（即从V映射到数域F的线性映射）构成的集合，按照通常的加法和数乘定义，也构成一个向量空间，称为V的对偶空间，记作V*。
二、包含关系原空间与对偶空间的关系：原空间V与其对偶空间V在结构上是不同的。
原空间V中的元素是向量，而对偶空间V中的元素是线性泛函。
然而，它们之间有着密切的联系，特别是当原空间V是有限维的时候。
有限维情况：当V是有限维向量空间时，V与其对偶空间V在维数上是相等的，即dim(V) = dim(V)。
但是，这并不意味着V和V*在结构上完全相同。
事实上，它们仍然是不同类型的空间：一个是向量空间，另一个是线性泛函空间。
尽管如此，有限维向量空间与其对偶空间之间存在一种自然的同构关系。
无限维情况：当V是无限维向量空间时，情况就变得更加复杂了。
此时，原空间V的维数通常小于其对偶空间V的维数。
换句话说，存在从V到V的单射但非满射的线性映射。
这意味着对偶空间V*包含了比原空间V更多的信息。
三、应用与意义对偶空间的包含关系在线性代数和相关领域中具有重要的应用和意义。
例如，在量子力学中，态矢量和观测量分别对应于希尔伯特空间及其对偶空间中的元素。
此外，在泛函分析和最优化理论中，对偶空间的概念也发挥着关键作用。
总之，对偶空间的包含关系反映了原空间与对偶空间在结构和信息含量上的差异。
在有限维情况下，它们之间存在自然的同构关系；而在无限维情况下，对偶空间通常包含更多的信息。
泛函分析知识总结
泛函分析知识总结泛函分析是数学中一个重要的分支领域，它研究的是无穷维空间和函数的性质。
在泛函分析中，我们考虑的对象是函数空间，而不是具体的函数。
泛函分析广泛应用于数学、物理学、工程学等领域。
1.线性空间与拓扑空间：泛函分析的基础是线性空间的理论。
线性空间是指具有加法和数乘运算，同时满足线性结构条件的集合。
泛函分析还引入了拓扑空间的概念，拓扑空间是指在线性空间的基础上引入了距离、收敛等概念，并给出了一些性质。
2.范数与内积：范数和内积是泛函分析中常用的两个概念。
范数是定义在线性空间上的一种非负实值函数，它满足正定性、齐次性和三角不等式。
范数可以用来度量向量的大小。
内积是将两个向量映射到实数的一个运算，它满足对称性、线性性和正定性。
3.完备性和紧性：完备性是指一个空间中的柯西序列收敛于空间内的一个点。
完备性是一个重要的性质，它可以用来判断一个空间是否是可度量空间，即能够定义距离的空间。
紧性是指一个空间内的每个序列都存在收敛的子序列。
紧性常用于分析序列在空间内的收敛性。
4.泛函空间和对偶空间：泛函分析中经常考虑的是函数空间，函数空间是指由一类满足特定条件的函数构成的空间。
常用的函数空间有连续函数空间、可积函数空间等。
函数空间还可以定义内积、范数等结构。
对偶空间是一个线性空间的对偶空间，它由该线性空间上的线性函数构成。
5.泛函的连续性和收敛性：泛函分析研究的是空间到实数域的映射，所以泛函的连续性和收敛性是一个重要的问题。
在泛函分析中，我们定义了一个泛函的连续性，当且仅当对于任意给定的序列，如果其收敛于一个点，那么其映射的泛函值也会收敛于该泛函值。
类似地，我们还可以定义泛函的收敛性。
6.算子：算子是泛函分析中一个重要的概念，它是一种将一个空间映射到另一个空间的映射。
线性算子是指满足线性性质的映射，而有界算子是指满足一定范围内的性质的映射。
算子可以是线性差分方程、微分算符等。
7.泛函分析在物理学和工程学中的应用：泛函分析在物理学和工程学中有广泛的应用。
向量 泛函 对偶
向量泛函对偶向量是线性代数中的重要概念，它可以用来表示具有大小和方向的物理量。
而向量的泛函是对向量空间中的向量进行映射的函数，它可以将一个向量映射到一个实数。
而这个实数则可以用来描述向量的某种性质或特征。
而对偶则是指在向量空间中，存在一个对应关系使得每个向量都可以与一个对偶向量相对应。
本文将从向量、向量空间、向量的泛函和对偶等方面进行详细介绍。
我们来了解一下向量的概念。
向量是具有大小和方向的量，它可以用有序数组表示。
在二维空间中，向量可以表示为(x, y)，其中x 和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
在三维空间中，向量可以表示为(x, y, z)，其中x、y和z分别表示向量在x轴、y轴和z 轴上的分量。
向量可以进行加法和数乘运算，可以表示位移、速度、力等物理量。
接下来，我们来了解一下向量空间的概念。
向量空间是由若干个向量组成的集合，并满足一定的运算规则。
向量空间具有加法和数乘两种运算，满足加法和数乘的封闭性、结合律、交换律、零元素和负元素的存在性等性质。
向量空间可以是有限维的，也可以是无限维的，例如函数空间。
向量空间是线性代数的基础概念，它可以用来描述向量之间的关系和性质。
然后，我们来了解一下向量的泛函。
向量的泛函是对向量空间中的向量进行映射的函数，它可以将一个向量映射到一个实数。
泛函可以用来描述向量的某种性质或特征，例如长度、角度、投影等。
常见的向量泛函包括范数、内积、夹角等。
范数是一种衡量向量长度的泛函，它可以用来计算向量的模。
内积是一种衡量向量之间夹角的泛函，它可以用来计算向量之间的相似度或正交性。
夹角是一种衡量向量之间夹角大小的泛函，它可以用来描述向量之间的方向关系。
我们来了解一下对偶的概念。
在向量空间中，存在一个对应关系使得每个向量都可以与一个对偶向量相对应。
对偶向量是一个线性函数，它可以将一个向量映射到一个实数。
对偶向量可以用来描述向量的某种性质或特征，例如长度、角度、投影等。
对偶向量在计算机科学和优化理论中有广泛的应用，例如支持向量机、线性规划等。
应用泛函分析修订版(后两章)
赋范线性空间上的有界线性泛函 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · §1.2.1 §1.2.2 §1.2.3 赋范线性空间上的有界线性泛函 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 对偶空间 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
§1.1 赋范线性空间上的有界线性算子
§1.1.1 有界线性算子
定义 1.1.1 设X, Y是同一数域K上的赋范线性空间, T : X → Y是线性算子. 若存在正常 ∥T x∥ ≤ c∥ x∥, 则称T 为X上的有界线性算子. 在(1.1.1 )中, ∥ x∥是表示 x在X中的范数, ∥T x∥ 是表示 T x 在 Y中的范数. 至于在定义中 用“有界”二字是基于下面一个的事实: T : X → Y是有界线性算子, 当且仅当线性算 子 T 把 X 中的任一有界集映成 Y 中的有界集. 考察不等式(1.1.1 ), 对所有的 x ∈ X, x θ, 由(1.1.1 )得 (1.1.2) ∥T x∥ ≤c ∥ x∥
§2.4
曲线拟合的最小二乘法 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 50 §2.4.1 §2.4.2 曲线拟合的最小二乘问题 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 50 最小二乘解的求法 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 51
对偶空间结论
对偶空间结论
对偶空间是线性代数中一个重要的概念，它在向量空间中扮演着重要的角色。
对偶空间的概念可以帮助我们更好地理解向量空间的性质和结构。
让我们回顾一下向量空间的定义。
一个向量空间是一个集合，其中包含了一些向量，以及一些满足特定条件的运算规则。
这些运算规则包括向量的加法和数乘。
向量空间中的向量可以是实数向量，也可以是复数向量。
在向量空间中，我们可以定义一个线性函数，称为线性泛函。
线性泛函将一个向量映射到一个标量，即一个实数或复数。
线性泛函具有一些重要的性质，如齐次性和可加性。
对偶空间就是与原始向量空间相关联的一个新的向量空间。
它包含了所有线性泛函的集合。
换句话说，对偶空间中的向量是原始向量空间中的线性函数。
对偶空间中的向量可以通过对原始向量空间中的向量进行内积来定义。
对偶空间的维度与原始向量空间的维度相同，但它们是两个独立的向量空间。
对偶空间的基向量称为对偶基，它们与原始向量空间的基向量相互对偶。
对偶空间具有一些重要的性质。
例如，对偶空间中的向量可以用于定义线性方程组的解空间。
此外，对偶空间中的向量还可以用于描
述向量空间中的几何性质，如长度和角度。
对偶空间的概念在物理学和工程学等领域中也有广泛的应用。
对偶空间是线性代数中一个重要的概念，它与向量空间密切相关。
对偶空间中的向量是原始向量空间中的线性函数，它们具有一些重要的性质和应用。
通过理解对偶空间，我们可以更好地理解向量空间的结构和性质。
线性泛函和对偶空间
• 例 Rn 中取一组基 {e1 , e2 , ..., en }
1) A = (aij )n´n , 定义T : Rn ® Rn如下
n
n
n
å å å x = xkek , Tx = ykek , yk = aik xk
k =1
k =1
k =1
T (a x + b y) = aTx + bTy
Þ T是一个线性算子(代数中称为线性变换)
Pr . 定义 Þ|| Tx ||£|| T || × || x ||, "x Î X
|| T ||= sup || Tx ||£ sup || Tx ||£|| T ||
|| x|| =1
|| x||£1
Þ || T ||= sup || Tx ||= sup || Tx || .
|| x||=1
• X ,Y是赋范空间, T : X ® Y 是有界线性 算子,定义 T 的范数:
|| T ||= sup || Tx || x¹0 || x ||
• 等价地,
|| T ||= sup || Tx ||= sup || Tx ||
|| x||£1
|| x|| =1
= inf{M ³ 0 : || Tx ||£ M || x ||, "x Î X }
"x, y Î D, "a , b Î K
T (a x + b y) = aT ( x) + bT ( y)
则称T是线性算子。取值在K中的线性 算子T，称为线性泛函。
• D称为T的定义域，记作 D(T )； • 集{Tx | x Î D}称为T的值域，记作 R(T ) ； • T的零空间 N (T ) = { x Î D | Tx = 0}(ker T ) 。
对偶空间的一些性质及其应用
对偶空间的一些性质及其应用看到问题怎么形象地理解对偶空间（Dual Vector Space）？现将答案迁移到专栏之中。
写个简明扼要的分析吧。
在定义来看对偶空间只是线性泛函的全体，这是个十分抽象且不好操作的对象。
所以需要一种办法让大家形象的理解对偶空间。
那就是找同构，用同构的空间去表示对偶空间。
令 V 与 V∗是一组空间与其上的对偶空间，显然维数均为 n 。
后令 {ei} 为 V 上的一组基，因为有限维线性空间可以被基唯一确定，且确定线性空间的基彼此同构，故可以把空间的变化问题转化为基变化的问题，可见这样更好操作。
1，找 V∗上的基,令ei对 v∈V 的作用为提前元素关于基的第 i 个坐标，易知{ei} 为 V∗上的一组基。
且 ej(ei)=1(i=j) or 0(i≠j) ,因为基底关于自身的坐标为1，关于其他的为0,。
2，研究 v对 V∗的作用∀v∈V,f∈V∗ ,令 v(f)=f(v) ，故 v(f+g)=f(v)+g(v)=v(f)+v(g),可见作用 v 是well-defined，即v:V∗→R f ↦f(v)故 v∈(V∗)∗，很好的结果，但这还不够。
3，研究 (V∗)∗上的性质令 v~∈(V∗)∗ , v~:V∗→R ，令 v=∑i=1nv~(ei)ei∈V ,此时有 v(ej)=ej(v)=ej∑i=1nv~(ei)ei=∑i=1nv~(ei)ej(ei)=v~(ei) 。
可见 v 对 V∗的作用线性泛函与给定的 v~ 相同。
4，水到渠成做一个简单的同构映射，双射的性质可以在前面看出，ϕ:V→(V ∗)∗v ↦v~故在同构意义下 V=(V∗)∗。
对偶空间也叫做共轭空间，像这种二次共轭等于自身的空间，数学上称作自反空间。
既然看到标签里有泛函分析，那再从泛函分析的角度说一下对偶空间，像我们熟知的例子 (lq)∗=lp ,其中 1p+1q=1 或 (C0)∗=l1 ，思路与之前一样，还是找到同构的空间，这样就把抽象的对象便具体了，下附(C0)∗=l1的证明，从中可以看出证明里在做的就是构造同构映射去表示对偶空间：。
泛函分析简介
泛函分析曾远荣，我国泛函分析第一代数学家泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科。
是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。
它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。
它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。
主要内容有拓扑线性空间等。
泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。
泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。
目录什么是泛函分析赋范线性空间1.概况2.希尔伯特空间3.巴拿赫空间主要结果和定理泛函分析与选择公理泛函分析的研究现状泛函分析的产生泛函分析的特点和内容图书信息1.内容简介2.图书目录图书信息什么是泛函分析赋范线性空间1.概况2.希尔伯特空间3.巴拿赫空间主要结果和定理泛函分析与选择公理泛函分析的研究现状泛函分析的产生泛函分析的特点和内容图书信息1.内容简介2.图书目录图书信息展开编辑本段什么是泛函分析泛函分析泛函分析（Functional Analysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。
泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。
使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。
巴拿赫（Stefan Banach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家伏尔泰拉（Vito Volterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献。
编辑本段赋范线性空间概况 从现代观点来看，泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。
这类泛函分析空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间，其上的范数由一个内积导出。
这类空间是量子力学数学描述的基础。
更一般的泛函分析也研究Fréchet空间和拓扑向量空间等没有定义范数的空间。
线性代数中的对偶空间
线性代数中的对偶空间在线性代数中，对偶空间是一种重要的概念。
它为我们理解线性空间中的向量和线性变换提供了一个强大的工具。
本文将探讨对偶空间的定义、性质以及其在线性代数中的应用。
一、对偶空间的定义对偶空间是线性代数中一个与给定线性空间相关联的概念。
给定一个线性空间V，其对偶空间V*定义为所有线性函数的集合，其中线性函数是从V到其所属域上的标量域的线性映射。
对于每个向量v∈V，我们都可以定义对应的线性函数f：V→F，使得f(v)是一个标量。
因此，V*中的元素可以被视为对V中向量的线性函数进行"评估"的函数。
对偶空间的维度通常与原始线性空间的维度相同。
假设V的维度为n，则V*的维度也为n。
这意味着V和V*之间存在一个一一对应关系。
在选择线性无关的向量组作为V的基础上，我们可以找到相应的对偶空间V*的基。
二、对偶空间的性质对偶空间具有以下性质：1. 若V是一个有限维线性空间，则对偶空间V*也是一个有限维线性空间。
2. 如果V是一个无限维线性空间，则对偶空间未必等于V。
3. 对于任何向量v∈V，我们可以定义一个对偶空间中的线性函数f：V→F，使得f(v)是一个标量。
4. 如果V是一个n维线性空间，则对偶空间V*的维度也为n。
5. 对偶空间的双重对偶（即对偶空间的对偶空间）与原始空间V是同构的。
三、对偶空间的应用对偶空间在线性代数中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：1. 线性函数的表示：对偶空间允许我们使用线性函数来表示一个线性空间中的向量。
通过在V中选择一个基，我们可以找到V*中对应的基，从而表示V中的向量。
2. 矩阵的转置：对于一个矩阵A，它的转置矩阵A^T可以通过对偶空间的概念来解释。
对于每个向量v∈V，我们可以定义v^T为v在对偶空间V*中的对应线性函数。
3. 线性函数的内积：在对偶空间中，我们可以通过内积来度量两个线性函数的相似性。
这种内积可以与原始空间中的内积相对应。
4. 零空间和列空间的对偶关系：对于一个线性变换T：V→W，它的零空间和列空间在对偶空间中有特殊的对偶关系。
泛函分析中的弱收敛与弱拓扑
泛函分析中的弱收敛与弱拓扑弱收敛与弱拓扑是泛函分析中的重要概念，它们在理解和研究函数空间以及算子的性质和特点方面起着关键作用。
本文将对弱收敛与弱拓扑进行详细介绍和阐述。
一、弱收敛在泛函分析中，通常考虑的函数空间都是由一类特定的函数组成的。
我们希望找到一种收敛方式来刻画函数序列的收敛性质。
弱收敛是一种较弱的收敛方式，它是通过函数对线性连续函数的积分来刻画的。
设X是一个赋范空间，它的对偶空间（即X的所有连续线性泛函组成的空间）记作X'。
对于X中的一个序列{x_n}，如果存在X'中的一个元素x'，使得对于任意的f∈X'，有lim(n→∞)f(x_n)=f(x')，则称序列{x_n}在弱拓扑下收敛于x'，记作x_n→w x'。
弱收敛的概念强调的是对于任意的连续线性泛函f，x_n和x'的f值之间的收敛性。
也就是说，如果一个序列在弱拓扑下收敛，那么它对于X'中的任意线性泛函都有相同的极限值。
在实际应用中，弱收敛经常用于刻画函数空间中的紧性、稠密性以及收敛性等性质。
同时，弱收敛还与强收敛有着密切的联系，强收敛意味着弱收敛，但是反之不一定成立。
二、弱拓扑在介绍弱拓扑之前，我们需要先引入伴随算子的概念。
设X和Y是两个赋范空间，A:X→Y是一个线性算子。
对于给定的y'∈Y'，我们可以定义一个算子A':Y'→X'，称为A的伴随算子。
具体而言，对于任意的x∈X和y'∈Y'，有(A'y')(x)=y'(Ax)。
有了伴随算子的概念，我们可以引入弱拓扑的定义。
设X是一个赋范空间，X'是其对偶空间。
对于X'中的一个子集M，定义弱拓扑为使得对于任意的x∈X，集合A={f∈X'|f(x)∈M}是开集的全体。
简言之，弱拓扑是通过伴随算子将X'中的子集拓扑“拉回”到X中的拓扑。
泛函分析知识总结讲解
泛函分析知识总结讲解泛函分析是数学的一个分支，研究无限维空间中的函数与函数序列的性质以及它们之间的关系。
它是实数分析和复数分析的推广与深化，是现代数学的基石之一，对于几乎所有分支的数学都具有极高的重要性。
以下是对泛函分析的知识总结和讲解。
1.范数空间与内积空间：泛函分析的基础概念是线性空间，进一步的，我们将线性空间中的向量赋予一定的范数或内积，得到范数空间和内积空间。
范数空间是指一个线性空间中存在一个范数，满足向量加法、标量乘法和范数运算的线性性质。
常见的范数空间有欧几里得空间、无穷范数空间和Lp空间等。
内积空间是指一个线性空间中存在一个内积，满足线性性质、对称性和正定性。
内积定义了向量之间的夹角和长度，并且可以衡量向量的相似度和正交性。
常见的内积空间有欧几里得空间和希尔伯特空间等。
2.完备性与紧性：完备性是指一个度量空间中的柯西序列在该空间中有一个极限点。
具有完备性的空间被称为“完备度量空间”或“巴拿赫空间”。
典型的完备度量空间包括实数集和复数集。
紧性是指一个度量空间中存在一个有限的覆盖，可以从中选取有限个开球覆盖整个空间。
紧性是度量空间的一个重要性质，表明空间的元素具有收敛性质。
3.可分性与连续性：可分性是指一个度量空间中存在一个可数的稠密子集。
可分性是度量空间的一个重要性质，表明空间的元素可以用可数个元素逼近。
连续性是指线性空间和范数空间中的映射保持了基本的运算和距离的一致性。
连续性是一个重要的概念，它描述了元素的连续变化和收敛性质。
4.泛函与算子：泛函是指一个线性空间到实数或复数的映射。
泛函可以是线性的，也可以是非线性的，常见的泛函有线性泛函和连续泛函等。
算子是指一个线性空间到另一个线性空间的映射。
算子可以是线性的，也可以是非线性的。
常见的算子有线性算子和连续算子等。
5.特征空间与对偶空间：特征空间是指一个线性算子的定义域，它是算子的作用空间的一种表达形式。
特征空间可以是有限维空间，也可以是无限维空间。
泛函中三大定理的认识
泛函中三大定理及其应用泛函分析科学体系的建立得益于20世纪初关于巴拿赫空间的三大基本定理，即Hahn-Banach 定理，共鸣定理和开映射、逆算子及闭图像定理。
其中：一致有界定理，该定理描述一族有界算子的性质；谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，该结果在量子力学数学描述中起核心作用；罕-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem ）研究了如何保范地将某算子从某子空间延拓到整个空间。
另一个相关结果则是描述对偶空间非平凡性的；开映射定理和闭图像定理。
1、Hahn-Banach 延拓定理定理：设G 为线性赋范空间X 的线性子空间，f 是G 上的任一线性有界泛函，则存在X 上的线性有界泛函F ，满足：(1) 当x G ∈时，()()F x f x =； (2) XGF f=；其中XF表示F 作为X 上的线性泛函时的范数；Gf 表示G 上的线性泛函的范数．延拓定理被应用于Riesz 定理、Liouville 定理的证明及二次共轭空间等的研究中．2、逆算子定理在微积分课程中介绍过反函数的概念，并且知道“单调函数必存在反函数”，将此概念和结论推广到更一般的空间．定义1逆算子(广义上)：设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，G X ⊂，算子T ：G Y →，T 的定义域为()D T G =；值域为()R T ．用1T -表示从()()R T D T →的逆映射(蕴含T 是单射)，则称1T -为T 的逆算子(invertiable operator)．定义2正则算子：设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，若算子T ：()G X Y ⊂→满足(1)T 是可逆算子； (2) T 是满射，即()R T Y =； (3) 1T -是线性有界算子， 则称T 为正则算子(normal operator)．注： ①若T 是线性算子，1T -是线性算子吗？②若T 是线性有界算子，1T -是线性有界算子吗？性质1 若T ：()G X Y ⊂→是线性算子，则1T -是线性算子． 证明 ：12,y y Y ∈，,αβ∈K ，由T 线性性知：1111212(())T T y y T y T y αβαβ---+--1111212()TT y y TT y TT y αβαβ---=+--1212()y y y y αβαβ=+--0=由于T 可逆，即T 不是零算子，于是1111212()T y y T y T y αβαβ---+=+，故1T -是线性算子．□定理2逆算子定理：设T 是Banach 空间X 到Banach 空间Y 上的双射(既单又满)、线性有界算子，则1T -是线性有界算子．例 1 设线性赋范空间X 上有两个范数1⋅和2⋅，如果1(,)X ⋅和2(,)X ⋅均是Banach 空间，而且2⋅比1⋅强，那么范数1⋅和2⋅等价．(等价范数定理)证明：设I 是从由2(,)X ⋅到1(,)X ⋅上的恒等映射，由于范数2⋅比1⋅强，所以存在0M >，使得x X ∀∈有112Ix x M x=≤于是I 是线性有界算子，加之I 既是单射又满射，因此根据逆算子定理知1I -是线性有界算子，即存在0M'>，使得x X ∀∈有1212I x x M'x -=≤．故范数1⋅和2⋅等价。
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|
a
+
1 n
x
a fn (t )dt | dx
ò ò =
a
+
1 n
n(
x
-
a
)dx
+
b
dx
a
a
+
1 n
=b-a- 1
2n
Therefore || T ||³ sup || Tfn ||L = b - a.
n
• Proposition.
Linear operator T : ( X ,|| × ||) ® (Y ,|| × ||)
Þ T : X ® X是线性算子.
•例
1
y(s) = ò k(s, t)x(t)dt, k( , ) Î C([0,1]´[0,1]) 0
定义算子 A : C[0,1] a C[0,1] 如下
1
A : x(t) a y(s) = ò k(s, t )x(t)dt, 0
满足 A(a x1 + b x2 ) = a Ax1 + b Ax2 .
=
æ
ç
A
ç ç
x1 x2 M
ö ÷ ÷ ÷
ççè yn ÷÷ø ççè an1 an2 L ann ÷÷ø ççè xn ÷÷ø
ççè xn ÷÷ø
由此可知,在有限维线性空间上,如果将基选定后,
线性算子与矩阵是相对应的.
•例
X :[a, b]上全体多项式所成的线性空间,
定义微分算子 Tx(t) = x¢(t), x Î X
Tx关于这个基的坐标是(y1, y2 , ..., yn ).
n
n
å å x = xkek , Tx = ykek :
k =1
k =1
æ ç ç ç
y1 y2 M
ö ÷ ÷ ÷
=
æ ç ç ç
a11 a21 L
a12 a22 L
L L L
a1n a2n L
öæ ÷ç ÷ç ÷ç
x1 x2 M
ö ÷ ÷ ÷
• X ,Y是赋范空间, T : X ® Y 是有界线性 算子,定义 T 的范数:
|| T ||= sup || Tx || x¹0 || x ||
• 等价地,
|| T ||= sup || Tx ||= sup || Tx ||
|| x||£1
|| x|| =1
= inf{M ³ 0 : || Tx ||£ M || x ||, "x Î X }
a
|
a
a
f (t)dt |dx
ò òb x
£ | f (t) | dtdx aa
ò ò ò b b
b
£ | f (t) | dtdx = 1dx = b - a
aa
a
Þ|| T ||£ b - a.
On the other hand , for any n Î N : a + 1 < b, n
we define fn ( x) as follows,
n
å "x = ( x1, x2 , ...) Î l1,
x
=
lim
n®¥
k =1
xk ek
"f Î (l1 )* , hk = f (ek ), k = 1, 2, ...
Þ|hk |£|| f || × || ek ||1 =|| f ||
Þ h = (h1,h2 , ...) Î l ¥ , ||h ||¥ £|| f || .
x
(Tf )( x) = òa f ( x)dt
T : L[a, b] ® C[a, b]线性算子, 且 || T ||= 1.
In fact, "f Î L[a, b]：|| f ||L = 1
|| Tf
||C[a,b] =
max | (Tf
xÎ[a ,b]
)( x) |
òx
£ max | f (t) | dt xÎ[a ,b] a
Þ B( X ,Y ) - - - -赋范线性空间
定理 设X是赋范线性空间,Y是Banach
空间,那末B( X ,Y ) 是Banach空间.
定义 设X是赋范线性空间,X上的连续 线性泛函全体记做 X *,它按通常的线 性运算及泛函的范数构成一个赋范线 性空间,称 X *为X的共轭空间.
定理 设X是赋范线性空间, 那末
n
å x = xkek Þ
å k =1 n
Tx =
xkTek
=
(Te1 ,
...,Ten
æ
)
ç ç
x1 M
ö ÷ ÷
k =1
çè xn ÷ø
=
(e1
,
...,
en
)
æ ç ç
a11 L
L L
a1n L
ö ÷ ÷
æ ç ç
x1 M
ö ÷ ÷
çè an1 L ann ÷ø çè xn ÷ø
x关于这个基的坐标是(x1 , x2 , ..., xn );
• B(X,Y): 有界线性算子 T :X ® Y 的集合.
对T , S Î B( X ,Y ), a Î K , 定义算子 T + S, aT 如下:
(T + S )x = Tx + Sx, "x Î X ; (aT )x = aTx, "x Î X 易知,T + S, aT Î B( X ,Y ), 且
X * = B( X , K ) 是Banach空间.
• 赋范线性空间X和Y,映射 j : X ® Y :
"xÎX 有|| j( x) ||=|| x || ,则称 j 是X到
Y的一个保范映射.若 j : X ® Y 保范、
线性、双射,则称 j 是X到Y上的同构
映射.如果空间X到Y之间存在一个从X 到Y上的同构映射,则称X和Y是同构的.
B( X ,Y ) - - - -线性空间
T , S Î B( X ,Y ), a Î K , 满足 : (1) || T + S ||£|| T || + || S ||
(2) || aT ||=| a | × || T || (3) || T ||³ 0, || T ||= 0 Û T = 0.
ì n, fn ( x) = íî0,
x
Î [a, a
+
1 n
]
x
Î
(a
+
1 n
,
b]
It is easy to see that
|| f ||L = 1
and
bx
ò ò || Tfn ||L =
|
a
a
fn (t )dt | dx
ò ò ò ò =
| a
+
1 n
a
x
b
a
fn (t )dt | dx +
• X ,Y 是赋范空间, T : X ®Y是有界线性 算子,若 $ M ³ 0, s.t.,
|| Tx ||£ M || x ||, "x Î X
则称 T 是有界的. • 等价于 T 将有界集映成有界集. • B(X,Y): 有界线性算子 T; X ® Y 的集合. • 定理 Y完备,B(X,Y)是Banach空间.
作映射j : (l1 )* ® l ¥ ,
j : f a h = (h1,h2 , ...) 是同构映射.(Proof)
既然 (l1 )* 和l ¥ 同构，我们把 (l1 )* 和 l ¥ 同一化，所以可以说 l1 的共轭空间是 l ¥ ，
即 (l1 )* = l ¥ 。应注意，(l1 )* = l ¥ 只是同构意 义下的等式，所以在运用这些“等式”去探 讨其它问题时，还必须把同构映射同时加 以考虑，忽视这一点将会发生错误。
|| x ||£1
令r = inf{M ³ 0 : || Tx ||£ M || x ||, "x Î X }
} Þ|| Tx ||£ r || x ||Þ|| T ||£ r Þ || T ||= r .
|| Tx ||£|| T || × || x || Þ r £|| T ||
•例
f Î L[a, b],
• 1） 若T : Rn ® Rn是线性算子,
Tei是e1 , e2 , ..., en的线性组合
Þ $ aij , s.t.,
Te1 = a11e1 + a21e2 + ... + an1en
...... Te2 = a12e1 + a22e2 + ... + an2en
Ten = a1ne1 + a2ne2 + ... + annen
Þ
f ( x) = lim n®¥
f ( xn ) = 0
Þ x Î N ( f ).
2) 若N ( f ) = N ( f ). 设 sup | f ( x) |= ¥
|| x|| =1
Þ $xn : || xn ||= 1, s.t., | f ( xn ) |³ n
令
yn =
xn f ( xn )
s.t., || Tx ||£|| T || × || x ||< e
Þ T在点x = 0是连续的.
2) 若T在点x0 = 0是连续的."x Î X 如果xn ® x, 则xn - x ® 0. Þ T ( xn - x) = Txn - Tx ® 0
Þ Txn ® Tx ( n ® ¥ )
3) 若T是连续的线性算子,
ò 例
x