《因数和倍数》单元教学分析

《因数和倍数》单元教学分析

（一）教学目标

1．理解因数与倍数的概念，能举例说明。

2．通过自主探索，掌握2、3和5的倍数的特征，能准确判断2、3和5的倍数，促进数感的发展。

3．了解质数（素数）与合数，在1～100的自然数中，能找出质数与合数，并能熟练判断20以内的数哪个是质数，哪个是合数。

4．知道有关概念之间的联系和区别，在建立概念、运用概念的过程中，逐步发展数学的抽象能力与推理能力。

5．了解奇数与偶数，能准确判断奇数与偶数，通过探索奇数、偶数相加的结果是奇数还是偶数（奇偶性），丰富解决问题的策略。

（二）内容安排及其特点

1．教学内容和作用。

本单元的主要学习内容包括：因数与倍数，2、5和3的倍数的特征，质数与合数。这些内容分为三节，各节内容的编排体系如下表。

有关知识之间的内在联系如下图。

本单元的内容是在学生已经学了一定的整数知识（包括整数的认识、整数的四则运算及其应用）的基础上，进一步认识整数的性质。本单元所涉及的因数、倍数、质数、合数等概念以及第四单元中的最大公因数、最小公倍数等内容，都是初等数论的基础知识。

数论是一个历史悠久的数学分支，它是研究整数性质的一门学问，以严格、简洁、抽象著称。数学一直被认为是“科学的皇后”，而数论更被誉为“数学的皇后”，可见数论在数学中的地位。

本单元的知识作为数论知识的初步，一直是小学数学教材中的重要内容。

一方面，学习分数，特别是学习约分、通分，需要以因数、倍数的概念为基础，进一步掌握公因数、最大公因数和公倍数、最小公倍数的概念，需要用到质数、合数的概念，需要掌握2、5和3的倍数的特征。因此，本单元的知识是学习数学不可或缺的基础。

另一方面，这部分内容的学习，不仅能丰富学生有关整数的知识，加深对整数与整数除法的认识，同时由于这些知识比较抽象，且概念间的联系非常紧密，所以也有助于发展学生的数学思维。

2．教材编排特点。

（l）坚持精简理论概念与分散难点的处理方式。

首先是精简了整除的概念。从数学的角度看，在数论中，起始概念之一就是整除。一般地，对于任意整数a、b，都存在整数n、r，使a＝nb＋r（其中r＜b），当r＝0时，我们就说a能被b整除（或b能整除a），a是b的倍数，b是a的因数。可见，整除与倍数、因数，是同一数学事实的两种不同说法，它们是等价的。从学生角度看，他们在前面的学习中已经积累了大量的区分整除与有余数除法的知识经验，对整除的含义有比较清楚的认识，但对使用“谁能被谁整除”“谁能整除谁”的叙述方式却很不适应，容易说错。因此，不出现整除的概念，会使教师感到有些习惯说法要改口，对学生学习并不会产生实质性的影响。

其次是精简了分解质因数、互质数等概念。在以往的教材中，求最大公因数、最小公倍数唯一的固定方法就是用短除法分解质因数，因此，分解质因数的概念与短除法以及互质数的概念，一直是必学内容。考虑到学习求最大公因数、最小公倍数主要用于约分、通分，事实上，学生在约分、通分时，实际采用口算，几乎不用短除法。所以，允许学生采用多样的方法求最大公因数和最小公倍数之后，分解质因数就失去了其不可或缺的作用。为了减少这一单元的理论概念，把分解质因数等内容作为补充知识，安排在“你知道吗？”中进行介绍，显然是合理的。

最后是将公因数、最大公因数和公倍数、最小公倍数等内容移后，与约分、通分编排在一起。在以往的教材中，有关“数的整除”的概念集中在一个单元内学习，虽然有利于凸显相关概念之间紧密的逻辑关系，但也形成了同一单元概念过多、抽象程度过高的现象，学生在学习时经常出现概念混淆、理解困难的问题。实践表明，将其分开编排，能够分散难点，减少教与学的困难，而且也有利于突出知识的应用性。

因为约分需要尽快找出分子、分母的公因数，通分需要尽快找出两个分数分母的公倍数，现在的编排，学了就用，便于巩固，有利于提高教学的有效性。

（2）改进因数、倍数概念的呈现方式。

在数学中，上面给出的a＝nb＋r（r＜b），与a÷6＝n……r的表示形式是等价的。但对于学生来说，采用乘法的表示形式，容易产生误解，以为因数、倍数是针对整数乘法来说的。比较而言，采用除法的表示形式，更便于他们感知因数与倍数的本质意义，领悟到这两个概念反映了整数除法中余数为0的情况，有利于避免误解。

（3）放大探索空间，落实能力培养。

为了便于学生自行制作100以内的质数表，教材将1～100各数排列成10×10的方阵，俗称“百数表”，供学生操作。实践表明，百数表是一种不错的探究材料。以前教学5的倍数的特征时，也曾使用百数表。但在教学2和3的倍数的特征时，原来采用依次算出2、3的倍数的方式，让学生观察，同时还给出2＝2×1，3×1＝3

4＝2×2，3×2＝6

6＝2×3，3×3＝9

8＝2×4，3×4＝12

10＝2×5，3×5＝15

直截了当的提示，如：“把3的倍数各位上的数相加，你发现了什么？”虽说效果明显，但问题过于直白，不利于学生获得探究的体验。现在的教材，探究2、5和3的倍数的特征时，一概采用百数表，由学生自己圈数，自己生成观察材料，同时减少提示，以放大学生的探究空间。这就有利于学生获得更为丰富的数学探究活动经验。

确实，2、5的倍数特征仅仅体现在个位数上，比较明显，容易理解，而3的倍数的特征，只看个位数来判定恰恰成了“陷阱”。怎样才能使学生想到转变思路，从只看个位数转向考察各位上的数相加的和？教材通过学生对话的插图，在思维的转折处设问，并针对改变观察角度提出问题，力求“提示”与“留白”恰到好处。

相应地，在练习中设计了一道探究题，让学生不再依赖提示，独立探索6的倍数的特征，从而进一步发展学生的数学探究活动经验，使数学能力的培养目标得以落实。

（4）加强解决问题的教与学。

在本单元中，增加了一道例题，通过研究两数之和的奇偶性的纯数学问题，引导学生经历较为完整的问题解决过程，并渗透解决问题的策略。