第8-9讲 矩形单元和6节点三角形单元

精度会高一阶。
(b y ) (a x ) (b y ) (a x ) (b y ) (a x ) (b y ) (a x ) E (b y ) S (a x ) (b y ) (a x ) (b y ) (a x ) (b y ) (a x ) 2 4ab(1 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 (a x ) (b y ) (a x ) (b y ) (a x ) (b y ) (a x ) ( b y ) 2 2 2 2 2 2 2 2
因此，单元内任一点的面积坐标满足关系： Li+ Lj+ Lm=1 即3个面积坐标只有2个面积坐标是独立的。
•
面积坐标与直角坐标之间有确定的变换关系，因此，对三角形单
元的描述完全可以用面积坐标进行。
直角坐标表示面积坐标
不难导出下列变换关系：
1 Li (ai bi x ci y ) 2A
•
和简单三角形单元一样，矩形单元位移 模式中包含了完全一次多项式，所以满
足完备性条件。因此矩形单元的收敛性
得到保证。
第四章 平面问题高精度单元
§4.2 二、单元应变和应力

矩形单元
单元位移模式代入平面问题几何方程：
x x y 0 xy y 0 N e B e y x
第四章 平面问题高精度单元
§4.2
•
•
矩形单元
显然，上述形函数满足形函数性质。
由于边界平行于坐标轴，矩形单元位移模式沿单元边界（x，y方向） 都是线性变化，沿其他方向则按2次函数变化。称为“双线性”位 移函数。
•
由于单元位移在单元边界上线性变化，而单元之间的公共边界上
有2个公共节点，所以单元边界间的位移是连续的，单元满足协调 性条件。
第四章 平面问题高精度单元
§4.2
•
矩形单元
由平面问题物理方程（应力～应变关系）得到：
DB S
e
e
•
对于矩形单元，其单元上应力、应变不再是常数，而是一定程度 上呈线性变化，即：x方向正应变、正应力随y坐标线性变化；y
方向正应变和正应力随x坐标线性变化。因此，在一定条件下，
面积坐标表示直角坐标 不难导出下列变换关系：
x xi Li x j L j xm L m y yi Li y j L j ym Lm
1 1 矩阵形式： x x i y y i
第四章 平面问题高精度单元
1 xj yj
第四章 平面问题高精度单元
§4.1
提高有限元求解精度的途径
三、建立高精度单元的原理和途径 • 原理：提高单元位移模式多项式的阶次，从而增强单元拟合局部区 域位移、应力变化的能力。 • • 途径：主要是增加单元的节点数。 对平面问题，先考虑采用4节点矩形单元和6节点三角形单元。
第四章 平面问题高精度单元
6节点三角形单元
第四章 平面问题高精度单元
§4.3
•
6百度文库点三角形单元简介
显然单元满足完备性要求。由于该位移模式决定了单元边界上位 移呈二次抛物线分布，相邻单元公共边界上有三个公共节点，正 好能够保证相邻单元在边界上位移的连续性，因而是协调元，单
元满足收敛条件。
• • 该单元应变、应力随坐标完全呈线性变化，属于高精度单元。 进行广义坐标代换后位移模式仍可写成标准形式：
Ni (2Li 1) Li （i 1,2,3）
N 4 4 L1 L2 N 5 4 L2 L3 N 6 4 L3 L1
第四章 平面问题高精度单元
§4.3
6节点三角形单元简介
不难验证，上述6个形函数满足形函数的2个主要性质：
N i ( Pj ) ij
N
i
1
Ni (2Li 1) Li （i 1,2,3） N 4 4 L1L2 N 5 4 L2 L3 N 6 4 L3 L1

形函数矩阵经过微分算子矩阵作用后得到3×8应变矩阵：
0 b y 0 b y 0 b y 0 b y 1 B 0 a x 0 a x 0 a x 0 ax 4ab a x b y a x b y a x b y a x b y
• •
矩形单元
4节点矩形单元采用了双线性位移模式，应力基本上沿坐标轴呈线 性变化，因而精度比3节点三角形单元高。 由于位移模式在单元边界上线性变化，并且根据单元公共边界上 两个共同节点位移插值得到，单元的协调性得到满足，同时也满 足完备性，因此单元是收敛的。 单元要求两对边平行于坐标轴，因而不能模拟复杂几何边界，单 元网格疏密不能过渡，这是矩形单元的固有缺点。矩形单元可以 与3节点三角形单元结合使用。 如果突破几何上的限制，成为任意方位的任意四边形单元，便可 成为实用的单元。
一、简单三角形单元的缺点 • • 三节点三角形单元精度低，收敛慢，在单元内不能反映应力应变 的变化。 这是因为该单元只有3个节点，单元自由度少，单元位移模式只 能是线性函数，描述单元内位移变化的能力差。
二、提高有限元求解精度的途径 • • 第一个途径是对某一种特定类型的单元采用网格加密，依靠单元 的收敛性提高求解精度； 第二个途径是对一定的单元网格和单元尺寸，采用高精度单元以 提高求解精度。
•
•
采用面积坐标后，单元刚度矩阵和等效节点力的计算都比较方便。
6节点三角形单元列式推导原理与其它单元相同。
第四章 平面问题高精度单元
第四章 平面问题高精度单元
•
•
第四章 平面问题高精度单元
§4.3 一、单元概述
•
6节点三角形单元简介
三角形单元天然具有很好的几何适应性，如果增加三角形单元位移模式
多项式的阶数，就能成为实用的单元。考虑图示6节点三角形单元，单 元每边中点设一个节点，则单元有12个自由度，因此位移模式恰好取完
全二次多项式：
u 1 2 x 3 y 4 xy 5 x 2 6 y 2 v 7 8 x 9 y 10 xy 11x 2 12 y 2
（i, j, m）
显然，面积坐标与3节点三角形单元的形函数完全相同。
第四章 平面问题高精度单元
§4.3
6节点三角形单元简介
bi bj bm ci 1 c j x cm y
Li ai 1 矩阵形式： L j a j L 2 A a m m
T
第四章 平面问题高精度单元
§4.2
•
矩形单元
单元内位移多项式设4项，为双线性多项式：
u a1 a2 x a3 y a4 xy v a5 a6 x a7 y a8 xy
通过节点坐标和节点位移代入，把广义坐标（多项式系数）a1
~ a8
代换为节点位移分量后得到插值形式的位移函数：
u N i ui
i 1 6 6
v N i vi
i 1
•
但是，采取如前面3节点单元建立形函数的办法过于复杂，下面介 绍用三角形单元的面积坐标描述单元位移模式和形函数的方法。
第四章 平面问题高精度单元
§4.3
6节点三角形单元简介
二、面积坐标下6节点三角形单元分析
• 面积坐标的定义如图所示。
•
三角形中任意一点的位置用三个参数来表示，
称为面积坐标。面积坐标（Li, Lj, Lm）定义 为三个比值：
Ai Li A Aj Lj A Aj Lm A
第四章 平面问题高精度单元
三角形单元上的面积坐标
A为三角形面积，显然有： Ai Aj Am A
§4.3
•
6节点三角形单元简介
§4.2
矩形单元
一、矩形单元及其位移模式
• 矩形单元边长分别为2a、2b。取4个 顶点为节点。不失一般性地假设矩 形的2个对称轴分别为x，y轴。每节 点2个位移分量，因此单元共8个自 由度。 • 单元节点编号为 k，l，m，n
单元节点位移列阵为：
uk
e
vk
ul
vl
um vm un vn
第4章 平面问题高精度单元
4.1 提高有限元求 解精度的途径 4.2 矩形单元 4.3 6节点三角形 单元简介
简单三角形单元缺点 提高有限元求解精度的途径 高精度单元的原理
单元位移模式 单元应力、应变 单元刚度矩阵 矩形单元讨论
单元简介 面积坐标 单元位移模式
第四章 平面问题高精度单元
§4.1
提高有限元求解精度的途径
§4.2
Nk N 0 0 Nk
矩形单元
Nl 0 0 Nl Nm 0 0 Nm Nn 0 0 Nn
形函数矩阵
•
各形函数为：
1 x y (1 )(1 ) 4 a b 1 x y N l (1 )(1 ) 4 a b 1 x y N m (1 )(1 ) 4 a b 1 x y N n (1 )(1 ) 4 a b Nk
u N k uk Nl ul N mum N nun Ni ui
v N k vk Nl vl N mvm N n vn Ni vi
• 写成矩阵形式为：
u e N v
其中
N 为形函数矩阵
第四章 平面问题高精度单元
第四章 平面问题高精度单元
§4.2
矩形单元
三、矩形单元刚度矩阵
• 矩形单元刚度矩阵导出的原理和方法同简单三角形单元。计算式如下：
k a b B DBhdxdy
e a b T
•
可以通过积分计算出精确的刚度矩阵元素，见P51。
第四章 平面问题高精度单元
§4.2 四、矩形单元讨论
1 Li xm L j ym Lm
§4.3

6节点三角形单元简介
利用上面变换式，三角形单元上的任何多项式函数可以方便地在 两种坐标之间转换。

面积坐标的各种形式幂函数在三角形上的积分有很简便的计算公式。
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面积坐标表示的6节点三角形单元形函数
根据形函数性质直接构造出用面积坐标表示的形函数如下：