如三节点三角形单元
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
单元的位移函数可取为：
u a1 a2 x a3 y a4 xy v a5 a6 x a7 y a8 xy
（7-1）
在上式表示的位移模式中，a1, a2, a3, a5, a6, a7， a8 反映了单元的刚体位移和常 y 应变。在单元的边界(x=±a m l 或y =±a)上（或），位移是 b 按线性分布的。因此，相邻 x 单元在公共边上的位移是连 b 续的。这样，位移模式满足 j a a i 了解答收敛性的充分条件。 图7-3 在式（7-1）中代入节点位移和节点坐标后，可解出
u { f } [ N ]{ }e v
（7-5）
vl um vm ]T
式中
{ }e [ui vi u j
v j ul
（7-6）
[ N ] [ Ni I N j I Nl I N n I ]
其中，I为二阶单位矩阵。 2、应变矩阵 根据几何方程，可得与式（2-25）同样的形式
{ } [ B]{ }e
（7-7）
（7-8）
把应变矩阵[B]写成子矩阵形式 其中
[B] [[Bi ] [B j ] [Bl ] [Bm ]]
（7-9）
0 b i (1 i ) 1 [ Bi ] 0 a i (1 i ) (i, j , l , m) （7-10） 4ab a i (1 i ) b i (1 i )
4、单元刚度矩阵 单元刚度矩阵可采用式（2-33a）进行计算
[k ] [ B]T [ D ][B ]hdxdy
A
（2-33a）
在四节点矩形单元中，[k]是一个8×8的矩阵。将[k]写成分 块形式：
[kii ] [k ] ji [kli ] [kmi ] [kim ] [k jj ] [k jl ] [k jm ] [klj ] [kll ] [klm ] [kmj ] [kml ] [kmm ] [kij ] [kil ]
可能达到较高的精度。图7-1悬臂梁分别采用高、低阶单元 计算就是一个典型的例子。
P
A B
h
4h 悬臂深梁
常应变单元：A=0.866 B=0.619
• •
解析解：A=1.0 B=1.0
• •
• •
图7-1
高阶单元：A=0.99 B=0.99
选择位移模式时，第2章提到要考虑解的收敛性，即要考虑
Hale Waihona Puke Baidu
也不能取1，x，y， y2四项，
而应取1，x，y，xy四项。 7.2 四节点矩形单元
x4
x2y xy2 y3 x3y x2y2 xy3 y4
图7-2 多项式选择的 怕斯卡三角形
图7-3示出的矩形单元，边长分别为2a和2b。取4个角点为节
点，编号为i，j，l，m。将x轴和y轴置于单元的对称轴上。
1、位移函数
式取完全二次式共6项。如
x2
x3 x4
1 x y
xy
y2
果某一阶次不能全取，则
应按对称性原则适当选取。
x2y xy2 y3 x3y x2y2 xy3 y4
图7-2 多项式选择的 怕斯卡三角形
例如在下节将要讨论的四 结点矩形单元中，位移模 式不能取1，x，y，x2四项，
x3 x x2
1 y xy y2
第7章
平面问题高阶单元
7.1 位移模式阶次的选择 在前面两章中讨论了平面问题三结点三角形单元，其位 移模式的最高阶是坐标 x、 y的一次项。这种位移模式导致 单元常应变、常应力特性，单元应变矩阵、应力矩阵、刚 度矩阵均为常数矩阵，因此计算非常简单。但这种单元难 以反映应力梯度的迅速变化。要想提高计算精度，必须细 分网格，增加单元数和点数，因而加大输入数据的工作量 提高计算精度的另一条有效途径是采用高阶单元。由于 高阶单元的应变、应力不再是常数，因此采用少量单元就
由此可见，[B]是、 的函数，即是x、y的函数。因此 单元中的应变不再是常数。
3、应力矩阵
根据应力-应变关系，可以计算单元中的应力，得到式（228）同样形式
{ } [ D]{ } [S ][ ]e
（7-11）
应力矩阵[S]具有与式（2-29）同样形式
[ S ] [ D][B]
各待定系数(a1… a8)。将这些系数再代入式（7-1），可得：
u N i ui N j u j N l ul N mum v N i ui N j u j N l ul N mum
式中形函数为 ：
1 x y N i 1 1 4 a b 1 x y N j 1 1 4 a b 1 x y N l 1 1 4 a b 1 x y N m 1 1 4 a b
（7-12）
将[S]写成子矩阵形式
[S ] [Si S j Sl Sm ]
（7-13）
其中
ai (1 i ) bi (1 i ) E b (1 ) [ Si ] a ( 1 ) i i i i 4ab(1 2 ) 1 1 ai (1 i ) bi (1 i ) 2 2 (i, j, l , m) （7-14） 上式对应平面应力情形。对于平面应变情形，只需将其中 的E，作相应的改变即可。
（7-2）
（7-3）
令
x y , a b
在节点上的值为：
xi yi i , i (i , j , l , m ) a b
(i, j, l, m)
（7-4）
则式（7-3）可简写为
Ni (1 i )(1 i) / 4
将位移函数写成矩阵形式，即有与式（2-20）相同的形式
到位移模式的完备性和协调性。实际操作中，一般应考虑
位移模式的对称性。这是因为，有限元位移模式的选择实
由低价至高阶，顺序选取，组成多项式。多项式中的项数 等于单元节点自由度数。如三节点三角形单元，位移 模式取完全一次式，共3项。
际是以帕斯卡（Pascal）三解形基础上的（如图7-2所示），
六节点三角形单元，位移模
u a1 a2 x a3 y a4 xy v a5 a6 x a7 y a8 xy
（7-1）
在上式表示的位移模式中，a1, a2, a3, a5, a6, a7， a8 反映了单元的刚体位移和常 y 应变。在单元的边界(x=±a m l 或y =±a)上（或），位移是 b 按线性分布的。因此，相邻 x 单元在公共边上的位移是连 b 续的。这样，位移模式满足 j a a i 了解答收敛性的充分条件。 图7-3 在式（7-1）中代入节点位移和节点坐标后，可解出
u { f } [ N ]{ }e v
（7-5）
vl um vm ]T
式中
{ }e [ui vi u j
v j ul
（7-6）
[ N ] [ Ni I N j I Nl I N n I ]
其中，I为二阶单位矩阵。 2、应变矩阵 根据几何方程，可得与式（2-25）同样的形式
{ } [ B]{ }e
（7-7）
（7-8）
把应变矩阵[B]写成子矩阵形式 其中
[B] [[Bi ] [B j ] [Bl ] [Bm ]]
（7-9）
0 b i (1 i ) 1 [ Bi ] 0 a i (1 i ) (i, j , l , m) （7-10） 4ab a i (1 i ) b i (1 i )
4、单元刚度矩阵 单元刚度矩阵可采用式（2-33a）进行计算
[k ] [ B]T [ D ][B ]hdxdy
A
（2-33a）
在四节点矩形单元中，[k]是一个8×8的矩阵。将[k]写成分 块形式：
[kii ] [k ] ji [kli ] [kmi ] [kim ] [k jj ] [k jl ] [k jm ] [klj ] [kll ] [klm ] [kmj ] [kml ] [kmm ] [kij ] [kil ]
可能达到较高的精度。图7-1悬臂梁分别采用高、低阶单元 计算就是一个典型的例子。
P
A B
h
4h 悬臂深梁
常应变单元：A=0.866 B=0.619
• •
解析解：A=1.0 B=1.0
• •
• •
图7-1
高阶单元：A=0.99 B=0.99
选择位移模式时，第2章提到要考虑解的收敛性，即要考虑
Hale Waihona Puke Baidu
也不能取1，x，y， y2四项，
而应取1，x，y，xy四项。 7.2 四节点矩形单元
x4
x2y xy2 y3 x3y x2y2 xy3 y4
图7-2 多项式选择的 怕斯卡三角形
图7-3示出的矩形单元，边长分别为2a和2b。取4个角点为节
点，编号为i，j，l，m。将x轴和y轴置于单元的对称轴上。
1、位移函数
式取完全二次式共6项。如
x2
x3 x4
1 x y
xy
y2
果某一阶次不能全取，则
应按对称性原则适当选取。
x2y xy2 y3 x3y x2y2 xy3 y4
图7-2 多项式选择的 怕斯卡三角形
例如在下节将要讨论的四 结点矩形单元中，位移模 式不能取1，x，y，x2四项，
x3 x x2
1 y xy y2
第7章
平面问题高阶单元
7.1 位移模式阶次的选择 在前面两章中讨论了平面问题三结点三角形单元，其位 移模式的最高阶是坐标 x、 y的一次项。这种位移模式导致 单元常应变、常应力特性，单元应变矩阵、应力矩阵、刚 度矩阵均为常数矩阵，因此计算非常简单。但这种单元难 以反映应力梯度的迅速变化。要想提高计算精度，必须细 分网格，增加单元数和点数，因而加大输入数据的工作量 提高计算精度的另一条有效途径是采用高阶单元。由于 高阶单元的应变、应力不再是常数，因此采用少量单元就
由此可见，[B]是、 的函数，即是x、y的函数。因此 单元中的应变不再是常数。
3、应力矩阵
根据应力-应变关系，可以计算单元中的应力，得到式（228）同样形式
{ } [ D]{ } [S ][ ]e
（7-11）
应力矩阵[S]具有与式（2-29）同样形式
[ S ] [ D][B]
各待定系数(a1… a8)。将这些系数再代入式（7-1），可得：
u N i ui N j u j N l ul N mum v N i ui N j u j N l ul N mum
式中形函数为 ：
1 x y N i 1 1 4 a b 1 x y N j 1 1 4 a b 1 x y N l 1 1 4 a b 1 x y N m 1 1 4 a b
（7-12）
将[S]写成子矩阵形式
[S ] [Si S j Sl Sm ]
（7-13）
其中
ai (1 i ) bi (1 i ) E b (1 ) [ Si ] a ( 1 ) i i i i 4ab(1 2 ) 1 1 ai (1 i ) bi (1 i ) 2 2 (i, j, l , m) （7-14） 上式对应平面应力情形。对于平面应变情形，只需将其中 的E，作相应的改变即可。
（7-2）
（7-3）
令
x y , a b
在节点上的值为：
xi yi i , i (i , j , l , m ) a b
(i, j, l, m)
（7-4）
则式（7-3）可简写为
Ni (1 i )(1 i) / 4
将位移函数写成矩阵形式，即有与式（2-20）相同的形式
到位移模式的完备性和协调性。实际操作中，一般应考虑
位移模式的对称性。这是因为，有限元位移模式的选择实
由低价至高阶，顺序选取，组成多项式。多项式中的项数 等于单元节点自由度数。如三节点三角形单元，位移 模式取完全一次式，共3项。
际是以帕斯卡（Pascal）三解形基础上的（如图7-2所示），
六节点三角形单元，位移模