人教新课标版数学高二-选修2-2课时作业2 导数的概念

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人教版高中数学选修2-2习题第一章导数及其应用1.1.2导数的概念

第一章导数及其应用1.1变化率与导数导数的观点A 级基础稳固一、选择题1． y＝ x2在 x＝ 1 处的导数为 ()A． 2x B． 2 C． 2＋ x D． 1分析：由于 f(x)＝ x2，x＝ 1，因此y＝ f(1＋x)－ f (1)＝ (1＋x)2－ 1＝ 2x＋ (x)2，所以y＝(2＋x)＝ 2.x答案： B2．一物体运动知足曲线方程s＝4t2＋ 2t－ 3，且 s′(5)＝ 42(m/s)，其实质意义是 () A．物体 5 秒内共走过42 米B．物体每 5 秒钟运动42 米C．物体从开始运动到第 5 秒运动的均匀速度是42 米/秒D．物体以 t＝ 5 秒时的刹时速度运动的话，每经过一秒，物体运动的行程为42 米分析：由导数的物理意义知，s′ (5)＝ 42(m/s)表示物体在t＝ 5 秒时的刹时速度．答案： D3．设函数 f (x)在点 x0邻近有定义，且有 f(x0＋x)－ f(x0 )＝ a x＋ b(x)2，(a，b 为常数 )，则 ()A． f′ (x)＝ a B． f′ (x)＝ bC． f′ (x0)＝ a D． f′ (x0)＝ b分析：由于 f′(x＝f（ x0＋x）－f（x）＝0)xa x＋ b（x）2＝(a＋ b x)＝ a，因此 f′(xx0)＝a.答案： C4．已知 y＝x＋ 4，则 y′|x1＝ ________．＝555A. 2B. 10C. 5 D．－10分析：由题意知y＝1＋x＋ 4－ 1＋ 4＝5＋x－5，y＋－5＋－5所以＝5x1＝5x＝. 所以 y′|xx x＝xx＝5x （ 5＋ x ＋5） 10.答案： B5．假如某物体做运动方程为s ＝ 2(1－ t 2)的直线运动 (s 的单位为 m ， t 的单位为 s)，那么其在 1.2 s 末的刹时速度为 ()A ．－ 4.8 m/sB ．－ 0.88 m/sC ． 0.88 m/sD ． 4.8 m/s解析：运动物体在1.2s 末的瞬时速度即为 s 在 1.2 处的导数，所以f （ 1.2＋ t ）－ f （ 1.2）＝t222[1－（ 1.2＋t ） ]－ 2×（ 1－ 1.2 ）＝2(－答案： A 二、填空题6．设函数t － 2.4)＝－ 4.8(m/s)．f(x)知足f （ 1）－ f （ 1－ x ）＝－ 1，则 f ′(1)＝ ________．x分析： f （ 1）－ f （ 1－ x ）＝ f （ 1－ x ）－ f （ 1）＝ f ′(1)＝－ 1.x－ x答案：－ 17．函数 f(x)＝ x 2＋ 1 在 x ＝ 1 处可导，在求 f ′(1)的过程中，设自变量的增量为x ，则函数的增量y ＝ ________．分析：y ＝ f(1＋ x)－ f(1) ＝－ (1 2＋ 1)＝2 x ＋ ( x)2.答案： 2 x ＋ (x)28．某物体做匀速直线运动，其运动方程是 s ＝ vt ，则该物体在运动过程中其均匀速度与任何时辰的刹时速度的大小关系是________．s （＋t ）－ s （ t ）分析： v 0＝＝ s t 0＝ttv （ t 0＋ t ）－ v （ t 0）＝v tt＝ v.t答案：相等三、解答题19．利用导数的定义，求函数y ＝ x 2＋ 2 在点 x ＝ 1 处的导数．解：由于y ＝ 1 2＋2 － 1 ＝（ x ＋ x ） x 2＋ 2－ 2x x －（x ） 2，因此y ＝－ 2x － x ，（ x ＋ x ） 2· x 2 x （ x ＋ x ） 2· x 2因此 y ′＝y ＝－ 2x － x2＝－ 23，（ x ＋2xx ） · xx因此 y ′|x ＝1＝－ 2.10．在自行车竞赛中，运动员的位移与竞赛时间t 存在关系 s(t)＝ 10t ＋ 5t 2(s 的单位是 m ，t 的单位是 s)．(1)求 t ＝ 20，t ＝ 0.1 时的s 与s ；t(2)求 t ＝ 20 时的速度．解： (1) 当 t ＝ 20， t ＝ 0.1 时，s ＝ s(20＋ t)－ s(20)＝ 10(20＋ 0.1)＋ 5(20＋ 0.1)2－ (10 ×20＋ 5× 202)＝ 1＋ 20＋ 5×0.01＝21.05.因此s 21.05 ＝ 210.5.＝ 0.1ts（＋ t）＋（＋ t） 2－ 10t － 5t 2(2)v ＝＝10 t 5 t ＝tt5（t ） 2＋ 10 t ＋ 10tt(5 t ＋ 10＋ 10t)＝ 10＋ 10t ，t＝因此 t ＝ 20 时的速度即为10＋ 10×20＝ 210(m/s)．B 级能力提高1．某物体运动规律是 s ＝ t 2 － 4t ＋ 5，若此物体的刹时速度为 0，则 t ＝ ()A ．3B ．2.5C ．2D ．1分析： s ＝ (t ＋ t)2－ 4(t ＋t) ＋ 5－ ( t 2－ 4t ＋ 5)＝ 2t t ＋ ( t)2－ 4 t ，由于 v ＝st＝ 2t － 4＝ 0，因此 t ＝ 2.答案： C2．婴儿从出生到第24 个月的体重变化如下图，第二年婴儿体重的均匀变化率为________kg/ 月．分析：第二年婴儿体重的均匀变化率为14.25－ 11.25＝ 0.25(kg/月 )．24－ 12答案： 0.253．若一物体运动方程是 (s 的单位是 m ， t 的单位是 s)3t 2＋ 2（ t ≥3），s ＝29＋ 3（ t － 3） 2（ 0≤t ＜ 3） .求： (1) 物体在 t ∈内的均匀速度；(2) 物体的初速度v 0；(3) 物体在 t ＝ 1 时的刹时速度．解： (1) 由于物体在 t ∈内的时间变化量为t ＝ 5－3＝ 2，物体在 t ∈内的位移变化量为：＝ × 2＋ 2－ (3 ×32＋ 2)＝ 3×(52－ 32s 3 5 )＝ 48，因此物体在 t ∈上的均匀速度为 s 48 ＝ 24(m/s)．＝ 2t (2) 求物体的初速度 v 0 即求物体在 t ＝ 0 时的刹时速度．由于物体在 t ＝ 0 邻近的均匀变化率为s （＋）－（）＝＝ ftftt29＋ 3[（ 0＋ t ）－ 3]2－ 29－ 3（ 0－ 3） 2＝ 3t － 18.t因此物体在 t ＝ 0 处的刹时变化率为，s (3 t － 18)＝－ 18，t ＝即物体的初速度为－ 18 m/s.(3)物体在 t ＝ 1 时的刹时速度即为函数在 t ＝ 1 处的刹时变化率．由于物体在 t ＝ 1 邻近的均匀变化率为：s （＋）－（）＝ f 1 t f 1 ＝ tt29＋ 3[（ 1＋ t ）－ 3]2－ 29－ 3（ 1－ 3） 2t － 12，＝ 3t因此物体在 t ＝ 1 处的刹时变化率为：s ＝ (3 t － 12)＝－ 12.t即物体在 t ＝ 1 时的速度为－ 12 m/s.。

人教版人教课标高中数学选修2-2基本初等函数的导数公式及导数的演算法则课件

f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方.即:
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基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
一.基本初等函数的导数公式
• 我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x 返回
解：因为y ' ( x3 2 x 3) ' ( x3 ) ' (2 x) ' (3) ' 3x 2 2 所以函数y x3 2 x 3的导数是y ' 3x 2 2
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高中数学人教版选修22导数及其应用知识点总结.pdf

数学选修 2-2 数系的扩充和复数的概念知识点必记
30.复数的概念是什么？答：形如 a．+．b．i．的数叫做复数，其中 i 叫虚数单位， a 叫实部， b 叫虚部，数集
C = a + bi | a,b R 叫做复数集。
规定：a + bi = c + di a．=．c．且．b．=．d．，强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相
和综合法常结合使用，不要将它们：即反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的
否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
25.反证法的一般步骤是什么？
答：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
22.什么是综合法？
答：综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条
件，直至推出要证的结论。
23.什么是分析法？
答：分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者
一定成立的式子，可称为“由果索因”。
要注意叙述的形式：要证 A，只要证 B，B 应是 A 成立的充分条件. 分析法
个是最小值。注：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；
9．求曲边梯形的思想和步骤是什么？
答：分割 → 近似代替 → 求和 → 取极限（“以直代曲”的思想）
10.定积分的性质有哪些？根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质 1
b
1dx = b − a
a
性质 5
若 f (x) 0,
特别地：
b
kf (x)dx = k
a
b f (x)dx(k为常数)
a

人教新课标A版高二数学《选修2-2》1.1.2 导数的概念

＝
Δt
65 ht0＋Δt－ht0 －4.9 ＋Δt＋6.5＝0 ∴Δ lim ＝Δ lim → t→0 t 0 Δt 49
65 即运动员在 t0＝98 s 时的瞬时速度为 0 m/s. 说明运动员处于跳水运动中离水面最高点处．
点评：运动物体瞬时速度问题实际上是函数平均变化率在物理知识上的一个深入的应用．事实上，瞬时速度就是位移函数相对于时间的瞬 Δs 时变化率．这里需强调的是：依题意在求完平均变化率 Δt ＝ st0＋Δt－st0 Δs Δs 后需对求极限，只有当 Δ lim 为一个常数时，此常数 → t 0 Δt Δt Δt 才称为物体在 t＝t0 时的瞬时速度．
Δy 点评：的最终结果要先化简约分，再令 Δx＝0 代入求出导数值． Δx
变式探究 2
若函数 y＝x ＋ax 在 x＝2 处的导数为 8，求 a 的值．
2
f2＋Δx－f2 解：f′(2)＝Δ lim x→0 Δx 2＋Δx ＋a2＋Δx－2 ＋2a ＝Δ lim x→0 Δx ＝Δ lim (Δx＋4＋a) x→0 ＝4＋a. 由题意知 f′(2)＝8， ∴4＋a＝8. 解得 a＝4.
【答案】C
知识讲解： 1.了解导数的概念需注意 (1)Δx 是自变量 x 在 x0 处的改变量，所以 Δx 可正、可负，但不能为零．当 Δx＞0(或 Δx＜0)时， Δx→0 表示 x0＋Δx 从右边(或从左边)趋近于 x0， Δy 是相应函数的改变量，Δy 可正、可负，也可以为零． (2)导数是一个局部概念，它只与函数 y＝f(x)在 x＝x0 处及其附近的函数值有关，与 Δx 无关． fx0＋Δx－fx0 (3)f′(x0)是一个常数，即当 Δx→0 时，存在一个常数与 Δx Δy 无限接近．如果当 Δx→0 时，Δ lim 不存在，则称函数 f ( x ) 在 x ＝ x 处 0 → x 0Δx 不可导．

高中数学导数的概念_说课课件新人教A版选修2-2

有了新的概念，当然少不了例题和练习.
例1的设置是对导数概念的及时巩固和诠释，同时规范解题的格式.
让学生从中总结求导的步骤，实现由理论到技能的转化.
导数 DAOSHU
（四）成果巩固
分组练习
1、求函数 y 在x3
x1,2处，的，导6 数. 2、求函数y=x4在
x1,2处，的，导6数.
人民教育出版社
普通高中课程标准实验教科书选修2-2 第一章
导数 DAOSHU
五教学过程
导数 DAOSHU
微积分的创立是数学发展中的里程碑，导数是微积分的核心概念之一．
在本节课中学生将经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数的含义，体会导数的内涵，感受导数在解决数学问题和实际问题中的作用．
在第 2h与第 6h时,原油温度的瞬时分变别化为 3 率与5.它说明在 2h附第近 ,原油温度大 30C约 /h的以速率下;降在6h附近 ,原油温度大 50C约 /h的以速率.上升
意义，这也是本节课的重点.
强一
般 ,f'地 x0反
映
了
原
油x温附度近在的时变刻化 0
当然别忘了
的瞬时变化,率并说明它们的意. 义
设计意图
实际生产生活中的应用最能体现数学的价值.
导数 DAOSHU
（七）实际应用
设计意图
解：
，根据导数的定义
在例题的解
和 f' 6 同理 .f可 '6得 5.
在2第 h和6第 h时,原油温度 f'2的瞬时
析中要特别强调x=2和x=6处
的导数的实际
特别

高中数学选修2-2-导数的概念-课件.ppt

x
x2 x1
3.求物体运动的瞬时速度：
（1）求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)
(2)求平均速度 v s
t
（3）求极限
s
s(t t) s(t)
lim lim
t t 0
t 0
t
.
4.由导数的定义求f(x)在x=x0处的导数的一般步骤：
（1）求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
A．f′(1)
B．3f′(1)
C.31f′(1)
[答案] C
D．f′(3)
2．若 f′(x0)＝2，则 likm→0 f(x0－k2)k－f(x0)等于(
)
A．－1
B．－2
C．1
1 D.2
[答案] A
3. 若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：s)
s＝329t2＋＋32(t－3)2
(t≥3) (0≤t<3)
一.复习回顾：
1.平均变化率
一般的，函数 f (x)在区间上 [x1, x2 ] 的平均变化率
为 y f (x2) f (x1)＝f x1＋x－f x1
x x2 x1
x
2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)先计算函数值的改变量Δy=f(x2)-f(x1);
(2)再计算自变量的改变量 x x2 x1
有关。
6.若极限 lim f (x0 x不) 存f (在x0 )，则称函数在点x0处
x0
x
不可导。
求函数 y=f(x)在x=x0处的导数的一般方法:
1.求函数的改变量 y f ( x0 x ) f ( x0 );
2. 求平均变化率 y f ( x0 x) f ( x0 ) ;

人教版高中数学高二选修2-2课时作业1-2导数的计算

课时作业2 导数的计算一、选择题1．若对任意x 属于R ，f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则f (x )是( )A ．f (x )＝x 4B ．f (x )＝x 4－2C ．f (x )＝4x 3－5D ．f (x )＝x 4＋2设f (x )＝x 4＋b ，∵f (1)＝－1，∴b ＝－2，∴f (x )＝x 4－2.故应选B.B2．函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数是( ) A.12(e x －e －x ) B.12(e x ＋e －x ) C ．e x －e －x D ．e x ＋e －xy ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(e x ＋e －x )′＝12(e x －e －x )．故应选A.A3．若函数y ＝x 2＋a 2x (a ＞0)的导数为0，则实数x 是( )A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2，由x 2－a 2＝0得x ＝±a .故应选B.B4．函数f (x )＝2a 3＋5a 2x 2－x 6的导数为( )A ．6a 2＋10ax 2－x 6B ．2a 3＋10a 2x －6x 5C ．10a 2x －6x 5D ．5a 2x －6x 5f ′(x )＝(2a 3＋5a 2x 2－x 6)′＝10a 2x －6x 5.故应选C.C5．下列函数在x ＝0处没有切线的是( )A ．y ＝3x 2＋cos xB ．y ＝x sin xC ．y ＝1x ＋2xD ．y ＝1cos x∵y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＋(2x )′＝－1x 2＋2， ∴当x ＝0时，函数无定义，且y ′不存在，故该函数在x ＝0处没有切线．故应选C.C6．若曲线y ＝x n 在x ＝2处的导数为12，则n ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4y ′＝(x n )′＝n ·x n －1.由n ·2n －1＝12得n ＝3.故应选C.C7．已知函数f (x )在x ＝1处的导数为3，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝(x －1)3＋3(x －1)B ．f (x )＝2(x －1)C ．f (x )＝2(x －1)2D ．f (x )＝x －1f (x )＝(x －1)3＋3(x －1)，∵f ′(x )＝3(x －1)2＋3，∴f ′(1)＝3.故应选A.A8．设函数y ＝f (x )是线性函数，已知f (0)＝1，f (1)＝－3，则f ′(x )＝( )A ．4xB ．－4C ．－2D ．6由f (x )是线性函数，可设f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，且a ≠0)，由f (0)＝1，f (1)＝－3，解得a ＝－4，b ＝1，∴f (x )＝－4x ＋1，∴f ′(x )＝－4.故应选B.B二、填空题9．曲线y ＝4x 3在点Q (16,8)处的切线的斜率是________．∵y ＝x 34 ，∴y ′＝34x 34 -1 ＝34x -14 ， ∴y ′| x =16＝38.3810．曲线y ＝x 3＋x ＋1在点(1,3)处的切线方程是________．令f (x )＝x 3＋x ＋1，由导数的几何意义知在点(1,3)处的切线斜率k ＝f ′(1)＝3×12＋1＝4.所以由点斜式得切线方程为y －3＝4(x －1)，即4x －y －1＝0.4x －y －1＝1011．曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴、直线x ＝2所围成的三角形的面积为________．y ′＝3x 2，所以k ＝y ′⎪⎪x ＝1＝3，所以切线方程为y －1＝3(x －1)，即y ＝3x －2.由⎩⎨⎧ y ＝3x －2x ＝2，解得⎩⎨⎧ x ＝2y ＝4，所以S ＝12×43×4＝83. 83 12．曲线y ＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴、直线x ＝a 所围成的三角形的面积为16，则a ＝________. y ′＝3x 2，所以切线方程为y －a 3＝3a 2(x －a )，即y ＝3a 2x －2a 3.可求得切线与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，0，与直线x ＝a 的交点为(a ，a 3)，所以三角形面积为S ＝12×a 3×a 3＝16，解得a ＝±1. ±1三、解答题13．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1,1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a ，b ，c 的值．∵曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点P (1,1)，∴a ＋b ＋c ＝1. ① ∵y ′＝2ax ＋b ，∴y ′|x =2＝4a ＋b ，∴4a ＋b ＝1. ②又曲线过点Q (2，－1)，∴4a ＋2b ＋c ＝－1. ③ 联立①②③解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.14．(1)求曲线y ＝2x x 2＋1在点(1,1)处的切线方程； (2)运动曲线方程为S ＝t －1t 2＋2t 2，求t ＝3时的速度． (1)∵y ′＝2(x 2＋1)－2x ·2x (x 2＋1)2 ＝2－2x 2(x 2＋1)2，y ′| x =1＝2－24＝0，即曲线在点(1,1)处的切线斜率k ＝0，因此曲线y ＝2x x 2＋1在(1,1)处的切线方程为y ＝1.(2)S ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t －1t 2′＋(2t 2)′ ＝t 2－2t (t －1)t 4＋4t＝－1t 2＋2t 3＋4t . S ′| t =3＝－19＋227＋12＝112627. 15．已知函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 为偶函数，它的图象过点A (0，－1)，且在x ＝1处的切线方程为2x ＋y －2＝0，求函数y ＝f (x )的表达式．∵f (x )是偶函数，f (－x )＝f (x )，∴b ＝d ＝0，f (x )＝ax 4＋cx 2＋e ，又∵图象过点A (0，－1)，∴e ＝－1，∴f (x )＝ax 4＋cx 2－1，f ′(x )＝4ax 3＋2cx ，当x ＝1时，f ′(1)＝4a ＋2c ＝－2， ①对于2x ＋y －2＝0，当x ＝1时，y ＝0.∴点(1,0)在f (x )图象上，∴a ＋c －1＝0. ②由①②解得a ＝－2，c ＝3，因此f (x )＝－2x 4＋3x 2－1.16．已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－(x －2)2，直线l 与C 1，C 2都相切，求直线l 的方程．设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2)．对C 1：y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x－x 1)，即y ＝2x 1x －x 21. ①对C 2：y ′＝－2(x －2)，则与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＋(x 2－2)2＝－2(x 2－2)(x －x 2)，即y ＝－2(x 2－2)x ＋x 22－4.② ∵两切线重合，∴⎩⎨⎧ 2x 1＝－2(x 2－2)－x 21＝x 22－4，解得⎩⎨⎧ x 1＝0x 2＝2或⎩⎨⎧ x 1＝2x 2＝0，∴直线方程为y ＝0或y ＝4x －4.。

(完整版)高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结,推荐文档

19 反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
反证法的一般步骤（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正确。反证法的思维方法:正难则反。矛盾（1）与已知条件矛盾: （2）与已有公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛盾． 20 常见的“结论词”与“反义词”
常见的导数和定积分运算公式:若 f x， g x均可导（可积），则有：
和差的导数运算积的导数运算商的导数运算复合函数的导数微积分基本定理
和差的积分运算
积分的区间可加性
-1-
六安一中东校区高二数学选修 2-x)的导数 f '(x) ②令 f '(x) >0,解不等
证明当 n=k+1 时命题也成立.由(1)，(2)可知，命题对于从 n0 开始的所有正整数
n
都正确
新疆王新敞
[注]：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。
b
f (x)dx
a
a
c1
ck
11 定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，
也可能取负值，还可能是 0.
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，
定积分的值取正值，且等于 x 轴上方的图形面积；
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于 x 轴上方图形面积的相反数；
（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为 0，且等于 x 轴上方图形的面积减去下方的图形的面积．
原结论词
反义词

高二数学选修2-2(导数)

1．导数的概念：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率xx f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(lim lim )(00000' ，则0'()f x 称为函数)(x f y =在点0x 处的导数，也记为0'x x y =；也可定义为0'000()()()lim x x f x f x f x x x →-=- 2．导数的物理意义：（1）已知()s s t =为运动物体的位移关于时间的函数（位移函数），则物体在某个时刻0t 的瞬时速度为：'00000()()()lim lim t t s t t s t s v s t t t∆→∆→+∆-∆===∆∆ ，即是函数()s s t =在0t t =处的瞬时变化率。

（2）已知()v v t =为运动物体的速度关于时间的函数（速度函数），则物体在某个时刻0t 的加速度为：'00000()()()lim lim t t v t t v t v a v t t t∆→∆→+∆-∆===∆∆ ，即是函数()v v t =在0t t =处的瞬时变化率。

3．导数的几何意义：点000(,)P x y 是曲线)(x f y =上一点，则曲线在点0P 处切线的斜率：'00000()()()lim lim x x f x x f x y k f x x x∆→∆→+∆-∆===∆∆，切线方程：'000()()y y f x x x -=⋅- 4．几种常见函数的导数：0C '=（C 为常数），1n 'n x )(x -=n （Q n ∈），'(s i n )c o s x x = ，'(cos )sin x x =-，x x e e =)(， a a a x x ln )('=， x x 1)(ln '=， e x x a a log 1)(log '= 5．运算法则：''')(v u v u ±=±，''')(uv v u uv +=，)0()(2'''≠-=v vuv v u v u )(')('))(('x g g f x g f = 习题1.设函数)(x f 在0x 可导，则=∆-∆-→∆xx f x x f x )()(lim 000（） A 、)(0x f ' B 、)(0x f -' C 、)(0x f '- D 、)(0x f -'-2.已知函数x x x f +=3)(，在2=x 、1.0=∆x 时，y ∆的值为（）A 、261.1=∆yB 、3.1=∆yC 、361.1=∆yD 、361.0=∆y3．物体的运动方程是21t t s +-=，其中s 的单位是米，t 的单位为秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（） A 、7米/秒 B 、6米/秒 C 、5米/秒 D 、8米/秒4. 曲线f （x ）=x 3+x －2 在点P 0 处的切线平行于直线y=4x ，则点P 0的坐标为（）A （1,0）B （2,8）C （1,0）和（－1，－4）D （2,8）和（－1，,4）5. f (x )=ax 3+3x 2+2,若f ′(－1)=4,则a 的值等于（） A.319 B.316 C.313 D.3106. 函数y =22xa x + (a >0)的导数为0，那么x 等于（） A.a B.±a C.－a D.a 27. f (x )与g(x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x ),g(x )满足f ′(x )=g ′(x ),则f (x )与g (x )满足（）A.f (x )=g (x )B.f (x )－g (x )为常数函数C.f (x )=g (x )=0D.f (x )+g (x )为常数函数8. 曲线y =x n (n ∈N )在点P （2，)22n 处切线斜率为20，那么n 为（）A.7B.6C.5D.4 9、曲线x x y +-=22在点)1,1(-处的切线方程为。

新课程人教版高中数学选修2-2课后习题解答(全)

第一章导数及其应用 3．1变化率与导数练习（P6）在第3 h 和5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近，原油温度大约以1 ℃／h 的速度下降；在第5 h 时，原油温度大约以3 ℃／h 的速率上升. 练习（P8）函数()h t 在3t t =附近单调递增，在4t t =附近单调递增. 并且，函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”的思想. 练习（P9）函数33()4Vr V π=(05)V ≤≤的图象为根据图象，估算出(0.6)0.3r '≈，(1.2)0.2r '≈.说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题1.1 A 组（P10）1、在0t 处，虽然1020()()W t W t =，然而10102020()()()()W t W t t W t W t t t t--∆--∆≥-∆-∆. 所以，企业甲比企业乙治理的效率高.说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.2、(1)(1) 4.9 3.3h h t h t t t∆+∆-==-∆-∆∆，所以，(1) 3.3h '=-.这说明运动员在1t =s 附近以3.3 m ／s 的速度下降. 3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数.(5)(5)10s s t s t t t∆+∆-==∆+∆∆，所以，(5)10s '=. 因此，物体在第5 s 时的瞬时速度为10 m ／s ，它在第5 s 的动能213101502k E =⨯⨯= J. 4、设车轮转动的角度为θ，时间为t ，则2(0)kt t θ=>. 由题意可知，当0.8t =时，2θπ=. 所以258k π=，于是2258t πθ=.车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数()t θ在 3.2t =时的导数.(3.2)(3.2)25208t t t t θθθππ∆+∆-==∆+∆∆，所以(3.2)20θπ'=. 因此，车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为20π1s -. 说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.5、由图可知，函数()f x 在5x =-处切线的斜率大于零，所以函数在5x =-附近单调递增. 同理可得，函数()f x 在4x =-，2-，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减. 说明：“以直代曲”思想的应用.6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数()f x '的图象如图（1）所示；第二个函数的导数()f x '恒大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加；对于第三个函数，当x 小于零时，()f x '小于零，当x 大于零时，()f x '大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题3.1 B 组（P11）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.2、说明：由给出的()v t 的信息获得()s t 的相关信息，并据此画出()s t 的图象的大致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由（1）的题意可知，函数()f x 的图象在点(1,5)-处的切线斜率为1-，所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案.说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯一. 1．2导数的计算练习（P18）1、()27f x x '=-，所以，(2)3f '=-，(6)5f '=.2、（1）1ln 2y x '=；（2）2x y e '=；（3）4106y x x '=-；（4）3sin 4cos y x x '=--；（5）1sin 33xy '=-；（6）21y x '=-.习题1.2 A 组（P18）1、()()2S S r r S r r r r r π∆+∆-==+∆∆∆，所以，0()lim(2)2r S r r r r ππ∆→'=+∆=.2、()9.8 6.5h t t '=-+.3、3213()34r V Vπ'=. 4、（1）213ln 2y x x '=+；（2）1n x n x y nx e x e -'=+；（3）2323sin cos cos sin x x x x x y x-+'=；（4）9899(1)y x '=+；（5）2x y e -'=-；（6）2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++. 5、()822f x x '=-+. 由0()4f x '=有 04822x =-+，解得032x =. 6、（1）ln 1y x '=+；（2）1y x =-. 7、1xy π=-+.8、（1）氨气的散发速度()500ln 0.8340.834t A t '=⨯⨯.（2）(7)25.5A '=-，它表示氨气在第7天左右时，以25.5克／天的速率减少.习题1.2 B 组（P19） 1、（1）（2）当h 越来越小时，sin()sin x h xy h+-=就越来越逼近函数cos y x =.（3）sin y x =的导数为cos y x =.2、当0y =时，0x =. 所以函数图象与x 轴交于点(0,0)P . x y e '=-，所以01x y ='=-.所以，曲线在点P 处的切线的方程为y x =-.2、()4sin d t t '=-. 所以，上午6:00时潮水的速度为0.42-m ／h ；上午9:00时潮水的速度为0.63-m ／h ；中午12:00时潮水的速度为0.83-m ／h ；下午6:00时潮水的速度为 1.24-m ／h.1．3导数在研究函数中的应用练习（P26）1、（1）因为2()24f x x x =-+，所以()22f x x '=-.当()0f x '>，即1x >时，函数2()24f x x x =-+单调递增；当()0f x '<，即1x <时，函数2()24f x x x =-+单调递减. （2）因为()x f x e x =-，所以()1x f x e '=-.当()0f x '>，即0x >时，函数()x f x e x =-单调递增；当()0f x '<，即0x <时，函数()x f x e x =-单调递减. （3）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.当()0f x '>，即11x -<<时，函数3()3f x x x =-单调递增；当()0f x '<，即1x <-或1x >时，函数3()3f x x x =-单调递减. （4）因为32()f x x x x =--，所以2()321f x x x '=--.当()0f x '>，即13x <-或1x >时，函数32()f x x x x =--单调递增；当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =--单调递减.2、3、因为2()(0)f x ax bx c a =++≠，所以()2f x ax b '=+. （1）当0a >时，()0f x '>，即2bx a >-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增； ()0f x '<，即2bx a<-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.（2）当0a <时，()0f x '>，即2bx a <-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增；()0f x '<，即2bx a>-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减. 4、证明：因为32()267f x x x =-+，所以2()612f x x x '=-. 当(0,2)x ∈时，2()6120f x x x '=-<，因此函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数. 练习（P29）1、24,x x 是函数()y f x =的极值点，其中2x x =是函数()y f x =的极大值点，4x x =是函数()y f x =的极小值点. 2、（1）因为2()62f x x x =--，所以()121f x x '=-. 令()1210f x x '=-=，得112x =. 当112x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当112x <时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以，当112x =时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f =⨯--=-.（2）因为3()27f x x x =-，所以2()327f x x '=-. 令2()3270f x x '=-=，得3x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即3x <-或3x >时；②当()0f x '<，即33x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：注：图象形状不唯一.因此，当3x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为54；当3x =时，()f x 有极小值，并且极小值为54-.（3）因为3()612f x x x =+-，所以2()123f x x '=-. 令2()1230f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即22x -<<时；②当()0f x '<，即2x <-或2x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为10-；当2x =时，()f x 有极大值，并且极大值为22（4）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-. 令2()330f x x '=-=，得1x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即11x -<<时；②当()0f x '<，即1x <-或1x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当1x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为2-；当1x =时，()f x 有极大值，并且极大值为2练习（P31）（1）在[0,2]上，当112x =时，2()62f x x x =--有极小值，并且极小值为149()1224f =-. 又由于(0)2f =-，(2)20f =.因此，函数2()62f x x x =--在[0,2]上的最大值是20、最小值是4924-. （2）在[4,4]-上，当3x =-时，3()27f x x x =-有极大值，并且极大值为(3)54f -=；当3x =时，3()27f x x x =-有极小值，并且极小值为(3)54f =-；又由于(4)44f -=，(4)44f =-.因此，函数3()27f x x x =-在[4,4]-上的最大值是54、最小值是54-.（3）在1[,3]3-上，当2x =时，3()612f x x x =+-有极大值，并且极大值为(2)22f =.又由于155()327f -=，(3)15f =.因此，函数3()612f x x x =+-在1[,3]3-上的最大值是22、最小值是5527.（4）在[2,3]上，函数3()3f x x x =-无极值. 因为(2)2f =-，(3)18f =-.因此，函数3()3f x x x =-在[2,3]上的最大值是2-、最小值是18-. 习题1.3 A 组（P31）1、（1）因为()21f x x =-+，所以()20f x '=-<. 因此，函数()21f x x =-+是单调递减函数.（2）因为()cos f x x x =+，(0,)2x π∈，所以()1sin 0f x x '=->，(0,)2x π∈. 因此，函数()cos f x x x =+在(0,)2π上是单调递增函数. （3）因为()24f x x =--，所以()20f x '=-<. 因此，函数()24f x x =-是单调递减函数. （4）因为3()24f x x x =+，所以2()640f x x '=+>. 因此，函数3()24f x x x =+是单调递增函数.2、（1）因为2()24f x x x =+-，所以()22f x x '=+.当()0f x '>，即1x >-时，函数2()24f x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即1x <-时，函数2()24f x x x =+-单调递减. （2）因为2()233f x x x =-+，所以()43f x x '=-.当()0f x '>，即34x >时，函数2()233f x x x =-+单调递增. 当()0f x '<，即34x <时，函数2()233f x x x =-+单调递减.（3）因为3()3f x x x =+，所以2()330f x x '=+>. 因此，函数3()3f x x x =+是单调递增函数. （4）因为32()f x x x x =+-，所以2()321f x x x '=+-. 当()0f x '>，即1x <-或13x >时，函数32()f x x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =+-单调递减.3、（1）图略. （2）加速度等于0.4、（1）在2x x =处，导函数()y f x '=有极大值；（2）在1x x =和4x x =处，导函数()y f x '=有极小值；（3）在3x x =处，函数()y f x =有极大值；（4）在5x x =处，函数()y f x =有极小值.5、（1）因为2()62f x x x =++，所以()121f x x '=+. 令()1210f x x '=+=，得112x =-. 当112x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当112x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以，112x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f -=⨯---=-.（2）因为3()12f x x x =-，所以2()312f x x '=-. 令2()3120f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为16；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为16-.（3）因为3()612f x x x =-+，所以2()123f x x '=-+. 令2()1230f x x '=-+=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为22；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为10-.（4）因为3()48f x x x =-，所以2()483f x x '=-. 令2()4830f x x '=-=，得4x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当4x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为128-；当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.6、（1）在[1,1]-上，当112x =-时，函数2()62f x x x =++有极小值，并且极小值为4724. 由于(1)7f -=，(1)9f =，所以，函数2()62f x x x =++在[1,1]-上的最大值和最小值分别为9，4724. （2）在[3,3]-上，当2x =-时，函数3()12f x x x =-有极大值，并且极大值为16；当2x =时，函数3()12f x x x =-有极小值，并且极小值为16-. 由于(3)9f -=，(3)9f =-，所以，函数3()12f x x x =-在[3,3]-上的最大值和最小值分别为16，16-.（3）在1[,1]3-上，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上无极值.由于1269()327f -=，(1)5f =-，所以，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上的最大值和最小值分别为26927，5-.（4）当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.. 由于(3)117f -=-，(5)115f =，所以，函数3()48f x x x =-在[3,5]-上的最大值和最小值分别为128，117-. 习题3.3 B 组（P32）1、（1）证明：设()sin f x x x =-，(0,)x π∈. 因为()cos 10f x x '=-<，(0,)x π∈ 所以()sin f x x x =-在(0,)π内单调递减因此()sin (0)0f x x x f =-<=，(0,)x π∈，即sin x x <，(0,)x π∈. 图略（2）证明：设2()f x x x =-，(0,1)x ∈. 因为()12f x x '=-，(0,1)x ∈所以，当1(0,)2x ∈时，()120f x x '=->，()f x 单调递增，2()(0)0f x x x f =->=；当1(,1)2x ∈时，()120f x x '=-<，()f x 单调递减，2()(1)0f x x x f =->=；又11()024f =>. 因此，20x x ->，(0,1)x ∈. 图略（3）证明：设()1x f x e x =--，0x ≠. 因为()1x f x e '=-，0x ≠所以，当0x >时，()10x f x e '=->，()f x 单调递增，()1(0)0x f x e x f =-->=；当0x <时，()10x f x e '=-<，()f x 单调递减，()1(0)0x f x e x f =-->=；综上，1x e x ->，0x ≠. 图略（4）证明：设()ln f x x x =-，0x >. 因为1()1f x x'=-，0x ≠ 所以，当01x <<时，1()10f x x'=->，()f x 单调递增， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x >时，1()10f x x'=-<，()f x 单调递减， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x =时，显然ln11<. 因此，ln x x <. 由（3）可知，1x e x x >+>，0x >.. 综上，ln x x x e <<，0x > 图略2、（1）函数32()f x ax bx cx d =+++的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状. 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间.（2）因为32()f x ax bx cx d =+++，所以2()32f x ax bx c '=++.下面分类讨论：当0a ≠时，分0a >和0a <两种情形： ①当0a >，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增；当2()320f x ax bx c '=++<，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减. 当0a >，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≥，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增. ②当0a <，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增；当2()320f x ax bx c '=++<，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减. 当0a <，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≤，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减 1．4生活中的优化问题举例习题1.4 A 组（P37）1、设两段铁丝的长度分别为x ，l x -，则这两个正方形的边长分别为4x ，4l x -，两个正方形的面积和为 22221()()()(22)4416x l x S f x x lx l -==+=-+，0x l <<.令()0f x '=，即420x l -=，2lx =.当(0,)2l x ∈时，()0f x '<；当(,)2lx l ∈时，()0f x '>.因此，2lx =是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.所以，当两段铁丝的长度分别是2l时，两个正方形的面积和最小.2、如图所示，由于在边长为a 的正方形铁片的四角截去四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无盖方盒的底面为正方形，且边长为2a x -，高为x .（1）无盖方盒的容积2()(2)V x a x x =-，02ax <<.（2）因为322()44V x x ax a x =-+，所以22()128V x x ax a '=-+.令()0V x '=，得2a x =（舍去），或6a x =. 当(0,)6a x ∈时，()0V x '>；当(,)62a ax ∈时，()0V x '<.因此，6ax =是函数()V x 的极大值点，也是最大值点.所以，当6ax =时，无盖方盒的容积最大.3、如图，设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积222S Rh R ππ=+由2V R h π=，得2V h R π=. 因此，2222()222V V S R R R R R R ππππ=+=+，0R >. 令2()40VS R R Rπ'=-+=，解得R =.当R ∈时，()0S R '<；当)R ∈+∞时，()0S R '>.因此，R =是函数()S R 的极小值点，也是最小值点.此时，22V h R R π===. 所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.4、证明：由于211()()n i i f x x a n ==-∑，所以12()()n i i f x x a n ='=-∑.令()0f x '=，得11ni i x a n ==∑，可以得到，11ni i x a n ==∑是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.这个结果说明，用n 个数据的平均值11ni i a n =∑表示这个物体的长度是合理的，这就是最小二乘法的基本原理.5、设矩形的底宽为x m ，则半圆的半径为2xm ，半圆的面积为28x π2m ，（第3题）矩形的面积为28x a π-2m ，矩形的另一边长为()8a xx π-m因此铁丝的长为22()(1)244xa x al x x x x xπππ=++-=++，0x <<令22()104al x xπ'=+-=，得x =.当x ∈时，()0l x '<；当x ∈时，()0l x '>.因此，x =()l x 的极小值点，也是最小值点.时，所用材料最省. 6、利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘单价. 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润.收入211(25)2588R q p q q q q =⋅=-=-，利润2211(25)(1004)2110088L R C q q q q q =-=--+=-+-，0200q <<.求导得1214L q '=-+令0L '=，即12104q -+=，84q =.当(0,84)q ∈时，0L '>；当(84,200)q ∈时，0L '<；因此，84q =是函数L 的极大值点，也是最大值点.所以，产量为84时，利润L 最大,习题1.4 B 组（P37）1、设每个房间每天的定价为x 元，那么宾馆利润21801()(50)(20)7013601010x L x x x x -=--=-+-，180680x <<. 令1()7005L x x '=-+=，解得350x =.当(180,350)x ∈时，()0L x '>；当(350,680)x ∈时，()0L x '>. 因此，350x =是函数()L x 的极大值点，也是最大值点. 所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大. 2、设销售价为x 元／件时，利润4()()(4)()(5)b x L x x a c cc x a x b b -=-+⨯=--，54ba x <<. 令845()0c ac bc L x xb b +'=-+=，解得458a bx +=. 当45(,)8a b x a +∈时，()0L x '>；当455(,)84a b bx +∈时，()0L x '<.当458a bx +=是函数()L x 的极大值点，也是最大值点.所以，销售价为458a b+元／件时，可获得最大利润.1．5定积分的概念练习（P42） 83. 说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想. 练习（P45）1、22112()[()2]()i i i i i s s v t n n n n n n'∆≈∆=∆=-+⋅=-⋅+⋅，1,2,,i n =.于是 111()n n ni i i i i is s s v t n ==='=∆≈∆=∆∑∑∑2112[()]ni i n n n ==-⋅+⋅∑22211111()()()2n n n n n n n n -=-⋅--⋅-⋅+2231[12]2n n=-++++31(1)(21)26n n n n ++=-⋅+111(1)(1)232n n=-+++取极值，得1111115lim [()]lim [(1)(1)2]323nnn n i i i s v n n n n →∞→∞====-+++=∑∑说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想.2、223km.说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤.练习（P48）2304x dx =⎰. 说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义.从几何上看，表示由曲线3y x =与直线0x =，2x =，0y =所围成的曲边梯形的面积4S =.习题1.5 A 组（P50） 1、（1）10021111(1)[(1)1]0.495100100i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰；（2）50021111(1)[(1)1]0.499500500i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰；（3）100021111(1)[(1)1]0.499510001000i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰. 说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法.2、距离的不足近似值为：18112171310140⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）；距离的过剩近似值为：271181121713167⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）.3、证明：令()1f x =. 用分点 011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=作和式11()nni i i b af x b a nξ==-∆==-∑∑，从而11lim nban i b adx b a n→∞=-==-∑⎰，说明：进一步熟悉定积分的概念. 4、根据定积分的几何意义，0⎰表示由直线0x =，1x =，0y =以及曲线y =所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此04π=⎰.5、（1）03114x dx -=-⎰.由于在区间[1,0]-上30x ≤，所以定积分031x dx -⎰表示由直线0x =，1x =-，0y =和曲线3y x =所围成的曲边梯形的面积的相反数.（2）根据定积分的性质，得1133311011044x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰.由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,1]上30x ≥，所以定积分131x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.（3）根据定积分的性质，得202333110115444x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,2]上30x ≥，所以定积分231x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.说明：在（3）中，由于3x 在区间[1,0]-上是非正的，在区间[0,2]上是非负的，如果直接利用定义把区间[1,2]-分成n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦. 利用性质3可以将定积分231x dx -⎰化为02331x dx x dx -+⎰⎰，这样，3x 在区间[1,0]-和区间[0,2]上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出031x dx -⎰，230x dx ⎰，进而得到定积分231x dx -⎰的值. 由此可见，利用定积分的性质可以化简运算.在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义.习题1.5 B 组（P50）1、该物体在0t =到6t =（单位：s ）之间走过的路程大约为145 m.说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、（1）9.81v t =.（2）过剩近似值：8111899.819.8188.292242i i =⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ）；不足近似值：81111879.819.8168.672242i i =-⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ）（3）49.81tdt ⎰；49.81d 78.48t t =⎰（m ）.3、（1）分割在区间[0,]l 上等间隔地插入1n -个分点，将它分成n 个小区间：[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n l l n -，记第i 个区间为(1)[,]i l iln n-（1,2,i n =），其长度为 (1)il i l l x n n n-∆=-=.把细棒在小段[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n ll n-上质量分别记作：12,,,n m m m ∆∆∆，则细棒的质量1ni i m m ==∆∑.（2）近似代替当n 很大，即x ∆很小时，在小区间(1)[,]i l iln n-上，可以认为线密度2()x x ρ=的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点(1)[,]i i l iln nξ-∈处的函数值2()i i ρξξ=. 于是，细棒在小段(1)[,]i l il n n -上质量 2()i i i lm x nρξξ∆≈∆=（1,2,i n =）.（3）求和得细棒的质量 2111()nnni i i i i i l m m x nρξξ====∆≈∆=∑∑∑. （4）取极限细棒的质量 21lim ni n i lm n ξ→∞==∑，所以20l m x dx =⎰..。

人教版高中二年级上学期选修2-2《导数的几何意义》教学课件

[解] Δy＝[3(x＋Δx)2－(x＋Δx)]－[3x2－x]
＝6xΔx＋3(Δx)2－Δx
∴ΔΔyx＝6xΔx＋3ΔΔx x2－Δx＝6x＋3Δx－1.
∴y′＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
(6x＋3Δx－1)＝6x－1.
∴f′(1)＝6×1－1＝5，f′(5)＝6×5－1＝29.
求曲线y=x3 经过p点（1，1）的切线方程。
t0
t1
t2
图1.1 3
t
l2
处的切线l1的斜率h`t1 0.所以,在t t1附近曲线下
降,即函数ht在t t1附近单调递减.
3当t t2时,曲线ht在t2处的切线l2的斜率h`t2 0.
所以,在t t2附近曲线下降,即函数ht在t t1附近也
单调递减.
从图1.1 3可见,直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜
3：切线与曲线可以有一个交点，也可以有多个交点
4：切线斜率的倾斜程度不同和曲线有什么关系吗？
h
例 2 如图 1.1 3, 它表
l0
示跳水运动中高度随
时间变化的函数 h t
l1
4.9 t 2 6.5 t 10 的
图象 . 根据图象 , 请描 O
述、比较曲线 h t 在 t0 ,
t1
,
t
程度, 这说明曲线ht在t1附近比在t2附近下降得缓慢.
根据图像，请描述、比
较曲线
ht
在t
3、t
附近的变化情况。
4
函数在
t
3、t
处的切线的
4
h
斜率均大于 0，所以在两
点附近曲线上升，即函
数在两点附近单调递增。Βιβλιοθήκη o t 3t 4t

秋高中数学课时作业2导数的几何意义新人教A版选修2-2(2021年整理)

2018年秋高中数学课时分层作业2 导数的几何意义新人教A版选修2-2 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋高中数学课时分层作业2 导数的几何意义新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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课时分层作业(二) 导数的几何意义（建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f（x）在点（x0，f(x0)）处的切线（）【导学号：31062016】A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴相交但不垂直B［由导数的几何意义可知选项B正确．］2．若函数f(x)＝x＋错误!，则f′（1）＝（）A．2 B．错误!C．1 D．0D［f′(1)＝错误!错误!＝错误!错误!＝0。

］3．已知点P(－1，1)为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，当Δx→0时，若k PQ的极限为－2，则在点P处的切线方程为（）A．y＝－2x＋1 B．y＝－2x－1C．y＝－2x＋3 D．y＝－2x－2B［由题意可知，曲线在点P处的切线方程为y－1＝－2(x＋1），即2x＋y＋1＝0.］4．在曲线y＝x2上切线倾斜角为错误!的点是（)A．（0,0）B．（2,4）C．错误!D．错误!D[∵y′＝错误!错误!＝错误! (2x＋Δx)＝2x，∴令2x＝tan 错误!＝1,得x＝错误!.∴y＝错误!2＝错误!，所求点的坐标为错误!.］图1。

1105．如图1.1。

10，函数y＝f（x）的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′（5）等于（）【导学号:31062017】A．2 B．3C．4 D．5A［易得切点P(5,3),∴f(5)＝3，k＝－1，即f′（5）＝－1。

人教A版高中数学选修2-2 3.1.2 导数的概念

3、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是( ) (A) 单调递增函数 (B) 单调递减函数 (C) 部份单调增，部分单调减 (D) 单调性不能确定
问题：已知函数y xf ' (x)的图象如图（其中f '(x)是f (x) 的导函数）下列四个图象中
y 2
-1 -2
1 -1
则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值= f(x0)；
•如果对X0附近的所有点，都有f(x)>f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)；
yA
解： f ( x ) 的大致形状如右图： y f (x)
这里，称 A , B 两点为 “ 临界点 ”
B
o 2 3x
已知导函数 f ' ( x) 的下列信息：
当1<x<4时，f '( x ) >0;
当x>4,或x<1时，f '( x ) <0;
当x=4,或x=1时，f '( x ) =0.则函数f(x)图象的大致
y f (x)的图象大致是（Ｃ）
-2
2 1x
-１ -２２
Ａ
２ -１１
-２ -１１
Ｂ
Ｃ
-１ -２
Ｄ
巩
固
f(x )1x 31x27单调区间 322
（第一步）定义域R , f (x) =x2-x=x(x-1)
（第二步）令x(x-1)>0, 得x<0或x>1，则 f(x)单调递增区间（－∞，0）,（1， +∞）
P
2
3Dx0

人教版A版高中数学选修2-2：导数的概念

[解析]
liΔmx→0
f(x0－2Δx)－f(x0) Δx
＝－2liΔmx→0 f[x0＋(－－22ΔΔxx)]－f(x0)＝－2A.
[解析] ∵Δs＝v0(t0＋Δt)－12g(t0＋Δt)2－v0t0－12gt20 ＝(v0－gt0)Δt－12g(Δt)2，
∴ΔΔst＝v0－gt0－12gΔt，当 Δt→0 时，ΔΔst→v0－gt0. 故物体在 t0 时刻的瞬时速度为 v0－gt0. 以初速度v0(v0＞0)竖直上抛的物体，t秒时的高度为s(t)＝ v0t－ gt2，求物体在t0时刻的瞬时速度．
导数的概念
1．知道函数的瞬时变化率的概念，理解导数的概念．
2．能利用导数的定义求函数的导数．
本节重点：导数的定义．本节难点：用导数的定义求函数的导数．
对导数的定义要注意：第一：Δx是自变量x在x0处的改变量，所以
Δx可正可负，但Δx≠0；Δy是函数值的改变量，可以为0；第二：函数在某点的导数，就是在该点的函数值改变量与自变量改变量之比的极限．因此，它是一个常数而不是变量；
∴liΔmx→0
f(a＋Δx)－f(a－Δx) Δx
＝liΔmx→0
f(a＋Δx)－f(a)＋f(a)－f(a－Δx) Δx
＝liΔmx→0
f(a＋ΔΔxx)－f(a)＋liΔmx→0
f(a)－f(a－Δx) Δx
＝A＋A＝2A.
f(a＋4t)－f(a＋5t)
(2)litm→0
t
＝litm→0
f(a＋4t)－f(a)＋f(a)－f(a＋5t) t
(4) 由 (2) 知落体在 t0 ＝ 2 秒的瞬时速度为 v ＝ g×2≈9.8×2＝19.6(米/秒)．

高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：全册课堂导学全文 Word版含答案

1．1变化率与导数1．1.1变化率问题1．1.2导数的概念[学习目标]1．了解导数概念的实际背景．2．会求函数在某一点附近的平均变化率．3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．[知识链接]很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？答气球的半径r(单位：dm)与体积V(单位：L)之间的函数关系是r(V)＝33V4π，(1)当V从0增加到1 L时，气球半径增加了r(1)－r(0)≈0.62 (dm)，气球的平均膨胀率为r(1)－r(0)1－0≈0.62(dm/L)．(2)当V从1 L增加到2 L时，气球半径增加了r(2)－r(1)≈0.16 (dm)，气球的平均膨胀率为r(2)－r(1)2－1≈0.16(dm/L)．可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了．[预习导引]1．函数的变化率定义实例平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为f(x2)－f(x1)x2－x1，简记作：ΔyΔx①平均速度；②曲线割线的斜率瞬时变化率函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→0ΔyΔx.①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.要点一求平均变化率例1已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01.(2)根据(1)中的计算，当|Δx|越来越小时，函数h(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解(1)∵Δy＝h(1＋Δx)－h (1)＝－4.9 (Δx)2－3.3Δx，∴ΔyΔx＝－4.9Δx－3.3.①当Δx＝2时，ΔyΔx＝－4.9Δx－3.3＝－13.1；②当Δx ＝1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－8.2； ③当Δx ＝0.1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－3.79； ④当Δx ＝0.01时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－3.349.(2)当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3. 规律方法求平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪演练1 求函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值．解函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为 f (x 0＋Δx )－f (x 0)(x 0＋Δx )－x 0＝[3(x 0＋Δx )2＋2]－(3x 20＋2)Δx＝6x 0·Δx ＋3(Δx )2Δx＝6x 0＋3Δx .当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y ＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3. 要点二物体运动的瞬时速度例2 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)之间的关系式为h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，求运动员在t ＝6598 s 时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．解令t 0＝6598，Δt 为增量．则h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt ＝－4.9×⎝ ⎛⎭⎪⎫6598＋Δt 2＋6.5×⎝ ⎛⎭⎪⎫6598＋Δt ＋10Δt ＋4.9×⎝ ⎛⎭⎪⎫65982－6.5×6598－10Δt＝－4.9Δt ⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＋Δt ＋6.5ΔtΔt ＝－4.9⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＋Δt ＋6.5， ∴lim Δt →0h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt ＝lim Δt →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4.9⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＋Δt ＋6.5＝0，即运动员在t 0＝6598 s 时的瞬时速度为0 m/s.说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高的点处．规律方法求瞬时速度是利用平均速度“逐渐逼近”的方法得到的，其求解步骤如下： (1)由物体运动的位移s 与时间t 的函数关系式求出位移增量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)； (2)求时间t 0到t 0＋Δt 之间的平均速度v ＝ΔsΔt ； (3)求lim Δt →0 ΔsΔt的值，即得t ＝t 0时的瞬时速度．跟踪演练2 一质点按规律s (t )＝at 2＋1作直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．解 ∵Δs ＝s (2＋Δt )－s (2) ＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1 ＝4a Δt ＋a (Δt )2， ∴ΔsΔt ＝4a ＋a Δt .在t ＝2 s 时，瞬时速度为lim Δx →0 ΔsΔt ＝4a ，即4a ＝8，∴a ＝2. 要点三函数在某点处的导数例3 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．解 Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1)＝3(Δx )2＋4Δx ， ∵Δy Δx ＝3(Δx )2＋4Δx Δx ＝3Δx ＋4，∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0(3Δx ＋4)＝4. 规律方法求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx.跟踪演练3利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．解由导数的定义知，函数在x＝2处的导数f′(2)＝limΔx→0f(2＋Δx)－f(2)Δx，而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)＝－(Δx)2－Δx，于是f′(2)＝limΔx→0－(Δx)2－ΔxΔx＝limΔx→0(－Δx－1)＝－1.1．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是() A．4 B．4.1C．0.41 D．3答案 B解析v＝(3＋2.12)－(3＋22)0.1＝4.1.2．函数f(x)在x0处可导，则limΔx→0f(x0＋h)－f(x0)h()A．与x0、h都有关B．仅与x0有关，而与h无关C．仅与h有关，而与x0无关D．与x0、h均无关答案 B3．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则ΔyΔx等于() A．4 B．4xC．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2答案 C解析Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－1＝2(Δx)2＋4Δx，∴ΔyΔx＝2Δx＋4.4．已知函数f(x)＝1x，则f′(1)＝________.答案－12解析f′(1)＝limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝limΔx→011＋Δx－1Δx＝limΔx→0－11＋Δx(1＋1＋Δx)＝－12.利用导数定义求导数三步曲：(1)作差求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)作比求平均变化率ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx；(3)取极限得导数f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx，简记为一差，二比，三极限.一、基础达标1．函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率f(x0＋Δx)－f(x0)Δx中，Δx不可能是() A．大于0 B．小于0C．等于0 D．大于0或小于0答案 C2．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是()A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案 B解析 Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－32＝－1.3．如果某物体的运动方程为s ＝2(1－t 2) (s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( ) A ．－4.8 m/s B ．－0.88 m/s C ．0.88 m/s D ．4.8 m/s答案 A解析物体运动在1.2 s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得． 4．设函数f (x )可导，则lim Δx →0 f (1＋3Δx )－f (1)3Δx 等于( ) A ．f ′(1) B ．3f ′(1) C ．13f ′(1) D ．f ′(3) 答案 A 解析 lim Δx →0f (1＋3Δx )－f (1)3Δx＝f ′(1)．5．已知函数y ＝2x ＋3，当x 由2变到1.5时，函数的增量Δy ＝________. 答案 13解析 Δy ＝f (1.5)－f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21.5＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋3＝43－1＝13.6．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是________．答案 3解析 v 初＝s ′|t ＝0＝lim Δx →0s (0＋Δt )－s (0)Δt＝lim Δx →0 (3－Δt )＝3. 7．利用定义求函数y ＝－2x 2＋5在x ＝2处的瞬时变化率．解因为在x ＝2附近，Δy ＝－2(2＋Δx )2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx －2(Δx )2，所以函数在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率为ΔyΔx ＝－8Δx －2(Δx )2Δx ＝－8－2Δx .故函数y ＝－2x 2＋5在x ＝2处的瞬时变化率为lim Δx →0 (－8－2Δx )＝－8. 二、能力提升 8.甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是( ) A ．甲 B ．乙 C ．相同 D ．不确定答案 B解析在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)，但是，在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1(t 0)－W 1(t 0－Δt )Δt <⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2(t 0)－W 2(t 0－Δt )Δt ，所以，在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好．9．过曲线y ＝f (x )＝x 2＋1上两点P (1,2)和Q (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝________，当Δx ＝0.001时，割线的斜率k ＝________. 答案 2.1 2.001解析 ∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2， ∴ΔyΔx ＝2＋Δx ，∴割线斜率为2＋Δx ，当Δx ＝0.1时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.1＝2.1. 当Δx ＝0.001时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.001＝2.001.10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为________．答案 2解析由导数的定义，得f ′(0)＝lim Δx →0f (Δx )－f (0)Δx＝lim Δx →0 a (Δx )2＋b (Δx )＋c －cΔx＝lim Δx →0[a ·(Δx )＋b ]＝b ＞0. 又⎩⎨⎧Δ＝b 2－4ac ≤0a >0，∴ac ≥b 24，∴c >0. ∴f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2bb ＝2.11．求函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数．解 Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3) ＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ， ∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16ΔxΔx ＝2Δx ＋16.∴y ′|x ＝3＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0(2Δx ＋16)＝16. 12．若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值．解 ∵f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －a －c ＝a (Δx )2＋2a Δx .∴f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0 a (Δx )2＋2a Δx Δx ＝lim Δx →0 (a Δx ＋2a )＝2a ，即2a ＝2，∴a ＝1. 三、探究与创新13．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求满足f ′(x )＋2＝g ′(x )的x 的值．解由导数的定义知， f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ， g ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－x 3Δx ＝3x 2. ∵f ′(x )＋2＝g ′(x )，∴2x ＋2＝3x 2. 即3x 2－2x －2＝0，解得x ＝1－73或x ＝1＋73.1．1.3 导数的几何意义[学习目标]1．了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系． 2．理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义．3．会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义． [知识链接]如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考查函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？答设函数y ＝f (x )的图象如图所示，AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))的一条割线，此割线的斜率是Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的极限位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 处的切线．于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率无限趋近于过点A 的切线AD 的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.[预习导引] 1．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 2．函数的导函数当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，则当x 变化时，f ′(x )是x 的一个函数，称f ′(x )是f (x )的导函数(简称导数)．f ′(x )也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx.要点一过曲线上一点的切线方程例1 若曲线y ＝x 3＋3ax 在某点处的切线方程为y ＝3x ＋1，求a 的值．解 ∵y ＝x 3＋3ax .∴y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3＋3a (x ＋Δx )－x 3－3axΔx ＝lim Δx →0 3x 2Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3＋3a Δx Δx＝lim Δx →0[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2＋3a ]＝3x 2＋3a . 设曲线与直线相切的切点为P (x 0，y 0)，结合已知条件，得⎩⎨⎧ 3x 20＋3a ＝3，x 30＋3ax 0＝y 0＝3x 0＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－322，x 0＝－342.∴a ＝1－322.规律方法一般地，设曲线C 是函数y ＝f (x )的图象，P (x 0，y 0)是曲线C 上的定点，由导数的几何意义知k ＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，继而由点与斜率可得点斜式方程，化简得切线方程．跟踪演练1 求曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12处的切线方程．解因为lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝lim Δx →0 12＋Δx －12Δx＝ lim Δx →0 －12(2＋Δx )＝－14.所以这条曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12处的切线斜率为－14，由直线的点斜式方程可得切线方程为y －12＝－14(x －2)，即x ＋4y －4＝0.要点二求过曲线外一点的切线方程例2 已知曲线y ＝2x 2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? (2)曲线过点P (3,9)的切线方程．解 y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 [2(x ＋Δx )2－7]－(2x 2－7)Δx ＝lim Δx →0 (4x ＋2Δx )＝4x . (1)设切点为(x 0，y 0)，则4x 0＝4，x 0＝1，y 0＝－5， ∴切点坐标为(1，－5)． (2)由于点P (3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A (x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝4x 0，故所求的切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0)．将P (3,9)及y 0＝2x 20－7代入上式，得9－(2x 20－7)＝4x 0(3－x 0)．解得x 0＝2或x 0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x －y －15＝0或16x －y －39＝0.规律方法若题中所给点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．跟踪演练2 求过点A (2,0)且与曲线y ＝1x 相切的直线方程．解易知点(2,0)不在曲线上，故设切点为P (x 0，y 0)，由 y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0lim Δx →0 1x 0＋Δx －1x 0Δx ＝－1x 20，得所求直线方程为y －y 0＝－1x 20(x －x 0)．由点(2,0)在直线上，得x 20y 0＝2－x 0，再由P (x 0，y 0)在曲线上，得x 0y 0＝1，联立可解得x 0＝1，y 0＝1，所求直线方程为x ＋y －2＝0.要点三求切点坐标例3 在曲线y ＝x 2上过哪一点的切线， (1)平行于直线y ＝4x －5；(2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)与x 轴成135°的倾斜角．解 f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ，设P (x 0，y 0)是满足条件的点． (1)因为切线与直线y ＝4x －5平行，所以2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即P (2,4)是满足条件的点．(2)因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，所以2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94是满足条件的点．(3)因为切线与x 轴成135°的倾斜角，所以其斜率为－1.即2x 0＝－1，得x 0＝－12，y 0＝14，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14是满足条件的点．规律方法解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标．解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等．跟踪演练3 已知抛物线y ＝2x 2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? (2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0? 解设点的坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2.∴ΔyΔx ＝4x 0＋2Δx .当Δx 无限趋近于零时，ΔyΔx 无限趋近于4x 0. 即f ′(x 0)＝4x 0.(1)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴斜率为4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1，该点为(1,3)． (2)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直， ∴斜率为8，即f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2，该点为(2,9)．1．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．2答案 C解析 f ′(2)＝lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx＝lim Δx →0 2(2＋Δx )2－8Δx＝lim Δx →0 (8＋2Δx )＝8，即k ＝8. 2．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1 答案 A解析由题意，知k ＝y ′|x ＝0＝lim Δx →0 (0＋Δx )2＋a (0＋Δx )＋b －b Δx ＝1，∴a ＝1. 又(0，b )在切线上，∴b ＝1，故选A.3．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．165° 答案 B解析 ∵y ＝12x 2－2，∴y ′＝lim Δx →012(x ＋Δx )2－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2Δx ＝lim Δx →0 12(Δx )2＋x ·Δx Δx ＝lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12Δx ＝x . ∴y ′|x ＝1＝1.∴点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.4．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16.则P 点坐标为________．答案 (3,30)解析设点P (x 0,2x 20＋4x 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 2(Δx )2＋4x 0·Δx ＋4Δx Δx ＝4x 0＋4，令4x 0＋4＝16得x 0＝3，∴P (3,30)．1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点.一、基础达标1．下列说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在答案 C解析 k ＝f ′(x 0)，所以f ′(x 0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x ＝x 0.2．已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定答案 B解析由导数的几何意义，f ′(x A )，f ′(x B )分别是切线在点A 、B 处切线的斜率，由图象可知f ′(x A )<f ′(x B )． 3．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)答案 D解析 ∵y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x ， ∴令2x ＝tan π4＝1，得x ＝12.∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，所求点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.4．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1B ．12C ．－12D ．－1答案 A解析 ∵y ′|x ＝1＝lim Δx →0 a (1＋Δx )2－a ×12Δx ＝lim Δx →0(2a ＋a Δx )＝2a .∴可令2a ＝2，∴a ＝1. 5．设y ＝f (x )为可导函数，且满足条件lim Δx →0 f (1)－f (1－x )2x ＝－2，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是________．答案－4解析由lim Δx →0 f (1)－f (1－x )2x＝－2，∴12f ′(1)＝－2，f ′(1)＝－4. 6．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________. 答案 3解析由在M 点的切线方程y ＝12x ＋2 得f (1)＝12×1＋2＝52，f ′(1)＝12.∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.7．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线．解曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线斜率 k ＝y ′|x ＝1＝lim Δx →0 3(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－3＋4－2Δx ＝lim Δx →0(3Δx ＋2)＝2. ∴过点P (－1,2)的直线的斜率为2，由点斜式得y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0.所以所求直线方程为2x －y ＋4＝0. 二、能力提升 8.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 A解析易得切点P (5,3)，∴f (5)＝3，k ＝－1，即f ′(5)＝－1.∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2. 9．若曲线y ＝2x 2－4x ＋P 与直线y ＝1相切，则P ＝________. 答案 3解析设切点坐标为(x 0,1)，则f ′(x 0)＝4x 0－4＝0， ∴x 0＝1，即切点坐标为(1,1)．∴2－4＋P ＝1，即P ＝3.10．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12解析 ∵f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋2(x ＋Δx )＋3－(x 2＋2x ＋3)Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋2)·Δx ＋(Δx )2Δx＝lim Δx →0 (Δx ＋2x ＋2)＝2x ＋2. ∴可设P 点横坐标为x 0，则曲线C 在P 点处的切线斜率为2x 0＋2.由已知得0≤2x 0＋2≤1，∴－1≤x 0≤－12，∴点P 横坐标的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12.11．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10.求： (1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解 (1) 由⎩⎨⎧ y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10，得⎩⎨⎧ x ＝－2，y ＝8，或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝13，∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．(2)∵y ＝x 2＋4，∴y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋4－(x 2＋4)Δx ＝lim Δx →0 (Δx )2＋2x ·Δx Δx ＝lim Δx →0(Δx ＋2x )＝2x . ∴y ′|x ＝－2＝－4，y ′|x ＝3＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6. ∴在点(－2,8)处的切线方程为4x ＋y ＝0；在点(3,13)处的切线方程为6x －y －5＝0.12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1) ＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 当Δx 无限趋近于零时，ΔyΔx 无限趋近于3x 20＋2ax 0－9.即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9∴f ′(x 0)＝3(x 0＋a 3)2－9－a 23.当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23. ∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， ∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12. 解得a ＝±3.又a <0，∴a ＝－3. 三、探究与创新 13．已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？解 (1)将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1，∴切点为P (1,1)．∵f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝m (x 0＋Δ x )3－x 30Δ x＝lim Δx →0 3x 20Δx ＋3x 0(Δx )2＋(Δx )3Δx ＝lim Δx →0[3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2]＝3x 20， ∴当x 0＝1时，k ＝f ′(1)＝3.∴过P 点的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎨⎧y ＝3(x －1)＋1y ＝x 3，可得(x －1)(x 2＋x －2)＝0，解得x 1＝1，x 2＝－2.从而求得公共点为(1,1)或(－2，－8)．说明切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有其他的公共点.1．2 导数的计算 1．2.1 几个常用函数的导数1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)[学习目标]1．能根据定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝x 的导数． 2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．[知识链接]在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义求函数y＝f(x)的导数？答(1)计算ΔyΔx，并化简；(2)观察当Δx趋近于0时，ΔyΔx趋近于哪个定值；(3)ΔyΔx趋近于的定值就是函数y＝f(x)的导数．[预习导引]1．几个常用函数的导数原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝x f′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝1x f′(x)＝－1x2f(x)＝x f′(x)＝1 2x2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sin x f′(x)＝cos_xf(x)＝cos x f′(x)＝－sin_xf(x)＝a x f′(x)＝a x ln_a(a>0，且a≠1)f(x)＝e x f′(x)＝e xf(x)＝log a x f′(x)＝1x ln a(a>0，且a≠1)f(x)＝ln x f′(x)＝1 x要点一利用导数定义求函数的导数例1用导数的定义求函数f(x)＝2 013x2的导数．解f′(x)＝limΔx→02 013(x＋Δx)2－2 013x2x＋Δx－x＝limΔx→02 013[x2＋2x·Δx＋(Δx)2]－2 013x2Δx＝limΔx→04 026x·Δx＋2 013(Δx)2Δx＝limΔx→0(4 026x＋2 013Δx)＝4 026x.规律方法解答此类问题，应注意以下几条：(1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤．(2)当Δx趋于0时，k·Δx(k∈R)、(Δx)n(n∈N*)等也趋于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用．跟踪演练1用导数的定义求函数y＝x2＋ax＋b(a，b为常数)的导数．解y′＝limΔx→0(x＋Δx)2＋a(x＋Δx)＋b－(x2＋ax＋b)Δx＝limΔx→0x2＋2x·Δx＋(Δx)2＋ax＋a·Δx＋b－x2－ax－bΔx＝limΔx→02x·Δx＋a·Δx＋(Δx)2Δx＝limΔx→0(2x＋a＋Δx)＝2x＋a.要点二利用导数公式求函数的导数例2求下列函数的导数(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝log 3x . 解 (1)y ′＝0； (2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5； (3)y ′＝(x －3)′＝－3x －4；(4)y ′＝⎝⎛⎭⎫4x 3′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 34′＝34x －14＝344x ；(5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3.规律方法求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．跟踪演练2 求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ；(3)y ＝x x ；(4)y ＝log 13x .解 (1)y ′＝8x 7；(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ln 12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ln 2； (3)∵y ＝x x ＝x 32，∴y ′＝32x 12； (4) y ′＝1x ln 13＝－1x ln 3.要点三利用导数公式求曲线的切线方程例3 求过曲线y ＝sin x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12且与过这点的切线垂直的直线方程．解 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ，曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线斜率是：y ′|x ＝π6＝cos π6＝32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为－23，故所求的直线方程为y －12＝－23⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即2x ＋3y －32－π3＝0.规律方法导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键．跟踪演练3 已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解 ∵y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0，又∵PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，∴k ＝2x 0＝1，即x 0＝12，所以切点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.∴所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.1．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( ) A ．0 B ．2x C ．6 D ．9答案 C解析 ∵f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(3)＝6. 2．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36 B ．0 C ．12xD ．32 答案 A解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x，∴f ′(3)＝123＝36.3．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B ．[0，π)C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4 答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∵k l ＝cos x ，∴－1≤k l ≤1， ∴αl ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．答案 12e 2解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×||－e 2＝12e 2.1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x 2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.一、基础达标1．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227；③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 D解析 ①y ＝ln 2为常数，所以y ′＝0.①错．②③④正确．2．过曲线y ＝1x 上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2＝－4，x ＝±12，故选B. 3．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5答案 A解析 f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，a ＝4. 4．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，39和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－39处有斜率为1的切线．5．曲线y ＝9x 在点M (3,3)处的切线方程是________．答案 x ＋y －6＝0解析 ∵y ′＝－9x 2，∴y ′|x ＝3＝－1， ∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为： y －3＝－(x －3)即x ＋y －6＝0.6．若曲线y ＝x －12在点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a －12处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________.答案 64解析 ∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32，∴曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a －12处的切线斜率k ＝－12a －32，∴切线方程为y －a －12＝－12a －32(x －a )．令x ＝0得y ＝32a －12；令y ＝0得x ＝3a . ∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·3a ·32a －12＝94a 12＝18，∴a ＝64. 7．求下列函数的导数：(1) y ＝5x 3；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4；(4)y ＝log 2x 2－log 2x .解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫5x 3′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 35′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5.(3)∵y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x 2＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x . (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ， ∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2. 二、能力提升8．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B ．－1e C ．－e D ．e答案 D解析y ′＝e x ，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0＝kx 0y 0＝e x 0k ＝e x 0.∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.9．曲线y ＝ln x 在x ＝a 处的切线倾斜角为π4，则a ＝________. 答案 1解析 y ′＝1x ，∴y ′|x ＝a ＝1a ＝1，∴a ＝1.10．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x 的最小距离为________．答案 22 解析根据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图．则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1，即y ′|x ＝x 0＝1. ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为22. 11．已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值．解 ∵f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，g ′(x )＝x ′＝1，由f ′(x )＋g ′(x )≤0，得－sin x ＋1≤0，即sin x ≥1，但sin x ∈[－1,1]，∴sin x ＝1，∴x ＝2k π＋π2，k ∈Z .12．已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．解根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，切点到直线x －y －2＝0的距离 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728. 三、探究与创新13．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，试求f 2 014(x )．解 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ， f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )， f 6(x )＝f 2(x )，…，f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4， ∴f 2 014(x )＝f 2(x )＝－sin x ．1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)[学习目标]1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数． 3．能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导． [知识链接]前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．我们已经会求f (x )＝5和g (x )＝1.05x 等基本初等函数的导数，那么怎样求f (x )与g (x )的和、差、积、商的导数呢？答利用导数的运算法则． [预习导引] 1．导数运算法则法则语言叙述[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x ) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )·g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母的平方2．复合函数的求导法则复合函数的概念一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))复合函数的求导法则复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积要点一利用导数的运算法则求函数的导数例1 求下列函数的导数： (1) y ＝x 3－2x ＋3； (2)y ＝(x 2＋1)(x －1)； (3)y ＝3x －lg x .解 (1)y ′＝(x 3)′－(2x )′＋3′＝3x 2－2. (2)∵y ＝(x 2＋1)(x －1)＝x 3－x 2＋x －1， ∴y ′＝(x 3)′－(x 2)′＋x ′－1′＝3x 2－2x ＋1.(3)函数y ＝3x －lg x 是函数f (x )＝3x 与函数g (x )＝lg x 的差．由导数公式表分别得出f ′(x )＝3x ln 3，g ′(x )＝1x ln 10，利用函数差的求导法则可得(3x －lg x )′＝f ′(x )－g ′(x )＝3x ln 3－1x ln 10.规律方法本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数．跟踪演练1 求下列函数的导数： (1)y ＝5－4x 3；(2)y ＝3x 2＋x cos x ； (3)y ＝e x ·ln x ；(4)y ＝lg x －1x 2. 解 (1)y ′＝－12x 2；(2)y ′＝(3x 2＋x cos x )′＝6x ＋cos x －x sin x ； (3)y ′＝e x x ＋e x ·ln x ； (4)y ′＝1x ln 10＋2x 3. 要点二求复合函数的导数例2 求下列函数的导数： (1)y ＝ln(x ＋2)； (2)y ＝(1＋sin x )2；解 (1)y ＝ln u ，u ＝x ＋2∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·(x ＋2)′＝1u ·1＝1x ＋2.(2)y ＝u 2，u ＝1＋sin x ，∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′·(1＋sin x )′ ＝2u ·cos x ＝2cos x (1＋sin x )．规律方法应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面： (1)中间变量的选取应是基本函数结构．(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导． (3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导． (4)善于把一部分表达式作为一个整体．(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中间步骤．跟踪演练2 (1)y ＝e 2x ＋1； (2)y ＝(x －2)2.解 (1)y ＝e u ，u ＝2x ＋1，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(e u )′·(2x ＋1)′＝2e u ＝2e 2x ＋1. (2)法一 ∵y ＝(x －2)2＝x －4x ＋4， ∴y ′＝x ′－(4x )′＋4′ ＝1－4×12x －12＝1－2x .法二令u ＝x －2，则y x ′＝y u ′·u x ′＝2(x －2)·(x －2)′＝ 2(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12·1x －0＝1－2x .要点三导数的应用例3 求过点(1，－1)与曲线f (x )＝x 3－2x 相切的直线方程．解设P (x 0，y 0)为切点，则切线斜率为 k ＝f ′(x 0)＝3x 20－2故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0) ① ∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0 ②又∵(1，－1)在切线上，∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1或x 0＝－12.故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)．即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.规律方法 (1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解．跟踪演练3 已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t 2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s 时物体的瞬时速度．解 ∵s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t 2＋2t 2， ∴s ′(t )＝－1t 2＋2·1t 3＋4t ， ∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327，即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327 m/s.1．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x＋1D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x 答案 D解析利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D 项，∵y ＝sin x ＋cos x ， ∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x . 2．函数y ＝cos x1－x 的导数是( )A.－sin x ＋x sin x(1－x )2B ．x sin x －sin x －cos x(1－x )2C ．cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2D ．cos x －sin x ＋x sin x1－x答案 C解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′＝(－sin x )(1－x )－cos x ·(－1)(1－x )2＝cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2.3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2答案 A解析 ∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2，∴k ＝y ′|x ＝－1＝2(－1＋2)2＝2，∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.4．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________. 答案 ln 2－1解析设切点为(x 0，y 0)， ∵ y ′＝1x ，∴12＝1x 0，∴x 0＝2，∴y 0＝ln 2，ln 2＝12×2＋b ，∴b ＝ln 2－1.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.一、基础达标1．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( ) A ．－2e x cos x B ．－2e x sin x C ．2e x sin x D ．－2e x (sin x ＋cos x )答案 D解析 y ′＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x (sin x ＋cos x )．2．当函数y ＝x 2＋a 2x (a >0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0＝( ) A ．a B ．±a C ．－a D ．a 2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2，由x 20－a 2＝0得x 0＝±a .3．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2B ．12 C ．－12 D ．－2答案 D解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，∴y ′＝－2(x －1)2.∴y ′|x ＝3＝－12. ∴－a ＝2，即a ＝－2.4．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(－1，－1)或(1,1) C ．(2,8) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18答案 B解析 y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1，则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．5．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________．答案 4解析依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ， f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.6．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________. 答案 1解析由于f ′(0)是一常数，所以f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)，令x ＝0，则f ′(0)＝0， ∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1. 7．求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)； (2)y ＝x －sin x 2cos x2.解 (1)法一 y ′＝(2x 2＋3)′(3x －1)＋(2x 2＋3)(3x －1)′＝4x (3x －1)＋3(2x 2＋3)＝18x 2－4x ＋9. 法二 ∵y ＝(2x 2＋3)(3x －1)＝6x 3－2x 2＋9x －3， ∴y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′＝18x 2－4x ＋9. (2)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ， ∴y ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x .二、能力提升8．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12 B ．12 C ．－22 D ．22答案 B解析 y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2，故y ′|x ＝π4＝12， ∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12. 9．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A ．[0，π4) B ．[π4，π2) C ．(π2，3π4] D ．[3π4，π)答案 D解析 y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1，设t ＝e x∈(0，＋∞)，则y ′＝－4t t 2＋2t ＋1＝－4t ＋1t ＋2，∵t ＋1t ≥2，∴y ′∈[－1,0)，α∈[3π4，π)．10．(2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 答案 2解析令t ＝e x ，则x ＝ln t ，所以函数为f (t )＝ln t ＋t ，即f (x )＝ln x ＋x ，所以f ′(x )＝1x ＋1，即f ′(1)＝11＋1＝2. 11．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程．解点(2,0)不在曲线y ＝x3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意，所求直线方程的斜率k ＝x 30－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 20，即x 30x 0－2＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3.当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0；当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27，则所求直线方程是y －27＝27(x －3)，即27x －y －54＝0.综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0.12．已知曲线f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程．解设切点为(x 0，y 0)，则由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3， ∴切线方程为y ＝(3x 20－3)x ＋16，又切点(x 0，y 0)在切线上，∴y 0＝3(x 20－1)x 0＋16，即x 30－3x 0＝3(x 20－1)x 0＋16，解得x 0＝－2，∴切线方程为9x －y ＋16＝0. 三、探究与创新13．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值． (1)解由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12， ①又f ′(x )＝a ＋bx 2，∴f ′(2)＝74， ② 由①，②得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12a ＋b 4＝74.解之得⎩⎨⎧a ＝1b ＝3.。

人教新课标版-数学-高二(人教B版)选修2-2文本素材导数的几何意义

导数的几何意义几何意义一阶导就是曲线的斜率，代数意义一阶导就是函数的变化率.可导的函数一定连续.不连续的函数一定不可导.导数由速度问题和切线问题抽象出来的数学概念.又称变化率.如一辆汽车在10小时内走了 600千米，它的平均速度是60千米／小时，但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60千米／小时.为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，设汽车所在位置x 与时间t 的关系为x ＝f （t ），那么汽车在由时刻t 0变到t 1这段时间内的平均速度是，当 t 1与t 0很接近时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好地反映汽车在t 0 到 t 1这段时间内的运动变化情况，自然就把极限作为汽车在时刻t 0的瞬时速度，这就是通常所说的速度.一般地，假设一元函数 y ＝f (x )在 x 0点的附近(x 0－a ，x 0 ＋a )内有定义，当自变量的增量Δx ＝ x －x 0→0时函数增量 Δy ＝f （x ）－ f （x 0）与自变量增量之比的极限存在且有限，就说函数f 在x 0点可导，记作，称之为f 在x 0点的导数（或变化率).若函数f 在区间I 的每一点都可导，便得到一个以I 为定义域的新函数，记作 f ′，称之为f 的导函数，简称为导数.函数y ＝f （x ）在x 0点的导数f ′（x 0）的几何意义：，表示曲线l 在P 0〔x 0，f （x 0）〕点的切线斜率.二阶导数的几何意义意义如下：（1）斜线斜率变化的速度（2）函数的凹凸性.关于你的补充：二阶导数是比较理论的、比较抽象的一个量，它不像一阶导数那样有明显的几何意义，因为它表示的是一阶导数的变化率.在图形上，它主要表现函数的凹凸性，直观的说，函数是向上突起的，还是向下突起的.应用：如果一个函数f (x )在某个区间I 上有f ''(x )（即二阶导数）>0恒成立，那么对于区间I 上的任意x ,y ，总有：f (x )+f (y )≥2f hslx3y3h2x y hslx3y3h ，如果总有f ''(x )<0成立，那么上式的不等号反向.几何的直观解释：如果一个函数f (x )在某个区间I 上有f ''(x )（即二阶导数）>0恒成立，那么在区间I 上f (x )的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方.凹凸性和拐点.二阶导数为正，函数在局部为凸函数（但直观上是向下凹陷的，“凸”字可以沿坐标y轴自下向上看来理解）；二阶导数为负，函数在局部为凹函数（有人也称上凸，似更直观）.二阶导数为0，而且函数在该点左右两边二阶导数正负号改变，则称该点为“拐点”，几何直观上就是改变凹凸性的点（切线变化方向改变的点）.。

选修2-2导数的几何意义课时作业

课时作业3 导数的几何意义时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴斜交【答案】 B【解析】由导数的几何意义知，f (x )在(x 0，f (x 0))处切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝0. ·∴切线与x 轴平行或重合．2．已知点P (－1,1)为曲线上的一点，PQ 为曲线的割线，若k PQ 当Δx →0时的极限为－2，则在点P 处的切线方程为( )A ．y ＝－2x ＋1B ．y ＝－2x －1C ．y ＝－2x ＋3D ．y ＝－2x －2【答案】 B【解析】由切线的定义，切线的斜率为－2，由点斜式得y －1＝－2(x ＋1)，即y ＝－2x －1.3．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在此点处的切线倾斜角为π4的是( )A ．(0,0)B ．(2,4) [C ．(14，116) D ．(12，14)【答案】 D【解析】 k ＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 ?x ＋Δx ?2－x 2Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x ， ∵倾斜角为π4，∴斜率为1. ∴2x ＝1，x ＝12，故选D.4．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) {A ．f ′(x 0)＞0B ．f ′(x 0)＜0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在【答案】 B【解析】由导数的几何意义可知f ′(x 0)＝－12<0，故选B. 5．已知曲线y ＝x 3过点(2,8)的切线方程为12x －ay －16＝0，则实数a 的值是( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2【答案】 B￥【解析】 k ＝y ′|x ＝2＝lim Δx →0 ?2＋Δx ?3－23Δx＝lim Δx →0[12＋6Δx ＋(Δx )2]＝12，所以过点(2,8)的切线方程为y －8＝12(x －2)，即y ＝12x －16，所以a ＝1.6．已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝( )A．9 B．6C．－9 D．－6【答案】D【解析】y′＝4x3＋2ax，y′|x＝－1＝－4－2a＝8，∴a＝－6.二、填空题(每小题10分，共30分)%7．曲线y＝2x2＋1在点P(－1,3)处的切线方程为________．【答案】y＝－4x－1【解析】Δy＝2(Δx－1)2＋1－2(－1)2－1＝2Δx2－4Δx，ΔyΔx＝2Δx－4，limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2Δx－4)＝－4，由导数几何意义知，曲线y＝2x2＋1在点(－1,3)处的切线的斜率为－4，切线方程为y＝－4x－1.8．若曲线y＝2x2－4x＋p与直线y＝1相切，则p的值为______．【答案】3【解析】设切点为(x0,1)，f′(x0)＝4x0－4，由题意知，4x0－4＝0，x0＝1，即切点为(1,1)，∴1＝2－4＋p，p＝3.；9．下列三个命题：①若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线；②若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在；③若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率不存在．其中正确的命题是________．(填上你认为正确的命题序号)【答案】③【解析】寻找垂直于x 轴的切线即可．三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) ]10．(13分)已知曲线y ＝1x ，求：(1)曲线在点P (1,1)处的切线方程； (2)曲线过点Q (1,0)的切线方程； (3)满足斜率为－13的曲线的切线方程．【解析】 (1)∵P (1,1)在曲线上，∴P 为切点， ∵y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 1Δx ＋x －1x Δx ＝lim Δx →0 －Δx x ?x ＋Δx ?Δx ＝－1x 2，所求切线方程的斜率是k 1＝－1，-∴曲线在点P (1,1)的切线方程为y －1＝－(x －1)，即y ＝－x ＋2.(2)显然Q (1,0)不在曲线上，则设过该点的切线的切点为A (a ，1a )，该切线的斜率是k 2＝－1a 2，则切线方程是y －1a ＝－1a 2(x －a )．①将点Q (1,0)代入方程①，得0－1a ＝－1a 2(1－a )，解得a ＝12，故切线方程为y ＝－4x ＋4.(3)设切点为B (b ，1b )，则切线的斜率为k 3＝－1b 2＝－13，解得b ＝±3，∴B (3，33)或B (－3，－33)．∴所求的切线方程是y －33＝－13(x －3)或y ＋33＝－13(x ＋3)，即x ＋3y －23＝0或x ＋3y ＋23＝0.!11．(13分)已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积．【解析】 (1)∵y ′＝lim Δx →0 Δy Δx＝lim Δx →0 ?x ＋Δx ?2＋?x ＋Δx ?－2－?x 2＋x －2?Δx ＝2x ＋1， ∴y ′|x ＝1＝3，所以直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点P (x 0，x 20＋x 0－2)，则直线l 2的方程为y －(x 20＋x 0－2)＝(2x 0＋1)(x －x 0)， -∵l 1⊥l 2，∴3(2x 0＋1)＝－1，x 0＝－23.∴直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎨⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧x ＝16，y ＝－52.又∵直线l 1、l 2与x 轴交点分别为(1,0)、(－223，0)，∴所求三角形面积为S ＝12×|－52|×(1＋223)＝12512.【规律方法】依题意，要求直线l 2的方程，需求出直线l 2的斜率和切点坐标，利用题设条件l 1⊥l 2求出直线l 2的斜率k 2，从而可求得l 2的方程．12．(14分)已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处有公共切线，求a ，b 的值．【分析】根据公共切线的特点，列方程组求a ，b 的值．【解析】因为f ′(x )＝lim Δx →0 f ?x ＋Δx ?－f ?x ?Δx ＝lim Δx →0 a ?x ＋Δx ?2＋1－ax 2－1Δx ＝2ax ， g ′(x )＝lim Δx →0 g ?x ＋Δx ?－g ?x ?Δx ＝lim Δx →0 ?x ＋Δx ?3＋b ?x ＋Δx ?－x 3－bx Δx＝lim Δx →0 3x 2Δx ＋3x ?Δx ?2＋?Δx ?3＋bΔx Δx ＝3x 2＋b ，所以f ′(1)＝2a ，g ′(1)＝3＋b .因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处有公共切线，所以f (1)＝g (1)，f ′(1)＝g ′(1)，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1＝1＋b ，2a ＝3＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3.。

高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章导数及其应用1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则三

1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(三)明目标、知重点1．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．2．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．1．概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．2．复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y x′＝y u′·u x′.即y对x的导数是y对u的导数与u对x的导数的乘积．探究点一复合函数的定义思考1 观察函数y＝2x cos x及y＝ln(x＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？答y＝2x cos x是由u＝2x及v＝cos x相乘得到的；而y＝ln(x＋2)是由u＝x＋2与y＝ln u(x>－2)经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数．所以它们称为复合函数．思考2 对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？答复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程．在分析时可以从外向里出发，先根据最外层的主体函数结构找出y＝f(u)；再根据内层的主体函数结构找出函数u＝g(x)，函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成函数y＝f(g(x))．思考3 在复合函数中，内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系？答A⊆B.小结要特别注意两个函数的积与复合函数的区别，对于复合函数，要掌握引入中间变量，将其分拆成几个基本初等函数的方法．例1 指出下列函数是怎样复合而成的：(1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)；(3)y＝cos 3x.解(1)y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的；(2)y ＝log 3(x 2－2x ＋5)是由函数y ＝log 3u ，u ＝x 2－2x ＋5复合而成的；(3)y ＝cos 3x 是由函数y ＝cos u ，u ＝3x 复合而成的．小结分析函数的复合过程主要是设出中间变量u ，分别找出y 和u 的函数关系，u 和x 的函数关系．跟踪训练1 指出下列函数由哪些函数复合而成：(1)y ＝ln x ；(2)y ＝e sin x ；(3)y ＝cos (3x ＋1)．解 (1)y ＝ln u ，u ＝x ；(2)y ＝e u ，u ＝sin x ；(3)y ＝cos u ，u ＝3x ＋1.探究点二复合函数的导数思考如何求复合函数的导数？答对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量．注意不要漏掉第(3)步回代的过程．例2 求下列函数的导数：(1)y ＝(2x －1)4；(2)y ＝11－2x ； (3)y ＝sin(－2x ＋π3)；(4)y ＝102x ＋3. 解 (1)原函数可看作y ＝u 4，u ＝2x －1的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 4)′·(2x －1)′＝4u 3·2＝8(2x －1)3.(2)y ＝11－2x ＝(1－2x )－12可看作y ＝u －12，u ＝1－2x 的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(－12)u －32·(－2)＝(1－2x )－32＝1(1－2x )1－2x； (3)原函数可看作y ＝sin u ，u ＝－2x ＋π3的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·(－2)＝－2cos(－2x ＋π3) ＝－2cos(2x －π3)． (4)原函数可看作y ＝10u ，u ＝2x ＋3的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝102x ＋3·ln 10·2＝(ln 100)102x ＋3.反思与感悟分析复合函数的结构，找准中间变量是求导的关键，要善于把一部分量、式子暂时看作一个整体，并且它们必须是一些常见的基本函数．复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．跟踪训练2 求下列函数的导数．(1)y ＝(2x ＋3)3；(2)y ＝e －0.05x ＋1；(3)y ＝sin(πx ＋φ)．解 (1)函数y ＝(2x ＋3)2可以看成函数y ＝u 2，u ＝2x ＋3的复合函数．∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′·(2x ＋3)′＝2u ·2＝4(2x ＋3)＝8x ＋12.(2)函数y ＝e －0.05x ＋1可以看成函数y ＝e u 和函数u ＝－0.05x ＋1的复合函数．∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(e u )′·(－0.05x ＋1)′＝－0.05e u ＝－0.05 e －0.05x ＋1.(3)函数y ＝sin(πx ＋φ)可以看成函数y ＝sin u ，u ＝πx ＋φ的复合函数．∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(sin u )′·(πx ＋φ)′＝cos u ·π＝π cos(πx ＋φ)．探究点三导数的应用例3 求曲线y ＝e2x ＋1在点(－12，1)处的切线方程．解 ∵y ′＝e2x ＋1·(2x ＋1)′＝2e 2x ＋1， ∴y ′|12x ＝2，∴曲线y ＝e 2x ＋1在点(－12，1)处的切线方程为 y －1＝2(x ＋12)，即2x －y ＋2＝0.反思与感悟求曲线切线的关键是正确求复合函数的导数，要注意“在某点处的切线”与“过某点的切线”两种不同的说法．跟踪训练3 曲线y ＝esin x 在(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为2，求直线l 的方程．解设u ＝sin x ，则y ′＝(esin x )′＝(e u )′(sin x )′. ＝cos x e sin x .y ′|x ＝0＝1.则切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0.若直线l 与切线平行可设直线l 的方程为x －y ＋c ＝0.两平行线间的距离d ＝|c －1|2＝2⇒c ＝3或c ＝－1. 故直线l 的方程为x －y ＋3＝0或x －y －1＝0.1．函数y ＝(3x －2)2的导数为( )A ．2(3x －2)B ．6xC ．6x (3x －2)D ．6(3x －2) 答案 D解析 y ′＝2(3x －2)·(3x －2)′＝6(3x －2)．2．若函数y ＝sin 2x ，则y ′等于( )A ．sin 2xB ．2sin xC ．sin x cos xD ．cos 2x 答案 A解析 y ′＝2sin x ·(sin x )′＝2sin x ·cos x ＝sin 2x .3．若y ＝f (x 2)，则y ′等于( )A ．2xf ′(x 2)B ．2xf ′(x )C ．4x 2f (x )D ．f ′(x 2) 答案 A解析设x 2＝u ，则y ′＝f ′(u )·u x ′＝f ′(x 2)·(x 2)′＝2xf ′(x 2)．4．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________.答案 2解析由题意知y ′|x ＝0＝a e ax |x ＝0＝a ＝2.呈重点、现规律]求简单复合函数f (ax ＋b )的导数求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式，然后再分别对y ＝f (u )与u ＝ax ＋b 分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式是关键.一、基础过关1．下列函数不是复合函数的是( )A ．y ＝－x 3－1x ＋1B ．y ＝cos(x ＋π4) C ．y ＝1ln xD ．y ＝(2x ＋3)4 答案 A解析 A 中的函数是一个多项式函数，B 中的函数可看作函数u ＝x ＋π4，y ＝cos u 的复合函数，C 中的函数可看作函数u ＝ln x ，y ＝1u的复合函数，D 中的函数可看作函数u ＝2x ＋3，y ＝u 4的复合函数，故选A.2．函数y ＝1(3x －1)2的导数是( ) A.6(3x －1)3 B.6(3x －1)2 C ．－6(3x －1)3 D ．－6(3x －1)2 答案 C 解析 y ′＝1(3x －1)2]′＝－2(3x －1)3·(3x －1)′＝－6(3x －1)3，故选C. 3．若f (x )＝log 3(x －1)，则f ′(2)＝________.答案 1ln 3解析 f ′(x )＝log 3(x －1)]′＝1(x －1)ln 3， ∴f ′(2)＝1ln 3. 4．函数y ＝x 2cos 2x 的导数为( )A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2xB ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2xC ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2xD ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x答案 B解析 y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′＝2x cos 2x ＋x 2·(－2sin 2x )＝2x cos 2x －2x 2sin 2x .5．函数y ＝(2 015－8x )3的导数y ′＝________.答案－24(2 015－8x )2解析 y ′＝3(2 015－8x )2×(2 015－8x )′＝3(2 015－8x )2×(－8)＝－24(2 015－8x )2.6．曲线y ＝cos(2x ＋π6)在x ＝π6处切线的斜率为______．答案－2解析 ∵y ′＝－2sin(2x ＋π6)， ∴切线的斜率k ＝－2sin(2×π6＋π6)＝－2. 7．函数y ＝x (1－ax )2(a >0)，且y ′|x ＝2＝5，则实数a 的值为________．答案 1解析 y ′＝(1－ax )2＋x (1－ax )2]′＝(1－ax )2＋x 2(1－ax )(－a )]＝(1－ax )2－2ax (1－ax )．由y ′|x ＝2＝(1－2a )2－4a (1－2a )＝12a 2－8a ＋1＝5(a >0)，解得a ＝1.二、能力提升8．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2 答案 B解析设直线y ＝x ＋1切曲线y ＝ln(x ＋a )于点(x 0，y 0)，则y 0＝1＋x 0，y 0＝ln(x 0＋a )，又y ′＝1x ＋a ，∴y ′|x ＝x 0＝1x 0＋a ＝1，即x 0＋a ＝1.又y 0＝ln(x 0＋a )，∴y 0＝0，∴x 0＝－1，∴a ＝2.9．曲线y ＝12e x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2 B ．4e 2C ．2e 2D ．e 2 答案 D解析 ∵y ′＝12e x ·12，∴y ′|x ＝4＝12e 2. ∴曲线在点(4，e 2)处的切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)，切线与坐标轴的交点分别是(0，－e 2)，(2,0)，则切线与坐标轴围成的三角形面积 S ＝12|－e 2||2|＝e 2.10．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________.答案 1解析 f ′(x )＝2(2x ＋a )·2＝4(2x ＋a )，f ′(2)＝16＋4a ＝20，∴a ＝1.11．已知a >0，f (x )＝ax 2－2x ＋1＋ln(x ＋1)，l 是曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线．求切线l 的方程．解 f (x )＝ax 2－2x ＋1＋ln(x ＋1)，f (0)＝1.∴f ′(x )＝2ax －2＋1x ＋1＝2ax 2＋(2a －2)x －1x ＋1， f ′(0)＝－1，∴切点P 的坐标为(0,1)，l 的斜率为－1，∴切线l 的方程为x ＋y －1＝0.12．有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s (单位：m)关于时间t (单位：s)的函数为s ＝s (t )＝5－25－9t 2.求函数在t ＝715s 时的导数，并解释它的实际意义．解函数s ＝5－25－9t 2可以看作函数s ＝5－x 和x ＝25－9t 2的复合函数，其中x 是中间变量．由导数公式表可得s x ′＝－1212x -，x t ′＝－18t . 故由复合函数求导法则得s t ′＝s x ′·x t ′＝(－1212x -)·(－18t )＝9t 25－9t2，将t ＝715代入s ′(t )，得s ′(715)＝0.875 (m/s)．它表示当t ＝715s 时，梯子上端下滑的速度为0.875 m/s. 三、探究与拓展13．曲线y ＝e 2x ·cos 3x 在(0,1)处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程．解 y ′＝(e 2x )′·cos 3x ＋e 2x ·(cos 3x )′＝2e 2x ·cos 3x －3e 2x ·sin 3x ，∴y ′|x ＝0＝2.∴经过点(0,1)的切线方程为y －1＝2(x －0)，即y ＝2x ＋1.设适合题意的直线方程为y＝2x＋b，根据题意，得5＝|b－1|5，∴b＝6或－4.∴适合题意的直线方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.。

人教新课标版数学高二-人教B版选修2-2练习导数的几何意义

第一章 1.1 第3课时一、选择题1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴斜交B由导数的几何意义知，f (x )在(x 0，f (x 0))处切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝0. ∴切线与x 轴平行或重合．2．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在此点处的切线倾斜角为π4的是( )A ．(0,0)B ．(2,4) C.⎝⎛⎭⎫14，116 D ．⎝⎛⎭⎫12，14Df ′(x )＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2－x 20Δx ＝lim Δx →0 2x 0·Δx ＋(Δx )2Δx ＝lim Δx →0 (2x 0＋Δx )＝2x 0. ∵切线倾斜角为π4.∴函数在切点x 0处的导数值为1. 令2x 0＝1，x 0＝12，∴y ＝14.3．曲线y ＝－2x 2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是( ) A ．－4 B ．0 C ．4 D ．不存在 By ′|x ＝0＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(－2Δx )＝0.故选B. 4．已知曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)及f ′(5)分别为( ) A ．3,3 B ．3，－1 C ．－1,3 D ．－1，－1B当x ＝5时，y ＝－5＋8＝3，∴f (5)＝3，又∵f ′(5)＝k ＝－1，故选B.5．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＞0 B ．f ′(x 0)＜0 C ．f ′(x 0)＝0 D ．f ′(x 0)不存在B切线x ＋2y －3＝0的斜率k ＝－12，即f ′(x 0)＝－12＜0.故选B.6．函数f (x )的图象如图所示，下列数值排序正确的是( ) A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2) B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2) C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2) D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3) Bf ′(2)、f ′(3)是x 分别为2、3时对应图象上点的切线斜率，f (3)－f (2)＝f (3)－f (2)3－2，∴f (3)－f (2)是x 为2和3时对应两点连线的斜率，故选B.7．曲线y ＝x 2在点P (1,1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x B ．y ＝2x －1 C ．y ＝2x ＋1 D ．y ＝－2xB∵Δy Δx ＝(x ＋Δx )2－x 2Δx＝2x ＋Δx ，∴lim Δx →0ΔyΔx＝2x ，∴y ′|x ＝1＝2， ∴切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.8．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B ．12C ．－12D ．－1A∵y ′|x ＝1＝lim Δx →1 a (1＋Δx )2－a ×12Δx＝lim Δx →0 2a Δx ＋a (Δx )2Δx ＝lim Δx →0 (2a ＋a Δx )＝2a ， ∴2a ＝2，∴a ＝1. 二、填空题9．自由落体运动方程是s (t )＝12gt 2，物体在t ＝2这一时刻的速度是____________．2gΔs Δt ＝12g (t ＋Δt )2－12gt 2Δt ＝12g ·Δt ＋gt . lim Δt →0＝Δs Δt ＝lim Δt →0 ⎝⎛⎭⎫12g Δt ＋gt ＝gt . ∴ 当t ＝2时，速度为2g .10．已知曲线y ＝13x 3＋43，则过点P (2,4)的切线方程是________．y －4x ＋4＝0∵y ′＝x 2，点P (2,4)在曲线上， ∴过点P (2,4)的切线的斜率为4.∴切线方程为y －4＝4(x －2)，即y －4x ＋4＝0.11．抛物线y ＝x 2在点P 处的切线平行于直线y ＝4x －5，则点P 的坐标为________． (2,4)lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx＝2x ，令2x ＝4，∴x ＝2，即在点(2,4)处的切线平行于直线y ＝4x －5. 三、解答题12．求曲线f (x )＝2x在点(－2，－1)处的切线的方程．由于点(－2，－1)恰好在曲线f (x )＝2x 上，所以曲线在点(－2，－1)处的切线的斜率就等于函数f (x )＝2x在点(－2，－1)处的导数．而f ′(－2)＝lim Δx →0f (－2＋Δx )－f (－2)Δx＝lim Δx →0 2－2＋Δx ＋1Δx ＝lim Δx →0 1－2＋Δx ＝－12，故曲线在点(－2，－1)处的切线方程为 y ＋1＝－12(x ＋2)，整理得x ＋2y ＋4＝0.一、选择题1．已知曲线y ＝2ax 2＋1过点(a ，3)，则该曲线在该点的切线方程是( ) A ．y ＝－4x －1 B ．y ＝4x －1 C ．y ＝4x ＋8 D ．y ＝4x 或y ＝4x －4B由3＝2a (a )2＋1得a ＝1或a ＝－1(舍)．又y ′|x ＝1＝4，所以切线方程为y －3＝4(x －1)，即y ＝4x －1.故选B. 2．曲线y ＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．3 B ．－3 C ．9 D ．15 Cy ′＝lim Δx →0 [(x ＋Δx )3＋11]－(x 3＋11)Δx ＝lim Δx →0 3x 2·Δx ＋3x ·Δx 2＋Δx 3Δx ＝lim Δx →0(3x 2＋3x ·Δx ＋Δx 2)＝3x 2. ∴曲线y ＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线的斜率k ＝3，切线方程为y －12＝3(x －1)，即y ＝3x ＋9.令x ＝0，得y ＝9，故选C.3．曲线y ＝ax 2＋1与直线y ＝x 相切，则a ＝( ) A.18 B ．14C.12 D ．1 By ′＝lim Δx →0 [a (x ＋Δx )2＋1]－ax 2－1Δx ＝lim Δx →0 2ax ·Δx ＋a Δx 2Δx＝lim Δx →0 (2ax ＋a Δx )＝2ax设切点为(x 0，y 0)，则2ax 0＝1，∴x 0＝12a .∵切点在直线y ＝x 上，∴y 0＝12a代入y ＝ax 2＋1得12a ＝14a ＋1∴a ＝14.故选B.4．曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则点P 0的坐标是( ) A ．(1,0)B ．(－1，－4)C ．(1,0)或(－1，－4)D ．(0,1)或(4,1)C设P 0(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝3x 20＋1＝4，所以x 0＝±1.因此P 0(1,0)或(－1，－4)．故选C. 二、填空题5．曲线y ＝x 2－3x 在点P 处的切线平行于x 轴，则点P 的坐标为________． ⎝⎛⎭⎫32，－94 ∵y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－3(x ＋Δx )－x 2＋3x Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋Δx ＋3)＝2x －3，令y ′＝0，得x ＝32，代入曲线方程y ＝x 2－3x 得y ＝－94.6．曲线f (x )＝x 3在点A 处的切线的斜率为3，则该曲线在点A 处的切线方程为____________．3x －y －2＝0或3x －y ＋2＝0 设点A (x 0，x 30)，则k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )3－x 30Δx＝lim Δx →0(3x 20＋3x 0·Δx ＋Δx 2)＝3x 20＝3. ∴x 0＝±1.∴切点的坐标为(1,1)或(－1，－1)，∴所求的切线方程为y －1＝3(x －1)或y ＋1＝3(x ＋1)，即3x －y －2＝0或3x －y ＋2＝0.7．过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程是________．2x －y ＋4＝0∵y ′＝lim Δx →0 3(x ＋Δx )2－4(x ＋Δx )＋2－3x 2＋4x －2Δx ＝lim Δx →0(6x ＋3Δx －4)＝6x －4， ∴y ′|x ＝1＝2.所求直线的斜率为2，所以所求直线的方程为y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0.三、解答题8．已知函数f (x )＝x 的图象上一点A (4，f (4))，O 为坐标原点，点B 为曲线段OA 上一动点，求△OAB 的面积的最大值．由f (x )＝x ，得f (4)＝2，∴A (4,2)， ∴直线OA 的斜率为12.如图，将直线OA 平移至直线l ，使得直线l 与f (x )＝x 的图象相切于点B ，此时△OAB 的面积有最大值．设B (x 0，y 0)，则直线l 的斜率f ′(x 0)＝12，又f ′(x 0)＝lim Δx →0 x 0＋Δx －x 0Δx＝lim Δx →0Δx(x 0＋Δx ＋x 0)·Δx＝12x 0， ∴12x 0＝12，解得x 0＝1，而y 0＝x 0＝1，即B (1,1)．点B 到直线OA ：y ＝12x 的距离d ＝|1－2×1|5＝55，|OA|＝42＋22＝25，∴△OAB的面积的最大值为12|OA|·d＝12×25×55＝1.9．已知曲线y＝x2－1与y＝x3＋1在x0点的切线互相垂直，求x0的值．函数y＝x2－1在x0处的导数为：y′|x＝x0＝limΔx→0(x0＋Δx)2－1－x20＋1Δx＝limΔx→02x0·Δx＋(Δx)2Δx＝2x0.函数y＝x3＋1在x0处的导数为：y′|x＝x0＝limΔx→0(x0＋Δx)3＋1－x30－1Δx＝limΔx→0(Δx)3＋3x0·(Δx)2＋3x20·ΔxΔx＝3x20，∵两曲线在x0处的切线互相垂直，显然两切线的斜率都存在，∴2x0·3x20＝－1，解得x0＝－136.。

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li
＝li
＝li 2(－Δt－2.4)＝－4.8(m/s)．
答案：A
6．设f(x)在点x＝x0处可导，且f′(x0)＝－2，则
li ＝()
A．0B．2
C．－2 D．不存在解源自：li ＝li ＝f′(x0)＝－2.
答案：C
7．函数y＝x＋在x＝1处的导数是__________．
解析：∵Δy＝1＋Δx＋－1－＝Δx－1＋＝，∴ ＝，因此，y′|x＝1＝＝0.
A．2 B．－2
C．3 D．－3
解析：∵f′(1)＝
＝＝a，∴a＝2.
答案：A
3．一物体做直线运动，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度为()
A．0B．3
C．－2 D．3－2t
解析：∵ ＝＝3－Δt，
∴s′(0)＝＝3.
答案：B
4．已知函数f(x)在x＝1处的导数为1，则＝()
A. B．1
C．2 D.
解析：∵f′(1)＝1，∴ ＝1，
∴ ＝＝ .
答案：A
5．如果某物体做运动方程为s＝2(1－t2)的直线运动(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2 s末的瞬时速度为()
A．－4.8 m/s B．－0.88 m/s
C．0.88 m/sD．4.8 m/s
解析：运动物体在1.2 s末的瞬时速度即为s在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得．
13．某一物体运动方程为s＝
求此物体在t＝1和t＝3时的速度．
解析：当t＝1时，s＝3t2＋2，
Δs＝s(t＋Δt)－s(t)＝3(1＋Δt)2＋2－(3＋2)＝6Δt＋3(Δt)2，∴v＝＝＝ (6＋3Δt)＝6.
当t＝3时，s＝29＋3(t－3)2，
Δs＝s(3＋Δt)－s(t)
＝29＋3(3＋Δt－3)2－29－3(3－3)2＝3(Δt)2.
＝2－3f′(3)＝8.
答案：C
11．已知a＝li ，
b＝li ，
c＝li ，
d＝li ，e＝li ，则a，b，c，d，e有相等关系的是________．
解析：a＝li ＝f′(x)，
b＝li ＝－li ＝－f′(x)，
c＝li ＝2li ＝2f′(x)，
d＝li
＝li
＝ li ＋ li
＝ f′(x)＋ f′(x)＝f′(x)，
∴v＝＝＝0.
所以物体在t＝1和t＝3时的速度分别是6和0.
14．设函数f(x)在x0处可导，求下列各式的值．
(1)li ；
(2)li ；
(3)li .
解析：(1)li
＝－mli ＝－mf′(x0)．
(2)li ＝
li ＝ f′(x0)．
(3)原式
＝li
＝li －li
＝4li －5li
＝4f′(x0)－5f′(x0)＝－f′(x0)．
当x＝－1时，＝
＝
＝Δx－2.
由导数的定义，得f′(－1)＝li (Δx－2)＝－2.
所以，f′(1)·f′(－1)＝ ×(－2)＝－1.
B组能力提升
10．已知f′(x0)＝li ，f(3)＝2，f′(3)＝－2，则li 的值是()
A．4 B．6
C．8 D．不存在
解析：li ＝li
＝li ＝2－3li
课时作业(二)导数
A组基础巩固
1．y＝x2在x＝1处的导数为()
A．2xB．2
C．2＋ΔxD．1
解析：∵f(x)＝x2，x＝1，
∴Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－1＝2Δx＋(Δx)2.
∴ ＝2＋Δx，当Δx→0时， →2，∴f′(1)＝2.
答案：B
2．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝()
答案：0
8．某物体做匀速直线运动，其运动方程是s＝vt，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________．
解析：v0＝li ＝li
＝li ＝li ＝v.
答案：相等
9．已知函数f(x)＝求f′(1)·f′(－1)的值．
解析：当x＝1时，＝
＝
＝ .
由导数的定义，得f′(1)＝li ＝ .
e＝li ＝f′(x)，
故a＝d＝e＝f′(x)．
答案：a，d，e
12．已知一个质点从固定点A开始运动，位移函数为y＝f(t)＝t3＋3，求t＝4时，li 的值．
解析：∵Δy＝(Δt＋4)3＋3－(43＋3)＝(Δt)3＋12(Δt)2＋48Δt，
∴ ＝＝(Δt)2＋12Δt＋48，
∴li ＝li [(Δt)2＋12Δt＋48]＝48.