人教版 数学 必修1函数的基本性质 教案

课程标题 函数的基本性质

学习目标（1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应

用函数的基本性质解决一些问题。

（2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．

（3）了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。

重点与难点 （1）判断或证明函数的单调性；

（2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。

学习过程

一、 函数的单调性

1．单调函数的定义

（1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。

（2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。

（3）单调性：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做()y f x =的单调区间。

2、单调性的判定方法 （1）定义法：

判断下列函数的单调区间：2

1x

y =

（2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。 （3）复合函数的单调性的判断：

设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在]

,[b a 上也是单调函数。

①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。

②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相

同。

即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的 单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 练习：（1）函数2

4x

y -=

的单调递减区间是 ，单调递增区间

为 ．

（2）5

412

+-=

x x y 的单调递增区间为 ．

3、函数单调性应注意的问题：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．

③函数在定义域内的两个区间A ,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上

是增（或减）函数

4．例题分析 证明：函数1()f x x

=

在(0,)+∞上是减函数。

证明：设任意1x ，2x ∈（0，+∞）且12x x <，

则21121

2

12

11()()x x f x f x x x x x --=

-=，

由1x ，2x ∈（0，+∞），得120x x >，又12x x <，得210x x ->， ∴12()()0f x f x ->，即12()()f x f x > 所以，1()f x x

=

在(0,)+∞上是减函数。

说明：一个函数的两个单调区间是不可以取其并集，比如：x

y 1=

不能说

)0,(-∞ ),0(+∞是原函数的单调递减区间；

练习：1．．根据单调函数的定义，判断函数3()1f x x =+的单调性。

2．根据单调函数的定义，判断函数()f x x =

的单调性。

二、函数的奇偶性

1．奇偶性的定义：

（1）偶函数：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，

那么函数()f x 就叫做偶函数。例如：函数2

()1f x x =+, 4

()2f x x =-等都是偶函数。

（2）奇函数：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，

那么函数()f x 就叫做奇函数。例如：函数x x f =)(，x

x f 1)(=

都是奇函数。

（3）奇偶性：如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数()f x 具有奇偶性。 说明：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数： （1）其定义域关于原点对称；

（2） ()()f x f x -=或()()f x f x -=-必有一成立。

因此，判断某一函数的奇偶性时，首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算()f x -，看是等于()f x 还是等于()f x -，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。

（3）无奇偶性的函数是非奇非偶函数。

（4）函数0)(=x f 既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足

)()(x f x f -=也满足)()(x f x f --=。

（5）一般的，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图形关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。

（6）奇函数若在0x =时有定义，则(0)0f =． 2、函数的奇偶性判定方法 （1）定义法 （2）图像法 （3）性质罚 3．例题分析：

判断下列函数的奇偶性：

（1）2

()||f x x x =- （ ） （2）2

1()2|2|

x

f x x -=

-+（ ）

说明：在判断()f x -与()f x 的关系时，可以从()f x -开始化简；也可以去考虑()()

f x f x +-或()()f x f x --；当()f x 不等于0时也可以考虑()()

f x f x -与1或1-的关系。

五．小结：1．函数奇偶性的定义； 2．判断函数奇偶性的方法；

3．特别要注意判断函数奇偶性时，一定要首先看其定义域是否关于原点对称，否则将会导致结论错误或做无用功。

二、函数的最大值或最小值

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