【沪科版】初二八年级数学下册《17.2.1 配方法》教学设计教案

1．配方法

1．学会用直接开平方法解形如(x＋m)2

＝n(n≥0)的一元二次方程；(重点)

2．理解配方法的思路，能熟练运用配

方法解一元二次方程．(难点)

一、情境导入

一块石头从20m高的塔上落下，石头

离地面的高度h(m)和下落时间x(s)大致有如

下关系：h＝5x2，问石头经过多长时间落到

地面？

二、合作探究

探究点一：用直接开平方法解一元二次

方程

用直接开平方法解下列方程：

(1)x2－16＝0; (2)3x2－27＝0；

(3)(x－2)2＝9; (4)(2y－3)2＝16.

解析：用直接开平方法解方程时，要先

将方程化成左边是含未知数的完全平方式，

右边是非负数的形式，再根据平方根的定义

求解．注意开方后，等式的右边取“正、负”

两种情况．

解：(1)移项，得x2＝16.根据平方根的

定义，得x＝±4，即x1＝4，x2＝－4；

(2)移项，得3x2＝27.两边同时除以3，

得x2＝9.根据平方根的定义，得x＝±3，即

x1＝3，x2＝－3；

(3)根据平方根的定义，得x－2＝±3，

即x－2＝3或x－2＝－3，即x1＝5，x2＝

－1；

(4)根据平方根的定义，得2y－3＝±4，

即2y－3＝4或2y－3＝－4，即y1＝

7

2，y2＝

－

1

2.

方法总结：直接开平方法是解一元二次

方程的最基本的方法，它的理论依据是平方

根的定义，它的可解类型有如下几种：①x2

＝a(a≥0)；②(x＋a)2＝b(b≥0)；③(ax＋b)2

＝c(c≥0)；④(ax＋b)2＝(cx＋d)2(|a|≠|c|)．

探究点二：用配方法解一元二次方程

【类型一】用配方法解一元二次方程

用配方法解下列方程：

(1)x2－2x－35＝0；

(2)3x2＋8x－3＝0.

解析：当二次项系数是1时，先把常数

项移到右边，然后左、右两边同时加上一次

项系数一半的平方，把左边配方成完全平方

式，即为(x＋m)2＝n(n≥0)的形式，再用直

接开平方法求解；当二次项系数不是1时，

先将二次项系数化为1，再用配方法解方程．

解：(1)移项，得x2－2x＝35.配方，得

x2－2x＋12＝35＋12，即(x－1)2＝36.直接开

平方，得x－1＝±6.所以原方程的根是x1＝7，

x2＝－5；

(2)方程两边同时除以3，得x2＋

8

3x－1

＝0.移项，得x2＋

8

3x＝1.配方，得x

2＋8

3x＋(

4

3)

2

＝1＋(

4

3)

2，即(x＋4

3)

2＝(5

3)

2.直接开平方，得

x＋

4

3＝±

5

3.所以原方程的根是x1＝

1

3，x2＝－

3.

方法总结：运用配方法解一元二次方程

的关键是先把一元二次方程转化为二次项

系数为1的一元二次方程，然后在方程两边

同时添加常数项，使其等于一次项系数一半

的平方．

【类型二】利用配方法求代数式的值

已知a2－3a＋b2－

b

2＋

37

16＝0，求a

－4b的值．

解析：观察方程可以知道，原方程可以

用配方法转化为两个数的平方和等于0的形

式，得到这两个数都为0，从而可求出a，b

的值，再代入代数式计算即可．

解：原等式可以写成：(a －32)2＋(b －1

4)2

＝0.

∴a －32＝0，b －14＝0，解得a ＝32，b ＝1

4.

∴a －4b ＝3

2

－4×

14＝－12

. 方法总结：这类题目主要是配方法和平方的非负性的综合应用，通过配方把等式转化为两个数的平方和等于0的形式是解题的关键．

【类型三】 利用配方法求代数式的最

值或判定代数式的取值范围

请用配方法说明：不论x 取何值，

代数式x 2－5x ＋7的值恒为正．

解析：本题是要运用配方法将代数式化为一个平方式加上一个常数的形式．

解：∵x 2－5x ＋7＝x 2－5x ＋(5

2)2＋7－

(52)2＝(x －52)2＋34，而(x －5

2

)2≥0， ∴(x －52)2＋34≥3

4

.

∴代数式x 2－5x ＋7的值恒为正． 方法总结：对于代数式是一个关于x 的二次式且含有一次项，在求它的最值时，常常采用配方法，将原代数式变形为一个完全平方式加一个常数的形式，根据一个数的平方是一个非负数，就可以求出原代数式的最值．

三、板书设计

本节课通过观察、思考、对比使学生掌握一

元二次方程的解法：直接开平方法和配方

法，领会降次—转化的数学思想．经历从简单到复杂的过程，从而培养学生从不同的角度进行探究的习惯和能力