【沪科版】初二八年级数学下册《17.2.1 配方法》教学设计教案

1．配方法
1．学会用直接开平方法解形如(x＋m)2
＝n(n≥0)的一元二次方程；(重点)
2．理解配方法的思路，能熟练运用配
方法解一元二次方程．(难点)
一、情境导入
一块石头从20m高的塔上落下，石头
离地面的高度h(m)和下落时间x(s)大致有如
下关系：h＝5x2，问石头经过多长时间落到
地面？
二、合作探究
探究点一：用直接开平方法解一元二次
方程
用直接开平方法解下列方程：
(1)x2－16＝0; (2)3x2－27＝0；
(3)(x－2)2＝9; (4)(2y－3)2＝16.
解析：用直接开平方法解方程时，要先
将方程化成左边是含未知数的完全平方式，
右边是非负数的形式，再根据平方根的定义
求解．注意开方后，等式的右边取“正、负”
两种情况．
解：(1)移项，得x2＝16.根据平方根的
定义，得x＝±4，即x1＝4，x2＝－4；
(2)移项，得3x2＝27.两边同时除以3，
得x2＝9.根据平方根的定义，得x＝±3，即
x1＝3，x2＝－3；
(3)根据平方根的定义，得x－2＝±3，
即x－2＝3或x－2＝－3，即x1＝5，x2＝
－1；
(4)根据平方根的定义，得2y－3＝±4，
即2y－3＝4或2y－3＝－4，即y1＝
7
2，y2＝
－
1
2.
方法总结：直接开平方法是解一元二次
方程的最基本的方法，它的理论依据是平方
根的定义，它的可解类型有如下几种：①x2
＝a(a≥0)；②(x＋a)2＝b(b≥0)；③(ax＋b)2
＝c(c≥0)；④(ax＋b)2＝(cx＋d)2(|a|≠|c|)．
探究点二：用配方法解一元二次方程
【类型一】用配方法解一元二次方程
用配方法解下列方程：
(1)x2－2x－35＝0；
(2)3x2＋8x－3＝0.
解析：当二次项系数是1时，先把常数
项移到右边，然后左、右两边同时加上一次
项系数一半的平方，把左边配方成完全平方
式，即为(x＋m)2＝n(n≥0)的形式，再用直
接开平方法求解；当二次项系数不是1时，
先将二次项系数化为1，再用配方法解方程．
解：(1)移项，得x2－2x＝35.配方，得
x2－2x＋12＝35＋12，即(x－1)2＝36.直接开
平方，得x－1＝±6.所以原方程的根是x1＝7，
x2＝－5；
(2)方程两边同时除以3，得x2＋
8
3x－1
＝0.移项，得x2＋
8
3x＝1.配方，得x
2＋8
3x＋(
4
3)
2
＝1＋(
4
3)
2，即(x＋4
3)
2＝(5
3)
2.直接开平方，得
x＋
4
3＝±
5
3.所以原方程的根是x1＝
1
3，x2＝－
3.
方法总结：运用配方法解一元二次方程
的关键是先把一元二次方程转化为二次项
系数为1的一元二次方程，然后在方程两边
同时添加常数项，使其等于一次项系数一半
的平方．
【类型二】利用配方法求代数式的值
已知a2－3a＋b2－
b
2＋
37
16＝0，求a
－4b的值．
解析：观察方程可以知道，原方程可以
用配方法转化为两个数的平方和等于0的形
式，得到这两个数都为0，从而可求出a，b
的值，再代入代数式计算即可．
解：原等式可以写成：(a －32)2＋(b －1
4)2
＝0.
∴a －32＝0，b －14＝0，解得a ＝32，b ＝1
4.
∴a －4b ＝3
2
－4×
14＝－12
. 方法总结：这类题目主要是配方法和平方的非负性的综合应用，通过配方把等式转化为两个数的平方和等于0的形式是解题的关键．
【类型三】 利用配方法求代数式的最
值或判定代数式的取值范围
请用配方法说明：不论x 取何值，
代数式x 2－5x ＋7的值恒为正．
解析：本题是要运用配方法将代数式化为一个平方式加上一个常数的形式．
解：∵x 2－5x ＋7＝x 2－5x ＋(5
2)2＋7－
(52)2＝(x －52)2＋34，而(x －5
2
)2≥0， ∴(x －52)2＋34≥3
4
.
∴代数式x 2－5x ＋7的值恒为正． 方法总结：对于代数式是一个关于x 的二次式且含有一次项，在求它的最值时，常常采用配方法，将原代数式变形为一个完全平方式加一个常数的形式，根据一个数的平方是一个非负数，就可以求出原代数式的最值．
三、板书设计
本节课通过观察、思考、对比使学生掌握一
元二次方程的解法：直接开平方法和配方
法，领会降次—转化的数学思想．经历从简单到复杂的过程，从而培养学生从不同的角度进行探究的习惯和能力。