复旦大学随机过程考题(刘庆富老师)

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概率统计随机过程-期末试卷-参考答案

7. 1
8. 1 1
4. ，
2
数理统计
57 33 e 30 154 e 15 9. , 8 24
2 2 2
又由
15 S 2
2
4
即
152
2 15 S 2 (15) 知 D 2 2 15

D S 2 2 15
2

得 D S

2 15
4
五、解:
数理统计
1 2 3 (1) 先求二步转移概率矩阵 1 1/ 2 1/ 4 1/ 4 2 P (2) [ P (1)] 2 1/ 4 1/ 2 1/ 4 3 1/ 4 1/ 4 1/ 2 3 P{ X 2 2} P X 0 iP X 2 2 | X 0 i
数理统计
《概率统计与随机过程》期末试卷二参考答案一、填空题
1. F (1, n)
2. P X 1 x1 ,..., X n xn p i 1 (1 p) 其中xi 0或1;
1 n 3. X , Xi X n i 1
xi
n
n
xi
i 1
n
,
E ( S 2 ) p(1 - p)
六、解:
a2 (3) 因 RX ( t , t ) cos 0 , 2 i 故 S X R e d X
2 a i cos( ) e d 0 2 2 a cos(0 )e i d 2 a2 0 0 2
p1 (0) P12 (2) p2 (0) P22 (2) p3 (0) P32 (2) 1 1 1 1 1 ( ) 3 4 2 4 3 (2) P{ X 2 2, X 3 2 | X 0 1}

(完整word版)随机过程试题带答案

1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为。

2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为。

3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为1λ的同一指数分布。

4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 Γ 分布。

5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则这个随机过程的状态空间。

6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ij P (p )=，二者之间的关系为 (n)n P P = 。

7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为(n)j i ij i Ip (n)p p ∈=⋅∑ 。

8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为。

10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。

二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。

1．为it(e-1)e λ。

2． 1(sin(t+1)-sin t)2ωω。

3． 1λ4． Γ 5． 212t,t,;e,e 33⎧⎫⎨⎬⎩⎭。

6．(n)nP P =。

随机过程试题及答案

随机过程试题及答案一、选择题1. 随机过程是研究什么的对象？A. 确定性系统B. 随机性系统C. 静态系统D. 动态系统答案：B2. 下列哪项不是随机过程的特点？A. 可预测性B. 随机性C. 连续性D. 状态的不确定性答案：A3. 随机过程的数学描述通常使用什么？A. 概率分布B. 微分方程C. 差分方程D. 以上都是答案：A4. 马尔可夫链是具有什么特性的随机过程？A. 独立性B. 无记忆性C. 均匀性D. 周期性答案：B5. 以下哪个是随机过程的数学工具？A. 傅里叶变换B. 拉普拉斯变换C. 特征函数D. 以上都是答案：D二、简答题1. 简述什么是随机过程的遍历性。

答：遍历性是随机过程的一种特性，指的是在足够长的时间内，随机过程的统计特性不随时间变化而变化，即时间平均与遍历平均相等。

2. 解释什么是泊松过程，并给出其主要特征。

答：泊松过程是一种计数过程，它描述了在固定时间或空间内随机发生的事件次数。

其主要特征包括：事件在时间或空间上独立发生，事件的发生具有均匀性，且在任意小的时间段内，事件发生的概率与该时间段的长度成正比。

三、计算题1. 假设有一个泊松过程，其平均事件发生率为λ。

计算在时间间隔[0, t]内恰好发生n次事件的概率。

答：在时间间隔[0, t]内恰好发生n次事件的概率由泊松分布给出，公式为：\[ P(N(t) = n) = \frac{e^{-\lambda t} (\lambda t)^n}{n!} \]2. 考虑一个具有两个状态的马尔可夫链，其状态转移概率矩阵为：\[ P = \begin{bmatrix}p_{11} & p_{12} \\p_{21} & p_{22}\end{bmatrix} \]如果初始时刻在状态1的概率为1，求在第k步时处于状态1的概率。

答：在第k步时处于状态1的概率可以通过马尔可夫链的状态转移矩阵的k次幂来计算，即：\[ P_{11}^{(k)} = p_{11}^k + p_{12} p_{21} (p_{11}^{k-1} + p_{12} p_{21}^{k-2} + \ldots) \]四、论述题1. 论述随机过程在信号处理中的应用及其重要性。

11级研究生试卷

2011级研究生随机过程期末试卷1(15分),X Y 两个随机变量均值函数和方差分别为,,,X Y X Y m m δδ,相关系数为ρ，设Z X tY =+,求()(),Z Z m t R t2、（15分）设{}(),0N t t ≥是参数为λ的泊松过程，计算[]()()E N t N t s +。

3、（15分）设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180=λ；且每个顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。

求一天内（8个小时）商场营业额的数学期望与方差。

4、（15分）设马尔可夫链的转移概率矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3.007.08.02.0007.03.0P（1）求两步转移概率矩阵)2(P 及当初始分布为0}3{}2{,1}1{000======X P X P X P时，经两步转移后处于状态2的概率。

（2）求马尔可夫链的平稳分布。

5、（20分）设马尔可夫链的状态空间}5,4,3,2,1{=I ，转移概率矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010007.03.0000000100004.06.0003.04.03.0P 求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。

6、（20分）已知下列平稳过程X 的相关函数为{}.X R τ（谱密度()X S ω），求X 的谱密度（相关函数{}.X R τ）：（1）{}()()4cos 3X R e cos ττπττ-=+ （2）()()651,15150,15X S ωδωωωω⎧⎛⎫+-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩（已知：()()()()11000cos ;12;f f f f ωτπδωωδωωπδω---++⎡⎤⎣⎦()()()()10222200cos 0.f a f a a ea a a τωτωωωω--+>-+++ ）。

随机过程试题及答案

随机过程试题及答案一、选择题1. 关于随机过程的描述，错误的是：A. 随机过程是一种由随机变量组成的集合B. 随机过程是一种在时间上有序排列的随机变量序列C. 随机过程可以是离散的，也可以是连续的D. 随机过程是一种确定性的数学模型答案：D2. 以下哪种过程不是随机过程？A. 白噪声过程B. 马尔可夫过程C. 布朗运动D. 正态分布答案：D3. 随机过程的一阶矩描述的是：A. 均值B. 方差C. 偏度D. 峰度答案：A4. 当随机过程的各个时间点上的随机变量是独立同分布时，该随机过程为：A. 马尔可夫过程B. 马尔可夫链C. 平稳随机过程D. 白噪声过程答案：B5. 下列关于马尔可夫过程的说法中，正确的是：A. 当前状态只与上一状态有关，与历史状态无关B. 当前状态只与历史状态有关，与上一状态无关C. 当前状态只与上一状态和历史状态有关D. 当前状态与所有历史状态均无关答案：A二、填空题1. 随机过程中，时域函数常用的表示方法是__________。

答案：概率分布函数或概率密度函数2. 马尔可夫过程的状态转移概率只与__________相关。

答案：当前状态和下一状态3. 随机过程的时间参数称为__________。

答案：时刻或时间点4. 白噪声过程的自相关函数是一个__________函数。

答案：冲激函数5. 平稳随机过程的自相关函数只与__________相关。

答案：时间差三、解答题1. 请简要解释随机过程的概念。

随机过程是一种由随机变量组成的集合，表示一个在时间上有序排列的随机变量序列。

它可以是离散的，也可以是连续的。

随机过程的描述通常包括概率分布函数或概率密度函数，以及相关的统计特征，如均值、方差等。

随机过程可以用于对随机现象进行建模和分析。

2. 请简要说明马尔可夫过程的特点及应用。

马尔可夫过程是一种具有马尔可夫性质的随机过程，即当前状态只与上一状态有关，与历史状态无关。

其状态转移概率只与当前状态和下一状态相关。

统计06级《随机过程》考试试题_B

武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸| 课程名称随机过程（ B 卷）一、（15分）证明：对1210n n t t t t -∀≤<<<<，{}121121|,,,n n n t n t n t n t P X x X x X x X x ----≤==={}112111201|,,n nn n t t n n t t n nt P X X x x X X x x X X x ------=-≤--=--= {}11n n t t n n P X X x x --=-≤-（独立增量性） {}11|n n t n t n P X x X x --=≤=因此，{},0t X t ≥是一个马尔可夫过程。

二、（15分）解：取充分小的0h >，则有：{,()}{()}{()}r r P x W x h N t n P x W x h N t n P N t n <≤+=<≤+==={,()()}{()}{}{()()}{()}r r P x W x h N t N x h n r P N t n P x W x h P N t N x h n r P N t n <≤+-+=-==<≤+-+=-==()[()]()()!()!r n r t x h W n tt x h f x h en r t e n λλλλ--------=两边除以h ，并令0h →，我们有：1[()][()]()()!()!(())()()(1)!!!r r n r n r x xW r r x W nn t x t x f x e en r n r f x N t n x e t t r n n λλλλλλλλ--------===- 最后我们可以得到结果：1!1(())1,0()!(1)!r r n rW n x x f x N t n x t n r r t t t--⎛⎫⎛⎫==-⋅<< ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭三、（15分）解：画出状态转移图，有：状态3、4无法和其它状态相通，组成一个闭集，且331f =，所以状态3、4为常返态；另外状态0、2相通组成一个闭集，且001f =，故状态0、2是常返态；因为(1)111/2f =，()110,(1)n f n =>，故111/21f =<，所以状态1为非常返态。

随机过程期末试题及答案

随机过程期末试题及答案一、选择题1. 随机过程的定义中，下列哪个是错误的？A. 属于随机现象。

B. 具有随机变量。

C. 具有时间集合。

D. 具有马尔可夫性质。

答案：D2. 下列哪个不是连续时间的随机过程？A. 泊松过程。

B. 布朗运动。

C. 维纳过程。

D. 马尔可夫链。

答案：D3. 关于时间齐次的描述，下列哪个是正确的？A. 随机过程的概率分布不随时间变化。

B. 随机过程的均值不随时间变化。

C. 随机过程的方差不随时间变化。

D. 随机过程的偏度不随时间变化。

答案：A4. 下列哪个是离散时间的随机过程？A. 随机游走。

B. 指数分布过程。

C. 广义强度过程。

D. 随机驱动过程。

答案：A二、填空题1. 马尔可夫链中，状态转移概率与当前状态无关，只与前一个状态有关，这个性质被称为（马尔可夫性质）。

2. 在某一区间内，随机过程的均值是时间的（函数）。

3. 两个随机过程的相互独立性是指它们的（联合概率）等于各自概率的乘积。

4. 利用（随机过程）可以模拟无记忆的随机现象。

三、解答题1. 试述随机过程的定义及其要素。

随机过程是描述随机现象随时间演化的数学模型。

它由两个基本要素组成：时间集合和取值集合。

时间集合是指随机过程所涉及的时间轴，可以是离散的或连续的。

取值集合是指随机过程在每个时间点上可能取到的值的集合，可以是实数集、整数集或其他集合。

2. 什么是时间齐次随机过程？请举例说明。

时间齐次随机过程是指随机过程的概率分布在时间上不变的特性。

即随机过程在任意两个时间点上的特性是相同的。

例如，离散时间的随机游走就是一个时间齐次随机过程。

在随机游走中，每次移动的概率分布不随时间变化，且每次移动的步长独立同分布。

3. 什么是马尔可夫链？它有哪些性质？马尔可夫链是一种离散时间的随机过程，具有马尔可夫性质，即在给定当前状态的情况下，未来的状态只与当前状态有关，与过去的状态无关。

马尔可夫链的性质包括：首先，状态转移概率与当前状态无关，只与前一个状态有关。

随机过程试题及答案

随机过程试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个是随机过程的数学定义？A. 一系列随机变量B. 一系列确定的函数C. 一系列随机函数D. 一系列确定的变量答案：C2. 随机过程的期望值函数E[X(t)]随时间t的变化特性是：A. 确定性B. 随机性C. 非线性D. 线性答案：A3. 马尔可夫链是具有以下哪个特性的随机过程？A. 无记忆性B. 有记忆性C. 独立性D. 相关性答案：A4. 泊松过程是一种：A. 连续时间随机过程B. 离散时间随机过程C. 连续空间随机过程D. 离散空间随机过程答案：A5. 布朗运动是：A. 一个确定的函数B. 一个随机过程C. 一个确定的变量D. 一个随机变量答案：B二、简答题（每题5分，共20分）1. 简述什么是平稳随机过程，并给出其数学特征。

答案：平稳随机过程是指其统计特性不随时间变化的随机过程。

数学上，如果一个随机过程的任意时刻的一维分布和任意两个时刻的二维分布都不随时间平移而改变，则称该过程为严格平稳过程。

2. 解释什么是遍历定理，并说明其在随机过程中的重要性。

答案：遍历定理是随机过程中的一个基本定理，它提供了时间平均与概率平均之间的联系。

在随机过程中，如果一个随机过程是遍历的，那么对于任意的观测时间点，其时间平均值将趋向于其期望值，这一点在统计推断和信号处理等领域具有重要应用。

3. 描述什么是随机过程的平稳增量，并给出其数学定义。

答案：随机过程的平稳增量是指在固定时间间隔内，随机过程增量的分布不随时间变化。

数学上，如果对于任意的非负整数n和任意的实数h，随机过程{X(t+h) - X(t)}与{X(h) - X(0)}具有相同的分布，则称该随机过程具有平稳增量。

4. 简述什么是马尔可夫性质，并给出一个实际应用的例子。

答案：马尔可夫性质是指一个随机过程的未来发展只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。

具有马尔可夫性质的随机过程称为马尔可夫链。

例如，在天气预报中，明天的天气可能只与今天的天气有关，而与前几天的天气无关，这就是马尔可夫性质的一个实际应用。

2013级研究生随机过程期末考试试题

2013级研究生第一学期考试试题(共2页第1页)考试科目：随机过程及应用任课教师：吴秋新考试日期：2013年11月19日设随机过程,其中随机变量A的分布为：，，随机变量B的分布为：，，且A与B独立，试求：（1）一维分布函数和；（2）二维分布函数；（3）均值函数，协方差函数。

(注：要求先写出概率分布表，再写分布函数) （12分）设随机过程，其中为常数，相互独立且服从正态分布，相互独立且服从（0，π）上均匀分布，且与相互独立，求X(t)的均值函数和自相关函数，并判断是否为平稳过程。

（12分）设在时间区间[0,t]内到达商场的顾客数N(t)是强度为λ的泊松过程，每个顾客购买货物概率为p，不购买货物概率为1-p，0<p<1，且他们是否购买货物是相互独立的，令Y(t)为[0，t]内购买货物的顾客数，为[0，t]内第k个购买货物的顾客的购买金额数，k=1,2,…，它们独立同分布，数学期望为a元。

(1)试证{Y(t)，t≥0}是一个以λp为强度的泊松过程；(2)求第三个时间单位里有两个顾客购买货物的概率；(3)写出该商场[0,t]内的收入总金额表达式和其数学期望。

（12分）设齐次马尔可夫链状态空间为E={1,2,3}，一步转移概率矩阵为：，另外已知初始分布为：(12分)试求：（1）两步转移概率矩阵，绝对分布；(2) 证明该链是遍历链；(3) 求该链的平稳分布；(4) 画出状态转移图，并分析状态2的分类属性。

一质点在1，2，3点上作随机游动。

若在时刻t质点位于这三个质点之一，则在[t，t+h]内，它以概率分别转移到其它二点之一。

试求：(1) 质点随机游动的速度矩阵Q和柯尔莫哥洛夫后退方程；(2)求该过程转移概率，；(3)求平稳分布。

（12分）2013级研究生第一学期考试试题(共2页第2页)考试科目：随机过程及应用任课教师：吴秋新考试日期：2013年11月19日设有随机过程X(t)=A sin(λt)+B cos (λt)，其中A、B是均值为0，方差为的相互独立的正态随机变量。

随机过程考试试题及答案详解

随机过程考试试题及答案详解1、（15分）设随机过程C t R t X +⋅=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均匀分布。

（1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数；（2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。

【理论基础】（1（2F (（3(F （4，（1)(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤=其他,0,1)(tC x C t x f ，一维分布函数⎪⎩⎪⎨⎧+>+≤≤-<=t C x t C X C tCx C x x F ,1,,0)(；（2）根据相关定义，均值函数C tt EX t m X +==2)()(；相关函数2)(231)]()([),(C t s Cst t X s X E t s R X +++==；协方差函数12)]}()()][()({[),(stt m t X s m s X E t s B X X X =--=（当t s =时为方差函数）【注】)()()(22X E X E X D -=；)()(),(),(t m s m t s R t s B X X X X -=求概率密度的通解公式|)(|/)(|)(|)()(''y x y f x y y f x f t ==2、（15分）设{}∞<<∞-t t W ),(是参数为2σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量；且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。

令R t W t X +=)()(，求随机过程{}∞<<∞-t t X ),(的均值函数、相关函数和协方差函数。

【解答】此题解法同1题。

依题意，|)|,0(~)(2t N t W σ，)4,1(~N R ，因此R t W t X +=)()(服从于正态分布。

故：均值函数1)()(==t EX t m X ；相关函数5)]()([),(==t X s X E t s R X ；协方差函数4)]}()()][()({[),(=--=t m t X s m s X E t s B X X X （当t s =时为方差函数） 3、（10分）设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180=λ；且每个顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。

期末随机过程试题及答案

《随机过程期末考试卷》1设随机变量X 服从参数为的泊松分布，贝U X 的特征函数为。

2 •设随机过程X(t)二Acos( t+ )，- <t< 其中为率P j (n) P X n j , n 步转移概率 p j n )，三者之间的关系为。

8•设｛X(t),t0｝是泊松过程，且对于任意 t 2 t i 0 则P ｛ X (5) 6|X (3) 4｝—正常数，A 和是相互独立的随机变量，且A 和服从在区间0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为。

3. 强度为入的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为的同一指数分布。

9. 更新方程tK t H t K t sdF s 解的0 一般形式为。

10. 记EX n ,对一切a 0,当t 时，M。

4道小题，每题8分，共32分)列，则W n 服从分布5. 袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变则这个随机过程的状态空间。

6. 设马氏链的一步转移概率矩阵P=(P ij )，n 步转移矩阵 P (n) (p (n))，二者之间的关系为。

7. 设X n ,n 0为马氏链，状态空1. 设A,B,C 为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式： P(BCA)=P(B A)P(C AB)。

2. 设｛X(t), t 0｝是独立增量过程，且X(0)=0,证明｛X(t), t 0｝是一个马尔科夫过程。

3. 设X n ,n 0为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数 n 0,1 l <n 和i, j I ,n 步转移概率4. 设N(t),t 0是强度为的泊松间I ，初始概率p i P(X 0=i)，绝对概科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。

4.X(t,n 1是与泊松过程评卷人二、证明题(本大题共 ),t 0对应的一个等待时间序 t +a M t量 X(t)丄3 t e ,如果t 时取得红球如果t 时取得白球(n)P ijp ik )p j )，称此式为切普曼一k I分布随机变量，且与 N(t),t 0独N(t)立，令X(t)= Y k ,t 0，证明：若k=1E(Y I 12V )，则 E X(t) tE Y i 。

随机过程试题带答案

随机过程试题带答案1 ?设随机变量X服从参数为■的泊松分布，则X的特征函数为 __________2 ?设随机过程X(t)⼆Acos( ? ? t+G),-：：⽴的随机变量，且A和门服从在区间10,1 1上的均匀分布，贝U X(t)的数学期望为______________ 。

3?强度为⼊的泊松过程的点间间距是相互独⽴的随机变量，且服从均值为丄____ 的同⼀指数分布。

4?设:W n,n 是与泊松过程1X(t),t ⼀0?对应的⼀个等待时间序列，则W n服从-分布。

5?袋中放有⼀个⽩球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取⼀球，取后放回，f t对每⼀个确定的t对应随机变量x(t)⼆3,如果t时取得红球，则这个随机过e t, 如果t时取得⽩球程的状态空间_________ 。

6?设马⽒链的⼀步转移概率矩阵P=(P j)，n步转移矩阵P(n)，⼆者之间的关系为—P(n) =P n—。

7?设:X n,n ⼀0?为马⽒链，状态空间I，初始概率P i⼆P(X。

⼆i)，绝对概率P j(n) =P(X n⼆j?，n步转移概率p j n)，三者之间的关系为P j(n)⼋P i p j n)。

8 .设｛X(t),t - 0｝是泊松过程，且对于任意t2t^ 0则1. 设A,B,C为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式：P(BC A)=P(B A)P(C AB)。

1.为e，(e -1)。

2. (sin(?t+1)-sin t)。

3. _ 2 ■1 24. - 5 . -1,—t,|l| ;e,e2"l 。

6 . P(n^ P n。

7 . P j(n) 7 P i p j n) <—13 3 J ------------ 阳6t a8. 18e 9。

K t i；=H t］⼇i0K t — sdM s 10.2. 设｛X(t), t_0｝是独⽴增量过程，且X(0)=0,证明｛X(t), t_0｝是⼀个马尔科夫过程。

2017-2018期末随机过程试题及答案.docx

《随机过程期末考试卷》1 •设随机变量X服从参数为■的泊松分布，则X的特征函数为 _________ 。

2•设随机过程X(t)=Acos( t+G),rvt<::其中为正常数，A和门是相互独立的随机变量，且A和门服从在区间∣0,11上的均匀分布，则X(t)的数学期望为。

3.强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为_的同一指数分布。

4•设:W n)是与泊松过程fX(t),t 一0?对应的一个等待时间序列，则W n服从分布。

5•袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，Γ对每一个确定的t对应随机变量x(t)=」3,如果t时取得红球，则这个随机过(e t, 如果t时取得白球程的状态空间__________ 。

6 •设马氏链的一步转移概率矩阵P=(P i j)，n步转移矩阵Pg=(P(；)),二者之间的关系为。

7•设CX n)n -0?为马氏链，状态空间I ,初始概率P i= P(X°=i),绝对概率P j(n) =P「X n =j?，n步转移概率P j n),三者之间的关系为________________ 。

8 .设｛X(t),t 一0｝是泊松过程，且对于任意t20则P{X ⑸= 6|X (3) = 4} = _______t9 •更新方程K t =H^O K^SdFS解的一般形式为___________________ C 10•记亠-EX n)对一切a—0,当t—：时，M t+a -M t > _____________3. 设］X n)n — 0为马尔科夫链，状态空间为I ,则对任意整数n — 0,仁I Vn和i,j I ,n步转移概率P j n)=V P fk)P k n-I),称此式为切普曼一科尔莫哥洛夫方程,底I证明并说明其意义、证明题(本大题共4道小题，每题8分，共32分)1.设A,B,C为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式:P(BC A)=P(B A)P(C AB) C2.设｛X(t), t_0｝是独立增量过程，且X(0)=0,证明｛X(t), t_0｝是一个马尔科夫过程。

随机过程题库(内含大部分第14讲习题答案)

#00001设ζ，η为相互独立，数字期望均为0、方差均为1的随机变量，令ζ（t ）=ζ+ηt ，求ζ（t ）的均值、方差和相关函数。

*00001解：;0)()()]([)(1=+==ηξξμtE E t E ttsE E s t tsE E s t E s t R t D t D t D t D t x x +=+++==+=+=+==1)()()()()()]()([),(;1)()()()]([)(22222ηξμξξξηξηξξσ#00002设g(t)为下图所示的以周期为L 的矩形波，η的分布列为令ζ(t)=ηg(t)，t ∈R 1，求随机过程ζ(t)，t ∈R 1的均值、方差和相关函数。

*00002解：0]21)1(21)[()]([)]([)(1=⋅-+===t g t g E t E t ηξμ)()()()()()]()([),();()()()]([)]([)(22222s g t g E s g t g s g t g E s t R t g E t g t g D t D t x x ==⋅==⋅===ηηηηηξσ#00003设⎩⎨⎧-=内呼叫次数为奇数在内科叫次数为偶数在],0[,1],0[,1t t t ς且在时间(t 0,t 0+t)内发生k 次呼叫的概率与t 0无关并且为)(,!)()(1R t k t et P ktk ∈⋅=-λλ 其中λ>0，k=0，1，2，…。

求：（1）P{在（0,t ）呼叫次数为偶数}，（2）ξt 的均值函数;(3) ξt 的相关函数。

*00003解：（1）P{在[0，5]内发生偶数次“随机点”}t t t e t p t p t tλλλλλcosh 3}!4)(!2)(1{)()(4220--=+++=++=（2）显然tt t t t t t e e e t t e te t e E λλλλλλλλλλξ2)sinh (cosh sinh )1(cosh 1)(------=⋅=-=⋅-+⋅= （3）||22121),(t t X e t t R --=λ#00004证明贝努里试验构成一个齐次马氏链，并求齐次马氏链的一步转移概率矩阵。

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2011-2012
一、简答 10'*4
1、VaR的定义和计算过程
2、简述马可维茨资产组合理论及推导
3、给出纯随机过程与markov过程的基本定义及其区别
4、给出GARCH,EGARCH模型的基本表达式及其区别
二、证明 15+15分
1、Xt为一连续时间过程，增量服从正态分布，我们称之为广义布朗运动，Xt每一瞬间无穷小变化用dXt表示，且假设Xt增量变化是独立的，问Xt是鞅吗？如果不是鞅，如何转化为鞅？
2、阐述ITO引理及其推证过程
三、论述 30分
建模的主要体系
利用金融时间序列数据建模的一般过程
数理工具和软件技术在解决金融问题中的地位和作用
论述前两个点记不清了大概是酱紫吧。。。
庆富哥哥是好人。。
攒RP保过。。><
BTW,虽然题目已经三年基本不变但10IF请慎重- -
庆富哥哥期末特地强调了一遍下一年要增加试题难度。。。
5、给出单整序列的定义及单身序列阶数的确定方法
二、10+15+15分
1、证明随机游走过程是非平稳随机过程而其差分为平稳过程
2、Xt为一连续时间过程，增量服从正态分布，我们称之为广义布朗运动，Xt每一瞬间无穷小变化用dXt表示，且假设Xt增量变化是独立的，问Xt是鞅吗？如果不是鞅，如何转化为鞅？
3、阐述ITO引理及其推证过程
三、20分
阐述这门课程在经济金融中的地位和作用，以及你学习这门课程的心得体会
--
2012-2013
一、简答
1.弱平稳的定义
2.GARCH的建模步骤
3.Ito积分的定义和性质
4.GARCH和EGARCH的联系和区别
二、证明（完全和去年一样啊有木有）
1.brown运动是鞅么？如不是如何转化成鞅？
2.Ito引理的推导
三、论述
（1）金融经济学研究哪些问题和模型（2）建模的依据（？）（3）数理模型和软件技术的地位和作用
2010-2011
一离散鞅的定义和作用
后面都和去年一样
2009-2010
一、8'*5
1、随机变量一阶矩与二阶矩的定义
2、时间序列数据平稳性的定义及其作用
3、给出纯随机过程与markov过程的基本定义及其区别
4、给出GARCH,EGARCH模型的基本表达式及其区别

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