【整体】整体把握数学课程图形与几何

【关键字】整体整体把握数学课程——图形与几何如何整体地认识“图形与几何”？构架初中“图形与几何”的基本脉络是什么？我建议老师们可以从以下几个脉络或角度梳理初中“图形与几何”的内容。

1．图形与图形分类2．图形间的基本关系3．初中阶段研究图形基本思想方法希望老师们注意以下几点，这些脉络之间并不是“两两不交的”，而是相互影响，相互补充；研究图形是数学的任务，应该站在整个数学上理解研究图形的方法，几何不等于欧氏几何。

在下面我们给出简单的分析，供老师们参考。

1．图形与图形分类学生对几何图形的认识，是学习几何学的开始，这已经从小学就开始了。

在小学，学生认识了点、线（包括线段、射线和直线）；在初中，学生认识了由线构成的几何图形，有三角形、四边形以及其它多边形，还包括由曲线构成的圆形等；认识了一些简单的几何体，如正方体、长方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥等；在高中，学生对几何体的认识更进一步，从定性和定量两个方面研究了空间几何体的性质。

到底要研究哪些图形，我们建议老师们从这样几个角度对图形进行分类：●维数：三维图形：体。

包括柱、锥、台、球等。

二维图形：面或面的一部分。

三维图形的展开图即为二维图形，例如柱和锥的展开图。

在初中阶段我们所研究的二维图形大都是平面图形，但并不是所有二维图形都是平面图形，例如：球面。

一维图形：线。

包括直线、射线、线段、曲线和一些几何图形的边界，如圆的边界、椭圆的边界等。

0维图形：点。

●直曲：直线型：线性的，例如：直线、平面等。

曲线型：非线性的，例如：球、球面等。

事实上，直和曲的问题一直是数学中最为重要的问题。

例如，在“微分”中，我们常用“以直代曲”的方法，将曲面梯形的面积用过剩长方形或不足长方形的面积作为近似替代。

这一思想从小学阶段开始就要不断地渗透给学生。

不论是按照维数去分类，还是按照直曲去分类，大家一定要有一个看图形的办法。

从基本图形展开到所有图形，一定要清楚哪些图形是基本图形。

这些基本图形是进一步认识图形、进一步学习数学的基础。

●正方形：正方形是学生最早接触和认识的图形，所有涉及到面积的一类图形都可以由正方形派生出来。

面积的基础就是正方形，有了正方形的面积可以把矩形、三角形、平行四边形、梯形等直线型图形的面积都说清楚，还能够帮助我们讨论曲边图形的面积。

●长方形：长方形是学生最早接触和认识的图形，小学一年级用于书写汉字方格纸可以勾勒出各式各样的长方形。

到初中，学生开始学习平面直角坐标系，如果将所有的整点标出来，也给人长方形的形象。

●长方体：长方体是日常生活中最为常见的几何图形，很多数学内容的学习都是在直角坐标系中进行的，特别是空间直角坐标系。

而长方体是学习空间直角坐标系看得见、摸得着的具体载体，所以它为学生的后续学习奠定了非常好的基础，它将贯穿学生后续几何学习的始终。

在教学中，很多教师都是这样做的：在概念学习时，用长方体帮助学生认识空间点、线、面的概念，学习线线平行、线线相交、异面直线、面面平行、面面相交、线线笔直、线面笔直等概念；学习公理时，通过长方体帮助学生直观感知、操作确认；学习性质定理和判定定理时，先通过长方体帮助学生对理解定理有一个比较直观、自然的思路，然后再用数学语言完成对性质定理的证明。

最后，在解决立体几何问题时，注重让学生先找出长方体模型，将问题中的图形嵌套在长方体中。

●圆、球：圆和球也是非常重要的几何图形，它们不但具有十分好的对称性，而且还是极坐标系和球坐标系建立的基础。

在所有的几何图形中，长方体是最重要的几何模型，它在帮助学生认识位置关系、度量关系和几何直观上发挥着十分重要的作用。

2．图形间基本的关系在前面我们已经指出一些关系是值得我们关注的，例如位置关系、度量关系。

位置关系包含平行与笔直（相交），除此之外还要关注图形之间的对称、重合、全等、相似、投影等位置关系。

以位置关系为例，平行和笔直是几何中最基本的位置关系。

在立体几何中，重点研究了线线、线面、面面的平行和笔直关系，在解析几何中，利用解析法重点研究线线的平行和笔直。

平行和笔直的重要性，主要是因为直角坐标系（包括平面直角坐标系和空间直角坐标系）都是基于这两种位置关系而建立的。

在物理中，矢量的合成与分解，最常见的也是正交（笔直）分解。

●平行：平行是几何学中一个重要的内容，平行就是两个最基本的图形（线线、线面、面面等）没有公共点。

在欧氏几何里，用综合几何的方法解决两条直线平行的判定和性质；在立体几何里，同样是用综合几何的方法，不但处理线线平行，还处理线面平行和面面平行；在解析几何里，处理平行的手段更多的是用计算的方法，看两条直线斜率之间的关系。

●笔直（相交）：笔直是几何学中另一个十分重要的概念，也是几何学研究的重点内容。

在平面几何中；主要研究两直线笔直，即两条相交直线所成的四个角都是直角，一般总是将它们置于基本图形中（如等腰三角形的三线合一，长方形、菱形的性质等）；在立体几何中，主要是研究线面笔直和面面笔直，而对于这些笔直的研究都是将其转化为线线笔直的；解析几何中对笔直的研究更加单纯，主要是为了利用解析法看两条直线斜率之间的关系。

下面我们以平行为例，从几个角度去理解平行。

平行作为初中数学课程内容的重点，我们将从公理的角度、位移的角度、基本图形的角度等去理解平行。

①从公理的角度：平行存在一系列等价命题。

两条平行线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行（同位角相等，两直线平行）；两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行（内错角相等，两直线平行）；两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行（同旁内角互补，两直线平行）；三角形内角和180°等。

②从位移的角度：在中学阶段，所涉及到的变换主要有全等变换、相似变换和反演变换。

其中初中阶段最为常见的还是全等变换中的平移变换、旋转变换和翻折变换。

平移变换是指由一个图形改变为另一个图形，在改变过程中，原图形上的所有的点都向同一个方向运动，且运动相等距离的图形变换。

平移变换最核心的概念就是平行，理解了平行就能够更好地理解变换和位移的概念。

③从掌握反映平行的基本图形的角度：由此可以看出，平行在初中数学学习阶段所学位置关系中所占的重要性，教师要帮助学生多掌握些反映平行的基本图形，比如说正方形、长方形、平行四边形和梯形等。

反过来从基本图形的角度去看，所有基本图形中边的关系中都存在着平行关系。

④掌握与平行有关的重要结论：初中阶段有很多需要学生掌握的定理及推论都与平行相关。

例如：夹在两条平行线间的平行线段相等；平行线等分线段成比例等重要的结论；三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半（三角形中位线定理）；梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半（梯形中位线定理）。

⑤从平行和度量关系的角度：下面我们以平行为例从几个角度去理解平行，平行作为初中数学课程内容的重点，我们将从公理的角度、位移的角度、基本图形的角度等多个角度去理解平行。

下面我们再以对称关系中的轴对称为例，从几个角度去理解轴对称。

对称关系是反映图形性质的基本关系，是初中阶段重要的知识内容。

①从一个图形的角度看：一个图形是对称图形是指图形按照给定的直线翻转180°后与原来的图形是重合的，如：等腰三角形、圆形；②从多个图形的角度看：两个图形关于一条直线是相互对称的；③从运动的角度看：由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫做图形的轴对称变换，也叫做反射变换。

即一个图形相对一条直线翻转后得到一个新的图形。

④与其它知识的联系：在对称变换下图形之间是彼此全等的。

当然，除了平行和垂直，在几何中还研究其它的位置关系，如两直线的相交和异面，不互相垂直两个相交平面等，要刻画这些位置关系，就需要进行度量，要么用距离，要么用角度，这就涉及到度量关系。

度量关系是中学阶段最基本的研究对象，也是高中阶段最关注的基本问题。

在中学阶段涉及到的这些度量都是直线型的，它为我们精确地研究几何图形的位置关系提供了方法。

在中学阶段，所涉及的基本度量有长度（距离）、角度、面积和体积等。

譬如在研究两异面直线时，仅用角度或仅用距离都不能精确地刻画它们，需要这两个量同时参与才可以。

随着学习的深入，所有这些度量到了大学都可以用积分进行解决，特别是对于曲线型的几何图形的周长、面积、体积等。

在这里我们就不展开了。

3．初中阶段研究图形的基本思想方法在中学阶段，研究几何常用的方法主要包括综合几何的方法、向量几何的方法、解析几何的方法，另外还有变换几何的方法（用旋转、对称、翻折等方法研究几何性质）和分析几何的方法（用函数及与函数有关的性质讨论图形）等。

在高中阶段，几何的呈现形式是用综合几何的方法认识几何图形，用解析几何和向量几何的方法处理平面曲线和空间图形，是研究几何的通性通法。

●综合几何：通过大家都承认的定义、公理和公设等事实出发，根据推理法则得到新的结果，这样的过程我们称它为综合几何的方法。

这是教师们非常熟悉的一种方法，是利用几何的方法研究图形的性质，即用已知的基本图形的性质去研究组合图形的性质。

下面我先举一个例子说明综合几何的方法。

证明三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

要想证明这一定理，首先大家要承认以下定义：①三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

②三角形内角的定义如图，线段AB，BC，CA是三角形的边，点A，B，C是三角形的顶点，∠A，∠B，∠C是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角。

③三角形外角的定义如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD。

像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

④平角的定义一条射线绕它的端点旋转，当始边和终边在同一条直线上，方向相反时，所构成的角叫平角。

平角的角度是180°。

⑤三角形内角和定理任意一个三角形的三个内角和等于180°（三角形内角和定理）。

然后根据一定的推理法则进行证明即可。

这种方法的基本特点就是把复杂的图形转化为简单的图形，把空间的图形转化为平面图形。

例如，把两条线段相等问题转化为两个三角形全等关系或一个三角形内两边的相等关系，空间两直线的垂直问题转化为平面上两直线的垂直（如，三垂线定理），利用三视图研究空间几何体等。

在综合几何方法中，平移、旋转、对称等是研究综合图形性质的基本方法。

●变换几何：通过图像的运动发现图像的性质是解决几何问题的一种重要办法，通常称为几何变换的办法。

变换几何的方法为我们研究几何图形的性质提供了一个全新的视角，它不再是单纯地认识几何图形，而是在运动、变化中认识几何图形，更能发现几何图形最核心、最本质的性质。

譬如，平行四边形有很多的等价定义，但最为本质的还是对角线的交点是它的对称中心；还有我们最为熟知的图形——圆，它最本质的性质是有无数条对称轴。